2017-2018学年人教A版数学选修4-4检测：第一讲二极坐标 含解析 精品

主动成长夯基达标1.点P 的直角坐标为(-2,2)，那么它的极坐标可表示为(A.(2,4π) B.(2,43π)C.(2,45π)D.(2,47π)解析:因为点P (-2,2)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为43π,故选B.这种类型的问题是极坐标这一知识点中最基本的知识,是这一章知识的基础 答案:B2.点P (ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是( )A.(-ρ0,θ0)B.(ρ0,-θ0C.(-ρ0,-θ0)D.(-ρ0,θ0+π)解析:由ρ取负值时点的确定方法即可 答案:A3.方程ρ2cos2θ=c 2(c>0)的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析:方程ρ2cos2θ=c 2⇒ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=c 2⇒x 2-y 2=c 2 答案:C4.曲线的极坐标方程为a ρcos 2θ+bcos θ-sin θ=0(a≠0),则曲线是(A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 解析:将方程aρcos 2θ+b cos θ-sin θ=0各项都乘以ρ,aρ2cos 2θ+bρcos θ-ρsin θ=0⇒ax 2+bx -y =0⇒y =ax 2+bx ,是抛物线 答案:D 5.点P 1(2,4π),P 2(-3,-4π),则|P 1P 2|的值为(A.13B.5C.2613+D.2613-解析:应用极坐标系中两点间的距离公式 |P 1P 2|=)-θ(θρρ-+ρρ12212221cos 2(ρ1、ρ2其中P 2(3,43π),代入可得答案:A6.已知点A(-2,-2π),B(2,43π),O (0,θ),则△ABO 为( )A.正三角形B.直角三角形C.锐角等腰三角形D.等腰直角三角形 解析:点A (-2,-2π)即为A (2,2π ∴∠AOB =4π,且|OB |=2,|OA ∴△ABO为等腰直角三角形答案:D7.直线l 过点A (3,3π)、B (3,6π),则直线l 与极轴夹角等于________. 解析:如图所示,先在图形中找到直线l 与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A 、B的位置分析夹角的大小∵|AO |=|BO |=3,∠AOB =3π-6π=6π∴∠OAB =26π-π=125π ∴∠ACO =π-3π-125π=4π答案：4π8.极坐标方程ρ=θθsin cos 22+所对应的直角坐标方程为________.解析:本题考查直角坐标与极坐标之间的互化公式,⎩⎨⎧θy=ρθx=ρsin ,cos ,⎪⎩⎪⎨⎧≠+=,0,tan ,222x x y=y x ρθ将ρ、θ消去,换成字母x 、y 即可因为ρ=θθ2sin cos 22+可化为ρ=θθ2cos 1)cos 1(2-+,即ρ=θcos 12-去分母,得ρ=2+ρcos θ,将公式代入得x 2+y 2=(2+x )2,整理可得答案：y 2=4(x说明：极坐标与直角坐标的互化是重点,在解这类题时,除正确使用互化公式外,还要注意与恒等变换等知识相结合.9.已知下列各点的极坐标为A (5,3π),B (2,0),C (6,-65π),D(-4,6π),E(0,3π),画出这些点,并求出它们的直角坐标. 解:这些点如图利用公式⎩⎨⎧θy=ρθx=ρsin ,cos 即可求出它们的直角坐标为A (0,5),B (2,0),C (-33,-3),D (-23,-2),E (0,0).10.在极轴上求与点A(42,4π)距离为5的点M 的坐标. 解析:题目要求是点在极轴上,可设点M (r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A 、M 两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M 的坐标来 解:设M ∵A (42,4π∴4πcos28)24(22r r -+=5, 即r 2-解得r =1或r ∴M 点的坐标为(1,0)或在极坐标系下,任意两点P 1(ρ1,θ1),P 2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下： |P 1P 2|=)-θ(θρρ-+ρρ21212221cos 2,此式可直接利用余弦定理得证.11.舰A 在舰B 的正东6 km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4 km 处，它们围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号.A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是 1 km/s,炮弹运行的初速度是3320gkm/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A 所在地为极点建立极坐标系，求舰A 发射炮弹的极坐标.解析:先建立直角坐标系,分析出点P 在双曲线上,又在线段BC 的垂直平分线上,求出交点P 的坐标,然后求出P 、A 两点之间的距离和P A 与x 轴正向所成的角,即可确定点P 的极坐标解:对舰B 而言,A 、C 两舰位置如图所示.为方便起见,取B 所在直线为x 轴,AB 的中点O 为原点建立直角坐标系,则A 、B 、C 三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,23由于B 、C 同时发现动物信号,记动物所处位置为P ,则|PB |=|PC于是P 在BC 的中垂线l 上,易求得其方程为3x -3y +73又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB |-|P A |=4,于是知P 应在双曲线5422y x -=1的右支上直线l 与双曲线的交点P (8,53)即为动物的位置,至此问题便可获解据已知两点的斜率公式,得直线P A 的倾斜角为60°.于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|P A|=10. 所以,以舰A 所在地为极点,舰A 发射炮弹的极坐标为(10,3π).走近高考1.(经典回放)极坐标方程4ρsin 22θ=5表示的曲线是(A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解析:利用半角公式把原方程化为4ρ2cos 1θ-=5,即4ρ-4ρcos θ=10,∴4ρ=4x +10.∵ρ=,22y x +∴16(x 2+y 2)=(4x +10)2.整理,得4y 2-20x -25=0.∴为抛物线 答案:D2.(经典回放)极坐标方程4sin 2θ=3表示的曲线是(A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解析:把原极坐标方程两边都乘以ρ2,得4ρ2sin 2θ=3ρ2,即4y 2=3(x 2+y 2),即y =±3x∴所表示的曲线是两条相交直线答案:B3.(经典回放)极坐标方程ρ=cos(4π-θ)所表示的曲线是(A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解析:利用两角差余弦公式把原极坐标方程变形为ρ=cos4πcos θ+sin 4πsin θ两边同乘以ρ,得ρ2=22ρcos θ+22ρsin θ即x 2+y 2=22x +22y即为x 2+y 2-22x -22y =0表示圆答案:D4.(经典回放)已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+4π)=22,则极点到该直线的距离是________. 解析:∵ρsin(θ+4π)=22,∴ρsin θcos 4π+ρcos θsin 4π=22,即x +y =1.∴原点到直线x +y =1的距离为d =2221=答案:225.在极坐标系中,O 是极点,设点A (4,3π),B (5,-65π),则△OAB 的面积是________. 解析:如图,|OA |=4,|OB |=5,∠AOB =2π-3π-65π=65π.∴S △OAB =21×4×5×sin65π答案:5。

