高中数学课时作业12等差数列的前n项和(第1课时)新人教版必修5

§2.3等差数列的前n项和基础梳理1．(1)对于任意数列{a n}，S n＝__________________，叫做数列{a n}的前n项的和．(2)S n－S n－1＝____________．2．(1)等差数列{a n}的前n项和公式为___________________________________．(2)等差数列：2，4，6，…，2n，…的前n项和S n＝_______________________．(3)等差数列首项为a1＝3，公差d＝－2，则它的前6项和为___________．3．(1)等差数列依次k项之和仍然是等差数列．即S k，S2k－S k，S3k－S2k，…成公差为______________的等差数列．(2)已知等差数列{a n}，a n＝n，则S3，S6－S3，S9－S6分别为：____________．它们成______数列．4．(1)由S n的定义可知，当n＝1时，S1＝________；当n≥2时，a n＝__________，即a n＝__________________．(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝n2，则a n＝________________＝____________．5．(1)等差数列的前n项和公式：S n＝na1＋(1)2n n d可化成关于n的二次式子为________________________，当d≠0时，是一个常数项为零的二次式．(2)已知等差数列的前n项和为S n＝n2－8n，则前n项和的最小值为______，此时n＝______．自测自评1．等差数列{a n}的前n项和S n，若a1＝2，S3＝12，则a6＝()A．8 B．10 C．12 D．142．已知数列{a n}中，a3＋a8＋2a3a8＝9，且a n<0，则S10为()A．－9 B．－11 C．－13 D．－15基础达标1．已知a1，a2，a3，a4成等差数列，若S4＝32，a2∶a3＝1∶3，则公差d为()A．8B．16C．4D．02．设a1，a2，…和b1，b2，…都是等差数列，其中a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{a n＋b n}前100项之和为()A ．0B ．100C ．10 000D ．50 5003．等差数列{a n }中，首项a 1＞0，公差d ＜0，S n 为其前n 项和，则点(n ，S n )可能在下列哪条曲线上( )4．已知等差数列共有2n ＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an ＋1的值为( )A ．30B ．29C ．28D ．275．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________． 巩固提高6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且71427n n S n T n +=+，则1111a b 的值为( )A.74B.32C.43D.7871 7．已知lg x ＋lg x 3＋lg x 5＋…＋lg x 21＝11，则x ＝___________.8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝4n 2＋2(n ∈N*)，则a n ＝______________________．9．在小于100的正整数中共有多个数被3除余2？这些数的和是多少？10．已知等差数列{a n }中，a 1＝－3，11a 5＝5a 8－13.(1)求公差d 的值；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值．参考答案基础梳理1．(1)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n(2)a n (n ≥2)，a 1＝S 1(n ＝1)2．(1)S n ＝1()2n n a a +或S n ＝na 1＋(1)2n n d - (2)(n ＋1)n(3)－123．(1)k 2d(2)6，15，24 等差4．(1)a 1 S n －S n －1 11,1,2n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩ (2)1,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩ 2n －1，n ∈N * 5．(1)S n ＝2d n 2＋1()2d a -n (2)－16 4自测自评1． C【解析】设公差为d ，依题意得3×2＋12×3×2d ＝12，∴d ＝2，所以a 6＝2＋(6－1)×2＝12，故选C.2． D基础达标1． A2． C3．C4． B5． 56n 2－76n 巩固提高6． C7．11108． 6,184,2n n n =⎧⎨-≥⎩9．解：被3除余2的正整数可以写成3n ＋2(n ∈N*)的形式．由3n ＋2＜100，得n ＜3223，即n ＝0，1，2，3，…，32.∴在小于100的正整数中共有33个数被3除余2.把这些数从小到大排列起来为：2，5，8，…，98，组成一个等差数列{a n }，其中a 1＝2，a 33＝98，n ＝33，因此它们的和为S 33＝33×（2＋98）2＝1 650. 10． 解：(1)由11a 5＝5a 8－13，得11(a 1＋4d )＝5(a 1＋7d )－13.∵a 1＝－3，∴d ＝59. (2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋(n －1)×59， 令a n ≤0，得n ≤325. ∴a 1＜a 2＜…＜a 6＜0＜a 7＜….∴S n 的最小值为S 6＝6a 1＋652d ⨯＝6×(－3)＋15×59＝－293.。

课时作业10 等差数列的前n 项和时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48解析：S 10＝a 1＋a 102＝5(a 1＋a 10)＝120，∴a 1＋a 10＝24. 答案：B2．等差数列{a n }中，a 5＝10，S 3＝3，则( ) A ．a 1＝－2，d ＝3 B ．a 1＝2，d ＝－3 C ．a 1＝－3，d ＝2 D ．a 1＝3，d ＝－2 解析：∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝3，∴a 2＝1. 又a 5＝10， ∴d ＝a 5－a 25－2＝10－13＝3.∴a 1＝a 2－d ＝1－3＝－2. 答案：A3．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( ) A ．－23B ．－13C.13D.23解析：由S 10＝70，可以得到a 1＋a 10＝14，即a 1＝4. 所以d ＝a 10－a 19＝23.故选D. 答案：D4．若一个等差数列{a n }的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180， 所以3(a 1＋a n )＝180，即a 1＋a n ＝60. 由S n ＝390，知n a 1＋a n2＝390.所以n ×602＝390，解得n ＝13.故选A.答案：A5．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝20，则数列前15项的和S 15的值为( ) A ．60 B ．22 C ．20D ．－8解析：∵a 1＋3a 8＋a 15＝20，∴5a 8＝20， ∴a 8＝4. ∴S 15＝a 1＋a 152＝15a 8＝15×4＝60.