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2013年浙江省普通高等学校统一考试数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式球体的面积公式 S=4πR 2球的体积公式 V=43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V=13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 柱体体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高台体的体积公式V=121()3h S S其中S 1，S 2分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高如果事件A,B 互斥 ，那么P(A+B)=P(A)+P(B)一 、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合{}{}2,41S x x T x x =>-=-≤≤，则S ∩T=A. [)4,-+∞B. (2,)-+∞C. []4,1-D. (2,1]-2. 已知i 是虚数单位，则(2)(3)i i ++=A 5-5iB 7-5iC 5+5iD 7+5i3.设R α∈ ，则"0""sin cos "ααα=<是的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4.设,m n 是两条不同的直线，a ，β是两个不同的平面，则A.若,m n αα，则m nB.若,m m αβ，则αβC.若,m n m α⊥,则n α⊥D.若,m ααβ⊥,则m β⊥5.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A.108cm 3B.100cm 3C.92cm 3D.84cm 36.函数()sin cos 22f x x x x =+的最小正周期和振幅是 A. ,1π B. ,2π C. 2,1π D. 2,2π7.已知,,a b c R ∈，函数2()f x ax bx c =++.若(0)(4)(1)f f f =>，则A. 0,40a a b >+=B. 0,40a a b <+=C. 0,20a a b >+=D. 0,20a a b <+=8.已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导函数'()y f x =的图象如右图所示，则该函数的图象是9.如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别12,C C 在第二、四象限的公共点。
4 侧视图22013年浙江文数试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合S ＝{x |x ＞﹣2}，T ＝{x |﹣4≤x ≤1}，则S ∩T ＝A ．[﹣4，+∞)B ．(﹣2，+∞)C ．[﹣4，1]D ．(﹣2，1] 【答案】D【解析】画出如右数轴即可的答案：S ∩T ＝(﹣2，1]． 2、已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝A ．5－5iB ．7－5iC ．5＋5iD ．7＋5i 【答案】C【解析】(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2＝6＋5i －1＝5＋5i ． 3、若α∈R ，则“α＝0”是“sin α＜cos α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】α＝0时，sin α＜cos α；α＝π6时，sin α＜cos α．故选A ．4、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αD ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β 【答案】C【解析】A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 或m ⊥n 或m 与n 相交或m 与n 异面．B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β或α与β相交．D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β或m β．故选C ． 5、已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示， 则该几何体的体积是A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3 【答案】B【解析】作出如下立体图．该图是由长方体截去一个三第1题答图棱锥所得．体积为：6×6×3－(4×4×12 )×3×13＝100 cm 3．6、函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos2x 的最小正周期和振幅分别是 A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2 【答案】A【解析】f (x )＝sin x cos x ＋32cos2x ＝12 sin2 x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3 )，T ＝2π|ω|＝π，A ＝1． 7、已知a 、b 、c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ．若f (0)＝f (4)＞f (1)，则 A ．a ＞0，4a ＋b ＝0 B ．a ＜0，4a ＋b ＝0 C ．a ＞0，2a ＋b ＝0 D ．a ＜0，2a ＋b ＝0 【答案】A【解析】 f (0)＝f (4)，对称轴：x ＝﹣b2a ＝2，4a ＋b ＝0，f (4)＞f (1)，表明离对称轴越远值越大，故a ＞0．8、已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x ) 的图像如右图所示，则该函数的图像是【答案】B【解析】观察其导函数y ＝f ′(x )的图像易得，x 从﹣1到1，其导数值为正，即斜率都大于0，函数y ＝f (x )应为递增函数；x 从﹣1到0，其导数值增大，即函数y ＝f (x )斜率增大；x 从0到1，其导数值减小，即函数y ＝f (x )斜率减小．对应答案易得选B ．第5题答图9、如图F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共 点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是 A ．2 B ．3 C ．32 D ．62【答案】D【解析】c 2＝3，F 1(﹣ 3，0)，F 2(3，0)，设C 2：x 2a 2－y 2b2＝1，A (m ，n )．a 2＋b 2＝3……①．若四边形AF 1BF 2为矩形，则：AF 1⊥AF 2，即：22141m n ⎧+=⎪⎪=-，解得：283m =，213n =．代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得：8a 2－1b 2＝3……②．联立①②得：a 2＝2，b 2＝1，e ＝ 1＋(b a )2＝62． 10、设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝ a ，a ≤b b ，a ＞b a ∨b ＝ b ，a ≤b a ，a ＞b若正数a 、b 、c 、d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 【答案】C【解析】采取特例法是解决本题的最好方法．如，令a ＝1，b ＝4，a ∧b ＝1，排除AB 选项；令c ＝0，d ＝1，c ∨d ＝1，排除C 选项；故选C ． 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11、已知函数f (x )＝x －1，若f (a ) ＝3，则实数a ＝___________． 【答案】10【解析】f (a ) ＝a －1，a －1＝9，a ＝10．12、从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于_________．【答案】15【解析】P ＝3×26×5 ＝15． 13、直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于_________． 【答案】4 5【解析】圆(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心(3，4)，r ＝5，d ＝|2×3－4＋3|22＋12 ＝ 5 ．弦长为：r 2－d 2 ＝4 5 ．14、某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________． 【答案】95【解析】S ＝32 ，k ＝2；S ＝53 ，k ＝3；S ＝74 ，k ＝4；S ＝95，k ＝5，跳出程序．15、设z ＝kx ＋y ，其中实数x 、y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k ＝________． 【答案】2【解析】由题得：21+2224x y x y x ≥⎧⎪⎪≤⎨⎪≥-⎪⎩，作出可行域如右所示：目标函数：设y ＝﹣kx ＋z ，z 的最大值肯定是过点B (4，4)时的截距，代入得：4＝﹣4k ＋12，则k ＝2． 16、设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于______________． 【答案】－1【解析】观察当x ＝1时，0≤1－1＋a ＋b ≤0，即a ＋b ＝0， b ＝﹣a ．……(※)，代入得：04第15题答图≤x 4－x 3＋ax ﹣a ≤(x 2－1)2，即：0≤(x －1)(x 3＋a )≤(x 2－1)2，下面研究x ≥1时情况：当x ≥1时，x －1≥0，x 3＋a ≥0，a ≥﹣x 3，由恒成立条件知：a ≥﹣1．……①．(x －1)(x 3＋a )≤(x 2－1)2，即：x 3＋a ≤x 3＋x 2－x －1，即：a ≤x 2－x －1，由恒成立条件知：a ≤﹣1．……②．综合①②知a ＝﹣1，代回(※) 知b ＝1．故：ab ＝﹣1．17、设e 1、e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x 、y ∈R ．若e 1、e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于_______． 【答案】2【解析】由余弦定理易得：|b |2＝x 2＋y 2－2xy cos 5π6＝x 2＋y 2＋ 3 xy ，当x ＝0时，|x ||b |＝0；当x ≠0时，|b |2| x |2＝222x y x +＝21y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝214y x ⎛++ ⎝⎭≥14 ，故：|x ||b |≤2，则|x ||b |的最大值等于2．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b ．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)2sin sin sin a ba B A B==由及正弦定理，得sin A =A 因为是锐角，所以π3A =．(Ⅱ)2222cos a b c bc A=+-由余弦定理，得 2236b c bc +-=．8b c +=又，所以283bc =． 1sin 2S bc A =由三角形面积公式，3ABC ∆得的面积为．