八年级数学上册 全册全套试卷(Word版 含解析)

八年级数学上册全册全套试卷试卷（word版含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝_________．（用α，β表示）【答案】12(α+β)．【解析】【分析】连接BC，根据角平分线的性质得到∠3=12∠ABP，∠4=12∠ACP，根据三角形的内角和得到∠1+∠2=180°-β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）=180°-α，求出∠3+∠4=12（β-α），根据三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：连接BC，∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∴∠3=12∠ABP，∠4=12∠ACP，∵∠1+∠2=180°-β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）=180°-α，∴∠3+∠4=12（β-α），∵∠BQC=180°-（∠1+∠2）-（∠3+∠4）=180°-（180°-β）-12（β-α），即：∠BQC=12（α+β）．故答案为：12（α+β）．【点睛】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，连接BC构造三角形是解题的关键．2．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的 A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ 三个角的数量关系是__________ ．【答案】γ=2α+β．【解析】【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【详解】由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：γ=2α+β．【点睛】此题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．3．一个多边形的内角和与外角和的差是180°，则这个多边形的边数为_____．【答案】5【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列式求解即可【详解】解：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°﹣360°＝180°，解得n＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．4．三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为_____．【答案】5:4:3【解析】试题解析：设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，则x+2x+3x=180，6x=180，x=30，∴三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°，则三个外角的度数比为：150°：120°：90°=5：4：3，故答案为5：4：3．5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为_____．【答案】10°【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据翻折变换的性质可得∠CA′D=∠A，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝90°﹣50°＝40°，∵折叠后点A落在边CB上A′处，∴∠CA′D＝∠A＝50°，由三角形的外角性质得，∠A′DB＝∠CA′D﹣∠B＝50°﹣40°＝10°．故答案为：10°．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等．6．如图，小新从A点出发，沿直线前进50米后向左转30°，再沿直线前进50米，又向左转30°，…照这样下去，小新第一次回到出发地A点时，一共走了__米．【答案】600【解析】【分析】【详解】解：根据题意可知：小新从A点出发，沿直线前进50米后向左转30º，再沿直线前进50米，又向左转30º，……照这样下去,小新第一次回到出发地A点时,小新走的路线围成一个正多边形,且这个多边形的外角等于30º，所以这个正多边形的边数是12，小新一共走了12×50=600米，故答案为：600．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案【详解】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得∵F是BE的中点，S△CFE＝S△CFB＝5，∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，∵E是AD的中点，∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE∴S△BDE+S△CDE＝10∴S△AEB+S△AEC＝10∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20故选：B．【点睛】熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中家以应用.8．能够铺满地面的正多边形组合是（）A．正三角形和正五边形B．正方形和正六边形C．正方形和正五边形D．正五边形和正十边形【答案】D【解析】【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是要看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．【详解】解：A、正五边形和正三边形内角分别为108°、60°，由于60m+108n=360，得m=6-95 n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，故此选项错误；B、正方形、正六边形内角分别为90°、120°，不能构成360°的周角，故不能铺满，故此选项错误；C、正方形、正五边形内角分别为90°、108°，当90n+108m=360，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，故此选项错误；D、正五边形和正十边形内角分别为108、144，两个正五边形与一个正十边形能铺满地面，故此选项正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．需注意正多边形内角度数=180°-360°÷边数．9．一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6【答案】D【解析】如图所示:AB=5，AC=7，设BC=2a，AD=x，延长AD至E，使AD=DE，在△BDE与△CDA中，∵AD=DE，BD=CD，∠ADC=∠BDE，∴△BDE≌△CDA，∴AE=2x，BE=AC=7，在△ABE中，BE-AB＜AE＜AB+BE，即7-5＜2x＜7+5，∴1＜x＜6．故选D．10．已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）A．45°B．45° 或135°C．45°或125°D．135°【答案】B【解析】【分析】①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A，从而得解．【详解】①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，在△ABD中，∵∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；②如图2，△ABC是钝角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，∵∠ACE=∠HCD（对顶角相等），∴∠BHC=∠A=45°．综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．故选B.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．11．一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1:3，则这个多边形为（）A．三角形B．四边形C．六边形D．八边形【答案】D【解析】【分析】一个外角与一个内角的比为1 : 3，则内角和是外角和的3倍，根据多边形的外角和是360°，即可求得多边形的内角的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．【详解】解：多边形的内角和是：360°×3=1080°．设多边形的边数是n，则（n-2）•180=1080，解得：n=8．即这个多边形是正八边形．故选D．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．12．如果一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是（）A．八边形B．十四边形C．十边形D．十二边形【答案】D【解析】【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【详解】这个正多边形的边数是n，根据题意得：（n﹣2）•180°=1800°解得：n=12．故选D．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，P为等边△ABC内一点，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，则BD的长为______.【答案】34【解析】【分析】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，由全等三角形的性质可得CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，结合等边三角形的性质可得出∠ECP=60°，进而证明△ECP为等边三角形，由等边△ECP的性质进而证明D、P、E三点共线以及∠DEB=90°，最后利用勾股定理求出BD的长度即可.【详解】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，∴CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，∵等边△ABC，∴∠ACP+∠PCB=60°，∴∠ECB+∠PCB=60°,即∠ECP=60°，∴△ECP为等边三角形，∴∠CPE=∠CEP=60°，PE=6，∴∠DEB=90°，∵∠APC=150°，∠APD=30°，∴∠DPC=120°，∴∠DPE=180°，即D、P、E三点共线，∴ED=3+7=10，∴BD=22DE BE=234.故答案为234.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三点共线的判定，运用旋转构造全等三角形是解题的关键.14．如图，已知OP平分∠AOB，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．CP＝254，PD＝6．如果点M是OP的中点，则DM的长是_____．【答案】5．【解析】【分析】由角平分线的性质得出∠AOP=∠BOP，PC=PD=6，∠PDO=∠PEO=90°，由勾股定理得出2274CE CP PE =-=，由平行线的性质得出∠OPC=∠AOP ，得出∠OPC=∠BOP ，证出254CO CP ==，得出OE=CE+CO=8，由勾股定理求出2210OP OE PE =+=，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【详解】∵OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，∴∠AOP ＝∠BOP ，PC ＝PD ＝6，∠PDO ＝∠PEO ＝90°，∴222257446CE CP PE ⎛⎫⎪⎭-⎝=-==， ∵CP ∥OA ，∴∠OPC ＝∠AOP ，∴∠OPC ＝∠BOP ，∴254CO CP ==， ∴725448OE CE CO =+=+=， ∴22228610OP OE PE =+=+=，在Rt △OPD 中，点M 是OP 的中点，∴125DM OP ==； 故答案为：5．【点睛】 本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识；熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质，证明CO=CP 是解题的关键．15．已知：如图，△ABC 和△DEC 都是等边三角形，D 是BC 延长线上一点，AD 与BE 相交于点P ，AC 、BE 相交于点M ，AD ，CE 相交于点N ，则下列五个结论：①AD ＝BE ；②AP ＝BM ；③∠APM ＝60°；④△CMN 是等边三角形；⑤连接CP ，则CP 平分∠BPD ，其中，正确的是_____．（填写序号）【答案】①③④⑤．【解析】【分析】①根据△ACD ≌△BCE (SAS )即可证明AD ＝BE ；②根据△ACN ≌△BCM (ASA )即可证明AN ＝BM ，从而判断AP ≠BM ；③根据∠CBE +∠CDA ＝60°即可求出∠APM =60°；④根据△ACN ≌△BCM 及∠MCN ＝60°可知△CMN 为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知.【详解】①∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°∴∠ACE ＝60°∴∠ACD ＝∠BCE ＝120°在△ACD 和△BCE 中CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE (SAS )∴AD ＝BE ；②∵△ACD ≌△BCE∴∠CAD ＝∠CBE在△ACN 和△BCM 中ACN BCM CA CBCAN CBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACN ≌△BCM (ASA )∴AN ＝BM ；③∵∠CAD +∠CDA ＝60°而∠CAD ＝∠CBE∴∠CBE +∠CDA ＝60°∴∠BPD ＝120°∴∠APM ＝60°；④∵△ACN ≌△BCM∴CN ＝BM而∠MCN ＝60°∴△CMN 为等边三角形；⑤过C 点作CH ⊥BE 于H ，CQ ⊥AD 于Q ，如图∵△ACD≌△BCE∴CQ＝CH∴CP平分∠BPD.故答案为：①③④⑤．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键.16．如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AB+AD= 2AE；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S ACE﹣S BCE=S ACD．其中正确的是______．【答案】①②③④．【解析】【分析】【详解】①在AE取点F，使EF＝BE，连接CF．∵AB＝AD＋2BE＝AF＋EF＋BE，EF＝BE，∴AB＝AD＋2BE＝AF＋2BE，∴AD＝AF，∴AB＋AD＝AF＋EF＋BE＋AD＝2AF＋2EF＝2(AF＋EF)＝2AE，∴AB+AD= 2AE，故①正确；②在AB上取点F，使EF＝BE，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC＝∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．又∵∠AFC＋∠CFB＝180°，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠DAB+∠DCB=180°故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD＝CF，又∵CF＝CB，∴CD＝CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF＝S△ADC，∴S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC，故④正确．综上所述，正确的结论是①②③④，故答案为①②③④．17．如图，AB＝BC且AB⊥BC，点P为线段BC上一点，PA⊥PD且PA＝PD，若∠A＝22°，则∠D的度数为_________．【答案】23°【解析】解：过D作DE⊥PC于E．∵PA⊥PD，∴∠APB+∠DPE=90°．∵AB⊥BC，∴∠A+∠APB=90°，∴∠A=∠DPE=22°．在△ABP和△PED中，∵∠A=∠DPE，∠B=∠E=90°，PA＝PD，∴△ABP≌△PED，∴AB=PE，BP=DE．∵AB=BC，∴BC=PE，∴BP=CE．∵BP=DE，∴CE=DE，∴∠DCE=45°，∴∠PDC=∠DCE－∠DPC=45°－22°=2 3°．故答案为：23°．18．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的边长分别为5和12，则b 的面积为_________________.【答案】169【解析】解：由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC =CD ，∠ACD =90°；∵∠ACB +∠DCE =∠ACB +∠BAC =90°，即∠BAC =∠DCE ，∠ABC =∠CED =90°，AC =CD ，∴△ACB ≌△DCE ，∴AB =CE ，BC =DE ； 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2，即S b =S a +S c =22512 =169． 故答案为：169．点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，点A ，D 在直线BE 的两侧，AB ∥DE ，BF ＝CE ，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC ≌△DEF （ ）A ．AC ＝DFB ．AC ∥DF C ．∠A ＝∠D D ．AB ＝DE【答案】A【解析】【分析】 根据AB ∥DE 证得∠B ＝∠E ，又已知BF ＝CE 证得BC ＝EF ，即已具备两个条件：一边一角，再依次添加选项中的条件即可判断.【详解】∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠E ，∵BF ＝CE ，∴BF +FC ＝CE +FC ，∴BC ＝EF ，若添加AC ＝DF ，则不能判定△ABC ≌△DEF ，故选项A 符合题意；若添加AC ∥DF ，则∠ACB ＝∠DFE ，可以判断△ABC ≌△DEF （ASA ），故选项B 不符合题意；若添加∠A ＝∠D ，可以判断△ABC ≌△DEF （AAS ），故选项C 不符合题意；若添加AB ＝DE ，可以判断△ABC ≌△DEF （SAS ），故选项D 不符合题意；故选：A ．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理，熟练掌握定理，并能通过定理去判断条件是否符合全等是解决此题的关键.20．如图，在等腰△ABC 中，90ACB ︒∠=，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =,连接DE 、DF 、EF 在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF 是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE 不可能为正方形，（3）DE 长度的最小值为4；（4）连接CF ，CF 恰好把四边形CDFE 的面积分成1：2两部分，则CE =13或143其中正确的结论个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】 连接CF ，证明△ADF ≌△CEF ，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．【详解】连接CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF(SAS)；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90∘，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘，又∵EF=DF∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确).当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形(故(2)错误).由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时,DE最小,此时142DF BC== .∴242DE DF=故(3)错误).∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CDFE=S△AFC,∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=13S△ACF=111684323⨯⨯⨯=又∵S△ADF=1422AD AD ⨯⨯=∴2AD=16 3∴AD=83(故(4)错误).故选：A.【点睛】本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.21．如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF .列结论：①△ADC ≌△AFB ；②△ABE ≌△ACD ；③△AED ≌△AEF ；④BE DC DE += 其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③【答案】D【解析】 解：∵将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，∴△ADC ≌△AFB ，故①正确； ②无法证明，故②错误；③∵△ADC ≌△AFB ，∴AF =AD ，∠FAB =∠DAC ．∵∠DAE =45°，∴∠BAE +∠DAC =45°，∠FA E =∠DAE =45°．在△FAE 和△DAE 中，∵AF =AD ，∠FAE =∠DAE ，AE =AE ，∴△FAE ≌△DAE ，故③正确；④∵△ADC ≌△AFB ，∴DC =BF ，∵△FAE ≌△DAE ，∴EF =ED ，∵BF +BE ＞EF ，∴DC +BE ＞ED ．故④错误．故选D ．22．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，BD AE ⊥于点D ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，连接CD ，给出四个结论:①45ADC ∠=︒;②12BD AE =;③AC CE AB +=;④2AB BC FC -=;其中正确的结论有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】试题解析：如图，过E 作EQ ⊥AB 于Q ，∵∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，∴CE=EQ ，∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵EQ ⊥AB ，∴∠EQA=∠EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ ，∴∠QEB=45°=∠CBA ，∴EQ=BQ ，∴AB=AQ+BQ=AC+CE ，∴③正确；作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ， ∵∠CAD=12∠CAB=22.5°=∠BAD ， ∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD ，∴∠DBC=∠CAD ，在△ACN 和△BCD 中， DBC CAD AC BCACN DCB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ACN ≌△BCD ，∴CN=CD ，AN=BD ，∵∠ACN+∠NCE=90°，∴∠NCB+∠BCD=90°，∴∠CND=∠CDA=45°，∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN ，∴AN=CN ，∴∠NCE=∠AEC=67.5°，∴CN=NE ， ∴CD=AN=EN=12AE ，∵AN=BD ， ∴BD=12AE ， ∴①正确，②正确；过D 作DH ⊥AB 于H ，∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，∴∠FCD=∠DBA ，∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DF=DH ，在△DCF 和△DBH 中90F DHB FCD DBA DF DH ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△DCF ≌△DBH ，∴BH=CF ，由勾股定理得：AF=AH ，∴2,2AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF AF AF AM AF AF+++++++====， ∴AC+AB=2AF ，AC+AB=2AC+2CF ，AB-AC=2CF ，∵AC=CB ，∴AB-CB=2CF ， ∴④正确．故选D23．在△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 的中点，ED ⊥AB,∠DAE=∠CAE ，则 ∠CAB ＝（ ）A ．30°B ．60°C ．80 °D ．50°【答案】B【解析】 试题解析：∵D 为AB 的中点，ED ⊥AB ，∴DE 为线段AB 的垂直平分线，∴AE =BE ，∴∠DAE =∠DBE ，∴∠DAE =∠DBE =∠CAE ，在Rt △ABC 中，∵∠CAB +∠DBE =90°，∴∠CAE +∠DAE +∠DBE =90°，∴3∠DBE =90°，∴∠DBE =30°，∴∠CAB =90°-∠DBE =90°-30°=60°．故选B ．24．在ABC 中，2,72A B ACB ∠=∠∠≠︒，CD 平分ACB ∠，P 为AB 的中点，则下列各式中正确的是（ ）A ．AD BC CD =-B ．AD BC AC =- C ．AD BC AP =-D ．AD BC BD =-【答案】B【解析】【分析】 可在BC 上截取CE=CA ，连接DE ，可得△ACD ≌△ECD ，得DE=AD ，进而再通过线段之间的转化得出线段之间的关系．【详解】解：∵∠A=2∠B ， ∴∠A ﹥∠B ∴BC ﹥AC∴可在BC上截取CE=CA，连接DE(如图)，，∴∠ACD=∠BCD∵CD平分ACB又∵CD=CD，CE=CA∴△ACD≌△ECD，∴AD=ED，∠CED=∠A=2∠B又∠CED=∠B+∠BDE∴∠B=∠BDE∴AD=DE=BE，∴BC=BE+EC=AD+AC所以AD=BC-AC故选：B若A选项成立，则CD=AC，∴∠A=∠CDA=∠CDE=∠CED=2∠B=2∠EDB∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°即5∠EDB=180°∴∠EDB=36°∴∠A=72°，∠B=36°∴∠ACB=72°与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项A不正确;假设C选项成立，则有AP=AC，作∠BAC的平分线，连接FP，∴△CAF≌△PAF≌△PBF，∴∠CFA=∠AFP=∠PFB=60°∠B=30°，∠ACB=90°当∠ACB=90°时，选项C才成立，∴当∠ACB≠72°时，选项C不一定成立；假设D选项成立，则AD=BC-BD由图可知AD=BA-BD∴AB=BC∴∠A=∠ACB=2∠B∴∠A+∠ACB+∠B=180°∴∠B=36°，∠ACB=72这与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项D不成立．故选：B【点睛】本题考查的是考查的是利用角的平分线的性质说明线段之间的关系．,,五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______【答案】110°、125°、140°【解析】【分析】先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.【详解】解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，∴b﹣d=10°，∴（60°﹣a）﹣d=10°，∴a+d=50°，即∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°；所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形，故答案为：110°、125°、140°.【点睛】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.26．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．【答案】10【解析】利用正多边形的性质，可得点B 关于AD 对称的点为点E ，连接BE 交AD 于P 点，那么有PB=PF ，PE+PF=BE 最小，根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF 的最小值为10.故答案为10.27．如图，将ABC ∆沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的1A 处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为1h ，还原纸片后，再将ADE ∆沿着过AD 中点1D 的直线折叠，使点A 落在DE 边上的2A 处，称为第2次操作，折痕11D E 到BC 的距离记为2h ，按上述方法不断操作下去…经过第2020次操作后得到的折痕20192019D E 到BC 的距离记为2020h ，若11h =，则2020h 的值为______．【答案】2019122-【解析】【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA ₁=DB,从而可得∠ADA ₁=2∠B,结合折叠的性质可得.，∠ADA ₁=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,继而判断DE// BC,得出DE 是△ABC 的中位线，证得AA ₁⊥BC,AA ₁=2，由此发现规律：012122h =-=-₁同理21122h =-3211122222h =-⨯=-…于是经过第n 次操作后得到的折痕Dn-1 En-1到BC 的距离1122n n h -=-，据此求得2020h 的值． 【详解】解：如图连接AA ₁,由折叠的性质可得：AA ₁⊥DE, DA= DA ₁ ,A ₂、A ₃…均在AA ₁上又∵ D 是AB 中点，∴DA= DB ,∵DB= DA ₁ ,∴∠BA ₁D=∠B ,∴∠ADA ₁=∠B +∠BA ₁D=2∠B,又∵∠ADA ₁ =2∠ADE ,∴∠ADE=∠B∵DE//BC,∴AA ₁⊥BC ,∵h ₁=1∴AA ₁ =2,∴012122h =-=-₁ 同理：21122h =-； 3211122222h =-⨯=-； …∴经过n 次操作后得到的折痕D n-1E n-1到BC 的距离1122n n h -=-∴20202019122h =-【点睛】本题考查了中点性质和折叠的性质，本题难度较大，要从每次折叠发现规律，求得规律的过程是难点．28．在△ABC 中，∠ACB＝90º，D、E 分别在 AC、AB 边上，把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，若△CFD 与△BFE 都是等腰三角形，则∠BAC 的度数为_________．【答案】45°或60°【解析】【分析】根据题意画出图形，设∠BAC的度数为x，则∠B=90°-x，∠EFB =135°-x，∠BEF=2x-45°，当△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论，即可求解.【详解】∵∠ACB＝90º，△CFD是等腰三角形，∴∠CDF=∠CFD=45°，设∠BAC的度数为x，∴∠B=90°-x，∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，∴∠DFE=∠BAC=x，∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x，∵∠ADE=∠FDE，∴∠ADE=（180°-45°）÷2=67.5°，∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x，∴∠DEF=∠AED=112.5°-x，∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-（112.5°-x）-（112.5°-x）=2x-45°，∵△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论：①当FE=FB时，如图1，则∠BEF=∠B，∴90-x=2x-45，解得：x=45；②当BF=BE时，则∠EFB=∠BEF，∴135-x=2x-45，解得：x=60，③当EB=EF时，如图2，则∠B=∠EFB，∴135-x=90-x，无解，∴这种情况不存在.综上所述：∠BAC 的度数为：45°或60°.故答案是：45°或60°.图1 图2【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理，用代数式表示角度，并进行分类讨论，是解题的关键.29．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．【答案】9 2【解析】【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【详解】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝14S△ABH，S△CDH＝14S△ABH，∵S△OBD−S△AOE＝S△ADB−S△ABE＝S△ADH−S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12×3×3＝92．故填：92．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为_________【答案】8 5【解析】【分析】首先根据折叠可得CD=AC=6，B′C=BC=8，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF 是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=4.8，由勾股定理求出AE ，得出BF 的长，即 B′F 的长．【详解】解：根据折叠的性质可知：DE=AE ，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B′CF ，CE ⊥AB ，B′F=BF ，∴B′D=8-6=2，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF ， ∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE ，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B′FC=135°，∴∠B′FE=90°，∵S △ABC =12AC•BC=12AB•CE ， ∴AC•BC=AB•CE ， ∵根据勾股定理得：22226810ABAC BC ∴ 4.8AC BC CE AB⋅== ∴EF=4.8，22 3.6AE AC EC -=∴B′F=BF=AB -AE-EF=10-3.6-4.8=1.6=85，故答案是：85.【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CE 、AE 是解决问题的关键．六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，等腰 Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，∠ABC 的平分线分别交 AC ，AD 于E ，F ，点M 为 EF 的中点，AM 的延长线交 BC 于N ，连接 DM ，NF ，EN ．下列结论：①△AFE 为等腰三角形；②△BDF ≌△ADN ；③NF 所在的直线垂直平分AB ；④DM 平分∠BMN ；⑤AE ＝EN ＝NC ；⑥AE BN EC BC=．其中正确结论的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD=∠C=45°，再根据三角形外角性质得∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°，则得到∠AEF=∠AFE ，可判断△AEF 为等腰三角形，于是可对①进行判断；求出BD=AD ，∠DBF=∠DAN ，∠BDF=∠ADN ，证△DFB ≌△DAN ，由题意可得BF>BD=AD,所以BF ≠AF,所以点F 不在线段AB 的垂直平分线上，所以③不正确，由∠ADB=∠AMB=90°， 可知A 、B 、D 、M 四点共圆， 可求出∠ABM=∠ADM=22.5°，继而可得∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°， 即可求出DM 平分∠BMN ,所以④正确；根据全等三角形的性质可得△AFB ≌△CAN ， 继而可得AE=CN ，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可得△ENC 是等腰直角三角形,继而可得AE=CN=EN ，所以⑤正确；根据等腰三角形的判定可得△BAN 是等腰三角形，可得BD=AB ，继而可得22BD BC A BC B ==,由⑤可得22AE EN EC EC ==所以⑥正确. 【详解】解：∵等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°， ∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5° ∴∠AEF=∠AFE ，∴△AEF 为等腰三角形，所以①正确；∵∠BAC=90°，AC=AB ，AD ⊥BC ，∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD ，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE= 12∠ABC=22.5°， ∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE ，AM ⊥BE ，∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，在△FBD和△NAD中,∠FBD＝∠DAN ,BD＝AD ,∠BDF＝∠ADN ，∴△FBD≌△NAD，所以②正确；因为BF>BD=AD,所以BF AF,所以点F不在线段AB的垂直平分线上，所以③不正确∵∠ADB=∠AMB=90°，∴A、B、D、M四点共圆，∴∠ABM=∠ADM=22.5°，∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，∴DM平分∠BMN ,所以④正确；在△AFB和△CNA中，∠BAF＝∠C＝45°,AB＝AC, ∠ABF＝∠CAN＝22.5°,∴△AFB≌△CAN（ASA），∴AF=CN，∵AF=AE，∴AE=CN，∵AE=AF，FM=EM，∴AM⊥EF，∴∠BMA=∠BMN=90°，∵BM=BM，∠MBA=∠MBN，∴△MBA≌△MBN，∴AM=MN，∴BE垂直平分线段AN，∴AB=BN，EA=EN，∵BE=BE，∴△ABE≌△NBE，∴∠ENB=∠EAB=90°，∴EN⊥NC．∴△ENC是等腰直角三角形,∴AE=CN=EN，所以⑤正确；∵AF=FN,所以∠FAN =∠FNA,因为∠BAD =∠FND=45°,所以∠FAN+ ∠BAD =∠FNA+∠FND,所以∠BAN =∠BNA,所以AB=BN,所以22BD BC A BC B ==， 由⑤可知，△ENC 是等腰直角三角形，AE=CN=EN ， ∴2AE EN EC EC ==, 所以AE BN EC BC=，所以⑥正确, 故选D.【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．32．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0，30ABO ∠=︒，第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ，第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ，第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ，按此规律继续下去，则点2018B 的坐标为（ ）A ．()20182(3),0-⨯B ．()20180,2(3)-⨯C ．()20192(3),0⨯D ．()20190,2(3)-⨯ 【答案】D【解析】【分析】 计算出OB 、OB 1、 OB 2的长度，根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点B 2018的坐标．【详解】解：由题意可得，2242-3OB 1323322(3)⨯，OB 231= 323)⨯，…∵2018÷4=504…2，∴点B 2018在y 轴的负半轴上，∴点B 2018的坐标为()20190,2(3)-⨯．故答案为：D ．【点睛】本题考查规律型：点的坐标规律及含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．33．在平面直角坐标系中，等腰△ABC 的顶点A 、B 的坐标分别为(1，0)、(2，3)，若顶点C 落在坐标轴上，则符合条件的点C 有( )个.A ．9B ．7C ．8D ．6【答案】C【解析】【分析】要使△ABC 是等腰三角形，可分三种情况（①若CA =CB ，②若BC =BA ，③若AC =AB ）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】①若CA =CB ，则点C 在AB 的垂直平分线上．∵A （1，0），B （2，3），∴AB 的垂直平分线与坐标轴有2个交点C 1，C 2．②若BC =BA ，则以点B 为圆心，BA 为半径画圆，与坐标轴有3个交点（A 点除外）C 3，C 4，C 5；③若AC =AB ，则以点A 为圆心，AB 为半径画圆，与坐标轴有4个交点C 6，C 7，C 8，C 9．而C 8（0，-3）与A 、B 在同一直线上，不能构成三角形，故此时满足条件的点有3个．综上所述：符合条件的点C 的个数有8个．故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解答本题的关键．34．如图, 在△DAE中, ∠DAE＝40°, B、C两点在直线DE上，且∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，则∠BAC的大小是（）A．100°B．90°C．80°D．120°【答案】A【解析】【分析】由已知条件，利用了中垂线的性质得到线段相等及角相等，再结合三角形内角和定理求解.【详解】解：如图，∵BG是AE的中垂线，CF是AD的中垂线，∴AB=BE，ACECD∴∠AED=∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠CDA=∠CAD=∠DAE+∠CAE，∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°∴∠BAD+∠DAE+∠DAE+∠CAE+∠DAE=3∠DAE+∠BAD+∠EAC=120°+∠BAD+∠EAC=180°∴∠BAD+∠EAC=60°∴.∠BAC=∠BAD+∠EAC+∠DAE=60°+40°=100°；故选：A【点睛】本题考查了中垂线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的判定与性质；找着各角的关系利用内角和列式求解是正确解答本题的关键.35．如图，平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)，若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 由点A 、B 的坐标可得到AB=22，然后分类讨论：若AC=AB ；若BC=AB ；若CA=CB ，确定C 点的个数．【详解】∵点A 、B 的坐标分别为(2，2)、B(4，0)．∴AB=22，如图，①若AC=AB ，以A 为圆心，AB 为半径画弧与x 轴有2个交点(含B 点)，即(0，0)、(4，0)，∴满足△ABC 是等腰三角形的C 点有1个；②若BC=AB ，以B 为圆心，BA 为半径画弧与x 轴有2个交点，即满足△ABC 是等腰三角形的C 点有2个；③若CA=CB ，作AB 的垂直平分线与x 轴有1个交点，即满足△ABC 是等腰三角形的C 点有1个；综上所述：点C 在x 轴上，△ABC 是等腰三角形，符合条件的点C 共有4个．故选D ．【点睛】本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论，注意等腰三角形顶角的顶点在底边的垂直平分线上．36．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：。