答案：A6．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( ) A ．445 B ．765 C ．1080D ．1305 解析：∵a n ＋1＝a n ＋3，∴a n ＋1－a n ＝3为常数，故{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63∴a n ＝0时，n ＝21；a n >0时，n >21；a n <0时，n <21 ∴S 30′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.故选B. 答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知{a n }是等差数列， a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝________. 解析：a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6. ①S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10. ②由①②得a 1＝1，d ＝12.答案：128．已知数列{a n }前n 项和S n ＝－2n 2＋3n ，则a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2＋3＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n 2＋3n ＋2(n －1)2－3(n －1)＝－4n ＋5. 又当n ＝1时，－4×1＋5＝1， 故n ＝1时满足a n ＝－4n ＋5. ∴a n ＝－4n ＋5. 答案：－4n ＋59．等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d＝________. 解析：∵S 12＝8S 4，∴12a 1＋12×112d ＝8(4a 1＋4×32d )．∴20a 1＝18d .∴a 1d ＝1820＝910. 答案：910三、解答题(共计40分)10．(10分)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 3＝11，S 9＝153，求{a n }的通项公式．解：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝11，9a 1＋9×82d ＝153，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝5.∴{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋2.11．(15分)甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动．甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解：(1)设n 分钟后第一次相遇，依题意， 得2n ＋n n －2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0， 解得n ＝7，n ＝－20(舍去)．甲、乙第一次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第二次相遇，依题意，得 2n ＋n n －2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －6×70＝0， 解得n ＝15，n ＝－28(舍去)．甲、乙第二次相遇是在开始运动后15分钟．12．(15分)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)，求a n .解：当n ≥2时，将S n －S n －1＝a n 代入式子a n ＝2S 2n2S n －1，得S n －S n －1＝2S 2n2S n －1.整理，得S n －1－S n ＝2S n ·S n －1.两边同除S n ·S n －1得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴数列{1S n}是以2为公差的等差数列．则1S n ＝1S 1＋2(n －1)＝2n －1.∴S n ＝12n －1(S 1＝a 1＝1也适合此式)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n －n －.当n ＝1时，a 1＝1不适合上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n －n －，n ≥2.。

等差数列的前n 项和(一)一、备用习题1.求集合M={m|m=7n ,n ∈N *,且m ＜100}的元素个数，并求这些元素的和.分析：求解的关键在于要理解这个集合的元素特征，抓好集合中的数全是由7的倍数组成，再由本节课学过的知识运用加以解决. 解：由7n ＜100得n ＜7100=7214.所以，正整数n 共有14个，即M 中共有14个元素,即7，14，21，…，98是一个以a 1=7为首项，公差为7且a 14=98的等差数列.所以S n =2)987(14+⨯ =735.答：这些元素的和为735.2.已知两个等差数列：2，5，8，…，197和2，7，12，…，197.求这两个数列中相同项之和. 分析：两个等差数列的相同项仍组成等差数列，找出其首项、公差、项数，即可求出它们的和.解：其相同项是2，17，32，…，197，组成以2为首项，公差为15，末项为197的等差数列.设此数列共有n 项，则197=2＋(n -1)×15，得n =14，那么相同项的和1393214)1972(=⨯+=n S . 点评：如果两个等差数列的公差分别为d 1和d 2，且d 1和d 2的最大公约数为a ，则两个等差数列中公共项所组成的等差数列的公差d =(d 1×d 2)÷a ，即d 为d 1和d 2的最小公倍数.3.用分期付款的方式购置房子一套，价格为115万元.购置当天先付15万元，以后每月的这一天都支付5万元，并加付欠款利息，月利息率1%.若交付15万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部房款付清后，购买这套房子实际花了多少钱？分析：购买时付了15万元，欠款100万元.每月付5万元及欠款利息，需分20次付完，且每月总付款数顺次组成等差数列.解：由题意，购置当天付了15万元，欠款100万元.每月付5万元，共分20次付完.设每月付款数顺次组成数列｛a n｝，则a1＝5＋100×1%=6，a2＝5＋(100-5)×1%=6-0.05，a3＝5＋(100-5×2)×1%=6-0.05×2，依次类推，得a n=6-0.05(n-1)(1≤n≤20).由于a n-a n-1=-0.05，所以｛a n｝组成等差数列，a10=6-0.05×9=5.55(万元).从而，全部房款付清后总付款数为S20+15=220 )(201⨯+aa+15=125.5(万元).答：第10个月应付5.55万元，购买这套房子实际花了125.5万元.点评：解应用题时，首先应仔细“读题”.抓住关键的数量关系，逐个数据进行分析，建立相应的数学模型.再求解数学模型，得出数学结论，最后回答实际问题.4.把正整数以下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设S n表示第n组中所有各数的和，那么S21等于()A.1 113B.4 641C.5 082D.53 361分析：第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数.