高一数学竞赛练习卷二

数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。

答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。

答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。

答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。

答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。

证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。

因此，该三角形为直角三角形。

2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。

解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。

高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第二卷（第二轮 考试时间60分钟，满分100分）班级 姓名 得分一、选择题（每题６分，36分）1．集合｛0,1，2,2004｝的子集的个数是 （ ）（A ）16 （B ）15 （C ）8 （D ）7 ２．乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910---- 等于( ). (A)125 (B)21 (C)2011 (D)107 3 ．某公司从2001年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2005年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2005年底这位职工的工龄至少是（ ） （A ）2年（B ）3年（C ）4年（D ）5年4.若F(11x x-+)=x 则下列等式正确的是（ ）. （A ）F(-2-x)=-1-F(x)（B ）F(-x)=11x x+-（C ）F(x -1)=F(x)（D ）F （F （x ））=-x 5．已知c b a 、、是实数，条件0:=abc p ；条件0:=a q ，则p 是q 的（ ）(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件6．已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形D C B A ''''。

四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ''''的面积等于（ ）A ．9B ．26C ．34D ．6 二、填空题（每题5分，25分）7．如果}66{}42,3,2,1{}2,{22--=-a a a a ，则a 的值是 。

8. Let f be a function such that 22))((2)()(y f x f y x f +=+ for any real numbers x and y , and 0)1(≠f , then (2005)f is equal to _____________.9．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A 、B 、C 、D 、E ，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A 、B 、C 、D 分别被读了1、1、2、4次。

2021年HY 高级中学高中数学竞赛模拟试卷二一、制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日二、选择题：a 、b 、c 为实数，0,024<++>+-c b a c b a ，那么以下四个结论中正确的选项是 〔 〕〔A 〕ac b ≤2〔B 〕ac b >2〔C 〕ac b >2且0>a 〔D 〕ac b >2且0<a △ABC 中，假设a BC AB A ===∠,2,450，那么2=a 是△ABC 只有一解的〔 〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分又不必要条件)1,sin 42cos 3(),1sin 22cos ,(-+-=-+=x x b x x m a ,定义函数b a x f ⋅=)(.假设对任意的]2,0[π∈x ，不等式0)(>x f 恒成立，那么m 的取值范围是 〔 〕〔A 〕),81(+∞〔B 〕)81,0[〔C 〕)2,81(〔D 〕),2(+∞4.设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，那么二面角C —FG —E的大小是〔 〕〔A 〕36arcsin〔B 〕33arccos 2+π〔C 〕2arctan 2-π〔D 〕22cot arc -π}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为〔3〕，〔5，7〕，〔9，11，13〕，〔15，17，19，21〕，〔23〕，〔25，27，〕，〔29，31，33〕，〔35，37，39，41〕，…，在第100个括号内各数之和为〔 〕〔A 〕1992 〔B 〕1990 〔C 〕1873 〔D 〕1891n i n x i ,,2,1},,,2,1{ =∈，满足2)1(1+=∑=n n x ni i ，!21n x x x n =⋅⋅⋅ ，使1x ，2x ，…，n x 一定是n ,,2,1 的一个排列的最大数n 是 〔 〕〔A 〕4 〔B 〕6 〔C 〕8 〔D 〕9三、填空题：7. 假设实数x 、y 满足条件122=-y x ，那么x yx212+的取值范围是___________________.8. 对于给定的正整数4≥n ，等式423n m C C =成立，那么所有的m 一定形如_____________.〔用n 的组合数表示〕9. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在获得正品前已取出的废品数ξ的数学期望ξE =_________________.10. 设点F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点、以F 2为焦点。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12． 又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分 情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数 ，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ． 事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102． 注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ． 若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分 另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求． 从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分 同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA． 又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ． 所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格， 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分 下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ， 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）． 另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。

数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。

4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。

三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。

6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。

四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。

8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。

五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。

如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。

10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。

答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。

高一数学竞赛试题北京【试题一：代数问题】题目：已知函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中\( a \)，\( b \)，\( c \)为常数，且\( a \neq 0 \)。

