【教学设计】《指数与指数幂的运算》(人教)

数学：2.1.1《指数与指数幂的运算（2）》教案（新人教A必修1）
2.11 指数与指数幂的运算（2）
教学目的：进一步掌握根式、分数指数幂的运算，掌握幂的运算性质，会进行有理数
范围内的幂的运算。

了解无理数指数幂的意义。

教学重点：根据分数指数幂的运算性质进行幂的运算。

教学难点：无理数指数幂的逼近值的理解。

教学过程
一、复习提问
1、n为奇数时，＝？
n为偶数时，＝？
2、＝？＝？（a＞0，m，n∈N＋，且n＞1）
二、新课
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s
有：（1）＝（a＞0，r，s∈Q）
（2）＝（a＞0，r，s∈Q）
（3）＝（a＞0，b＞0，r∈Q）
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a＞0）
解：＝＝＝
＝＝
＝＝
例4、计算下列各式（式子中字母都是正数）：
解：（1）（2）（－6）÷（－3）
＝［2×（－6）÷（－3）］
＝4a
（2）（＝（
例5、计算下列各式：
（1）＝＝－5
（2）（a＞0）＝＝
无理数指幂
中指数是无理数，近似值看表（P62）
当的过剩近似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近。

当的不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近。

变化规律可以用数轴来直观表示。

一般地，无理数指数幂an（a＞0，a是无理数）是一个确定的数，有理数指数幂
的运算性质同样适用于无理数指数幂。

练习：P63 3、4
作业：P69 2、3、4。

最新人教版高中数学必修1第二章《指数与指数幂的运算》教案42.1 指数函数在初中的学习中，学生已经掌握了整数指数幂的概念及其运算性质.本节内容在组织学生回顾平方根、立方根的基础上，类比出一个正数的n 次方根定义，进而将指数推广到分数指数，从而完成了指数由整数指数到有理数指数的一次推广，在利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，完成了指数由有理数指数到实数指数的二次推广，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂，使学生对指数幂的概念以及运算性质有了一个比较完整的认识，同时也为研究指数函数作好了知识上的准备.根式的概念是教学中的难点，教材中通过复习平方根、立方根的定义，然后类比出n 次方根的定义.为了更好地分解这一难点，教学中应放慢速度，多举几个具体的例子，帮助学生理解，并在此基础上类比出n 次方根的一般定义与性质.方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广，教学时，可以以平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明，加深对这一性质的理解.分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是教学中的又一个难点.教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义，明确分数指数幂表示的是根式的一种新的写法，并通过根式和分数指数幂的互化来巩固、加深对这一概念的理解.由于学过负整数次幂，正分数次幂引入后，学生不难理解负分数次幂的意义，因此，教学中可以放手让学生自己得出.在掌握了有理数指数幂的基础上，利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，从而直观形象地给出了有理数指数幂的运算性质也可以推广到无理数.有了把指数范围扩充到实数范围内的知识上的准备，又有前面所学的对函数概念和性质的系统学习，顺理成章地引出了指数函数概念、怎样作出指数函数图象、怎样研究指数函数的性质以及与其他函数结合的研究.教材是通过死亡后生物体内碳14含量与死亡年数的关系这样一个实际问题引入指数函数的，既说明指数函数的概念来自实践，认识到指数函数对实际生活的意义，也便于学生接受.但在教学中，学生往往容易忽略定义域，因此，在进行指数函数定义的教学时，既要明确其定义域，又要让学生去探索成立的条件，明确底数a 是一个大于零且不等于1的常数，这样既培养了学生掌握概念的能力，又锻炼了学生分析问题和处理问题的能力.在理解指数函数的定义的基础上掌握指数函数的图象和性质，是本节教学的重点，而理解底数a 的值对于函数值变化的影响（即对指数函数单调性的影响）是教学的一个难点.教学时为了帮助学生理解，可以充分利用图象.教学时可以先要学生在同一坐标系内画出函数y =2x 和y =（21）x 的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析、归纳总结指数函数的性质.有条件的学校也可以利用《几何画板》等数学软件，定义变量a 作出函数y =a x 的图象，进而改变a 的值，使学生在动态变化的过程中理解指数函数的性质，认识规定底数a 是一个大于零且不等于1的常数的原因.2.1.1 指数与指数幂的运算（1）从容说课指数是学习指数函数的预备知识，初中学生已经学习了整数指数幂的概念及运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂；为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，以及无理数指数幂的概念；为了学习分数指数幂的概念.首先要介绍根式的概念，本课主要学习根式的概念以及n次方根的性质.学生已经学习了数的平方根、立方根，根式的内容是这些内容的推广.因此，在引入根式的概念时要结合这些已学内容，列举多个具体例子以便学生理解.根式n a的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况中，都要分a＞0，a=0，a＜0三种情况介绍，并结合具体例子讲解，其中要强调n a（a＞0，n是偶数）表示一个正数，抓住这一点，理解n次方根的性质就容易了.当n是偶数时，n n a=|a|（因为n n a总是一个非负数），这是本课的一个难点，讲解时可先复习2a=|a|这一性质，并结合具体例子加以讲解，有助于学生理解n n a=|a|这一性质.三维目标一、知识与技能理解根式的概念，掌握n次方根的性质.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习.2.引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性，做一个具备严谨科学态度的人.3.通过探究、思考，培养学生思维迁移能力和主动参与的能力.三、情感态度与价值观1.新知识的发现是因为面临的问题以原有的知识得不到解决所引发出来的思考，通过学习根式的概念，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.2.在教学过程中，通过学生的自主探索，来加深理解n次方根的性质，具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面.教学重点1.根式的概念.2.n次方根的性质.教学难点1.根式概念的理解.2.n次方根性质的理解.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、创设情景，引入新课师：你们知道考古学家是怎样来判断生物的发展与进化的吗？生：对生物体化石的研究.师：那么他们是怎样来判断该生物体所处的年代的?你们知道吗?（众生摇头）师：考古学家是按照这样一个规律来推测的.问题：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，…年后，它体内碳14的含量P 分别为原来的多少? 生：21，（21）2，（21）3，…. 师：当生物体死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?生：（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000.师：由以上的实例来推断关系式应该是什么?生：P =（21）5830t . 师：考古学家根据上式可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值.那么这些数（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000的意义究竟是什么呢？它和我们初中所学的指数有什么区别?生：这里的指数是分数的形式.师：指数可以取分数吗?除了分数还可以取其他的数吗?我们对于数的认识规律是怎样的?生：自然数——整数——分数（有理数）——实数.师：指数能否取分数（有理数）、无理数呢？如果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后，关系式P =（21）5830t就会成为我们后面将要相继研究的一类基本初等函数——“指数函数”的一个具体模型.为了能水到渠成地研究指数函数，我们有必要认识一下指数概念的扩充和完善过程，这就是我们下面三节课将要研究的内容：分数指数幂（有理数指数幂）、无理数指数幂.（引入课题，书写课题——指数与指数幂的运算）二、讲解新课（一）探求n 次方根的概念师：32=9，那么，在这个等式中3对于9来说，扮演着什么角色？9对于3来说又扮演着什么角色呢?生：9叫做3的平方数，3叫做9的平方根.师：若53=125，那么125对于5来说，扮演着什么角色？5对于125来说又扮演着什么角色呢?生：125是5的立方数，5是125的立方根.师：如果x 2=a ，那么x 对于a 来说扮演着什么角色？生：x 是a 的平方根.师：能否用一句话描述你的结论？生：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根.师：如果x3=a，那么x对于a来说又扮演着什么角色？生：x是a的立方根.师：能换一种说法表述你的结论吗？生：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.师：如果x4=a，x5=a，又有什么样的结论呢？生：如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根；如果一个数的五次方等于a，那么这个数叫做a的五次方根.师：①如果x2=a，那么x叫做a的平方根；②如果x3=a，那么x叫做a的立方根；③如果x4=a，那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论？生：一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根.师：上述结论中的n的取值有没有什么限制呢？（生探索，完善n次方根的定义，并强调n的取值范围，师板书如下定义）一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根（n—th root），其中n＞1，且n∈N*.（二）概念理解课堂训练：试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.（多媒体显示，生完成）（1）25的平方根是________；（2）27的三次方根是________；（3）－32的五次方根是________；（4）16的四次方根是________；（5）a6的三次方根是________；（6）0的七次方根是________.（师组织学生紧扣n次方根的定义，完成以上各题）方法引导：在n次方根的概念中，关键的是数a的n次方根x满足x n=a，因此求一个数a的n次方根，就是求出哪个数的n次方等于a.（三）n次方根的性质合作探究：观察并分析以上各数的方根，你能发现什么？（学生交流，师及时捕捉与如下结论有关的信息，并简单板书）1.以上各数的对应方根都是有理数；2.第（1）、第（4）的答案有两个，第（2）、第（3）、第（5）、第（6）的答案只有一个；3.第（1）题的答案中的两个值互为相反数.师：请仔细分析以上各题，你能否得到一个一般性的结论？（提供一个比较发散的问题，给学生提供广阔的思维空间，培养学生理性思维能力和数学的分析问题、解决问题的能力）生甲：一个数的奇次方根只有一个.生乙：一个数的偶次方根有两个，且互为相反数.师：是否任何一个数都有偶次方根？0的n次方根如何规定更合理？生：因为任何一个数的偶次方都是非负数，所以负数没有偶次方根，0的n次实数方根等于0.师：你能否把你所得到的结论再叙述的具体一些呢？（组织学生交流，得出以下结论）n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此跟立方根和平方根的情况一样，方根也有如下性质：（1）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.这时，a 的n 次方根用符号n a 表示.（2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成±n a （a ＞0）.注：①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作n 0=0；③当a ≥0时，n a ≥0，所以类似416=±2的写法是错误的.（四）根式的概念式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 例如56叫做根式，其中5叫做根指数，6叫做被开方数.（五）n 次方根的运算性质求下列各式的值：（1）（5）2；（2）33)2(-；（3）44)2(-；（4）2)3(a -（a ＞3）.（生板演，师组织学生评析）解：（1）（5）2=5；（2）33)2(-=－2；（3）44)2(-=|－2|=2；（4）2)3(a -= |3－a |=a －3.师：上面的例题中涉及了哪几类问题? 生：主要涉及了（n a ）n 与n n a 的问题.合作探究：（1）（n a ）n 的含义是什么？其化简结果是什么呢？（2）n n a 的含义是什么？其化简结果是什么呢？（组织学生结合例题及其解答，进行分析讨论、归纳出以下结论）（1）（n a ）n =a .例如，（327）3=27，（532-）5=－32.（2）当n 是奇数时，n n a =a ；当n 是偶数时，n n a =|a |=<-≥.0,,0,a a a a 例如，33)2(-=－2，552=2；443=3，2)3(-=|－3|=3.（六）例题讲解（生板演，师组织学生进行课堂评价）【例1】求下列各式的值：（1）（38-）3；（2）2)10(-；（3）44)π3(-；（4）2)(b a -（a ＞b ）.解：（1）（38-）3=－8；（2）2)10(-=10；（3）44)π3(-=π－3；（4）2)(b a -=|a －b |=a －b .【例2】化简下列各式：（1）681；（2）62)2(-；（3）1532-；（4）48x ；（5）642b a .解：（1）681=643=323=39；（2）62)2(-=622=32；（3）1532-=－1552=－32；（4）48x =442)(x =x 2；（5）642b a =622)|(|b a ?=32||b a ?.三、课堂练习1.若x ∈R ，y ∈R ，下列各式中正确的是A.44)(y x +=x +yB.33x －44y =x －yC.2)3(+x +2)3(-x =2xD.3-x +x -3=02.12--x x =12--x x 成立的条件是 A.12--x x ≥0 B.x ≠1 C.x ＜1 D.x ≥23.在①42)4(n -；②412)4(+-n ；③54a ；④45a （各式中n ∈N ，a ∈R ）中，有意义的是A.①②B.①③C.①②③④D.①③④4.当8＜x ＜10时，2)8(-x －2)10(-x =________.参考答案：1.D2.D3.B4.2x －18四、课堂小结师：请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.（生互相交流，而后由师多媒体显示如下内容）1.若x n =a （n ＞1，n ∈N *），则x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时，实数a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的n 次方根用符号±n a 表示，负数的偶次方根无意义.式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数.正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义；0的任何次方根都是0.3.（1）（n a ）n =a .（2）当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a |=<-≥.0,,0,a a a a五、布置作业（一）复习课本第57～58页内容，熟悉巩固有关概念和性质；（二）书面作业：课本P 69习题2.1A 组第1题.板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（1）一、基本概念和性质1.n 次方根的定义2.n 次方根的性质3.根式的定义4.n 次方根的运算性质二、例题解析即学生训练板演例1.求下列各式的值例2.化简下列各式目标检测评析布置作业。

《指数与指数幂的运算》教案1
教学目标：
1. 理解根式的概念；运用根式的性质进行简单的化简、求值;
2. 掌握由特殊到一般的归纳方法，培养学生观察、分析、抽象等认知能力.通过与初中所学的知识进行类比，理解根式的概念，培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；
3. 通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生体验数学的简洁美和统一美.
教学重点难点：
1．重点：根式的概念 .
2．难点：根式的概念的理解.
教法与学法：
1．教法选择：讲授法、类比分析法.
2．学法指导：讨论法、发现法.
教学过程：
【设置情境，激发探索】
【作法总结，变式演练】
【思维拓展，课堂交流】
【归纳小结，课堂延展】
教学设计说明
1．教材地位分析：学生在初中已学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则.现是在此基础上，将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，将整数指数幂扩充到有理指数幂，进一步将指数的取值范围扩充到实数.“根式”是“指数与指数幂的运算”第一课时，主要学习根式的概念和性质.根式是后面学习所必备的.
2．学生现实分析：学生在初中已经学习了二次、三次方根的概念和性质，根式的内容是这些内容的推广，方根和根式的概念和性质难以理解.所以要结合已学内容，列举具体实例，设计大量的类比和练习题目加以理解.。