课堂探究探究一 极坐标系中同一个点的表示1．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了．2．点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ＞0,0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的．【例题1】在极坐标系中，下列各点中与⎝⎛⎭⎫2，π6不表示同一个点的是( ) A ．⎝⎛⎭⎫2，－116π B ．⎝⎛⎭⎫2，136π C ．⎝⎛⎭⎫2，116π D ．⎝⎛⎭⎫2，－236π 思路分析：在极坐标系中，终边相同的角可以表示为α＝2k π＋θ(k ∈Z )．极径相等、极角的终边相同的点为同一个点．解析：与极坐标⎝⎛⎭⎫2，π6相同的点可以表示为⎝⎛⎭⎫2，π6＋2k π(k ∈Z )，只有⎝⎛⎭⎫2，116π不合适． 答案：C探究二 对称问题极坐标系中的点(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )．【例题2】在极坐标系中与点A ⎝⎛⎭⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )．A ．⎝⎛⎭⎫3，2π3B ．⎝⎛⎭⎫3，π3 C ．⎝⎛⎭⎫3，4π3 D ．⎝⎛⎭⎫3，5π6 解析：与A ⎝⎛⎭⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎫3，2k π＋π3(k ∈Z )，只有B 满足．答案：B探究三 极坐标与直角坐标的互化将极坐标化为直角坐标，只需利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；已知点的直角坐标求极坐标时，关键是确定θ的值，此时要注意点在平面直角坐标系中的位置及θ的取值范围．【例题3】(1)已知点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫3，－π4，B ⎝⎛⎭⎫2，－2π3，C ⎝⎛⎭⎫32，－π，D ⎝⎛⎭⎫4，－π2，求它们的直角坐标；(2)已知点的直角坐标分别为A (3，－3)，B ⎝⎛⎭⎫0，53，C (－2,23)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．思路分析：直接利用直角坐标和极坐标的互化公式进行转化即可． 解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝⎛⎭⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝⎛⎭⎫－32，0，D (0，－4)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)， 得A ⎝⎛⎭⎫23，11π6，B ⎝⎛⎫53，π2，C ⎝⎛⎭⎫4，2π3.。

时间：45分钟满分：75分一、选择题(每小题5分，共30分)1．极坐标⎝⎛⎭⎪⎫1，2π3对应的点在以极点为坐标原点，极轴为横轴的直角坐标系的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 由题意可得ρ＝1，θ＝2π3， ∴x ＝ρcos θ＝－12，y ＝ρsin θ＝32，故它的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32在第二象限，故选B.2．已知点A ，B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，则A 和B 之间的距离为( )A. 3 B ．2 3 C ．3 D ．1 答案 A解析 由已知得|OA |＝3，|OB |＝23，∠AOB ＝π6，所以|AB |＝ 32＋(23)2－2×3×23cos π6＝ 3.3．点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4关于极点O 对称的点的一个极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π4 答案 B解析 与点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4关于极点对称的点的极坐标可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π4＋2k π(k ∈Z )，故选B.4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合 答案 A解析 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．5．已知点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6 答案 B解析 当ρ<0时，我们找它的极角应按反向延长线上去找．描点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边．又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6.直线θ＝π2，就是极角为π2的那些点的集合．故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选项中没有这样的坐标．又因为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.6．在极坐标系中，已知△OAB 的顶点A 的极坐标为(2，π)，AB 边的中点D 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π4.若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B 的直角坐标为( )A ．(32，42)B ．(－32，42)C ．(－32，－42)D ．(32，－42)答案 C解析 设顶点B 的直角坐标为(x 0，y 0)．把A ，D 两点的极坐标化为直角坐标，得A (－2，0)，D (－22，－22)，则由中点坐标公式得－2＋x 02＝－22，0＋y 02＝－22，解得x 0＝－32，y 0＝－42，故顶点B 的直角坐标为(－32，－42)．二、填空题(每小题5分，共15分)7．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．答案 (ρ，0)解析 点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y)，依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2.∴y ＝θ＝0，ρ>0，∴M(ρ，0)．8．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3 解析 如图所示，|OM|＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P 、Q ，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.9．已知点P 在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π解析 ∵点P(x ，y)在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，∴x ＝－2，且y ＝－2， ∴ρ＝x 2＋y 2＝22，又tan θ＝yx ＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝54π.因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π.三、解答题(每小题满分10分，共30分)10．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标．解 设M(r,0)， 因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以(42)2＋r 2－82r·cos π4＝5.即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以M 点的极坐标为(1,0)或(7,0)．11．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－3π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，11π6，求它们的直角坐标； (2)已知点的直角坐标分别为A(3，3)，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－53，C(－1，－3)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C(－2，－2)，D(23，－2)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3. 12．△ABC 的顶点的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫4，4π3、B ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6、C ⎝⎛⎭⎪⎫8，7π6.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． 解 ∠AOB ＝4π3－5π6＝π2， ∠BOC ＝7π6－5π6＝π3， ∠COA ＝4π3－7π6＝π6.(O 为极点)(1)|AB|＝|OA|2＋|OB|2＝42＋62＝213.|BC|＝|OB|2＋|OC|2－2|OB|·|OC|cos∠BOC＝213，|AC|＝|OA|2＋|OC|2－2|OA|·|OC|cos∠AOC＝45－2 3. 因为|AB|＝|BC|，所以△ABC是等腰三角形．(2)S△AOB＝12|OA|·|OB|＝12，S△BOC＝12|OB|·|OC|sin∠BOC＝123，S△COA＝12|OC|·|OA|sin∠COA＝8.所以S△ABC＝S△BOC＋S△COA－S△AOB＝123－4.。