解：因为第n组有n个数，所以前20组一共有1+2+3+…+20=210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S21=21×211+22021⨯×1=4 641，故选B.点评:认真分析条件，转化为数列的基本问题.二、阅读材料古代有关数列求和问题的故事我国数列求和的概念起源很早，古书《周髀算经》里谈到“没日影”时，已出现了简单的等差数列；《九章算术》中的一些问题反映出当时已形成了数列求和的简单概念.到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法.他在《张丘建算经》里给出了几个等差数列问题.例如：“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得.”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式n a a S n n •+=2)(1. 再如：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”书中给出了计算公式d =(122a nS n -)÷(n -1). 这个公式等价于现今中学课本里的公式：2])1(2[1d n a n S n -+=. 大家熟悉的还有象棋格子放麦粒的故事.其实，更古老的数列问题是写在著名的林德氏埃及草纸本里的分面包问题.它可能写于公元前3 000年.问题:一百份面包五个人分，要求：第二个人比第一个人多多少，第三个人比第二个人也多多少，同样，第四个人比第三个人，第五个人比第四个人也多多少.此外，前两人所得的总数是其余三个人所得总数的七分之一.问每人各得多少？解：我们用方程组的方法来求解.设第一个人分得面包x 份，第二个人比第一个人多分得y 份，则第二个人分得x ＋y 份，第三个人分得x ＋2y 份，第四个人分得x ＋3y 份，第五个人分得x+4y 份.于是有方程组⎩⎨⎧+++++=++=++++++++).4()3()2()]([7,100)4()3()2()(y x y x y x y x x y x y x y x y x x 化简，得 ⎩⎨⎧==+.211,202y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.619,321y x . 所以由第一个人到第五个人每人所得面包的份数为321,6510 ,20,6129 ,3138. 上面的一列数x ，x ＋y ，x ＋2y ，x+3y ，x+4y ，由于项数较少，我们可以直接相加求出它们的和.如果项数很多，怎样求它们的和呢？具体地说，设S n =x+(x ＋y)+ (x+2y)+(x ＋3y)+…+(x+n y)，①能不能较快地求出表示它的和的一个代数式呢？这是容易做到的，我们采用高斯的方法，把①式倒过来写，得S n =(x+n y)＋\[x ＋(n -1)y\]+…+(x ＋3y)+(x+2y)+(x ＋y)+x ，②把①与②式按对应项相加，得2S n =(2x+n y)+(2x+n y)+…+(2x+n y).=(2x+n y)(n +1)=2(n +1)x+n (n +1)y.∴S n =(n +1)x+2)1( n n y. 这种求和方式对于每两项之差为定数的数列(称为等差数列)，求和是极快捷有效的.实际上，前面所讲的高斯小时候的故事也是一个数列求和的问题.类似的题目在我国古代数学著作中屡见不鲜，而且解法也令人叫绝，如《翠薇山房算学丛书》中有关梯形堆积物求总数问题，有兴趣的话，可以查阅一下相关资料.。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题课时分层作业(十二) 等差数列前n 项和的综合应用(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．1B [等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.]2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于( )【导学号：91432182】A ．100B ．101C ．200D ．201A [A 、B 、C 三点共线⇔a 1＋a 200＝1， ∴S 200＝2002(a 1＋a 200)＝100.]3．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( ) A ．15 B ．35 C ．66D ．100C [易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2.|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1， 令a n >0则2n －5>0，∴n ≥3. ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10| ＝1＋1＋a 3＋…＋a 10 ＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.]4．设数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )【导学号：91432183】A ．18B ．19C ．20D ．21C [a 1＋a 3＋a 5＝105＝3a 3， ∴a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99＝3a 4，∴a 4＝33， ∴d ＝a 4－a 34－3＝－2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝41－2n ， 令a n >0，∴41－2n >0， ∴n <412，∴n ≤20.] 5.11×3＋12×4＋13×5＋14×6＋…＋1nn ＋2等于( ) A.1nn ＋B.12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2C.12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2D.12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1C [通项a n ＝1nn ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴原式＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2.]二、填空题6．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________.【导学号：91432184】5 [∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.]7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝________. 8 [∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝，S n －S n －1，n ，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.]8．首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值. 