2019年北京中考数学习题精选：分类讨论思想(含参考答案)

专题20 分类讨论思想在压轴题中的应用分类讨论思想是一个非常重要的数学思想，在中考数学压轴题中考查频繁，例如在解决中考压轴题中的存在性问题时，要用到分类讨论思想：1.在解决等腰三角形存在性问题时，需要讨论腰和底的多种情况；2.在解决直角三角形存在性问题时，需要对直角的情况进行讨论；3.在解决平行四边形和矩形、菱形、正方形的存在性时，需要对邻边或对边的情况进行讨论；4.在解决相似三角形存在性问题时，需要对对应边和对应角进行分类讨论；5.压轴题中其他的问题，例如线段的数量和位置关系等，有时也需要进行分类讨论。

（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()1,0A -，()5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M 从点B BC 向点C 运动，点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动，点M ，N 同时出发．设运动时间为t 秒（05t <<）．当t 为何值时，BMN V 的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P 是抛物线上一点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．（1）用待定系数法可求得二次函数的表达式为；（2）过点M 作ME x ⊥轴于点E ，设BMN V 面积为S ，由ON t =，BM =，可得5BN t =-，45ME BMsin t =︒==，即得()21115255()22228S BN ME t t t =⋅=-⋅=--+，由二次函数性质可得当52t =秒时，BMN V 的面积最大，求得其最大面积；（3）由()5,0B ，()0,5C 得直线BC 解析式为5y x =-+，设(),5Q m m -+，()2,45P n n n -++，分三种情况进行讨论求解．【答案】(1)245y x x =-++(2)当52t =时，BMN V 的面积最大，最大面积是258(3)存在，Q 的坐标为()7,12-或()7,2-或()1,4或()2,3【详解】（1）将点()1,0A -，()5,0B 代入2y x bx c =-++中，得010255b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解这个方程组得45b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为245y x x =-++；（2）过点M 作ME x ⊥轴于点E ，如图：设BMN V 面积为S ，根据题意得：ON t =，BM =．()5,0B ，5BN t ∴=-，在245y x x =-++中，令0x =得5y =，()0,5C ∴，5OC OB ∴==，45OBC ∠∴=︒．45ME BMsin t ∴=︒==，()22111515255()2222228S BN ME t t t t t ∴=⋅=-⋅=-+=--+，05t << ，∴当52t =时，BMN V 的面积最大，最大面积是258；（3）存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由()5,0B ，()0,5C 得直线BC 解析式为5y x =-+，设(),5Q m m -+，()2,45P n n n -++，又()1,0A -，()0,5C ，①当PQ ，AC 是对角线，则PQ ，AC 的中点重合，21054505m n m n n +=-+⎧∴⎨-+-++=+⎩，解得0(m =与C 重合，舍去)或7m =-，()7,12Q ∴-；②当QA ，PC 为对角线，则QA ，PC 的中点重合，21050455m n m n n -=+⎧∴⎨-++=-+++⎩，解得0(m =舍去)或7m =，()7,2Q ∴-；③当QC ，PA 为对角线，则QC ，PA 的中点重合，20155450m n m n n +=-⎧∴⎨-++=-+++⎩，解得1m =或2m =，()1,4Q ∴或()2,3，综上所述，Q 的坐标为()7,12-或()7,2-或()1,4或()2,3．本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）已知抛物线2y x bx c =++．(1)如图①，若抛物线图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交点()0,3B -．连接AB ．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点P 是抛物线上一动点（与点A 不重合），过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与线段AB 交于点M ．是否存在点P 使得点M 是线段PH 的三等分点？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图②，直线43y x n =+与y 轴交于点C ，同时与抛物线2y x bx c =++交于点()3,0D -，以线段CD 为边作菱形CDFE ，使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE 没有交点，求b 的取值范围．（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB 的解析式，设点M (m ，m -3)点P （m ，m 2-2m -3）若点M 是线段PH 的三等分点，则13HM HP =或23HM HP =，代入求解即可；（2）先用待定系数法求出n 的值，再利用勾股定理求出CD 的长为5，因为四边形CDFE 是菱形，由此得出点E 的坐标．再根据该抛物线与线段CE 没有交点，分两种情况（CE 在抛物线内和CE 在抛物线右侧）进行讨论，求出b 的取值范围．【答案】(1)①2=23y x x --，②存在，点P 坐标为(2，-3)或（12，-154），理由见解析(2)b <32-或b >133【详解】（1）①解：把()3,0A ，()0,3B -代入2y x bx c =++，得20333b c c ⎧=++⎨-=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，∴2=23y x x --②解：存在，理由如下，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把()3,0A ， ()0,3B -代入，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为y =x -3，设点M (m ，m -3)、点P （m ，m 2-2m -3）若点M 是线段PH 的三等分点，则13HM HP =或23HM HP =，即232331m m m -=--或232332m m m -=--，解得：m =2或m =12或m =3，经检验，m =3是原方程的增根，故舍去，∴m =2或m =12∴点P 坐标为(2，-3)或（12，-154）（2）解：把点D （-3，0）代入直线43y x n =+，解得n =4，∴直线443y x =+，当x =0时，y =4，即点C （0，4）∴CD =5，∵四边形CDFE 是菱形，∴CE =EF =DF =CD =5，∴点E （5，4）∵点()3,0D -在抛物线2y x bx c =++上，∴（-3）2-3b +c =0，∴c =3b -9，∴239y b x bx =++-，∵该抛物线与线段CE 没有交点，分情况讨论当CE 在抛物线内时52+5b +3b -9<4解得：b <32-当CE 在抛物线右侧时，3b -9>4解得：b >133综上所述，b <32-或b >133此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．1．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为()8,4，OA OC ，分别落在x 轴和y 轴上，将OAB V 绕点O 逆时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到ODE V ，OD 与CB 相交于点F ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点F ，交AB 于点G ．(1)求k 的值．(2)连接FG ，则图中是否存在与FBG △相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由．(3)点M 在直线OD 上，N 是平面内一点，当四边形GFMN 是正方形时，请直接写出点N 的坐标．2．（2022·河南郑州·河南省实验中学校考模拟）在ABC V 中，AB AC =，E 为边AC 上一点，D 为直线BC 上一点，连AD 、BE ，交于点F ．(1)如图1，若60BAC ∠=︒，D 点在线段BC 上，且AE CD =，过B 作BG AD ⊥，求证：12=FG BF ；(2)如图2，若BAC BFD ∠=∠，且3BF AF =，求BD BC 的值；(3)如图3，若60BAC ∠=︒．若3BD CD =，将线段AD 绕点A 逆时针旋转到AH ，并且使得HAC ADB ∠=∠，连接BH 交AC 于P ，直接写出AC PC= ______ ．3．（2022·吉林长春·模拟）如图，在ABC V 中，5AB AC ==，6BC =．点P 从点B 出发，沿BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，同时点Q 从点C 出发，沿折线CA AB -以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A 时，点Q 停止1秒，然后继续运动．分别连接PQ 、BQ ．设点P 的运动时间为t 秒．(1)求点A 与BC 之间的距离；(2)当3BP AQ =时，求t 的值；(3)当PQB V 为钝角三角形时，求t 的取值范围；(4)点P 关于直线AB 的对称点是点D ，连接DQ ，当线段DQ 与ABC V 的某条边平行时，直接写出t 的值．4．（2022·浙江金华·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点C 的坐标为()3,4，点D 从原点O 出发沿O A B →→匀速运动，到达点B 时停止，点E 从点A 出发沿A B C →→随D 运动，且始终保持CDE COA ∠=∠．设运动时间为t ．(1)当DE OB ∥时，求证：OCD BCE △≌△．(2)若点E 在BC 边上，当CDE △为等腰三角形时，求BE 的长．(3)若点D 的运动速度为每秒1个单位，是否存在这样的t ，使得以点C ，D ，E 为顶点的三角形与OCD V 相似?若存在，直接写出所有符合条件的t ；若不存在，请说明理由．5．（2022·重庆·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c ++＝﹣交x 轴于点A 和C （1，0），交y 轴于点B （0，3），抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)将线段OE 绕着点O 沿顺时针方向旋转得到线段OE '，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接,AE BE ''，求13BE AE '+'的最小值；(3)M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022·广东佛山·校考三模）已知抛物线223(0)y ax ax a a =--<交x 轴于点A ，(B A 在B 的左侧），交y 轴于点C ．(1)求点A 的坐标；(2)若经过点A 的直线y kx k =+交抛物线于点D ．①当0k >且1a =-时AD 交线段BC 于E ，交y 轴于点F ，求ΔΔEBD CEF S S -的最大值；②当0k <且k a =时，设P 为抛物线对称轴上一动点，点Q 是抛物线上的动点，那么以A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标，若不能，请说明理由．7．（2022·广东江门·校考一模）如图，抛物线26y ax x =++的图象与直线y kx b =+有唯一交点()1,4A -．(1)求抛物线和直线的解析式；(2)若点拋物线与x 轴的交点分别为点M 、N ，抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使PA PM +的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．(3)直线y kx b =+与x 轴交于点B ，点Q 是x 轴上一动点，请你写出使QAB V 是等腰三角形的所有点Q 的横坐标．8．（2022·广东佛山·校考三模）如图1，AD 、BD 分别是ABC ∆的内角BAC ∠、ABC ∠的平分线，过点A 作AE AD ⊥，交BD 的延长线于点E ．(1)求证：12E C ∠=∠；(2)如图2，如果AE AB =，且:2:3BD DE =，求cos ABC ∠的值；(3)如果ABC ∠是锐角，且ABC ∆与ADE ∆相似，求ABC ∠的度数，并直接写出ADE ABC S S ∆∆的值．。

专题09 函数之解答题参考答案与试题解析一．解答题（共73小题）̂与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是AB̂上一动点，连接PC交弦AB 1．（2019•北京）如图，P是AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：̂上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：（1）对于点C在AB位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.360.96 1.13 2.00 2.83AD/cm0.000.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定AD的长度是自变量，PD的长度和PC的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 2.3和4cm．【答案】解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量故答案为：AD、PC、PD；（2）描点画出如图图象；（3）PC ＝2PD ，从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求， 即AD 的长度为2.3和4.0．【点睛】本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值．2．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx −1a与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P （12，−1a ），Q （2，2）．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【答案】解：（1）A （0，−1a ）点A 向右平移2个单位长度，得到点B （2，−1a ）； （2）A 与B 关于对称轴x ＝1对称， ∴抛物线对称轴x ＝1； （3）∵对称轴x ＝1， ∴b ＝﹣2a ， ∴y ＝ax 2﹣2ax −1a ， ①a ＞0时，当x ＝2时，y =−1a ＜2，当y =−1a时，x ＝0或x ＝2， ∴函数与AB 无交点； ②a ＜0时，当y ＝2时，ax 2﹣2ax −1a=2， x =a+|a+1|a 或x =a−|a+1|a 当a+|a+1|a≤2时，a ≤−12；∴当a ≤−12时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．3．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝kx +1（k ≠0）与直线x ＝k ，直线y ＝﹣k 分别交于点A ，B ，直线x ＝k 与直线y ＝﹣k 交于点C ． （1）求直线l 与y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB ，BC ，CA 围成的区域（不含边界）为W ． ①当k ＝2时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数； ②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围． 