2．1．1指数与指数幂的运算(第二课时)（胡文娟）一、教学目标 （一）核心素养通过指数运算符号的使用与运算法则的总结，培育学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，为指数函数学习打下坚实基础． （二）学习目标1．理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 2．运用有理数指数幂运算性质进行计算． （三）学习重点1．有理数指数幂的运算性质． 2．运用有理数指数幂的性质进行计算． （四）学习难点有理数指数幂的运算性质及其应用 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）求下列各式的值：①0232)2017(2)8(--⋅--；②21)62581(-详解：①原式014164121)8(3232=-⋅=-⋅-=； ②原式925)53()53(2214==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--．（2）计算下列各式．①=⋅2222 ，=⋅212122 ； ②=22)2( ，=221)2( ； ③=⨯2)32( ，=⨯21)32( ；观察上面的计算结果，你能得出什么结论？ 结论： ． 详解： ①16222242222===⋅+，222221212121==⋅+；②1622)2(42222===⨯，22)2(221221==⨯；③3632)32(222=⨯=⨯，632)32(212121=⨯=⨯．结论：整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也适用．2．预习自测（1）对于0>a ，Q ,∈s r ，以下运算中正确的是（ ） A ．rs s r a a a =⋅B ．s r s r a a +=)(C ．r r r b a ba-=)(D ．s r s r ab b a +=)(【知识点】有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】s r s r a a a +=⋅，A 选项错；rs s r a a =)(，B 选项错；由有理数指数幂的运算性质得D 选项不成立．【思路点拨】正确识记并掌握有理数指数幂的运算性质． 【答案】C ．（2）下列各式正确的是（ ） A ．y x y x 3223=B ．)0()(2<=-x x xC ．x x x =⋅52D ．35332x x x =⋅【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】32x y = A (0)x x =-< B 59x == D 错．【思路点拨】根据根式与分数指数幂的互化进行判断． 【答案】C ．（3）将33611xx x ⋅(0>x )化简，结果正确的是（ ）A ．xB ．611x C ．6xD ．1【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】103123611312361133611===⋅=⋅--x xxx xxx x【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系以及有理数指数幂的运算性质进行化简． 【答案】D ． （4）计算2231224-+⋅的结果是（ ）A ．16B ．32C ．64D ．128【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简求值． 【数学思想】 【解题过程】322224522322222312===⋅-++-+．【思路点拨】运用有理数指数幂的运算性质，同底数的幂相乘底数不变指数相加． 【答案】B ． (二)课堂设计 1．知识回顾正整数指数幂的运算性质：*0,,r s r sa a a a r s +=>∈N （） *0,,r s rs a a a r s =>∈N （）（） *0,0,r r r ab a b a b r =>>∈N （）（）2．问题探究探究一 有理数指数幂的含义及其运算性质★ ●活动① 有理数指数幂的含义前面我们学习了正数的正指数幂的意义，规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm 也规定了正数的负指数幂的意义：1*()0,,,1)m m nnaa a m n N n --==>∈>在规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 【设计意图】通过回顾已学知识归纳总结，加深学生对有理数指数幂的理解． ●活动② 有理数指数幂的运算性质回顾整数指数幂的运算性质，在规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否仍然适用呢？（学生讨论给出结论）答案是肯定的，整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r ，s ，均有下面的运算性质：0,,Q r s r sa a a a r s +=>∈（） 0,,Q r s rs a a a r s =>∈（）（） 0,0,Q r r r ab a b a b r =>>∈（）（）【设计意图】通过学生自己思考得出整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用的结论，为后面运用有理数指数幂的运算性质进行化简计算做铺垫． ●活动③ 有理数指数幂的化简求值阅读教材51页至52页，从书中的例子中，我们可以总结得出有理数指数幂的化简求值的一般步骤有：第一步找同底数幂，调换位置时注意做到不重不漏；第二步合并同类项，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，同底数的幂相除则底数不变指数相减；第三步同底数幂相加减，能合并的就合并，不能合并就按照升幂或降幂排列．【设计意图】强调学生在进行有理数指数幂的化简求值时要注意正确步骤，更容易得出正确结果．探究二 运用有理数指数幂运算性质进行计算★▲ ●活动① 巩固基础，检查反馈例1 如果a >0，b >0，m ，n 都是有理数，下列各式错误的是（ ） A ．mn n m a a =)（ B ．n m n m a a a --=C ．n n n b a ba-⋅=)( D ．n m n m a a a +=+【知识点】有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】D 选项不成立．【思路点拨】正确识记并掌握有理数指数幂的运算性质． 【答案】D ．同类训练 对任意实数a ，下列关系式不正确的是（ ）． A ．a a =2132)( B ．313221)(a a = C ．513153)(a a =-- D ．515331)(a a =【知识点】有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】A 选项中312132)(a a =．【思路点拨】正确识记并掌握有理数指数幂的运算性质． 【答案】A ．例2 若210x ＝25，则10x -等于（ ）A ．－51B ．51C ．501 D ．6251 【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】【解题过程】221025(10)25105x x x =∴=∴=Q ，，或510-=x （舍去），5110110==∴-x x ． 【思路点拨】利用有理数指数幂的运算法则进行化简． 【答案】B ．同类训练 已知31=+aa ，则2121-+a a 等于（）A ．2B ．5C ．5-D ．5±【知识点】有理数指数幂的化简求值．【数学思想】【解题过程】52122121=++=+-aa a a ）（． 【思路点拨】利用有理数指数幂的运算法则进行化简． 【答案】B ．●活动② 强化提升、灵活应用例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（a >0）： （1）a a ⋅3（2）322a a ⋅ （3）3a a【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】（1）272133a a a a a =⋅=⋅（2）38322322a a a a a =⋅=⋅（3）3221313a a a a a =⋅=⋅）（ 【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系． 【答案】（1）27a ，（2）38a ，（3）32a ． 同类训练 用分数指数幂表示下列各式．（1）)0(4>a a a ； （2）)0()(542≥++⋅+n m n m n m ）（；（3）3x x )0(≥x ． 【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质及其化简求值． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）272144a a a aa =⋅=- （2）32542542)()()(）（）（n m n m n m n m n m +=+⋅+=+⋅+（3）2131213)(x x x x x =⋅=【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】（1）27a ，（2）3）（n m +，（3）21x ． 例4 求值25.04245.0081)2()4(5.7])43[(+-+⨯--【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式5316151)3(2)4(21514144241=++-=+-+⨯-=）（【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化和有理数指数幂的运算性质进行化简求值． 【答案】5．同类训练 计算：5.02120)01.0()416(2)532(-⋅+--【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简． 【数学思想】【解题过程】111020.52222311251(2)2(6)(0.01)1()()5424100---+⋅-=+⋅-1211111145101010=+⋅-=+-=．【思路点拨】根据有理数指数幂的运算性质直接进行计算． 【答案】1．【设计意图】加强学生对有理数指数幂的运算性质的应用的掌握． ●活动③ 强化提升、灵活应用 例5 化简：)00()65)(41(561312112132>>-----y x y x y x yx ，．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】原式61313221326121311213224242455y yx y x yx y x ===---+--【思路点拨】熟练运用有理数指数幂的化简性质进行计算． 【答案】6124y ． 同类训练 化简：)00()(3131421413223>>⋅-b a ba b a ab b a ，【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式b aab ba ba ab b a b a ===⋅⋅=---++-+-13123113116123313122132213123)()(【思路点拨】熟练运用有理数指数幂的化简性质进行计算．