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阶段示范性金考卷五(测试范围 第八章) (时间：90分钟 分值：150分) 第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. [2015·银川模拟]抛物线y ＝－2x 2的焦点坐标为( )A. ⎝⎛⎭⎪⎫－18，0 B. ⎝⎛⎭⎪⎫14，0 C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－18 D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14 解析：y ＝－2x 2化为标准方程为x 2＝－12y ，其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－18，故选C.答案：C2. [2015·北京西城区模拟]若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( )A. a 2>b 2B. 1a <1b C. 0<a <bD. 0<b <a解析：由ax 2＋by 2＝1，得x 21a ＋y 21b ＝1，因为焦点在x 轴上，所以1a >1b >0，所以0<a <b .答案：C3. “m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：设p ：m ＝－1；q ：直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直．将m ＝－1代入两直线方程，它们的斜率之积为－1，故两直线垂直，从而由p 可以推出q ；但当m ＝0时，两直线也垂直，故由q 不一定能推出p .因而p 是q 的充分不必要条件．答案：A4. [2015·陕西检测]经过抛物线y ＝14x 2的焦点和双曲线x 217－y 28＝1的右焦点的直线方程为( )A. x ＋48y －3＝0B. x ＋80y －5＝0C. x ＋3y －3＝0D. x ＋5y －5＝0解析：易知抛物线的焦点坐标、双曲线的右焦点坐标分别为(0,1)、(5,0)，则过这两点的直线方程为y －0＝0－15－0(x －5)，即x ＋5y －5＝0.答案：D5. 圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0与圆C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0的位置关系是( )A. 相交B. 内含C. 外切D. 内切解析：由已知，圆C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，圆C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则|C 1C 2|＝5＝6－1，故选D.答案：D6. [2014·广东高考]若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( ) A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等D. 离心率相等解析：∵0<k <9，∴9－k >0,25－k >0.∴x 225－y 29－k ＝1与x 225－k －y 29＝1均表示双曲线，又25＋(9－k )＝34－k ＝(25－k )＋9，∴它们的焦距相等，故选A.答案：A7. 已知A (－2,0)，B (0,2)，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0(k 是常数)上两个不同的点，P 是圆上的动点，如果M ，N 两点关于直线x －y －1＝0对称，则△P AB 面积的最大值是( )A. 3－ 2B. 3＋ 2C. 2＋ 3D. 2＋ 2解析：因为M ，N 两点关于直线x －y －1＝0对称，故圆心(－k 2，0)在直线x －y －1＝0上，则－k2－1＝0，解得k ＝－2，则圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.又直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，所以圆心(1,0)到直线AB 的距离为d ＝|1＋2|2＝322，所以圆上的点到直线AB 的最远距离为1＋322，故△P AB 面积的最大值为S ＝12|AB |(1＋322)＝12×22×(1＋322)＝3＋ 2.答案：B8. 已知椭圆x 225＋y 216＝1的焦点是F 1，F 2，如果椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，则下面结论正确的是( )A. P 点有两个B. P 点有四个C. P 点不一定存在D. P 点一定不存在解析：设椭圆的基本量为a ，b ，c ，则a ＝5，b ＝4，c ＝3.以F 1F 2为直径构造圆，可知圆的半径r ＝c ＝3<4＝b ，即圆与椭圆不可能有交点．答案：D9. [2015·宁波模拟]已知A (1,3)，B (5，－2)，在x 轴上有一点P ，若|AP |－|BP |最大，则P 点坐标为( )A. (3,0)B. (13,0)C. (5,0)D. (－13,0)解析：作出A 点关于x 轴的对称点A ′(1，－3)， 则A ′B 所在直线方程为x －4y －13＝0. 令y ＝0得x ＝13， ∴点P 的坐标为(13,0)． 答案：B10. 直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A. 74B. 2C. 94D. 4解析：直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k (x －14)，可知直线4kx －4y －k＝0过抛物线y 2＝x 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.答案：C11. 设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆的一个交点为M ，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为( )A. 3－1B. 2－ 3C. 22D. 32解析：易知圆F 2的半径为c ，由题意知Rt △MF 1F 2中|MF 2|＝c ，|F 1F 2|＝2c 且MF 1⊥MF 2，所以|MF 1|＝3c ，3c ＋c ＝2a ，即e ＝ca ＝3－1. 即e ＝3－1.故选A. 答案：A12. [2015·锦州模拟]已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A. x 23－y 26＝1 B. x 24－y 25＝1 C. x 26－y 23＝1D. x 25－y 24＝1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，AB 过F ，斜率k AB ＝－15－0－12－3＝1.因为x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，所以两式作差有(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，所以4b 2＝5a 2.又因为a 2＋b 2＝9，所以a 2＝4，b 2＝5，故选B.答案：B第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13. [2014·湖北高考]直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.解析：由题意知直线l 1和l 2与单位圆C 所在的位置如图．