【答案】解：（1）令x ＝0，y ＝1， ∴直线l 与y 轴的交点坐标（0，1）； （2）由题意，A （k ，k 2+1），B （−k−1k，﹣k ），C （k ，﹣k ），①当k ＝2时，A （2，5），B （−32，﹣2），C （2，﹣2），在W 区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）； ②直线AB 的解析式为y ＝kx +1， 当x ＝k +1时，y ＝﹣k +1，则有k 2+2k ＝0， ∴k ＝﹣2，当0＞k ≥﹣1时，W 内没有整数点，∴当0＞k ≥﹣1或k ＝﹣2时W 内没有整数点；【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k 变化分析W 区域内整数点的情况是解题的关键．4．（2019•朝阳区校级一模）如图，半圆O的直径AB＝5cm，点M在AB上且AM＝1cm，点P是半圆O上的动点，过点B作BQ⊥PM交PM（或PM的延长线）于点Q．设PM＝xcm，BQ＝ycm．（当点P与点A 或点B重合时，y的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：x/cm1 1.52 2.53 3.54y/cm0 3.74 3.8 3.3 2.50（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PBM的面积为1时，PM的长度约为 1.1或3.7cm．【答案】解：（1）当x＝2时，PM⊥AB，此时Q与M重合，BQ＝BM＝4，当x＝4时，点P与B重合，此时BQ＝0．故答案为4；0．（2）函数图象如图所示：（3）如图，在Rt△BQM中，∵∠Q＝90°，∠MBQ＝60°，∴∠BMQ＝30°，∴BQ=12BM＝2，观察图象可知y＝2时，对应的x的值为1.1或3.7．故答案为1.1或3.7．【点睛】本题考查圆综合题，垂径定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、坐标与函数图象问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（2019•怀柔区二模）研究发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的．讲课开始时，学生的注意力激增，中间有一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤45时，图象是线段．根据图象回答问题：（1）课堂上，学生注意力保持平稳状态的时间段是10到20分钟．（2）结合函数图象回答，一道几何综合题如果需要讲25分钟，老师最好在上课后大约第4分钟到第29分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态．【答案】解：（1）由图象可知，学生注意力保持平稳状态的时间段为：10到20分钟时， 故答案为：10到20分钟．（2）当0≤x ≤10时，设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2+bx +c ， ∵图象过点（0，20），（5，39），（10，48） ∴{c =2025a +5b +c =39100a +10b +c =48 解得a =−15，b =245，c ＝20 ∴y =−15x 2+245x +20，（0≤x ≤10）． 当20≤x ≤45，设其函数解析式为y ＝kx +b 将（20，48），（45，20）代入得 {48=20k +b 20=45k +b 解得{k =−1.12b =70.4∴y ＝﹣1.12x +70.4 令y ＝39得x =2812828128−5=23128∴老师最好在上课后大约第 4分钟到第 29分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态． 故答案为4，29．【点睛】本题是一次函数，二次函数结合函数图象在实际问题中的应用，理论联系实际是解决此类问题的关键．6．（2019•朝阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A （2，0）的直线l ：y ＝mx ﹣3与y 轴交于点B ．（1）求直线l 的表达式；（2）若点C 是直线l 与双曲线y =n x的一个公共点，AB ＝3AC ，求n 的值．【答案】解：（1）∵直线l ：y ＝mx ﹣3过点A （2，0）， ∴0＝2m ﹣3． ∴m =32．∴直线l 的表达式为y =32x ﹣3；（2）当x ＝0时，y ＝﹣3， ∴点B （0，﹣3），如图1，当点C 在BA 延长线上时，作CD ⊥y 轴于点D ，则△BAO ∽△BCD ， ∴BA BC=OA CD=BO BD，即34=2CD=33+OD，解得：CD =83，OD ＝1， ∴点C （83，1），则n =83×1=83；如图2，当点C 在线段AB 上时，作CE ⊥y 轴于点E ，则△BAO ∽△BCE ， ∴BC BA=CE AO=BE BO，即23=CE 2=BE 3，解得：CE =43，BE ＝2， ∴OE ＝BO ﹣BE ＝1， ∴点C 的坐标为（43，﹣1），则n =43×（﹣1）=−43， 综上，n =83或−43．【点睛】本题主要考查直线和双曲线的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式和相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2019•西城区二模）某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y （单位：微克）与服药后的时间t （单位：小时）之间近似满足某种函数关系，如表是y 与t 的几组对应值，其部分图象如图所示． t 0 1 2 3 4 6 8 10 … y242.83210.50.25…（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t ，y ），并补全该函数的图象； （2）结合函数图象，解决下列问题：①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为 1.41 微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约 7.75 小时；②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为 4.25 微克．【答案】解：（1）如图所示：（2）①由函数图象得：某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为1.41微克；当y＝0.5时，t=14或8，8−14=7.75，∴则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约7.75小时；故答案为：1.41，7.75；②第一次服药8小时后2小时，即10小时含药量为0.25微克，第二次服药2小时含药量为4微克，所以第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为：4+0.25＝4.25微克；故答案为：4.25．【点睛】本题主要考查利用函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据坐标画出图象，解题的关键是要分析题意，并会根据图示得出所需要的信息．8．（2019•海淀区二模）有这样一个问题：探究函数y=18x2−1x的图象与性质．小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数y=18x2−1x的图象与性质进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：（1）函数y=18x2−1x的自变量x的取值范围是；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，完成以下作图步骤：①画出函数y=14x2和y=−2x的图象；②在x轴上取一点P，过点P作x轴的垂线l，分别交函数y=14x2和y=−2x的图象于点M，N，记线段MN的中点为G；③在x轴正半轴上多次改变点P的位置，用②的方法得到相应的点G，把这些点用平滑的曲线连接起来，得到函数y=18x2−1x在y轴右侧的图象．继续在x轴负半轴上多次改变点P的位置，重复上述操作得到该函数在y轴左侧的图象．（3）结合函数y=18x2−1x的图象，发现：①该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为（保留小数点后一位）；②该函数还具有的性质为：当x＞0时，y随x的增大而增大（一条即可）．【答案】解：（1）∵x在分母上，∴x≠0．故函数y=18x2−1x的自变量x的取值范围是x≠0；（2）画出该函数在y轴左侧的图象如图：（3）①点的横坐标约为﹣1.6；（在﹣1.9至﹣1.3之间即可）②该函数的其它性质：当x＞0时，y随x的增大而增大．故答案为：当x＞0时，y随x的增大而增大．【点睛】本题考查了分式有意义的条件、反比例函数的图象、二次函数的图象以及函数的最值，解题的关键是：（1）根据分母不为0，找出x的取值范围；（2）连点，画出函数图象；（3）根据函数图象，寻找函数的性质．9．（2019•丰台区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得点P在射线BC上，且∠APB=14∠ACB（0°＜∠ACB＜180°），则称P为⊙C的依附点．（1）当⊙O的半径为1时，①已知点D（﹣1，0），E（0，﹣2），F（2.5，0），在点D、E、F中，⊙O的依附点是E，F；②点T在直线y＝﹣x上，若T为⊙O的依附点，求点T的横坐标t的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点M、N，若线段MN上的所有点都是⊙C的依附点，直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．【答案】解：（1）①如图1中，根据P为⊙C的依附点，可知：当r＜OP＜3r（r为⊙C的半径）时，点P为⊙C的依附点．∵D （﹣1，0），E （0，﹣2），F （2.5，0）， ∴OD ＝1，OE ＝2，OF ＝2.5， ∴1＜OE ＜3，1＜OF ＜3， ∴点E ，F 是⊙C 的依附点， 故答案为：E 、F ；②如图2中，当点T 在第四象限，OT ′＝1时，作T ′N ⊥x 轴于N ，易知N （√22，0），OT ＝3时，作TM ⊥x 轴于M ，易知M （32√2，0）， ∴满足条件的点T 的横坐标t 的取值范围：√22＜t ＜3√22． 当点T 在第二象限时，同法可得满足条件的t 的取值范围为−3√22＜t ＜−√22， 综上所述，满足条件的t 的值的范围为：√22＜t ＜3√22或−3√22＜t ＜−√22．（2）如图3﹣1中，当点C 在点M 的右侧时，由题意M（2，0），N（0，2）当CN＝6时，OC=√CN2−ON2=4√2，此时C（4√2，0），当CM＝2时，此时C（4，0），∴满足条件的m的值的范围为4＜m＜4√2．如图3﹣2中，当点C在点M的右侧时，当⊙C与直线MN相切时，易知C′（2﹣2√2，0），当CM＝6时，C（﹣4，0），∴满足条件的m的值的范围为﹣4＜m＜2﹣2√2，综上所述，满足条件的m的值的范围为：4＜m＜4√2或﹣4＜m＜2﹣2√2．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，P为⊙C的依附点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．10．（2019•昌平区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（x＞0）的图象与直线y＝2x﹣2交于点为A（2，m）．（1）求k，m的值；（2）点B 为函数y =k x（x ＞0）的图象上的一点，直线AB 与y 轴交于点C ，当AC ＝2AB 时，求点C 的坐标．【答案】解：（1）∵直线y ＝2x ﹣2过点A （2，m ）， ∴m ＝2×2﹣2＝2 ∴A （2，2），∵y =kx （x ＞0）过点A （2，2）， ∴k ＝2×2＝4； （2）∵AC ＝2AB ， ∴B 点的横坐标为1或3，把x ＝1或3代入y =4x得，y ＝4或43，∴B （1，4），或（3，43），设直线AB 为y ＝ax +b ，把A 、B 的坐标代入求得解析式为y ＝﹣2x +6或y =−23x +103， 令x ＝0，则C （0，6）或C （0，103）．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出B 点的坐标．11．（2019•通州区三模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B （3，﹣3），C （5，0），以OC ，CB 为边作平行四边形OABC ，函数y =kx （x ＜0）的图象经过点A ． （1）求k 的值；（2）若过点A 的直线l 平行于直线OB ，且交函数y =kx （x ＜0）的图象于点D ． ①求直线l 的表达式；②定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y =k x （x ＜0）的图象在点A ，D 之间的部分与线段AD围成的区域（含边界）为W．结合函数图象，直接写出区域W内（含边界）的整点个数．【答案】解：（1）∵B（3，﹣3），C（5，0），四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC＝5，∴点A的坐标为（﹣2，﹣3），∴k＝6；（2）①设直线OB的表达式为y＝mx，由B点坐标（3，﹣3），可求m＝﹣1，∵过点A的直线l平行于直线OB，∴设直线l的表达式为y＝﹣x+b，把点A的坐标（﹣2，﹣3）代入上式并解得：b＝﹣5，故：直线l的表达式为y＝﹣x﹣5；②将函数表达式：y=6x与直线表达式：y＝﹣x﹣5联立并整理得：x2+5x+6＝0，解得：x＝﹣2或﹣3，故点D的坐标为（﹣3，﹣2），而点A（﹣2，﹣3），由图象分析可见：在点A，D之间的部分与线段AD围成的区域（含边界）为W内，只有D、A两个整点．【点睛】本题考查的是反比例函数综合应用，涉及到一次函数、一元二次方程、平行四边形的知识，综合性强、难度适中．12．（2019•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2．（1）求抛物线F的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．【答案】解：（1）由函数解析式y＝x2﹣2mx+m2﹣2，可求顶点坐标为（m，﹣2）；（2）当m≤0时，抛物线F与线段AB有公共点时，令x＝0，则m2﹣2≤2，∴﹣2≤m≤2，∴﹣2≤m≤0；当0＜m＜2时，抛物线F与线段AB有公共点时，m2﹣2＞2或m2﹣4m+2＞2，∴m＞2或m＜﹣2或m＞4或m＜0，∴m不存在；当m≥2时，抛物线F与线段AB有公共点时，令x＝2，则m2﹣4m+2≤2，∴0≤m≤4，∴2≤m≤4；综上所述：﹣2≤m≤0，2≤m≤4；【点睛】本题考查二次函数图象及性质；分情况讨论函数图象与线段的交点的存在，并将问题转化为不等式求解是关键．13．（2019•通州区三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a≠0）与y轴交于点A．（1）求点A的坐标和抛物线的对称轴；（2）过点B（0，3）作y轴的垂线l，若抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a≠0）与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且|m|＜1，结合函数的图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）y＝ax2﹣4ax+4＝a（x﹣2）2+4﹣4a．∴点A的坐标为（0，4），抛物线的对称轴为直线x＝2．（2）当a＞0时，临界位置如右图所示：将点（1，3）代入抛物线解析式得3＝a＝4a+4．a=1 3．当a＜0时，临界位置如右图所示：将点（﹣1，3）代入抛物线解析式得3＝a+4a+4．a =−15．∴a 的取值范围为a ＜−15或a ＞13．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与y 轴的交点． 14．（2019•房山区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在点A ，使得∠APC ＝30°，则称P 为⊙C 的半角关联点． 