【答案】ba．例6 先化简，再求值1111111111()(244) 2.11x x x x x x x ---------+---=+-，其中【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】原式)1)(1()442(4)442()1)(1()1()1(11111111111112121-+---=---++--=---------------x x x x x x x x x x x xxx x x x x x x x x +-=+-=-+-=-+++-=---------1111)1)(1()1()1)(1(121111211121，当2=x 时，原式31-=． 【思路点拨】通过有理数指数幂的运算性质以及平方差公式和完全平方公式将原式化简，再求值即可．【答案】31-．同类训练 已知8=x ，求111113131313132--++++++-x xx x x x x x 的值．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简． 【数学思想】【解题过程】∵8=x ，∴231=x ，原式101228121812418=--++++++-=．【思路点拨】根据有理数指数幂的运算性质直接带值进行计算． 【答案】10．【设计意图】加强学生对有理数指数幂的运算性质的应用的掌握． 3．课堂总结 知识梳理（1）一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．（2）分数指数幂是一个数的指数为分数,正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式． 重难点归纳（1）运用有理数幂运算性质进行化简，求值，要掌握解题技巧，注意同底数的幂的运算法则．（2）在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．（3）对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则． （三）课后作业 基础型 自主突破1．=⋅2255）（）（（ ）． A ．5 B ．5 C ．25 D ．25 【知识点】有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】222222255555=⋅=⋅）（）（．【思路点拨】直接根据有理数指数幂的运算性质计算． 【答案】C ．2．⋅3a 6a -等于（ ）A ．－a －B ．－aC ．a －D ．a【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化． 【数学思想】分类讨论思想【解题过程】⋅3a 6a -＝－⋅31)(a －61)(a －＝－21)(a －＝－a －．【思路点拨】掌握根式的化简运算以及根式与分数指数幂之间的互化关系． 【答案】A ．3．以下各式的化简错误的是（ ） A ．11513152=-aa aB ．()643296b a b a ---=C ．y y x y x y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--322132413141D ．ac cb a cb a 532515433121433121-=---【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简求值． 【数学思想】【解题过程】由有理数指数幂的运算性质可知，A ，B ，C 均正确． 【思路点拨】正确运用有理数指数幂的运算性质． 【答案】D ．4．已知2-x ＋2x ＝22且x ＞1，则2x －2-x 的值为（ ） A ．2或－2B ．－2C ．6D ．2【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】【解题过程】2x －2-x ＝（x ＋1-x ）（x －1-x ）＝21)(－＋x x 21)(－－x x ＝⋅222－＋＋x x =222－＋－x x ⋅222＋222－＝2． 【思路点拨】运用有理数指数幂的运算性质． 【答案】D ．5．若210=m，310=n，则2310nm -＝___________．【知识点】幂的运算性质，有理数指数幂的化简． 【数学思想】【解题过程】2310n m -＝n m n m －＝10·101033-＝36231·2101·)10(33＝＝n m ．【思路点拨】运用幂的运算性质． 【答案】362． 6．计算下列各式 （1）4325)12525(÷- （2）)0(322>⋅a aa a【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质与化简求值． 【数学思想】【解题过程】（1）555555525)12525(66121233243-=-=⨯-=÷--）（．（2）6532212322a aa a aa a =⋅=⋅【思路点拨】运用根式的化简法则和有理数指数幂的运算性质． 【答案】（1）556-，（2）65a ． 能力型 师生共研7．已知23--+=b a x , 求46322--+-a x a x 的值． 【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简求值． 【数学思想】转化与化归思想【解题过程】4234632)(2----=+-a x a x a x ,因为23--+=b a x ，所以bb a x 1)(1423==---．【思路点拨】运用分数指数幂进行根式计算．【答案】b 1．8． 化简：=⋅÷--3353225a a a a____________．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简．【数学思想】 【解题过程】673221313531653353225a aa a aaa a aaa=÷=⋅÷⋅=⋅÷-----．【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算． 【答案】67a 探究型 多维突破 9．化简：)21)(21)(21)(21(214181161----++++【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】原式1612141818116121418116116121)21)(21)(21)(21(21)21)(21)(21)(21)(21(------------+++-=-++++-=11611612121161214141)21(2121)21)(21(21)21)(21)(21(----------=-+-=-++-=【思路点拨】分子分母同时乘以16121--．【答案】1161)21(21---．10．已知)00)((21>>+=b a a b b a x ，，求11222---x x x b ．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简运算． 【数学思想】分类讨论思想． 【解题过程】因为)00)((21>>+=b a abb a x ，，所以222)(411)(411a b b a a b b a x -=-+=-，①当0>≥b a 时，)(2112abb a x -=- b a x x =-+12，b a x x x b x x x b -=-+-=---∴)1(121122222；②当b a <<0时，)(2112b a a b x -=-，a b x x =-+12，)1(121122222-+-=---x x x b x x x b aab b -=2 【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化和有理数指数幂的运算性质进行化简求值．【答案】当0>≥b a 时，b a x x x b -=---∴11222；当b a <<0时，11222---x x x b a ab b -=2． 自助餐1．化简()43325⎥⎦⎤⎢⎣⎡-的结果为（ ）A ．5B ．5C ．5-D ．-5【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】()55552143324332===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-）（．【思路点拨】根据根式与分数指数幂的互化以及有理数指数幂的运算性质直接进行计算． 【答案】B ．2．若522=+-x x ，则=+-x x 44（ ） A ．29B ．27C ．25D ．23【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】【解题过程】2344,25244222=+∴=++=+---x x x x x x ）（．【思路点拨】根据有理数指数幂的运算性质直接进行计算． 【答案】D ．3．已知0>a ，则=a aa2121__________．【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】 【解题过程】a a a a a a a aa=⋅=⋅⋅=212121212121212121)()(．【思路点拨】当n 为偶数时，n n a ＝a ．．4．已知9,12==+xy y x ，且y x <，求21212121yx y x +-的值是_______________．【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】【解题过程】9212)(02212121212121--=--=-<-∴<y x y x y x y x ，， 6-=，同理239212)(02212121212121=+=+=+>+y x y x y x ，，故3321212121-=+-yx y x ． 【思路点拨】运用有理数指数幂的运算性质． 【答案】33-． 5．已知0>x ．（1）化简⨯53xx ⨯35xx 35xx ； （2）若4=x ，求342x x ⋅的值．【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质及其化简求值． 【数学思想】 【解题过程】（1）⨯53xx ⨯35xx =⨯⨯=⨯⨯10151101301151101301===⋅⋅=-+---x xxx x．（2）4331493493412342)(xx xxxx x===⋅=⋅，当4=x 时，22644444343===【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化进行化简运算． 【答案】（1）1；（2）．6．计算下列各式（式中字母都是正数） （1）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷- （2）mn n m ⋅-88341)(【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）a b a b a b a b a b a 4)3(12)3()6)(2(65616567656131212132=-÷-=-÷-）（ （2）252521213288341)(---=⋅=⋅n m n m n m mn n m 【思路点拨】正确运用有理数指数幂的运算法则． 【答案】（1）4a ；（2）2525-n m ．。