若函数\( f(x) \)在\( x = 1 \)处取得极小值，求\( a \)，\( b \)，\( c \)之间的关系。

解答：首先，我们知道一个二次函数的极值点可以通过求导数来找到。

对于函数\( f(x) \)，其导数为\( f'(x) = 2ax + b \)。

由于\( x = 1 \)是极小值点，我们有\( f'(1) = 2a + b = 0 \)。

又因为极小值点处的导数为0，我们可以得出\( a \)和\( b \)之间的关系。

同时，我们可以利用极小值的定义，即\( f(1) \)是\( x \)在\( 1 \)附近的最小值，进一步确定\( a \)的符号。

由于\( a \)是二次项系数，它决定了函数的开口方向，而极小值意味着开口向上，所以\( a > 0 \)。

结合以上信息，我们可以得出\( b = -2a \)。

【试题二：几何问题】题目：在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB是斜边，且AC = 6，BC = 8。

求直角三角形ABC的周长。

解答：根据勾股定理，我们知道在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

即\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)。

将已知的AC和BC的值代入，我们得到\( AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)，所以\( AB = 10 \)。

直角三角形的周长是三边之和，所以周长为\( AC+ BC + AB = 6 + 8 + 10 = 24 \)。

【试题三：数列问题】题目：给定数列\( \{a_n\} \)，其中\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} =a_n + 2n \)。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。