当⊙O 的半径为1时，（1）在点D （12，−12），E （2，0），F （0，2√3）中，⊙O 的半角关联点是 D ，E ；（2）直线l ：y =−√33x −2交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，若直线l 上的点P （m ，n ）是⊙O 的半角关联点，求m 的取值范围．【答案】解：（1）由题意可知在圆上存在点A 使∠ADO ＝30°和∠AEO ＝30°， ∴D ，E 是，⊙O 的半角关联点， 故答案为D ，E ；（2）由直线解析式可直接求得 M(−2√3，0)，N(0，2)，以O 为圆心，ON 长为半径画圆，交直线MN 于点G ， 可得m ≤0，设小圆⊙O 与y 轴负半轴的交点为H ， 连接OG ，HG ∵M （−2√3，0），N （0，2） ∴OM =2√3，ON ＝2， tan ∠OMN =√33∴∠OMN ＝30°，∠ONM ＝60° ∴△OGN 是等边三角形 ∴GH ⊥y 轴，∴点G 的纵坐标为﹣1，代入y =−√33x −2， 可得，横坐标为−√3， ∴m ≥−√3， ∴−√3≤m ≤0；【点睛】本题考查一次函数的综合，新定义，圆的基本概念；理解题意，结合图形，构造三角形求解；15．（2019•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+3a交于点A和点B，点A在x轴上．（1）点A的坐标为（﹣1，0）．（2）①用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；②当3√2≤AB≤5√2时，结合函数图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）令y＝0，x+1＝0，则A点坐标为（﹣1，0）；故答案为（﹣1，0）；（2）①将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3a，∴a﹣b+3a＝4a﹣b＝0，∴b＝4a，∵x=−b2a=−2；②设B（m，m+1），AB=√2(m+1)2=√2|m+1|，∵m+1＝am2+4am+3a，m+1＝a（m+1）（m+3），∵m≠﹣1，∴m=1a−3，∴AB=√2|1a−2|，∵3√2≤AB≤5√2，∴3√2≤√2|1a−2|≤5√2，∴−1≤a≤−13或17≤a≤15；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握交点坐标的含义，不等式的解法是解题的关键．16．（2019•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx(x＞0)的图象G与直线l：y＝﹣x+7交于A（1，a），B两点．（1）求k的值；（2）记图象G在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．点P在区域W内，若点P的横纵坐标都为整数，直接写出点P的坐标．【答案】解：（1）把A（1，a）代入y＝﹣x+7得，a＝﹣1+7＝6，∴A（1，6），把（1，6）代入y=kx中可得k＝6；（2）画出直线y＝﹣x+7和函数y=6x（x＞0）的图象如图：由图象可知：点P的坐标．（2，4），（3，3），（4，2）．【点睛】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，并利用数形结合的思想．17．（2019•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2的对称轴是直线x＝1．（1）用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A（0，﹣4），B（2，﹣3），若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n的值．【答案】解：（1）∵−b2a=1，∴b＝﹣2a．∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+a﹣2，当x ＝1时，y ＝a ﹣2a +a ﹣2＝﹣2， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．答：b ＝﹣2a ；抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）． （2）若a ＞0，抛物线与线段AB 没有公共点；若a ＜0，当抛物线经过点B （2，﹣3）时，它与线段Ab 恰有一个公共点， 此时﹣3＝4a ﹣4a +a ﹣2，解得a ＝﹣1． ∵抛物线与线段AB 没有公共点，∴结合函数图象可知，﹣1＜a ＜0或a ＞0．（3）抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），代入y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣2得 0＝9a ﹣6a +a ﹣2， ∴a =12，∴抛物线为y =12x 2﹣x −32，∵当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是m ≤y ≤6， 令y ＝6得：6═12x 2﹣x −32，解得x ＝﹣3（舍）或x ＝5∴由自变量的最小值为m 与函数值的最小值也为m ，由{y =12x 2−x −32y =x得x 2﹣4x ﹣3＝0，∴x ＝2+√7或x ＝2−√7＞−2，此时顶点（1，﹣2）包含在范围内，不符合要求，故舍去； 故满足条件的m ，n 的值为：m ＝2+√7，n ＝5；或m ＝﹣2，n ＝5．【点睛】本题属于二次函数压轴题，综合性较强，需要数形结合来分析，并准确利用二次函数的性质来解题．18．（2019•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴与x轴交于点P．（1）求点P的坐标（用含a的代数式表示）；（2）记函数y=−34x+94（﹣1≤x≤3）的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2a2x的对称轴是直线x=−−2a22a=a，∴点P的坐标是（a，0）；（2）由题意可知图形M为线段AB，A（﹣1，3），B（3，0）．当抛物线经过点A时，解得a=−32或a＝1；当抛物线经过点B时，解得a=3 2．……………………………………………………（3分）如图1，当a=−32时，抛物线与图形M恰有一个公共点．如图2，当a＝1时，抛物线与图形M恰有两个公共点．如图3，当a=32时，抛物线与图形M恰有两个公共点．结合函数的图象可知，当a ≤−32或0＜a ＜1或a ＞32时，抛物线与图形M 恰有一个公共点． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌二次函数图象性质是解题的关键． 19．（2019•怀柔区二模）阅读材料：1903年，英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质放出射线后，这种物质的质量将减少，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．镭的质量由m 0缩减到12m 0需1620年，由12m 0缩减到14m 0需1620年，由14m 0缩减到18m 0需1620年，即镭的质量缩减为原来的一半所用的时间是一个不变的量﹣﹣1620年，一般把1620年称为镭的半衰期．实际上，所有放射性物质都有自己的半衰期．铀的半衰期为4.5×109年，蜕变后的铀最后成为铅．科学家们测出一块岩石中现在含铀和铅的质量，便可以利用半衰期算出从原来含铀量到现在含铀量经过了多少时间，从而推算出这块岩石的年龄． 根据以上材料回答问题：（1）设开始时岩石中含有铀的质量为m 0千克，经过n 个半衰期后，剩余的铀的质量为m 1千克，下表是m 1随n 的变化情况，请补充完整：半衰期n 0 1 2 3 45… 岩石中剩余 铀的质量m 1m 012m 014m 018m 0116m 0132m 0…（2）写出矿石中剩余的铀的质量m 1与半衰期n 之间的函数关系；（3）设铀衰变后完全变成铅，如图是岩石中铅的质量m 2与半衰期n 的函数关系图象，请在同一坐标系中，利用描点法画出岩石中含铀的质量m 1与半衰期n 的函数关系图象： （4）结合函数图象，估计经过个半衰期（精确到0.1），岩石中铀铅质量相等．【答案】解：（1）剩余的铀的质量为：(12)4m0=116m0．故答案为：116m0；（2）根据题意可知：m1=m0⋅(12)n；（3）如图所示：；（4）大约经过个1.1半衰期，岩石中铀铅质量相等．【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．20．（2019•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点D的纵坐标是﹣4．（1）求点A、B的坐标；（2）设直线与直线AC 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的表达式；（3）平行于x 轴的直线b 与抛物线交于点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），与直线交于点P （x 3，y 3）．若x 1＜x 3＜x 2，结合函数图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围．【答案】解：（1）∵抛物线 y ＝mx 2+2mx ﹣3（m ＞0）的顶点D 的纵坐标是﹣4， ∴−12m−4m 24m=−4，解得m ＝1，∴y ＝x 2+2x ﹣3，令y ＝0，则 x ＝﹣3或1， ∴A （﹣3，0）B （1，0）；（2）∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为x ＝﹣1，∵点C （0，﹣3）关于抛物线的对称轴的对称点坐标是E （﹣2，﹣3），点A （﹣3，0）关于该抛物线的对称轴的对称点坐标是B （1，0）， 设直线的表达式为y ＝kx +b ，∵点E （﹣2，﹣3）和点B （1，0）在直线上 ∴{−2k +b =−3k +b =0，解得{k =1b =−1， ∴直线的表达式为y ＝x ﹣1； （3）由对称性可知 x 1+x 22=−1，∴x 1+x 2＝﹣2， ∵x 1＜x 3＜x 2，∴﹣2＜x3＜1，∴﹣4＜x1+x2+x3＜﹣1．【点睛】本题考查了抛物线和x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．21．（2019•朝阳区二模）M（﹣1，−12），N（1，−12）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．（1）在点A1(0，12)，A2(12，0)，A3(0，√2)，A4（2，2）中，线段MN的可视点为A1，A3；（2）若点B是直线y＝x+12上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．【答案】解：（1）如图1，以MN为直径的半圆交y轴于点E，以E为圆心，EM长为半径的⊙E交y轴于点F ，∵MN 是⊙G 的直径， ∴∠MA 1N ＝90°，∵M （﹣1，−12），N （1，−12） ∴MN ⊥EG ，EG ＝1，MN ＝2 ∴EM ＝EF =√2，∴∠MFN =12∠MEN ＝45°， ∵45°≤∠MPN ≤90°，∴点P 应落在⊙E 内部，且落在⊙G 外部 ∴线段MN 的可视点为A 1，A 3； 故答案为A 1，A 3；（2）如图，以（0，−12）为圆心，1为半径作圆，以（0，12）为圆心，√2为半径作圆，两圆在直线MN上方的部分与直线y =x +12分别交于点E ，F ． 过点F 作FH ⊥x 轴，过点E 作EH ⊥FH 于点H ， ∵FH ⊥x 轴， ∴FH ∥y 轴，∴∠EFH ＝∠MEG ＝45°， ∵∠EHF ＝90°，EF =√2， ∴EH ＝FH ＝1，∴E （0，12），F （1，32）．只有当点B 在线段EF 上时，满足45°≤∠MBN ≤90°，点B 是线段MN 的可视点． ∴点B 的横坐标t 的取值范围是0≤t ≤1．（3）如图，⊙G 与x 轴交于H ，与y 轴交于E ，连接GH ，OG =12，GH ＝1， ∴OH =√GH 2−OG 2=√12−(12)2=√32， ∴H （√32，0）．E （0，12） 当直线y ＝x +b （b ≠0）与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点，①直线y ＝x +b 与y 轴交点在y 负半轴上 将H （√32，0）代入y ＝x +b 得√32+b ＝0，解得b 1=−√32，将N （1，−12）代入y ＝x +b 得1+b =−12，解得b 2=−32 ∴−32＜b ≤−√32②直线y ＝x +b 与y 轴交点在y 正半轴上 将 E （0，12）代入得b =12，当直线y ＝x +b 与⊙E 相切于T 时交y 轴于Q ，连接ET ，则ET ⊥TQ ， ∵∠EQT ＝45°， ∴TQ ＝ET ＝EM =√2，∴EQ =√ET 2+TQ 2=√(√2)2+(√2)2=2 ∴OQ ＝OE +EQ =12+2=52 ∴12≤b ≤52综上所述：12≤b ≤52或−32＜b ≤−√32．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆周角、圆心角的性质，解题关键要将可视点转化为圆内点、圆上点、圆外点分别对弦的视角问题．22．（2019•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）和点A（0，﹣3），将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线C1的对称轴；（3）把抛物线C1沿x轴翻折，得到一条新抛物线C2，抛物线C2与抛物线C1组成的图象记为G，若图象G与线段AB恰有一个交点时，结合图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）∵点A（0，﹣3），将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B，∴点B的坐标为（2，2）；（2）∵抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴对称轴是直线x=−−2a2a=1；（3）当抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a过点A（0，﹣3）时，此时﹣3a＝﹣3，得a＝1，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝2时，y＜3，点B在抛物线C2下方，此时抛物线C1与线段AB一个交点，抛物线C2与线段AB 没有交点，当抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a过点（0，﹣2）时，﹣3a＝﹣2，得a=2 3，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝2时，y＝2，点B在抛物线C2上，此时抛物线C1与线段AB一个交点，抛物线C2与线段AB有一个交点，∴a 的取值范围是23＜x ≤1；同理可得，当抛物线C 2：y ＝﹣ax 2+2ax +3a 过点A （0，﹣3）或（0，﹣2）时，可以求得a ＝﹣1或a =−23， ∴a 的取值范围是﹣1≤a ＜−23，由上可得，a 的取值范围是﹣1≤a ＜−23或23＜x ≤1．【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．23．（2019•东城区二模）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx +2与双曲线y =6x的一个交点是A （m ，3）． （1）求m 和k 的值；（2）设点P 是双曲线y =6x上一点，直线AP 与x 轴交于点B ．若AB ＝3PB ，结合图象，直接写出点P 的坐标．【答案】解：（1）把点A （m ，3）的再把代入y =6x得到m ＝2， 再把A （2，3）的再把代入y ＝kx +2，3＝2k +2，解得k =12， 所以m ＝2，k =12．（2）①当点P 在第三象限时，如图1，作AE ⊥x 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，∵AE ∥PF ， ∴AE PF =AB PB=3，∴3PF=3，∴PF ＝1， ∴P （﹣6，﹣1）．②当点P 在第一象限时，如图2，作AE ⊥x 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，∵AE ∥PF ， ∴AE PF =AB PB=3，∴3PF=3，∴PF ＝1， ∴P （6，1），综上所述，满足条件的点P 坐标为（﹣6，﹣1）或（6，1）．