【导学号：91432185】5或6 [∵S 3＝S 8，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴a 6＝0，∵a 1>0， ∴a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6＝0，a 7<0. 故当n ＝5或6时，S n 最大．] 三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？ [解] (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0， 得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n . (2)法一：a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n n －12·(－2)＝－n 2＋10n＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．法二：由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列． 令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值．10．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .【导学号：91432186】[解] ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －2d ＝13n ＋n n －2×(－4)＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n＝2×＋2－(15n －2n 2)＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，n ，2n 2－15n ＋56，n[冲A 挑战练]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18B [S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30， 由S n ＝n a 1＋a n2＝210，得n ＝14.]2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( )【导学号：91432187】A ．3B ．4C ．5D ．6C [a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝m a 1＋a m2＝0，得a 1＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5，故选C.]3．已知数列：1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n ，…，则其前n 项和等于________．2n n ＋1 [通项a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴所求的和为2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n －1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.] 4．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________.【导学号：91432188】11 7 [设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝n ＋a 1＋a 2n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7， S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．]5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. (1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项； (3){S n }有多少项大于零？ [解] (1)S n ＝na 1＋n n －2d ＝12n ＋n n －2×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图．(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －1322＋1694，n ∈N *，∴当n ＝6或7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减． {S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42. (3)由图象得{S n }中有12项大于零．。

高中数学课时达标训练（九）等差数列的前n 项和（含解析）新人教A 版必修5课时达标训练(九) 等差数列的前n 项和[即时达标对点练]题组1 等差数列前n 项和的有关计算1．设S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．63解析：选C S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7（a 2＋a 6）2＝7（3＋11）2＝49，或由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝3，a 6＝a 1＋5d ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 即S 7＝7a 1＋7×62d ＝49.故选C.2．在等差数列{}a n 中，a 6＝a 3＋a 8，则S 9等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－1或1解析：选A 因为a 6＝a 3＋a 8，故a 5＋d ＝a 2＋d ＋a 8，得a 5＝2a 5，即a 5＝0.又a 1＋a 9＝2a 5＝0，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝0，故选A.3．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.4．已知等差数列{}a n 中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2. 从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋（3－2n ）]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7为所求结果． 题组2 已知S n 求通项公式a n5．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9；当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11.又2×1－11＝－9＝a 1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11. 答案：2n －116．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且lg(S n ＋1)＝n ＋1，求通项公式． 