8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。

9. 一个正六边形的内角和为 _______。

10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。

11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。

三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。

13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试仿真模拟卷（二）一、填空题（每题8分，共64分）1．若sin cos sin 222θθα⋅=，sin sin cos θβθ、、成等比数列，则2cos cos2αβ-=________. 2．已知正实数列{}n a 满足：11a =，27a =，21214(2,3,)12n n nn n a a a a n a +-+==+，则2018a =________.3．已知定义在R 上的函数()y f x =（x ），对任意满足222p q r +=的p 、q 、r 均有()f p +()()0f q f r +=，M 、m 分别为函数()()tan 3g x f x x =++，在(),22x ππ∈-上的最大值和最小值，则M m +=________.4．在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB BC ==，1BB =90ABC ∠=︒，E 、F 分别为边111AA B C 、的中点，则点E 沿棱柱的表面到点F 的最短路径的长度为________.5．设复数123z z z 、、满足1232018z z z ===．则123123111z z z z z z ++++的值为________.6．已知：211111()11121212n n a n +-=++++∈++++N ，则[]20181k k a ==∑________. 7．已知1F 、2F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其中的一个公共点，且123F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e 和2e ，则2212e e +的最小值为________.8．用1、2、3、4、5、6、7这七个数字组成没有重复数字的七位数，使其恰好是11的倍数的概率为________. 二、解答题（共56分）9．（16分）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11112111n n n a a a n n ++++<<-+12na +．求数列{}n a 的通项n a ．10．（20分）如图，设动点P 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使0OM ON ⋅=，其中点O 为坐标原点．11．（20分）已知函数()f x =(0,)x ∈+∞． （1）当8a =时，求()f x 的单调区间； （2）对任意正数a ，证明：1()2f x <<．2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试仿真模拟卷（二）详细解析1．1-．解：由题意得：sin sin cos αθθ=+，2sin sin cos βθθ=⋅． 故222222cos cos21sin (12sin )sin 2sin (sin cos )2sin cos 1.αβαβαβθθθθ-=---=-+=-++⋅=-2．201832-．解：由题意得，()2111112222722(2,3,)3222212n n n n n n n n n a a a a a n a a a a +++--+++++=-⇒==⇒==+++++． 故数列{}2n a +是以123a +=为首项，3q =为公比的等比数列． 从而，1332n n a -=⨯-．故2018201832a =-．3．6．解：令0p q r ===，则(0)0f =．令0q =，p x =，r x =-，则()(0)()0()()f x f f x f x f x ++-=⇒=--． 所以()f x 为奇函数．故()3y g x =-也为奇函数．因此，6M m +=．4．32．解：比较以下三种情形下的线段EF 的长度：分别将以下三个二面角11111111A A B C A BB C A AC B ------、、展成平面， 利用余弦定理计算即可． 5．14072324．解：因为2018(1,2,3)i z i ==，所以22018i i z z =．从而，212018i i z z =．故原式12312322221231231120182018201820184072324z z z z z z z z z z z z ++++===++++． 6．2016．解：一方面，211111112212222n n n a --<++++=-<． 另一方面，当3n ≥时，11111111123512235n n a -=++++≥++>+．所以当3n ≥时，[]1n a =．又112a =，256a =，从而12[][]0a a ==．故[]201812016k k a ==∑．7．12+．解： 设1PF x =，2PF y =（不妨x y >），椭圆的长轴长为2m ，双曲线的实轴长为2n ，122F F c =．则2x y m +=，2x y n -=，2224x y xy c +-=．故22234m n c+=，所以2212134e e +=． 于是，222212122212134()()4e e e e e e ⎛⎫+=++≥+ ⎪⎝⎭．所以221212e e +≥+． 当221222213e e e e =，且2212134e e +=，即2114e =，2234e =时，2212min ()12e e +=+． 8．435．解：注意到，一个正整数被11整除当且仅当其奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差被11整除．记七位数为7654321a a a a a a a ．则满足题意的七位数共有7!个． 又()()75316420(mod11)a a a a a a a +++-++≡． 而()()7531642max 456712316a a a a a a a +++-++=+++---=．故只能是7531642a a a a a a a +++=++， 即：753164214a a a a a a a +++=++=．于是，分组只能是：{2,3,4,5}和{1,6,7}，{1,2,4,7}和{3,5,6}，{1,2,5,6}和{3,4,7}，{1,3,4,6}和{2,5,7}．和共四种情形．每种情形可以组成4!3!⨯个被11整除的七位数．故所求的概率为44!3!47!35⨯⨯=． 9．解法一：易得：11a =，24a =，39a =，猜想：n a n =． 下面用数学归纳法证明．（1）当1n =，2时，易知2n a n =均成立； （2）假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，且满足1111122111k k k ka a a a k k ++++<<+-+ ①当1n k =+时， 由①得221122122221211112(1)2(1)(1)11(1)1(1)(1).11k k k k k k a ka k k k k k k a k k k k k a k k k ++++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭++-⇒<<-+-+⇒+-<<+++- 因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以22(1)(0,1]1k k +∈+． 又11k -≥，所以1(0,1]1k ∈-． 又*1k a +∈N ，所以221(1)(1)k k a k ++≤≤+． 故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由（1），（2）知，对任意*n ∈N ，2n a n =．解法二：易得：11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =.. 下面用数学归纳法证明（1）当1n =，2时，易知2n a n =均成立； （2）假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，且满足1111122111k k k ka a a a k k ++++<<+-+ ①当1n k =+时， 由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭． ①即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+． ②由②左式，得2111k k k k k a +-+-<，即321(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数， 则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-≤+--=+-于是21(1)k a k +≤+．③又由②右式，22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k +++-+-+<=． 则231(1)(1)k k k a k k +-+>+．因为两端为正整数，则2431(1)1k k k a k k +-+≥++，所以4321221(1)11k k k ka k k k k k +++≥=+--+-+．又因2k ≥时，1k a +为正整数，则21(1)k a k +≥+．④据③④得，21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立． 由（1），（2）知，对任意*n ∈N ，2n a n =．10．解法一：（1）在△P AB 中，||2AB =，即222121222cos2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A 、B为焦点，实轴长2a =的双曲线，方程为：2211x y λλ-=-． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(1,1)M 和(1,1)N -在双曲线上．即111λλ-=-211102λλλ-⇒+-=⇒=，因为01λ<<，所以12λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩，得：2222[(1)]2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ--+---+=， 由于该方程有两个不同的解，故2[(1)]0k λλ--≠，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--．于是，22212122(1)(1)(1)k y y k x x kλλλ=--=--． 因为0OM ON ⋅=，且M 、N 在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+==⎧-⎧⎪>⇒<<⎪⎪+-+>⇒⇒⎨⎨⎨+--⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎩-．由①②知，1223λ-≤<． 解法二：（1）同解法一（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，MN 的中点为()00,E x y ①当121x x ==时，22||1101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，因为01λ<<．所以λ=②当12x x ≠时，22110222211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⋅⎨-⎪-=⎪⎩-． 又001MN BE y k k x ==-所以22000(1)y x x λλλ-=-； 由2MON π∠=得()2220||2MN x y +=，第二定义得()()221220200||2221(1)21.MN e x x a x x x λλ+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=-=+---所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ-=-⎧⎨-=--+-⎩ 得20(1)23x x λ-=-．因为01x >，所以2(1)123x x ->-，又01λ<<，解得：1223λ-<<由①②知1223λ≤<． 11．（1）当8a =时，11()33f x =+=+．则(1)(1()1x f x x+⋅=+=='''令()0f x '>，结合0x >，解得01x <<．故()f x 在(0,1)单调递增，同理()f x 在(1,)+∞单调递减．所以8a =时，()f x 单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞．（2）对任意给定的0a >，0x >因()f x =，若令8b ax=，则8abx =． ①则()f x =②先证()1f x >：因为11x >+11a >+11b >+．又由28a b x +++≥=，从而6a b x ++≥．所以111()11132()9()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)1()() 1.(1)(1)(1)f x x a ba b x ab bx ax a b x ab bx ax x a b x a b a b x ab bx ax abx x a b =+>+++++++++++++++++=≥+++++++++++++==+++ 再证：()2f x <：由①、②的关于x 、a 、b 的对称性，不妨设x a b ≥≥，则02b <≤，1°当7a b +≥，则5a ≥，从而5x a ≥≥，1<1≤=<．所以()2f x =++<． 2°若7a b +<，由①得8x ab=，则=因为222111114()2(1)b b b b b a b b ⎛⎫<-+=- ⎪++++⎝⎭．12(1)bb <-+．12(1)a a <-+，于是1()2211a b f x a b ⎛<-+- ++⎝．现证明11a b a b +>++因为11a b a b +>++> 只要(1)(1)8a b ab ++<+，即证18a b ab ab +++<+，即7a b +<，由假设知该式成立．综上，对任意正数a ，1()2f x <<．。