第2课时极坐标和直角坐标的互化学习目标 1.了解极坐标和直角坐标互化的条件.2.掌握极坐标与直角坐标互化的公式，能进行极坐标和直角坐标间的互化.3.掌握极坐标系的简单应用．知识点极坐标和直角坐标的互化思考1 平面内的一个点M的坐标既可以用直角坐标表示也可以用极坐标表示，那么这两个坐标之间能否转化？答案可以．思考2 要进行极坐标和直角坐标的互化，两个坐标系有什么联系？答案①直角坐标的原点为极点；②x轴的正半轴为极轴；③单位长度相同．梳理互化的条件及互化公式(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式①极坐标化直角坐标：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ.②直角坐标化极坐标：⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tanθ＝yx (x ≠0).类型一 点的极坐标化直角坐标 例1 把下列点的极坐标化为直角坐标． (1)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6；(2)B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4；(3)M ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6.解 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得(1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin 7π6＝－1，∴点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝322，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－322，∴点B 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫322，－322.(3)x ＝6cos 5π6＝－33，y ＝6sin 5π6＝3，∴点M 的直角坐标为(－33，3)．反思与感悟 由极坐标化直角坐标是惟一的．由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ惟一确定．跟踪训练1 已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π2，求它们的直角坐标．解 根据x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ， 得A(－1，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C(0，－4)． 类型二 点的直角坐标化极坐标例2 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)． (1)(－2,23)；(2)(6，－2)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tanθ＝yx ＝－3，θ∈[0,2π)．由于点(－2,23)在第二象限，∴θ＝2π3.∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3.(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22，tanθ＝y x ＝－33，θ∈[0,2π)，由于点(6，－2)在第四象限， ∴θ＝11π6.∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6. (3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tanθ＝y x ＝1，θ∈[0,2π)．由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4. ∴点的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.引申探究1．若规定θ∈R ，上述点的极坐标还惟一吗？解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3＋2kπ(k ∈Z)．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6＋2kπ(k ∈Z)． (3)⎝⎛⎭⎪⎫32π2，π4＋2kπ(k ∈Z)． 极坐标不惟一．2．若点的直角坐标为(1)(0,23)，(2)(0，－2)，(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0化为极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解 结合坐标系及直角坐标的特点知， (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π2.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2.(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0. 反思与感悟 (1)将直角坐标(x ，y)化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)进行求解，先求极径，再求极角．(2)在[0,2π)范围内，由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可． 跟踪训练2 在直角坐标系中，求与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532的距离为1且与原点距离最近的点N 的极坐标．解 把点M 的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532化为极坐标，得ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－5322＝5，tanθ＝－53252＝－ 3. 因为点M 在第四象限，所以θ＝5π3＋2kπ，k ∈Z ，则点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π3＋2kπ，k ∈Z.依题意知，M ，N ，O 三点共线，则点N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π3＋2kπ，k ∈Z.类型三 极坐标与直角坐标互化的应用例3 已知A ，B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3和⎝⎛⎭⎪⎫8，4π3，求线段AB 中点的直角坐标．解 因为A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，所以x A ＝6×cos π3＝3，y A ＝6×sin π3＝33，所以A(3,33)，同理可得B(－4，－43)．设线段AB 的中点为M(m ，n)，由线段中点的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4＋32＝－12，n ＝－43＋332＝－32，所以线段AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.引申探究1．