解：因为lg(S n ＋1)＝n ＋1，所以S n ＋1＝10n ＋1，即S n ＝10n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝102－1＝99，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(10n ＋1－1)－(10n －1)＝9×10n ，从而，数列{a n }的通项公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧99（n ＝1），9×10n（n ≥2）. 题组3 等差数列前n 项和的性质7．设S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310 B.13 C.18 D.19解析：选A 设S 3＝m ，∵S 3S 6＝13，∴S 6＝3m ，∴S 6－S 3＝2m ，由等差数列依次每k 项之和仍为等差数列，得S 3＝m ，S 6－S 3＝2m ，S 9－S 6＝3m ，S 12－S 9＝4m ，∴S 6＝3m ，S 12＝10m .∴S 6S 12＝310，故选A. 8．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 5b 5＝( )A.23B.79C.2031D.914解析：选D ∵等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，S n T n ＝2n 3n ＋1，∴a 5b 5＝9a 59b 5＝S 9T 9＝1828＝914.故选D.题组4 等差数列前n 项和的最值9．已知{a n }是等差数列，a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，当{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n 等于( )A ．8B ．9C ．10D ．11 解析：选B ∵{a n }是等差数列，a 1＝－26，a 8＋a 13＝5， ∴－26＋7d －26＋12d ＝5，解得d ＝3， ∴S n ＝－26n ＋n n －12×3＝32n 2－552n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －5562－3 02524，∴{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n ＝9.故选B.10．设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由． 解：(1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0， ∴－247＜d ＜－3.故d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3. (2)∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0.∴a 6＞0， 又由(1)知d ＜0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．[能力提升综合练]1．在等差数列{}a n 中，若a 2＋a 8＝4，则其前9项的和S 9等于( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．9 解析：选A ∵数列{}a n 是等差数列， ∴a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5.∴S 9＝92(a 2＋a 8)＝18.故选A.2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9解析：选C 设凸多边形的内角组成的等差数列为{a n }，则a n ＝120＋5(n －1)＝5n ＋115，由a n <180，得n <13且n ∈N *.由n 边形内角和定理得，(n －2)×180＝n ×120＋n n －12×5.解得n ＝16或n ＝9.∵n <13，∴n ＝9.3．在等差数列{}a n 中，7a 5＋5a 9＝0，且a 9＞a 5，则使数列前n 项和S n 取得最小值的n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B ∵a 9＞a 5，∴公差d ＞0.由7a 5＋5a 9＝0，得7(a 1＋4d )＋5(a 1＋8d )＝0，∴d ＝－317a 1.由a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0，解得n ≤203，即使S n取得最小值的n 等于6.4．已知数列{}a n ，{}b n 都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1，b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1＞b 1.a 1，b 1，n ∈N *，则数列{}a bn 的前10项和等于( )A ．55B ．70C ．85D ．100解析：选 C a n ＝a 1＋n －1，b n ＝b 1＋n －1.ab n ＝a 1＋b n －1＝a 1＋(b 1＋n －1)－1＝a 1＋b 1＋n －2＝5＋n －2＝n ＋3，因此数列{}a bn 也是等差数列，并且前10项和等于10（4＋13）2＝85.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 2 017>0，S 2 018<0.若对任意的正整数n ，都有S n ≤S k ，则k 的值为________．解析：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 2 017>0，S 2 018<0，∴2 017a 1＋a 2 0172＝2 017a 1 009>0，2 018a 1＋a 2 0182＝1 009(a 1 009＋a 1 010)<0，∴a 1 009>0，a 1 010<0，∴在前n项和S n 中，S 1 009最大，∴对任意正整数n ，S n ≤S 1 009，则k ＝1 009.答案：1 0096．已知等差数列{}a n 的前三项为a －1，4，2a ，记前n 项和为S n . (1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n ＝S n n，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值．解：(1)由已知得a 1＝a －1，a 2＝4，a 3＝2a ， 又a 1＋a 3＝2a 2，∴(a －1)＋2a ＝8，即a ＝3. ∴a 1＝2，公差d ＝a 2－a 1＝2. 由S k ＝ka 1＋k （k －1）2d ，得2k ＋k （k －1）2×2＝2 550，即k 2＋k －2 550＝0，解得k ＝50或k ＝－51(舍去)． ∴a ＝3，k ＝50. (2)由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，得S n ＝2n ＋n （n －1）2×2＝n 2＋n .∴b n ＝S n n＝n ＋1，∴{}b n 是等差数列．则b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n －1＋1)＝2n 2＋2n . 7．(选做题)在等差数列{}a n 中，a 10＝23，a 25＝－22， (1)该数列第几项开始为负？ (2)前多少项和最大？