2.1.1 指数与指数幂的运算（二）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.3．情感、态度与价值观（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂概念的理解（三）教学方法发现教学法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程1(0)n na a a -=≠;()mnm nm n mna a a a a+⋅==(),()n m mn n n na a ab a b ==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.复习引入观察以下式子，并总结出规律：a ＞0① 1051025255()aa a a ===② 884242()a a a a ===③1212343444()aa a a ===④5105102525()aa a a===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：2323(0)a a a ==>12(0)b b b ==>5544(0)c c c ==>即：*(0,,1)m nmna a a n N n =>∈>老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义.数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.形成概念为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导．让学生经历从“特殊一备选例题例1计算 （1）.)01.0(41225325.0212-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--（1）5.1213241)91()6449()27()0001.0(---+-+； 【解析】（1）原式1122141149100⎛⎫⎛⎫=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111.61015=+-=（2）原式=232212323414])21[(])87[()3()1.0(---+-+ =3121)31()87(31.0---+-+=73142778910=+-+.【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.例2 化简下列各式： （1）313315383327----÷÷a a a a a a ；（2）33323323134)21(248a ab a abb ba a ⨯-÷++-. 【解析】 （1）原式=321233153832327----÷÷a aa aa a=323732-÷÷a a a=312213732)()(-÷÷a a a=326732326732---÷=÷÷aa aa a=613221a a =+-；（2）原式=313131313231313231224)8(a a b a a b a b b a a ⨯⋅-÷++-3131313132313132323131323131312424)42)(2(a b a a b a b b b a a b a a ⋅-⋅++++-=a a a a =⋅⋅=313131.【小结】（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解. 如8)2(])2[()2(2162166==-=-.（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.。