因此⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，故a 2＋b 2＝1＋1＝2.答案：214. 已知双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为________．解析：由a ＋2＝3，可得a ＝1，∴双曲线方程为x 2－y 22＝1，∴其渐近线方程为y ＝±2x .答案：y ＝±2x15. [2015·北京东城区检测]如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为________．解析：如图，设F ′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为A ，连接AF ′，所以|FF ′|＝2c ＝p ，因为|AF |＝p ，所以|AF ′|＝2p .因为|AF ′|＋|AF |＝2a ，所以2a ＝2p ＋p ，所以e ＝ca ＝2－1.答案：2－116. [2014·湖南高考]如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba ＝________.解析：|OD |＝a2，|DE |＝b ，|DC |＝a ，|EF |＝b ，故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，b ， 又抛物线y 2＝2px (p >0)经过C 、F 两点， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧(－a )2＝2p ×a 2，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，即⎩⎨⎧a ＝p ，b 2＝ap ＋2bp ，∴b 2＝a 2＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2·b a －1＝0，又ba >1，∴ba ＝1＋ 2. 答案：1＋ 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内的一定点，过P 点引一弦，与椭圆相交于A 、B 两点，且P 恰好为弦AB 的中点，如下图所示，求弦AB 所在的直线方程及弦AB 的长度．解：由题意可知弦AB 所在的直线斜率存在且不为零，设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －1)，A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 21＋2y 21＝4，① x 22＋2y 22＝4.②①－②，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵P (1,1)为弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2. ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴所求直线的方程为y －1＝－12(x －1)． 即x ＋2y －3＝0.将其代入椭圆方程整理，得6y 2－12y ＋5＝0. 根据弦长公式，有 |AB |＝1＋(－2)2·(－2)2－4×56＝303.18. [2013·课标全国卷Ⅱ](本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1.∴y 0－x 0＝±1, 即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.19. (本小题满分12分)双曲线C 与椭圆x 227＋y 236＝1有相同焦点，且经过点(15，4)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝120°，求△F 1PF 2的面积．解：(1)椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝32＝9.①又双曲线经过点(15，4)，所以16a 2－15b 2＝1，②解①②得a 2＝4，b 2＝5或a 2＝36，b 2＝－27(舍去)，所以所求双曲线C 的方程为y 24－x 25＝1.(2)由双曲线C 的方程，知a ＝2，b ＝5，c ＝3.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|m －n |＝2a ＝4，平方得m 2－2mn ＋n 2＝16.③在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos120°＝m 2＋n 2＋mn ＝36.④由③④得mn ＝203.所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn sin120°＝533.20. [2014·安徽高考](本小题满分12分)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8.故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )．化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.21. [2015·珠海模拟](本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离．点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20， 则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．22. (本小题满分12分)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于异于椭圆顶点的两点A ，B ，且AP→＝2PB →. (1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围．解：(1)由题意，知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎨⎧ y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0，由根与系数的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2，又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， 所以－x 1＝2x 2.则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，所以m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2mk 2＋k 22. 整理，得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时等式不成立，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0. 所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.。