(3)求数列{}|a n |的前n 项和． 解：设等差数列{a n }中，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 25－a 10＝15d ＝－45，23＝a 1＋（10－1）×d ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3.(1)设第n 项开始为负，a n ＝50－3(n －1)＝53－3n ＜0，n ＞533，所以从第18项开始为负．(2)法一：设前n 项和为S n ，则S n ＝50n ＋n （n －1）2(－3)＝－32n 2＋1032n ＝－32⎝⎛⎭⎪⎫n －10362＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫10362， 所以当n ＝17时，S n 最大．即前17项和最大．法二：⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，则⎩⎪⎨⎪⎧53－3n ≥0，50－3n ≤0，503≤n ≤533，所以n ＝17.即前17项和最大．(3)|a n |＝|53－3n |＝⎩⎪⎨⎪⎧53－3n （0＜n ≤17），3n －53（n ＞17）.∴S ′n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n )，当n ≤17时，S n ′＝－32n 2＋1032n ；当n ＞17时，S n ′＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋1032n ＋2S 17＝32n 2－1032n ＋884，所以S n′＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，32n 2－1032n ＋884，n ＞17.。

等差数列的前n 项和 (二 )课时目标 1.娴熟掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵巧运用.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n与S n的关系，能依据S n求a n.1．前 n 项和 S n与 a n之间的关系对随意数列 {a n} ， S n是前 n 项和， S n与 a n的关系能够＝，表示为 a n＝2．等差数列前n 项和公式S n＝ ________＝ ____________.3．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列 {a n} 中当 a1>0，d<0 时， S n有 ______值，使 S n取到最值的 n 可由不等式组 ____________ 确立；当 a1<0，d>0时， S n有 ______值，使 S n取到最值的 n 可由不等式组 __________ 确立．d2dn，若 d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0 时， S n有 ______ (2)由于 S n＝ n ＋ a1－22值；当 d<0 时， S n有 ______值；且 n 取最靠近对称轴的自然数时，S n取到最值．一个实用的结论：若 S n＝an2＋bn，则数列 {a n} 是等差数列．反之亦然．一、选择题1．已知数列 {a n} 的前 n 项和 S n＝ n2，则 a n等于 ()A． n B ． n2C． 2n＋ 1D． 2n－ 12．数列 {a n} 为等差数列，它的前n 项和为 S n，若 S n＝ (n ＋1)2＋λ，则λ的值是 ()A．－ 2B．－ 1C． 0D． 13．已知数列 {a n} 的前 n 项和 S n＝ n2－ 9n，第 k 项知足 5<a k<8，则 k 为()A． 9B． 8C． 7D． 64．设 S n是等差数列 {a n} 的前 n 项和，若S3＝1，则S6等于 () S6 3S123111 A. 10 B. 3 C.8 D.95．设 S n是等差数列 {a n} 的前 n 项和，若a55S9等于() 3＝，则5a9SA． 1B．－ 1C． 2 D.1 26．设{a n} 是等差数列， S n是其前 n 项和，且 S5<S6，S6＝S7>S8，则以下结论错误的选项是() A． d<0B． a7＝ 0C． S9>S5D． S6与 S7均为 S n的最大值二、填空题7．数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n＝ n2－ n， (n∈N ＋ )，则通项a n＝ ________.8．在等差数列 {a n} 中， a1＝ 25， S9＝ S17，则前 n 项和 S n的最大值是 ________．9．在等差数列 {a n} 中，已知前三项和为15，最后三项和为78，全部项和为155，则项数 n＝________.10．等差数列 {a n} 中， a1<0， S9＝ S12，该数列在 n＝k 时，前 n 项和 S n取到最小值，则k的值是 ________．三、解答题11．设等差数列{a n} 知足 a3＝5， a10＝－ 9.(1)求 {a n} 的通项公式；(2)求 {a n} 的前 n 项和 S n及使得 S n最大的序号n 的值．12．已知等差数列 {a n} 中，记 S n是它的前 n 项和，若 S2＝ 16， S4＝ 24，求数列 {|a n|} 的前n 项和 T n.能力提高13．数列 {a n} 的前 n 项和 S n＝ 3n－ 2n2(n∈ N＋ )，则当 n≥2时，以下不等式建立的是 () A． S n>na1>na n B． S n>na n>na1C． na1>S n>na n D． na n>S n>na114．设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，已知 a3＝ 12，且 S12>0， S13<0.(1)求公差 d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明原因．1．公式 a n＝ S n－ S n－1并不是对全部的n∈ N＋都建立，而只对n≥2的正整数才建立．由S n 求通项公式 a n＝ f(n)时，要分 n＝ 1和 n≥2两种状况分别计算，而后考证两种状况能否用一致分析式表示，若不可以，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前 n 项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n∈ N＋，联合二次函数图象的对称性来确立n 的值，更为直观．a n≥0，a n≤0，(2)通项法：当 a1>0， d<0，时， S n获得最大值；当a1<0 ， d>0 ，时，a n＋1≤0a n＋1≥0S n获得最小值．3．求等差数列 {a n} 前 n 项的绝对值之和，重点是找到数列{a n} 的正负项的分界点．2． 2.2等差数列的前 n 项和 (二)答案知识梳理1． S 1 S n － S n －1 2.1＋an－ d2na 1＋2a n ≥0 a n ≤0 3． (1) 最大最小 (2)最小 最大a n ＋1≤0a n ＋1≥0作业设计1．D2． B [ 等差数列前 n 项和 S n 的形式为： S n ＝ an 2＋ bn ，∴ λ＝－ 1.]1，n ＝ 13． B ，∴ a n ＝ 2n －10.[ 由 a n ＝S n － S n －1， n ≥2由 5<2k － 10<8，得 7.5<k<9 ，∴ k ＝ 8.]4．