指数与指数幂的运算教案一、教学目标：知识与技能目标：1. 理解指数与指数幂的概念。

2. 掌握指数幂的运算性质和运算法则。

3. 能够运用指数幂的运算性质解决实际问题。

过程与方法目标：1. 通过观察、分析和归纳，培养学生发现和提出问题的能力。

2. 利用同底数幂的乘法、除法、乘方和积的乘方等运算法则，提高学生的逻辑思维能力。

情感态度与价值观目标：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。

2. 培养学生勇于探索、合作的科学精神。

二、教学重点与难点：重点：1. 指数与指数幂的概念。

2. 指数幂的运算性质和运算法则。

难点：1. 理解指数幂的运算性质和运算法则。

2. 运用指数幂的运算性质解决实际问题。

三、教学准备：教师准备：1. 指数与指数幂的相关教学素材。

2. 教学课件或板书设计。

学生准备：1. 预习指数与指数幂的相关知识。

2. 准备好笔记本，用于记录重点知识和练习。

四、教学过程：1. 导入：教师通过引入日常生活中的实际问题，如“银行的复利计算”，引导学生思考指数与指数幂的概念。

2. 新课讲解：教师讲解指数与指数幂的概念，通过示例和图示，帮助学生理解指数幂的运算性质和运算法则。

3. 课堂练习：教师给出一些指数幂的运算题目，要求学生独立完成，并及时给予指导和反馈。

4. 应用拓展：教师提出一些实际问题，引导学生运用指数幂的运算性质解决，培养学生的应用能力。

五、课后作业：教师布置一些有关指数与指数幂的练习题目，要求学生在课后完成，巩固所学知识。

教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，了解学生的学习情况，针对存在的问题，调整教学方法和策略，以提高教学效果。

六、教学评估1. 课堂提问：教师通过提问了解学生对指数与指数幂概念的理解程度，以及学生对指数幂运算性质和运算法则的掌握情况。

2. 课堂练习：教师观察学生在练习过程中的表现，评估学生对指数幂运算的熟练程度。

3. 课后作业：教师批改课后作业，了解学生对课堂所学知识的掌握情况，发现问题及时给予反馈。

2.1.1 指数与指数幂的运算（一）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解n次方根与根式的概念；（2）正确运用根式运算性质化简、求值；（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.2．过程与方法通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质.3．情感、态度与价值观（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（2）培养学生认识、接受新事物的能力.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）根式概念的理解；（2）掌握并运用根式的运算性质.2．教学难点：根式概念的理解.（三）教学方法本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.（四）教学过程备选例题例1 计算下列各式的值. （1）33)(a；（2 （1n >，且n N*∈） （3）1n >，且n N *∈） 【解析】（1）a a =33)(.（2）当n =3π-； 当n =3π-. （3）||x y -， 当x y ≥时，x y -； 当x y <时，y x -. 【小结】（1）当n 为奇数时，a a nn =； 当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn（2）不注意n 的奇偶性对式子nn a 值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.例2 求值：【分析】需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；==+--=||2|2=2(2=【小结】开方后带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值.。