八年级上册数学全册全套试卷（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学三角形填空题（难）∠=，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线1．在ABC中，BACα∠的度数为______.(用含α的代数式表示)交边BC于点E，连结AD，AE，则DAE【答案】2α﹣180°或180°﹣2α【解析】分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°－a，再根据角的和差关系进行计算即可．解：有两种情况：①如图所示,当∠BAC⩾90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，∴∠DAE=∠BAC−(∠BAD+∠CAE)=α−(180°−α)=2α−180°；②如图所示,当∠BAC<90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，∴∠DAE=∠BAD+∠CAE−∠BAC=180°−α−α=180°−2α.故答案为2α−180°或180°−2α.点睛：本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键.2．△ABC的两边长为4和3，则第三边上的中线长m的取值范围是_______．【答案】1722m<<【解析】【分析】作出草图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，便不难得出m的取值范围．【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，AD DEADB EDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB，∵AB=3，AC=4，∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，∴1722m<<．故答案为：1722m<<．【点睛】本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形.3．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．【答案】720°．【解析】【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．【详解】这个正多边形的边数为36060︒︒=6，所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．4．等腰三角形的三边长分别为：x+1，2x+3，9，则x=________.【答案】3【解析】①当x+1=2x+3时，解得x=−2(不合题意,舍去)；②当x+1=9时，解得x=8，则等腰三角形的三边为:9、19、9，因为9+9=18<19，不能构成三角形，故舍去；③当2x+3=9时，解得x=3，则等腰三角形的三边为:4、9、9，能构成三角形。

八年级数学上册全册全套试卷测试与练习（word解析版）一、八年级数学三角形填空题（难）∠=，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线1．在ABC中，BACα∠的度数为______.(用含α的代数式表示)交边BC于点E，连结AD，AE，则DAE【答案】2α﹣180°或180°﹣2α【解析】分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°－a，再根据角的和差关系进行计算即可．解：有两种情况：①如图所示,当∠BAC⩾90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，∴∠DAE=∠BAC−(∠BAD+∠CAE)=α−(180°−α)=2α−180°；②如图所示,当∠BAC<90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，∴∠DAE=∠BAD+∠CAE−∠BAC=180°−α−α=180°−2α.故答案为2α−180°或180°−2α.点睛：本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键.2．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF＋∠C；③∠F＝∠BAC－∠C；④∠BGH＝∠ABE＋∠C．其中正确个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，②正确；③∠ABD=90°﹣∠BAC，∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD=90°﹣∠C，∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE=∠F，∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，③错误；④∵∠AEB=∠EBC+∠C，∵∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD=∠FEB，∴∠BGH=∠ABE+∠C，④正确．故答案为①②④．点睛：本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．3．一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍，则这个多边形的边数是_________【答案】10【解析】【分析】【详解】解：本题根据题意可得：（n－2）×180°=4×360°，解得：n=10．故答案为：10 ．考点：多边形的内角和定理.4．等腰三角形一边长是10cm，一边长是6cm，则它的周长是_____cm或_____cm．【答案】22cm,26cm【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为10cm和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】（1）当腰是6cm时，周长＝6+6+10＝22cm；（2）当腰长为10cm时，周长＝10+10+6＝26cm，所以其周长是22cm或26cm．故答案为：22，26．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5．如果一个n边形的内角和是1440°，那么n=__．【答案】10【解析】∵n边形的内角和是1440°，∴(n−2)×180°=1440°，解得：n=10.故答案为：10.6．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．【答案】360°．【解析】【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．【详解】由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，故答案为360°．【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（）A．180°B．360°C．270°D．540°【答案】B【解析】【分析】先根据三角形的外角，用∠AGE表示出∠A，∠B；用∠EMC表示出∠E，∠F；用∠CNA 表示出∠C，∠D，然后再根据对顶角相等的性质解出它们的度数即可【详解】解：如图：∵∠AGE是△ABG的外角∴∠AGE=∠A+∠B；同理：∠EMC=∠E+∠F；∠CNA=∠C+∠D∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠AGE+∠EMC+∠CNA又∵∠AGE+∠EMC+∠CAN是△MNG的三个外角∴∠AGE+∠EMC+∠CAN=360°故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形外角及其外角和，其中找出三角形的外角是解答本题的关键.8．能够铺满地面的正多边形组合是（）A．正三角形和正五边形B．正方形和正六边形C．正方形和正五边形D．正五边形和正十边形【答案】D【解析】【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是要看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．【详解】解：A、正五边形和正三边形内角分别为108°、60°，由于60m+108n=360，得m=6-95 n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，故此选项错误；B、正方形、正六边形内角分别为90°、120°，不能构成360°的周角，故不能铺满，故此选项错误；C、正方形、正五边形内角分别为90°、108°，当90n+108m=360，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，故此选项错误；D、正五边形和正十边形内角分别为108、144，两个正五边形与一个正十边形能铺满地面，故此选项正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．需注意正多边形内角度数=180°-360°÷边数．9．已知△ABC的两条高的长分别为5和20，若第三条高的长也是整数，则第三条高的长的最大值为( )A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】设△ABC的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为,,，根据三角形的三边关系为，解得，所以h的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．故选B．点睛：本题主要考查了三角形的面积公式，三角形三边关系定理及不等式组的解法，有一定难度．利用三角形的面积公式，表示出△ABC三边的长度，从而运用三角形三边关系定理，列出不等式组是解题的关键，难点是解不等式组．10．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】分析：根据多边形的内角和公式计算即可.详解：.答:这个正多边形的边数是9.故选A.点睛：本题考查了多边形，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.11．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆处的'A 处，折痕为DE .如果A α∠=，'CEA β∠=，'BDA γ∠=，那么下列式子中正确的是（ ）A ．2γαβ=+B ．2γαβ=+C ．γαβ=+D ．180γαβ=--【答案】A【解析】【分析】【详解】 分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD ，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论. 详解:由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD ，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故选A.点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.12．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ） A ．108°B ．90°C ．72°D ．60° 【答案】C【解析】【分析】首先设此多边形为n 边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：3605︒=72°．故选C．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，AD⊥BC 于 D，且 DC＝AB＋BD，若∠BAC＝108°，则∠C 的度数是______度．【答案】24【解析】【分析】在DC上取DE=DB．连接AE，在Rt△ABD和Rt△AED中，BD=ED，AD=AD．证明△ABD≌△AED即可求解．【详解】如图，在DC上取DE=DB，连接AE．在Rt△ABD和Rt△AED中，BD EDADB ADEAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△AED（SAS）．∴AB=AE，∠B=∠AED．又∵CD=AB+BD，CD=DE+EC∴EC=AB∴EC=AE，∴∠C=∠CAE∴∠B=∠AED=2∠C又∵∠B+∠C=180°-∠BAC=72°∴∠C=24°，故答案为：24．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，属于基础图，关键是巧妙作出辅助线．14．如图,在△ABC 中，∠C=090,点D 在AB 上，BC=BD,DE ⊥AB 交AC 于点E ，△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为_______【答案】3【解析】【分析】连接BE ，由斜边直角边判定Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，从而DE CE =,再由△ABC 的周长 △ADE 的周长即可求得BC 的长．【详解】如图：连接BE ，DE ⊥AB ，090BDE ∴∠=，在Rt BDE ∆和Rt BCE ∆中，BE BE BD BC =⎧⎨=⎩， ∴Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，DE CE ∴=,∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=2BC+AD+AE+DE=12，△ADE 的周长= AD+AE+DE =6，∴BC=3，故答案为3．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质以及和三角形有关的线段，连接BE构造全等三角形是解答此题的关键.15．如图，△ABE，△BCD均为等边三角形，点A，B，C在同一条直线上，连接AD，EC，AD与EB相交于点M，BD与EC相交于点N，下列说法正确的有：___________①AD=EC；②BM=BN；③MN∥AC；④EM=MB．【答案】①②③【解析】∵△ABE，△BCD均为等边三角形，∴AB=BE，BC=BD，∠ABE=∠CBD=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中AB BEABD EBCBD BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△EBC(SAS)，∴AD=EC，故①正确；∴∠DAB=∠BEC，又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，∴∠EBD=60°，在△ABM和△EBN中MAB NEBAB BEABE EBN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABM≌△EBN(ASA)，∴BM=BN，故②正确；∴△BMN为等边三角形，∴∠NMB=∠ABM=60°，∴MN∥AC，故③正确；若EM=MB，则AM平分∠EAB，则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，故④不正确；综上可知正确的有①②③，故答案为①②③.点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、AAS、ASA和HL）和性质（即全等三角形的对应边相等，对应角相等）.16．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④CO平分∠AOE；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有__．（把你认为正确的序号都填上）【答案】①②③④⑤【解析】【分析】根据等边三角形的性质及SAS即可证明△ACD≌△BCE即可求解.【详解】①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°∴△ACD≌△ECB∴AD=BE，故本选项正确；②∵△ACD≌△ECB∴∠CBQ=∠CAP，又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，∴△BCQ≌△ACP，∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，∴△PCQ为等边三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE，故本选项正确；③∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确；④∵BC∥DE，∴∠CBE=∠BED，∵∠CBE=∠DAE，∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，同理可得出∠AOE=120°，∵D，O，C，E四点共圆，∴∠OCD=∠OED，∴∠OAC=∠OCD，∴∠DCE=∠AOC=60°，∴OC平分∠AOE，故④正确；⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=60°，故本选项正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题关键．17．在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，∠C＜90°，若∠B满足条件：______________，则△ABC≌△DEF．【答案】∠B≥∠A．【解析】【分析】虽然题目中∠B为锐角,但是需要对∠B进行分类探究会理解更深入：可按“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行，最后得出∠B、∠E都是锐角时两三角形全等的条件．【详解】解：需分三种情况讨论：第一种情况：当∠B是直角时：如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，可知：△ABC与△DEF一定全等，依据的判定方法是HL；第二种情况：当∠B是钝角时：如图②，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H．∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角．∴180°-∠B=180°-∠E，即∠CBG=∠FEH．在△CBG和△FEH中，CBG FEH G HBC EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CBG ≌△FEH （AAS ），∴CG=FH ，在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，AC DF CG FH⎧⎨⎩＝，＝ ∴Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），∴∠A=∠D ， 在△ABC 和△DEF 中，A DB EAC DF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△ABC ≌△DEF （AAS ）；第三种情况：当∠B 是锐角时：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，小明在△ABC 中（如图③）以点C 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 于点D ，假设E 与B 重合，F 与C 重合，得到△DEF 与△ABC 符号已知条件，但是△AEF 与△ABC 一定不全等，所以有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等；由图③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD ，∴∠A ＞∠B ，∴当∠B≥∠A 时，△ABC 就唯一确定了，则△ABC ≌△DEF ．故答案为：∠B≥∠A ．【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．18．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠ACD 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE ＝2，CO ＝3，则两平行线间AB 、CD 的距离等于________．【答案】4【解析】试题解析：如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，∴OM=OE=2，∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON=OE=2，∴MN=OM+ON=4，即AB与CD之间的距离是4．点睛：要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．已知∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则叙述正确的是（）A．甲、乙全等，丙、丁全等B．甲、乙全等，丙、丁不全等C．甲、乙不全等，丙、丁全等D．甲、乙不全等，丙、丁不全等【答案】B【解析】【分析】根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答．【详解】解：∵∠ACB=CAD=70°，∠BAC=∠ACD=50°，AC为公共边，∴△ABC≌△ACD，即甲、乙全等；△EHG中，∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG，虽∠EFG=∠EGH=70°，∠EGF=∠EHG=50°，∴△EFG不全等于△EGH，即丙、丁不全等．综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确，故选：B．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．找着∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG是正确解决本题的关键．20．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D，过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G，则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH，其中正确的是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP=12∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②先求出∠APB=∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=BF，AP=PF；③根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AH；④根据PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG ，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF ，然后求出DG=GH+AF ，有直角三角形斜边大于直角边，AF ＞AP ，从而得出本小题错误.【详解】解：①∵∠ABC 的角平分线BE 和∠BAC 的外角平分线，∴∠ABP=12∠ABC ， ∠CAP=12（90°+∠ABC ）=45°+12∠ABC ， 在△ABP 中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP ，=180°-（45°+12∠ABC+90°-∠ABC ）-12∠ABC ， =180°-45°- 12∠ABC-90°+∠ABC-12∠ABC ， =45°，故本小题正确；②∵PF ⊥AD ，∠APB=45°（已证），∴∠APB=∠FPB=45°，∵∵PB 为∠ABC 的角平分线，∴∠ABP=∠FBP ，在△ABP 和△FBP 中， APB FPB PB PBABP FBP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABP ≌△FBP （ASA ），∴AB=BF ，AP=PF ；故②正确；③∵∠ACB=90°，PF ⊥AD ，∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，∴∠AHP=∠FDP ，∵PF ⊥AD ，∴∠APH=∠FPD=90°，在△AHP 与△FDP 中，90AHP FDP APH FPD AP PF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△AHP ≌△FDP （AAS ），∴DF=AH ，∵BD=DF+BF ，∴BD=AH+AB ，∴BD-AH=AB ，故③小题正确；④∵PF ⊥AD ，∠ACB=90°，∴AG⊥DH，∵AP=PF，PF⊥AD，∴∠PAF=45°，∴∠ADG=∠DAG=45°，∴DG=AG，∵∠PAF=45°，AG⊥DH，∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，∴DG=AG，GH=GF，∴DG=GH+AF，∵AF＞AP，∴DG=AP+GH不成立，故本小题错误，综上所述①②③正确．故选:C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系.21．如图，在△ABC中，∠ABC=45°， BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为( ) .A．8 B．10 C．2D．2【答案】A【解析】【分析】将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质得到AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，过D点作DF⊥BC，证△EBC≌BFD，可得DF=BC=4，再用三角形面积公式即可得出答案.【详解】解：如下图所示，将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质可知EC=BD ，AE=AB ，∠BAE=∠DOC=90°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠EBC=90°，∵∠BDF+∠DBF=90°，∠ECB+∠DBF=90°，∴∠BDF=∠ECB在△EBC 和△BFD 中EBC=BFD=90ECB=BDFEC=BD ⎧∠∠⎪∠∠⎨⎪⎩∴△EBC ≌△BFD （AAS ）∴DF=BC=4∴△DBC 的面积=11BC DF=44=822⋅⨯⨯ 故选A.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，是一道综合性较强的题，难度较大，关键是正确的作出辅助线构造全等三角形.22．如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作 EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连结DE 、 EH 、DH 、FH ．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若23AE AB =，则313DHCEDH SS =．其中结论正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF-GF=CD-FC=DF；②由SAS证明△EHF≌△DHC即可；③根据△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°；④若AEAB=23，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，，CD=6x，则S△DHC=12×HM×CD=3x2，S△EDH=12×DH2=13x2．详解：①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD，∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF−GF，DF=CD−FC，∴EG=DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH,∠GFH=12∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，EF=CD；∠EFH=∠DCH；FH=CH，∴△EHF≌△DHC(SAS)，故②正确；③∵△EHF≌△DHC(已证)，∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF−∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确；④∵AEAB=23，∴AE=2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=GH,∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，EG=DF；∠EGH=∠HFD；GH=FH，∴△EGH≌△DFH(SAS)，∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,∴△EHD 为等腰直角三角形，如图，过H 点作HM ⊥CD 于M ，设HM=x,则DM=5x,DH=26x ，CD=6x ，则S △DHC =12×HM×CD=3x 2,S △EDH =12×DH 2=13x 2， ∴3S △EDH =13S △DHC ，故④正确；故选D. 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题关键在于根据题意熟练的运用相关性质.23．如图在ABC △中，P ，Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR AB ⊥，PS AC ⊥，垂足分别是R ，S ，AQ PQ =，PR PS =，下面三个结论：①AS AR =；②PQ AB ∥；③BRP △≌CSP △．其中正确的是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】A【解析】连接AP ，由题意得，90ARP ASP ∠=∠=︒，在Rt APR 和Rt APS 中，AP AP PR PS=⎧⎨=⎩， ∴△APR ≌()APS HL ，∴AS AR =，故①正确．BAP SAP ∠=∠，∴2SAB BAP SAP SAP ∠=∠+∠=∠，在AQP △中，∴AQ PQ =，∴QAP APQ ∠=∠，∴22CQP QAP APQ QAP SAP ∠=∠+∠=∠=∠，∴PQ AB ∥，故②正确；在Rt BRP 和Rt CSP 中，只有PR PS =，不满足三角形全等的条件，故③错误．故选A ．点睛：本题主要考查三角形全等的判定方法以及角平分线的判定和平行线的判定，准确作出辅助线是解决本题的关键.24．如图，BD 是∠ABC 的角平分线，AD ⊥AB ，AD=3，BC=5，则△BCD 的面积为（ ）A ．7.5B ．8C ．10D ．15【答案】A【解析】 作DE⊥BC 于E ，根据角平分线的性质，由BD 是∠ABC 的角平分线，AD⊥AB，DE⊥BC，求出DE=DA=3，根据三角形面积公式计算S △BCD =12×BC×DE=7.5， 故选：A ．五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____.【答案】15CP ≤≤【解析】【分析】根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.【详解】如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小，此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大，此时CP=AC ，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP 的最大值为5， 所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5，故答案为1≤CP≤5.【点睛】本题考查了折叠问题，能根据点E 、F 分别在线段AB 、AC 上，点P 在直线BC 上确定出点E 、F 位于什么位置时PC 有最大（小）值是解题的关键.26．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________．【答案】5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可．【详解】有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=；∴D （0，5）；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4，∴P （0，4）；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-，∴OC ＝54， ∴C （0，54）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．27．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______．【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．【详解】∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，故①正确；若∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ， ∵∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，∴∠ABF=∠EBD ，∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，又∵∠BAD=∠C ，∴∠AFE=∠AEF ，∴AF=AE ，故③正确；∵AG是∠DAC的平分线，AF=AE，∴AN⊥BE，FN=EN，在△ABN与△GBN中，∵90ABN GBNBN BNANB GNB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABN≌△GBN（ASA），∴AN=GN，又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF，∴△ANE≌△GNF（SAS），∴∠NAE=∠NGF，∴GF∥AE，即GF∥AC，故④正确；∵AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，∴EF不一定等于AE，∴EF不一定等于FG，故⑤错误．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．28．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________ .【答案】3【解析】【分析】过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD，再证明CAI≅BAJ，求出°7830∠=∠=，然后求出12IF FJ AF==，，通过设FJ x=求出x，即可求出AF的长.【详解】解：过点A 作AF ⊥CE 交于I ，AG ⊥BD 交于J在CAE 和BAD 中AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CAE ≅BAD∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形）∴°120CFD ∠=在CAI 和BAJ 中°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴CAI ≅BAJ ,AI AJ CI BJ ==∴°60CFA AFJ ∠=∠=∴°30FAI FAE ∠=∠=在RtAIF 和RtAJF 中°30FAI FAE ∠=∠=∴12IF FJ AF ==设FJ x = 7,4CF BF ==则47x x +=-32x ∴=2AF FJ =AF ∴=3【点睛】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.29．如图，△ABC 是等边三角形，高AD 、BE 相交于点H ，BC=43，在BE 上截取BG=2，以GE 为边作等边三角形GEF ，则△ABH 与△GEF 重叠（阴影）部分的面积为_____．53 【解析】试题分析：如图所示，由△ABC 是等边三角形，BC=433，∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE ﹣BG=6﹣2=4．由GE 为边作等边三角形GEF ，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE 是等边三角形；S △ABC =12AC•BE=12AC×EH×3EH=13BE=13×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，3S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣S △FIN 2233142312--5353．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．30．如图，点A,B,C 在同一直线上,△ABD 和△BCE 都是等边三角形，AE,CD 分别与BD,BE 交于点F,G ，连接FG ，有如下结论：①AE=CD ②∠BFG= 60°；③EF=CG ；④AD ⊥CD⑤FG ∥AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)【答案】①②③⑤【解析】【分析】易证△ABE ≌△DBC ，则有∠BAE ＝∠BDC ，AE ＝CD ，从而可证到△ABF ≌△DBG ，则有AF ＝DG ，BF ＝BG ，由∠FBG ＝60°可得△BFG 是等边三角形，证得∠BFG ＝∠DBA ＝60°，则有FG ∥AC ，由∠CDB ≠30°，可判断AD 与CD 的位置关系．【详解】∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∴BD ＝BA ＝AD ，BE ＝BC ＝EC ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°． ∵点A 、B 、C 在同一直线上，∴∠DBE ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE ＝∠DBC ＝120°． 在△ABE 和△DBC 中，∵BD BA ABE DBC BE BC ∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC ，∴AE ＝CD ，∴①正确； 在△ABF 和△DBG中，60BAF BDG AB DBABF DBG ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪==︒⎩，∴△ABF ≌△DBG ，∴AF ＝DG ，BF ＝BG ． ∵∠FBG ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BFG 是等边三角形，∴∠BFG =60°，∴②正确； ∵AE ＝CD ，AF ＝DG ，∴EF =CG ；∴③正确；∵∠ADB ＝60°，而∠CDB =∠EAB ≠30°，∴AD 与CD 不一定垂直，∴④错误．∵△BFG 是等边三角形，∴∠BFG =60°，∴∠GFB ＝∠DBA ＝60°，∴FG ∥AB ，∴⑤正确． 故答案为①②③⑤．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得△ABE ≌△DBC 是解题的关键．六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，30MON ∠=︒．点1A ，2A ，3A ，⋯，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，⋯，在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334A B A ∆，⋯均为等边三角形，若11OA =，则201920192020A B A ∆的边长为（ ）A ．20172B ．20182C ．20192D ．20202【答案】B【解析】【分析】 根据等边三角形的性质和30MON ∠=︒，可求得1130∠=︒OB A ，进而证得11OA B ∆是等腰三角形，可求得2OA 的长，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA ，同理得规律333、、=⋅⋅⋅=n n n A B OA A B OA ，即可求得结果． 【详解】解：∵30MON ∠=︒，112A B A ∆是等边三角形，∴11260∠=︒B A A ，1112A B A A =∴1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，∴11∠=∠OB A MON ，则11OA B ∆是等腰三角形，∴111=A B OA ，∵11OA =，∴11121==A B A A OA =1，21122=+=OA OA A A ，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA =2，同理得23342==A B 、34482==A B ，根据以上规律可得：2018201920192=A B ，即201920192020A B A ∆的边长为20182，故选：B ． 【点睛】本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．32．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A （3，﹣52）和B （3，﹣112）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C （﹣2，﹣9），则C 点对称点的坐标是（ ）A ．（﹣2，1）B ．（﹣2，﹣32）C ．（﹣32，﹣9） D ．（﹣2，﹣1） 【答案】A【解析】【分析】 先利用点A 和点B 的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C 关于直线y=-4的对称点即可．【详解】解：∵A （3，﹣52）和B （3，﹣112）是图形上的一对对称点， ∴点A 与点B 关于直线y ＝﹣4对称， ∴点C （﹣2，﹣9）关于直线y ＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．故选：A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m 对称，则两点的纵坐标相同，横坐标和为2m ；关于直线y=n 对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和为2n ．33．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）A ．90α+B ．1902α+C ．180α-D ．1802α-【答案】D【解析】【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解：过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°） 所以 x°=180°-2α 【点睛】求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.34．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，且∠ABC ＝60°，D 为△ABC 内一点 ，且DA ＝DB ，E 为△ABC 外一点，BE ＝AB ，且∠EBD ＝∠CBD ，连DE ，CE. 下列结论：①∠DAC ＝∠DBC ；②BE ⊥AC ；③∠DEB ＝30°. 其中正确的是（ ）A ．①...B ．①③...C ．② ...D ．①②③【答案】B【解析】【分析】 连接DC,证ACD BCD DAC DBC ∠∠≅=得出①，再证BED BCD ≅，得出BED BCD 30∠∠==︒;其它两个条件运用假设成立推出答案即可.【详解】解：证明：连接DC ，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ACB=60°，∵DB=DA，DC=DC，在△ACD与△BCD中，AB BC DB DA DC DC=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△ACD≌△BCD （SSS），由此得出结论①正确；∴∠BCD=∠ACD=130 2ACB∠=︒∵BE=AB，∴BE=BC，∵∠DBE=∠DBC，BD=BD，在△BED与△BCD中，BE BCDBE DBCBD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BED≌△BCD （SAS），∴∠DEB=∠BCD=30°．由此得出结论③正确；∵EC∥AD，∴∠DAC=∠ECA，∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1，∵BE=BA，∴BE=BC，∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1，在△BCE中三角和为180°，∴2∠1+2（60°+∠1）=180°∴∠1=15°，∴∠CBE=30，这时BE是AC边上的中垂线，结论②才正确．因此若要结论②正确，需要添加条件EC∥AD.故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点主要是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，通过已知条件作出恰当的辅助线是解题的关键点.35．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）。

