【解析版】2014-2015学年常州市武进区九年级上期中数学试卷

九年级数学期中学业水平检测试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卷上作答，在本卷中作答无效。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。

每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正确答案的序号填入答题纸的相应表格中） 1．下列方程为一元二次方程的是A ．20-+=ax bx c (a 、b 、c 为常数) B ．()231x x x +=-C ．(2)3x x -=D ．10x x+= 2．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为 A ．2(1)6x +=B ．2(2)9x +=C ．2(1)6x -=D ．2(2)9x -=3．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是A ．k ＞14-B ．k ＞14-且0k ≠ C ．k ＜14- D ．k ≥14-且0k ≠4．一位卖“运动鞋”的经销商抽样调查了9位七年级学生的鞋号，号码分别为（单位：cm ）：24，22，21，24，23，25，24，23，24,经销商最感兴趣的是这组数据的 A ．中位数B ．众数C ．平均数D ．方差5．如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周体育锻炼时间的众数、中位数分别是A ．16、10.5B ．8、9C ．16、8.5D ．8、8.56．如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8， M 是线段AB 上一个动点，则OM 的取值范围是 A ．3≤OM ≤5 B ．3≤OM ＜5 C ．4≤OM ≤5 D ．4≤OM ＜5 7. 如图，△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于D ，∠A =50°，则∠COD 的度数是A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°(小时)(第5题图）（第5题）（第6题）（第7题）二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上）9．若关于x 的方程()2320k x x -+=是一元二次方程，则k 的取值范围是 ▲ ． 11．若n （n ≠0）是关于x 的方程x 2+mx +2n ＝0的根，则m +n 的值为 ▲ ．12．在一个不透明的口袋中，装有若干个颜色不同其余都相同的球．如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为51，那么口袋中球的总个数为 ▲ ． 13．小明等五位同学的年龄分别为：14、14、15、13、14，计算出这组数据的方差是0.4，则20年后小明等五位同学年龄的方差为 ▲ .14．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，∠ABC ＝25°，则∠CAD 的度数为 ▲ ． 15．如图，当半径为30cm 的传送带转动轮转过120︒角时，传送带上的物体A 平移的距离为 ▲ cm (结果保留π).16．如图，△ABC 内接于⊙O ，CB ＝a ，CA ＝b ，∠A －∠B ＝90°，则⊙O 的半径为 ▲ ． 17．若圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是 ▲． 18．如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°， AO ∥DC，则∠B的度数为 ▲ ．（第14题） （第15题）（第16题）（第8题）（第18题）三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 19．(本题满分8分) 解方程：（1）(2)20x x x -+-= （2）263910x x +-=20．（本题满分8分）如图，学校打算用16 m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如下图），面积是30 m 2．求生物园的长和宽．21．（本题满分8分）一只不透明的袋子中装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、-2、3、-4，搅匀后先从中摸出一个球（不放回），再从余下的3个球中摸出1个球．（1）用树状图列出所有可能出现的结果；（2）求2次摸出的乒乓球球面上数字的积为偶数的概率．22．（本题满分8分）操作题： 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB =AC ，P 是⊙O 上一点．（1）请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．，分别画出图①和图②中∠P 的平分线； （2）结合图②，说明你这样画的理由．生物园23．（本题满分10分）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．24．（本题满分10分）如图，已知P A、PB切⊙O于A、B两点，PO＝4cm，∠APB＝60°，求阴影部分的周长．25．（本题满分10分）某农户在山上种脐橙果树44株，现进入第三年收获。