2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（第一课时）（胡文娟）一、教学目标 （一）核心素养通过指数运算符号的使用与运算法则的总结，培育学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，为指数函数学习打下坚实基础． （二）学习目标1．理解根式的概念并掌握运用根式的性质进行化简． 2．理解分数指数幂的概念．3．掌握根式与分数指数幂之间的互化． （三）学习重点1．根式与分数指数幂概念的理解． 2．分数指数幂的运算性质． （四）学习难点根式与分数指数幂的互化． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第49页至第51页，填空：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1>n ，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数． 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数． 式子n a 叫做根式．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）计算下列各式①364-；②44)6(1-；③)0,0(55≥≥+b a b a ）（ 观察上面的计算结果，你得到的结论是： （用字母表达）．详解： ①44)4()4(6433-=-⨯-⨯-=-）（； ②61)6(1)6(1)6(1)6(161)6(144444=-⨯-⨯-⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-； ③()()()()()b a b a b a b a b a b a b a +=+⋅+⋅+⋅+⋅+=+555）（ 结论：n 为奇数，R a a a n n ∈=，；n 为偶数，⎩⎨⎧<-≥=0,0a a a a a n n ，．2．预习自测（1）若x 表示实数，则下列说法正确的是（ ）A ．x 一定是根式B ．x -一定不是根式C ．56x 一定是根式D ．3x -只有当0≥x 才是根式【知识点】根式的定义． 【数学思想】【解题过程】根据根式定义可得C 正确． 【思路点拨】根据根式的定义直接判断．【答案】C ．（2）=-552）（（ ） A ．4 B ．2 C ．4- D ．2-【知识点】根式的化简． 【数学思想】【解题过程】()()()()()2222222555-=-⋅-⋅-⋅-⋅-=-）（． 【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算．【答案】D ．（3）将235写为根式，则正确的是（ ）A ．325B ．35 C ．523 D ．35【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】32355=【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系． 【答案】D ．（4）将536写为分数指数幂的形式，则正确的是（ ） A ．356 B ．536 C ．156D ．26【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】 【解题过程】535366=【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系． 【答案】B ．(二)课堂设计 1．知识回顾 （1）平方根一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（square root ）或二次方根． （2）立方根一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（cube root ）或三次方根．（3）正数有两个平方根，他们互为相反数，其中正的平方根称为算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根． 任何一个数都有唯一一个立方根，并且这个立方根的符号与原数相同． 2.问题探究探究一 根式的概念与根式的化简 ●活动① 回顾理解方根与根式的概念在初中，我们学习过二次方根概念:一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（square root ）或二次方根．其中，a 叫做被开方数．当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根．我们也学习过三次方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（cube root ）或三次方根．提问：如果一个数的4次方等于a ，那么这时候这个数叫做什么呢？ 这个数叫做a 的四次方根．追问：如果一个数的n 次方等于a ，那么这时候这个数又叫做什么呢？（抢答）一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．【设计意图】通过回顾已学知识，从特殊到一般，让学生自己总结归纳，加深学生对根式的理解． ●活动② 根式的性质*,1)n n ∈N >表示n a 的n 次方根，等式a a n n =一定成立吗？如果不一定成立，那么n n a 等于什么？（分小组讨论）若00a ==n 为奇数时，a a n n =n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n也就是说，当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数；当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数． 追问：a a n n =)(一定成立吗？很明显，当根式有意义的情况下a a n n =)(一定成立．综上，根式的性质有：00)1(=n ，a a n n =))(2(，a a n n =)3(（n 为大于1的奇数），⎩⎨⎧<-≥==)0()0()4(a a a a a a n n （n 为大于1的偶数）．【设计意图】通过学生自主讨论探究归纳总结，得出根式的化简方法，加深印象． 探究二 分数指数幂的概念★ ●活动① 探究分数指数幂的概念当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP =，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值． 例如：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P分别为21，2)21(，3)21(，……当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(．问题：以上三个数的含义到底是什么呢？考古学家正式利用有理数指数幂的知识，计算出生物死亡6000年，10000年，100000年后体内碳14含量P 的值．例如，当t =6000时，600057301()0.4842p ==≈（精确到0.001），即生物死亡6000年后，其体内碳14的含量约为原来的48.4%．归纳：分数指数幂是一个数的指数为分数．【设计意图】从生活中的实际例子到数学语言，从特殊到一般，体会概念的提炼，抽象过程．探究三 根式与分数指数幂的互化 ●活动① 根式与分数指数幂的互化5102552510)(a a a a ===，4123443412)(a a a a ===问题：（1）从上两个例子你能发现什么结论？结论：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成根指数被开方数的指数a 的形式（2））（0,,4532>c c b a 如何表示？3232a a =，21b b =，4545c c =规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm你能得出正数的负分数指数幂的根式表示形式吗？1*()0,,,1)m m nnaa a m n N n --==>∈>正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式． 思考：负数的分数指数幂呢能不能用根式表示？不能，例如问题（2）中45c ，若c 为负数，则在实数范围内是不存在的． 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．【设计意图】从给出的例子让学生总结出正数的负分数指数幂，检查反馈学生对正数的分数指数幂概念的理解，加深对正数的分数指数幂的认识． ●活动② 巩固基础，检查反馈例1 化简327-的值是（ ）． A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．-9 【知识点】根式的化简求值． 【数学思想】【解题过程】3327333-=-=-）（． 【思路点拨】根据根式的运算法则直接进行计算． 【答案】B ．同类训练552)()(b a b a -+-的值是（ ）． A ．0 B ．)(2b a - C ．0或)(2b a - D ．b a - 【知识点】根式的化简求值．【数学思想】分类讨论思想 【解题过程】【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算．【答案】C ．【设计意图】检查反馈学生对根式的定义以及根式的性质的理解，进一步掌握根式的化简．例2 当x -2有意义时，化简964422+--+-x x x x 的结果为（ ）A ．52-x B ．12--xC ．1-D ．x 25-【知识点】根式的化简求值．【数学思想】【解题过程】x -2有意义即是说02≥-x ，则2≤x ，这442+-x x x x -=-=222）（，同理x x x x -=-=+-339622）（，所以原式1-=． 【思路点拨】根据n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n 对根式进行化简求值．【答案】C ． 同类训练 若21<a ，则化简()4212-a 的结果是（ ） A ．12-aB ．12--aC ．a 21-D ．a 21--【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】21<a ，则012<-a ，()a a a 2112122142-=-=-）（．【思路点拨】根据n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n 对根式进行化简求值．【答案】C ．●活动③ 强化提升、灵活应用例3 下列互化中正确的是（ ）A ．)0(21≠-=-x x x ）（ B ．)0(3162<=y y yC ．)0,()(4343≠=-y x xy y x ）（ D ．331x x -=【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】A 选项)0(21≠-=-x x x ，B 选项)0(3162<-=y y y ）（，D 选项331x x =．【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】C ．同类训练 下列等式能成立的是（ ）A ．7717)(m n mn＝B ．31242)2(－＝－C ．43433)(y x y x ＋＝＋D ．833)43(23=【知识点】根式的化简，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】A 选项777)(-m n m n＝，B 选项31242)2(＝－，C 选项显然不成立． 