人教版八年级上册数学全册全套试卷测试卷（word版，含解析）一、八年级数学三角形填空题（难）1．小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结构是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是________．【答案】1980【解析】【详解】解：设多边形的边数为n，多加的角度为α，则（n-2）×180°=2005°-α，当n=13时，α=25°，此时（13-2）×180°=1980°，α=25°故答案为1980．2．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____．【答案】115°．【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°，然后根据角平分线的概念得出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC的度数．【详解】解；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12×（∠ABC+∠ACB）＝12×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，故答案为：115°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念，关键是求出∠OBC+∠OCB 的度数．3．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是．【答案】12【解析】试题解析：根据题意，得（n-2）•180-360=1260，解得：n=11．那么这个多边形是十一边形．考点：多边形内角与外角．4．一个多边形的内角和与外角和的差是180°，则这个多边形的边数为_____．【答案】5【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列式求解即可【详解】解：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°﹣360°＝180°，解得n＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．5．如图是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1＝38°，∠2＝23°，则桥面断裂处夹角∠BCD＝__________.【答案】119°【解析】【分析】连接BD，构△BCD根据对顶角相等和三角形内角和定理即可求出∠BCD的度数.【详解】如图所示，连接BD，∵∠4=∠1=38°，∠3=∠2=23°，∴∠BCD=180°-∠4-∠3=180°-38°-23°=119°.故答案为：119°.【点睛】本题考查了对顶角的性质与三角形内角和定理. 连接BD，构△BCD是解题的关键.6．如图，直线a∥b，∠l＝60°，∠2＝40°，则∠3＝______．【答案】80°．【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠4，再根据三角形内角和定理计算即可．【详解】∵a∥b，∴∠4=∠l=60°，∴∠3=180°-∠4-∠2=80°，故答案为80°．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图,△ABC 中,E 是 AC 的中点,延长BC 至D,使BC ：CD=3:2,以CE,CD 为邻边做▱CDFE，连接 AF,BE,BF，若△ABC 的面积为 9，则阴影部分面积是（）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】【分析】根据三角形中位线性质结合三角形面积去解答.【详解】解：在ABC 中，E 是 AC 的中点,S ABC 9=, BC ：CD =3:2▱CDFE 中，CD=EF 1S BCE 4.52S ABC ∴== 设BCE 的高为1h , ABC 的高为2.h11S BCE 4.52BC h ∴=⨯⨯= 13h =12:1:2h h =26h ∴=S AEF S EFB s ∴=+阴()2111122EF h h EF h =⨯⨯-+⨯⨯ 212EF h =⨯⨯ 1262=⨯⨯ 6.=【点睛】此题重点考察学生对三角形中位线和面积的理解，熟练掌握三角形面积计算方法是解题的关键.8．已知非直角三角形ABC 中，∠A=45°，高BD 与CE 所在直线交于点H ，则∠BHC 的度数是（）A ．45°B ．45° 或135°C ．45°或125°D ．135°【答案】B【解析】【分析】①△ABC 是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC 是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A ，从而得解．【详解】①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，在△ABD中，∵∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；②如图2，△ABC是钝角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，∵∠ACE=∠HCD（对顶角相等），∴∠BHC=∠A=45°．综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．故选B.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．9．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A．B．C．D．不能确定【解析】如图，∵等边三角形的边长为3，∴高线AH=3×333 =S△ABC=1111••••2222BC AH AB PD BC PE AC PF ==+∴1111 3?3?3?3? 2222AH PD PE PF ⨯=⨯+⨯+⨯∴PD+PE+PF=AH=33 2即点P到三角形三边距离之和为33.故选B.10．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】分析：根据多边形的内角和公式计算即可.详解：.答:这个正多边形的边数是9.故选A.点睛：本题考查了多边形，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.11．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．解：设这个多边形的边数为n ，则有（n-2）180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故选B ．【点睛】本题考查了多边形内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键.12．如图，ABC △是一块直角三角板，90,30C A ∠=︒∠=︒，现将三角板叠放在一把直尺上，AC 与直尺的两边分别交于点D ，E ，AB 与直尺的两边分别交于点F ，G ，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）A ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．70º【答案】D【解析】【分析】 依据平行线的性质，即可得到∠1＝∠DFG ＝40°，再根据三角形外角性质，即可得到∠2的度数．【详解】∵DF ∥EG ，∴∠1＝∠DFG ＝40°，又∵∠A ＝30°，∴∠2＝∠A +∠DFG ＝30°+40°＝70°，故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点O 是AC 的中点，点D 在射线BO 上，连结OE ，EC ，则∠ACE ＝_____°；若AB ＝1，则OE 的最小值＝_____．【答案】301 4【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得OC＝12AC，∠ABD＝30°，根据"SAS"可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE 的最小值.【详解】解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，∴OC＝12AC，∠ABD＝30°∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE＝30°＝∠ABD当OE⊥EC时，OE的长度最小，∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°∴OE最小值＝12OC＝14AB＝14故答案为：30，1 4【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.14．如图，P为等边△ABC内一点，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，则BD的长为______.【答案】234.【解析】【分析】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，由全等三角形的性质可得CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，结合等边三角形的性质可得出∠ECP=60°，进而证明△ECP为等边三角形，由等边△ECP的性质进而证明D、P、E三点共线以及∠DEB=90°，最后利用勾股定理求出BD的长度即可.【详解】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，∴CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，∵等边△ABC，∴∠ACP+∠PCB=60°，∴∠ECB+∠PCB=60°,即∠ECP=60°，∴△ECP为等边三角形，∴∠CPE=∠CEP=60°，PE=6，∴∠DEB=90°，∵∠APC=150°，∠APD=30°，∴∠DPC=120°，∴∠DPE=180°，即D、P、E三点共线，∴ED=3+7=10，∴BD=22=234.DE BE故答案为34【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三点共线的判定，运用旋转构造全等三角形是解题的关键.15．已知在△ABC 中,两边AB、AC的中垂线，分别交BC于E、G．若BC＝12，EG＝2，则△AEG的周长是________．【答案】16或12．【解析】【分析】根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，CG=AG，分两种情况讨论：①DE和FG的交点在△ABC内，②DE和FG的交点在△ABC外．【详解】∵DE，FG分别是△ABC的AB，AC边的垂直平分线，∴AE=BE，CG=AG．分两种情况讨论：①当DE和FG的交点在△ABC内时，如图1．∵BC=12，GE=2，∴AE+AG=BE+CG=12+2=14，△AGE的周长是AG+AE+EG=14+2=16．②当DE和FG的交点在△ABC外时，如图2，△AGE的周长是AG+AE+EG= BE+CG+EG=BC=12．故答案为：16或12．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．16．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD的角平分线BE与AC交于点E，连接DE，则∠DEB＝_____．【答案】40°【解析】【分析】做辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：EF=EG=EH，设∠DEG=y，∠GEB=x，根据三角形内角和定理可得：∠GEA=∠FEA=40°，∠FEB=∠HEB，列方程为2y+x=80-x,y+x=40,可得结论：∠DEB＝40°.【详解】如图，过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABD∴EH=EF∵∠BAC＝130°，∠BAD＝80°∴∠FAE=∠CAD=50°∴EF=EG∴EG=EH∴ED平分∠CDG∴∠HED=∠DEG设∠DEG=y，∠GEB=x，∵∠EFA=∠EGA=90°∴∠GEA=∠FEA=40°∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBH=∠EBF∴∠FEB=∠HEB∴2y+x=80-x,2y+2x=80y+x=40即∠DEB＝40°.故答案为：40°.【点睛】本题考查三角形内角和定理和角平分线的性质，正确作辅助线是解题的关键.17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．【答案】112．【解析】【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO＝28°，利用等腰三角形两底角相等求出∠ABC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA＝OB，再根据等边对等角求出∠OBA，然后求出∠OBC，再根据等腰三角形的性质可得OB＝OC，然后求出∠OCE，根据翻折变换的性质可得OE＝CE，然后利用等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】如图，连接OB、OC，∵OA平分∠BAC，∠BAC＝56°，∴∠BAO＝12∠BAC＝12×56°＝28°，∵AB＝AC，∠BAC＝56°，∴∠ABC＝12（180°﹣∠BAC）＝12×（180°﹣56°）＝62°，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠BAO＝28°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝62°﹣28°＝34°，由等腰三角形的性质，OB＝OC，∴∠OCE＝∠OBC＝34°，∵∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE＝CE，∴∠OEC＝180°﹣2×34°＝112°．故答案是：112．【点睛】考查了翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．18．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC； ②∠BCE+∠BCD=180°；③AF2=EC2﹣EF2； ④BA+BC=2BF．其中正确的是_____．【答案】①②③④．【解析】【分析】根据已知条件易证△ABD ≌△EBC ，可判定①正确；根据等腰三角形的性质、对顶角相等、结合全等三角形的性质及平角的定义即可判定②正确；证明AD=AE=EC ，再利用勾股定理即可判定③正确；过E 作EG ⊥BC 于G 点，证明Rt △BEG ≌Rt △BEF 及Rt △CEG ≌Rt △AFE ，根据全等三角形的性质可得AF=CG ，所以BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，即可判定④正确.【详解】①∵BD 为△ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD 和△EBC 中，BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△EBC （SAS ），∴①正确；②∵BD 为△ABC 的角平分线，BD=BC ，BE=BA ，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确；③∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ， ∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 为等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，∵EF ⊥AB ，∴AF 2=EC 2﹣EF 2；∴③正确；④如图，过E 作EG ⊥BC 于G 点，∵E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在Rt △BEG 和Rt △BEF 中，BE BE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BEG ≌Rt △BEF （HL ），∴BG=BF ，在Rt △CEG 和Rt △AFE 中，EF FG AE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CEG ≌Rt △AFE （HL ），∴AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，∴④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=6．延长BC 到点E ，使CE=2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，△ABP 和△DCE 全等．A ．1B ．1或3C ．1或7D ．3或7 【答案】C【解析】【分析】 分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD ，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS 证得△ABP ≌△DCE ，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．20．下列命题中的假命题是（）A．等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等B．等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等C．等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等D．直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等【答案】D【解析】【分析】根据等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定进行判定即可.【详解】解：A、等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；B、等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；C、等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；D、直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等，错误，是假命题，故答案为D．【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定，其中灵活应用所学知识是解答本题的关键.21．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，试判断下列结论：①AE=BD；②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2，正确的序号有（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可证明△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2，④正确；当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.【详解】∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，又∵AC=BC，CE=CD，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，∴∠BAE=120°，∴∠EAD=60°，②正确，∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴AC=AD，∵CE=DE，∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，∵∠AEC=∠BDC，∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，如图，当点D在AB上时，∵△BCD≌△∠ACE，∴∠CAE=∠CBD=60°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③错误故正确的结论有①②④，故选C.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握22．如图，点 D 是等腰直角△ABC 腰 BC 上的中点，点B 、B′ 关于 AD 对称，且BB′ 交AD 于 F，交 AC 于 E，连接 FC 、 AB′，下列说法：① ∠BAD=30°； ② ∠BFC=135°；③ AF=2B′ C；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】依据点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，可得tan∠BAD=12，即可得到∠BAD≠30°；连接B'D，即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，进而得出△ABF≌△BCB'，判定△FCB'是等腰直角三角形，即可得到∠CFB'=45°，即∠BFC=135°；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C；依据△AEF与△CEB'不全等，即可得到S△AFE≠S△FCE．【详解】∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，∴BD=12BC=12AB，∴tan∠BAD=12，∴∠BAD≠30°，故①错误；如图，连接B'D，∵B、B′关于AD对称，∴AD垂直平分BB'，∴∠AFB=90°，BD=B'D=CD，∴∠DBB'=∠BB'D，∠DCB'=∠DB'C，∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，∴∠AFB=∠BB'C，又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF，∴∠BAF=∠CBB'，∴△ABF≌△BCB'，∴BF=CB'=B'F，∴△FCB'是等腰直角三角形，∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C，故③正确；∵AF＞BF=B'C，∴△AEF与△CEB'不全等，∴AE≠CE，∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；故选B．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．23．如右图，在△ABC中，点Q，P分别是边AC，BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，且PR=PS，下面四个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③BP=QP；④QP∥AB．其中一定正确的是( )A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【答案】C【解析】试题解析：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC，故①正确；∴∠PAR=∠PAQ，∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠APQ=∠PAR，QP AB∴，故④正确；在△APR与△APS中,AP AP PR PS=⎧⎨=⎩，(HL)APR APS∴≌，∴AR=AS，故②正确；△BPR和△QSP只能知道PR=PS,∠BRP=∠QSP=90∘，其他条件不容易得到，所以，不一定全等.故③错误.故选C.24．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等C．斜边和一锐角对应相等D．一条直角边和斜边对应相等【答案】B【解析】根据全等三角形的判定SAS，可知两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故A不正确；根据一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理HL，能判定全等；若两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，也能判全等，但是有两边对应相等，没说明是什么边对应，故不能判定，故B正确．根据全等三角形的判定AAS，可知斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等，故C不正确；根据直角三角形的判定HL，可知一条直角边和斜边对应相等两直角三角形全等，故D不正确.故选B.点睛：此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题时利用三角形全等的判定SSS，SAS，ASA，AAS，HL，直接判断即可.五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形（1）如图，在ABC∆中，25,105A ABC∠=︒∠=︒，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC∆分割成两个等腰三角形，则BDA∠的度数是______．（2）已知在ABC∆中，AB AC=，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC∆分割成两个等腰三角形，则A∠的最小度数为________．【答案】130︒1807︒⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得：DA=DB，结合25A∠=︒，即可得到答案；（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD，③AB=AC，当AD=BD=BC，④当AD=BD，CD=BC，分别求出A∠的度数，即可得到答案．【详解】（1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意，当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°，∴∠BDA=180°-25°×2=130°．故答案为：130°；（2）①如图1，∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠BAC=90°．②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，∴∠BAC=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．③如图3，∵AB=AC，当AD=BD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=2∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=3∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴7∠BAC=180°，∴∠BAC=180 ()7︒．综上所述，∠A的最小度数为：180 ()7︒．故答案是：180 ()7︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．26．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．【答案】2.【解析】【分析】【详解】过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等边三角形，∵△B′DE≌△BDE，∴B′F=1B′E=BE=2，3,2∴GD=B′F=2，∴3∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴7考点：1轴对称；2等边三角形.27．如图，在直角坐标系中，点()8,8B -，点()2,0C -，若动点P 从坐标原点出发，沿y 轴正方向匀速运动，运动速度为1/cm s ，设点P 运动时间为t 秒，当BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形时，直接写出t 的所有值__________________．【答案】2秒或46秒或14秒【解析】【分析】分两种情况：PC 为腰或BP 为腰.分别作出符合条件的图形，计算出OP 的长度，即可求出t 的值．【详解】解：如图所示，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，作BE ⊥y 轴于点E ，分别以点B 和点C 为圆心，以BC 长为半径画弧交y 轴正半轴于点F ，点H 和点G∵点B （-8，8），点C （-2，0），∴DC=6cm ，BD=8cm ，由勾股定理得：BC=10cm∴在直角三角形COG 中，OC=2cm ，CG=BC=10cm ，∴OP=OG= 2210246(cm)-=，当点P 运动到点F 或点H 时，BE=8cm ，BH=BF=10cm ，∴EF=EH=6cm∴OP=OF=8-6=2（cm ）或OP=OH=8+6=14（cm ），故答案为：2秒，46秒或14秒．【点睛】本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用，通过作图找出要求的点的位置，利用勾股定理来求解是本题的关键．28．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB －2∠ACD ，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ，∴∠ECB=∠ACB －∠ACE=∠ACB －2∠ACD ，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ECB=100°，∴∠ABC+∠ACB －2∠ACD=100°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB－2∠ACD=100°，∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.29．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_____cm．【答案】8cm.【解析】【详解】解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=36°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=8．30．如图：在ABC ∆中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACB=1080，∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠ =01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠= 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，ABC，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：①BE CD=；②FA平分EFC∠；③FE FD=；④FE FC FA+=．其中一定正确的结论有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的性质证出△BAE≌△DAC，可得BE=CD，从而得出①正确；过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，由△BAE≌△DAC得出∠BEA=∠ACD，由等角的补角相等得出∠AEM=∠CAN，由AAS可证△AME≌△ANC，得到AM=AN，由角平分线的判定定理得到FA平分∠EFC，从而得出②正确；在FA上截取FG，使FG=FE，根据全等三角形的判定与性质得出△AGE≌△CFE，可得AG=CF，即可求得AF=CF+EF，从而得出④正确；根据CF+EF=AF，CF+DF=CD，得出CD≠AF，从而得出FE≠FD，即可得出③错误．【详解】∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴∠BAD=∠EAC=60°，AE=AC=EC．∵∠BAE+∠DAE=60°，∠CAD+∠DAE=60°，∴∠BAE=∠DAC，在△BAE和△DAC中，∵AB ADBAE DACAE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴BE=CD，①正确；过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，如图1．∵△BAE≌△DAC，∴∠BEA=∠ACD，∴∠AEM=∠ACN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，∴∠AME=∠ANC．在△AME和△ANC中，∵∠AEM=∠CAN，∠AME=∠ANC，AE=AC，∴△AME≌△ANC，∴AM=AN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，AM=AN，FA平分∠EFC，②正确；在FA上截取FG，使FG=FE，如图2．∵∠BEA=∠ACD，∠BEA+∠AEF=180°，∴∠AEF+∠ACD=180°，∴∠EAC+∠EFC=180°．∵∠EAC=60°，∴∠EFC=120°．∵FA平分∠EFC，∴∠EFA=∠CFA=60°．∵EF=FG，∠EFA=60°，∴△EFG是等边三角形，∴EF=EG．∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，∴∠AEG=∠CEF，在△AGE和△CFE中，∵AE ACAEG CEFEG EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGE≌△CFE（SAS），∴AG=CF．∵AF=AG+FG，∴AF=CF+EF，④正确；∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，CD≠AF，∴FE≠FD，③错误，∴正确的结论有3个．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线是解答本题的关键．32．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）A ．90α+B ．1902α+C ．180α-D ．1802α-【答案】D【解析】【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解：过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°）所以 x°=180°-2α 【点睛】求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.33．如图，△ABC 的周长为32，点D 、E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC ＝12，则PQ 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】 首先判断△BAE 、△CAD 是等腰三角形，从而得出BA ＝BE ，CA ＝CD ，由△ABC 的周长为32以及BC ＝12，可得DE ＝8，利用中位线定理可求出PQ ．【详解】∵BQ 平分∠ABC ，BQ ⊥AE ，∴∠ABQ ＝∠EBQ ，∵∠ABQ+∠BAQ ＝90°，∠EBQ+∠BEQ ＝90°，∴∠BAQ ＝∠BEQ ， ∴AB ＝BE ，同理：CA ＝CD ，∴点Q 是AE 中点，点P 是AD 中点（三线合一），∴PQ 是△ADE 的中位线，∵BE+CD ＝AB+AC ＝32﹣BC ＝32﹣12＝20，∴DE ＝BE+CD ﹣BC ＝8，∴PQ ＝12DE ＝4． 故选：B ．【点睛】 本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出△BAE 、△CAD 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ 是△ADE 的中位线．34．如图，等腰ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP OC =.下列结论：①30APO DCO ∠+∠=；②APO DCO ∠=∠；③OPC ∆是等边三角形；④AB AO AP =+.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 ①②连接OB ，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP ，即可解题；③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；④AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ ，即可解题.【详解】连接OB ，∵AB AC =，AD ⊥BC ，∴AD 是BC 垂直平分线，∴OB OC OP ==，∴APO ABO ∠=∠，DBO DCO ∠=∠，∵AB=AC ，∠BAC =120∘∴30ABC ACB ∠=∠=︒∴30ABO DBO ∠+∠=︒，∴30APO DCO ∠+∠=．故①②正确；∵OBP ∆中，180BOP OPB OBP ∠=︒-∠-∠，BOC ∆中，180BOC OBC OCB ∠=︒-∠-∠，∴360POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB ∠=︒-∠-∠=∠+∠+∠+∠，∵OPB OBP ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，∴260POC ABD ∠=∠=︒，∵PO OC ，∴OPC ∆是等边三角形，故③正确；在AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，则AOQ ∆为等边三角形，则120BQO PAO ∠=∠=︒，在BQO ∆和PAO ∆中，BQO PAO QBO APO OB OP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴BQO PAO AAS ∆∆≌（），∴PA BQ =，∵AB BQ AQ =+，∴AB AO AP =+，故④正确.故选：D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，本题中求证BQO PAO ∆∆≌是解题的关键．35．如图钢架中，∠A=a ,焊上等长的钢条P 1P 2, P 2P 3, P 3P 4, P 4P 5……来加固钢架.著P 1A= P 1P 2,且恰好用了4根钢条,则α的取值范圈是( )A ．15°≤ a <18°B ．15°< a ≤18°C ．18°≤ a <22.5°D ．18° < a ≤ 22.5°【答案】C【解析】【分析】由每根钢管长度相等，可知图中都是等腰三角形，利用等腰三角形底角一定是锐角，可推出取值范围.【详解】∵AB=BC=CD=DE=EF∴∠P 1P 2A=∠A=a由三角形外角性质，可得∠P 2P 1P 3=2∠A=2a同理可得，∠P 1P 3P 2=∠P 2P 1P 3=2a ，∠P 3P 2P 4=∠P 3P 4P 2=∠A+∠P 1P 3P 2=3a ，∠P 4P 3P 5=∠P 4P 5P 3=∠A+∠P 3P 4P 2=4a ，在△P 4P 3P 5中，∠P 3P 4P 5=180°-2∠P 4P 3P 5=180°-8a当∠P 5P 4B ≥90°即∠P 5P 4A ≤90°时，不能再放钢管，∴3180890+-≤a a ，解得a ≥18°又∵等腰三角形底角只能是锐角，∴4a ＜90°，解得a ＜22.5∴1822.5οο≤<a故选C.【点睛】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的底角只能是锐角是关键.36．如图，已知等边△ABC 的边长为4，面积为43，点D 为AC 的中点，点E 为BC 的中点，点P 为BD 上一动点，则PE+PC 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．3【答案】C【解析】【分析】 由题意可知点A 、点C 关于BD 对称，连接AE 交BD 于点P ，由对称的性质可得，PA=PC ，故PE+PC=AE ，由两点之间线段最短可知，AE 即为PE+PC 的最小值．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，点D 为AC 的中点，点E 为BC 的中点，∴BD ⊥AC ，EC ＝2，连接AE ，线段AE 的长即为PE+PC 最小值，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∴PE+PC 22AC E C -224223-=故选C ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）37．已知226a b ab +=，且a>b>0，则a b a b +-的值为( ) A 2B 2C ．2 D ．±2 【答案】A【解析】【分析】已知a 2+b 2=6ab ，变形可得（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ，可以得出（a+b ）和（a-b ）的值，即可得出答案．【详解】∵a 2+b 2=6ab ，∴（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ，∵a ＞b ＞0，∴8ab 4ab∴a b a b +-824ab ab= 故选A.【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．38．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a 2+b 2+c 2—ab －bc －ca 的值等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】首先把a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac 两两结合为a 2﹣ab +b 2﹣bc +c 2﹣ac ，利用提取公因式法因式分解，再把a 、b 、c 代入求值即可．【详解】a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac＝a 2﹣ab +b 2﹣bc +c 2﹣ac＝a （a ﹣b ）+b （b ﹣c ）+c （c ﹣a ）。