若本例条件不变，求线段AB 中点的极坐标． 解 由例3知，AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴ρ2＝x 2＋y 2＝1，∴ρ＝1.又tanθ＝y x ＝3，∴θ＝4π3，∴极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3. 2．若本例条件不变，求AB 的直线方程． 解 因为A 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，所以x A ＝6×cos π3＝3，y A ＝6×sin π3＝33，所以A(3,33)．又因为直线AB 的倾斜角为π3，故斜率k ＝3，故直线AB 的方程为y －33＝3(x －3)，即3x －y ＝0. 反思与感悟 应用点的极坐标与直角坐标互化的策略在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时，若不方便利用极坐标直接解决，可先将极坐标化为直角坐标，利用直角坐标系中的公式、性质解决，再转化为极坐标系中的问题即可．跟踪训练3 在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．解 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A(2，2)．对于B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4有ρ＝2，θ＝5π4，∴x ＝2cos 5π4＝－2，y ＝2sin 5π4＝－ 2.∴B(－2，－2)．设点C 的坐标为(x ，y)，由于△ABC 为等边三角形， 故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4.∴⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16.解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.∴点C 的坐标为(6，－6)或(－6，6)．∴ρ＝6＋6＝23，tanθ＝－66＝－1或tanθ＝6－6＝－1，∴θ＝7π4或θ＝3π4.故点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.1．将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( ) A ．(5,53) B ．(53，5) C ．(5,5) D ．(－5，－5)答案 A2．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4答案 B解析 设点P 的极坐标为(ρ，θ)， ∵ρ2＝x 2＋y 2＝4，∴ρ＝2，又tanθ＝y x ＝－1，且点P 在第二象限，∴θ＝3π4.3．若M 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6，则M 点的直角坐标是( )A ．(－3，1)B ．(－3，－1)C ．(3，－1)D ．(3，1) 答案 A解析 由公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ＝2cos 5π6＝－3，y ＝ρsinθ＝2sin 5π6＝1，∴M 点的直角坐标为(－3，1)．4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3 B.⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 答案 C解析 以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则由极坐标与直角坐标的互化公式，得 ρ＝x 2＋y 2＝12＋(－3)2＝2，tanθ＝y x ＝－31＝－ 3.∵点P 在第四象限，结合选项知，θ可以是－π3，∴点P 的极坐标可以是⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 5．已知点M 的直角坐标为(－3，－33)，若ρ>0,0≤θ<2π，则点M 的极坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3解析 ρ＝(－3)2＋(－33)2＝6， 由6cosθ＝－3，得cosθ＝－12，又0≤θ<2π，且M(－3，－33)在第三象限， ∴θ＝4π3，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3.极坐标与直角坐标的互化任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带，事实上，若ρ>0，sinθ＝y ρ，cosθ＝x ρ，所以x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，ρ2＝x 2＋y 2，tanθ＝y x(x ≠0)．一、选择题1．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π3，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－2π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－5π3答案 A2．直角坐标为(－2,2)的点M 的极坐标可以为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4 B.⎝⎛⎭⎪⎫－22，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫22，－π4答案 C解析 易知ρ＝(－2)2＋22＝22，tanθ＝2－2＝－1，因为点M 在第二象限，所以可取θ＝3π4，则点M 的极坐标可以为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4. 3．若点M 的极坐标为(5，θ)，且tanθ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为( )A ．(3,4)B ．(4,3)C ．(－4,3)D ．(－3,4) 答案 D4．点M 的直角坐标是(3，3)，则点M 的极坐标可能为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，5π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6D.⎝⎛⎭⎪⎫23，－5π6 答案 B解析 ρ＝x 2＋y 2＝23，tanθ＝y x ＝33，又θ的终边过点(3，3)，所以θ＝π6＋2kπ，k ∈Z ，所以M 的极坐标可能为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6. 5．在极坐标系中，已知△OAB 的顶点A 的极坐标为(2，π)，AB 边的中点D 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4.若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B 的直角坐标为( ) A ．(32，42) B ．(－32，42) C ．(－32，－42) D ．(32，－42)答案 C解析 设顶点B 的直角坐标为(x 0，y 0)．把A ，D 两点的极坐标化为直角坐标，得A(－2，0)，D(－22，－22)，则由中点坐标公式得－2＋x 02＝－22，0＋y 02＝－22，解得x 0＝－32，y 0＝－42，故顶点B 的直角坐标为(－32，－42)． 二、填空题6．把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－10，π6化为直角坐标为________． 答案 (－53，－5)7．已知两点的极坐标A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线AB 的倾斜角为________．答案5π6解析 点A ，B 的直角坐标分别为(0,3)，⎝⎛⎭⎪⎫332，32， 故k AB ＝32－3332－0＝－33，故直线AB 的倾斜角为5π6.8．将向量OM →＝(－1，3)绕原点逆时针旋转120°得到向量的直角坐标为________． 答案 (－1，－3)解析 由于M(－1，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，绕极点(即原点)逆时针旋转120°得到的点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3，化为直角坐标为(－1，－3)．