【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】D ．例4 求下列各式的值:（1）5.03132)972()27125()027.0(-+（2）1416)31()16174()23(30----⋅+【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】（1）原式09.0)35()35()3.0(233323=-+=（2）原式3903322==-= 【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系． 【答案】（1）09.0；（2）．同类训练 求下列各式的值:（1）03115.03)27102(1.0)972(π-++--（2）313125.01041027.010)833(81)87(3)0081.0(⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯----【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】（1）原式53113103+73412=+-=+=； （2）原式983)323(31310)103(10)23(1331)103(133334444-=-+⨯-=⨯-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⨯-=． 【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】（1）11312；（2）98-． 【设计意图】通过计算，加强学生对根式的性质的运用以及对根式与分数指数幂的互化过程的熟练掌握． 3．课堂总结 知识梳理（1）一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．（2）正数的分数指数幂（正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式）：)1,N ,,0(*>∈>=n n m a a a n m nm ，1*()0,,N ,1)m m nna a a m n n --==>∈>重难点归纳（1）在进行根式化简时一定注意当n 为奇数时，a a n n =，n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a nn ． （2）根式化简过程中常出现乘方与开放并存，要注意两者的顺序何时可以交换，何时不能交换，并且幂指数不能随便约分．（3）在进行根式与分数指数幂的互化时，)1,N ,,0(*>∈>=n n m a a a n m nm*0,,N ,1)mnaa m n n -=>∈>，其中m ，n 的位置切勿记反．（三）课后作业 基础型 自主突破1．设a n n m ,1,,>N ∈*是正实数，则下列各式中正确的有（ ）． ①nmnma a =；②10=a ；③nmnm aa1=-A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 【知识点】根式与分数指数幂的互化，分数指数幂． 【数学思想】【解题过程】由分数指数幂的概念判断．【思路点拨】弄清根式与分数指数幂之间的互化关系． 【答案】A ． 2．已知432=-x则x 等于（ ）A ．8±B ．81± C ．443 D ．322±【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化． 【数学思想】【解题过程】814143232332±=±=±==---）（x x【思路点拨】掌握根式的化简运算以及根式与分数指数幂之间的互化关系． 【答案】B ．3．下列说法中正确的个数是（ ）①－2是16的四次方根 ②正数的n 次方根有两个 ③a 的n 次方根就是n a④a a n n =（≥a 0） A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点】n 次方根和n 次根式的概念． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】①是正确的，由4(2)16-=可验证；②不正确，要对n 分奇偶讨论；③不正确，a 的n 次方根可能有一个值，可能有两个值，而n a 只表示一个确定的值，它叫根式；④正确，根据根式运算的依据，当n 为奇数时，n n a ＝a 是正确的，当n 为偶数时，若a ≥0，则有n n a ＝a ．综上，当a ≥0时，无论n 为何值均有n n a ＝a 成立．【思路点拨】根据方根与根式的定义直接进行判断． 【答案】C ．4．若式子4321--）（x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．R x ∈ B ．21≠x C ．21>x D ．21<x【知识点】根式与分数指数幂的互化． 【数学思想】分类讨论思想． 【解题过程】434321121）（）（x x -=--，若4321--）（x 有意义，则021>-x ，即21<x ． 【思路点拨】化分数指数幂为根式，由根式内的代数式大于0求得x 的范围． 【答案】D ． 5．计算下列各式：（1）44481⨯ （2）63125.132⨯⨯【知识点】根式与分数指数幂的互化，根式的化简求值． 【数学思想】【解题过程】（1）62323481444444=⨯=⨯=⨯；（2）633362363322332232332125.132⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯6323332613121=⨯=⨯⨯⨯=．【思路点拨】运用根式的化简法则进行求解． 【答案】（1）6；（2）6．6．化简625625++-=________． 【知识点】根式的化简． 【数学思想】【解题过程】32232362562522=++-=++-）（）（．【思路点拨】根号里面的部分用完全平方公式化简，再根据根式的化简得出结果． 【答案】32． 能力型 师生共研7．a a a n n n n 2)(=+时， 实数a 和正整数n 所应满足的条件． 【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 【数学思想】分类讨论思想【解题过程】由a a a n n n n 2)(=+，若n 为奇数，a a a a a n n n n 2)(=+=+，上式成立；若n 为偶数，则a ≥0，a a a a a n n n n 2)(=+=+，上式成立． 【思路点拨】利用指数的运算法则，对n 为奇数或偶数进行讨论． 【答案】n R a ，∈为正奇数或a ≥0，n 为正偶数． 8．已知*N ∈n ，化简()111112----++++++=L _____．【知识点】根式的化简运算． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】原式)21)(21(21-+-=++L1112312-+=-+++-+-=n n n【思路点拨】运用以前所学过的分母有理化将原式化简，将复杂问题简单化． 【答案】11-+n ． 探究型 多维突破 9．已知32323232-+=+-=y x ，， 求下列各式的值． （1）xy y x +； （2）22y xy x +-．【知识点】根式的化简求值． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）194347347347347)32(32)32(322222=-+++-=-+++-=+）（）（x y y x ；（2）19332323232323232322222=-++-+⋅+--+-=+-）（）（y xy x 【思路点拨】直接将已知的等式带入要求的式子中，在运用根式的性质将式子化简．【答案】（1）194；（2）193．10．若0,0>>y x 且满足y xy x 152=-，求yxy x y xy x +-++322的值．【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简求值． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】y xy x 152=-即为()()035=+-y x yx ，因为0,0>>y x ，故05=-y x ，所以y x 25=，321632525325225232222==+-++⨯=+-++yyyy y y y y yxy x y xy x ．【思路点拨】运用分数指数幂进行根式计算． 【答案】3． 自助餐1．式子a a 1－经过计算可得到（ ）A ．a －B ．aC ．－aD ．－a －【知识点】根式的化简． 【数学思想】【解题过程】由原式知a ＜0，因此2a ＝｜a ｜＝－a ，故a ＝a －，于是aa 1－＝－)1(2aa －＝－a －．【思路点拨】负数的偶次方根等于其相反数． 【答案】D ．2．下列说法正确的是（ ）． A ．64的6次方根是2 B ．664的运算结果是2±C ．1>n 且*N ∈n 时，a a n n =)(对于任意实数a 都成立D ．1>n 且*N ∈n 时，式子n n a 对于任意实数a 都有意义 【知识点】方根与根式的概念，根式的化简． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】A 选项考察的是正数的偶次方根有两个，且互为相反数，B 选项的运算结果应该是2，C 选项当a 为负数则不成立．【思路点拨】根据方根与根式的概念，根式的化简进行判断． 【答案】D ．3．当8＜x ＜10时，＝－＋－22)10()8(x x __________． 【知识点】根式的化简． 【数学思想】【解题过程】2)8(－x 8-=x 8-=x ，2)10(－x x x -=-=1010． 【思路点拨】当n 为偶数时，n n a ＝a ． 【答案】2．4．化简：=-+20122011)23()23(____________． 【知识点】根式的化简求值． 【数学思想】【解题过程】原式20112222⎡⎤=+⋅-⋅=-⎣⎦）））．【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算． 【答案】32-．5．求使下列等式成立的x 的取值范围． （1）1212--=--x x x x （2）2)2()4)(2(2+-=--x x x x 【知识点】根式的化简运算． 【数学思想】 【解题过程】（1）12--x x 成立的条件为⎩⎨⎧>-≥-0102x x 或⎩⎨⎧<-≤-0102x x ，解得2≥x 或1<x ，而12--x x 成立的条件为⎩⎨⎧>-≥-0102x x ，解得2≥x ，所以等式成立条件为2≥x ． （2）原等式可变形为2)2()2()2(2+-=+-x x x x ，而使得a a -=2成立的条件是0≤a ，结合偶次根式的定义域即可得到⎩⎨⎧≥+≤-0202x x ，解得22≤≤-x ．【思路点拨】明确a a n n =成立的条件． 【答案】（1）2≥x ；（2）22≤≤-x ．6．计算下列各式（式中字母都是正数） （1）0143231)12(3256)71(027.0-+-+-----（2）23241)32()827(0081.0+--【知识点】根式与分数指数幂的互化化简求值． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】（1）原式[]191316449310131)4()7()103(43421313=+-+-=+-+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---（2）原式103949410394)23(10394)23()103(2323414=+-=+-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--【思路点拨】正确运用根式与分数指数幂的互化法则． 【答案】（1）19；（2）103．。