人教版八年级上册数学 全册全套试卷练习（Word 版 含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，动点P 从A 点出发，先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动，然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动．若设点P 运动的时间是t 秒，那么当t =___________________，△APE 的面积等于6．【答案】1.5或5或9【解析】【分析】分为两种情况讨论：当点P 在AC 上时：当点P 在BC 上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可．【详解】如图1，当点P 在AC 上．∵△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，∴CE =4，AP =2t ．∵△APE 的面积等于6，∴S △APE =12AP •CE =12AP ×4=6．∵AP =3，∴t =1.5． 如图2，当点P 在BC 上．则t ＞3∵E 是DC 的中点，∴BE =CE =4． ∵PE ()43=7-PE t t =-- ，∴S =12EP •AC =12•EP ×6=6，∴EP =2，∴t =5或t =9． 总上所述，当t =1.5或5或9时，△APE 的面积会等于6．故答案为1.5或5或9．【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．2．如图，ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，点,E F 分别在线段BD 、CD 上，点G 在EF 的延长线上，EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称，若60,84,A BEH HFG n ︒︒︒∠=∠=∠=，则n =__________.【答案】78.【解析】【分析】利用ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=12(∠A+∠ABC)，根据三角形的内角和得到∠D=12∠A=30︒，利用外角定理得到∠DEH=96︒，由EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48︒，根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78︒.【详解】∵ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D∴∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=12(∠A+∠ABC)， ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180︒，∠A+∠ABC+∠ACB=180︒， ∴∠D=12∠A=30︒， ∵84BEH ︒∠=,∴∠DEH=96︒,∵EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称，∴∠DEG=∠HEG=48︒，∠DFG=∠HFG n ︒=,∵∠DFG=∠D+∠DEG=78︒，∴n=78.故答案为：78.【点睛】此题考查三角形的内角和定理、外角定理，角平分线性质，轴对称图形的性质，此题中求出∠D=12∠A=30︒是解题的关键. 3．一个多边形的内角和是外角和的72倍，那么这个多边形的边数为_______. 【答案】9【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n-2）•180°=72×360°，解得：n=9．故答案为：9．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．4．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm．【答案】22【解析】【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长.【详解】试题解析：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．故填22．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，若剪去∠A得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝______．【答案】240.【解析】【详解】试题分析：∠1+∠2=180°+60°=240°．考点：1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理．6．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．【答案】30【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P 的度数.【详解】∵BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACM 的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，∵∠PBC+∠P=∠PCM ，∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°，故答案为：30【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，在ABC ∆中，A α∠=．ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠，...，6A BC ∠与6A CD ∠的平分线相交于点7A ，得7A ∠，则7A ∠=（ ）A ．32αB ．64αC ．128αD ．256α 【答案】C【解析】【分析】 根据角平分线的性质及外角的性质可得11122A A α∠=∠=，同理可得2212A α∠=，3312A α∠=，由此可归纳出12n nA α∠=，易知7A ∠. 【详解】解：ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A 1111,22A BC ABC ACD ACD ∴∠=∠∠=∠ 111ACD A BC A ∠=∠+∠ 11122ACD ABC A ∴∠=∠+∠ ACD ABC A ∠=∠+∠111222ACD ABC A ∴∠=∠+∠ 11122A A α∴∠=∠= 同理可得21211112222A A αα∠=∠=⨯=，3231122A A α∠=∠=，…，由此可知12n n A α∠=， 所以7712128A αα∠==. 故选：C.【点睛】本题考查了角平分线的性质及图形的规律探究，灵活的利用角平分线的性质及外角的性质确定角的变化规律是解题的关键.8．如图在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，交于O ，CE 为外角∠ACD 的平分线，BO 的延长线交CE 于点E ，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①④D ．①②④【答案】C【解析】【分析】 根据三角形内角和定理以及三角形角平分线的定义可得∠BOC=90°+12∠1，再结合三角形外角性质可得∠ECD=∠OBC+∠2，从而可得∠BOC=90°+∠2，据此即可进行判断.【详解】∵BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ， ∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1， ∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）=12（180°-∠1）=90°-12∠1， ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-12∠1）=90°+12∠1， ∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE 平分∠ACD ， ∴∠ECD=12∠ACD=12（∠ABC+∠1）， ∵∠ECD=∠OBC+∠2， ∴∠2=12∠1，即∠1=2∠2， ∴∠BOC=90°+12∠1=90°+∠2， ∴①④正确，②③错误， 故选C.【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线等知识，熟练掌握相关的性质及定理、运用数形结合思想是解题的关键.9．如图：在△ABC 中，G 是它的重心，AG ⊥CD ，如果32BG AC ⋅=，则△AGC 的面积的最大值是（ ）A ．3B ．8C ．43D ．6 【答案】B【解析】分析：延长BG 交AC 于D ．由重心的性质得到 BG =2GD ，D 为AC 的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AC =2GD ，即有BG =AC ，从而得到AC 、GD 的长．当GD ⊥AC 时，△AGC 的面积的最大，最大值为：12AC •GD ，即可得出结论． 详解：延长BG 交AC 于D ．∵G 是△ABC 的重心，∴BG =2GD ，D 为AC 的中点．∵AG ⊥CG ，∴△AGC 是直角三角形，∴AC =2GD ，∴BG =AC ．∵BG •AC =32，∴AC 322，GD =22当GD ⊥AC 时，．△AGC 的面积的最大，最大值为：12AC•GD=142222⨯⨯=8．故选B．点睛：本题考查了重心的性质．解题的关键是熟知三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．10．若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（）A．45︒B．60︒C．72︒D．90︒【答案】C【解析】【分析】根据多边形的内角和公式()2180n-•︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360︒，依此可以求出多边形的一个外角．【详解】正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572÷︒＝＝．故选C．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．11．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 【答案】D【解析】【详解】A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．故选D．12．以下列数据为长度的三条线段，能组成三角形的是（）A ．2 cm 、3cm 、5cmB ．2 cm 、3 cm 、4 cmC ．3 cm 、5 cm 、9 cmD ．8 cm 、4 cm 、4 cm【答案】B【解析】【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．【详解】A 、2+3=5，故本选项错误．B 、2+3＞4，故本选项正确．C 、3+5＜9，故本选项错误．D 、4+4=8，故本选项错误．故选B ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，在ABC ∆和ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，则下列结论正确的是___________.①ABD ACE ∆≅∆②45ACE DBC ∠+∠=︒③BD CE ⊥④180EAB DBC ∠+∠=︒【答案】①②③④【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质解答即可．【详解】解：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ，即：∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AE=AD ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），故①正确；∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，故②正确；∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD ⊥CE ，故③正确；∵90BAC DAE ∠=∠=︒，∴∠BAE+∠DAC=180°，∵∠ADB=∠E=45°，∴DAC DBC ∠=∠，∴180EAB DBC ∠+∠=︒，故④正确；故答案为：①②③④．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及等腰三角形的性质，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及等腰三角形的性质是解决问题的关键．14．已知：如图，△ABC 和△DEC 都是等边三角形，D 是BC 延长线上一点，AD 与BE 相交于点P ，AC 、BE 相交于点M ，AD ，CE 相交于点N ，则下列五个结论：①AD ＝BE ；②AP ＝BM ；③∠APM ＝60°；④△CMN 是等边三角形；⑤连接CP ，则CP 平分∠BPD ，其中，正确的是_____．（填写序号）【答案】①③④⑤．【解析】【分析】①根据△ACD ≌△BCE (SAS )即可证明AD ＝BE ；②根据△ACN ≌△BCM (ASA )即可证明AN ＝BM ，从而判断AP ≠BM ；③根据∠CBE +∠CDA ＝60°即可求出∠APM =60°；④根据△ACN ≌△BCM 及∠MCN ＝60°可知△CMN 为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知.【详解】①∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°∴∠ACE ＝60°∴∠ACD＝∠BCE＝120°在△ACD和△BCE中CA CBACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE在△ACN和△BCM中ACN BCMCA CBCAN CBM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACN≌△BCM(ASA)∴AN＝BM；③∵∠CAD+∠CDA＝60°而∠CAD＝∠CBE∴∠CBE+∠CDA＝60°∴∠BPD＝120°∴∠APM＝60°；④∵△ACN≌△BCM∴CN＝BM而∠MCN＝60°∴△CMN为等边三角形；⑤过C点作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图∵△ACD≌△BCE∴CQ＝CH∴CP平分∠BPD.故答案为：①③④⑤．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键.15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，则下列结论:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正确的结论是____________(填正确结论的编号)【答案】①②③【解析】【分析】根据同角的余角相等，可得到结论①，再证明△ACF≌△CBD，然后根据全等三角形的性质判断结论②、③、④即可.【详解】解：∵BD⊥CF，AF⊥CF，∴∠BDC=∠AFC=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACF=∠CBD，故①正确；在△ACF和△CBD中，BDC AFCACF CBDAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△CBD，∴BD＝FC，CD=AF，故结论②正确∴FC＝FD+CD=FD+AF，故结论③正确，∵在Rt△AEF中，AE>AF，∴AE>CD，故结论④错误.综上所述，正确的结论是：①②③.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定方法及全等的性质是解题的关键.16．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=1，则AB与CD 之间的距离等于____．【答案】2【解析】过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠EOF+∠EOG=（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）=180°，∴E、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离=OF+OG=1+1=2．故答案为：2．点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于作出辅助线并证明E、O、G三点共线．17．如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC边上的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：①AE=CF；②EF=AP；③2S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合）有BE+CF=EF；上述结论中始终正确的序号有__________．【答案】①③【解析】【分析】根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到①③都是正确．【详解】∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，∴∠EAP=12∠BAC=45°，AP=12BC=CP．①在△AEP与△CFP中，∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，∴△AEP≌△CFP，∴AE=CF．正确；②只有当F在AC中点时EF=AP，故不能得出EF=AP，错误；③∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=12S△ABC，即2S四边形AEPF=S△ABC；正确；④根据等腰直角三角形的性质，EF=2PE，所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=2PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故④错误；故答案为：①③．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，证得△AEP和△CFP 全等是解题的关键，也是本题的突破点．18．如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为___________．【答案】a+b【解析】先根据全等三角形的判定AAS判定△AEF≌△BFD，得出AE=BF，从而得出△AEF的周长=AF+AE+EF=AF+BF+EF=a+b．故答案为：a+b四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（）A．AB﹣AD＞CB﹣CD B．AB﹣AD=CB﹣CDC．AB﹣AD＜CB﹣CD D．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定【答案】A【解析】如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，又AC是公共边，∴△AEC≌△ADC（SAS），∴AE=AD，CE=CD，∴AB-AD=AB-AE=BE，BC-CD=BC-CE，∵在△BCE中，BE＞BC-CE，∴AB-AD＞CB-CD．故选A．20．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④【答案】A【解析】【分析】根据题意结合图形证明△AFB≌△AEC；利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决．【详解】如图，∵∠EAF=∠BAC，∴∠BAF=∠CAE；在△AFB与△AEC中，AF AEBAF CAEAB AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AFB≌△AEC（SAS），∴BF=CE；∠ABF=∠ACE，∴A、F、B、C四点共圆，∴∠BFC=∠BAC=∠EAF；故①、②、③正确，④错误．故选A.．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．21．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC≌△DEF（）A．AC＝DF B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE【答案】A【解析】【分析】根据AB∥DE证得∠B＝∠E，又已知BF＝CE证得BC＝EF，即已具备两个条件：一边一角，再依次添加选项中的条件即可判断.【详解】∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，∴BC＝EF，若添加AC＝DF，则不能判定△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；若添加AC∥DF，则∠ACB＝∠DFE，可以判断△ABC≌△DEF（ASA），故选项B不符合题意；若添加∠A＝∠D，可以判断△ABC≌△DEF（AAS），故选项C不符合题意；若添加AB＝DE，可以判断△ABC≌△DEF（SAS），故选项D不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理，熟练掌握定理，并能通过定理去判断条件是否符合全等是解决此题的关键.22．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正确结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ （ASA），所以AP=BQ；故②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；【详解】①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，故①正确；由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°∴△CQB≌△CPA（ASA），∴AP＝BQ，故②正确；∵△CQB≌△CPA，∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，故③正确，∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，∴∠AOE＝120°，故⑤正确，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．23．如图，点 D 是等腰直角△ABC 腰 BC 上的中点，点B 、B′ 关于 AD 对称，且BB′ 交AD 于 F，交 AC 于 E，连接 FC 、 AB′，下列说法：① ∠BAD=30°； ② ∠BFC=135°；③ AF=2B′ C；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】依据点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，可得tan∠BAD=12，即可得到∠BAD≠30°；连接B'D，即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，进而得出△ABF≌△BCB'，判定△FCB'是等腰直角三角形，即可得到∠CFB'=45°，即∠BFC=135°；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C；依据△AEF与△CEB'不全等，即可得到S△AFE≠S△FCE．【详解】∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，∴BD=12BC=12AB，∴tan∠BAD=12，∴∠BAD≠30°，故①错误；如图，连接B'D，∵B、B′关于AD对称，∴AD垂直平分BB'，∴∠AFB=90°，BD=B'D=CD，∴∠DBB'=∠BB'D，∠DCB'=∠DB'C，∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，∴∠AFB=∠BB'C，又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF，∴∠BAF=∠CBB'，∴△ABF≌△BCB'，∴BF=CB'=B'F，∴△FCB'是等腰直角三角形，∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C，故③正确；∵AF＞BF=B'C，∴△AEF与△CEB'不全等，∴AE≠CE，∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；故选B．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．24．已知OD 平分∠MON，点A 、B 、C 分别在OM 、OD 、ON 上(点A 、B 、C 都不与点O 重合)，且AB=BC, 则∠OAB 与∠BCO 的数量关系为（ ）A ．∠OAB+∠BCO=180°B ．∠OAB=∠BCOC ．∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCOD ．无法确定【答案】C【解析】根据题意画图，可知当C 处在C 1的位置时，两三角形全等，可知∠OAB=∠BCO ；当点C 处在C 2的位置时，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，∠OAB+∠BCO=180°.故选C.五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____.【答案】15CP ≤≤【解析】【分析】根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.【详解】如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小，此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，如图，当点F与点C重合时，CP的值最大，此时CP=AC，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP的最大值为5，所以线段CP长的取值范围是1≤CP≤5，故答案为1≤CP≤5.【点睛】本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.26．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______【答案】110°、125°、140°【解析】【分析】先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.【详解】解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，∴b﹣d=10°，∴（60°﹣a）﹣d=10°，∴a+d=50°，即∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°；所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形，故答案为：110°、125°、140°.【点睛】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.27．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．【答案】2.【解析】【分析】【详解】过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE 是等边三角形，∵△B′DE ≌△BDE ，∴B′F=12B′E=BE=2，DF=23, ∴GD=B′F=2， ∴B′G=DF=23，∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴AB′=27．考点：1轴对称；2等边三角形.28．如图，ABC 中，ABC=45∠︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：BF=AC ①；A=67.5∠︒②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）．【答案】①②③【解析】【分析】只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断④错误．【详解】解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A ＋∠ABE=90°，∠ABE ＋∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC，∴BD=DC，在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=CD，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF=AC，故①正确．∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC，∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，∴∠ABE=∠CBE=22.5°，∵∠BDF=∠BHG=90°，∴∠BGH=∠BFD=67.5°，∴∠DGF=∠DFG=67.5°，∴DG=DF，故③正确．作GM⊥AB于M．如图所示：∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC，∴GH=GM＜DG，∴S△DGB＞S△GHB，∵S△ABE=S△BCE，∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故④错误，故答案为：①②③．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．29．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD ＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．【答案】12【解析】【分析】延长BM 至G ，使MG ＝BM ，连接FG 、DG ，证明△BME ≌△GMF （SAS ），得出FG ＝BE ，∠MBE ＝∠MGF ，证出AB ＝FG ，证明△DAB ≌△DFG （SAS ），得出DB ＝DG ，由等腰三角形的性质即可得DM ⊥BM ，由五边形ABEFD 的面积＝△DBG 的面积，可求解．【详解】延长BM 至G ，使MG ＝BM ＝4，连接FG 、DG ，如图所示：∵M 为EF 中点，∴ME ＝MF ，在△BME 和△GMF 中，BM MG BME GMFME MF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BME ≌△GMF （SAS ），∴FG ＝BE ，∠MBE ＝∠MGF ，S △BEM ＝S △GFM ，∴FG ∥BE ，∴∠C ＝∠GFC ，∵∠A +∠C ＝180°，∠DFG +∠GFC ＝180°，∴∠A ＝∠DFG ，∵AB ＝BE ，∴AB ＝FG ，在△DAB 和△DFG 中，AB FG A DFGAD DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAB ≌△DFG （SAS ），∴DB ＝DG ，S △DAB ＝S △DFG ，∵MG ＝BM ，∴DM ⊥BM ，∴五边形ABEFD 的面积＝△DBG 的面积＝12×BG ×DM ＝12×8×3＝12， 故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．30．已知等边△ABC 中，点D 为射线BA 上一点，作DE=DC ，交直线BC 于点E,∠ABC 的平分线BF 交CD 于点F ，过点A 作AH ⊥CD 于H ，当EDC=30︒，CF=43，则DH=______．【答案】23【解析】连接AF.∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.∵DE=DC ，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF.在△ABF和△CBF中，AB BCABF CBF BF BF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF≌△CBF，∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°.∵AH⊥CD，∴AH=12AF=12CF=23.∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=2 3 .故答案为2 3 .点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】以O点为圆心，OA为半径作圆与x轴有两交点，这两点显然符合题意．以A点为圆心，OA为半径作圆与x轴交与两点（O点除外）．以OA中点为圆心OA长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，32．平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】【分析】【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B，C1，C2，C5，得到以A为顶点的等腰△ABC1，△ABC2，△ABC5；②以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A，C3，C6，C7，得到以B为顶点的等腰△BAC3，△BAC6，△BAC7；③作AB的垂直平分线，交x轴于点C4，得到以C为顶点的等腰△C4AB∴符合条件的点C共7个故选C33．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，a），等腰直角三角形ODC的斜边经过点B，OE⊥AC，交AC于E，若OE＝2，则△BOD与△AOE的面积之差为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】首先证明△DOB ≌△COA （SAS ），推出S △DOB ﹣S △AOE =S △EOC ，再证明△OEC 是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】∵A （a ，0），B （0，a ），∴OA =OB ．∵△ODC 是等腰直角三角形，∴OD =OC ，∠D =∠DCO =45°．∵∠DOC =∠BOA =90°，∴∠DOB =∠COA ．在△DOB 和△COA 中，∵OD =OC ，∠DOB =∠COA ，OB =OA ，∴△DOB ≌△COA （SAS ），∴∠D =∠OCA =45°，S △DOB ﹣S △AOE =S △EOC ．∵OE ⊥AC ，∴∠OEC =90°，∴△CEO 是等腰直角三角形，∴OE =EC =2，∴S △DOB ﹣S △AOE =S △EOC 12=⨯2×2=2． 故选A ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OEC 是等腰直角三角形．34．如图，Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，ABC ∠的平分线BE 和BAC ∠的外角平分线AD 相交于点P ，分别交AC 和BC 的延长线于E ，D .过P 作PF AD ⊥交AC 的延长线于点H ，交BC 的延长线于点F ，连接AF 交DH 于点G .下列结论：①45APB ∠=︒；②PB 垂直平分AF ；③BD AH AB -=；④2DG PA GH =+；其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【解析】【分析】 ①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP ，再根据角平分线的定义∠ABP ＝12∠ABC ，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解； ②先求出∠APB ＝∠FPB ，再利用“角边角”证明△ABP 和△FBP 全等，根据全等三角形对应边相等得到AB ＝BF ，AP ＝PF ；③根据直角的关系求出∠AHP ＝∠FDP ，然后利用“角角边”证明△AHP 与△FDP 全等，根据全等三角形对应边相等可得DF ＝AH ；④求出∠ADG ＝∠DAG ＝45°，再根据等角对等边可得DG ＝AG ，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH ＝GF ，然后根据即可得到DG GH =+. 【详解】解：①∵∠ABC 的角平分线BE 和∠BAC 的外角平分线，∴∠ABP ＝12∠ABC ， ∠CAP ＝12（90°＋∠ABC ）＝45°＋12∠ABC ， 在△ABP 中，∠APB ＝180°−∠BAP−∠ABP ，＝180°−（45°＋12∠ABC ＋90°−∠ABC ）−12∠ABC ， ＝180°−45°−12∠ABC−90°＋∠ABC−12∠ABC ， ＝45°，故本小题正确；②∵PF ⊥AD ，∠APB ＝45°（已证），∴∠APB ＝∠FPB ＝45°，∵∵PB 为∠ABC 的角平分线，∴∠ABP ＝∠FBP ，在△ABP 和△FBP 中， APB FPB PB PBABP FBP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ABP ≌△FBP （ASA ），∴AB ＝BF ，AP ＝PF ；∴PB 垂直平分AF ，故②正确；③∵∠ACB ＝90°，PF ⊥AD ，∴∠FDP ＋∠HAP ＝90°，∠AHP ＋∠HAP ＝90°，∴∠AHP ＝∠FDP ，∵PF ⊥AD ，∴∠APH ＝∠FPD ＝90°，在△AHP 与△FDP 中，90AHP FDP APH FPD AP PF ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△AHP ≌△FDP （AAS ），∴DF ＝AH ，∵BD ＝DF ＋BF ，∴BD ＝AH ＋AB ，∴BD−AH ＝AB ，故③小题正确；④∵AP ＝PF ，PF ⊥AD ，∴∠PAF ＝45°，∴∠ADG ＝∠DAG ＝45°，∴DG ＝AG ，∵∠PAF ＝45°，AG ⊥DH ，∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形，∴DG ＝AG ，GH ＝GF ，∴DG ＝GH ＋AF ，∴FG=GH,AF=2PA故2DG PA GH =+.综上所述①②③④正确．故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．35．如图所示，在等边△ABC 中，E 是AC 边的中点，AD 是BC 边上的中线，P 是AD 上的动点，若AD =3，则EP ＋CP 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】 由等边三角形的性质得，点B ，C 关于AD 对称，连接BE 交AD 于点P ，则EP+CP=BE 最小，又BE=AD ，所以EP+CP 的最小值是3.故选B.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.36．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ∆是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状；④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ≅△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.【详解】①正确，理由如下：∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确；②正确，理由如下：由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC=180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确；③错误，理由如下：∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知，AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形，故③错误；④正确，理由如下：如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP ,∴∠COP=∠COE,即OC 平分∠AOE,。