江苏省常州市九年级上学期期中数学试卷（五四学制）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共6题；共12分)1. （2分）若一个三角形三边之比为3:5:7，与它相似的三角形的最长边的长为21，则最短边的长为A . 15B . 10C . 9D . 32. （2分） (2017·大冶模拟) 如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=（）A .B .C .D .3. （2分）如图，如果l1∥l2∥l3 ，则下列各式不正确的是（）A .B .C .D .4. （2分）下列四条线段中，不能成比例的是（）A . a=3，b=6，c=2，d=4B . a=1，b=， c=， d=C . a=4，b=6，c=5，d=10D . a=2，b=， c=， d=25. （2分）如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，EF是中位线，ED平分∠ADC，下面的结论：①CE平分∠BCD；②CD=AD+BC；③点E到CD的距离为 AB，其中正确结论的个数有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个6. （2分）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）A . AE⊥AFB . EF︰AF＝︰1C . AF2＝FH·FED . FB︰FC＝HB︰EC二、填空题 (共12题；共12分)7. （1分）如果，那么=________8. （1分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是________厘米．9. （1分） (2020九上·诸暨期末) 已知线段，点是它的黄金分割点，，设以为边的正方形的面积为，以为邻边的矩形的面积为，则与的关系是________.10. （1分）(2017·集宁模拟) 计算：﹣2tan60°+（﹣1）0﹣（）﹣1=________．11. （1分）如图，直线，直线m、n与这三条直线分别交于点A、B、C和点D、E、F若AB=4，BC=6,DE=3则DF的长为________．12. （1分）如图，在等腰三角形中，AB=AC，BC=4，D为BC的中点，点E、F在线段AD上，tan∠ABC=3，则阴影部分的面积是________13. （1分）如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB＝BC＝2，则∠AOB＝________°.14. （1分）(2019·上海模拟) 如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD = 2AD ，点E是边AC的中点，设，，那么 = ________.（用与来表示）15. （1分）(2017·宁波) 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B．已知AB＝500米，这名滑雪运动员的高度下降了________米（参考数据：，，）．16. （1分）(2017·泰州模拟) 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），E是AC上一个动点，始终保持∠ADE=∠B，则当△DCE为直角三角形时，BD的长为________．17. （1分） (2017八下·扬州期中) 如图，在矩形ABCD中，AB=10 , BC=5 ，若点M、N分别是线段AC、AB 上的两个动点，则BM+MN的最小值为________．18. （1分）(2017·南开模拟) 在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=0.6，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A'B'C，其中点B'正好落在AB上，A'B'与AC相交于点D，那么B′D：CD=________．三、简答题 (共4题；共29分)19. （5分）已知a+b+c=60，且，求a、b、c的值．20. （10分）(2017·松江模拟) 如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD= CD，设 = ，= ．（1）求向量（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21. （7分） (2016九下·长兴开学考) 综合题（1）如图①，在△ABC中，点D、F在AB上，点E，G在AC上，且DE∥FG∥BC，若AD=2，AE=1，DF=4，则EG=________，=________．（2）如图②，在△ABC中点D、F在AB上，点E，G在AC上，且DE∥FG∥BC，以AD，DF，FB为边构造△ADM （即AM=BF，MD=DF），以AE，EG，GC为边构造△A EN（即AN=GC，NE=EG），求证：∠M=∠N．22. （7分）(2016·济南) 在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．（一）尝试探究如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别在线段BC、CD上，∠EAF=30°，连接EF．（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出∠E′AF=________度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为________．（2）如图3，当点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．四、解答题 (共3题；共35分)23. （10分）(2019·南山模拟) 如图所示，⊙O的半径为5，点A是⊙O上一点，直线l过点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD的延长线交直线l于点F，点A是的中点．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA＝8，求PB的长．24. （10分） (2020九上·莘县期末) 如图，在直角坐标系中，直线y= x与反比例函数y= 的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是3。

