最新文科数学一轮复习考案10.4 回归分析与独立性检验.

第十章 第3讲[A 级 基础达标]1．若回归直线方程为y ^＝3－2x ，则变量x 增加一个单位，y ( ) A ．平均增加3个单位 B ．平均增加2个单位 C ．平均减少3个单位 D ．平均减少2个单位【答案】D2．(2020年南昌模拟)已知一组样本数据点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，…，(x 6，y 6)，用最小二乘法得到其线性回归方程为y ^＝－2x ＋4，若数据x 1，x 2，x 3，…，x 6的平均数为1，则y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 6等于( )A ．10B ．12C ．13D ．14【答案】B3．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0C ．12D ．1【答案】D4．如果根据是否爱吃零食与性别的列联表得到K 2≈5.852，所以判断是否爱吃零食与性别有关，那么这种判断犯错的可能性不超过( )A ．2.5%B ．0.5%C ．1%D ．0.1%P (K 2≥k )0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k2.7063.8415.0246.63510.8285．某考察团对10个城市的职工人均工资x (千元)与居民人均消费y (千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y ^＝0.6x ＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )A ．66%B ．67%C ．79%D ．84%【答案】D【解析】因为y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ^＝0.6x ＋1.2，该城市居民人均工资为x ＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费额y ＝0.6×5＋1.2＝4.2(元)，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.25＝84%.6．(2020年成都模拟)某公司一种新产品的销售额y 与宣传费用x 之间的关系如表：已知销售额y 与宣传费用x 具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为y ^＝b ^x ＋9，则b ^的值为________．【答案】6.5【解析】由表中数据，得x ＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y ＝10＋15＋20＋30＋355＝1105＝22，又回归直线方程y ^＝b ^x ＋9过样本中心点(2,22)，得22＝2b ^＋9，解得b ^＝132＝6.5.7．(2020年滦南期末)2017年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x (元)和销售量y (件)之间的一组数据如下表所示：y ＝－3.2x ＋a ，则a ＝________.【答案】40 【解析】根据题意：x －＝9＋9.5＋10＋10.5＋115＝10，y －＝11＋10＋8＋6＋55＝8，因为y －＝－3.2x ＋a ，所以a ＝3.2×10＋8＝40.8．(2020年六安期末)“埃博拉病毒”在西非的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).【答案】95%【解析】由题中数据可得：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100(10×30－40×20)250×50×30×70＝10021≈4.762>3.841，根据临界值表可得：犯错误的概率不超过0.05.即有95%的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”．故答案为95%.9．(2020年南阳月考)2021年将在日本东京举办第32届夏季奥林匹克运动会，简称为“奥运会”．为了解不同年龄的人对“奥运会”的关注程度，某机构随机抽取了年龄在20～70岁之间的100人进行调查．经统计，“年轻人”与“中老年人”的人数之比为2∶3.(1)的把握认为是否关注“奥运会”与年龄段有关；(2)现采用分层抽样的方法从中老年人中选取6人进行问卷调查．若再从这6人中选取2人进行面对面询问，求事件“选取的2人中至少有1人关注奥运会”的概率．K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)“年轻人”共有100×25＝40(人)，“中老年人”共有100×35＝60(人)，由此填写列联表如下：根据表中数据，计算K 2＝100(30×40－20×10)240×60×50×50＝503≈16.67＞10.828，所以有99.9%的把握认为是否关注“奥运会”与年龄段有关． (2)用分层抽样法选取6位中老年人中有4人不关注，2人关注， 则所求概率为p ＝1－C 24C 26＝35.10．(2020年湖南雅礼中学月考)近年来，国资委党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某扶贫小组为更好地执行精准扶贫政策，为某扶贫县制定了具体的扶贫政策，并对此贫困县从2015年到2019年的居民家庭人均纯收入(单位：百元)进行统计，数据如下表：(1)求人均纯收入y (2)是否有99.9%的把握认为村民的年龄与对扶贫政策的满意度具有相关性？