数学八年级上册 全册全套试卷试卷（word 版含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n+1折叠，点B n 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC 是△ABC 的好角.（1）如图2，在△ABC 中，∠B>∠C ，若经过两次折叠，∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C 的等量关系是_______；（2）如果一个三角形的最小角是20°，则此三角形的最大角为______时，该三角形的三个角均是此三角形的好角。

【答案】B 2C ∠∠= 140°、120°或80°【解析】【分析】（1）根据折叠性质可得∠A 1B 1B 2=∠C ，∠AA 1B 1=∠B ，由三角形外角性质可得∠AA 1B 1=2∠C ，根据等量代换可得∠B=2∠C ；（2）先求出经过三次折叠，∠BAC 是△ABC 的好角时，∠B 与∠C 的等量关系为∠B=3∠C ，进而可得经过n 次折叠，∠BAC 是△ABC 的好角时∠B 与∠C 的等量关系为∠B=n ∠C ，因为最小角是20º，是△ABC 的好角，根据好角定义，设另两角分别为20mº，4mn°，由题意得20m+20mn+20=180°，所以m(n+1)=8，再根据m 、n 都是正整数可得m 与n+1是8的整数因子，从而可以求得结果．【详解】（1）根据折叠性质得∠B=∠AA 1B 1，∠A 1B 1B 2=∠C ，∵∠AA 1B 1=∠A 1B 1B 2+∠C ，∴∠B=2∠C故答案为：∠B=2∠C（2）如图：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA 1B 1，∠C=∠A 2B 2C ，∠A 1B 1C=∠A 1A 2B 2， ∴根据三角形的外角定理知，∠A 1A 2B 2=∠C+∠A 2B 2C=2∠C ；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA 1B 1-∠A 1B 1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°， 根据三角形ABC 的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C ；∴当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；∵最小角为20°，∴设另两个角为20m°和20mn°，∴20°+20m°+20mn°=180°，即m(1+n)=8，∵m、n为整数，∴m=1，1+n=8；或m=2，1+n=4；或m=4，1+n=2.解得：m=1，n=7；m=2，n=3，m=4，n=1，∴另两个角为20°、140°或40°、120°或80°、80°，∴此三角形最大角为140°、120°或80°时，三个角均是此三角形的好角.故答案为：140°、120°或80°【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）．充分利用三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质是解题关键．2．如图，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，若∠A＝42°，则∠E＝_____°．【答案】21°【解析】根据三角形的外角性质以及角平分线的定义可得．解：由题意得：∠E=∠ECD−∠EBC=12∠ACD−12∠ABC=12∠A=21°.故答案为21°.3．如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是_____．【答案】92°．【解析】【分析】由折叠的性质得到∠D=∠C ，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【详解】由折叠的性质得：∠C'=∠C=46°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C ，∠3=∠2+∠C'，则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°，则∠1﹣∠2=92°．故答案为：92°．【点睛】考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.4．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，AE 平分BAC ∠，若130∠=，220∠=，则B ∠=__________．【答案】50°【解析】【分析】 由角平分线的定义和已知可求出∠BAC ，由AD 是BC 边上的高和已知条件可以求出∠C，然后运用三角形内角和定理，即可完成解答.【详解】解：∵AE 平分BAC ∠，若130∠=∴BAC ∠=2160∠=；又∵AD 是BC 边上的高，220∠=∴C ∠=90°-270∠= 又∵BAC ∠+∠B+∠C=180°∴∠B=180°-60°-70°=50°故答案为50°.【点睛】本题考查了角平分线、高的定义以及三角形内角和的知识，考查知识点较多，灵活运用所学知识是解答本题的关键.5．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，点E在线段BD上，且AE平分∠BAC，若∠B=40°，∠C=78°，则∠EAD=____°．【答案】19°．【解析】【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC，再由AE平分∠BAC，可求得∠EAC，最后由∠ADC=90°，∠C=78°，可求得∠DAC，即∠EAD可求．【详解】解：∵∠B=40°，∠C=78°∴∠BAC=180°-∠B-∠C=62°∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=1312BAC∠=，∵AD是BC边上的高∴∠ADC=90°∴∠DAC=90°-78°=12°∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=19°故答案为：19°．【点睛】本题考查三角形内角和定理；三角形角平分线性质．6．如图，∠A=50°，∠ABO=28°，∠ACO=32°，则∠BOC=______°.【答案】110【解析】已知∠A=50°，∠ABO=28°，∠ACO=32°，根据三角形外角的性质可得∠BDC=∠A+∠ABO=78°，∠BOC=∠BDC+∠ACO=110°．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图,△ABC 中,E 是 AC 的中点,延长 BC 至 D ,使 BC ：CD =3:2,以 CE ,CD 为邻边做▱CDFE ，连接 AF,BE,BF ，若△ABC 的面积为 9，则阴影部分面积是（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2 【答案】A【解析】【分析】 根据三角形中位线性质结合三角形面积去解答.【详解】 解：在ABC 中，E 是 AC 的中点,S ABC 9=, BC ：CD =3:2▱CDFE 中，CD=EF1S BCE 4.52S ABC ∴== 设BCE 的高为1h , ABC 的高为2.h11S BCE 4.52BC h ∴=⨯⨯= 13h =12:1:2h h =26h ∴=S AEF S EFB s ∴=+阴()2111122EF h h EF h =⨯⨯-+⨯⨯ 212EF h =⨯⨯ 1262=⨯⨯ 6.=【点睛】此题重点考察学生对三角形中位线和面积的理解，熟练掌握三角形面积计算方法是解题的关键.8．如图，三角形ABC 内的线段,BD CE 相交于点O ,已知OB OD =,2OC OE =.若BOC ∆的面积=2，则四边形AEOD 的面积等于（ ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】【分析】连接AO，利用等高不等底的三角形面积比等于底长的比，可求出△COD与△BOE的面积．列出关于△AOE与△AOD的面积的方程即可求出四边形AEOD的面积．【详解】连接OA，∵OB=OD，∴S△BOC=S△COD=2，∵OC=2OE，∴S△BOE=12S△BOC=1，∵OB=OD，∴S△AOB=S△AOD，∴S△BOE+S△AOE=S△AOD，即：1+S△AOE=S△AOD①，∵OC=2OE，∴S△AOC=2S△AOE，∴S△AOD+S△COD=2S△AOE，即：S△AOD+2=2S△AOE②，联立①和②：解得：S△AOE=3，S△AOD=4，S四边形AEOD=S△AOE+S△AOD=7，故选D．【点睛】本题考查三角形面积问题，涉及方程组的解法，注意灵活运用等高不等底的三角形面积比等于底长的比这一结论．9．若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（）A．45︒B．60︒C．72︒D．90︒【答案】C【解析】【分析】n-•︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定根据多边形的内角和公式()2180的360︒，依此可以求出多边形的一个外角．【详解】正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572＝＝．÷︒故选C．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．10．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG;其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB．又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；④无法证明CA平分∠BCG，故错误；③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°﹣135°﹣90°=135°，∴∠DFB=45°=∠CGE，∴∠CGE=2∠DFB，∴∠DFB=∠CGE，故正确．故选C．点睛：本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．11．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 【答案】D【解析】【详解】A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．故选D．12．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．7 B．8 C．6 D．5【答案】B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．【详解】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n-2）=3×360°解得n=8．故选：B．【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，△ABE，△BCD均为等边三角形，点A，B，C在同一条直线上，连接AD，EC，AD与EB相交于点M，BD与EC相交于点N，下列说法正确的有：___________①AD=EC；②BM=BN；③MN∥AC；④EM=MB．【答案】①②③【解析】∵△ABE，△BCD均为等边三角形，∴AB=BE，BC=BD，∠ABE=∠CBD=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中AB BEABD EBCBD BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△EBC(SAS)，∴AD=EC，故①正确；∴∠DAB=∠BEC，又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，∴∠EBD=60°，在△ABM和△EBN中MAB NEBAB BEABE EBN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABM≌△EBN(ASA)，∴BM=BN，故②正确；∴△BMN为等边三角形，∴∠NMB=∠ABM=60°，∴MN∥AC，故③正确；若EM=MB，则AM平分∠EAB，则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，故④不正确；综上可知正确的有①②③，故答案为①②③.点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、AAS、ASA和HL）和性质（即全等三角形的对应边相等，对应角相等）.14．如图，直角三角形ABC与直角三角形BDE中，点B,C,D在同一条直线上，已知AC=AE=CD,∠BAC和∠ACB的角平分线交于点F，连DF,EF,分别交AB、BC于M、N，已知点F到△ABC三边距离为3，则△BMN的周长为____________.【答案】6【解析】【分析】由角平分线和三角形的内角和定理可得∠AFC=135°，由△AFC≌△DFC可得∠DFC=∠AFC=135°，可得∠AFD=90°．同理可得∠CFE=90°，可求得∠MFN=45°，过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q，由正方形的半角模型可得MN=MP+NQ，由此即可得出答案．【详解】解：过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q，过点F作FG⊥FM，交BC于点G．∵点F是∠BAC和∠BCA的角平分线交点，∴FP=FQ=3，∵∠ABC=90°，∴四边形BPFQ 是正方形，∴BP =BQ =3．在Rt △ABC 中，∠BAC +∠BCA =90°，∵AF 、CF 是角平分线，∴∠FAC +∠FCA =45°，∴∠AFC =180°-45°=135°．易证△AFC ≌△DFC （SAS ），∴∠AFC =∠DFC =135°，∴∠ADF =90°，同理可得∠EFC =90°，∴∠MFN =360°-90°-90°-135°=45°．∵∠PFM +∠MFN =90°，∠MFN +∠QFG =90°，∴∠PMF =∠QFG ，∵∠FPM =∠FQG =90°，FP =FQ ，∴△FPM ≌△FQG （ASA ），∴PM =QG ，FM =FG ．在△FMN 和△FGN 中45FM FG MFN GFN FN FN =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△FMN ≌△FGN （SAS ），∴MN =NG ，∴MN =NG =NQ +QG =PM +QN ，∴△BMN 的周长为：BM +BN +MN= BM +BN + PM +QN=BP +BQ=3+3=6．故答案为：6．【点睛】本题是一道全等三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，角平分线的性质，以及全等三角形常用辅助线的作法，作出辅助线，准确的找出全等三角形是解决此题的关键．15．如图，在△ABC 中，AC=AB ，∠BAC=90°，D 是AC 边上一点，连接BD ，AF ⊥BD 于点F ，点E 在BF 上，连接AE ，∠EAF=45°，连接CE ，AK ⊥CE 于点K ，交DE 于点H ，∠DEC=30°，HF=32，则EC=______【答案】6【解析】【分析】延长AF 交CE 于P ，证得△ABH ≌△APC 得出AH=CP ，证得△AHF ≌△EPF 得出AH=EP ，得出EC=2AH ，解30°的直角三角形AFH 求得AH ，即可求得EC 的长．【详解】如图，延长AF 交CE 于P ，∵∠ABH+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，∴∠ABH=∠PAC ，∵AK ⊥CE ，AF ⊥BD ，∠EHK=∠AHF ，∴∠HEK=∠FAH ，∵∠FAH+∠AHF=90°，∠HEK+∠EPF=90°，∴∠AHF=∠EPF ，∴∠AHB=∠APC ，在△ABH 与△APC 中，ABE PAC AB ACAHB APC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ABH ≌△APC （ASA ），∴AH=CP ，在△AHF 与△EPF 中，90AHF EPF AFH EFP AF EF ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△AHF≌△EPF（AAS），∴AH=EP，∠CED=∠HAF，∴EC=2AH，∵∠DEC=30°，∴∠HAF=30°，∴AH=2FH=2×32=3，∴EC=2AH=6．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．16．如图，在ABC中，ACB90,CA CB∠==.点D在AB上，点F在CA的延长线上，连接FD并延长交BC于点E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，则ABC的面积为______．【答案】25 2【解析】【分析】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，根据垂直平分线的性质可得MC=MD，进而可得∠MDC=∠MCD，根据已知及外角性质可得∠AMC=∠BED，由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠CAB=45°，根据三角形内角和定理可得∠ACM=∠BDE，进而可证明∠ADF=∠ACM，进而即可证明∠FCD=∠FDC，根据等腰三角形的性质可得CF=DF，根据已知可求出AC的长，根据三角形面积公式即可得答案.【详解】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，∵MN是CD的垂直平分线，∴MC=MD，∴∠MDC=∠MCD，∵∠AMC=∠MDC=∠MCD，∴∠AMC=2∠ADC，∵∠BED=2∠ADC，∴∠AMC=∠BED，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠CAB=45°， ∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC ，∠BDE=180°-∠B-∠BED ，∴∠ACM=∠BDE ，∵∠BDE=∠ADF ，∴∠ADF=∠ACM ，∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD ，即∠FCD=∠FDC ，∴FC=FD ，∵AF=2，FD=7， ∴AC=FC-AF=7-2=5，∴S △ABC=12×5×5=252.故答案为：252【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等；等腰三角形的两个底角相等；熟练掌握相关的定理及性质是解题关键.17．如图，在△ABC 中， ∠BAC=90°， AB=AC=22，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE=45°，若BD=1，则DE=__________．【答案】53【解析】 分析：根据等腰直角三角形的性质得45B ACB ∠=∠=，把△ABD 绕点A 逆时针旋转90得到△ACF ,连接,EF 如图，根据旋转的性质得,,AD AF BAD CAF =∠=∠45,ABD ACF ∠=∠=接着证明45,EAF ∠=然后根据“SAS”可判断△ADE ≌△AFE ，得到DE =FE ，由于90ECF ACB ACF ∠=∠+∠=，根据勾股定理得222CE CF EF+=，设,DE EF x==则3CE x=-，则()22231,x x-+=由此即可解决问题．详解：90BAC AB AC∠==，，∴45B ACB∠=∠=，把△ABD绕点A逆时针旋转90得到△ACF,连接,EF如图,则△ABD≌△ACF,,,45,AD AF BAD CAF ABD ACF=∠=∠∠=∠=∵45DAE∠=，∴45BAD CAE∠+∠=，∴45,CAF CAE∠+∠=即45,EAF∠=∴∠EAD=∠EAF，在△ADE和△AFE中AE AEEAD EAFAD AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△AFE，∴DE=FE，∵90ECF ACB ACF∠=∠+∠=，∴222CE CF EF+=，Rt△ABC中，∵22AB AC==，∴224BC AB AC+=，∵1BD=，设,DE EF x==则3CE x=-，则有()22231,x x-+=解得：5.3x=∴5.3DE=故答案为5.3点睛：本题属于全等三角形的综合题，涉及三角形旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大.18．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；其中正确的是_________【答案】①②③【解析】如图，（1）∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=∠ADC=18030752-=，∵CE⊥DC，∴∠DCE=90°，∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=165°.故①正确；（2）由（1）可知：∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE，∴BE=AD=BC.故②正确；（3）延长AD交BE于点F，∵△ACD≌△BCE，∴∠2=∠CAD=30°，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠3=45°，∴∠1=∠CAB-∠CAD=15°，∴∠AFB=180°-∠1-∠2-∠3=90°，∴AD⊥BE.故③正确；综上所述：正确的结论是①②③.四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG，故结论①正确.②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE 2+BG 2=(OD 2+OE 2)+(OB 2+OG 2)=(OD 2+OB 2)+(OE 2+OG 2)=BD 2+EG 2.在Rt △BCD 中，BD 2=BC 2+CD 2=2a 2，在Rt △CEG 中，EG 2=CG 2+CE 2=2b 2，∴BG 2+DE 2=2a 2+2b 2.故③结论正确.故选：D.点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.20．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥；垂足为,//E BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠．给出下列三个结论：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥．其中正确的结论共有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】 由BF ∥AC ，AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠得∠ADB=90︒；利用AD 平分∠CAB 证得△ADC ≌△ADB 即可证得DB=DC ；根据DE AC ⊥证明△CDE ≌△BDF 得到DE DF =.【详解】∵DE AC ⊥,BF ∥AC,∴EF ⊥BF ，∠CAB+∠ABF=180︒，∴∠CED=∠F=90︒，∵AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠，∴∠DAB+∠DBA=12(∠CAB+∠ABF)=90︒， ∴∠ADB=90︒，即AD BC ⊥，③正确； ∴∠ADC=∠ADB=90︒，∵AD 平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD,∵AD=AD,∴△ADC ≌△ADB,∴DB=DC ，②正确；又∵∠CDE=∠BDF ，∠CED=∠F ，∴DE=DF，①正确；故选：D.【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的定义.21．如图（1），已知AB AC=，D为BAC∠的角平分线上一点，连接BD，CD；如图（2），已知AB AC=，D，E为BAC∠的角平分线上两点，连接BD，CD，BE，CE；如图（3），已知AB AC=，D，E，F为BAC∠的角平分线上三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（）A．21 B．11 C．6 D．42【答案】A【解析】【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第6个图形中全等三角形的对数．【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD与△ACD中，AB ACBAD CADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴图2中有3对三角形全等，3=1+2；同理：图3中有6对三角形全等，6=1+2+3；∴第6个图形中有全等三角形的对数是1+2+3+4+5+6=21.故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．22．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝12∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答．【详解】在BE上截取BG＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ADF与△ABG中AB ADB ADFBG DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠FAE＝∠GAE，在△AEG与△AEF中AG AFFAE GAEAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．故选：B．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．23．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（）．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】如图，连接AP,根据HL判定△APR和△APS全等，即可说明①正确；由△APR和△APS 全等可得∠RAP=∠PAC，再根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，得到∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出OP//AB，即②正确；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，即RD=SD；运用等腰三角形的性质即可判定.【详解】解：如图，连接AP∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS∴△APR≌△APS∴AS=AR，∠RAP=∠PAC即①正确；又∵AQ=PQ∴∠QAP=∠QPA∴∠QPA=∠BAP∴OP//AB，即②正确.在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等,故③错误.如图，连接PS∵△APR≌△APS∴AR=AS，∠RAP=∠PAC∴AP垂直平分RS，即④正确；故答案为C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键24．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】可延长DE至F，使EF=BC，利用SAS可证明△ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，再利用SSS证明△ACD≌△AFD，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求解即可．【详解】延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，在△ABC与△AEF中，=90AB AE ABC AEF BC EF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABC ≌△AEF （SAS ），∴AC=AF ，∵AB=CD=AE=BC+DE ，∠ABC=∠AED=90°，∴CD=EF+DE=DF ，在△ACD 与△AFD 中，AC AF CD DF AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△AFD （SSS ），∴五边形ABCDE 的面积是：S=2S △ADF =2×12•DF•AE=2×12×2×2=4． 故选C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形ABCDE 的面积转化为两个△ADF 的面积是解决问题的关键．五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．如图，在等边ABC ∆中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ∆∆+=_________．【答案】936 【解析】【分析】把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边三角形的面积为边长平方的34倍和直角三角形的面积公式即可得到S△ADP＋S△BPD＝3×32＋12×3×4＝936+．【详解】将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD，连接PD ∴AD＝AP，∠DAP＝60︒，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60︒，AB＝AC，∴∠DAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP，∴∠DAB＝∠PAC，又AB=AC,AD=AP∴△ADB≌△APC∵DA＝PA，∠DAP＝60︒，∴△ADP为等边三角形，在△PBD中，PB＝4，PD＝3，BD＝PC＝5，∵32＋42＝52，即PD2＋PB2＝BD2，∴△PBD为直角三角形，∠BPD＝90︒，∵△ADB≌△APC，∴S△ADB＝S△APC，∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝3×32＋12×3×4＝936+．故答案为：9364 +．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．26．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．【答案】2.【解析】【分析】【详解】过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等边三角形，∵△B′DE≌△BDE，∴B′F=1B′E=BE=2，DF=23,2∴GD=B′F=2，∴B′G=DF=23，∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴AB′=27．考点：1轴对称；2等边三角形.27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F ＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．【答案】2【解析】【分析】连接BE，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE＝∠F，进一步说明BE ＝EF，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.【详解】解：如图：连接BE∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，∴AE＝BE，∠A+∠AED＝90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠F+∠CEF＝90°，∵∠AED＝∠FEC，∴∠A＝∠F＝30°，∴∠ABE＝∠A＝30°，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，∴∠CBE＝∠F，∴BE＝EF，在Rt△BED中，BE＝2DE＝2×1＝2，∴EF＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.28．△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时△ABC中的最大内角为90°，那么其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为_____．【答案】117°或108°或84°．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质进行分割，写出△ABC中的最大内角的所有可能值.【详解】①∠BAD＝∠BDA＝12（180°﹣24°）＝78°，∠DAC＝∠DCA＝12∠BDA＝39°，如图1所示：∴∠BAC＝78°+39°＝117°；②∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠ACD＝2∠DBA＝48°，如图2所示：∴∠DAC＝180°﹣2×48°＝84°，∴∠BAC＝24°+84°＝108°；③∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠DAC＝2∠DBA＝48°，如图3所示：∴∠BAC＝24°+48°＝72°，∠C＝180°﹣2×48°＝84°；∴其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为117°或108°或84°，故答案为：117°或108°或84°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分割找出所有情况.29．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC的延长线上，G是AC上一点，且CG＝CD，F是GD上一点，且DF＝DE．若∠A＝100°，则∠E的大小为_____度．【答案】10【解析】【分析】由DF=DE，CG=CD可得∠E=∠DFE，∠CDG=∠CGD，再由三角形的外角的意义可得∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G，进而可得∠ACB=4∠E，最后代入数据即可解答.【详解】解：∵DF＝DE，CG＝CD，∴∠E＝∠DFE，∠CDG＝∠CGD，∵GDC＝∠E+∠DFE，∠ACB＝∠CDG+∠CGD，∴GDC＝2∠E，∠ACB＝2∠CDG，∴∠ACB＝4∠E，∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ACB＝40°，∴∠E＝40°÷4＝10°．故答案为10．【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.30．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD ＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．【答案】12【解析】【分析】延长BM 至G ，使MG ＝BM ，连接FG 、DG ，证明△BME ≌△GMF （SAS ），得出FG ＝BE ，∠MBE ＝∠MGF ，证出AB ＝FG ，证明△DAB ≌△DFG （SAS ），得出DB ＝DG ，由等腰三角形的性质即可得DM ⊥BM ，由五边形ABEFD 的面积＝△DBG 的面积，可求解．【详解】延长BM 至G ，使MG ＝BM ＝4，连接FG 、DG ，如图所示：∵M 为EF 中点，∴ME ＝MF ，在△BME 和△GMF 中，BM MG BME GMFME MF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BME ≌△GMF （SAS ），∴FG ＝BE ，∠MBE ＝∠MGF ，S △BEM ＝S △GFM ，∴FG ∥BE ，∴∠C ＝∠GFC ，∵∠A +∠C ＝180°，∠DFG +∠GFC ＝180°，∴∠A ＝∠DFG ，∵AB ＝BE ，∴AB ＝FG ，在△DAB和△DFG中，AB FGA DFGAD DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB≌△DFG（SAS），∴DB＝DG，S△DAB＝S△DFG，∵MG＝BM，∴DM⊥BM，∴五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积＝12×BG×DM＝12×8×3＝12，故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】D【解析】【分析】本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，P是动点，所以要分情况讨论：以AP、AB为腰、以AP、BP为腰或以BP、AB为腰．则满足条件的点P可求．【详解】由题意可知：以AP、AB为腰的三角形有3个；以AP、BP为腰的三角形有2个；以BP、AB为腰的三角形有2个．所以，这样的点P共有7个.故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．32．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF∆和BEF∆中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．33．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°，其中正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行线的性质可得到：∠ABG=∠ACB，∠BAG=2∠ABF．所以可知选项①③④正确．【详解】∵AB⊥AC．∴∠BAC＝90°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝90°∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，∴2∠FBC+2∠FCB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝45°∴∠BFC＝135°故④正确．∵AG ∥BC ， ∴∠BAG ＝∠ABC ∵∠ABC ＝2∠ABF∴∠BAG ＝2∠ABF 故①正确． ∵AB ⊥AC ，∴∠ABC+∠ACB ＝90°， ∵AG ⊥BG ， ∴∠ABG+∠GAB ＝90° ∵∠BAG ＝∠ABC ， ∴∠ABG ＝∠ACB 故③正确． 故选C ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．34．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0，30ABO ∠=︒，第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ，第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ，第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ，按此规律继续下去，则点2018B 的坐标为（ ）A ．()20182(3),0-⨯ B ．()20180,2(3)-⨯ C ．()20192(3),0⨯ D ．()20190,2(3)-⨯【答案】D 【解析】 【分析】计算出OB 、OB 1、 OB 2的长度，根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点B 2018的坐标． 【详解】 解：由题意可得， 2242-3OB 1323322(3)⨯， OB 231= 323)⨯，…∵2018÷4=504…2，∴点B 2018在y 轴的负半轴上， ∴点B 2018的坐标为()20190,2(3)-⨯．故答案为：D ． 【点睛】本题考查规律型：点的坐标规律及含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．35．如图，在锐角△ABC 中，AC ＝10，S △ABC ＝25，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，点 M ，N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM ＋MN 的最小值是（ ）A ．4B ．245C ．5D ．6【答案】C 【解析】 试题解析：如图，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴点B 关于AD 的对称点B′在AC 上， 过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ，由轴对称确定最短路线问题，点M 即为使BM+MN 最小的点，B′N=BM+MN ， 过点B 作BE ⊥AC 于E ， ∵AC=10，S △ABC =25，∴12×10•BE=25， 解得BE=5，∵AD 是∠BAC 的平分线，B′与B 关于AD 对称， ∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．故选C．36．如图，已知，点A（0，0）、B（43，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第2017个等边三角形的边长等于（）A 3B3C3D3【答案】A【解析】【分析】【详解】根据锐角三函数的性质，由OB=3OC=1，可得∠OCB=90°，然后根据等边三角形的性质，可知∠A1AB=60°，进而可得∠CAA1=30°，∠CA1O=90°，因此可推导出∠A2A1B=30°，同理得到∠CA2B1=∠CA3B2=∠CA4B3=90°，∠A2A1B=∠A3A2B2=∠A4A3B3=30°，故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半，即OA1=OCcos∠CAA1=3B1A2=1232⨯2017个等边三角形的边长为：2017201513()4322⨯=.故选A.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得出：后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）37．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是( )A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意可得A=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）+1。