阶段示范性金考卷二(测试范围 第三、四章) 第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. [2014·山东高考]已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2＝( )A. 3－4iB. 3＋4iC. 4－3iD. 4＋3i解析：∵a ＋i ＝2－b i ，∴a ＋b i ＝2－i ， ∴(a ＋b i)2＝(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i. 答案：A2. [2015·武汉调研]如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A. OH →B. OG →C. EO →D. FO →解析：以F 为坐标原点，FP ，FG 所在直线为x 轴，y 轴建系，假设一个方格长为单位长度，则F (0,0)，O (3,2)，P (5,0)，Q (4,6)，则OP →＝(2，－2)，OQ →＝(1,4)，所以OP →＋OQ →＝(3,2)，而FO →＝(3,2)，故OP →＋OQ →＝FO →.答案：D3. 已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A. 22 B. 2 C. －22D. － 2解析：sin α＋2cos α＝3， ∴(sin α＋2cos α)2＝3，∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3. ∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3， ∴tan 2α＋22tan α＋21＋tan 2α＝3，即2tan 2α－22tan α＋1＝0， ∴tan α＝22，故选A. 答案：A4. [2015·广州调研]已知向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0,2)，若a ⊥(b －c )，则实数x 的值为( )A. 43B. 34C. －34D. －43解析：∵b －c ＝(x ，－4)，又a ⊥(b －c )，∴a ·(b －c )＝3x －4＝0，∴x ＝43.答案：A5. [2014·课标全国卷Ⅰ]设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A. 3α－β＝π2 B. 3α＋β＝π2 C. 2α－β＝π2D. 2α＋β＝π2解析：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α，所以sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，因此α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选C.答案：C6. [2014·课标全国卷Ⅰ]在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A. ①②③ B. ①③④ C. ②④D. ①③解析：①y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2. 因此选A. 答案：A7. [2015·河南中原名校联考]要得到函数f (x )＝2sin x 的图象，只需把函数g (x )＝3sin x －cos x 的图象( )A. 向左平移π3个单位 B. 向右平移π3个单位 C. 向左平移π6个单位D. 向右平移π6个单位解析：g (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以要得到函数f (x )＝2sin x 的图象，只需将g (x )的图象向左平移π6个单位，故选C.答案：C8. 在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝4，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →＝( )A. 10B. 8C. 6D. 4解析：解法一：由条件知AB ＝4，CD ＝2，BC ＝22，∴MB ＝MC ＝2，∴MC →·BA →＝|MC →|·|BA →|·cos45°＝2×4×22＝4，MB →·CD →＝|MB→|·|CD →|·cos135°＝2×2×(－22)＝－2，∴MA →·MD →＝(MB →＋BA →)·(MC →＋CD →)＝MB →·MC →＋MB →·CD →＋BA →·MC →＋BA →·CD →＝－(2)2＋(－2)＋4＋4×2＝8，故选B.解法二：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，依题意知A (0,0)，B (4,0)，D (0,2)，C (2,2)，M (3,1)，MA →＝(－3，－1)，MD →＝(－3,1)，∴MA →·MD →＝9－1＝8，故选B.答案：B9. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°解析：∵sin C ＝23sin B ，∴由正弦定理，得c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2＝7b 2. ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32.又∵0<A <π，∴A ＝π6. 答案：A10. [2015·辽宁六校联考]已知ω>0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π3)的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则ω有( ) A. 最小值2 B. 最大值2 C. 最小值1D. 最大值1解析：由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，ω≥2，故选A. 答案：A11. [2013·山东高考]△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A. 2 3B. 2C. 2D. 1解析：由已知及正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin2A ＝32sin A cos A ，所以cos A ＝32，结合余弦定理得12＝(3)2＋c 2－2c ×3×32，整理得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，A ＝C ＝30°，B ＝2A ＝60°，不满足内角和定理，故c ＝2. 答案：B12. [2015·天津模拟]已知正三角形ABC 的边长为1，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，且AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，则BQ →·CP →的最大值为( )A. 32 B. －32 C. 38D. －38解析：BQ →·CP →＝(BA →＋AQ →)·(CA →＋AP →) ＝[BA →＋(1－λ)AC →]·(CA →＋λAB →)＝[AB →·AC →－λAB →2＋(λ－1)AC →2＋λ(1－λ)AB →·AC →] ＝(λ－λ2＋1)×1×1×cos60°－λ＋λ－1 ＝12(－λ2＋λ)－12 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122－38(λ≤R )．当λ＝12时，则BQ →·CP →的最大值为－38.故选D 项． 答案：D第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13. [2014·江西高考]已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.解析：由向量数量积的定义知e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos α＝1×1×13＝13，而a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9e 21－12e 1·e 2＋4e 22＝9×12－12×13＋4×12＝9，所以|a |＝3.