参考公式：回归直线y ^＝a ＋bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑n ＝1ix i y i －n x － y－∑n ＝1ix 2i －n x －2＝∑n ＝1i(x i －x －)(y i －y －)∑n ＝1i(x i －x －)2，a ＝y －－b x －，K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：解：(1)依题意：t ＝15×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y ＝15×(5.8＋6.6＋7.2＋8.8＋9.6)＝7.6，故∑i ＝15(t i －t )2＝4＋1＋0＋1＋4＝10，∑i ＝15(t i －t )(y i －y )＝(－2)×(－1.8)＋(－1)×(－1)＋0×(－0.4)＋1×1.2＋2×2＝9.8，b ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2＝0.98，所以a ＝y －b t ＝7.6－0.98×3＝4.66. 所以y ^＝0.98t ＋4.66. (2)依题意，完善表格如下：计算得K 2k 2＝300×(150×50－50×50)2200×100×200×100＝300×5 000×5 000200×100×200×100＝18.75>10.828，故有99.9%的把握认为村民的年龄与扶贫政策的满意度具有相关性．[B 级 能力提升]11．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b ^x ＋a ，其中b ^＝0.76，a ＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【答案】B【解析】由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，所以a ^＝8－0.76×10＝0.4，所以当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．12．(2020年九江期末)针对“中学生追星问题”，某校团委对“中学生性别和追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的13，女生追星的人数占女生人数的23，若有95%的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有______人．参考数据及公式如下：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .【答案】30【解析】设男生人数为x ，由题意得列联表如下：计算K 2＝32x ·⎝⎛⎭⎫13x ·16x －23x ·13x 2x ·12x ·23x ·56x＝320x ＞3.841，解得x ＞20×3.8413. 又x ＝6k ，k ∈N *，所以x min ＝30，即有95%的把握认为中学生追星与性别有关时，男生至少有30人．13．(一题两空)(2020年吉林模拟)2019年末至2020年初，某在线教育公司为了适应线上教学的快速发展，近5个月加大了对该公司的网上教学使用软件的研发投入，过去5个月资金投入量x (单位：百万元)和收益y (单位：百万元)的数据如下表：若y 与x 的线性回归方程为y ＝3x ＋a ，则a ＝________，资金投入量为16百万元时，该月收益的预报值为________百万元．【答案】8.04 56.04 【解析】由题意得x ＝2＋4＋8＋10＋125＝7.2，y －＝14.21＋20.31＋31.18＋37.83＋44.675＝29.64，所以a ＝y －－b ^x ＝29.64－3×7.2＝8.04.所以y 关于x 的回归方程为y ^＝3x ＋8.04.把x ＝16代入回归方程得y ^＝3×16＋8.04＝56.04，故预报值为56.04百万元．14．新型冠状病毒爆发以来，各地高度重视新型冠状病毒感染的肺炎的防控和卫生健康监督检查工作，务必将督导检查落实到位．某地对8个工厂的生产车间进行了“原料采购加工标准”和“卫生标准”的检查和评分，其评分情况如下表所示：(1)已知x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；(2)现从8个被检查的工厂中任意抽取两个组成一组，若两个工厂的“原料采购加工标准”和“卫生标准”的评分均超过80分，则组成“对比标兵工厂”，求该组被评为“对比标兵工厂”的概率．参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －－b ^x ；参考数据：∑i ＝18x i y i ＝53 844，∑i ＝18x 2i ＝55 656.解：(1)由题意，得x ＝18×(100＋95＋93＋83＋82＋75＋70＋62)＝82.5，y ＝18×(86.5＋83.5＋83.5＋81.5＋80.5＋79.5＋77.5＋76.5)＝81.125，所以b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2＝53 844－8×82.5×81.12555 656－8×82.52＝14.所以a ^＝y －b ^x ＝81.125－14×82.5＝60.5.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝14x ＋60.5.(2)从8个中任取2个，共有C 28＝28个基本事件．“原料采购加工标准”和“卫生标准”的评分均超过80分有C 25＝10种情况，故所求的概率为p ＝1028＝514.15．(2020年新课标Ⅱ)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑i ＝120x i ＝60，∑i ＝120y i ＝1 200，∑i ＝120(x i －x)2＝80，∑i ＝120 (y i －y －)2＝9 000，∑i ＝120(x i －x )(y i －y －)＝800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y －)2，2≈1.414.解：(1)已知∑i ＝120y i ＝1 200，所以20个样区野生动物数量的平均数为120∑i ＝120y i ＝60，所以该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12 000. (2)因为∑i ＝120(x i －x)2＝80，∑i ＝120(y i －y)2＝9 000，∑i ＝120(x i －x )(y i －y )＝800，所以r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2＝80080×9 000＝8006002＝223≈0.94.