9．在极坐标系中，O 是极点，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，2π3，则点O 到AB 所在直线的距离是________．答案125解析 点A ，B 的直角坐标分别为(23，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，则直线AB 的方程为y －2332－2＝x －23－32－23，即(4－33)x －(43＋3)y ＋24＝0，则点O 到直线AB 的距离为24(4－33)2＋[－(43＋3)]2＝125.10．在极轴上与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标为________． 答案 (1,0)或(7,0)解析 设M(r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以(42)2＋r 2－82r·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)． 三、解答题11．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标； (2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ>0,0≤θ<2π)解 (1)∵x ＝ρcosθ＝4cos 5π3＝2， y ＝ρsinθ＝4sin 5π3＝－23， ∴A 点的直角坐标为(2，－23)．(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22，tanθ＝－22＝－1，且点B 位于第四象限内， ∴θ＝7π4，∴点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y<0，∴ρ＝15，θ＝3π2. ∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2. 12．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫43，7π6. (1)求|AB|的值；(2)求△AOB 的面积(O 为极点)．解 如图所示，(1)∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以|AB|2＝32＋(43)2－2×3×43cos 5π6＝93，所以|AB|＝93.(2)S △AOB ＝12OA·OBsin∠AOB ＝12×3×43×12＝3 3. 13．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N(2,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6.判断M ，N ，P 三点是否共线？说明理由． 解 将极坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N(2,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6分别化为直角坐标，得M(1，－3)，N(2,0)，P(3，3)． 方法一 因为k MN ＝k PN ＝3，所以M ，N ，P 三点共线．方法二 因为MN →＝NP →＝(1，3)，所以MN →∥NP →，所以M ，N ，P 三点共线．四、探究与拓展14．已知点P 在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，54π 解析 ∵点P(x ，y)在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，∴x ＝－2，y ＝－2，∴ρ＝x 2＋y 2＝2 2.又tanθ＝y x ＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝54π. 因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π. 15．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π6，极点O ′在直角坐标系xOy 中的直角坐标为(2,3)，极轴平行于x 轴，极轴的方向与x 轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M 的直角坐标．解 如图所示．设M 在直角坐标系x ′O ′y ′中的坐标为(x ′，y ′)，则x ′＝ρcosθ＝4cos π6＝23，y ′＝ρsinθ＝4sin π6＝2， 又M 在原坐标系中的坐标为(x ，y)，则x ＝x ′＋2＝23＋2，y ＝y ′＋3＝5，∴点M 的直角坐标是(23＋2,5)．。

评估验收卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，π3，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，4π3 C.⎝⎛⎭⎪⎫5，－2π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫5，－5π3 解析：M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，π3＋2k π，(k ∈Z)，取k ＝－1得⎝⎛⎭⎪⎫5，－5π3.答案：D2．圆ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的圆心为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，π4 B.⎝⎛⎭⎪⎫1，34π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，74π 解析：由ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4得ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，所以x 2＋y 2＝2x －2y ，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1，圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π4. 答案：D3．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后得到的曲线方程为( )A ．y ′＝3sin x ′B ．y ′＝3sin 2x ′C ．y ′＝3sin 12x ′D ．y ′＝13sin 2x ′解析：由伸缩变换，得x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝sin 2x ，有y ′3＝sin x ′，即y ′＝3sin x ′.答案：A4．点A 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，3π4，则它的直角坐标为( )A ．(－2，2，－22)B ．(－2，2，22)C ．(－2，－2，22)D ．(2，2，－22)解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝4×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，y ＝r sin φsin θ＝4×22×22＝2，z ＝r cos φ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2 2.答案：A5．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6，知∠AOB ＝π3，所以△AOB 为等边三角形，因此|AB |＝2.6．极坐标方程4ρ·sin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线解析：由4ρ·sin 2θ2＝4ρ·1－cos θ2＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程为2x 2＋y 2－2x ＝5，化简得y 2＝5x ＋254，所以该方程表示抛物线． 答案：D7．在极坐标系中，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3且与极轴垂直的直线方程为( )A ．ρ＝－4cos θB ．ρcos θ－1＝0C ．ρsin θ＝－ 3D ．