19、在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列． (Ⅰ)求d ，a n ；(Ⅱ) 若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |． 解：(Ⅰ) 由题意得23125(22)a a a ⋅=+，即2340d d --=．故14d d =-=或．所以11N 46N n n a n n a n n **=-+∈=+∈，或，．(Ⅱ){}0()111n n n a n S d d a n <=-=-+设数列的前项和为．因为，由Ⅰ得，．则11n ≤当时，212312122n n a a a a S n n ++++==-+ ．12n ≥当时，212311121211022n n a a a a S S n n ++++=-+=-+ ． 综上所述，2123212111221211101222n n n n a a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪++++=⎨⎪-+≥⎪⎩ ，，，．20、如图，在在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，P A ＝3，∠ABC ＝120°，G 为 线段PC 上的点． (Ⅰ)证明：BD ⊥面P AC ；(Ⅱ)若G 是PC 的中点，求DG 与P AC 所成的角的正切值；(Ⅲ)若G 满足PC ⊥面BGD ，求PGGC的值． 证：(Ⅰ)O AC BD 设点为，的交点．AB BC AD CD BD AC ==由，，得是线段的中垂线． O AC BD AC ⊥所以为的中点，．PA ABCD BD ABCD ⊥⊂又因为平面，平面， 所以PA BD⊥所以BD APC ⊥平面．(Ⅱ) ()OG OD APC DG APC OG ⊥连结．由Ⅰ可知平面，则在平面内的射影为，OCG DG APC ∠所以是与平面所成的角． 由题意得12OG PA == ABC ∆在中，AC = 所以12OC AC == O第20题答图OCD ∆在直角中，2OD ==．OCD ∆在直角中，tan OD OGD OG ∠==DG APC 所以与平面 (Ⅲ) OG PC BGD OG BGD PC OG ⊥⊂⊥连结．因为平面，平面，所以．PAC PC ∆=在直角中，得 所以AC OC GC PC ⋅== 从而PG =所以32PG GC =．21、已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ．(Ⅰ)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (Ⅱ)若|a |＞1，求f (x )在闭区间[0，|2a |]上的最小值． 解：(Ⅰ) 21()6126a f x x x '==-+当时，，所以(2)6f '=．(2)4f =又因为，所以切线方程为68y x =-．(Ⅱ) ()()[02]g a f x a 记为在闭区间，上的最小值．2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--．()0f x '=令，得到121x x a ==，．1a >当时，2(0)0()(3)f f a a a ==-比较和的大小可得2013()(3)3a g a a a a <≤⎧=⎨->⎩，，，．1a <-当时，得()31g a a =-． ()[02]f x a 综上所述，在闭区间，上的最小值为2311()013(3)3a a g a a a a a -<-⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩，，，，，．22、已知抛物线C 的顶点为O （0,0），焦点F （0,1）．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过F 作直线交抛物线于A 、B 两点.若直线OA 、OB 分别交直线l ：y ＝x －2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．解：(Ⅰ) 2C 2(0)x py p =>由题意可设抛物线的方程为，则12p =， C 所以抛物线的方程为24x y =．(Ⅱ) 1122()()A x y B x y AB 设，，，，直线的方程为1y kx =+．214y kx y x y=+⎧⎨=⎩由，消去，整理得2440x kx --=，所以121244x x k x x +==，．从而12x x -=由112y y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，， M 解得点的横坐标1121111122844M x x x x x y x x ===---．N 同理点的横坐标284N x x =-． 所以284M NMN x x =-=--== 34304t k t t k +-=≠=令，，则． 0t >当，MN => 0t <当，MN =25433t k MN =-=-综上所述，，即，。
选择题部分（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|2}S x x =>-,T {|41}x x =-≤≤,则S ∩T=A ．[4,)-+∞B ．(2,)-+∞C ．[4,1]-D ．(2,1]- 2．已知i 是虚数单位，则(2i)(3i)++=A ．55i -B ．75i -C ．55i +D ．75i + 3．若α∈R ，则“α=0”是“sin cos αα<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，A ．若m α ，n α ,则m nB ．若m α ，m β ,则αβC ．若m n ，m α⊥,则n α⊥D ．若m α ，αβ⊥,则m β⊥ 5．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm36．函数()sin cos cos 22f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是 A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，27．已知,,a b c ∈R ，函数2()f x ax bx c =++.若(0)(4)(1)f f f =>，则A ．0,40a a b >+=B ．0,40a a b <+=C ．0,20a a b >+=D ．0,20a a b <+= 8．已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f ’(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是9．如图F1．F2是椭圆C1：2214xy+=与双曲线C2的公共焦点A．B分别是C1．C2在第二．四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是A． 2B．3 C．32D．6210．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：,,a a ba bb a b≤⎧∧=⎨>⎩，,,b a ba ba a b≤⎧∨=⎨>⎩若正数,,,a b c d满足4ab≥,4c d+≤,则A．2a b∧≥,2c d∧≤ B．2a b∧≥,2c d∨≥C．2a b∨≥,2c d∧≤ D．2a b∨≥,2c d∨≥非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2023年普通高等学校统一考试（浙江卷）数学(文科)试卷第Ⅰ卷 (共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。
（1）已知集合{}{},21|,0|≤≤-=>=x x B x x A 则B A =(A){}1|-≥x x (B) {}2|≤x x (C) {}20|≤<x x (D) {}21|≤≤-x x (2)函数1)cos (sin 2++=x x y 地最小正周期是（A ）2π（B ）π(C)23π(D) 2π(3)已知a ,b 都是实数,那么"22a b >"是"a >b "地（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）已知{a n }是等比数列,2512,4a a ==,则公比q=(A)21-(B)-2(C)2(D)21(5)已知则且,2,0,0=+≥≥b a b a (A)21≤ab (B) 21≥ab (C)222≥+b a (D) 322≤+b a (6)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)地展开式中,含4x 地项地系数是（A ）-15（B ）85（C ）-120（D ）274（7）在同一平面直角坐标系中,函数}[)2,0)(232cos(ππ∈+=x x y 地图象和直线21=y 地交点个数是（A ）0（B ）1（C ）2（D ）4（8）若双曲线12222=-by a x 地两个焦点到一条准线地距离之比为3:2,则双曲线地离心率是（A ）3（B ）5（C ）3（D ）5（9）对两条不相交地空间直线a 与b ,必存在平面α,使得（A ）αα⊂⊂b a ,（B ）b a ,α⊂∥α（C ）αα⊥⊥b a ,(D)αα⊥⊂b a ,(10)若,0,0≥≥b a 且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时,恒有1≤+by ax ,则以a,b 为坐标地点P(a,b)所形成地平面区域地面积是(A)21(B)4π(C)1(D)2π第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P∩（C U Q）=A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}【答案】D【命题意图】本题主要考查了集合的并集和补集运算。
【解析】Q{3，4，5}，∴C U Q={1，2，6}，∴P∩（C U Q）={1，2}.2. 已知i是虚数单位，则31ii+-=A 1-2iB 2-iC 2+iD 1+2i【答案】D【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则，通过利用分母实数化运算求解。
【解析】31ii+-(3)(1)2412(1)(1)2i i iii i+++===+-+.3. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A.1cm 3B.2cm 3C.3cm 3D.6cm 3 【答案】C【命题意图】本题考查的是三棱锥的三视图问题，体现了对学生空间想象能力的综合考查。
【解析】由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为11123132⨯⨯⨯⨯=.4．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 【答案】A【命题意图】本题考查的知识为依托于简易逻辑的直线平行问题的考查。
【解析】当121aa =+，解得1a =或2a =-.所以，当a ＝1是，两直线平行成立，因此是充分条件；当两直线平行时，1a =或2a =-，不是必要条件，故选A.5. 设l是直线，a，β是两个不同的平面A. 若l∥a，l∥β，则a∥βB. 若l∥a，l⊥β，则a ⊥βC. 若a⊥β，l⊥a，则l⊥βD. 若a⊥β, l∥a，则l⊥β【答案】B【命题意图】本题考查的是平面几何的基本知识，具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质。