高一数学竞赛试题一．选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.）1、设集合Ａ＝{}43.21,,,a a a a ，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成集合{}8,5,3,1-=B ，则A ＝（ ）A ．{}6,2,1,3-B ．{}6,2,0,3-C ．{}6,2,1,1-D ．{}6,1,0,3- 2、等差数列{}n a 中，已知10573a a =，且01<a ，则前n 项和S n 中最小的是（ ） A ．S 7或S 8 B ．S 12 C ．S 13 D ．S 15 3、已知函数x a x f 3sin)(π=，a等于抛一骰子得到的点数，则)(x f y =在[0，4]上至少有5个零点的概率为（ ） A ．31 B ．21 C ．32 D ．654、若方程 04)1(2=++-x m x 在（0，3]上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为（ ） A ．（3，310） B ．[3，310） C ．[3，310] D ．（3，310]5、已知在半径为2的圆Ｏ上有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点，若ＡＢ＝ＣＤ＝2，ＡＢ、ＣＤ中点分别为O 1,Ｏ2，则△Ｏ2AB 的面积最大值为（ ） A ．32 B ．22 C ．3 D ．336、函数)123(log )(2-++-=a x ax x f a 对于任意的x ∈（0，1]恒有意义，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞0且a ≠1 B ．a ≥21且a ≠1 C ．a ＞21且a ≠1 D ．a ＞17、已知0＜α2＜090＜β＜0180，a ＝βαcos )(sin ，βαsin )(cos =b ，βαcos )(cos =c ，则a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b8、已知数列}{n a 满足1a ＝1，1321113121--+⋯⋯+++=n n a n a a a a ,2(≥n )*N n ∈，若100=k a ，则k 为（ ）A ．100B ．300C ．200D ．4009、设Ｐ为△AB Ｃ内一点，且ACAB AP 5152+=,则△ＰB Ｃ与△AB Ｃ的面积之比为（ ） A ．51 B ．53C ．54 D ．5210、若任意满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-03050y y x y x 的实数x ，y ，不等式222)()(y x y x a +≤+恒成立，则实数a 的最大值为（ ） Ａ.1322 B.1325 C. 2 D.2513二、填空题（每小题5分，共25分）11、如图，四边形ＡＢＣＤ中，Ａ＝60°, AD ⊥CD ，ＤＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝32，ＢＤ＝4，则BC 的长为 。