ρ＝－3sin θ解析：设M (ρ，θ)为直线上除⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3以外的任意一点，则有ρcos θ＝2·cos π3，则ρcos θ＝1，经检验⎝⎛⎭⎪⎫2，π3符合方程． 答案：B8．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2的最短距离等于( )A.2－1B.5－1 C ．1D. 2解析：将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，点Q 的直角坐标为(0，1)，则P 到Q 的最短距离为Q 与圆心的距离减去半径的长度，即2－1.9．在极坐标系中，直线ρcos θ＝1与圆ρ＝cos θ的位置关系是( )A ．相切B ．相交但直线不经过圆心C ．相离D ．相交且直线经过圆心解析：直线ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x ＝1，圆ρ＝cos θ，即ρ2＝ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－x ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14与直线x ＝1相切．答案：A10．若点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，3，则点P 到直线Oy 的距离为( )A ．1B ．2 C. 3D. 6解析：由于点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，3，故点P在平面Oxy 内的射影Q 到直线Oy 的距离为ρcos π6＝3，可得P 到直线Oy 的距离为 6.答案：D11．极坐标方程ρ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )A BC D解析：法一 圆ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4是把圆ρ＝2sin θ绕极点按顺时针方向旋转π4而得，圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，选C.法二 圆ρ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，半径为1.因此选项C 正确． 答案：C12．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝4上有3个不同的点到曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝m 的距离等于2，则m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0解析：曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝16，曲线C 2的极坐标方程化为22ρsin θ＋22ρcos θ＝m ，化为直角坐标方程为22y ＋22x ＝m ，即x ＋y －2m ＝0，由题意曲线C 1的圆心(0，0)到直线C 2的距离为2，则|－2m |12＋12＝2，故m ＝±2.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，O (0，0)，则△ABO 的形状是________________．解析：因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，所以∠BOA ＝π4，又因为|OA |＝2，|OB |＝2，所以|AB |＝2，所以∠ABO 为直角，所以△ABO 为等腰直角三角形． 答案：等腰直角三角形14．将曲线ρ2(1＋sin 2θ)＝2化为直角坐标方程为_____________． 解析：将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入ρ2＋ρ2sin 2θ＝2中得x 2＋y 2＋y 2＝2，即x22＋y 2＝1.答案：x 22＋y 2＝115．已知圆的极坐标方程为ρ2＋2ρ(cos θ＋3sin θ)＝5，则此圆被直线θ＝0截得的弦长为________．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9和y ＝0，所以弦长＝2R 2－d 2＝2×9－3＝2 6. 答案：2 616．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________．解析：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的直角坐标方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2，得a ＝22.答案：22三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线的极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，求极点到直线的距离． 解：因为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，所以ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直角坐标方程为x ＋y ＝1. 又因为极点的直角坐标为(0，0)， 所以极点到直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22.18．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径 PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知点A (3，0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且∠AOP 的平分线交PA 于点Q ，求点Q 的轨迹的极坐标方程．解：以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设P (1，2θ)，Q (ρ，θ)，则由S △OQA ＋S △OQP ＝S △OAP 得12·3ρsin θ＋12ρsin θ＝12×3×1×sin 2θ，化简得ρ＝32cos θ.所以Q 点的轨迹的极坐标方程为ρ＝32cos θ. 20．(本小题满分12分)已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，判断两曲线的位置关系．解：将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程， 得C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2. 圆心到直线的距离d ＝|1＋3＋2|12＋（3）2＝3＋32>2， 所以曲线C 1与C 2相离．21．(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2 交于不同的两点A ，B .求：(1)|AB |的值；(2)过点C (1，0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程． 解：(1)因为ρ＝2，所以x 2＋y 2＝4.又因为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以y ＝x ＋2， 所以|AB |＝2r 2－d 2＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2 2.(2)因为曲线C 2的斜率为1，所以过点(1，0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1，所以直线l 的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1，故ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.22．(本小题满分12分)从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．解：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.因为ρ0cos θ＝4，所以ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322. 知点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心、半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4.结合图形易得|RP|的最小值为1.。