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(浙江卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013浙江，文1)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝()．A．[－4，＋∞)B．(－2，＋∞)C．[－4,1] D．(－2,1]答案：D解析：集合S与集合T都表示连续的实数集，此类集合的运算可通过数轴直观表示出来.，故S∩T＝{x|－2＜x≤1}，故选D.2．(2013浙江，文2)已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝()．A．5－5i B．7－5i C．5＋5i D．7＋5i答案：C解析：(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2，因为i2＝－1，所以(2＋i)(3＋i)＝5＋5i，故选C.3．(2013浙江，文3)若α∈R，则“α＝0”是sin α＜cos α”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：当α＝0时，sin α＜cos α成立；若sin α＜cos α，α可取π6等值，所以“α＝0”是“sin α＜cos α”的充分不必要条件．故选A.4．(2013浙江，文4)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()．A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β答案：C解析：A选项中直线m，n可能平行，也可能相交或异面，直线m，n的关系是任意的；B选项中，α与β也可能相交，此时直线m平行于α，β的交线；D选项中，m也可能平行于β.故选C. 5．(2013浙江，文5)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()．A．108 cm3B．100 cm3C．92 cm3D．84 cm3答案：B解析：由三视图可知，该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥，故几何体的体积是6×3×6－13×12×3×42＝100(cm 3)．故选B.6．(2013浙江，文6)函数f (x )＝sin x cos x cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )． A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2 答案：A解析：由y ＝sin x cos x ＋2cos 2x ＝12sin 2x ＋2cos 2x ＝πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为ω＝2，所以T ＝2πω＝π，又观察f (x )可知振幅为1，故选A.7．(2013浙江，文7)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)＞f (1)，则( )．A ．a ＞0,4a ＋b ＝0B ．a ＜0,4a ＋b ＝0C ．a ＞0,2a ＋b ＝0D ．a ＜0,2a ＋b ＝0 答案：A解析：由f (0)＝f (4)知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 对称轴为x ＝2，即22ba-=.所以4a ＋b ＝0，又f (0)＞f (1)且f (0)，f (1)在对称轴同侧，故函数f (x )在(－∞，2]上单调递减，则抛物线开口方向朝上，知a ＞0，故选A.8．(2013浙江，文8)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，则该函数的图象是( )．答案：B解析：由导函数图象知，函数f (x )在[－1,1]上为增函数．当x ∈(－1,0)时f ′(x )由小到大，则f (x )图象的增长趋势由缓到快，当x ∈(0,1)时f ′(x )由大到小，则f (x )的图象增长趋势由快到缓，故选B.9．(2013浙江，文9)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：24x ＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )．A B C ．32D ．2答案：D解析：椭圆C 1中，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4，|F 1F 2|＝2c ＝又四边形AF 1BF 2为矩形，∴∠F 1AF 2＝90°，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，∴|AF 1|＝2|AF 2|＝2C 2中，2c ＝2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝e ==，故选D. 10．(2013浙江，文10)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝,,,,a a b b a b ≤⎧⎨>⎩a ∨b ＝,,,.b a b a a b ≤⎧⎨>⎩若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( )．A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 答案：C解析：由题意知，运算“∧”为两数中取小，运算“∨”为两数中取大，由ab ≥4知，正数a ，b 中至少有一个大于等于2.由c ＋d ≤4知，c ，d 中至少有一个小于等于2，故选C.非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．(2013浙江，文11)已知函数f (x )若f (a )＝3，则实数a ＝__________.答案：10解析：由f (a )3，得a －1＝9，故a ＝10.12．(2013浙江，文12)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于__________．答案：15解析：从3男，3女中任选两名，共有15种基本情况，而从3女中任选2名女同学，则有3种基本情况，故所求事件的概率为31155=. 13．(2013浙江，文13)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于__________．答案：解析：圆的圆心为(3,4)，半径是5，圆心到直线的距离d ==，可知弦长l ==14．(2013浙江，文14)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于__________．答案：9 5解析：该程序框图为循环结构．当k＝1时，S＝1＋112⨯＝32；当k＝2时，3152233 S=+=⨯；当k＝3时，5173344S=+=⨯；当k＝4时，7194455S=+=⨯，循环结束，输出95S=.15．(2013浙江，文15)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足2,240,240.xx yx y≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若z的最大值为12，则实数k＝__________.答案：2解析：满足条件2,240,240xx yx y≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩的区域D如图阴影部分所示，且A(2,3)，B(4,4)，C(2,0)．作直线l0：y＝－kx，当k＞0时，y＝－kx为减函数，在B处z最大，此时k＝2；当k＜0时，y＝－kx为增函数，当－k∈10,2⎛⎫⎪⎝⎭时，在B处z取最大值，此时k＝2(舍去)；当－k＞12时，在A处取得最大值，92k=(舍去)，故k＝2.16．(2013浙江，文16)设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2，则ab＝__________.答案：－1解析：令x＝1，得0≤1－1＋a＋b≤0，整理，得a＋b＝0，①令x＝－1，得0≤1－(－1)－a＋b≤0，整理，得a－b＝2，②解①②组成的方程组，得1,1. ab=⎧⎨=-⎩∴ab＝－1.17．(2013浙江，文17)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝x e1＋y e2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为π6，则||||xb的最大值等于__________．答案：2解析：因为b≠0，所以b＝x e1＋y e2，x≠0，y≠0.又|b|2＝(x e1＋y e2)2＝x2＋y2＋xy，22222||1||1xyx==++b，不妨设ytx=，则22||||x=b，当2t=-时，t2＋1取得最小值14，此时22||||xb取得最大值，所以||||xb的最大值为2.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(2013浙江，文18)(本题满分14分)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．解：(1)由2a sin B及正弦定理sin sina bA B=，得sin A＝2.因为A是锐角，所以π3A=.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以283bc=.由三角形面积公式S＝12bc sin A，得△ABC19．(2013浙江，文19)(本题满分14分)在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求d，a n；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解：(1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝212122n n -+. 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝212122n n -＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝22121,11,22121110,12.22n n n n n n ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩20．(2013浙江，文20)(本题满分15分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CDP AABC ＝120°，G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值； (3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PGGC的值． 解：(1)设点O 为AC ，BD 的交点．由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线． 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥BD .所以BD ⊥平面APC .(2)连结OG .由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．由题意得OG ＝12P A＝2.在△ABC 中， AC＝ 所以OC ＝12AC在直角△OCD 中，OD＝2.在直角△OGD 中，tan ∠OGD＝OD OG =所以DG 与平面APC所成的角的正切值为3.(3)连结OG .因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG . 在直角△P AC 中，得PC所以GC＝AC OC PC ⋅=从而PG，所以32PG GC =.21．(2013浙江，文21)(本题满分15分)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax .(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |＞1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值． 解：(1)当a ＝1时，f ′(x )＝6x 2－12x ＋6， 所以f ′(2)＝6.又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8. (2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值． f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )． 令f ′(x )＝0，得到x 1＝1，x 2＝a . 当a比较f (0)＝0和f (a )＝a 2(3－a )的大小可得g (a )＝23, 3.a a a ⎧⎨(-)>⎩ 当a 得g (综上所述，f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值为g (a )＝231,1,0,13,3, 3.a a a a a a -<-⎧⎪<≤⎨⎪(-)>⎩22．(2013浙江，文22)(本题满分14分)已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．解：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p ＞0)，则12p=， 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由21,4y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝由11,2,y y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得点M 的横坐标1121111122844M x x x x x y x x ===---. 同理点N 的横坐标x N ＝284x -. 所以|MN ||x M －x N |284x --＝令4k －3＝t ，t ≠0，则34t k +=. 当t ＞0时，|MN |＝当t ＜0时，|MN |＝≥综上所述，当253t =-，即43k =-时，|MN |.。
2013年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm36．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，27．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=08．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=_________．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于_________．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于_________．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=_________．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于_________．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于_________．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小2013年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．解答：解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，∴S∩T=（﹣2，1]．故选D点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．解答：解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．故选C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．解答：解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法．4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．解答：解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．即可．解答：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选A点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b变为关于a的不等式可得a＞0．解答：解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．故选A．点评：本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题．8．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B ．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．解答：解：由导数的图象可得，函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，图象是下凹型的；在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B．点评：本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2考点：函数的值．专题：计算题；新定义．分析：依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．解答：解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；点评：本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=10．考点：函数的值．专题：计算题．分析：利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．解答：解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，所以，解得a=10．故答案为：10．点评：本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．解答：解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=故答案为：点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．解答：解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂项求和即可求解．解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．点评：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=2．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，z max=F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0，由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，此时，z max=F（2，3）=2k+3或z max=F（4，4）=4k+4但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，故此种情况不符合题意；②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0，由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值此时z max=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意综上所述，实数k的值为2故答案为：2点评：本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于﹣1．考点：函数恒成立问题．专题：转化思想；函数的性质及应用．分析：由题意，x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，发现当x=±1时，其值都为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，从而解出它们的值，即可求出积解答：解：验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0；当x=﹣1时，将﹣1代入不等式有0≤2﹣a+b≤0，所以b﹣a=﹣2联立以上二式得：a=1，b=﹣1所以ab=﹣1故答案为﹣1点评：本题考查函数恒成立的最值问题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，将问题灵活转化是解题的关键17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．解答：解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S△ABC=bcsinA=．点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d ＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解答：解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．（Ⅲ）先证PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△PCA，可得，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．解答：解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△PCA，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a当a＞1时，x 0 （0，1） 1 （1，a） a （a，2a）2af′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）0 单调递增极大值3a﹣1 单调递减极小值单调递增4a3e2（3﹣a）比较f（0）和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；当a＜﹣1时，X 0 （0，1） 1 （1，﹣2a）﹣2af′x）﹣0 +f（x）0 单调递减极小值3a﹣1 单调递增﹣28a3﹣24a2∴g（a）=3a﹣1∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．解答：解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y （II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4由解得点M的横坐标为x M===，同理可得点N的横坐标为x N=所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=令4k﹣3=t，t不为0，则k=当t＞0时，|MN|=2＞2当t＜0时，|MN|=2=2≥综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用。