答案：314. [2015·荆州质检]函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，0对称，则函数的解析式为________． 解析：由题意知最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2,2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8＋φ＝k π(k∈Z )，∴φ＝k π＋3π4(k ∈Z ), 又0<φ<π，∴φ＝3π4，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 15. [2015·长春调研]△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝6cos A sin C ，则b 的值为________．解析：由正弦定理与余弦定理可知，sin B ＝6cos A sin C 可化为b ＝6·b 2＋c 2－a 22bc ·c ，化简可得b 2＝3(b 2＋c 2－a 2)，又a 2－c 2＝2b 且b ≠0，得b ＝3.答案：316. [2014·陕西高考]设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.解析：∵a ∥b ，∴sin2θ×1－cos 2θ＝0，∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0，∵0<θ<π2，∴cos θ>0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.答案：12三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. [2014·北京高考](本小题满分10分)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )的最小正周期为π.由f (x )＝3sin(2x ＋π6)易知y 0＝3，∴sin(2x 0＋π6)＝1，∴2x 0＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴x 0＝k π＋π6，∵x 0为函数f (x )＝3sin(2x ＋π6)在y 轴右侧的第二个最高点的横坐标，∴x 0＝π＋π6＝76π.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0. 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.18. (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2sin A 2，m ·n ＝－1. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． 解：(1)∵m ＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos A 2，sin A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2sin A 2，m ·n ＝－1，∴2cos 2A 2－2sin 2A2＝－1，∴cos A ＝－12. (2)由(1)知cos A ＝－12，且0<A <π，∴A ＝2π3. ∵a ＝23，b ＝2，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，即23sin 2π3＝2sin B .∴sin B ＝12.∵0<B <π，B <A ，∴B ＝π6. ∴C ＝π－A －B ＝π6，∴C ＝B .∴c ＝b ＝2.19. [2015·山西诊断](本小题满分12分)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且3a ＝2c sin A .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．解：(1)由正弦定理得：3sin A ＝2sin C sin A ，∵A ，C 是锐角，∴sin C ＝32，∴C ＝60°.(2)由已知得，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝332，∴ab ＝6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，∴(a ＋b )2＝25，∴a ＋b ＝5.20. [2014·大纲全国卷](本小题满分12分)△ABC 的内角A 、B 、C的对边分别为a 、b 、c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A .故3tan A cos C ＝2sin C ， 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝－1， 即B ＝135°.21. [2015·衡水中学调研](本小题满分12分)如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且cos B ＝108，cos ∠ADC ＝－14.(1)求sin ∠BAD 的值；(2)求AC 边的长．解：(1)因为cos B ＝108，所以sin B ＝368.又cos ∠ADC ＝－14，所以sin ∠ADC ＝154，所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝154×108－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×368＝64. (2)在△ABD 中，由AD sin B ＝BD sin ∠BAD 得3368＝BD 64， 解得BD ＝2.故DC ＝2，从而在△ADC 中，由AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos∠ADC ＝32＋22－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，得AC ＝4. 22. (本小题满分12分)在锐角△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin(A ＋C )，3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)，且m ∥n .(1)求B 的大小；(2)如果b ＝1，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．解：(1)∵m ∥n ，∴2sin(A ＋C )(2cos 2B2－1)＝3cos2B ，化简得2sin B cos B ＝3cos2B ，sin2B ＝3cos2B ，即tan2B ＝ 3.又0<B <π2，∴0<2B <π，∴2B ＝π3，∴B ＝π6.(2)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得1＝a 2＋c 2－3ac ，∴a 2＋c 2＝1＋3ac ≥2ac ，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴(2－3)ac ≤1，∴ac ≤2＋3，∴S △ABC ＝12ac sin B ≤14(2＋3)，即S △ABC 的最大值为14(2＋3)．。