更上一层楼基础·巩固1点P 的直角坐标为(-2,2)，那么它的极坐标可表示为( )A.(2,4π) B.(2,43π)C.(2,45π)D.(2,47π)思路解析：因为点P(2,2-)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为43π.故选B. 答案：B2图1-2-8是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立坐标系，说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来.图1-2-8思路分析：如图所示,以AB 所在直线为极轴,点A 为极点建立极坐标系.找AB 、AC 、AD 、AE 的距离为各点的极径,分别以x 轴为始边,AB 、AC 、AD 、AE 为终边找在0到2π之间的极角.解：教学楼点A(0,0),体育馆点B(60,0),图书馆点C(120,3π),实验楼点D(360,2π),办公楼点E(50,43π). 3已知过曲线⎩⎨⎧==θθsin 4,cos 3y x (θ为参数，且0≤θ≤π)上一点P 与原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是( )A.(3,4)B.(223,22) C.(-3,-4) D.(512,512)思路解析：因为点P 与原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，即点P 的极角θ=4π，直接代入已知曲线方程，即可求出点P 的直角坐标来. 答案：B4极坐标系中，点A 的极坐标是(3,6π)，则 (1)点A 关于极轴对称的点是_______________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标是_______________； (3)点A 关于直线θ=2π的对称点的极坐标是_______________.（规定ρ>0,θ∈［0,2π］） 思路解析：如图所示,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角的变化.另外,我们要注意：极角是以x 轴正向为始边,按照逆时针方向得到的.答案：(1)(3,611π) (2)(3,67π) (3)(3,65π) 5直线l 过点A(3,3π)、B(3,6π)，则直线l 与极轴夹角等于_______________. 思路解析：如图所示,先在图形中找到直线l 与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A 、B 的位置分析夹角的大小.∵|AO|=|BO|=3,∠AOB=3π-6π=6π, ∴∠OAB=分 π-12526πππ=-. ∴∠ACO=π-3π-125π=4π.答案：4π6极坐标方程ρ=θθ2sin cos 22+所对应的直角坐标方程为__________. 思路解析：因为ρ=θθ2sin 2cos 2+可化为ρ=θθ2cos 1)cos 2(1-+,即ρ=θcos 12-, 去分母,得ρ=2+ρcos θ.将公式代入得x 2+y 2=(2+x)2.整理可得.答案：y 2=4(x+1)7在极轴上求与点A(24,4π)距离为5的点M 的坐标_________. 思路分析：题目要求是点在极轴上,可设点M(r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A 、M两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M 的坐标来. 解：设M(r,0), ∵A(24,4π),∴4cos 28)24(22πr r -+=5, 即r 2-8r+7=0.解得r=1或r=7.∴M 点的坐标为(1,0)或(7,0).在极坐标系下,任意两点P 1(ρ1,θ1),P 2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下： |P 1P 2|=)cos(221212221θθρρρ--+,此式可直接利用余弦定理证得. 8已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A(5,6π),B(5,2π),C(34-,3π),判断△ABC 的形状，并求出它的面积.（提示：对于点M(ρ,θ)，当极径小于零时，此时M 点在极角θ终边的反向延长线上，且OM=|ρ|） 思路分析：判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.解：∵∠AOB=3π,∠BOC=65π,∠AOC=65π,又∵|OA|=|OB|=5,|OC|=34,∴由余弦定理，得|AC|2=|OA|2+|OC|2-2|OA|·|OC|·cos ∠AOC =52+(34)2-2×5×34·cos65π=133. ∴|AC|=133.同理,|BC|=133. ∴|AC|=|BC|.∴△ABC 为等腰三角形.又|AB|=|OA|=|OB|=5,∴AB 边上的高h=2313|)|21(||22=-AB AC . ∴S △ABC =21×436552313=⨯.综合·应用9二次方程x 2-ax+b=0的两根为sinθ、cosθ，求点P(a,b)的轨迹方程（其中|θ|≤4π）. 思路分析：这是一道三角函数知识与极坐标知识的综合运用题,尤其对三角要求比较高,还要注意三角函数的有界性,求出轨迹方程的限制条件. 解：由已知,得⎩⎨⎧∙=+=,cos sin ,cos sin θθθθb a .①②①2-2②,得a 2=2(b+21). ∵|θ|≤4π,由sin θ+cos θ=2sin(θ+4π),知0≤a ≤2. 由sin θ·cos θ=21sin2θ,知|b|≤21.∴P(a,b)的轨迹方程是a 2=2(b+21)（0≤a ≤2）.10舰A 在舰B 的正东6 km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4 km 处，它们围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号.A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是3320gkm/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A 所在地为极点建立极坐标系，求舰A 发射炮弹的极坐标.思路分析：先建立直角坐标系,分析出点P 在双曲线上,又在线段的垂直平分线上,求出交点P 的坐标,然后求出P 、A 两点之间的距离和PA 与x 轴正向所成的角,即可确定点P 的极坐标.解：对舰B 而言,A 、C 两舰位置如图所示.为方便起见,取B 所在直线为x 轴,AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系,则A 、B 、C 三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,32).由于B 、C 同时发现动物信号,记动物所处位置为P,则|PB|=|PC|.于是P 在BC 的中垂线l 上,此直线的倾斜角为30°,则其斜率为tan30°=33,设此直线为y=33x+b,将B,C 的中点(-4,3)代入上式,得b=337,则求得其方程为3x-3y+37=0. 又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|-|PA|=4.∴a=2.又A 、B 的坐标分别为(3,0)、(-3,0),可知c=3.∴549=-.于是知P 应在双曲线4422y x -=1的右支上.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03733,14422y x y x 得直线l 与双曲线的交点P(8,53)即为动物的位置,至此问题便可获解.据已知两点的斜率公式,得直线PA 的倾斜角为60°.于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|PA|=7525)035()38(22+=-+-=10.所以,以舰A 所在地为极点,舰A 发射炮弹的极坐标为(10,3π). 11我们已经熟悉了极点在直角坐标系的原点、极轴与x 轴正向相同的极坐标系下直角坐标与极坐标的互化,那么当极点不在坐标原点,以与x 轴平行的直线的正向为极轴时，又怎么求出点的极坐标来呢？(1)极坐标系的极点在直角坐标系的O′(-3+32,3)，极轴的方向与x 轴正向相同，两个坐标系的长度单位相同，则点P(-3,3)的极坐标是____________.(2)极点在点O′(3,5)处，极轴与y 轴正方向一致，两个坐标系的长度单位相同，求点M(9,-1)的极坐标.