2021年XX省高考数学试卷〔文科〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕〔2021?XX〕设集合S={x|x＞﹣2}，T={x| A．[﹣4，+∞〕B．〔﹣2，+∞〕﹣4≤x≤1}，那么S∩T=〔C．[﹣4，1]〕D．〔﹣2，1]2．〔5分〕〔2021?XX〕i是虚数单位，那么〔2+i〕〔3+i〕=〔〕A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i3．〔5分〕〔2021?XX〕假设α∈R，那么“α=0〞是“sinα＜cosα〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．〔5分〕〔2021?XX〕设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，〔〕A．假设m∥α，n∥α，那么m∥nB．假设m∥α，m∥β，那么α∥βC．假设m∥n，m⊥α，那么n⊥αD．假设m∥α，α⊥β，那么m⊥β5．〔5分〕〔2021?XX〕某几何体的三视图〔单位：cm〕如下图，那么该几何体的体积是〔〕A．108cm 3 3 3 3B．100cm C．92cm D．84cm6．〔5分〕〔2021?XX〕函数f〔x〕=sinxcosx+ cos2x的最小正周期和振幅分别是〔〕A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，27．〔5分〕〔2021?XX〕2〕a、b、c∈R，函数f〔x〕=ax+bx+c．假设f〔0〕=f〔4〕＞f〔1〕，那么〔A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=08．〔5分〕〔2021?XX〕函数y=f〔x〕的图象是以下四个图象之一，且其导函数y=f′〔x〕的图象如下图，那么该函数的图象是〔〕A．B．C．D．9．〔5分〕〔2021?XX〕如图F1、F2是椭圆C1：2与双曲线 C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、+y=1四象限的公共点，假设四边形AF1BF2为矩形，那么C2的离心率是〔〕A．B．C．D．10．〔5分〕〔2021?XX〕设a，b∈R，定义运算“∧〞和“∨〞如下：a∧b= a∨b=假设正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，那么〔〕A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2 二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分.11．〔4分〕〔2021?XX〕函数f〔x〕=，假设f〔a〕=3，那么实数a= _________ ．12．〔4分〕〔2021?XX〕从三男三女6名学生中任选2名〔每名同学被选中的概率均相等〕，那么2名都是女同学的概率等于_________ ．13．〔42 2﹣8y=0所截得的弦长等于_________．分〕〔2021?XX〕直线y=2x+3被圆x+y﹣6x14．〔4分〕〔2021?XX〕某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的值等于_________ ．15．〔4分〕〔2021?XX〕设z=kx+y，其中实数x、y满足假设z的最大值为12，那么实数k= _________．16．〔4分〕〔2021?XX〕设4 3 2 2．a，b∈R，假设x≥0时恒有0≤x ﹣x+ax+b≤〔x ﹣1〕，那么ab等于_________17．〔4分〕〔2021?XX〕设、为单位向量，非零向量=x +y，x、y∈R．假设、的夹角为30°，那么的最大值等于_________．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．〔14分〕〔2021?XX〕在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB= b．〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设a=6，b+c=8，求△ABC的面积．19．〔14分〕〔2021?XX〕在公差为d的等差数列{an}中，a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．〔Ⅰ〕求d，an；〔Ⅱ〕假设d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|．20．〔15分〕〔2021?XX〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA= ，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．〔Ⅰ〕证明：BD⊥面PAC；〔Ⅱ〕假设G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；〔Ⅲ〕假设G满足PC⊥面BGD，求的值．21．〔15分〕〔2021?XX〕a∈R，函数f〔x〕=2x〔Ⅰ〕假设a=1，求曲线y=f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线方程；〔Ⅱ〕假设|a|＞1，求f〔x〕在闭区间[0，|2a|]上的最小值．22．〔14分〕〔2021?XX〕抛物线C的顶点为O〔0，0〕，焦点F〔0，1〕〔Ⅰ〕求抛物线C的方程；〔Ⅱ〕过F作直线交抛物线于A、B 两点．假设直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．3 2﹣3〔a+1〕x+6ax2021年XX省高考数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕〔2021?XX〕设集合S={x|x＞﹣2}，T={x| A．[﹣4，+∞〕B．〔﹣2，+∞〕﹣4≤x≤1}，那么S∩T=〔C．[﹣4，1]〕D．〔﹣2，1]考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：找出两集合解集的公共局部，即可求出交集．解答：解：∵集合S={x|x＞﹣2}=〔﹣2，+∞〕，T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，∴S∩T=〔﹣2，1]．应选D点评：此题考察了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解此题的关键．2．〔5分〕〔2021?XX〕i是虚数单位，那么〔2+i〕〔3+i〕=〔〕A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．2解答：解：复数〔2+i〕〔3+i〕=6+5i+i=5+5i．应选C．点评：此题考察复数的代数形式的混合运算，考察计算能力．3．〔5分〕〔2021?XX〕假设α∈R，那么“α=0〞是“sinα＜cosα〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：当“α=0〞可以得到“sinα＜cosα〞，当“sinα＜cosα〞时，不一定得到“α=0〞，得到“α=0〞是“sinα＜cosα〞的充分不必要条件．解答：解：∵“α=0〞可以得到“sinα＜cosα〞，当“sinα＜cosα〞时，不一定得到“α=0〞，如α=等，∴“α=0〞是“sinα＜cosα〞的充分不必要条件，应选A．点评：此题主要考察了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法．4．〔5分〕〔2021?XX〕设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，〔〕A．假设m∥α，n∥α，那么m∥nB．假设m∥α，m∥β，那么α∥βC．假设m∥n，m⊥α，那么n⊥αD．假设m∥α，α⊥β，那么m⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进展判断D的正误．解答：解：A、m∥α，n∥α，那么m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，那么α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，那么n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，那么m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；应选C．点评：此题主要考察线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考察空间想象能力能力．5．〔5分〕〔2021?XX〕某几何体的三视图〔单位：cm〕如下图，那么该几何体的体积是〔〕A．108cm 3 3 3 3B．100cm C．92cm D．84cm考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥〔长方体的一个角〕．据此即可得出体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥〔长方体的一个角〕．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．应选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．〔5分〕〔2021?XX〕函数f〔x〕=sinxcosx+ cos2x的最小正周期和振幅分别是〔〕A．π，1 B．π，2 C．2π，1D．2π，2考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析： f〔x〕解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．解答：cos2x=sin〔2x+ 〕，解：f〔x〕=sin2x+∵﹣1≤sin〔2x+ 〕≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．应选A点评：此题考察了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解此题的关键．2〕7．〔5分〕〔2021?XX〕a、b、c∈R，函数f〔x〕=ax+bx+c．假设f〔0〕=f〔4〕＞f〔1〕，那么〔A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f〔0〕=f〔4〕可得4a+b=0；由f〔0〕＞f〔1〕可得a+b＜0，消掉b变为关于a的不等式可得a＞0．解答：解：因为f〔0〕=f〔4〕，即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f〔0〕＞f〔1〕，即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+〔﹣4a〕＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．应选A．点评：此题考察二次函数的性质及不等式，属根底题．8．〔5分〕〔2021?XX〕函数y=f〔x〕的图象是以下四个图象之一，且其导函数y=f′〔x〕的图象如下图，那么该函数的图象是〔〕A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．解答：解：由导数的图象可得，函数f〔x〕在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，图象是下凹型的；在应选B．[0，1]上增长速点评：此题主要考察函数的单调性和导数的关系，属于根底题．9．