阶段示范性金考卷三(测试范围第五、六章)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1. [2015·沈阳质量监测]已知x∈R，则“x2－3x>0”是“x－4>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：注意到x2－3x>0⇔x<0或x>3，x－4>0⇔x>4.由x2－3x>0不能得到x－4>0；反过来，由x－4>0可得出x2－3x>0，因此“x2－3x>0”是“x－4>0”的必要不充分条件，选B.答案：B2. 已知{a n}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是()A. 4B. 14C. －4D. －14解析：因为a3＋a9＝4a5，所以根据等差数列的性质可得a6＝2a5.所以a1＋5d＝2a1＋8d，即a1＋3d＝0.又a2＝－8，即a1＋d＝－8，所以公差d＝4.答案：A3. [2015·大庆质检]若a<b<0，则下列不等式不能成立的是()A. 1a －b >1aB. 1a >1bC. |a |>|b |D. a 2>b 2解析：由a <b <0，可用特殊值法加以验证，取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a 不成立，选A. 答案：A4. [2015·广东经典卷]已知等比数列{a n }的前三项依次为a －2，a ＋2，a ＋8，则a n ＝( )A. 8×⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB. 8×⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC. 8×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D. 8×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：(a ＋2)2＝(a －2)(a ＋8)，a ＝10，所以数列首项为8，公比为32.答案：C5. [2015·河南洛阳]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝－2，S 5＝0，则S 6＝( )A. 0B. 1C. 2D. 3解析：本题考查等差数列的性质．由S 4＝－2，S 5＝0得⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ＝－25a 1＋5×42d ＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝－2d ＝1，所以S 6＝6a 1＋6×52d ＝3. 答案：D6. [2015·淮北模拟]函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A. 23＋2B. 23－2C. 2 3D. 2解析：∵x >1，∴x －1>0， ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2·(x －1)·3x －1＋2＝23＋2，当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．答案：A7. [2015·河北唐山模拟]若{a n }为等比数列，a 2＋a 3＝1，a 3＋a 4＝－2，则a 5＋a 6＋a 7等于( )A. －24B. 24C. －48D. 48解析：由已知得⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 2＝1，a 1q 2＋a 1q 3＝－2.解得q ＝－2，a 1＝12，∴a 5＋a 6＋a 7＝a 5(1＋q ＋q 2)＝a 1q 4(1＋q ＋q 2)＝24.故选B. 答案：B8. [2015·乌鲁木齐三诊]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＋a 25＝5，则一定有( )A. a 6是常数B. S 7是常数C. a 13是常数D. S 13是常数解析：由S 4＋a 25＝5⇒⎝⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32d ＋(a 1＋24d )＝5⇒a 1＋6d ＝1⇒a 7＝1，∴S 13＝(a 1＋a 13)×132＝13a 7＝13. 答案：D9. [2015·马鞍山质检]在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A. －5B. 1C. 2D. 3解析：由于直线ax －y ＋1＝0恒过定点(0,1)，可作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图所示)．设直线ax －y ＋1＝0与直线x －1＝0的交点为(1，m )，由可行性区域的面积为12×1×m ＝2，解得m ＝4，将(1,4)代入直线ax －y ＋1＝0，解得a ＝3.答案：D10. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，如图所示．一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n 2填入n ×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方，记n 阶幻方的对角线上数的和为N n ，如图所示的幻方记为N 3＝15，那么N 12的值为( )A. 869 870 C. 871D. 875解析：因为N 3＝(1＋9)×923＝15，所以N 12＝(1＋144)×144212＝870. 答案：B11. [2015·河南适应性测试]已知函数f (x )＝x ＋m x ，x ∈(0，＋∞)，若不等式f (x )<4的解集是空集，则( )A. m ≥4B. m ≥2C. m ≤4D. m ≤2解析：由x ＋m x <4(x >0)的解集为∅，将不等式x ＋mx <4变形为m <－x 2＋4x ，则m ≥－x 2＋4x (x >0)恒成立．由函数g (x )＝－x 2＋4x ＝4－(x －2)2在(0，＋∞)上的最大值为4，所以m ≥4，故应选A.答案：A12. [2014·天津高考]设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A. 2B. －2C. 12D. －12解析：由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 22＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12，故选D.答案：D第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13. 已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2的值为________．解析：∵1，a 1，a 2,9是等差数列，∴a 1＋a 2＝1＋9＝10.1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，∴b 22＝1×9＝9，∵b 21＝1·b 2＝b 2>0，∴b 2＝3，∴b 2a 1＋a 2＝310.答案：31014. [2014·湖南高考]若变量x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥1，则z＝2x ＋y 的最大值为________．解析：二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC 的内部及其边界，由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z .当直线y ＝－2x ＋z 过B 点时，z 最大．