思路分析：不管哪种建系原则,我们只要从定义出发,就能够解决问题.需要的量是极径、极点与点P 的距离、极角,从极轴开始逆时针旋转到OP 所得到的角.解：(1)如图(1),在Rt △PAO ′中,O ′A=-3+3-（-3）=3,AP=32-3=3.则tan α=33=1,α=4π,θ=∠x ′O ′P=π+4π=45π, ρ=|O ′P|=6)332()]3()33[(22=-+--+-.在极坐标系O ′x ′中,P 点的极坐标是(6,45π).(2)利用定义求出点的极坐标.如图(2),过O ′点作O ′A ∥Ox 轴,过M 点作MA ∥Oy 轴,与O ′A 交于A 点,连结O ′M,则ρ=|O ′M|=26)51()39(22=--+-,在Rt △MAO ′中,|O ′A|=9-3=6,cos ∠AO ′M=22, ∴∠AO ′M=4π. ∴θ=23π-4π=45π.（注:极角是极轴按照逆时针方向旋转的）∴M(45,26π).12如图1-2-9所示是某防空部队进行射击训练时的示意图，以O 为极点，OA 所在直线为极轴，已知A 点坐标为(1,0)（千米），直升飞机位于D 点向目标C 发射防空导弹，D 点坐标为(35,2π)，该导弹运行与地面最大高度为3千米，相应水平距离为4千米(即图中E 点)，在地面O 、A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，tanα=289，tanβ=83，不考虑空气阻力，导弹飞行轨道为一抛物线，那么按轨道运行的导弹能否击中目标C?说明理由.图1-2-9思路分析：能否击中C 点，关键是看一下C 点是否在导弹飞行的轨迹上，需要算出它的轨迹方程来.先把极坐标化为直角坐标，然后建立直角坐标系：以地面为x 轴，以点D 向地面作的垂线为y 轴,并且求出C 点坐标，再验证该点是否满足轨迹方程.解：A 点化为(1,0)，D 点化为(0,35)，由已知E 点为(4,3), 设抛物线为y=a(x-4)2+3.由抛物线过点(0,35)，求得a=121-.所以y=121-(x-4)2+3=121-x 2+32x+35.设C 点坐标为(x 0,y 0)，过C 作CB ⊥Ox 于B ，tan α=28900=x y ,tan β=83100=-x y ,则289x 0=83(x 0-1). 解得x 0＝7，求出y 0＝49,即C 点坐标为(7,49)，经计算121-x 02+32x 0+35=121-·72+32·7+35=49.所以C 点在抛物线上.故依轨道运行的导弹可以击中目标C.。

[课时作业][A 组 基础巩固]1．点M ⎝⎛⎭⎫ρ，π4(ρ≥0)的轨迹是( ) A ．点B ．射线C ．直线D ．圆解析：由于动点M ⎝⎛⎭⎫ρ，π4的极角θ＝π4，ρ取一切非负数，故点M 的轨迹是极角为π4的终边，是一条射线，故选B.答案：B2．极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫5，5π6关于极轴所在直线的对称点的极坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫5，7π6 B.⎝⎛⎭⎫5，－π6 C.⎝⎛⎭⎫5，11π6 D.⎝⎛⎭⎫5，－11π6 解析：由于点⎝⎛⎭⎫5，5π6关于极轴所在直线的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎫5，－5π6，根据终边相同的角的概念，此点即⎝⎛⎭⎫5，7π6. 答案：A3．在极坐标系中与点A ⎝⎛⎭⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫3，2π3 B.⎝⎛⎭⎫3，π3 C.⎝⎛⎭⎫3，4π3 D.⎝⎛⎭⎫3，5π6 解析：与A ⎝⎛⎭⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎫3，2k π＋π3(k ∈Z)，只有B 满足．答案：B4．在极坐标平面内，点M ⎝⎛⎭⎫π3，200π，N ⎝⎛⎭⎫－π3，201π，G ⎝⎛⎭⎫－π3，－200π，H ⎝⎛⎭⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( )A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H解析：把极坐标化成最简形式M ⎝⎛⎭⎫π3，0，N ⎝⎛⎭⎫π3，0，G ⎝⎛⎭⎫π3，π，H ⎝⎛⎭⎫2π＋π3，0，故M ，N 是相互重合的点．答案：A5．一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P 1(－5,109°)，P 2(4,49°)，则这个三角形P 1OP 2的面积为( )A ．5 3B ．10 3 C.52 3 D ．10解析：点P 1的坐标可写为(5，－71°)，则∠P 1OP 2＝120°，S △P 1OP 2＝12×4×5sin 120°＝5 3. 答案：A6．极坐标系中，极坐标为(6,2)的点的极角为________．解析：极坐标系中，极坐标为(6,2)的点的极角为2.答案：27．关于极坐标系的下列叙述：①极轴是一条射线；②极点的极坐标是(0,0)；③点(0, 0)表示极点；④点M ⎝⎛⎭⎫4，π4与点N ⎝⎛⎭⎫4，5π4表示同一个点；⑤动点M (5，θ)(θ>0)的轨迹是以极点为圆心，半径为5的圆．其中，所有正确叙述的序号是________．解析：结合极坐标系概念可知①③⑤正确，其中，②极点的极坐标应为(0，θ)，θ为任意实数；④中点M ，N 的终边互为反方向．答案：①③⑤8．求极坐标系中A ⎝⎛⎭⎫2，3π4与B ⎝⎛⎭⎫3，7π4两点之间的距离． 解析：如图所示．∠xOB ＝7π4，∠xOA ＝3π4， |OA |＝2，|OB |＝3，由题意，A ，O ，B 三点共线，∴|AB |＝|OA |＋|OB |＝2＋3＝5.9．在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎫3，π6，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π))．解析：作出图形，可知A ⎝⎛⎭⎫3，π6关于直线θ＝π2的对称点是⎝⎛⎭⎫3，5π6.[B 组 能力提升]1．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M (ρ1，θ1)和N (ρ2，θ2)重合的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍． 答案：A2．在极坐标系中，已知点P 1⎝⎛⎭⎫6，π4，P 2⎝⎛⎭⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( ) A ．9B ．10C ．14D ．2 解析：∵∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2， ∴△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得|P 1P 2|＝OP 21＋OP 22＝62＋82＝10，故选B.答案：B3．已知极坐标系中，O 为极点，A ⎝⎛⎭⎫3，π6，OA ⊥OB ，|AB |＝5，若ρ≥0，θ∈[0,2π)，则点B 的极坐标为________．解析：设B (ρ，θ)，由OA ⊥OB ，得θ－π6＝±π2＋2k π，k ∈Z ， 即θ＝π6±π2＋2k π，k ∈Z ， 由|AB |＝5，得 ρ2＋32－2×3×ρcos (2k π±π2)＝5， 所以ρ2＝42⇒ρ＝4(因为ρ≥0)．又θ∈[0,2π)，得θ＝2π3或5π3， 所以点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，2π3或⎝⎛⎭⎫4，5π3. 答案：⎝⎛⎭⎫4，2π3或⎝⎛⎭⎫4，5π3 4．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M ⎝⎛⎭⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．解析：如下图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3.答案：⎝⎛⎭⎫7，π3或⎝⎛⎭⎫1，4π35．设点A ⎝⎛⎭⎫1，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求：(1)点A 关于极轴的对称点；(2)点A 关于直线l 的对称点；(3)点A 关于极点的对称点．(限定ρ>0，－π<θ≤π)．解析：如图所示：(1)关于极轴的对称点为B ⎝⎛⎭⎫1，－π3，(2)关于直线l 的对称点为C ⎝⎛⎭⎫1，2π3，(3)关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎫1，－2π3.。