江苏省常州市2014年中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题, 每小题2分, 满分16分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ）1. （2分）（2014•常州）﹣的相反数是（ ）A. B. ﹣ C. ﹣2 D. 2考点: 相反数.分析: 根据只有符号不同的两个数互为相反数, 可得一个数的相反数．解答: 解: ﹣ 的相反数是 ,故选：A.故选: A ．故选：A ．点评: 本题考查了相反数, 在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2. （2分）（2014•常州）下列运算正确的是（ ）A. a •a 3=a 3B. （ab ）3=a 3bC. （a 3）2=a 6D. a 8÷a 4=a 2考点: 同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方.分析: 根据同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方与积的乘方的知识求解即可求得答案.解答: 解: A.a •a3=a4, 故A 选项错误；B.（ab ）3=a3b3, 故B 选项错误；C.（a3）2=a6, 故C 选项正确；D 、a8÷a4=a4, 故D 选项错误．故选：C.故选: C ．故选：C ．点评: 此题考查了同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方与积的乘方等知识, 熟记法则是解题的关键．A. B. C. D.3. （2分）（2014•常州）下列立体图形中, 侧面展开图是扇形的是（）考点: 几何体的展开图.分析: 圆锥的侧面展开图是扇形.解答: 解: 根据圆锥的特征可知, 侧面展开图是扇形的是圆锥.故选B.故选B．点评: 解题时勿忘记圆锥的特征及圆锥展开图的情形.A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4. （2分）（2014•常州）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试, 每人10次射击成绩平均数均是9.2环,方差分别为S甲2=0.56, S乙2=0.60, S丙2=0.50, S丁2=0.45,则成绩最稳定的是（）考点: 方差.分析: 根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量, 方差越小, 表明这组数据分布比较集中, 各数据偏离平均数越小, 即波动越小, 数据越稳定．解答: 解；∵S甲2=0.56, S乙2=0.60, S丙2=0.50, S丁2=0.45,∴S丁2=＜S丙2＜S甲2＜S乙2,∴成绩最稳定的是丁；故选D.故选D．点评: 本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量, 方差越大, 表明这组数据偏离平均数越大, 即波动越大, 数据越不稳定；反之, 方差越小, 表明这组数据分布比较集中, 各数据偏离平均数越小, 即波动越小, 数据越稳定．5. （2分）A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离（2014•常州）已知两圆半径分别为3cm,5cm, 圆心距为7cm, 则这两圆的位置关系为（）考点: 圆与圆的位置关系.分析: 根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r, 且R≥r, 圆心距为d：外离, 则d＞R+r；外切, 则d=R+r；相交, 则R﹣r＜d＜R+r；内切, 则d=R﹣r；内含, 则d＜R﹣r．解答: 解: ∵两圆的半径分别是3cm和5cm, 圆心距为7cm,5﹣3=2, 3+5=8,∴2＜7＜8,∴两圆相交.故选A.故选A．点评: 此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d, 两圆半径R, r的数量关系间的联系是解此题的关键．6. （2分）A. 第二, 三象限B. 第一, 三象限C. 第三, 四象限D. 第二, 四象限（2014•常州）已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1,2）, 则这个函数的图象位于（）考点: 反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式. 21世纪教育网专题: 压轴题；待定系数法.分析: 先把点代入函数解析式, 求出k值, 再根据反比例函数的性质求解即可．解答: 解: 由题意得, k=﹣1×2=﹣2＜0,∴函数的图象位于第二, 四象限．故选：D.故选: D．故选：D．点评: 本题考查了反比例函数的图象的性质：k＞0时, 图象在第一、三象限, k＜0时, 图象在第二、四象限．7. （2分）（2014•常州）甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习. 图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象. 以下说法: ①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km 后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲. 