数学八年级上册全册全套试卷综合测试（Word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析【解析】【分析】（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，2EF；（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=12AD，EC=MF=12AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．【详解】（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝2FE；解法1：∵∠AED＝∠ACB＝90°∴B、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径，∵点F是BD的中点，∴点F是圆心，∴EF＝CF＝FD＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°∴∠ECF＝45°＝∠CEF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE＝2EF．解法2：易证∠BED＝∠ACB＝90°，∵点F是BD的中点，∴CF＝EF＝FB＝FD，∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，∴∠DFE＝2∠ABD，同理∠CFD＝2∠CBD，∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，即∠CFE＝90°，∴CE＝2EF．（2）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDF＝∠GBF，又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，∴△EDF≌△GBF，∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，∵AC＝BC，∴CE＝CG，∴∠EFC＝90°，CF＝EF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∴CE＝2FE；解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，又点F是BD的中点，∴FA＝FB＝FD，而AC＝BC，CF＝CF，∴△ACF≌△BCF，∴∠ACF＝∠BCF＝12∠ACB＝45°，∵FA＝FB，CA＝CB，∴CF所在的直线垂直平分线段AB，同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，又DA⊥BA，∴EF⊥CF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝2EF．（3）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，∵DF＝BF，∴FM∥AB，且FM＝12 AB，∵AE＝DE，∠AED＝90°，∴AM＝EM，∠AME＝90°，∵CA＝CB，∠ACB＝90°∴CN=AN=12AB，∠ANC＝90°，∴MF∥AN，FM＝AN＝CN，∴四边形MFNA为平行四边形，∴FN＝AM＝EM，∠AMF＝∠FNA，∴∠EMF＝∠FNC，∴△EMF≌△FNC，∴FE＝CF，∠EFM＝∠FCN，由MF∥AN，∠ANC＝90°，可得∠CPF＝90°，∴∠FCN+∠PFC＝90°，∴∠EFM+∠PFC＝90°，∴∠EFC＝90°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∴CE．【点睛】本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．2．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚，连结BE.(1) 求证：△ACD≌△BCE；(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求PQ的长.(3) 连接OE，直接写出线段OE的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422-【解析】试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，∴AC=BC,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=，45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ACD=∠BCE；在△ACD和△BCE中，,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ，∵△ABC 是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，45DAC ∴∠=，ACD BCE ≌，45PBC DAC ∴∠=∠=，∴在Rt BHC 中,2242422CH BC =⨯=⨯=， 54PC CQ CH ===，，3PH QH ∴==，6.PQ ∴=()3OE BQ ⊥时，OE 取得最小值.最小值为：42 2.OE =-3．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF ．（1）求证：BG ＝CF ；（2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）BE +CF ＞EF ，证明详见解析【解析】【分析】（1）先利用ASA 判定△BGD ≅CFD ，从而得出BG=CF ；（2）利用全等的性质可得GD=FD ，再有DE ⊥GF ，从而得到EG=EF ，两边之和大于第三边从而得出BE+CF ＞EF ．【详解】解：（1）∵BG ∥AC ，∴∠DBG ＝∠DCF ．∵D 为BC 的中点，∴BD ＝CD又∵∠BDG ＝∠CDF ，在△BGD 与△CFD 中，∵DBG DCFBD CDBDG CDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．4．如图1，在ABC∆中，ACB∠是直角，60B∠=︒，AD、CE分别是BAC∠、BCA∠的平分线，AD、CE相交于点F．（1）求出AFC∠的度数；（2）判断FE与FD之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC上截取CG CD=，连接FG．）（3）如图2，在△ABC∆中，如果ACB∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，∵CE是∠BCA的平分线，∴∠DCF＝∠GCF，在△CFG和△CFD中，CG CDDCF GCFCF CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG≌△CFD（SAS），∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG由（1）∠AFC＝120°得，∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，∴∠AFG＝60°，又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，∴∠AFE＝∠AFG，在△AFG和△AFE中，AFE AFGAF AFEAF GAF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AFG≌△AFE（ASA），∴EF＝GF，∴DF＝EF；（3）结论：AC＝AE+CD．理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC ＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°， ∴∠EFA ＝∠GFA ＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC ，∴∠CFG ＝∠CFD ＝60°，同（2）可得，△FDC ≌△FGC （ASA ），∴CD ＝CG ，∴AC ＝AG+CG ＝AE+CD ．【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．5．如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE ，理由见解析；(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE，证得△ACD≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，即有DE=AD-BE；(2)DE、AD、BE之间的关系是DE=BE-AD．证明的方法与(1)一样．【详解】(1)不成立．DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE，理由如下：如图，∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，AC CB=，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ACD和△CBE中，90ADC CEBCAD BCEAC CB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE；(2)结论：DE=BE-AD．∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，AC CB=，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ACD和△CBE中，90ADC CEBCAD BCEAC CB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．（1）如图①，D是等边△ABC的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边，在BC上方作等边△DCF，连接AF，你能发现AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；（2）如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3）Ⅰ.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方和下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论；Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．【答案】（1）AF=BD，理由见解析；（2）AF与BD在（1）中的结论成立，理由见解析；（3）Ⅰ. AF+BF′=AB，理由见解析，Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′，理由见解析．【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得BC=AC，∠BCA=60°，DC=CF，∠DCF=60°，从而得∠BCD=∠ACF，根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；（2）根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；（3）Ⅰ．易证△BCD≌△ACF（SAS），△BCF′≌△ACD（SAS），进而即可得到结论；Ⅱ．证明△BCF′≌△ACD，结合AF=BD，即可得到结论．【详解】（1）结论：AF =BD ，理由如下：如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴BC =AC ，∠BCA =60°，同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，∴∠BCA -∠DCA =∠DCF -∠DCA ，即：∠BCD =∠ACF ，在△BCD 和△ACF 中，∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BCD ≌△ACF （SAS ），∴BD =AF ；（2）AF 与BD 在（1）中的结论成立，理由如下：如图2中，∵△ABC 是等边三角形，∴BC =AC ，∠BCA =60°，同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，∴∠BCA +∠DCA =∠DCF +∠DCA ，即∠BCD =∠ACF ，在△BCD 和△ACF 中，∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BCD ≌△ACF （SAS ），∴BD =AF ；（3）Ⅰ．AF +BF ′=AB ，理由如下：由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD =AF ；同理：△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′=AD ，∴AF +BF ′=BD +AD =AB ；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由如下：同理可得：BCF ACD ∠=∠′，F C DC =′，在△BCF ′和△ACD 中，BC AC BCF ACD F C DC =∠⎧⎪=∠=⎪⎨⎩′′， ∴△BCF ′≌△ACD （SAS ），∴BF ′=AD ，又由（2）知，AF =BD ，∴AF =BD =AB +AD =AB +BF ′，即AF =AB +BF ′．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质定理，是解题的关键．7．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D 为BC 中点 ,∴AD=BD ,AD ⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45° ,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE ,∴△DAF ≌△DBE （SAS ）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.∴△DEF 为等腰直角三角形.【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．8．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设(090BAC θθ∠=︒<<︒).现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB 、AC 上．活动一、如图甲所示，从点1A 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直（12A A 为第1根小棒）数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： （填“能”或“不能”）（2）设11223AA A A A A ==，求θ的度数；活动二：如图乙所示，从点1A 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中12A A 为第一根小棒，且121A A AA =．数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，则213A A A ∠= ，423A A A ∠= ，43 A A C ∠= ；（用含θ的式子表示）（4）若只能摆放5根小棒，则θ的取值范围是 ．【答案】（1）能；（2）θ＝22.5°；（3）2θ，3θ，4θ；（4）15°≤θ＜18°．【解析】【分析】（1）由小棒与小棒在端点处互相垂直，即可得到答案；（2）根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质，即可得到答案；（3）由121A A AA =，得∠AA 2A 1=∠A 2AA 1=θ，从而得213A A A ∠=∠AA 2A 1+∠A 2AA 1=2θ，同理得423 A A A ∠=∠A 2AA 1+231A A A ∠=θ+2θ=3θ，43 A A C ∠=∠A 2AA 1+243 A A A ∠=θ+3θ=4θ； （4）根据题意得：5θ＜90°且6θ≥90°，进而即可得到答案．【详解】（1）∵小棒与小棒在端点处互相垂直即可，∴小棒能无限摆下去，故答案是：能；（2）∵A 1A 2＝A 2A 3，A 1A 2⊥A 2A 3，∴∠A 2A 1A 3＝45°，∴∠AA 2A 1+θ＝45°，∵AA 1＝A 1A 2∴∠AA 2A 1＝∠BAC=θ，∴θ＝22.5°；（3）∵121A A AA =，∴∠AA 2A 1=∠A 2AA 1=θ，∴213A A A ∠=∠AA 2A 1+∠A 2AA 1=2θ，∵3122A A A A =，∴213A A A ∠=231A A A ∠=2θ，∴423A A A ∠=∠A 2AA 1+231A A A ∠=θ+2θ=3θ， ∵3342A A A A =，∴423A A A ∠=243 A A A ∠=3θ， ∴43A A C ∠=∠A 2AA 1+243 A A A ∠=θ+3θ=4θ， 故答案是：2θ，3θ，4θ；（4）由第（3）题可得：645A A A ∠=5θ，65 A A C ∠=6θ， ∵只能摆放5根小棒，∴5θ＜90°且6θ≥90°，∴15°≤θ＜18°．故答案是：15°≤θ＜18°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，掌握等腰三角形的底角相等且小于90°，是解题的关键．9．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动秒后，△AMN是等边三角形？（2）点M、N在BC边上运动时，运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．【答案】（1）125；（2）485；（3）点M、N运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．【解析】【分析】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．构建方程即可解决问题；（3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，分四种情况讨论即可．【详解】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形，设运动时间为t秒则有：2t＝12﹣3t解得t＝12 5故点M、N运动125秒后，△AMN是等边三角形；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN则有：2t﹣12＝36﹣3t解得t＝48 5故运动485秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN；（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠AMN＝30°∴AM＝2AN则有2t＝2（12﹣3t）∴t＝3；②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠ANM＝30°∴2AM＝AN∴4t＝12﹣3t∴t＝127；③当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，如图CN＝3t﹣24＝6解得t＝10；④当M、N都在BC上，∠AMN＝90°时，则N与B重合，M正好处于BC的中点，如图此时2t＝12+6解得t＝9；综上所述，点M、N运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.10．探究题：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝；（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝cm．（请直接写出答案）【答案】（1）4cm；（2）PB＝PC，理由见解析；（3）4【解析】【分析】（1）根据AAS定理证明△ABP≌△PCD，可得BP＝CD；（2）延长线段AP、DC交于点E，分别证明△DPA≌△DPE、△APB≌△EPC，根据全等三角形的性质解答；（3）根据等腰直角三角形的性质计算．【详解】解：（1）∵BC＝5cm，BP＝4cm，∴PC＝1cm，∴AB＝PC，∵DP⊥AP，∴∠APD＝90°，∴∠APB+∠CPD＝90°，∵∠APB+∠CPD＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠CPD，在△ABP和△PCD中，B CBAP CPDAB PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△PCD，∴BP＝CD＝4cm；（2）PB＝PC，理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，∵DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠EDP．∵DP⊥AP，∴∠DPA＝∠DPE＝90°，在△DPA和△DPE中，ADP EDPDP DPDPA DPE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DPA≌△DPE（ASA），∴PA＝PE．∵AB⊥BP，CM⊥CP，∴∠ABP＝∠ECP＝Rt∠．在△APB和△EPC中，ABP ECP APB EPC PA PE ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴△APB ≌△EPC （AAS ），∴PB ＝PC ；（3）∵△PDC 是等腰三角形，∴△PCD 为等腰直角三角形，即∠DPC ＝45°，又∵DP ⊥AP ，∴∠APB ＝45°，∴BP ＝AB ＝1cm ，∴PC ＝BC ﹣BP ＝4cm ，∴CD ＝CP ＝4cm ，故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的全等的证明、全等三角形的性质以及等腰三角形的性质.做出辅助线证明三角形全等是本题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，求2x+y 的值；（2）已知a ﹣b=4，ab+c 2﹣6c+13=0，求a+b+c 的值．【答案】(1)1；(2)3．【解析】【分析】（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x 、y 的值，从而可以得到2x+y 的值；（2）根据a-b=4，ab+c 2-6c+13=0，可以得到a 、b 、c 的值，从而可以得到a+b+c 的值．【详解】解：(1)∵x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，∴(x 2+2xy+y 2)+(y 2+2y+1)=0，∴(x+y)2+(y+1)2=0，∴x+y=0，y+1=0，解得，x=1，y=−1，∴2x+y=2×1+(−1)=1；(2)∵a−b=4，∴a=b+4，∴将a=b+4代入ab+c 2−6c+13=0，得b 2+4b+c 2−6c+13=0，∴(b 2+4b+4)+(c 2−6c+9)=0，∴(b+2)2+(c−3)2=0，∴b+2=0，c−3=0，解得，b=−2，c=3，∴a=b+4=−2+4=2，∴a+b+c=2−2+3=3．【点睛】此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.12．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：22222111111251151151124112422242222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++-+=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据以上材料，解答下列问题：（1）用配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式，则281=x x +- ________； （2）用配方法和平方差公式把多项式228x x --进行因式分解；（3）对于任意实数x ，y ，多项式222416x y x y +--+的值总为______（填序号）．①正数②非负数 ③ 0【答案】（1）2(4)17x +-；（2）(2)(4)x x +-；（3）①【解析】【分析】（1）根据材料所给方法解答即可；（2）材料所给方法进行解答即可；（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答.【详解】解：（1）281x x +-=2816116x x ++--2(4)17x +-.（2）原式=22118x x -+--=2(1)9x --=(13)(13)x x -+--=(2)(4)x x +-．（3）222416x y x y +--+=()()22214411x x y y -++-++=()()221211x y -+-+＞11故答案为①.【点睛】本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.13．观察下列等式：22()()a b a b a b -=-+3322()()a b a b a ab b -=-++443223()()a b a b a a b ab b -=-+++55432234()()a b a b a a b a b ab b -=-++++完成下列问题：（1）n n a b -=___________（2）636261322222221+++⋯⋯++++= （结果用幂表示）.（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.【答案】（1）（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）264-1；（3）76.【解析】【分析】（1）根据规律可得结果（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）利用（1）得出的规律先计算（2-1）63626132(2222221+++⋯⋯++++)即可得出结果；（3）利用（1）得出的规律变形，再用完全平方公式进行变形，变成只含a-b 及ab 的形式，整体代入计算即可得到结果．【详解】解：（1）()()22a b a b a b -=-+，()()3322a b a b a ab b -=-++，()()443223a b a b a a b ab b -=-+++， ()()55432234a b a b a a b a b ab b -=-++++， 由此规律可得：a n -b n =（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1），故答案是：（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）由（1）的规律可得（2-1）()636261322222221+++⋯⋯++++=264-1， ∴636261322222221+++⋯⋯++++=264-1.故答案是：264-1.（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.()()3322a b a b a ab b -=-++=()() [a b a b --2+3 a b ]∴33a b -=24431⨯+⨯（）=76. 故答案是：76.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．14．阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn 因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：am+an+bm+bn=（am +an ）+（bm +bn ）=a （m +n ）+b （m +n ）=（a +b ）（m +n ），这种因式分解的方法叫做分组分解法．（1）请用上述方法因式分解：x 2-y 2+x-y（2）已知四个实数a 、b 、c 、d 同时满足a 2+ac=12k ，b 2+bc=12k ．c 2+ac=24k ，d 2+ad=24k ，且a≠b ，c≠d ，k≠0①求a+b+c 的值；②请用含a 的代数式分别表示b 、c 、d【答案】（1）（x −y ）（x +y +1）；（2）①0a b c ++=；②3b a =-，2c a =，3d a =-【解析】【分析】（1）将x 2 - y 2分为一组，x-y 分为一组，前一组利用平方差公式化为(x+y)(x-y)，再提取公因式即可求解．（2）①已知22a ac b bc +=+=12k ，可得220a b ac bc -+-=，将等号左边参照（1）因式分解，即可求解．②由a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k 可得2(a 2+ac)= c 2+ac ，即可得出c=2a ，同理得出3b a =-，3d a =-【详解】（1）x 2-y 2+x-y = (x 2 -y 2)+(x-y)=(x+y)(x-y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)故答案为：(x-y)(x+y+1)（2）①22a ac b bc +=+=12k220a b ac bc -+-=()()0a b a b c -++=∵a b∴0a b c ++=②∵a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k2(a 2+ac)= c 2+ac∴2a 2+ac- c 2=0得(2a-c)(a+c)=0∵a 2+ac=12k ≠0即a(a+c)≠0∴c=2a ，a 2=4k∵b 2+bc=12k∴b 2+2ba=3a 2则（a −b ）（3a +b ）=0∵a ≠b∴3b a =-同理可得d 2+ad=24k ，c 2+ac=24kd 2+ad=c 2+ac（d −c ）（a +d +c ）=0∵c d ≠∴0a d c ++=∴3d a =-故答案为：0a b c ++=；3b a =-，2c a =，3d a =-【点睛】本题考查了用提取公因式法、运用公式法、分组分解法进行因式分解．15．阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=（）2，善于思考的小明进行了以下探索：设=（）2（其中a 、b 、m 、n 均为正整数）则有：=m 2+2n 2，所以a=m 2+2n 2，b=2mn ．这样小明就找到了一种把的式子化为平方式的方法．请仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若（）2，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得a= ，b=（2）若（2（其中a 、b 、m 、n 均为正整数），求a 的值．【答案】（1）m 2+3n 2，2mn ；（2）13．【解析】试题分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a 、b 的表达式；（2）根据题意，4=2mn ，首先确定m 、n 的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a 的值．试题解析：(1)∵)2，∴2+3n 2∴a=m 2+3n 2，b=2mn.故a=m 2+3n 2，b=2mn ；（2）由题意，得223{42a m n mn=+= ∵4=2mn ，且m 、n 为正整数，∴m=2，n=1或m=1，n=2，∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距离上班地点27km ，他乘坐公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多9km .他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的37. （1）小王用自驾车上班平均每小时行驶多少千米？（2）上周五，小王上班时先步行了6km ，然后乘公交车前往，共用43小时到达.求他步行的速度.【答案】（1）小王用自驾车上班平均每小时行驶27km ；（2）小王步行的速度为每小时6km .【解析】【分析】（1））设小王用自驾车上班平均每小时行驶xkm ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶()29x km +.再利用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾SS 式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米和乘公交车所用时间是自驾车方式所用时间的37，列方程求解即可；（2）设小王步行的速度为每小时ykm ，然后根据“步行时间+乘公交时间=小时”列方程解答即可.【详解】解（1）设小王用自驾车上班平均每小时行驶xkm ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶()29x km +.根据题意得：27327297x x=⋅+ 解得：27x =经检验，27x =是原方程的解且符合题意.所以小王用自驾车上班平均每小时行驶27km ；（2）由（1）知：小王乘坐公交车上班平均每小时行驶29227963x +=⨯+=（km ）； 设小王步行的速度为每小时ykm ，根据题意得：62764633y -+= 解得：6y =.经检验：6y =是原方程的解且符合题意所以小王步行的速度为每小时6km .【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答的关键在于弄清题意、找到等量关系、列出分式方程并解答.17．符号a b c d 称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b ad bc c d =-，请根据这一法则解答下列问题：（1）计算：211111xx x +-；（2）若2121122x xx -=--，求x 的值.【答案】（1）()()111x x +- （2）5 【解析】【分析】 （1）根据新定义列出代数式，再进行减法计算；（2）根据定义列式后得到关于x 的分式方程，正确求解即可.【详解】（1）原式2111x x x =--+ ()()()()11111x x x x x x -=-+-+-()()111x x =+-； （2）根据题意得：21222x x x--=-- 解之得：5x =经检验：5x =是原分式方程的解所以x 的值为5.【点睛】此题考察分式的计算，分式方程的求解，依据题意正确列式是解此题的关键.18．为了迎接运动会，某校八年级学生开展了“短跑比赛”。

八年级上册数学 全册全套试卷检测（提高，Word 版 含解析）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，点,E F 分别在线段BD 、CD 上，点G 在EF 的延长线上，EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称，若60,84,A BEH HFG n ︒︒︒∠=∠=∠=，则n =__________.【答案】78.【解析】【分析】利用ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=12(∠A+∠ABC)，根据三角形的内角和得到∠D=12∠A=30︒，利用外角定理得到∠DEH=96︒，由EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48︒，根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78︒.【详解】∵ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D∴∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=12(∠A+∠ABC)， ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180︒，∠A+∠ABC+∠ACB=180︒，∴∠D=12∠A=30︒， ∵84BEH ︒∠=,∴∠DEH=96︒,∵EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称，∴∠DEG=∠HEG=48︒，∠DFG=∠HFG n ︒=,∵∠DFG=∠D+∠DEG=78︒，∴n=78.故答案为：78.【点睛】此题考查三角形的内角和定理、外角定理，角平分线性质，轴对称图形的性质，此题中求出∠D=12∠A=30︒是解题的关键.2．若△ABC 三条边长为a ，b ，c ，化简：|a -b -c |-|a +c -b |=__________．【答案】2b-2a【解析】【分析】【详解】根据三角形的三边关系得：a ﹣b ﹣c ＜0，c +a ﹣b ＞0，∴原式=﹣(a ﹣b ﹣c )﹣(a +c ﹣b )=﹣a +b +c ﹣a ﹣c +b =2b ﹣2a ．故答案为2b ﹣2a【点睛】本题考查了绝对值得化简和三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，据此解答即可.3．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________度．【答案】360 °【解析】如图所示，根据三角形外角的性质可得，∠1+∠5=∠8，∠4+∠6=∠7，根据四边形的内角和为360°，可得∠2+∠3+∠7+∠8=360°，即可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.点睛：本题考查的知识点：（1）三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和； （2）四边形内角和定理：四边形内角和为360°．4．已知ABC 中，90A ∠=，角平分线BE 、CF 交于点O ，则BOC ∠= ______ ．【答案】135【解析】解：∵∠A =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∵角平分线BE 、CF 交于点O，∴∠OBC+∠OCB=45°，∴∠BOC=180°﹣45°=135°．故答案为：135°．点睛：本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．5．中国人民银行近期下发通知，决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币. 如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为_______.【答案】45°【解析】【分析】根据正多边形的外角度数等于外角和除以边数可得.【详解】∵硬币边缘镌刻的正多边形是正八边形，∴它的外角的度数等于360÷8=45°.故答案为45°.【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．∠__________．6．如图，五边形ABCDE的每一个内角都相等，则外角CBF=【答案】72︒【解析】【分析】多边形的外角和等于360度，依此列出算式计算即可求解．【详解】360°÷5=72°．故外角∠CBF等于72°．故答案为：72︒．此题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形的外角和等于360度的知识点．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【解析】【分析】 先根据三角形外角的性质求出∠BEF 的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．【详解】如图，∵∠BEF 是△AEF 的外角，∠1=20︒，∠F=30︒，∴∠BEF=∠1+∠F=50︒，∵AB ∥CD ，∴∠2=∠BEF=50︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．8．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°， 则3∠的度数等于（ ）A ．50°B ．30°C ．20°D ．15°【解析】【分析】根据平行和三角形外角性质可得∠2=∠4=∠1+∠3，代入数据即可求∠3．【详解】如图所示，∵AB∥CD∴∠2=∠4=∠1+∠3=50°，∴∠3=∠4-30°=20°，故选C.9．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，则有（n-2）180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故选B．【点睛】本题考查了多边形内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键.10．如图，将一张含有30角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠的大小为（）244∠=，则1α-A．14B．16C．90α-D．44【解析】分析：依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出结论．详解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．故选A．