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类退了的思想思考问题，属于中考常考题型．24．（2019•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =kx的图象经过点P （3，4）． （1）求k 的值； （2）求OP 的长；（3）直线y ＝mx （m ≠0）与反比例函数的图象有两个交点A ，B ，若AB ＞10，直接写出m 的取值范围． 【答案】解：（1）∵反比例函数y =kx 的图象经过点P （3，4）， ∴k ＝12，（2）过点P 作PE ⊥x 轴于点E ．∵点P （3，4）， ∴OE ＝3，PE ＝4．∴在Rt △EOP 中，由勾股定理可求OP ＝5；（3）由（2）可知，当A （﹣3，﹣4），B （3，4）或A （﹣4，﹣3），B （4，3）时，AB ＝10，m =43或m =34若AB ＞10，则m ＞43或0＜m ＜34．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理的应用．25．（2019•东城区二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1与y 轴交于点C ． （1）试用含m 的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1沿直线y ＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y 轴交于点D ．若m ＞0，CD ＝8，求m 的值；（3）已知A （2k ，0），B （0，k ），在（2）的条件下，当线段AB 与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1只有一个公共点时，直接写出k 的取值范围．【答案】解：（1）∵y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1＝（x ﹣m ）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（m ，﹣1）；（2）由对称性可知，点C 到直线y ＝﹣1的距离为4， ∴OC ＝3， ∴m 2﹣1＝3， ∵m ＞0， ∴m ＝2； （3）∵m ＝2，∴抛物线为y ＝x 2﹣4x +3，当抛物线经过点A （2k ，0）时，k =12或k =32； 当抛物线经过点B （0，k ）时，k ＝3；∵线段AB 与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1只有一个公共点， ∴12≤k ＜32或k ＞3．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合解题是解决本题的关键．26．（2019•西城区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+3k+6＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于﹣2且小于0，k为整数，求k的值．【答案】（1）证明：∵△＝[﹣（k﹣5）2]﹣4（3k+6）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴无论k为何值，方程总有两个实数根；（2）设方程的两个根分别是x1，x2，解方程得x=(k+5)±√(k−1)22，∴x1＝k+2，x2＝3．由题意可知﹣2＜k+2＜0，即﹣4＜k＜﹣2．∵k为整数．∴k＝﹣3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中．27．（2019•顺义区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+k与双曲线y=4x（x＞0）交于点A（1，a）．（1）求a，k的值；（2）已知直线l过点D（2，0）且平行于直线y＝kx+k，点P（m，n）（m＞3）是直线l上一动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交双曲线y=4x（x＞0）于点M、N，双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成的区域（不含边界）记为W．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝4时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点个数不超过8个，结合图象，求m的取值范围．。

P Q P Q 2019 年北京市中考数学真题复习（附答案）副标题题号 一二三总分得分一、选择题（本大题共 8 小题，共 16.0 分）1. 4 月24 日是中国航天日.1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道， 距地球最近点 439000 米，将 439000 用科学记数法表示应为（ ）A. 0.439 × 106B. 4.39 × 106C. 4.39 × 105D. 439 × 1032. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3. 正十边形的外角和为（ ） A. 180 ∘ B. 360 ∘ C. 720 ∘ D. 1440 ∘4. 在数轴上，点A ，B 在原点 O 的两侧，分别表示数 a ，2，将点 A 向右平移 1 个单位长度，得到点C ，若 CO =BO ，则 a 的值为（ ） A. −3 B. −2 C. −1 D. 1 5. 已知锐角∠AOB ，如图，（1） 在射线 OA 上取一点 C ，以点 O 为圆心，OC 长为半径作⏜，交射线 OB 于点 D ，连接 CD ；（2） 分别以点 C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交⏜于点 M ，N ；（3） 连接 OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A. ∠CO M = ∠C O D C. MN//CDB. 若O M = MN.则∠AOB = 20 ∘ D. MN = 3CD6.如果 m +n =1，那么代数式（2m + n + 1）•（m 2-n 2）的值为（）A. −3B. −1m 2−mn mC. 1D. 31 17.用三个不等式a＞b，ab＞0，a＜b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 38.某校共有200 名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分下面有四个推断：①这200 名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5 之间②这200 名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30 之间③这200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30 之间④这200 名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30 之间所有合理推断的序号是（）A.①③B.②④C. ①②③D. ①②③④二、填空题（本大题共8 小题，共16.0 分）x−19.分式x的值为0，则x 的值是．10.如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC 的面积约为cm2．（结果保留一位小数）11.在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是．（写出所有正确答案的序号）0 11 0 （4） ． x + 73 ＞x12. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB +∠PBA =° （点 A ，B ，P 是网格线交点）．13. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）k 1k 2在双曲线 y = x 上，点 A 关于 x 轴的对称点 B 在双曲线 y = x ，则 k 1+k 2 的值为 ．14. 把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图 2，图 3 所示的正方形，则图 1 中菱形的面积为 ．15. 小天想要计算一组数据 92，90，94，86，99，85 的方差 s 2，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去 90，得到一组新数据 2，0，4，-4，9，-5，记这组新数据的方差为 s 2，则 s 2 s 2（填“＞”，“=”或”＜”）16. 在矩形 ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边 AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合），对于任意矩形 ABCD ，下面四个结论中， ①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形； ④至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共 12 小题，共 68.0 分）17. 计算：|- 3|-（4-π）0+2sin60°+ 1-1{4(x−1)＜x + 218. 解不等式组：19.关于x 的方程x2-2x+2m-1=0 有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．20.如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E，F 分别在AB，AD 上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；1（2）延长EF 交CD 的延长线于点G，连接BD 交AC 于点O．若BD=4，tan G=2，求AO 的长．21.国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40 的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a.国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7 组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b.国家创新指数得分在60≤x＜70 这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c．40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d．中国的国家创新指数得分为69.5．（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第；（2）在40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是．①相比于点A，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．22.在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O 到点A，B，C的距离均等于a（a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G，∠ABC 的平分线交图形G 于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）过点D 作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF 交图形G 于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE 与图形G 的公共点个数．AB23. 小云想用 7 天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成 4 组，第 i 组有 x i 首，i =1，2，3，4；②对于第 i 组诗词，第 i 天背诵第一遍，第（i +1）天背诵第二遍，第（i +3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3，4；首． 解答下列问题：（1）填入 x 3 补全上表； （2）若 x 1=4，x 2=3，x 3=4，则 x 4 的所有可能取值为 ；（3）7 天后，小云背诵的诗词最多为首．24. 如图，P 是⏜ 与弦 AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是⏜上一动点，连接 PCAB交弦 AB 于点 D ．AB小腾根据学习函数的经验，对线段 PC ，PD ，AD 的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1） 对于点 C 在⏜上的不同位置，画图、测量，得到了线段 PC ，PD ，AD 的长度在 PC ，PD ，AD 的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2） 在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；a（3） 结合函数图象，解决问题：当 PC =2PD 时，AD 的长度约为cm ．25. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ：y =kx +1（k ≠0）与直线 x =k ，直线 y =-k 分别交于点 A ，B ，直线 x =k 与直线 y =-k 交于点 C ． （1） 求直线 l 与 y 轴的交点坐标； （2） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段 AB ，BC ，CA 围成的区域（不含边界）为 W ．①当 k =2 时，结合函数图象，求区域 W 内的整点个数； ②若区域 W 内没有整点，直接写出 k 的取值范围．26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y =ax 2+bx -1与 y 轴交于点 A ，将点 A 向右平移 2 个单位长度，得到点 B ，点 B 在抛物线上．（1） 求点 B 的坐标（用含 a 的式子表示）； （2） 求抛物线的对称轴；11（3） 已知点 P （2，-a ），Q （2，2）．若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．D E27. 已知∠AOB =30°，H 为射线 OA 上一定点，OH = 3+1，P 为射线 OB 上一点，M 为 线段 OH 上一动点，连接 PM ，满足∠OMP 为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺时针旋转 150°，得到线段 PN ，连接 ON ．（1） 依题意补全图 1； （2） 求证：∠OMP =∠OPN ；（3） 点 M 关于点 H 的对称点为 Q ，连接 QP ．写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M 总有 ON =QP ，并证明．28. 在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果 ⏜上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称⏜ 为△ABC 的中内弧．例如，图 1 中⏜ 是△ABC 的一条中内弧．D E D E（1）如图 2，在 Rt △ABC 中，AB =AC =2 2，D ，E 分别是 AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧⏜ ，并直接写出此时⏜ 的长；D ED E（2）在平面直角坐标系中，已知点 A （0，2），B （0，0），C （4t ，0）（t ＞0），在△ABC 中，D ，E 分别是 AB ，AC 的中点．