由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，y ＝1，得B (3,1)，因此，当x ＝3，y ＝1时，z max ＝2×3＋1＝7，故答案为7.答案：715. [2015·杭州质检]若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2yxy 的最小值为________．解析：由已知可得2x ＋y ＝3，因此x ＋2y xy ＝1y ＋2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1y ＋2x (2x ＋y )3＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2x y ＋2y x ，利用基本不等式可得x ＋2y xy ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2x y ＋2y x ≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋2 2x y ×2y x ＝3，当且仅当2x y ＝2y x 时取得等号． 答案：316. [2015·吉林质检]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则S 5－S 2等于________．解析：∵a 1＝3，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，∴4a 2＝4a 1＋a 3，即12q ＝12＋3q 2，解得q ＝2，∴S 5－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＝a 1(q 2＋q 3＋q 4)＝3×(22＋23＋24)＝84.答案：84三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. [2014·吉林普通高中摸底考试](本小题满分10分)公差不为零的等差数列{a n }中，a 3＝7，又a 2，a 4，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设公差为d (d ≠0)，由已知得：(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，∴d ＝3a 1， 又a 3＝7，所以a 1＋2d ＝7， 所以a 1＝1，d ＝3，∴a n ＝3n －2.(2)由(1)得b n ＝23n －2，因为b n＋1b n ＝23(n ＋1)－223n －2＝8，所以{b n }是以b 1＝2为首项，以8为公比的等比数列， 所以S n ＝2(1－8n )1－8＝27(8n－1)．18. (本小题满分12分)已知：数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3且当n ≥2，n ∈N *满足S n －1是a n 与－3的等差中项．(1)求a 2，a 3，a 4；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由题知，S n －1是a n 与－3的等差中项． ∴2S n －1＝a n －3即a n ＝2S n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，a 3＝2S 2＋3＝2(a 1＋a 2)＋3＝27， a 4＝2S 3＋3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋3＝81. (2)由题知a n ＝2S n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，① a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)②②－①得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ， 即a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)③∵a 2＝3a 1也满足③式，即a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，∴{a n }是以3为首项，3为公比的等差数列． ∴a n ＝3n (n ∈N *)．19. (本小题满分12分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n <1.解：(1)设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d . 由a 1＝3，a 3＝9得log 22＋2d ＝log 28，即d ＝1. ∴log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1. (2)证明：∵1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，∴1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1.20. [2014·课标全国卷Ⅰ](本小题满分12分)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3，由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2.两式相减得12S n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2.所以S n ＝2－n ＋42n ＋1. 21. [2015·济宁模拟](本小题满分12分)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本W (x )万元，每件产品售价为5元．在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)；在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式； (注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解：(1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3； 当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元；当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9<15，所以，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．22. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．解：(1)当n ＝1时，方程x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，∴(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，方程x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 1＋a 2－1＝a 2－12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2)由题意知(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式整理得 S n S n －1－2S n ＋1＝0，解得S n ＝12－S n －1. 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.猜想S n ＝n n ＋1(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明这个结论． ①当n ＝1时，结论成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即S k ＝kk ＋1， 当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12－S k ＝12－k k ＋1＝k ＋1k ＋2＝k ＋1(k ＋1)＋1. 即当n ＝k ＋1时结论成立．n n＋1对任意的正整数n都成立．由①、②知S n＝。