点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．11．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】C【解析】根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到∠D=12∠A．解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC，又∠D=∠1﹣∠2，∠A=∠ACE﹣∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．12．如图，AB ∥CD ，DE ⊥BE ，BF 、DF 分别为∠ABE 、∠CDE 的角平分线，则∠BFD ＝（ ）A ．110°B ．120°C ．125°D ．135°【答案】D【解析】【分析】【详解】 如图所示，过E 作EG ∥AB ．∵AB ∥CD ，∴EG ∥CD ，∴∠ABE +∠BEG =180°，∠CDE +∠DEG =180°，∴∠ABE +∠BED +∠CDE =360°．又∵DE ⊥BE ，BF ，DF 分别为∠ABE ，∠CDE 的角平分线，∴∠FBE +∠FDE =12（∠ABE +∠CDE ）=12（360°﹣90°）=135°， ∴∠BFD =360°﹣∠FBE ﹣∠FDE ﹣∠BED =360°﹣135°﹣90°=135°．故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．解决问题的关键是作平行线．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD 与ABC 全等，点D 的坐标是______．【答案】(－4，2)或(－4，3)【解析】【分析】【详解】把点C 向下平移1个单位得到点D （4，2），这时△ABD 与△ABC 全等，分别作点C ，D 关于y 轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD 与△ABC 全等.故答案为(－4，2)或(－4，3).14．已知：如图，△ABC 和△DEC 都是等边三角形，D 是BC 延长线上一点，AD 与BE 相交于点P ，AC 、BE 相交于点M ，AD ，CE 相交于点N ，则下列五个结论：①AD ＝BE ；②AP ＝BM ；③∠APM ＝60°；④△CMN 是等边三角形；⑤连接CP ，则CP 平分∠BPD ，其中，正确的是_____．（填写序号）【答案】①③④⑤．【解析】【分析】①根据△ACD ≌△BCE (SAS )即可证明AD ＝BE ；②根据△ACN ≌△BCM (ASA )即可证明AN ＝BM ，从而判断AP ≠BM ；③根据∠CBE +∠CDA ＝60°即可求出∠APM =60°；④根据△ACN ≌△BCM 及∠MCN ＝60°可知△CMN 为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知.【详解】①∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°∴∠ACE ＝60°∴∠ACD ＝∠BCE ＝120°在△ACD 和△BCE 中CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE在△ACN和△BCM中ACN BCMCA CBCAN CBM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACN≌△BCM(ASA)∴AN＝BM；③∵∠CAD+∠CDA＝60°而∠CAD＝∠CBE∴∠CBE+∠CDA＝60°∴∠BPD＝120°∴∠APM＝60°；④∵△ACN≌△BCM∴CN＝BM而∠MCN＝60°∴△CMN为等边三角形；⑤过C点作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图∵△ACD≌△BCE∴CQ＝CH∴CP平分∠BPD.故答案为：①③④⑤．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键.15．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为48和36，求△EDF的面积________.【答案】6【解析】【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．【详解】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，∵DE=DG，∴DG=DM，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵DG=DM， DN⊥AC，∴MN=NG，∴△DMN≌△DNG，∵△ADG和△AED的面积分别为48和36，∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=48-36=12，∴S△DEF=12S△MDG=1212=6，故答案为：6【点睛】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求是解题关键．16．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm(指图上距离)，则图中工厂的位置应在_____.【答案】∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方.【解析】【分析】由已知条件及要求满足的条件，根据角平分线的性质作答，注意距A1cm处．【详解】工厂的位置应在∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方；理由：角平分线上的点到角两边的距离相等．【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．作图题一定要找到相关的知识为依托，同时满足多个要求时，要逐个满足．17．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是__________．（填写序号）【答案】①③④【解析】【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角平分线的性质解答即可．【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°，①正确；∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=12∠ABC=25°，∴∠DOC=25°+60°=85°，②错误；∠BDC=60°﹣25°=35°，③正确；∵∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，∴AD是∠BAC的外角平分线，∴∠DAC=55°，④正确．故答案为①③④．【点睛】本题考查的是角平分线的定义和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．18．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；其中正确的是_________【答案】①②③【解析】如图，（1）∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=∠ADC=18030752-=，∵CE⊥DC，∴∠DCE=90°，∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=165°.故①正确；（2）由（1）可知：∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE，∴BE=AD=BC.故②正确；（3）延长AD交BE于点F，∵△ACD≌△BCE，∴∠2=∠CAD=30°，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠3=45°，∴∠1=∠CAB-∠CAD=15°，∴∠AFB=180°-∠1-∠2-∠3=90°，∴AD⊥BE.故③正确；综上所述：正确的结论是①②③.四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC﹣AQ=2SC，其中正确的是（）A ．②③④B ．①②C ．①④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 连接AP,由已知条件利用角平行线的判定可得∠1 = ∠2,由三角形全等的判定得△APR ≌△APS,得AS=AR,由已知可得∠2 = ∠3,得QP=AQ,答案可得.【详解】解:如图 连接AP,PR=PS,PR ⊥AB,垂足为R,PS ⊥AC,垂足为S,AP 是∠BAC 的平分线,∠1=∠2,△APR ≌△APS.AS=AR,又QP/AR,∠2 = ∠3又∠1 = ∠2，∠1=∠3,AQ=PQ,没有办法证明△PQR ≌△CPS,③不成立,没有办法证明AC-AQ=2SC,④不成立.所以B 选项是正确的.【点睛】本题主要考查三角形全等及三角形全等的性质.20．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，BD AE ⊥于点D ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，连接CD ，给出四个结论:①45ADC ∠=︒;②12BD AE =;③AC CE AB +=;④2AB BC FC -=;其中正确的结论有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】试题解析：如图，过E 作EQ ⊥AB 于Q ，∵∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，∴CE=EQ ，∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵EQ ⊥AB ，∴∠EQA=∠EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ ，∴∠QEB=45°=∠CBA ，∴EQ=BQ ，∴AB=AQ+BQ=AC+CE ，∴③正确；作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ， ∵∠CAD=12∠CAB=22.5°=∠BAD ， ∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD ，∴∠DBC=∠CAD ，在△ACN 和△BCD 中， DBC CAD AC BCACN DCB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ACN ≌△BCD ，∴CN=CD ，AN=BD ，∵∠ACN+∠NCE=90°，∴∠NCB+∠BCD=90°，∴∠CND=∠CDA=45°，∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN ，∴AN=CN ，∴∠NCE=∠AEC=67.5°，∴CN=NE ，∴CD=AN=EN=12AE ， ∵AN=BD ，∴BD=12AE ， ∴①正确，②正确；过D 作DH ⊥AB 于H ，∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，∴∠FCD=∠DBA ，∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DF=DH ，在△DCF 和△DBH 中90F DHB FCD DBA DF DH ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△DCF ≌△DBH ，∴BH=CF ，由勾股定理得：AF=AH ， ∴2,2AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF AF AF AM AF AF+++++++====， ∴AC+AB=2AF ，AC+AB=2AC+2CF ，AB-AC=2CF ，∵AC=CB ，∴AB-CB=2CF ， ∴④正确．故选D21．如图，已知，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA．下面结论：①△ABD≌△EBC；②AC=2CD；③AD=AE=EC；④∠BCE+∠BCD=180°．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】C【解析】已知BD为△ABC的角平分线，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，在△AB D和△EB C 中，BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BA，由SAS可判定△ABD≌△EBC，即可得①正确；根据已知条件，无法证明AC=2CD，②错误；已知BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，可得∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，再由∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，可得∠DCE=∠DAE，所以AE=EC；再由△ABD≌△EBC，可得AD=EC，所以AD=AE=EC，即③正确；由△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，所以∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，④正确.故选C.点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的的性质、三角形外角的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．22．已知OD平分∠MON，点A、B、C分别在OM、OD、ON上(点A、B、C都不与点O重合)，且AB=BC, 则∠OAB与∠BCO的数量关系为（）A．∠OAB+∠BCO=180°B．∠OAB=∠BCOC．∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCO D．无法确定【答案】C【解析】根据题意画图，可知当C处在C1的位置时，两三角形全等，可知∠OAB=∠BCO；当点C处在C2的位置时，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，∠OAB+∠BCO=180°.故选C.23．如图，在△ABC 中，AB=6，AC=10，BC 边上的中线．．AD=4，则△ABC 的面积．．为 （ ）A ．30B ．48C ．20D ．24【答案】D【解析】 延长AD 到E ,使DE =AD ,连接BE ,因为D 为BC 的中点,所以DC =BD ,在△ADC 和△EDB 中,AD ED ADC EDB DC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, 所以△ADC ≌△EDB ,所以BE =AC =10, ∠CAD ＝∠E ,又因为AE =2AD =8,AB =6,所以222AB AE BE =+,所以∠CAD ＝∠E=90°,则11114646242222ABC ABD ADC S S S AD BE AD AC =+=⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=, 所以故选D.24．如图，在△ABC 和△DCB 中，AB=DC ，AC 与BD 相交于点E ，若不再添加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌△DCB ，则还需增加的一个条件是（ ）A ．AC=BDB ．AC=BC C ．BE=CED ．AE=DE【答案】A【解析】由AB=DC，BC是公共边，即可得要证△ABC≌△DCB，可利用SSS，即再增加AC=DB即可.故选A.点睛：此题主要考查了全等三角形的判定，解题时利用全等三角形的判定：SSS，SAS，ASA，AAS，HL，确定条件即可，此题为开放题，只要答案符合判定定理即可.五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____．【答案】AD的中点【解析】【分析】【详解】分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短.详解：如图，过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD∴△ABP≌△DC′P∴AP=PD即P为AD的中点.故答案为P为AB的中点.点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．26．如图，在等边ABC ∆中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ∆∆+=_________．【答案】936 【解析】【分析】把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边3S △ADP ＋S △BPD ＝332＋12×3×4＝936+． 【详解】将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，连接PD∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60︒，又∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60︒，AB ＝AC ，∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ，∴∠DAB ＝∠PAC ，又AB=AC,AD=AP∴△ADB ≌△APC∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60︒，∴△ADP 为等边三角形，在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5，∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2，∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，∵△ADB ≌△APC ，∴S △ADB ＝S △APC ，∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝34×32＋12×3×4＝9364+．故答案为：936+．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．27．如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1），若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个【答案】5【解析】【分析】分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，及作AB的垂直平分线，数出在x轴上的点C的数量即可【详解】解：由图可知：点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有5个故答案为:5【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题，掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键28．如图，30AOB ∠=︒，P 是AOB ∠内一点，10PO =.若Q 、R 分别是边OA 、OB 上的动点，则PQR ∆周长的最小值为_______.【答案】10【解析】【分析】作点P 关于OB 的对称点P′，点P 关于OA 的对称点P″，连接P′P″交OB 于R ，交OA 于Q ，连接PR 、PQ ，如图3，利用对称的性质得到△PQR 周长=P′P″，根据两点之间线段最短可判断此时△PQR 周长最小，最小值为P′P″的长，再证明△P′OP″为等边三角形得到P′P″=OP′=OP=10，从而得到△PQR周长的最小值【详解】解：作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P″，连接P′P″交OB于R，交OA于Q，连接PR、PQ，如图3，则OP=OP′，OP=OP″，RP=RP′，QP=QP″，∴△PQR周长=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″，∴此时△PQR周长最小，最小值为P′P″的长，∵由对称性可知OP=OP′，OP=OP″，PP′⊥OB，PP″⊥OA，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°，∴△P′OP″为等边三角形，∴P′P″=OP′=OP=10，故答案是：10.【点睛】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题．29．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为______．【答案】1 2【解析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F.因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，又因为AP=CQ ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF ，PE=QC.同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE ，所以DE=12AC=12. 故答案为12.30．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是_____．【答案】9.6．【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD 垂直平分BC ，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长．在△ABC 中，利用面积法可求出BQ 的长度，此题得解．【详解】∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP ＝CP ．过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示．∵S △ABC 12=BC •AD 12=AC •BQ ，∴BQ 12810BC AD AC ⋅⨯===9.6．故答案为：9.6．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上且△APO是等腰三角形，这样的点P 共有（）个A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，要使△AOP是等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现2个交点；当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现6个交点，这样的点P共8个．【详解】如图，分两种情况进行讨论：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；当OA是腰时，以点O为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；∴满足条件的点P共有8个，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，坐标与图形的性质，解题的关键是根据OA为腰或底两种情况分类讨论，运用数形结合的思想进行解决．32．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【答案】C【解析】【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN=120°HN=MN=x即可解决问题．【详解】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°．∵∠MON=30°，∴∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBM=∠NBH．∵BM=BH，BN=BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN=NH=x．∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=n，∴∠NCH=120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【详解】解：根据题意，∵△PAB为等腰三角形，∴可分为：PA=PB，PA=AB，PB=AB三种情况，如图所示：∴符合条件的点P共有4个；故选择：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据等腰三角形的判定定理解答．34．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】①等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ．②根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论．【详解】①在等边△ABC中，AB=BC．∵点P、Q的速度都为1cm/s，∴AP=BQ，∴BP=CQ．只有当CM=CQ时，BP=CM．故①错误；②∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，∵AB CAABQ CAP AP BQ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABQ≌△CAP（SAS）．故②正确；③点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．故③正确；④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=43，当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=83，∴当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形．故④正确．正确的是②③④，故选C．【点睛】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．35．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正确结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ （ASA），所以AP=BQ；故②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；【详解】①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，故①正确；由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°∴△CQB≌△CPA（ASA），∴AP＝BQ，故②正确；∵△CQB≌△CPA，∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，故③正确，∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，∴∠AOE＝120°，故⑤正确，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．36．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB，点P是x轴上的一个动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，对应的点P的坐标和△ABP的最小周长分别为( )A．(1，0)，224 B．(3，0)，224 C．(2,0), 25D．(2,0),252【答案】D【解析】作A关于x轴的对称点N（1，-2），连接BN与x轴的交点即为点P的位置，此时△ABP的周长最小.设直线BN 的解析式为y kx b =+，∵N (1，-2)，B (3，2)，∴232k b k b +=-⎧⎨+=⎩ ， 解得24k b =⎧⎨=-⎩， ∴24y x =-，当0y =时，240x -=，解得，2x =，∴点P 的坐标为（2，0）；∵A (1，2)，B (3，2)，∴AB //x 轴，∵AN ⊥x 轴，∴AB ⊥x 轴，在Rt △ABC 中，AB ＝2，AN ＝4，由勾股定理得，BN 22222425AB AN +=+=∵AP =NP , ∴△ABP 的周长最小值为：AB +BP +AP =AB +BP +PN =AB +BN 5 故选D.点睛：本题考查最短路径问题.利用轴对称作出点P 的位置是解题的关键.七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难） 37．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A ．61和63B ．63和65C ．65和67D ．64和67【答案】B【解析】【分析】 248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解．【详解】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）＝（224+1）（212+1）×65×63，故选：B ．【点睛】此题考察多项式的因式分解，将248﹣1利用平方差公式因式分解得到（224+1）（212+1）×65×63，即可得到答案38．已知n 16221++是一个有理数的平方，则n 不能取以下各数中的哪一个( ) A ．30B ．32C ．18-D ．9 【答案】B【解析】【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n 的值，然后选择答案即可．【详解】2n 是乘积二倍项时，2n +216+1=216+2×28+1=（28+1）2，此时n=8+1=9，216是乘积二倍项时，2n +216+1=2n +2×215+1=（215+1）2，此时n=2×15=30，1是乘积二倍项时，2n +216+1=（28）2+2×28×2-9+（2-9）2=（28+2-9）2，此时n=-18，综上所述，n 可以取到的数是9、30、-18，不能取到的数是32．故选B ．【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．39．已知243m -m-10m -m -m 2=+，则计算：的结果为（ ）.A ．3B ．-3C ．5D ．-5【答案】A【解析】【分析】观察已知m 2-m-1=0可转化为m 2-m=1，再对m 4-m 3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m 2-m 作为一个整体代入，逐次降低m 的次数，使问题得以解决．【详解】∵m 2-m-1=0，∴m 2-m=1，∴m 4-m 3-m+2=m 2 (m 2-m)-m+2=m 2-m+2=1+2=3，故选A ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m 2-m 作为一个整体出现，逐次降低m 的次数.40．若3x y -=，则226x y y --=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】【分析】由3x y -=得x=3+y ，然后，代入所求代数式，即可完成解答.【详解】解：由3x y -=得x=3+y代入()2222369669y y y y y y y +--=++--=故答案为C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活对代数式进行变形是解答本题的关键.41．已知三角形三边长为a 、b 、c ，且满足247a b -=， 246b c -=-， 2618c a -=-，则此三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．无法确定【答案】A【解析】解：∵a 2﹣4b =7，b 2﹣4c =﹣6，c 2﹣6a =﹣18，∴a 2﹣4b +b 2﹣4c +c 2﹣6a =7﹣6﹣18，整理得：a 2﹣6a +9+b 2﹣4b +4+c 2﹣4c +4=0，即（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c ﹣2）2=0，∴a =3，b =2，c =2，∴此三角形为等腰三角形．故选A ．点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解．42．已知实数a 、b 满足a+b=2，ab=34，则a ﹣b=（ ）A ．1B ．﹣52C ．±1D ．±52【答案】C【解析】 分析：利用完全平方公式解答即可．详解：∵a+b=2，ab=34， ∴（a+b ）2=4=a 2+2ab+b 2，∴a 2+b 2=52， ∴（a-b ）2=a 2-2ab+b 2=1，∴a-b=±1，故选C ．点睛：本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．八、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）43．因式分解:225101a a -+=______________【答案】()251a -【解析】根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±进行因式分解为：225101a a -+=()251a -. 故答案为：()251a -.44．（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2＝（a-b ）（x-y ）×________.【答案】（a-b+x-y ）【解析】运用公因式的概念，把多项式（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2运用提取公因式法因式分解（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2＝（a-b ）（x-y ）×（a-b+x-y ）. 故答案为：（a-b+x-y ）.点睛：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是根据找公因式的方法，确定公因式，注意符号的变化.45．5(m －n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．【答案】 (m-n)4， （5+m-n ）【解析】把多项式5(m －n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可得5(m －n)4-(n-m)5=(m －n)4（5+m-n ）.故答案为：(m-n)4，（5+m-n ）.46．若26x x k -+是一个完全平方式，那么k =_______________【答案】9【解析】因为若26x k k -+是一个完全平方式，那么()222262333x k k x k x -+=-⨯+=-，那么答案是k=9.故答案为：9.47．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．【答案】xy （x ﹣1）2【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式=xy （x 2-2x+1）=xy （x-1）2．故答案为：xy （x-1）2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．48．利用1个a ×a 的正方形，1个b ×b 的正方形和2个a ×b 的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．【答案】a 2+2ab+b 2=（a+b ）2【解析】试题分析：两个正方形的面积分别为a 2，b 2，两个长方形的面积都为ab ，组成的正方形的边长为a ＋b ，面积为(a ＋b )2，所以a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2．点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．九、八年级数学分式三角形填空题（难）49．若222222M ab b a b a b a b a b---=--+，则M =________． 【答案】2a【解析】【分析】把等式两边变为同分母的分式，分母相同分子也相同，即可得出答案·. 【详解】。

八年级数学上册全册全套试卷测试卷（word版，含解析）一、八年级数学三角形填空题（难）1．一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍，则这个多边形的边数是_________【答案】10【解析】【分析】【详解】解：本题根据题意可得：（n－2）×180°=4×360°，解得：n=10．故答案为：10 ．考点：多边形的内角和定理.2．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm．【答案】22【解析】【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长.【详解】试题解析：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．故填22．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.3．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是．【答案】12【解析】试题解析：根据题意，得（n-2）•180-360=1260，解得：n=11．那么这个多边形是十一边形．考点：多边形内角与外角．4．已知一个三角形的三边长为3、8、a，则a的取值范围是_____________．【答案】5＜a＜11【解析】【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得8-3＜a＜8+3，再解即可．【详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜a＜8+3，解得：5＜a ＜11，故答案为：5＜a＜11．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．5．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB= ．【答案】85°.【解析】试题分析：令A→南的方向为线段AE，B→北的方向为线段BD，根据题意可知，AE，DB 是正南，正北的方向BD//AE=45°+15°=60°又=180°-60°-35°=85°.考点：1、方向角. 2、三角形内角和.6．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．【答案】30【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P的度数.【详解】∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，∵∠PBC+∠P=∠PCM，∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°，故答案为：30【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（）A．5°B．13°C．15°D．20°【答案】C【解析】【分析】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=41°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE，问题得解．【详解】在△ABC中，∵∠ABC=34°，∠ACB=64°,∴∠BAC=180°−∠B−∠C=82°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=41°.又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°−∠B=56°，∴∠DAE=∠BAD −∠BAE =15°.【点睛】在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记∠AEB为∠1，∠ADC 为∠2，则∠A、∠1与∠2的数量关系，结论正确的是（ ）A ．∠1＝∠2＋∠AB ．∠1＝2∠A＋∠2C ．∠1＝2∠2＋2∠AD ．2∠1＝∠2＋∠A【答案】B【解析】 试题分析：如图在∆ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°，折叠之后在∆ADF 中，∠A+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C=∠2+∠3，∠3=180°-∠A -∠2，又在四边形BCFE 中∠B+∠C+∠1+∠3=360°，∴∠2+∠3+∠1+∠3=360°∴∠2+∠1+2∠3=∠2+∠1+2（180°-∠A -∠2）=360°，∴∠2+∠1-2∠A -2∠2=0，∴∠1＝2∠A＋∠2.故选B点睛：本题主要考查考生对三角形内角和，四边形内角和以及三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和的理解及掌握。