A[ 方法一3 3a 1＋ 3d66a 1＋ 15d 12d ＋ 15d 3 .S ＝＝ 1 a 1＝ 2d ， S＝ ＝ ＝S 66a 1＋ 15d 3 S 12 12a 1 ＋66d 24d ＋ 66d 10方法二 由S 3＝1，得 S 6＝ 3S 3.S 3 ，S 6－ S 3，S 9 －S 6，S 12－ S 9 仍旧是等差数列，公差为 (S 6S 6 3－ S 3)－ S 3＝S 3 ，进而 S 9－S 6＝ S 3＋ 2S 3＝ 3S 3 S 9＝ 6S 3， S 12－ S 9＝ S 3＋ 3S 3＝4S 3 S 12＝ 10S 3，所以 S 6 ＝ 3.]S 12 1091＋ a 9a 5＝ 2a 5＝ a 1＋ a9＝ 5，∴ S 9＝ 29 5＝ 1.]5．A[ 由等差数列的性质，＝ 3 31＋ a 5×a21＋ a 56． C [ 由 S 5<S 6，得 a 6＝ S 6－ S 5>0.又 S 6＝ S 77＝ 0，所以 d<0.由 S 7>S 8 8<0，所以， S 9－ S 5＝ a 6＋ a 7＋ a 8＋ a 9＝ 2(a 7＋ a 8)<0 即 S 9<S 5.] 7． 2n － 28． 169分析方法一利用前 n 项和公式和二次函数性质．由 S 17＝ S 9，得 25×17＋17×(17－ 1)d ＝ 25×9＋ 9 ×(9－ 1)d ，解得 d ＝－ 2，2 2所以 S n ＝ 25n ＋n2(n －1) ×(－2)＝－ (n － 13)2＋ 169，由二次函数性质可知，当n ＝ 13 时， S n 有最大值 169.方法二先求出 d＝－ 2，由于 a1＝ 25>0，1，a n＝ 25－－，≤ 132由得n＋1＝ 25－ 2n≤0，1a n≥ 12.2所以当 n＝ 13 时， S n有最大值．S13＝ 25×13＋－×(－ 2)＝ 169. 2所以 S n的最大值为169.方法三由 S17＝ S9，得 a10＋a11＋＋a17＝0，而 a10＋ a17＝ a11＋ a16＝a12＋a15＝ a13＋ a14，故 a13＋ a14＝ 0.由方法一知 d＝－ 2<0，又由于 a1>0，所以 a13>0 ，a14<0，故当 n＝ 13 时， S n有最大值．－S13＝ 25×13＋×(－2)＝169.2所以 S n的最大值为169.9． 10分析由已知， a1＋ a2＋a3＝ 15， a n＋ a n－1＋ a n－2＝ 78，两式相加，得(a1＋ a n)＋ (a2＋ a n－1)＋ (a3＋ a n－2)＝ 93，即 a1＋ a n＝ 31.由 S n＝n a1＋a n＝31n＝ 155，得 n＝ 10.2210． 10 或 11由 S9＝ S12，得 d＝－1a1，由a n＝ a1＋ n－ 1 d≤0分析方法一，得10a n＋1＝ a1＋ nd≥01－1n－ 1≥0 10，11－10n≤0解得 10≤n≤11∴.当 n 为 10 或 11 时， S n取最小值，∴该数列前10 项或前 11 项的和最小．方法二由 S9＝S12，得 d＝－1a1，10由 S ＝na ＋－d 2＋1－ d2n1d ＝ 2na 2 n ，得 S ＝ －1221 a 121 2 441 1 ·n ＋1 20n － 2 ＋80 a 1(a 1<0)， n20a20a ·n ＝－ 由二次函数性质可知n ＝21＝ 10.5 时， S 最小．2n但 n ∈N ＋，故 n ＝ 10 或 11 时 S n 获得最小值．11．解 (1) 由 a n ＝a 1 ＋(n － 1)d 及 a 3＝ 5， a 10＝－ 9 得a 1＋ 2d ＝ 5，a 1＝ 9，可解得d ＝－ 2，a 1＋9d ＝－ 9，所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ＝ 11－ 2n.(2)由 (1)知， S n ＝ na 1＋－d ＝ 10n － n 2.2由于 S ＝－ (n － 5)2＋ 25，n所以当 n ＝ 5 时， S n 获得最大值．2a 1＋ 2×1d ＝ 16，12．解由 S 2 ＝ 16， S 4＝ 24，得2 4a 1＋ 4×3 d ＝ 24.22a 1 ＋d ＝ 16， a 1＝ 9，即解得d ＝－ 2.2a 1 ＋3d ＝ 12.所以等差数列 {a n } 的通项公式为 a n ＝ 11－2n (n ∈ N ＋ )．(1)当 n ≤5时， T n ＝|a 1|＋ |a 2|＋ ＋ |a n |＝ a 1＋ a 2＋ ＋ a n ＝S n ＝－ n 2＋ 10n.(2)当 n ≥6时， T n ＝|a 1|＋ |a 2|＋ ＋ |a n |＝ a 1＋ a 2＋ ＋ a 5－a 6－ a 7－ － a n ＝ 2S 5－ S n＝ 2×(－52＋ 10×5)－ (－ n 2＋ 10n)＝n 2－10n ＋ 50，－ n 2＋ 10n，故 T n ＝n 2－ 10n ＋S 1＝13．C [由 a n ＝，解得 a n ＝ 5－ 4n.S n － S n － 1∴ a 1＝ 5－4×1＝ 1，∴ na 1＝ n ，∴ na n ＝ 5n － 4n 2，22∵ na 1－ S n ＝ n － (3n － 2n )＝ 2n － 2n ＝ 2n(n － 1)>0. S n － na n ＝3n － 2n 2－ (5n － 4n 2 )＝ 2n 2 － 2n>0.∴na1>S n >na n.]12a1＋12×11d>0，2a1＋ 11d>0，214．解(1)依据题意，有：13×12整理得：a1＋ 6d<0，13a1＋2d<0，a1＋ 2d＝ 12.a1＋ 2d＝ 12，解之得：－247 <d<－ 3.(2)∵ d<0 ，∴ a1>a2>a3> >a12>a13> ，而 S13＝13 a1＋ a13＝ 13a7<0 ，∴ a7 <0.2又 S12＝12 a1＋ a12＝ 6(a1＋a12)＝ 6(a6＋ a7)>0 ，∴ a6>0.2∴数列 {a n} 的前 6 项和 S6最大．。

2020年高中数学 人教A 版 必修5 同步作业本《等差数列的前n 项和》一、选择题1.在等差数列{a n }中，S 10=120，那么a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．482.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．6633.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．294.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=40，S n =210，S n-4=130，则n=( )A ．12B ．14C ．16D ．185.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3=59，则S 9S 5等于( ) A ．1 B ．-1 C ．2 D.126.若数列{a n }满足：a 1=19，a n ＋1=a n -3(n∈N *), 则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=S 3=12，则{a n }的通项a n =________．8.一个等差数列前12项的和为354，其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32∶27，则公差d=________．9.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-30，S n 是{|a n |}的前n 项和，则S 10=________．10.在等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，则满足S n ＜0的n 的最大值为________．三、解答题11.等差数列{a n}中，a10=30，a20=50.