阶段示范性金考卷一(测试范围第一、二章)(时间：90分钟分值：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. [2015·安徽合肥模拟]已知集合A＝{x∈R||x|≥2}，B＝{x∈R|x2－x－2<0}且R为实数集，则下列结论正确的是()A. A∪B＝RB. A∩B≠∅C. A⊆(∁R B)D. A⊇(∁R B)解析：集合A＝{x∈R||x|≥2}＝{x∈R|x≥2或x≤－2}，B＝{x∈R|x2－x－2<0}＝{x∈R|－1<x<2}，所以A∪B＝{x∈R|x>－1或x≤－2}，所以A错误；A∩B＝∅，所以B错误；∁R B＝{x∈R|x≥2或x≤－1}，所以A⊆(∁R B)，所以C正确，D错误．故选C.答案：C2. [2015·辽宁东北育才学校模拟]若命题p：∃x0∈[－3,3]，x20＋2x0＋1≤0，则对命题p的否定是()A. ∀x∈[－3,3]，x2＋2x＋1>0B. ∀x∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)，x2＋2x＋1>0C. ∃x0∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)，x20＋2x0＋1≤0D. ∃x0∈[－3,3]，x20＋2x0＋1>0解析：把特称命题改为全称命题，否定结论．故选A.答案：A3. 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A. y＝x3B. y＝|x|＋1C. y＝－x2＋1D. y＝2－|x|解析：本题可采用排除法．是偶函数则排除A，在(0，＋∞)上单调递增则排除C，D.故选B.答案：B4. [2014·湖北高考]设U为全集．A，B是集合，则“存在集合C 使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件解析：由韦恩图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，不妨取C＝∁U B，此时A⊆C.必要性成立，故选C.答案：C5. 设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a<x<b时，有()A. f(x)>g(x)B. f(x)<g(x)C. f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)D. f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)解析：∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0，∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，∴当a<x<b时f(x)－g(x)>f(a)－g(a)，∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．答案：C6. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2015)等于()A. －2B. 2C. －98D. 98解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2015)＝－2.答案：A7. [2015·辽宁铁岭模拟]若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log222，则有()A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. b>c>a解析：∵a＝20.5>20＝1，b＝logπ3∈(0,1)，c＝log222<log21＝0，∴a>b>c.故选A.答案：A8. [2015·广东七校联考]已知函数f (x )＝(15)x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且x 0<x 1，则f (x 1)的值( )A. 恒为负B. 等于零C. 恒为正D. 不大于零解析：由于函数f (x )＝(15)x －log 3x 在定义域内是减函数，于是，若f (x 0)＝0，当x 0<x 1时，一定有f (x 1)<0，故选A.答案：A9. [2015·山东莱芜模拟]已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝f (2x )log 12(2－x )的定义域为( )A. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2 解析：要使函数y ＝f (2x )log 12(2－x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12(2－x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0<2－x <1⇒32≤x <2.故选B.答案：B10. 函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值时，x ＝( )A. 0B. π6C. π3D. π2解析：令f ′(x )＝1－2sin x ＝0，得x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋ 3.又f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为最大值，故选B.答案：B11. 某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x >0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( )A. 6千台B. 7千台C. 8千台D. 9千台解析：设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x >0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．答案：A12. [2015·金版创新题]函数f (x )＝2x 2e x 的图象大致是( )解析：f ′(x )＝4x e x －2x 2e x (e x )2＝4x －2x 2e x ＝2x (2－x )e x ，令f ′(x )＝0，得x＝0或x ＝2，所以f (x )＝2x 2e x 在(－∞，0]，[2，＋∞)上单调递减，在[0,2]上单调递增．故选A.答案：A第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13. 如图所示，函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k ＝________.解析：由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得两曲线交点为(0,0)，(k ，k 2)，则S ＝⎠⎛0k (kx－x 2)d x ＝92，即k 3＝27，∴k ＝3.