1 ⏜ ①若 t =2，求△ABC 的中内弧D E 所在圆的圆心 P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧⏜ ，使得 ⏜ 所在圆的圆心 P 在△ABC 的内部或边上，D ED E直接写出t 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：将439000 用科学记数法表示为4.39×105．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.【答案】B【解析】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，所以正十边形的外角和等于360°，．故选：B．根据多边的外角和定理进行选择．本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．4.【答案】A【解析】解：∵点C 在原点的左侧，且CO=BO，∴点C 表示的数为-2，∴a=-2-1=-3．故选：A．根据CO=BO 可得点C 表示的数为-2，据此可得a=-2-1=-3．本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．5.【答案】D【解析】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A 选项正确；∵OM=ON=MN，∴△OMN 是等边三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON= ∠MON=20°，故B 选项正确；∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，∴∠OCD=∠OCM=80°，∴∠MCD=160°，又∠CMN= ∠AON=20°，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故C 选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，∴3CD＞MN，故D 选项错误；故选：D．由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．6.【答案】D【解析】解：原式= •（m+n）（m-n）= •（m+n）（m-n）=3（m+n），当m+n=1 时，原式=3．故选：D．原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7.【答案】D【解析】解：①若a＞b，ab＞0，则＜，真命题；②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；③若a＞b，＜，则ab＞0，真命题；∴组成真命题的个数为3 个；故选：D．由题意得出3 个命题，由不等式的性质再判断真假即可．本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：①解这200 名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5×97+25.5×103）÷200=25.015，一定在24.5-25.5 之间，正确；②这200 名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30 之间，正确；③这200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30 之间，正确；④这200 名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30 之间，错误．故选：C．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键．9.【答案】1【解析】解：∵分式的值为0，∴x-1=0 且x≠0，∴x=1．故答案为1．根据分式的值为零的条件得到x-1=0 且x≠0，易得x=1．本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．10.【答案】1.9【解析】解：过点C 作CD⊥AB 的延长线于点D，如图所示．经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，∴S△ABC= AB•CD=×2.2×1.7≈1.9（cm2）．故答案为：1.9．过点C 作CD⊥AB 的延长线于点D，测量出AB，CD 的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC 的面积．本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．11.【答案】①②【解析】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，故答案为：①②．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答．本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．12.【答案】45【解析】解：延长AP 交格点于D，连➓BD，则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，∴PD2+DB2=PB2，∴∠PDB=90°，∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，故答案为：45．延长AP 交格点于D，连➓BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13.【答案】0【解析】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y= 上，∴k1=ab；又∵点A 与点B 关于x 轴的对称，∴B（a，-b）∵点B 在双曲线y= 上，∴k2=-ab；∴k1+k2=ab+（-ab）=0；故答案为：0．由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y= 上，可得k1=ab，由点A 与点B 关于x 轴的对称，可得到点B 的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x 轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0 的性质．14.【答案】12【解析】解：如图1 所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，设OA=x，OB=y，由题意得：，解得：，∴AC=2OA=6，BD=2OB=4，∴菱形ABCD 的面积= AC×BD= ×6×4=12；故答案为：12．由菱形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，设OA=x，OB=y，由题意得：，解得：，得出AC=2OA=6，BD=2OB=4，即可得出菱形的面积．本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．15.【答案】=【解析】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴则s12=S02．故答案为=．根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．本题考查方差的意义：一般地设n 个数据，x 1，x2，…x n 的平均数为，则方差S2= [（x 1- ）2+（x2- ）2+…+（x n- ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．16.【答案】①②③【解析】解：①如图，∵四边形ABCD 是矩形，连➓AC，BD 交于O，过点O 直线MP 和QN，分别交AB，BC，CD，AD 于M，N，P，Q，则四边形MNPQ 是平行四边形，故当MQ∥PN，PQ∥MN，四边形MNPQ 是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形；故正确；②如图，当PM=QN 时，四边形MNPQ 是菱形，故存在无数个四边形MNPQ 是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN 时，存在无数个四边形MNPQ 是菱形；故正确；④当四边形MNPQ 是正方形时，MQ=PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM=QD，AQ=PD，∵PD=BM，∴AB=AD，∴四边形ABCD 是正方形与任意矩形ABCD 矛盾，故错误；故答案为：①②③．根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．x + 73＞x②2O本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．17. 【答案】解：原式= 【解析】3-1+2× 2 +4= 3-1+ 3+4=3+2 3．直➓利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数 幂的性质分别化简得出答案此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．{4(x−1)＜x + 2①解①得：x ＜2， 7解②得 x ＜2，7则不等式组的解集为 2＜x ＜2． 【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】解：∵关于 x 的方程 x 2-2x +2m -1=0 有实数根，∴b 2-4ac =4-4（2m -1）≥0， 解得：m ≤1， ∵m 为正整数， ∴m =1，∴x 2-2x +1=0， 则 （x -1）2=0， 解得：x 1=x 2=1． 【解析】直➓利用根的判别式得出 m 的取值范围进而解方程得出答案． 此题主要考查了根的判别式，正确得出 m 的值是解题关键． 20.【答案】（1）证明：连接 BD ，如图 1 所示：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB =AD ，AC ⊥BD ，OB =OD ， ∵BE =DF ，∴AB ：BE =AD ：DF ， ∴EF ∥BD ， ∴AC ⊥EF ；（2）解：如图 2 所示： ∵由（1）得：EF ∥BD ， ∴∠G =∠ADO ，OA 1∴tan G =tan ∠ADO =OD =2，1∴OA =D ，3 18.【答案】解： ，∵BD=4，∴OD=2，∴OA=1．【解析】（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC⊥BD，OB=OD，得出AB：BE=AD：DF，证出EF∥BD 即可得出结论；（2）由平行线的性质得出∠G=∠ADO，由三角函数得出tanG=tan∠ADO= =，得出OA= OD，由BD=4，得出OD=2，得出OA=1．本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．21.【答案】17 2.8 ①②【解析】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5 以上（含69.5）的国家有17个，∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，故答案为：17；（2）如图所示：（3）由40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为28. 万美元；故答案为：2.8；（4）由40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，①相比于点A、B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；②相比于点B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为：①②．（1）由国家创新指数得分为69.5 以上（含69.5）的国家有17 个，即可得出结果；（2）根据中国在虚线l1 的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；（3）根据40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；（4）根据40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．22.【答案】（1）证明：∵到点O 的距离等于a的所有点组成图形G，∴图象G 为△ABC 的外接圆⊙O，∵AD 平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴ ⏜= ⏜，AD CD∴AD=CD；（2）如图，∵AD=CM，AD=CD，∴CD=CM，∵DM⊥BC，∴BC 垂直平分DM，∴BC 为直径，∴∠BAC=90°，∵ ⏜= ⏜，AD CD∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE 为⊙O 的切线，∴直线DE 与图形G 的公共点个数为1．【解析】（1）利用圆的定义得到图象G 为△ABC 的外➓圆⊙O，由∠ABD=∠CBD 得到=，从而圆周角、弧、弦的关系得到AD=CD；（2）如图，证明CD=CM，则可得到BC 垂直平分DM，利用垂径定理得到BC 为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE 为⊙O 的切线，于是得到直线DE 与图形G 的公共点个数．本题考查了三角形的外➓圆与外心：三角形外➓圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定．23.【答案】4，5，6 23【解析】第1 天第2 天第3 天第4 天第5 天第6 天第7 天第1 组x1x1x1第2 组x2x2x2第3 组x3x3x3第4 组x4x4x4（2）∵每天最多背诵14 首，最少背诵4 首，∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，∴x1+x3≥8①，∵x1+x3+x4≤14②，把①代入②得，x4≤6，∴4≤x4≤6，∴x4 的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6；（3）∵每天最多背诵14 首，最少背诵4 首，∴ 由第2 天，第3 天，第4 天，第5 天得，x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，①+②+④-③得，3x2≤28，∴x2≤，∴x1+x2+x3+x4≤ +14= ，∴x1+x2+x3+x4≤23，∴7 天后，小云背诵的诗词最多为23 首，故答案为：23．（1）根据表中的规律即可得到结论；（2）根据题意列不等式即可得到结论；（3）根据题意列不等式，即可得到结论．本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．24.【答案】PC PD AD 1.59（答案不唯一）【解析】解：（1）按照变量的定义，PC 是自变量，而PD、AD 随PC 的变化而变化，故PD、AD 都是因变量，故答案为：PC、PD、AD；（2）描点画出如图图象；a a（3）PC=2PD，即PD= PC，画出y= x，交曲线AD 的值约为1.59，故答案为1.59（答案不唯一）．（1）按照变量的定义，PC 是自变量，而PD、AD 随PC 的变化而变化，故PD、AD 都是因变量，即可求解；（2）描点画出如图图象；（3）PC=2PD，即PD= PC，画出y= x，交曲线AD 的值为所求，即可求解．本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值．25.【答案】解：（1）令x=0，y=1，∴直线l 与y 轴的交点坐标（0，1）；（2）由题意，A（k，k2+1 −k−1B ，-k），C（k，-k），），（k3①当k=2 时，A（2，5），B（-2，-2），C（2，-2），在W 区域内有6 个整数点：（0，0），（0，-1），（1，0），（1，-1），（1，1），（1，2）；②直线AB 的解析式为y=kx+1，当x=k+1 时，y=-k+1，则有k2+2k=0，∴k=-2，当0＞k≥-1 时，W 内没有整数点，∴当0＞k≥-1 或k=-2 时W 内没有整数点；【解析】（1）令x=0，y=1，直线l 与y 轴的交点坐标（0，1）；（2）①当k=2 时，A（2，5），B（- ，-2），C（2，-2），在W 区域内有6 个整数点；②当x=k+1 时，y=-k+1，则有k2+2k=0，k=-2，当0＞k≥-1 时，W 内没有整数点；本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k 变化分析W 区域内整数点的情况是解题的关键．