(1)求数列的通项公式；(2)若S n=242，求n.12.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5＋a13=34，S3=9.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式．(2)设数列{b n}的通项公式为b n=a na n＋t，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，b m(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．13.设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n∈N *)均在函数y=3x-2的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =3a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .答案解析1.答案为：B ；解析：由S 10=10（a 1＋a 10）2，得a 1＋a 10=S 105=1205=24.2.答案为：B ；解析：因为a 1=2，d=7，2＋(n-1)×7<100，所以n<15，所以n=14，S 14=14×2＋12×14×13×7=665.3.答案为：B ；解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．所以钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n=n （n ＋1）2. 当n=19时，S 19=190.当n=20时，S 20=210>200.所以n=19时，剩余钢管根数最少，为10根．4.答案为：B ；解析：因为S n -S n-4=a n ＋a n-1＋a n-2＋a n-3=80，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=40，所以4(a 1＋a n )=120，a 1＋a n =30，由S n =n （a 1＋a n ）2=210，得n=14.5.答案为：A ；解析：S 9S 5=92（a 1＋a 9）52（a 1＋a 5）=9×2a 55×2a 3=9a 55a 3=95×59=1.6.答案为：B ；解析：因为a n ＋1-a n =-3，所以数列{a n }是以19为首项，-3为公差的等差数列，所以a n =19＋(n-1)×(-3)=22-3n.设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k＋1≤0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧22－3k≥0，22－3（k ＋1）≤0，所以193≤k ≤223，因为k∈N *，所以k=7.故满足条件的n 的值为7.7.答案为：2n ；解析：设等差数列首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3×22d ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋d ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，所以a n =a 1＋(n-1)d=2n.8.答案为：5；解析：S 12=354，所以S 奇=354×2732＋27=162，S 偶=354×3232＋27=192， 所以S 偶-S 奇=30=6d ，所以d=5.9.答案为：190；解析：a n =2n-30，令a n ＜0，得n ＜15，即在数列{a n }中，前14项均为负数，所以S 10=-(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)=-102(a 1＋a 10)=-5[(-28)＋(-10)]=190.10.答案为：19；解析：因为a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，所以a 11＞-a 10，a 1＋a 20=a 10＋a 11＞0，所以S 20=20（a 1＋a 20）2＞0.又因为a 10＋a 10＜0，所以S 19=19×（a 10＋a 10）2=19a 10＜0， 故满足S n ＜0的n 的最大值为19.11.解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d.则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2. 所以a n =a 1＋(n-1)d=12＋(n-1)×2=10＋2n.(2)由S n =na 1＋n （n －1）2d 以及a 1=12，d=2，S n =242， 得方程242=12n ＋n （n －1）2·2，即n 2＋11n-242=0， 解得n=11或n=-22(舍去)．故n=11.12.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 5＋a 13=34，S 3=9.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＋a 1＋12d ＝34，a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＝9，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋8d ＝17，a 1＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 所以a n =1＋(n-1)×2=2n -1，S n =n×1＋n （n －1）2×2=n 2. (2)由(1)知b n =2n －12n －1＋t ，所以b 1=11＋t ，b 2=33＋t ，b m =2m －12m －1＋t， 若b 1，b 2，b m (m≥3，m ∈N)成等差数列，则2b 2=b 1＋b m ，所以63＋t =11＋t ＋2m －12m －1＋t， 即6(1＋t)(2m-1＋t)=(3＋t)(2m-1＋t)＋(2m-1)·(1＋t)(3＋t)，整理得(m-3)t 2-(m ＋1)t=0，因为t 是正整数，所以(m-3)t-(m ＋1)=0，m=3时显然不成立，所以t=m ＋1m －3=m －3＋4m －3=1＋4m －3， 又因为m≥3，m ∈N ，所以m=4或5或7，当m=4时，t=5；当m=5时，t=3；当m=7时，t=2.所以存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m≥3，m ∈N)成等差数列． 即当t=5时，b 1，b 2，b 4成等差数列；当t=3时，b 1，b 2，b 5成等差数列；当t=2时，b 1，b 2，b 7成等差数列．13.解：(1)依题意，得S n n=3n-2，即S n =3n 2-2n. 当n≥2时，a n =S n -S n-1=(3n 2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5；当n=1时，a 1=1也适合．即a n =6n-5.(2)由(1)得b n =3a n a n ＋1=3（6n －5）[6（n ＋1）－5]=12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1， 故T n =b 1＋b 2＋…＋b n =12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1.。