高一第二学期数学竞赛试题一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数满足17<a <20的概率是( )A.13B.12 C .310 D.7102．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32 C ．2 D ．63．设向量a ＝(cos α，12)，若a 的模长为22，则cos 2α等于( )A ．－12B ．－14 C.12 D.324．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．125．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于( )A ．－22B .22C ．－1D ．16．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( ) A .23 B.13 C ．－13 D ．－237．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．38．设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图像关于直线x ＝π3对称B ．f (x )的图像关于点(π4，0)对称C ．把f (x )的图像向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图像D ．f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数9．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定10．已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数二、填空题(本大题共5小题，每小4分，共20分)11．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________．0.312．已知α、β为锐角，且a ＝(sin α，cos β)，b ＝(cos α，sin β)，当a ∥b 时，α＋β＝________.π213．已知cos 4α－sin 4α＝23，α∈(0，π2)，则cos(2α＋π3)＝________.13－15614．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC→＝________.2 15．若θ∈[0，π2]，且sin θ＝45，则tan θ2＝________.12三、解答题(本大题共6小题，共60分)16．(12分)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x ，y )表示“甲在x 号车站下车，乙在y 号车站下车”．(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．解 (1)甲、乙两人下车的所有可能的结果为：(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A ，则P (A )＝19. (3)设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B ，则P (B )＝1－3×19＝23. 17．(12分)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2.(1)若a ⊥b ，求θ；(2)求|a ＋b |的最大值．解 (1)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0.由此得tan θ＝－1(－π2<θ<π2)，∴θ＝－π4.(2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得a ＋b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，|a ＋b |＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin (θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1.18．(12分)已知x ∈R ，向量OA →＝(a cos 2x,1)，OB →＝(2，3a sin 2x －a )，f (x )＝OA →·OB→，a ≠0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为5，求a 的值．解 (1)f (x )＝2a cos 2x ＋3a sin 2x －a ＝3a sin 2x ＋a cos 2x ＝2a sin(2x ＋π6)．(2)由(1)知f (x )＝2a sin(2x ＋π6)．当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]．若a >0，当2x ＋π6＝π2时，f (x )max ＝2a ＝5，则a ＝52；若a <0，当2x ＋π6＝7π6时， f (x )max ＝－a ＝5，则a ＝－5.所以a ＝52或－5.19．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α∈(－π3，π2)，f (α＋π3)＝13，求sin(2α＋5π3)的值．解 (1)∵图像上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T ＝2π，则ω＝2πT ＝1.∴f (x )＝sin(x ＋φ)．∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝cos x .(2)由已知得cos(α＋π3)＝13.∵α∈(－π3，π2)．∴α＋π3∈(0，5π6)．∴sin(α＋π3)＝223.∴sin(2α＋5π3)＝－sin(2α＋2π3)＝－2sin(α＋π3)cos(α＋π3)＝－429.20．(12分)已知函数f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)若A 为锐角，且向量m ＝(1,5)与向量n ＝(1，f (π4－A ))垂直，求cos 2A 的值．解 (1)f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32 ＝3[22(sin x ＋cos x )]2－cos 2x －1＋32 ＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π6)－1，所以f (x )的最小正周期为π，最小值为－2.(2)由m ＝(1,5)与n ＝(1，f (π4－A ))垂直，得5f (π4－A )＋1＝0，∴5sin[2(π4－A )－π6]－4＝0，即sin(2A －π3)＝－45.∵A ∈(0，π2)，∴2A －π3∈(－π3，2π3)，∵sin(2A －π3)＝－45<0，∴2A －π3∈(－π3，0)，∴cos(2A －π3)＝35.∴cos 2A ＝cos[(2A －π3)＋π3]＝35×12＋45×32＝43＋310.。