126.【答案】解：（1）A（0，- ）1点A 向右平移2 个单位长度，得到点B（2，-a）；（2）A 与B 关于对称轴x=1 对称，∴抛物线对称轴x=1；（3）∵对称轴x=1，∴b-2a，∴y=ax2-2ax-1，①a＞0 时，1当x=2 时，y=-a＜2，1当y=-a时，x=0 或x=2，∴函数与AB 无交点；②a＜0 时，1当y=2 时，2，ax -2ax-a=2a + |a + 1| a−|a + 1|x= a或x= aa + |a + 1| 1≤2时，a≤-2；当a1∴当a≤-时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点；2【解析】（1）A（0，- ）向右平移2 个单位长度，得到点B（2，- ）；（2）A 与B 关于对称轴x=1 对称；（3）①a＞0 时，当x=2 时，y=- ＜2，当y=- 时，x=0 或x=2，所以函数与AB 无交点；②a＜0 时，当y=2 时，ax2-2ax- =2，x= 或x= 当≤2时，a≤- ；本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．27.【答案】解：（1）如图1 所示为所求．（2）设∠OPM=α，∵线段PM 绕点P 顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN=150°，PM=PN∴∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-α∵∠AOB=30°∴∠OMP=180°-∠AOB-∠OPM=180°-30°-α=150°-α∴∠OMP=∠OPN（3）OP=2 时，总有ON=QP，证明如下：过点N 作NC⊥OB 于点C，过点P 作PD⊥OA 于点D，如图2∴∠NCP=∠PDM=∠PDQ=90°∵∠AOB=30°，OP=2O P 2−P D 23+1 1∴PD =2OP =1∴OD = = ∵OH = ∴DH =OH -OD =1∵∠OMP =∠OPN∴180°-∠OMP =180°-∠OPN即∠PMD =∠NPC在△PDM 与△NCP 中 ∠PDM = ∠NC P ∠PMD = ∠NPC PM = NP∴△PDM ≌△NCP （AAS ）∴PD =NC ，DM =CP设 DM =CP =x ，则 OC =OP +PC =2+x ，MH =MD +DH =x +1∵点 M 关于点 H 的对称点为 Q∴HQ =MH =x +1∴DQ =DH +HQ =1+x +1=2+x∴OC =DQ在△OCN 与△QDP 中OC = QD ∠OCN = ∠QD P = 90° N C = P D ∴△OCN ≌△QDP （SAS ） ∴ON =QP 【解析】（1） 根据题意画出图形．（2） 由旋转可得∠MPN=150°，故∠OPN=150°-∠OPM ；由∠AOB=30°和三角形内角和 180°可得∠OMP=180°-30°-∠OPM=150°-∠OPM ，得证．（3） 根据题意画出图形，以 ON=QP 为已知条件反推 OP 的长度．由（2）的结论 ∠OMP=∠OPN 联想到其补角相等，又因为旋转有PM=PN ，已具备一边一角相等，过点 N 作 NC ⊥OB 于点 C ，过点 P 作 PD ⊥OA 于点 D ，即可构造出 △PDM ≌△NCP ，进而得 PD=NC ，DM=CP ．此时加上 ON=QP ，则易证得 △OCN ≌△QDP ，所以 OC=QD ．利用∠AOB=30°，设 PD=NC=a ，则 OP=2a ， OD= a ． 再 设 DM=CP=x ， 所 以 QD=OC=OP+PC=2a+x ，MQ=DM+QD=2a+2x ．由于点 M 、Q 关于点 H 对称，即点 H 为 MQ 中点，故 MH= MQ=a+x ，DH=MH-DM=a ，所以 OH=OD+DH= a+a= +1，求得 a=1，故 OP=2．证明过程则把推理过程反过来，以 OP=2 为条件，利用构造全等证得 ON=QP ．本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和 180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以 ON=QP 为条件反推OP 的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP=2 为条件构造全等证明 ON=QP ．3{{2 2 2 D ED E 28. 【答案】解：（1）如图 2，以 DE 为直径的半圆弧⏜ ，就 是△ABC 的最长的中内弧⏜ ，连接 DE ，∵∠A =90°，AB =AC =2 2，D ，E 分别是 AB ，AC的中点，AC 1 1 ∴BC = = =4，DE = BC = ×4=2， sinB sin 45° 2 2⏜ 1 ∴弧D E =2×2π=π； （2）如图 3，由垂径定理可知，圆心一定在线段 DE 的垂直平分线上，连接 DE ，作 DE 垂直平分线 FP ，作 EG ⊥AC 交 FP 于 G ，1 1①当 t =2时，C （2，0），∴D （0，1），E （1，1），F （2，1），1设P （2，m ）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线 FP 上均可，∴m ≥1，∵OA =OC ，∠AOC =90°∴∠ACO =45°，∵DE ∥OC∴∠AED =∠ACO =45°1 作 EG ⊥AC 交直线 FP 于 G ，FG =EF =2根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点 G 的下方（含点 G ）直线 FP 上时也符合要求；1 ∴m ≤21 综上所述，m ≤2或 m ≥1．②如图 4，设圆心 P 在 AC 上，∵P 在 DE 中垂线上，3∴P 为 AE 中点，作 PM ⊥OC 于 M ，则 PM =2，3 ∴P （t ，2），∵DE ∥BC∴∠ADE =∠AOB =90°∴AE = AD 2 + D E 2= 12 + (2t )2= 4t 2 + 1，∵PD =PE ，∴∠AED =∠PDE∵∠AED +∠DAE =∠PDE +∠ADP =90°，∴∠DAE =∠ADP1 ∴AP =PD =PE =2AE由三角形中内弧定义知，PD ≤PM1 32 ∴2AE ≤2，AE ≤3，即 4t + 1≤3，解得：t ≤ ，∵t＞0∴0＜t≤ 2．【解析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE 为直径的半圆，的长即以DE 为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE 的中垂线上，①当t= 时，要注意圆心P 在DE 上方的中垂线上均符合要求，在DE 下方时必须AC 与半径PE 的夹角∠AEP 满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t 的最大值即圆心P 在AC 上时求得的t 值．此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．。

*依题意 a ≠0（二次函数有意义，细节很重要）
（1）∵抛物线与y 轴交于点A
∴令x =0，则y =a
1 -
∴A （0，a 1 -）
∵A 向右平移2个单位长度，得到点B
∴B （2，a 1 -）
（2）∵A 、B 都在抛物线上，由抛物线轴对称性 （核心性质之一） ∴对称轴：x =220+，即x =1 注意：还可以求出a b 2-=
（3）
分类讨论：对抛物线开口方向分类讨论
静态结论：对称轴x =1且顶点在对称轴上；
A 、
B 在抛物线上且对称；
Q （2，2）
； 动态结论:抛物线形状可以改变，A 、B 、P 的位置会随着抛物线的改变而改变；
P 在直线x =2
1上； A 、B 、P 在直线y =a 1 -上.且相对位置距离AB =2,AP =2
1保持不变 ①当a >0时（抛物线开口向上）
a 1 -<0，直线y =a
1 -在x 轴下方 ∴A 、B 、P 在x 轴下方
依题意作图
如图所示,不符合题意
②当a <0时（抛物线开口向下） a 1 ->0，直线y =a
1 -在x 轴上方 ∴A 、B 、P 在x 轴上方
点P 始终在抛物线内部， 若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，则需B 在Q 下方或重合 ∴当x =2时，y ≤2 代入解析式得a ≤21 -<0 综上所求a ≤21 -。

2019年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1．6-的绝对值等于（ ） A ．6B ．16C ．16-D ．6-2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（ ） A ．50.21610⨯B ．321.610⨯C ．32.1610⨯D ．42.1610⨯3．若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A ．50，20 B ．50，30 C ．50，50 D ．135，50 5．若一个多边形的内角和等于720o，则这个多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（ ） A ．15B ．25C ．12D ．357．若20x +=，则xy 的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．5D ．68．已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）2019年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷 9．在函数121y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 10．分解因式：32a ab -= ．11．如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点， 若2cm DE =，则BC = cm ．12．一组按规律排列的式子：2b a -，53b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）1012sin 45(2)3-⎛⎫+-π- ⎪⎝⎭o ．解： 14．（本小题满分5分）解不等式5122(43)x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来． 解： 15．（本小题满分5分）已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =． 求证：AC CD =．证明：16．（本小题满分5分） 如图，已知直线3y kx =-经过点M ，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标． 解：17．（本小题满分5分） 已知30x y -=，求222()2x yx y x xy y+--+g 的值． 解：四、解答题（共2道小题，共10分）CA E D BACE B y O P MO M 'MP A ．O M 'M P B ．O M 'M P C ．OM 'M PD ．18．（本小题满分5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=o，AD =BC =求DC 的长． 解： 19．（本小题满分5分）已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=o ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O e 的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．解：（1）（2）五、解答题（本题满分6分） 20．为减少环境污染，自2008年6月1有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：（2）六、解答题（共2道小题，共9分） 21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：京津城际铁路将于2019年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？ 解： 22．（本小题满分4分）已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG BC ∥交AC 于点G ．DE BC ⊥于点E ，过点G 作GF BC ⊥于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG DE GF ，，按图1所示方式折叠，点A B C ，，分别落在点A '，B '，C '处．若点A '，B '，C '在矩形DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C '''△（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．AB C DA“限塑令”实施后，使用各种（11的等边三角形），点A 2所示，请直接写出此时重叠三角形A B ''（2，若重叠三角形A B C'''存在．试用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积，并写出m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）． 解：（1）重叠三角形A'（2）用含m m 的取值范围为． 七、解答题（本题满分23．已知：关于x 0)m >． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．（1）证明： （2）解：（3）解：八、解答题（本题满分7分）24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y x =（点A 在点B的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为3个单位长度后恰好经过B C ，两点．（1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数． 解：（1）（2） （3）九、解答题（本题满分8分） 25．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=o，探究值．图1备用图备用图x小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEFαα∠=∠=<<o o，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）．解：（1）线段PG与PC的位置关系是；PGPC=．（2）2019年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名．2．第Ⅰ卷是选择题，机读阅卷．3．第Ⅱ卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．第Ⅰ卷（机读卷共32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）（非机读卷共88分）二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）三、解答题（共5道小题，共25分）13．（本小题满分5分）112sin45(2π)3-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭o2132=⨯+-····················································································4分DABEFCPG图1D CGPA BEF图22=． ··································································································· 5分14．