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幂函数一、基础知识1．幂函数的概念一般地，形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x 处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)x α的系数为1；(3)只有一项．2．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y ＝xy ＝x2y ＝x3y ＝x12y ＝x －1图象定义域R R R {x |x ≥0}{x |x ≠0}值域R {y |y ≥0}R {y |y ≥0}{y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、常用结论对于形如f (x )＝xn m(其中m ∈N *，n ∈Z，m 与n 互质)的幂函数：(1)当n 为偶数时，f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称；(2)当m ，n 都为奇数时，f (x )为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m 为偶数时，x >0(或x ≥0)，f (x )是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．指数式、对数式一、基础知识1.指数与指数运算(1)根式的性质①(na )n＝a (a 使na 有意义)．②当n 是奇数时，na n ＝a ；当n 是偶数时，na n ＝|a，a ≥0，a ，a <0.(2)分数指数幂的意义分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．①a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②am n＝1am n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(3)有理数指数幂的运算性质①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②a ra s＝a r－s(a>0，r，s∈Q)；③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．2．对数的概念及运算性质一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b.指数、对数之间的关系(1)对数的性质①负数和零没有对数；②1的对数是零；③底数的对数等于1.(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M －log a N ；③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)．二、常用结论1．换底公式的变形(1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log b a (a ，b 均大于0且不等于1)；(2)log am b n＝nm log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)；(3)log N M ＝log a M log a N ＝log b Mlog b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)．2．换底公式的推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)．3．对数恒等式a log aN ＝N (a >0且a ≠1，N >0)．指数函数一、基础知识1．指数函数的概念函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R，a 是底数．形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质底数a >10<a <1图象性质定义域为R，值域为(0，＋∞)图象过定点(0,1)当x >0时，恒有y >1；当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1；当x <0时，恒有y >1在定义域R 上为增函数在定义域R 上为减函数注意指数函数y =a x (a >0,且a ≠1）的图象和性质与a 的取值有关，应分a >1与0<a <1来研究.二、常用结论指数函数图象的特点(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a 依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．(2)函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．(3)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．对数函数一、基础知识1．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).y ＝log a x 的3个特征(1)底数a >0，且a ≠1；(2)自变量x >0；(3)函数值域为R.2．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质底数a >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即恒有log a 1＝0当x >1时，恒有y >0；当0<x <1时，恒有y <0当x >1时，恒有y <0；当0<x <1时，恒有y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a 的大小不确定时，需分a >1和0<a ,<1两种情况进行讨论.3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．二、常用结论对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,大致图象．(2)函数y＝log a x与y＝log1ax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称．(3)当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，对数函数的图象呈下降趋势．。