2.1.1 指数与指数幂的运算一、教材分析及学情分析：本节是高中数学新人教版必修1的第二章指数函数的内容。

在第一章学完函数概念和基本性质后第二章学习具体的指数函数模型从中学会研究函数的基本方法。

首先需要将指数范围从整数推广到实数。

为指数函数定义域好知识铺垫。

二、三维目标1．知识与技能（1）理解n次方根与根式的概念；（2）理解有理数指数幂的含义，正确运用根式运算性质化简、求值；（3）会根式与分数指数幂的互化。

2．过程与方法通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出次方根的概念，进而学习根式的性质引导学生反复理解正分数指数幂的意义。

它不表示相同因式的乘积，而是根式的一种新的写法。

通过两者互化，巩固。

加深对概念的理解。

3．情感、态度与价值观（1）归纳的思想，（2）分类的思想（3）推广的思想（4）逼近的思想三、教学重点（1）根式概念的理解；（2）分数指数幂的意义四、教学难点（1）根式概念的理解（2）分数指数幂与根式的互化。

五、教学策略（发现教学法）1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律2在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法六、教学过程：1由引例发现分数指数幂的存在，从而激发学生探究新知的欲望。

2由二次方根和三次方根的概念推广到n次方根的概念。

3观察归纳得到根式与分数指数幂的互化理解分数指数幂的意义。

4了解用有理数指数幂逼近无理数指数幂得到无理数指数幂的近似值。

5将指数整数推广到实数。

七、小结八、作业。

精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan教师学科教课设计[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan《指数与指数幂的运算》教课设计一、教材剖析本节是高中数学新人教版必修 1 的第二章 2.1 指数函数的内容二、三维目标1．知识与技术（1）理解 n 次方根与根式的观点；（2）正确运用根式运算性质化简、求值；（3）认识分类议论思想在解题中的应用.2．过程与方法经过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n 次方根的观点，从而学习根式的性质 .3．感情、态度与价值观（1）经过运算训练，养成学生谨慎治学，谨小慎微的学习习惯；（2）培育学生认识、接受新事物的能力三、教课要点教课要点：（ 1）根式观点的理解；（ 2）掌握并运用根式的运算性质四、教课难点教课难点：根式观点的理解五、教课策略发现教课法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并概括其变形特色，从而由特殊情况概括出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推行到实数范围内.由此让学生领会发现规律，并由特别推行到一般的研究方法.六、教课准备回首初中时的整数指数幂及运算性质，a n a a a a, a0 1 (a0)七、教课环节教教课内容师生互动设计意学图环精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan 节提回首初中时的整数指数幂及运算性质.出问a n a a a a, a0 1 ( a 0)题00无心义a n1( a 0)a na m a n a m n ; (a m )n a mn(a n )m a mn , (ab)n a n b n什么叫实数？有理数，无理数统称实数.复察看以下式子，并总结出规律： a ＞0习① 5 a10 5 (a2)5a210a 5引② a8(a4 ) 2a48入a2③ 4 a12 4 (a3)4a312 a 4④ 5 a105a210a 5 (a2 )5小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式能够写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）根式的被开方数不可以被根指数整除时，根式能否也能够写成分数指数幂的形式.如：3 a22a 3(a0) 1b b2(b0)4 c55c4(c0)m即：n a m a n (a 0, n N * ,n 1)老师发问，学习学生回答 .新知前的简单复习，不单能唤起学生的记忆，并且为学习新课作好了知识上的准备 .老师指引学生“当根式的被开数学方数的指数能被根指数整除时，根中引进一式能够写成分数作为指数的形式，个新的概（分数指数幂形式）”联想“根式的念或法例被开方数不可以被根指数整除时，根时，总希式能否也能够写成分数指数幂的形望它与已式 .”从而推行到正数的分数指数幂有的观点的意义 .或法例是相容的 .形为此，我们规定正数的分数指数幂的意学生计算、结构、猜想，同意沟通让学成义为：议论，报告结论．教师巡视指导．生经历从概“特别一精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan念mn a m (a 0, m, n N * )一般”，a n“概括一正数的定负分数指数幂的意义与负整猜想”，数幂的意义相同 .是培育学m1*即： a n生“合情m (a 0, m, n N )a n推理”能规定： 0 的正分数指数幂等于0，0 的负力的有效分数指数幂无心义 .方式，同说明：规定好分数指数幂后，根式与分时学生也数指数幂是能够交换的，分数指数幂不过根经历了指式的一种新的写法，而不是数幂的再n111发现过a m a m a m a m (a0)程，有益于培育学生的创建能力．深因为整数指数幂，分数指数幂都存心让学生议论、研究，教师指引．经过本化义，所以，有理数指数幂是存心义的，整数环节的教概指数幂的运算性质，能够推行到有理数指数学，进一念幂，即：步领会上（ 1）a r a s a r s (a0, r , s Q )一环节的（ 2）( a r)S a rs (a0, r , s Q )设计意图．（3）( a b)r a r b r (Q 0, b 0, r Q)若 a ＞0，P是一个无理数，则P该怎样理解？为认识决这个问题，指引学生先阅读课本 P57——P58.即： 2 的不足近似值，从由小于 2 的方向迫近 2 ， 2 的剩余近似值从大于2的方向迫近 2 .所以，当 2 不足近似值从小于 2 的方向迫近时， 52的近似值从小于 52的方向精选教课教课设计设计 | Excellent teaching plan迫近5 2 .当2 的剩余似值从大于 2 的方向逼近2 时，5 2 的近似值从大于 5 2 的方向逼近 5 2 ，( 如课本图所示 )2所以， 5是一个确立的实数 .a p (a 0, p 是一个无理数 ) 是一个确定的实数，有理数指数幂的性质相同合用于无理数指数幂 .无理指数幂的意义， 是用有理指数幂的不足近似值和剩余近似值无穷地迫近以确立大小 .思虑： 2 3 的含义是什么？由以上剖析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂存心义，且它们运算性质相同，实数指数幂存心义，也有相同的运算性质，即：rsrsa aa (a 0, r R, s R)rsrs(a )a (a 0, r R, s R)rrr(a b) a b (a 0, r R)应例题用例 1（ P 56 ，例 2）求值举211) 5；( 383；25 2；(16) 4. 例2 81例 2（ P 56，例 3）用分数指数幂的形式表或以下各式（ a ＞ 0）a 3 . a ； a2 3a 2；a 3a .剖析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算 .117解： a 3 . a a 3 a23a 2；a2学生思虑，口答，教师板演、评论．例 1解：22① 83(23)33 222 4 ；2311② 252 (52) 22 ( 1 )11 52 5；5③ (1)5(21)52经过这二个例题的解答，稳固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan22 28 2 1 ( 5)32 ；a 2 3 a 2 a 2 a 3 a3a 3；3 3162 4( )④ () 4( )4144 12813a 3aa a 3 a 3 (a 3 ) 2 a 3 .2 327().讲堂练习： P 59 练习 第 1，2，3， 4 题38例 2 剖析：先把根式化为分数增补练习：(2n 1 )4 ( 1)2 n 1指数幂，再由运算性质来运算 .11. 计算：n2 的结果；解： a 3 . a a3a 224 817若 a 3 3,a10384,32. a 2a 2 ；12求 a 3 [(a 10) 7 ]n 3的值 .a 2 3 a 2a 2 a 3a 32 2 8a3a 3 ；a 314aa a 3a 341 2( a 3 ) 2 a 3 .练习答案：24 n 4 2 2n 11.解：原式 = 22 n2 6= 29 =512 ；1]n 32.解：原式 = 3 [(128) 7 = 32n 3.归1．分数指数是根式的另一种写法 .先让学生单独回想，而后师生纳2．无理数指数幂表示一个确立的实数.共同总结．总3．掌握好分数指数幂的运算性质，其结与整数指数幂的运算性质是一致的.课作业： 2.1 第二课时 习案 学生独立达成后力．稳固本节学习成就，使学生逐渐养成爱总结、会总结的习惯和能力．稳固新知精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan作提高业能力。