（本小题满分5分）解：去括号，得51286x x --≤． ···································································· 1分 移项，得58612x x --+≤． ··········································································· 2分 合并，得36x -≤． ······················································································· 3分 系数化为1，得2x -≥． ················································································· 4分·············································································· 5分15．（本小题满分5分）证明：AB ED Q ∥，B E ∴∠=∠． ······························································································· 2分 在ABC △和CED △中，ABC CED ∴△≌△． ···················································································· 4分 AC CD ∴=． ······························································································· 5分 16．（本小题满分5分） 解：由图象可知，点(21)M -，在直线3y kx =-上， ·············································· 1分 解得2k =-．································································································ 2分∴直线的解析式为23y x =--． ······································································· 3分令0y =，可得32x =-． ∴直线与x 轴的交点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ······························································· 4分令0x =，可得3y =-．∴直线与y 轴的交点坐标为(03)-，． ································································· 5分 17．（本小题满分5分） 解：222()2x yx y x xy y +--+g22()()x yx y x y +=--g ························································································· 2分 2x yx y+=-． ··································································································· 3分 当30x y -=时，3x y =． ·············································································· 4分原式677322y y y y y y +===-． ··············································································· 5分四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分） 解法一：如图1，分别过点A D ，作AE BC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ． ····································· 1分 又AD BC ∥，∴四边形AEFD 是矩形．EF AD ∴== ····································· 2分CF EC EF =-=···················································································· 4分在Rt DFC △中，90DFC ∠=o，DC ∴=== ············································· 5分 解法二：如图2，过点D 作DF AB ∥，分别交AC BC ，于点E F ，． ···················· 1分90AED BAC ∴∠=∠=o ．在Rt ABC △中，90BAC ∠=o，45B ∠=o，BC =sin 4542AC BC ∴===o g ································································· 2分在Rt ADE △中，90AED ∠=o，45DAE ∠=o，AD =3CE AC AE ∴=-=． ·················································································· 4分 在Rt DEC △中，90CED ∠=o，DC ∴===． ························································· 5分 19． （本小题满分5分）解：（1）直线BD 与O e 相切． ········································································ 1分 证明：如图1，连结OD ．90C ∠=o Q ， 90CBD CDB ∴∠+∠=o ．又CBD A ∠=∠Q ，∴直线BD 与O e 相切． ·············································分（2）解法一：如图1，连结DE ． AE Q 是O e 的直径， 90ADE ∴∠=o ． 4cos 5AD A AE ∴==． ······················································································ 3分 4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ··············································································· 4分A ABCDFE图2 A BCDF E 图12解法二：如图2，过点O 作OH AD ⊥于点H ． 12AH DH AD ∴==．:8:5AD AO =Q ，4cos 5AH A AO ∴==． ··················· 3分 4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ································· 4分 52BD ∴=． ·····································································五、解答题（本题满分6分）解：（1）补全图1见下图． ·············································································· 1分 9137226311410546373003⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（个）． 这100·························· 3分 ·························· 4分 （2）图2·························· 5分 根据图表回答正确给1环保做贡献． ········································ 6分 六、解答题（共221．解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x 千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时(40)x +千米． ········································································· 1分依题意，得3061(40)602x x +=+． ···································································· 3分 解得200x =． ······························································································ 4分答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． ······························ 5分 22．解：（1）重叠三角形A B C '''． ··················································· 1分（2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''2)m -； ······················· 2分m 的取值范围为843m <≤． ··········································································· 4分七、解答题（本题满分7分）23．（1）证明：2(32)220mx m x m -+++=Q 是关于x 的一元二次方程，Q 当0m >时，2(2)0m +>，即0∆>．∴方程有两个不相等的实数根． ········································································ 2分（2）解：由求根公式，得(32)(2)2m m x m+±+=．A图1 塑料袋数／个“限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料．．购物袋的人数统计图m11x ∴=，222m x m+=． ················································································ 4分即2(0)y m m =>为所求． ······················· 5分（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出2(0)y m m=>与2(0)y m m =>的图象．····························································· 6分 由图象可得，当1m ≥时，2y m ≤． ··········· 7分 八、解答题（本题满分7分）24．解：（1）y kx =Q 沿y 轴向上平移3个单位长度后经过y 轴上的点C ， 设直线BC 的解析式为3y kx =+．(30)B Q ，在直线BC 上，解得1k =-．∴直线BC 的解析式为3y x =-+． ··································································· 1分 Q 抛物线2y x bx c =++过点B C ，，解得43b c =-⎧⎨=⎩，．∴抛物线的解析式为243y x x =-+． ······························································· 2分（2）由243y x x =-+． 可得(21)(10)D A -，，，．可得OBC △是等腰直角三角形．如图1，设抛物线对称轴与x 轴交于点F ， 过点A 作AE BC ⊥于点E ．可得BE AE ==CE =在AEC △与AFP △中，90AEC AFP ∠=∠=o，∠解得2PF =．Q 点P 在抛物线的对称轴上，∴点P 的坐标为(22)，或(22)-，．····································································· 5分 x图1 0)（3）解法一：如图2，作点(10)A ，关于y 轴的对称点A '，则(10)A '-，． 连结A C A D ''，，可得A C AC '==OCA OCA '∠=∠． 由勾股定理可得220CD =，210A D '=． 又210A C '=，A DC '∴△是等腰直角三角形，90CA D '∠=o， 即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45o． ····················分解法二：如图3，连结BD ．同解法一可得CD =AC =在Rt DBF △中，90DFB ∠=o，1BF DF ==， 在CBD △和COA △中，即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45o． ·······················九、解答题（本题满分8分）25．解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是PG PC ⊥；PGPC= ································································································· 2分 （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图，延长GP 交AD 于点H ，连结CH CG ，． P Q 是线段DF 的中点， 由题意可知AD FG ∥． Q 四边形ABCD 是菱形，由60ABC BEF ∠=∠=o，且菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，可得60GBC ∠=o．Q 四边形BEFG 是菱形，即120HCG ∠=o．PGPC ∴= ······························································································· 6分 （3）PGPC=tan(90)α-o ． ············································································· 8分 x x图3D CGPABFH。

第8课时分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二 圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5B ．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 ．6.（•威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）．（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。

｛来源｝2019年北京中考数学试卷｛适用范围:3.九年级｝｛标题｝2019年北京市中考数学试卷考试时间：120分钟满分：100分｛题型：1-选择题｝一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，合计16分.｛题目｝1.（2019年北京）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为A.0.439X106B.4.39X10®C.4.39X105D.439X103｛答案｝C｛矗析｝木题考查了用科学记数法表示较大的数.科学记数法的表示形式为。