(3)更合理的抽样方法是分层抽样，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．[C 级 创新突破]16．(2020年日照期末)某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型，为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为z ，女性人数为2z ，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的56，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的13.与“性别”有关，则男性患者至少有多少人？(2)某药品研发公司欲安排甲、乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2个接种周期进行试验．每人每次接种花费m (m ＞0)元．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p ，根据以往试验统计，甲团队平均花费为－2mp 2＋6m ；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q ，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期．假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．若p ＝2q ，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？ 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解：(1)根据题意填写列联表如下；则k 2＝3z ⎝⎛⎭⎫5z 6·4z 3－z 6·2z 32z ·2z ·3z 2·3z 2＝2z 3＞7.879，解得z ＞11.818 5，由z 6∈N *，且z3∈N *，所以z 的最小值为12，即男性患者至少有12人． (2)设甲研发试验品花费为X ，则EX ＝－2mp 2＋6m . 设乙研发试验品花费为Y ，则Y 的可能取值为3m,6m ， 所以P (Y ＝3m )＝C 23·q 2(1－q )＋q 3＝－2q 3＋3q 2， P (Y ＝6m )＝1＋2q 3－3q 2.11 所以EY ＝3m ·(－2q 3＋3q 2)＋6m ·(1＋2q 3－3q 2)＝6mq 3－9mq 2＋6m .因为p ＝2q ，所以EY －EX ＝6mq 3－9mq 2＋6m ＋2mp 2－6m ＝6mq 3－9mq 2＋2mp 2＝6mq 3－mq 2＝mq 2(6q －1)．①当0＜q ＜16时，6q －1＜0，因为m ＞0，所以mq 2(6q －1)＜0，所以EX ＞EY ，乙团队试验的平均花费较少，所以选择乙团队进行研发；②当16＜q ＜1时，6q －1＞0，因为m ＞0，所以mq 2(6q －1)＞0，所以EX ＜EY ，甲团队试验的平均花费较少，所以选择甲团队进行研发；③当q ＝16时，mq 2(6q －1)＝0，所以EX ＝EY ，甲团队试验的平均花费和乙团队试验的平均费用相同，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司选择甲团队或乙团队进行研发均可．。

13．2 两变量间的相关性、回归分析和独立性检验(13)考点诠释重点：了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用．难点：对独立性检验、回归分析的基本思想方法的理解．典例精析题型一 求回归直线方程【例1】(万元)的几组统计数据：(1)若y 对x 呈线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b ^x ＋ˆa； (2)估计使用年限为10年时，维修费用为多少？【思路分析】(1)利用回归方程系数公式求出回归方程；(2)利用回归方程进行分析预估． 【解析】(1)【方法归纳】当x 与y 呈线性相关关系时，可直接求出回归直线方程，再利用回归直线方程进行计算和预测．【举一反三】1.某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)有如下几组样本数据.据相关性检验，y 与x 0.7，那么y 关于x 的回归直线方程是_ ．【解析】题型二 独立性检验【例2】研究小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表所示：试按照原试验目的作统计分析推断．【思路分析】根据K 2公式，计算K 2值后与临界值比较． 【解析】【方法归纳】利用图形来判断两个变量之间是否有关系，可以画出三维柱形图、二维条形图，仅从图形上只可以粗略地估计两个分类变量的关系，也可以结合所求的数值来进行比较，作图时要注意单位统一、图形准确，但图形不能给我们两个分类变量有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能作出精确的判断．【举一反三】2.某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：(1)抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．【解析】体验高考(2011湖南)通过随机询问，得到如下的列联表：由K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）算得，K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 【解析】【举一反三】根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( B )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元。