答案：314. [2015·浙江嘉兴模拟]已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，－2，x<2，则不等式x·f(x －1)<10的解集是________．解析：当x －1≥2，即x ≥3时，f(x －1)＝(x －1)－2＝x －3，代入得x(x －3)<10，得－2<x<5，所以3≤x<5；当x －1<2，即x<3时，f(x －1)＝－2，代入得－2x<10，得x>－5，所以－5<x<3.综上不等式的解集为(－5,5)． 答案：(－5,5)15. [2015·郑州一中模考]若函数f(x)＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x)＝2mx ＋1x －2，函数f(x)在其定义域(0，＋∞)内为增函数的充要条件是2mx ＋1x －2≥0在(0，＋∞)内恒成立，即2m ≥－1x 2＋2x 在(0，＋∞)内恒成立，由于函数φ(x)＝－1x 2＋2x ＝－(1x －1)2＋1≤1，故只要2m ≥1即可，即m ≥12.答案：[12，＋∞)16. [2015·湖南长沙模拟]已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝e x －ax ，若函数f (x )在R 上有且仅有4个零点，则a 的取值范围是________．解析：本题考查函数的求导与零点的判断. 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以研究函数零点的个数，只考虑x >0的情况，作出函数y ＝e x ，y ＝ax 图象，当两函数有两交点时，满足题意，即求出过原点与函数y ＝e x 相切的直线斜率，y ′＝e x ，设切点坐标为(x 0，e x 0)，e x 0x 0＝e x 0⇒x 0＝1，切线的斜率为k ＝e ，故当a >e 时有四个零点．答案：(e ，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知R 为全集，集合A ＝{x |log 12(3－x )≥－2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5x ＋2≥1，求(∁R A )∩B . 解：由已知log 12(3－x )≥log 124， 因为y ＝log 12x 为减函数，则有⎩⎨⎧3－x ≤4，3－x >0，解得－1≤x <3，所以A ＝{x |－1≤x <3}．于是∁R A ＝{x |x <－1或x ≥3}．由5x ＋2≥1，解得－2<x ≤3，所以B ＝{x |－2<x ≤3}． 故(∁R A )∩B ＝{x |－2<x <－1或x ＝3}．18．(本小题满分12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)由f (0)＝0可知b ＝1， 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.经检验符合题意，∴a ＝2，b ＝1. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.所以k 的取值范围是(－∞，－13)．19．[2015·成都质量检测](本小题满分12分)设有两个命题： 命题p ：函数f (x )＝－x 2＋ax ＋1在[1，＋∞)上是单调递减函数；命题q ：已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线2x ＋y ＝1平行，且f (x )在[a ，a ＋1]上单调递减，若命题p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：由f (x )＝－x 2＋ax ＋1在[1，＋∞)上是单调递减函数知a2≤1，即a ≤2.由f ′(x )＝3mx 2＋2nx 得⎩⎨⎧f ′(－1)＝3m －2n ＝－2，f (－1)＝－m ＋n ＝2，即⎩⎨⎧m ＝2，n ＝4.所以f (x )＝2x 3＋4x 2.令f ′(x )＝6x 2＋8x ≤0，得x ∈[－43，0]为f (x )的单调递减区间．依题意知[a ，a ＋1]⊆[－43，0]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－43，a ＋1≤0得－43≤a ≤－1.因为命题p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 一真一假． 当p 真q 假时，－1<a ≤2和a <－43； 当p 假q 真时，a 不存在．故实数a 的取值范围是(－∞，－43)∪(－1,2]．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －e x (a >0)．(1)若a ＝12，求函数f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)当1≤a ≤e ＋1时，求证：f (x )≤x .解：(1)当a ＝12时，f (x )＝12x －e x ，f (1)＝12－e ，f ′(x )＝12－e x ，f ′(1)＝12－e ，故函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y －12＋e ＝(12－e)(x －1)，即(12－e)x －y ＝0.(2)证明：令g (a )＝x －f (x )＝－xa ＋x ＋e x ，只需证明g (a )≥0在1≤a ≤e ＋1时恒成立即可．g (1)＝－x ＋x ＋e x ＝e x >0，①g (1＋e)＝－x ·(1＋e)＋x ＋e x ＝e x －e x .设h (x )＝e x －e x ，则h ′(x )＝e x －e.当x <1时，h ′(x )<0；当x >1时，h ′(x )>0.∴h (x )在(－∞，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增． ∴h (x )≥h (1)＝e 1－e·1＝0，即g (1＋e)≥0.②由①②知，g (a )≥0在1≤a ≤e ＋1时恒成立．故当1≤a≤e＋1时，f(x)≤x.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，所以当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a，由f′(x)<0，解得－a<x<a，所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)，f(x)的单调递减区间为[－a，a]．(2)因为f(x)在x＝－1处取得极值，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性，可知f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性，可知m 的取值范围是(－3,1)．22．[2014·课标全国卷Ⅰ](本小题满分12分)设函数f (x )＝a e x ln x ＋b e x －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )>1.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b x e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e xln x ＋2x e x －1， 从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x (1－x )． 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。