X13的形式，其中l<H<10,〃为整数.439000=4.39X100000=4.39X105,故本题答案为C.｛分值｝2｛章节:[1-1-5-2]科学计数法｝｛考点:将一个绝对值较大的数科学计数法｝｛类别:常考题｝｛难度：1-最简单｝｛答案｝C｛解析｝本题考查了轴对称图形的识.如果一个图形沿某直线对折后，这线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.根据轴对称图形的定义可知选项C 中的图形是轴对称图形.｛分值｝2｛章节:[1-13-1-1]轴对称｝｛考点:轴对称图形｝｛类别:常考题｝｛难度：1-最简单｝｛题目｝3.（2019年北京）正十边形的外角和为（）A.180°B.360°C.720°D.1440°｛答案｝B｛解析｝本题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和都等于360°可知答案为B.｛分值｝2｛章节:[1-11-3]多边形及其内角和｝｛考点:多边形的外角和｝｛类别:常考题｝｛难度：1-最简单｝｛题目｝4.(2019年北京)在数轴上，点A,B在原点O的两侧，分别表示数a,2,将点A向右平移1个单位长度，得到点C.若CO=BO.则a的值为()A.-3B.-2C.-1D.1｛答案｝A；扬析｝本题考查了数轴及平移的性质...•点A,B在蛎点0的两侧，.••aVO.•.•C0=B0，点B表示数2,.•.点C表示数-2.•.•点A向右平移1个单位长度得到点C,.•.点A表示的数a=-2-l=-3.｛分值｝2｛章节:[1-1-2-2]数轴｝｛考点:数轴表示数｝｛类别:常考题｝｛难度：2-简单｝｛题目｝5.(2019年北京)已知锐角ZAOB.如图(1)在射线上取一点C,以点O为圆心，OC长为半径作交射线03于点D.连接CD;(2)分别以点C、。

一、选择题2019 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷参考答案1．B 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．A 二、填空题9．a(b -2)210．x2 +111．20 12．-3，-1，0，-12 3三、解答题13．证明：∵DE ∥AB∴∠CAB =∠ADE在△ABC 与△DAE 中⎧∠CAB =∠ADE⎪AB =DA⎪∠B =∠DAE∴△ADE ≌△BAC （ASA）∴BC =AE14．解：原式=1 +=5 2 - 2 ⨯2+ 4 215．解：由3x >x - 2 ，得x >-1由x +1> 2x ，得3x <15∴-1 <x <1516．代数式化简得：4x2 -12x + 9 -x2 +y2 -y2= 3x2 -12x +9= 3(x2 - 4x +3)∵x2 - 4x =1代入得∴原式=1217．设每人每小时的绿化面积为x 平方米.则有：180-180= 3 6x解得x =2.5(6 + 2)x经检验：x = 2.5 是原方程的解答：每人每小时的绿化面积为2.5 平方米18．（1）△= 4 - 4(2k - 4) = 20 -8k∵方程有两个不等的实根∴△>0即20 -8k >0∴k <52（2）∵k为整数∴0 <k <5即k =1或2，2x1、2=-1±5 -2k∵方程的根为整数，∴5 - 2k 为完全平方数当k =1时，5 - 2k =3k = 2 时，5 - 2k =1∴k =219．（1）在ABCD 中，AD∥BC∵F 是AD 中点.∴DF =1AD ，又∵CE =1BC .2 2∴DF =CE 且DF ∥CE∴四边形CEDF 为平行四边形（2）过D 作DH ⊥BE 于H在ABCD 中∵∠B =60︒∴∠DCE =60︒∵AB =4∴CD =4∴CH =2，DH = 2 3在CEDF 中，CE =DF =1AD = 3 2∴EH =1在Rt△DHE 中DE = (2 3)2 +12 =1320．（1）∵PA 、PC 与O 分别相切于点A 、C∴∠APO =∠EPD 且PA ⊥AO 即∠PAO =90︒∵∠AOP =∠EOD ，∠PAO =∠E =90︒∴∠APO =∠EDO即∠EPD =∠EDO（2）连结OC∴PA =PC =6∵tan ∠PDA =34∴在Rt△PAD 中AD = 8 ，PD =10∴CD =4∵tan ∠PDA =34∴在Rt△OCD 中，OC =OA = 3 ，OD =5∵∠EPD =∠EDO∴△OED ∽△DEP∴PD=D E=10=2 OD OE 5 1在Rt△OED 中OE2 +DE2 =52∴OE =521．（1）0.03（2）陆地面积3.6水面面积1.5图略（3）370022．（1）a（2）四个等腰直角三角形面积和为a2正方形ABCD 的面积为a2∴S正方形MNPQ =S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE= 4 ⨯1⨯12 2=2（3）2323．解：（1）当x = 0 时，y =-2 .∴A(0，-2)抛物线对称轴为x =--2m=1 2m∴B(1，0)（2）易得A 点关于对称轴的对称点为A(2 ，-2)则直线l 经过A 、B .没直线的解析式为y =kx +b⎧2k +b =-2⎩k +b = 0，解得⎧k =-2⎩b = 2∴直线的解析式为y =-2x +2（3）∵抛物线对称轴为x =1抛物体在2 <x < 3 这一段与在-1 <x < 0 这一段关于对称轴对称结合图象可以观察到抛物线在-2 <x <-1这一段位于直线l 的上方在-1 <x < 0 这一段位于直线l 的下方∴抛物线与直线l 的交点横坐标为-1 ；当x =-1时，y =-2x(-1) + 2 =+4则抛物线过点（-1，4）当x =-1时，m + 2m - 2 = 4 ，m =2∴抛物线解析为y = 2x2 - 4x - 2 .24．解：（1）30︒-1 α 2（2）△ABE 为等边三角形证明连接AD 、CD 、ED∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD则BC =BD ，∠DBC =60︒又∵∠ABE =60︒∴∠ABD = 60︒-∠DBE =∠EBC = 30︒-1α 2且△BCD 为等边三角形.在△ABD 与△ACO 中⎧AB =AC⎪AD =AD⎪BD =CD∴△ABD ≌△ACD （SSS）∴∠BAD =∠CAD =1∠BAC =1α 2 2∵∠BCE =150︒∴∠BEC =180︒- (30︒-1α)-150︒=1α 2 2在△ABD 与△EBC 中A ⎧∠BEC =∠BAD⎪∠EBC =∠ABD⎪BC =BD D∴△ABD ≌△EBC （AAS）E ∴AB =BEB C∴△ABE 为等边三角形（3）∵∠BCD = 60︒，∠BCE =150︒∴∠DCE =150︒- 60︒=90︒又∵∠DEC =45︒∴△DCE 为等腰直角三角形∴DC =CE =BC∵∠BCE =150︒∴∠EBC =(180︒ -150︒)=15︒2而∠EBC = 30︒-1α=15︒ 2∴α = 30︒25. 解：(1) ① D 、E ；② 由题意可知，若 P 点要刚好是圆 C 的关联点；需要点 P 到圆 C 的两条切线 PA 和 PB 之间所夹的角度为 60︒ ； 由图1 可知 ∠APB = 60︒ ，则 ∠CPB = 30︒ ，连接 BC ，则 PC = BCsin ∠CPB = 2BC = 2r ；∴若 P 点为圆 C 的关联点；则需点 P 到圆心的距离 d 满足 0 ≤ d ≤ 2r ； 由上述证明可知，考虑临界位置的 P 点，如图 2； P 点 P 到原点的距离 OP = 2⨯1= 2 ； 过 O 作 x 轴的垂线 OH ，垂足为 H ；t a n ∠OGF = OF = 2 3 = 3 ； AB OG 2∴ ∠OGF = 60︒ ；C ∴ OH = O G ⋅sin 60︒ = 3 ；∴ sin ∠OPH = OH = 3 ；OP 2 ∴ ∠OPH = 60︒ ； 易得点 P 1 与点 G 重合，过 P 2 作 P 2 M ⊥ x 轴于点 M ； 易得 ∠P 2 OM = 30︒ ；∴ OM = O P 2 ⋅cos30︒ = 3 ； 图1 y G (P 1) HO MF x图2从而若点 P 为圆 O 的关联点，则 P 点必在线段 P 1 P 2 上； ∴0 ≤ m ≤ 3 ； (2) 若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小， 则这个圆的圆心应在线段 EF 的中点； 考虑临界情况，如图 3；即恰好 E 、F 点为圆 K 的关联时，则 KF = 2KN = 1 EF = 2 ；2∴此时 r =1 ；y故若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，F这个圆的半径 r 的取值范围为 r ≥1.x KNE图3。

北京市2019年数学中考试题一、选择题（共14个小题，每小题4分，共56分） 1．－5的绝对值是(A) 5 (B) 15 (C) －15 (D) －52．3－2计算的结果是(A) －9 (B) －6 (C) － 19 (D) 193．计算a 3·a 4的结果是(A) a 12 (B) a (C) a 7 (D) 2a34．2019年我国发现首个世界级大气田，储量达6000亿立方米，6000亿立方米用科学记数法表示为(A) 6×102亿立方米 (B) 6×103亿立方米 (C) 6×104亿立方米 (D) 0．6×104亿立方米5．下列图形中，不是．．中心对称图形的是 (A) 菱形 (B) 矩形 (C) 正方形 (D) 等边三角形6．如果两圆的半径分别为3cm 和5cm ，圆心距为10cm ，那么这两个圆的公切线共有 (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条7．如果反比例函数y ＝kx 的图象经过点P(－2，3)，那么k 的值是(A) －6 (B) － 32 (C) － 23(D) 68．在△ABC 中,∠C=90°，如果tanA ＝512 ，那么sinB 的值等于(A) 513 (B) 1213 (C) 512 (D) 1259．如图，CA 为⊙O 的切线，切点为A ，点B 在⊙O 上，如果∠CAB ＝55o，那么∠AOB 为 (A) 55o (B) 90o (C) 110o (D) 120o10．如果圆柱的底面半径为4cm ，母线长为5cm ，那么它的侧面积等于(A) 20πcm 2 (B) 40πcm 2 (C) 20 cm 2 (D) 4 0 cm 211．如果关于x 的一元二次方程kx 2－6x ＋9＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是(A) k ＜1 (B) k ≠0 (C) k ＜1且k ≠0 (D) k ＞112．在抗击“非典”时期的“课堂在线”学习活动中，李老师从5月8日至5月14日在网ABOC第9题图· BCDA O E 第13题图上答题个数的记录如下表：在李老师每天的答题个数所组成的这组数据中，众数和中位数依次是 (A) 68，65 (B) 55，68 (C) 68，57 (D) 55，5713．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB ＝10，CD ＝8，那么AE 的长为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 514．三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间．假设水库水位匀速上升， 那么下列图象中，能正确反映这10天水位h （米）随时间t （天）变化的是二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）15．在函数y ＝x ＋3 中，自变量x 的取值范围是___________．16．如图，在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且DE ∥BC ，如果BC ＝8cm ，AD:AB ＝1:4，那么△ADE 的周长等于________cm ．17．如图，B 、C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC ＝45o ，∠ACB ＝45o，BC ＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是_______米．18．观察下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1， 9×1＋2＝11， 9×2＋3＝21， 9×3＋4＝31， 9×4＋5＝41，猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为____________________________． 三、（共3个小题，共14分） 19．（本小题满分4分）分解因式：x 2－2xy ＋y 2－9h(米) O 106 13510 （A ）t(天) t(天) h(米)O 106 13510 （B ）h(米)t(天) O 106 13510 （C ）h(米)t(天)O 10613510 （D ）A DBCE第16题图ABC第17题图计算： 1 2 ＋1－8 ＋( 3 －1)21．（本小题满分6分）用换元法解方程：x 2－3x ＋5＋6x 2－3x＝0四、（本题满分5分） 22．如图，在 ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，且AE ＝CF ．请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）． ⑴ 连结______________．⑵ 猜想：____________ ＝ ____________． ⑶ 证明：五、（本题满分6分）23．列方程或方程组解应用题：在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”； 乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”； 丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍” ． 请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少．六、（本题满分7分）24．已知：关于x 的方程x 2－2mx ＋3m ＝0的两个实数根是x 1，x 2，且(x 1－x 2)2＝16．如果关于x 的另一个方程x 2－2mx ＋6m －9＝0的两个实数根都在x 1和x 2之间，求m 的值． 七、（本题满分8分）25．已知：在△ABC 中 ，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B ＝∠CAE ，FE:FD ＝4:3． ⑴ 求证：AF ＝DF ； ⑵ 求∠AED 的余弦值；⑶ 如果BD ＝10，求△ABC 的面积．·DABCF EAFM26．已知：抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋t 与轴的一个交点为A(－1，0)．⑴ 求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；⑵ D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式； ⑶ E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5:2的点，如果点E 在⑵中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2019北京市中考数学试题答案第I 卷 （机读卷 共56分）一. 选择题（共14个小题，每小题4分，共56分）1. A2. D3. C4. B5. D6. D7.A8. B 9. C10. B 11. C 12. A 13. A 14. B第II 卷（非机读卷 共64分）二. 填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 15. x ≥-316. 617. 3018. 91109()n n n -+=-（或911011()()n n n -+=-+） 三. （共3个小题，共14分） 19. （本小题满分4分）分解因式：x xy y 2229-+- 解：x xy y 2229-+-=--()x y 29 2分=-+--()()x y x y 33 4分 20. （本小题满分4分） 计算：1218310+-+-()解：1218310+-+-()=--+212213分 =-24分21. （本小题满分6分）用换元法解方程x x x x2235630-++-= 解：设x x y 23-=，1分 则原方程化为y y++=562分解得y y 1223=-=-,3分当y =-2时，x x 232-=-解得x x 1212==,4分当y =-3时，x x 233-=-∴此方程无实数根。