八年级数学上册全册全套试卷试卷（word 版含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，1BA 和1CA 分别是ABC ∆的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的角平分线， 2CA 是1A CD ∠的角平分线，3BA 是2A BD ∠的角平分线，3CA 是2A CD ∠的角平分线，若1A α∠=，则2018A ∠=_____________【答案】20172α【解析】【分析】 根据角平分线的定义可得∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可得解，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解． 【详解】∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，∴12（∠A+∠ABC ）=12∠ABC+∠A 1， ∴∠A 1=12∠A ， ∵∠A 1=α．同理理可得∠A 2=12∠A 1=12α，∠A 3=12∠A 2=212α， ……， ∴∠A 2018=20172α， 故答案为20172α．【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．2．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____．【答案】115°．【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°，然后根据角平分线的概念得出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC的度数．【详解】解；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12×（∠ABC+∠ACB）＝12×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，故答案为：115°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念，关键是求出∠OBC+∠OCB 的度数．3．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是．【答案】12【解析】试题解析：根据题意，得（n-2）•180-360=1260，解得：n=11．那么这个多边形是十一边形．考点：多边形内角与外角．4．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，点E在线段BD上，且AE平分∠BAC，若∠B=40°，∠C=78°，则∠EAD=____°．【答案】19°．【解析】【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC，再由AE平分∠BAC，可求得∠EAC，最后由∠ADC=90°，∠C=78°，可求得∠DAC，即∠EAD可求．【详解】解：∵∠B=40°，∠C=78°∴∠BAC=180°-∠B-∠C=62°∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=1312BAC∠=，∵AD是BC边上的高∴∠ADC=90°∴∠DAC=90°-78°=12°∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=19°故答案为：19°．【点睛】本题考查三角形内角和定理；三角形角平分线性质．5．如图，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF =_________度.【答案】74°【解析】【分析】【详解】试题分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．∵∠A=40°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=70°．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=12∠ACB=35°．∵CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=50°．∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°．∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCF=75°．考点：三角形内角和定理．6．如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F，若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为4cm，△OBC的面积_____cm2．【答案】242cm．【解析】【分析】由BE=EO可证得EF∥BC，从而可得∠FOC=∠OCF，即得OF=CF；可知△AEF等于AB+AC，所以根据题中的条件可得出BC及O到BC的距离，从而能求出△OBC的面积．【详解】∵BE=EO，∴∠EBO=∠EOB=∠OBC，∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，∴OF=CF；△AEF等于AB+AC，又∵△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，∴可得BC=12cm，根据角平分线的性质可得O到BC的距离为4cm，∴S△OBC=12×12×4=24cm2．考点：1．三角形的面积；2．三角形三边关系．二、八年级数学三角形选择题（难）7．已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋12∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－12∠A.上述说法正确的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】【分析】根据三角形的内角和外角之间的关系计算．【详解】解：（1）∵若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2（∠PBC+∠PCB）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）∴∠P=90°+12∠A；故（1）的结论正确；（2）∵∠A=∠ACB-∠ABC=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC）∠P=∠PCE-∠PBC∴2∠P=∠A故（2）的结论是错误．（3）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-12（∠FBC+∠ECB）=180°-12（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°-12（∠A+180°）=90°-12∠A．故（3）的结论正确．正确的为：（1）（3）．故选：C【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到三角形的内角和是180°这一隐含的条件．8．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）A．13B．710C．35D．1320【答案】B【解析】【分析】连接CP．设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．根据BD：DC=2：1，E为AC的中点，得△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，进而得到△ABP的面积是4x．再根据△ABE的面积是△BCE的面积相等，得4x+x=2y+x+y，解得y=43x，再根据△ABC的面积是3即可求得x、y的值，从而求解．【详解】连接CP，设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．∵BD：DC=2：1，E为AC的中点，∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，∵BD：DC=2：1∴△ABD的面积是4x+2y∴△ABP的面积是4x．∴4x+x=2y+x+y，解得y=43x．又∵△ABC的面积为3∴4x+x=32，x=310．则四边形PDCE 的面积为x+y=710． 故选B ．【点睛】 此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比；等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比．9．如果线段AB =3cm ，BC =1cm ，那么A 、C 两点的距离d 的长度为（ ）A ．4cmB ．2cmC ．4cm 或2cmD ．小于或等于4cm ，且大于或等于2cm【答案】D【解析】试题分析：①当A ，B ，C 三点在一条直线上时，分点B 在A 、C 之间和点C 在A 、B 之间两种情况讨论；②当A ，B ，C 三点不在一条直线上时，根据三角形三边关系讨论.解：当点A 、B 、C 在同一条直线上时，①点B 在A 、C 之间时：AC =AB +BC =3+1=4；②点C 在A 、B 之间时：AC =AB -BC =3-1=2，当点A 、B 、C 不在同一条直线上时，A 、B 、C 三点组成三角形，根据三角形的三边关系AB -BC ＜AC ＜AB +BC ，即2＜AC ＜4，综上所述，选D.故选D.点睛：本题主要考查点与线段的位置关系..利用分类思想得出所有情况的图形是解题的关键，10．适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为 ①111345a b c ，，；===②6a =，∠A =45°;③∠A =32°, ∠B =58°； ④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，，⑥::3:4:5a b c =⑦::12:13:15A B C ∠∠∠=⑹5a b c === A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】 根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：222111+345≠（）（）（），故①不能构成直角三角形；当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形；根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形；根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形；由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形；令a=3x ，b=4x ，c=5x ，可知a 2+b 2=c 2，故⑥能够成直角三角形；根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；由a2=5，b2=20，c2=25，可知a2+b2=c2，故⑧能够成直角三角形.故选：C.点睛：此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单.11．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】分析：根据多边形的内角和公式计算即可.详解：.答:这个正多边形的边数是9.故选A.点睛：本题考查了多边形，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.12．如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（）A．高B．角平分线C．中线D．不能确定【答案】C【解析】试题分析：三角形ABD和三角形ACD共用一条高，再根据S△ABD=S△ADC，列出面积公式，可得出BD=CD．解：设BC边上的高为h，∵S△ABD=S△ADC，∴，故BD=CD，即AD是中线．故选C．考点：三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E ，F，AB=11，AC=5，则BE=______________．【答案】3【解析】如图，连接CD，BD，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质可得DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，即可得AE=AF，又因DG是BC的垂直平分线，所以CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD＝BD，DF＝DE，利用HL定理可判定Rt△CDF≌Rt△BDE，由全等三角形的性质可得BE=CF，所以AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，又因AB=11，AC=5，所以BE=3．点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，正确作出辅助线，利用数形结合思想是解决问题的关键．14．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是∠BAC的角平分线，点D在△ABC内部，连接AD、BD、CD，∠ADB＝150°，∠DBC＝30°，∠ABC+∠ADC＝180°，则线段CD的长度为________．【答案】3【解析】【分析】在AB上截取AE=AC，证明△ADE和△ADC全等，再证BDE是等腰三角形即可得出答案.【详解】在AB上截取AE=AC∵AD是∠BAC的角平分线∴∠EAD=∠CAD又AD=AD∴△ADE≌△ADC(SAS)∴ED=DC，∠ADE=∠ADC∵∠ADB ＝150°∴∠EDB+∠ADE=150°又∵∠DBC ＝30°，∠ABC +∠ADC ＝180°∴∠ABD+∠DBC+∠ADC=180°即∠ABD +∠ADC=150°∴∠ABD=∠EDB∴BE=ED即BE=CD又AB=8，AC=5CD=BE=AB-AE=AB-AC=3故答案为3【点睛】本题考查的是全等三角形的综合，解题关键是利用截长补短法作出两个全等的三角形.15．如图，已知点(,0)A a 在x 轴正半轴上，点(0,)B b 在y 轴的正半轴上，ABC ∆为等腰直角三角形，D 为斜边BC 上的中点.若2OD =，则a b +=________.【答案】2【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得AP 与BC 的关系，根据垂线的性质，可得答案【详解】如图：作CP ⊥x 轴于点P ，由余角的性质，得∠OBA=∠PAC ，在Rt △OBA 和Rt △PAC 中，OBA PAC AOB CPA BA AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，Rt △OBA ≌Rt △PAC （AAS ），∴AP=OB=b ，PC=OA=a ．由线段的和差，得OP=OA+AP=a+b ，即C 点坐标是（a+b ，a ），由B （0，b ），C （a+b ，a ），D 是BC 的中点，得D （2a b +，2a b +）， ∴OD=2a b +（） ∴22a b +（）=2， ∴a+b=2.故答案为2.【点睛】本题解题主要①利用了等腰直角三角形的性质；②利用了全等三角形的判定与性质；③利用了线段中点的性质.16．如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，交AD 于F ，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF ；②AF＝FH ；③AG＝CE ；④AB＋FG ＝BC ，其中正确的结论有________________．(填序号)【答案】①②③④【解析】①正确.∵∠BAC ＝90°∴∠ABE+∠AEB=90°∴∠ABE=90°-∠AEB∵AD ⊥BC∴∠ADB=90°∴∠DBE+∠BFD=90°∴∠DBE=90-∠BFD∵∠BFD=∠AFE∴∠DBE=90°-∠AFE∵BE 平分∠ABC∴∠ABE=∠DBE∴90°-∠AEB=90°-∠AFE∴∠AEB=∠AFE∴AE=AF②正确.∵∠BAC=90°∴∠BAF+∠DAC=90°∴∠BAF=90°-∠DAC∵AD ⊥BC∴∠ADC=90°∴∠C+∠DAC=90°∴∠C=90°-∠DAC∴∠C=∠BAF∵FH ∥AC∴∠C=∠BHF∴∠BAF=∠BHF在△ABF 和△HBF 中ABE CBE BAF BHF BF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△HBF∴AF=FH③正确.∵AE=AF ，AF=FH∴AE=FH∵FG ∥BC ，FH ∥AC∴四边形FHCG 是平行四边形∴FH=GC∴AE=GC∴AE+EG=GC+EG∴AG=CE④正确.∵四边形FHCG是平行四边形∴FG=HC∵△ABF≌△HBF∴AB=HB∴AB+FG=HB+HC=BC故正确的答案有①②③④.17．如图，直角三角形ABC与直角三角形BDE中，点B,C,D在同一条直线上，已知AC=AE=CD,∠BAC和∠ACB的角平分线交于点F，连DF,EF,分别交AB、BC于M、N，已知点F到△ABC三边距离为3，则△BMN的周长为____________.【答案】6【解析】【分析】由角平分线和三角形的内角和定理可得∠AFC=135°，由△AFC≌△DFC可得∠DFC=∠AFC=135°，可得∠AFD=90°．同理可得∠CFE=90°，可求得∠MFN=45°，过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q，由正方形的半角模型可得MN=MP+NQ，由此即可得出答案．【详解】解：过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q，过点F作FG⊥FM，交BC于点G．∵点F是∠BAC和∠BCA的角平分线交点，∴FP=FQ=3，∵∠ABC=90°，∴四边形BPFQ是正方形，∴BP=BQ=3．在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCA=90°，∵AF 、CF 是角平分线，∴∠FAC +∠FCA =45°，∴∠AFC =180°-45°=135°．易证△AFC ≌△DFC （SAS ），∴∠AFC =∠DFC =135°，∴∠ADF =90°，同理可得∠EFC =90°，∴∠MFN =360°-90°-90°-135°=45°．∵∠PFM +∠MFN =90°，∠MFN +∠QFG =90°，∴∠PMF =∠QFG ，∵∠FPM =∠FQG =90°，FP =FQ ，∴△FPM ≌△FQG （ASA ），∴PM =QG ，FM =FG ．在△FMN 和△FGN 中45FM FG MFN GFN FN FN =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△FMN ≌△FGN （SAS ），∴MN =NG ，∴MN =NG =NQ +QG =PM +QN ，∴△BMN 的周长为：BM +BN +MN= BM +BN + PM +QN=BP +BQ=3+3=6．故答案为：6．【点睛】本题是一道全等三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，角平分线的性质，以及全等三角形常用辅助线的作法，作出辅助线，准确的找出全等三角形是解决此题的关键．18．如图，要在河流的南边，公路的左侧M 区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A 处的距离为1cm(指图上距离)，则图中工厂的位置应在_____.【答案】∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方.【解析】【分析】由已知条件及要求满足的条件，根据角平分线的性质作答，注意距A1cm处．【详解】工厂的位置应在∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方；理由：角平分线上的点到角两边的距离相等．【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．作图题一定要找到相关的知识为依托，同时满足多个要求时，要逐个满足．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（）A．AB﹣AD＞CB﹣CD B．AB﹣AD=CB﹣CDC．AB﹣AD＜CB﹣CD D．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定【答案】A【解析】如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，又AC是公共边，∴△AEC≌△ADC（SAS），∴AE=AD，CE=CD，∴AB-AD=AB-AE=BE，BC-CD=BC-CE，∵在△BCE中，BE＞BC-CE，∴AB-AD＞CB-CD．故选A．20．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D，过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G，则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH，其中正确的是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP=12∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②先求出∠APB=∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=BF，AP=PF；③根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AH；④根据PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AF＞AP，从而得出本小题错误.【详解】解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，∴∠ABP=12∠ABC，∠CAP=12（90°+∠ABC）=45°+12∠ABC，在△ABP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP，=180°-（45°+12∠ABC+90°-∠ABC）-12∠ABC，=180°-45°- 12∠ABC-90°+∠ABC-12∠ABC，=45°，故本小题正确；②∵PF⊥AD，∠APB=45°（已证），∴∠APB=∠FPB=45°，∵∵PB 为∠ABC 的角平分线，∴∠ABP=∠FBP ，在△ABP 和△FBP 中，APB FPB PB PBABP FBP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABP ≌△FBP （ASA ），∴AB=BF ，AP=PF ；故②正确；③∵∠ACB=90°，PF ⊥AD ，∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，∴∠AHP=∠FDP ，∵PF ⊥AD ，∴∠APH=∠FPD=90°，在△AHP 与△FDP 中，90AHP FDP APH FPD AP PF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△AHP ≌△FDP （AAS ），∴DF=AH ，∵BD=DF+BF ，∴BD=AH+AB ，∴BD-AH=AB ，故③小题正确；④∵PF ⊥AD ，∠ACB=90°，∴AG ⊥DH ，∵AP=PF ，PF ⊥AD ，∴∠PAF=45°，∴∠ADG=∠DAG=45°，∴DG=AG ，∵∠PAF=45°，AG ⊥DH ，∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形，∴DG=AG ，GH=GF ，∴DG=GH+AF ，∵AF ＞AP ，∴DG=AP+GH 不成立，故本小题错误，综上所述①②③正确．故选:C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系.21．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（）．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】如图，连接AP,根据HL判定△APR和△APS全等，即可说明①正确；由△APR和△APS 全等可得∠RAP=∠PAC，再根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，得到∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出OP//AB，即②正确；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，即RD=SD；运用等腰三角形的性质即可判定.【详解】解：如图，连接AP∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS∴△APR≌△APS∴AS=AR，∠RAP=∠PAC即①正确；又∵AQ=PQ∴∠QAP=∠QPA∴∠QPA=∠BAP∴OP//AB，即②正确.在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等,故③错误.如图，连接PS∵△APR≌△APS∴AR=AS，∠RAP=∠PAC∴AP垂直平分RS，即④正确；故答案为C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键22．已知等边三角形ABC的边长为12，点P为AC上一点，点D在CB的延长线上，且BD=AP，连接PD交AB于点E，PE⊥AB于点F，则线段EF的长为（）A．6 B．5C．4.5 D．与AP的长度有关【答案】A【解析】【分析】作DQ⊥AB，交直线AB的延长线于点Q，连接DE，PQ，根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BDQ，再由AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，可知四边形PEDQ是平行四边形，进而可得出EF=12AB，由等边△ABC的边长为12可得出DE=6．【详解】解；如图，作DQ⊥AB，交AB的延长线于点F，连接DE，PQ，又∵PE⊥AB于E，∴∠BQD=∠AEP=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠DBQ=60°，在△APE和△BDQ中，A DBQAEP BQDAP BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APE≌△BDQ（AAS），∴AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，∴四边形PEDQ是平行四边形，∴EF=12EQ，∵EB+AE=BE+BQ=AB，∴EF=12AB，又∵等边△ABC的边长为12，∴EF=6．故选：A.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解此题的关键在于根据题中PE⊥AB作辅助线构成全等的三角形.23．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】可延长DE至F，使EF=BC，利用SAS可证明△ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，再利用SSS证明△ACD≌△AFD，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求解即可．【详解】延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，在△ABC与△AEF中，=90AB AEABC AEFBC EF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，∴CD=EF+DE=DF，在△ACD与△AFD中，AC AFCD DFAD AD⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD≌△AFD（SSS），∴五边形ABCDE的面积是：S=2S△ADF=2×12•DF•AE=2×12×2×2=4．故选C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积是解决问题的关键．24．如图，ABC△中，60BAC∠=︒，ABC∠、ACB∠的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且120BDC∠=︒．下列结论：①120BEC∠=︒；②DB DE=；③2BDE BCE∠=∠．其中所有正确结论的序号有（）．A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】D【解析】分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC 的延长线于G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG，再求出∠BDF=∠CDG，然后利用“角边角”证明△BDF和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB，根据等角对等边可得BD=DE，判断②正确，再求出B，C，E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE，判断③正确．详解：∵60BAC∠=︒，∴18060120ABC ACB∠+∠=︒-︒=︒，∵BE、CE分别为ABC∠、ACB∠的平分线，∴12EBC ABC∠=∠，12ECB ACB∠=∠，∴11()1206022EBC ECB ABC ACB∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，∴180()18060120BEC EBC ECB∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故①正确．如图，过点D作DF AB⊥于F，DG AC⊥的延长线于G，∵BE、CE分别为ABC∠、ACB∠的平分线，∴AD为BAC∠的平分线，∴DF DG=，∴36090260120FDG∠=︒-︒⨯-︒=︒，又∵120BDC∠=︒，∴120BDF CDF∠+∠=︒，120CDG CDF∠+∠=︒．∴BDF CDG∠=∠，∵在BDF和CDG△中，90BFD CGDDF DGBDF CDG∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴BDF ≌()CDG ASA ，∴DB CD =，∴1(180120)302DBC ∠=︒-︒=︒， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=︒+∠，∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，1302BAE BAC ∠=∠=︒， 根据三角形的外角性质， 30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+︒，∴DEB DBE ∠=∠，∴DB DE =，故②正确．∵DB DE DC ==，∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，综上所述，正确结论有①②③，故选：D ．点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．如图，在长方形ABCD 的边AD 上找一点P ，使得点P 到B 、C 两点的距离之和最短，则点P 的位置应该在_____．【答案】AD 的中点【解析】【分析】【详解】分析：过AD 作C 点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P 点使BP+PC 的之最短.详解：如图，过AD 作C 点的对称点C′，根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D∵四边形ABCD 是矩形∴AB=CD∴△ABP ≌△DC′P∴AP=PD即P 为AD 的中点.故答案为P 为AB 的中点.点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．26．如图，在等边ABC ∆中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ∆∆+=_________．【答案】9364+【解析】【分析】把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边3S △ADP ＋S △BPD ＝34×32＋12×3×4＝364+． 【详解】将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，连接PD∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60︒，又∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60︒，AB ＝AC ，∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ，∴∠DAB ＝∠PAC ，又AB=AC,AD=AP∴△ADB ≌△APC∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60︒，∴△ADP 为等边三角形，在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5，∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2，∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，∵△ADB ≌△APC ，∴S △ADB ＝S △APC ，∴S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ＝3×32＋12×3×4＝936+． 故答案为：9364+．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．27．如图，已知等边ABC ∆的边长为8，E 是中线AD 上一点，以CE 为一边在CE 下方作等边CEF ∆，连接BF 并延长至点,N M 为BN 上一点，且5CM CN ==，则MN 的长为_________．【答案】6【解析】【分析】作CG ⊥MN 于G ，证△ACE ≌△BCF ，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出124CG BC ==，在Rt △CMG 中，由勾股定理求出MG ，即可得到MN 的长．【详解】解：如图示：作CG ⊥MN 于G ，∵△ABC 和△CEF 是等边三角形，∴AC=BC ，CE=CF ，∠ACB=∠ECF=60°，∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE ，即∠ACE=∠BCF ，在△ACE 与△BCF 中AC BC ACE BCFCE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△BCF （SAS ），又∵AD 是三角形△ABC 的中线∴∠CBF=∠CAE=30°，∴124CG BC ==， 在Rt △CMG 中，2222543MG CM CG =-=-，∴MN=2MG=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF ≌△BCF ．28．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．29．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE AC =．若70C ∠=︒，50DAC ∠=︒ 则EBD ∠的度数为______．【答案】10︒【解析】【分析】延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ≅，根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠，AC BF =， 等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．【详解】如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ：∵D 是BC 的中点∴BD CD =又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF =∴ACD FDB ≅∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠∵AC BE =， 70C ︒∠=， 50CAD ︒∠=∴BE BF =， 70DBF ︒∠=∴50BEF F ︒∠=∠=∴180180505080EBF F BEF ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴807010EBD EBF DBF ︒︒︒∠=∠-∠=-=故答案为：10︒【点睛】本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．30．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内的两点，AE 平分∠BAC ，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm ，DE=3cm ，则BC 的长是 ______cm ．【答案】8．【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM 为等边三角形，△EFD 为等边三角形，从而得出BN 的长，进而求出答案．【详解】解：延长DE 交BC 于M ，延长AE 交BC 于N ，作EF ∥BC 于F ，∵AB=AC ，AE 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵∠DBC=∠D=60°，∴△BDM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BD=5，DE=3，∴EM=2，∵△BDM 为等边三角形，∴∠DMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°，∴NM=1，∴BN=4，∴BC=2BN=8（cm ），故答案为8．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，30MON ∠=︒．点1A ，2A ，3A ，⋯，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，⋯，在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334A B A ∆，⋯均为等边三角形，若11OA =，则201920192020A B A ∆的边长为（ ）A ．20172B ．20182C ．20192D ．20202【答案】B【解析】【分析】根据等边三角形的性质和30MON ∠=︒，可求得1130∠=︒OB A ，进而证得11OA B ∆是等腰三角形，可求得2OA 的长，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA ，同理得规律333、、=⋅⋅⋅=n n n A B OA A B OA ，即可求得结果． 【详解】解：∵30MON ∠=︒，112A B A ∆是等边三角形，∴11260∠=︒B A A ，1112A B A A =∴1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，∴11∠=∠OB A MON ，则11OA B ∆是等腰三角形，∴111=A B OA ，∵11OA =，∴11121==A B A A OA =1，21122=+=OA OA A A ，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA =2，同理得23342==A B 、34482==A B ，根据以上规律可得：2018201920192=A B ，即201920192020A B A ∆的边长为20182，故选：B ．【点睛】本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．32．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数为（ ）A ．130°B ．120°C ．110°D ．100°【答案】B【解析】 根据要使△AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A 关于BC 和ED 的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M ＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN ＋∠ANM ＝2(∠AA′M ＋∠A″)即可得出答案：如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH．∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°．∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°．∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°．故选B．33．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】①等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ．②根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论．【详解】①在等边△ABC中，AB=BC．∵点P、Q的速度都为1cm/s，∴BP=CQ．只有当CM=CQ时，BP=CM．故①错误；②∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，∵AB CAABQ CAP AP BQ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABQ≌△CAP（SAS）．故②正确；③点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．故③正确；④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=43，当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=83，∴当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形．故④正确．正确的是②③④，故选C．【点睛】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．34．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，则△BCD的A．13B．15C．18D．21【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质，可由AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，得到AD=BD，进而得出△BCD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．故选A．点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．35．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=108°，则∠C的度数为（）A．40°B．41°C．32°D．36°【答案】D【解析】分析：如图，连接AO、BO．由题意EA=EB=EO，推出∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，由DO=DA，FO=FB，推出∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，推出∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，由∠CDO+∠CFO=108°，推出2∠DAO+2∠FBO=98°，推出∠DAO+∠FBO=49°，由此即可解决问题．详解：如图，连接AO、BO．由题意得：EA=EB=EO，∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°．∵DO=DA，FO=FB，∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO．∵∠CDO+∠CFO=108°，∴2∠DAO+2∠FBO=108°，∴∠DAO+∠FBO=54°，。