〔5分〕〔2021?XX〕如图F1、F2是椭圆C1：2与双曲线 C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、+y=1四象限的公共点，假设四边形AF1BF2为矩形，那么C2的离心率是〔〕A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答： 2 解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y=1 上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+ =2 2 2=12，②，即x +y=〔2c〕=由①②得：，解得x=2﹣，y=2+ ，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，那么2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2 ，2c=2 =2 ，∴双曲线C2的离心率e= = =．应选D．点评：此题考察椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1 2 |是关键，考察分析与运算能力，属于中档题．|与|AF10．〔5分〕〔2021?XX〕设a，b∈R，定义运算“∧〞和“∨〞如下：a∧b= a∨b=假设正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，那么〔〕A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2考点：函数的值．专题：计算题；新定义．a b解答：解：∵a∧b= ，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令 a=1，4，那么a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；应选C．点评：此题考察函数的求值，考察正确理解题意与灵活应用的能力，着重考察排除法的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分.11．〔4分〕〔2021?XX〕函数f〔x〕= ，假设f〔a〕=3，那么实数a= 10．考点：函数的值．专题：计算题．分析：利用函数的解析式以及f〔a〕=3求解a即可．解答：解：因为函数f〔x〕= ，又f〔a〕=3，所以，解得a=10．故答案为：10．点评：此题考察函数解析式与函数值的应用，考察计算能力．12．〔4分〕〔2021?XX〕从三男三女6名学生中任选2名〔每名同学被选中的概率均相等〕，那么2名都是女同学的概率等于．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．解答：解：从6名学生中任选2 名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=故答案为：点评：此题考察古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属根底题．13．〔4分〕〔2021?XX〕直线2 2﹣8y=0所截得的弦长等于4．y=2x+3被圆x+y﹣6x考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．解答：解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标〔3，4〕，半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．故答案为：4．点评：此题考察直线与圆的位置关系，弦长的求法，考察转化思想与计算能力．14．〔4分〕〔2021?XX〕某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的值等于．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂项求和即可求解．解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．点评：此题考察了程序框图中的循环构造的应用，解题的关键是由框图的构造判断出框图的计算功能．15．〔4分〕〔2021?XX〕设z=kx+y，其中实数x、y满足假设z的最大值为12，那么实数k= 2．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进展平移．经讨论可得当当 k＜0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，zmax=F〔4，4〕=4k+4=12，解得k=2，得到此题答案．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A 〔2，0〕，B 〔2，3〕，C 〔4，4〕设 z=F 〔x ，y 〕=kx+y ，将直线l ：z=kx+y 进展平移，可得①当k ＜0时，直线l 的斜率﹣k ＞0，由图形可得当l 经过点B 〔2，3〕或C 〔4，4〕时，z 可达最大值， 此时，zmax=F 〔2，3〕=2k+3或zmax=F 〔4，4〕=4k+4但由于k ＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z 的最大值为12， 故此种情况不符合题意；②当k ≥0时，直线l 的斜率﹣k ≤0，由图形可得当l 经过点C 时，目标函数 z 到达最大值 此时zmax=F 〔4，4〕=4k+4=12，解之得k=2，符合题意综上所述，实数k 的值为2故答案为：2点评：此题给出二元一次不等式组，在目标函数 z=kx+y 的最大值为12 的情况下求参数k 的值，着重考察了二元 一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于根底题．432 2 等于﹣1 ．16．〔4分〕〔2021?XX 〕设a ，b ∈R ，假设x ≥0时恒有0≤x ﹣x+ax+b ≤〔x ﹣1〕，那么ab考点：函数恒成立问题．专题：转化思想；函数的性质及应用．4 3 2 2 2 2 时，其值都为0，再对照不 分析：由题意，x ≥0时恒有0≤x ﹣x+ax+b ≤〔x ﹣1〕，考察〔x ﹣1〕，发现当x=±1 等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a ，b 满足的方程，从而解出它们的值，即可求出积解答：解：验证发现，当 x=1时，将1代入不等式有0≤a+b ≤0，所以a+b=0；当 x=﹣1时，将﹣1代入不等式有0≤2﹣a+b ≤0，所以b ﹣a=﹣2 联立以上二式得：a=1，b=﹣1 所以ab=﹣1 故答案为﹣1点评：此题考察函数恒成立的最值问题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，此题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，将问题灵活转化是解题的关键17．〔4分〕〔2021?XX 〕设 、 为单位向量，非零向量 =x+y ，x 、y ∈R ．假设 、 的夹角为30°，那么 的最大值等于2．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：= ，||== ，从而可得由题意求得= = = ，再利用二次函数的性质求得的最大值．解答：、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°= ．解：∵∵非零向量=x+y ，∴||= = = ，∴= = = = ，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．点评：此题主要考察两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．〔14分〕〔2021?XX〕在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB= b．〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设a=6，b+c=8，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：〔Ⅰ〕利用正弦定理化简等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；〔Ⅱ〕由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：〔Ⅰ〕由2asinB= b，利用正弦定理得：2sinAsinB= sinB，∵sinB≠0，∴sinA= ，又A为锐角，那么A= ；〔Ⅱ〕由余弦定理得：2 2 2 2 2 2﹣3bc，a=b+c﹣2bc?cosA，即36=b+c ﹣bc=〔b+c〕﹣3bc=64∴bc= ，又sinA= ，那么S△ABC= bcsinA= ．点评：此题考察了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解此题的关键．19．〔14分〕〔2021?XX〕在公差为d的等差数列{an}中，a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．〔Ⅰ〕求d，an；〔Ⅱ〕假设d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：〔Ⅰ〕直接由条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，那么通项公式an可求；〔Ⅱ〕利用〔Ⅰ〕中的结论，得到等差数列{an}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d ＜0时|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|的和．解答：解：〔Ⅰ〕由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，an=a1+〔n﹣1〕d=10﹣〔n﹣1〕=﹣n+11．当d=4时，an=a1+〔n﹣1〕d=10+4〔n﹣1〕=4n+6．所以an=﹣n+11或an=4n+6；〔Ⅱ〕设数列{an}n，因为d＜0，由〔Ⅰ〕得d=﹣1，an=﹣n+11．的前n项和为S那么当n≤11时，．当n≥12时，|a1 23 nn11．|+|a|+|a|+⋯+|a|=﹣S+2S=综上所述，123 n．|a|+|a|+|a|+⋯+|a|=点评：此题考察了等差数列、等比数列的根本概念，考察了等差数列的通项公式，求和公式，考察了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．20〔．15分〕〔2021?XX〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD G为线段PC上的点．〔Ⅰ〕证明：BD⊥面PAC；〔Ⅱ〕假设G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；，AB=BC=2 ，AD=CD= ，PA=，∠ABC=120 °，〔Ⅲ〕假设G满足PC⊥面BGD，求的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：〔Ⅰ〕由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，那么由条件可得BD O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．〔Ⅱ〕由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．是ACGO和的中垂线，故AC的值，可〔Ⅲ〕先证PC ⊥OG ，且 PC==．由△COG ∽△PCA ，可得，解得GC 的值，可得PG=PC ﹣GC 的值，从而求得的值．解答：解：〔Ⅰ〕证明：∵在四棱锥 P ﹣ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥BD ．∵ AB=BC=2，AD=CD=，设AC 与BD 的交点为O ，那么BD 是AC 的中垂线，故O 为AC 的中点，且BD ⊥AC ．而PA ∩AC=A ，∴BD ⊥面PAC ．〔Ⅱ〕假设G 是PC 的中点，那么GO 平行且等于PA ，故由PA ⊥面ABCD ，可得GO ⊥面ABCD ，∴GO ⊥OD ，故 OD ⊥平面PAC ，故∠DGO 为DG 与平面PAC 所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ ABC 中，由余弦定理可得AC 2=AB 2+BC 2﹣2AB?BC?cos ∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12， ∴ AC=2，OC=．∵直角三角形COD 中，OD= =2，∴直角三角形 GOD 中，tan ∠DGO= = ．〔Ⅲ〕假设G 满足 PC ⊥面 BGD ，∵OG?平面 BGD ，∴PC ⊥OG ，且 PC= =．由△COG ∽△PCA ，可得，即 ，解得 GC= ，∴PG=PC ﹣GC= ﹣=，∴==．点评：此题主要考察直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题． 21．〔15分〕〔2021?XX 〕a ∈R ，函数f 〔x 〕=2x 〔Ⅰ〕假设 a=1，求曲线y=f 〔x 〕在点〔2，f 〔2〕〕处的切线方程； 〔Ⅱ〕假设|a|＞1，求f 〔x 〕在闭区间[0，|2a|]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：导数的综合应用．分析：〔Ⅰ〕求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f 〔x 〕在点〔2，f 〔2〕〕处的切线方程；〔Ⅱ〕分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值． 解答：解：〔Ⅰ〕当a=1时，f ′〔x 〕=6x 2﹣12x+6，所以f ′〔2〕=6∵f 〔2〕=4，∴曲线y=f 〔x 〕在点〔2，f 〔2〕〕处的切线方程为 y=6x ﹣8；〔Ⅱ〕记g 〔a 〕为f 〔x 〕在闭区间[0，|2a|]上的最小值． f ′〔x 〕=6x 2﹣6〔a+1〕x+6a=6〔x ﹣1〕〔x ﹣a 〕令 f ′〔x 〕=0，得到x1=1，x2=a 当a ＞1时，x 0〔0，1〕 1 〔1，a 〕 a 〔a ，2a 〕2af ′〔x 〕 +﹣+3 f 〔x 〕单调递增 极大值3a ﹣1单调递减 极小值 单调递增4a3 2 ﹣3〔a+1〕x+6ax2e〔3﹣a〕比拟f〔0〕和f〔a〕=a2〔3﹣a〕的大小可得g〔a〕= ；当a＜﹣1时，X 0 〔0，1〕 1 〔1，﹣2a〕﹣2af′x〕﹣0 +3 2f〔x〕0 单调递减极小值 3a﹣1单调递增﹣28a ﹣24a∴g〔a〕=3a﹣1∴f〔x〕在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g〔a〕=．点评：此题考察导数知识的运用，考察导数的几何意义，考察函数的最值，考察学生的计算能力，考察分类讨论的数学思想，属于中档题．22．〔14分〕〔2021?XX〕抛物线C的顶点为O〔0，0〕，焦点F〔0，1〕〔Ⅰ〕求抛物线C的方程；〔Ⅱ〕过F作直线交抛物线于A、B两点．假设直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔I〕由抛物线的几何性质及题设条件焦点F〔0，1〕可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；〔II〕由题意，可A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与〔I〕中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．解答：解：〔I〕由题意可设抛物线C的方程为x 2 2=2py〔p＞0〕那么=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x=4y（II〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，直线AB的方程为y=kx+1由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4由解得点M的横坐标为xM===，同理可得点 N的横坐标为x N=所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8||=令4k﹣3=t，t不为0，那么k=当t＞0时，|MN|=2 ＞2当t＜0时，|MN|=2=2≥综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是点评：此题主要考察抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考察解析几何的根本思想方法和运算求解能力，此题考察了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如此题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用。
2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（文）选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}|2S x x =>-，{}|41T x x =-，则ST =（ ）.A.[)4-+∞，B.2-+∞（，）C.[]41-，D.(]21-， 分析 直接求两个集合的交集即可. 解析：{}{}{}24121ST x x x x x x =--=-≤≤≤.故选D .2. 已知i 是虚数单位，则()()2i 3i ++=（ ）. A.55i - B.75i - C.55i?+ D.75i + 分析 直接进行复数的运算得出结果.解析 ()()22i 3i 65i i 55i ++=++=+.故先C.3.若α∈R ，则“0α=”是“sin cos αα<”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 分析 分别判断0α=能否推出sin cos αα和sin cos αα能否推出0α=. 解析 若0α=，则sin 0,cos 1αα==，所以sin cos αα，即0sin cos ααα=⇒；但当2απ=-时，有sin 10cos αα=-=，此时0α≠. 所以0α=是sin cos αα的充分不必要条件.故选A.4.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，（ ）.A.若m α∥，n α∥，则m n ∥B.若m α∥，m β∥，则αβ∥C.若m n ∥，m α⊥，则n α⊥D.若m α∥，αβ⊥，则m β⊥ 分析 可以借助正方体模型对四个选项分别剖析，得出正确结论.解析 A 项，当//,//m n αα时，,m n 可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B 项，当//,//m m αβ时，,αβ可能平行也可能相交，故错误；C 项，当//,m n m α⊥时，n α⊥，故正确；D 项，当//,m ααβ⊥时，m 可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误.故选C.D.C.B.A.侧视图俯视图5.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）. A.3108cm ? B.3100 cm C.392cm D.384cm分析 根据三视图还原出几何体，再根据几何体的形状及相应的尺寸求其体积.解析 此几何体为一个长方体1111-ABCD A B C D 被截去了一个三棱锥-A DEF ， 如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6，3，6，故其体积为()3636108cm ⨯⨯=.三棱锥的三条棱AE ，AF ，AD 的长分别为 4，4，3，故其体积为()3114348cm 32⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以所求几何体的体积为()31088100cm -=.故选B.6.函数()sin cos f x x x x =⋅+的最小正周期和振幅分别是（ ）. A.π1， B. π2， C. 2π1， D. 2π2，分析 把函数的解析式化简为只含一个三角函数名的三角函数式，再求周期和振幅. 解析 ()1sin 22sin 223f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为22T π==π，振幅1A =. 故选A7.已知,,a b c ∈R ，函数()2f x ax bx c =++.若()()()041f f f =>，则（ ）. A. 0a >，40a b += B. 0a <，40a b +=C. 0a >，20a b +=D. 0a <，20a b +=分析 根据条件可确定函数图象的开口方向和对称轴，化简即得. 解析 因为()()()041f f f =，所以函数图象应开口向上，即0a，且其对称轴为2x =，即22ba-=，所以40a b +=，故选A. 8.已知函数()y f x =的图像是下列四个图像之一，且其导函数()'y f x =的 图像如右图所示，则该函数的图像是（ ）.分析 根据导函数值的大小变化情况，确定原函数的变化情况.D 1C 1B 1A 1E CDF AB解析 从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，0x =时最大，所以函数()f x 的图象的 变化率也先增大后减小，在0x =时变化率最大.A 项，在0x =时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误.B 项正确.故选B.9. 如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二.四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）. A.2 B. 3C.23D.26分析 由椭圆可求出12AF AF +，由矩阵求出2212AF AF +，再求出21AF AF -即可求出双曲线方程中的a ，进而求得双曲线的离心率.解析 由椭圆可知124AF AF +=，1223FF =因为四边形12AF BF 为矩形， 所以222121212AF AF F F +==，所以()()222121212216124AF AF AF AF AF AF =+-+=-=，所以()22221121221248AF AF AF AF AF AF -=+-=-=，所以2122AF AF -=2a =3c =所以2C 的离心率6c e a ==.故选D. 10.设a b ∈，R ，定义运算“∧”和“∨”如下：,,a a b a b b a b ⎧∧=⎨>⎩，,,b a ba b a a b ⎧∨=⎨>⎩若正数,,,a b c d 满足4ab ，4c d +，则（ ）.A. 2a b ∧，2c d ∧B. 2a b ∧，2c d ∨C. 2a b ∨，2c d ∧D. 2a b ∨，2c d ∨ 分析 理解所给符号后，再作出判断.解析 根据题意知，a b ∧表示,a b 中较小的，a b ∨表示,a b 中较大的.因为242a b ab +⎛⎫⎪⎝⎭≥≥，所以4a b +≥.又因为,a b 为正数，所以,a b 中至少有一个大于或等于2，所以2a b ∨≥.结束开始因为4c d +≤，,c d 为正数，所以,c d 中至少有一个小于或等于2，所以2c b ∧≤.故选C.非选择题部分（共100分）二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11. 已知函数()f x =()3fa =，则实数a =____________.分析 直接代入求解.解析 因为()3f a =，所以19a -=，即10a =.12. 从3男3女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于_____. 分析 分别列出所有的选法和都是女生的选法，利用古典概型概率公式计算概率.解析 用,,A B C 表示三名男同学，用,,a b c 表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为：,,,,,,,,,,,,,AB AC Aa Ab Ac BC Ba Bc Ca Cb Cc ab ac bc ，共15种选法，其中都是女同学的选法有3种，即,,ab ac bc ，故所求概率为31155=. 13. 直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________. 分析 先求弦心距，再求弦长.解析 圆的方程可化为()()2234=25x y -+-，故圆心为()3,4，半径5r =.又直线方程为230x y -+=，所以圆心到直线的距离为d ==所以弦长为2===.14. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________.分析 可依次求出1,2,3,4k =时S 的值，直接得出结果，也可先求出S 的表达式， 再求出4k =时S 的值.解析 方法一：根据程序框图可知，当1k =时，131122S =+=⨯；当2k =时，3152233S =+=⨯；当3k =时，5173344S =+=⨯；当4k =时， 7194455S =+=⨯，此时54k =，所以95S =.方法二：由程序框图可知，()111111111111111212231223111S k k k k k k =++++=+-+-++-=+-=-⨯⨯++++， 当4k =时，192415S =-=+. 当54k =时，输出95S =.15. 设y kx z +=，其中实数y x ,满足2240240x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩，若z 的最大值为12，则实数=k ________.分析 画出可行域，对y kx z =-+的斜率进行讨论确定出最优解，代入最大值即可求出k 的值. 解析 作出可行域如图中阴影所示，由图可知，当102k-≤时， 直线y kx z =-+经过点()4,4M 时z 最大，所以4412k +=，解得2k =（舍去）；当12k -≥时， 直线y kx z =-+经过点()0,2N 时z 最大，所以2312k +=，解得92k =（舍去）； 当0k-时，直线y kx z =-+经过点()4,4M 时z 最大，所以4412k +=，解得2k =，符合.综上可知，2k =.16. 设a b ∈，R ，若0x 时恒有()243201x x ax bx -++-，则ab 等于______________.分析 先取x 的几个特殊值，看能得到什么具体的结果，再根据条件推导.解析 因为0x ≥时恒有()243201x x ax b x -++-≤≤，当0x =时，可得01b ≤≤；当1x =时，可得0a b +=，所以a b =-，所以10a -≤≤.由0x ≥时恒有()243201x x ax b x -++-≤≤，得3221ax b x x +-+≤，所以()()3221ax a x x x ----≤，所以()()()2111a x x x x ----≤，所以当1x 时，有21a x x --≤恒成立，所以1a -≤.综上可知，1a =-，所以21ab a =-=-.17. 设12,e e 为单位向量，非零向量12,,x y x y =+∈R b ee ，若12,e e 的夹角为30，则||||x b 的最大值等于________. 分析 为了便于计算可先求2x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭b 的范围，再求xb 的最值.4解析 根据题意，得()()()1222222212122x x x x y xy x y ⎛⎫=== ⎪ ⎪++⋅+⎝⎭b e e e e e e22222cos 6x x y xy =π++21124y x x x ==⎛++ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为211244y x ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭≥，所以24x ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭≤b ，所以02x ≤b.故x b的最大值为2.三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 18. 在锐角ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且2sin a B =.（1）求角A 的大小；（2）若6a =，8b c +=，求ABC △的面积.分析（1）利用已知条件和正弦定理可求出sin A ，进而求出A ；（2）利用余弦定理求出bc ，再用面积公式求面积.解析（1）由2sin a B =及正弦定理sin sin ab A B =，得sin A =.因为A 是锐角，所以3A π=. （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2236b c bc +-=. 又8b c +=，所以283bc =. 由三角形面积公式1sin 2S bc A =，得ABC △的面积为12823⨯=. 19. 在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列. （1）求d ，n a ；（2）若0d <，求123 .n a a a a +++⋯+分析 （1）用1,a d 把23,a a 表示出来，利用123,22,5a a a +成等比数列列方程即可解出d ，进而根据等差数列的通项公式写出n a .（2）根据（1）及0d 确定数列的通项公式，确定n a 的符号，以去掉绝对值符号，这需要对n 的取值范围进行分类讨论.解析（1）由题意得，()2132522a a a ⋅=+，由110a =，{}n a 为公差为d 的等差数列得，2340d d --=，解得1d =-或4d =.所以()*11n a n n =-+∈N 或()*46n a n n =+∈N .设数列{}n a 的前n 项和为n S .因为0d，由（1）得1d =-，11n a n =-+，所以当11n ≤时，123n a a a a ++++=212122n S n n =-+；当12n ≥时，212311121211022n n a a a a S S n n ++++=-+=-+. 综上所述，123n a a a a ++++ 22121,11,22121110,12.22n n n n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≥ 20. 如图所示，在在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，2AB BC ==，7AD CD ==PA =3120ABC ∠=，G 为线段PC 上的点.（1）证明：BD ⊥平面APC ；（2）若G 是PC 的中点，求DG 与APC 所成的角的正切值； （3）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PGGC的值. 分析（1）只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可； （2）利用线面垂直找到线面角，通过解三角形求解； （3）利用线面垂直得到线线垂直，通过三角形求解.解析（1）设点O 为,AC BD 的交点.由AB BC =，AD CD =，得BD 是线段AC 的中垂线，所以O 为AC 的中点，BD AC ⊥.又因为PA ABCD ⊥平面，BD ABCD ⊂平面， 所以PA BD ⊥.所以BD APC ⊥平面.（2）连接OG .由（1）可知，OD APC ⊥平面，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以OGD ∠是DG 与平面APC 所成的角. 由题意得1322OG PA ==. 在ABC △中，2212cos 44222232AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以132OC AC ==. 在直角OCD △中，22732OD CD OC -=-=. 在直角OGD △中，43tan 3OD OGD OG ∠==. GOBA DP所以DG 与平面APC所成的角的正切值为3. （3）因为PC BGD ⊥，OG BGD ⊂平面，所以PC DG ⊥. 在直角PAC △中，PC =所以AC OC GC PC ⋅===从而5PG =，所以32PG GC =. 21.已知a ∈R ，函数()()322316f x x a x ax =-++.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()22f ，处的切线方程； （2）若1a >，求()f x 在闭区间[]0|2|a ，上的最小值.分析 （1）切点处的导数即为切线的斜率，求导后算出斜率，写出切线方程即可.（2）要确定()f x 的最小值，因为()f x 的最值是由其单调性决定的，所以要先利用导数确定()f x 的单调性，再确定极值和区间端点的函数值.由于所给区间中含有绝对值，因此要分类讨论.解析 （1）当1a =时，()26126f x x x '=-+，所以()26f '=.又因为()24f =，所以切线方程为()462y x -=-，即680x y --=.（2）记()g a 为()f x 在闭区间0,2a ⎡⎤⎣⎦上的最小值.()()26616f x x a x a '=-++ ()()61x x a =--.令()0f x '=，得121,x x a ==.比较()00f =和()()23f a a a =-的大小可得()()20,13,3, 3.a g a a a a⎧⎪=⎨-⎪⎩≤x()0,11()1,2a -2a -()f x '-+()f x0 单调递减极小值31a -单调递增322824a a --得()31g a a =-.综上所述，()f x 在闭区间0,2a ⎡⎤⎣⎦上的最小值为()()231,1,0,13,3, 3.a a g a a a a a ⎧--⎪=⎨⎪-⎩≤22. 已知抛物线C 的顶点为()00O ， ，焦点()0,1F . （1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作直线交抛物线于,A B 两点，若直线,AO BO 分别交直线l ：2y x =- 于,M N 两点， 求MN 的最小值.分析（1）根据条件和抛物线的标准方程，可直接求出；（2）根据直线方程及抛物线方程写出MN 长度的解析式，再根据求出的解析式选择适当的方法求最值. 解析（1）由题意可设抛物线C 的方程为()220x py p=，则12p=， 所以抛物线C 的方程为24x y =. （2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+.由21,4y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y ，整理得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-.从而21241x x k -=+由11,2,y y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得点M 的横坐标1121111122844M x x x x x y x x ===---.同理，点N 的横坐标284N x x =-.所以284M NMN xx=-=--43k==-. 令43,0k t t-=≠，则34tk+=.当0t时，22MN =.当0t时，MN=综上所述，当253t=-，即43k=-时，MN。