其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个考点: 函数的图象.分析: 观察函数图象可知, 函数的横坐标表示时间, 纵坐标表示路程, 然后根据图象上特殊点的意义进行解答．解答: 解: ①乙在28分时到达, 甲在40分时到达, 所以乙比甲提前了12分钟到达；故①正确；②根据甲到达目的地时的路程和时间知: 甲的平均速度=10÷=15千米/时；故②正确；④设乙出发x分钟后追上甲, 则有: ×x= ×（18+x）, 解得x=6, 故④正确；③由④知: 乙第一次遇到甲时, 所走的距离为: 6×=6km, 故③错误；所以正确的结论有三个：①②④,故选B.故选B．点评: 读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义, 理解问题叙述的过程, 能够通过图象得到函数是随自变量的增大, 知道函数值是增大还是减小．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. （2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点A（﹣3,0）, 点B（0, ）,点P的坐标为（1,0）, ⊙P与y轴相切于点O. 若将⊙P沿x轴向左平移, 平移后得到⊙P′（点P的对应点为点P′）, 当⊙P′与直线l相交时, 横坐标为整数的点P′共有（）考点: 直线与圆的位置关系；一次函数的性质.分析: 在解答本题时要先求出⊙P的半径, 继而求得相切时P′点的坐标, 根据A（﹣3, 0）, 可以确定对应的横坐标为整数时对应的数值．解答: 解: 如图所示, ∵点P的坐标为（1, 0）, ⊙P与y轴相切于点O,∴⊙P的半径是1,若⊙P与AB相切时, 设切点为D, 由点A（﹣3, 0）, 点B（0, ）,∴OA=3, OB= , 由勾股定理得: AB=2 , ∠DAM=30°,设平移后的圆心为M（即对应的P′）,∴MD⊥AB, MD=1, 又因为∠DAM=30°,所以M点的坐标为（﹣1, 0）, 即对应的P′点的坐标为（﹣1, 0）,所以当⊙P′与直线l相交时, 横坐标为整数的点的横坐标可以是﹣2, ﹣3, ﹣4共三个．故选：C.点评: 本题考查了圆的切线的性质的综合应用, 解答本题的关键在于找到圆与直线相切时对应的圆心的坐标, 然后结合A点的坐标求出对应的圆心的横坐标的整数解．二、填空题（本大题共9小题, 每小题4分, 满分20分.）9．（4分）（2014•常州）计算：|﹣1|=1, 2﹣2=, （﹣3）2=9, =﹣2．考点: 立方根；绝对值；有理数的乘方；负整数指数幂.分析: 运用立方根, 绝对值, 有理数的乘方和负整数指数幂的法则计算．解答: 解: : |﹣1|=1,2﹣2=,（﹣3）2=9,=﹣2.故答案为：1, , 9, ﹣2．故答案为：1，，9，﹣2.故答案为: 1，，9，﹣2．故答案为：1，，9，﹣2．点评: 本题主要考查了立方根, 绝对值, 有理数的乘方和负整数指数幂的知识, 解题的关键是熟记法则．10. （2分）（2014•常州）已知P（1, ﹣2）, 则点P关于x轴的对称点的坐标是（1, 2）. 考点: 关于x轴、y轴对称的点的坐标.分析: 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变, 纵坐标互为相反数．即点P（x, y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x, ﹣y）, 进而得出答案．解答: 解: ∵P（1, ﹣2）,∴点P关于x轴的对称点的坐标是：（1, 2）．故答案为：（1, 2）．故答案为：（1，2）.故答案为: （1，2）．故答案为：（1，2）．点评: 此题主要考查了关于x轴对称点的性质, 正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．11. （2分）（2014•常州）若∠α=30°, 则∠α的余角等于60度, sinα的值为.考点: 特殊角的三角函数值；余角和补角分析: 根据互为余角的两个角的和为90度求得∠α的余角的度数；根据特殊角的三角函数值求得sinα的值.解答: 6解: ∵∠A=30°,∴∠A的余角是: 90°﹣30°=60°；sinα=sin30°=,故答案为：60, ．故答案为：60，.故答案为: 60，．故答案为：60，．点评: 本题主要考查了特殊角的三角函数值以及余角的定义：如果两个角的和是一个直角, 那么称这两个角互为余角, 简称互余；也可以说其中一个角是另一个角的余角,12. （2分）（2014•常州）已知扇形的半径为3cm, 此扇形的弧长是2πcm, 则此扇形的圆心角等于120度, 扇形的面积是3πcm2. （结果保留π）考点: 扇形面积的计算；弧长的计算.分析: 设扇形的圆心角的度数是n°, 根据弧长公式即可列方程求得n的值, 然后利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．解答: 解: 设扇形的圆心角的度数是n°, 则=2π,解得: n=120,扇形的面积是：=3π（cm2）.故答案是：120, 3πcm2．故答案是：120，3πcm2.故答案是: 120，3πcm2．故答案是：120，3πcm2．点评: 本题考查弧长公式和扇形的面积公式, 正确记忆公式是关键．13. （2分）（2014•常州）已知反比例函数y=, 则自变量x的取值范围是x≠0；若式子的值为0, 则x=﹣3.考点: 函数自变量的取值范围；二次根式的定义；反比例函数的定义. 21世纪教育网分析: 根据分母不等于0列式计算即可得解；根据二次根式的定义列出方程求解即可.根据二次根式的定义列出方程求解即可．解答: 解: 反比例函数y=的自变量x的取值范围是x≠0,=0,解得x=﹣3.故答案为：x≠0, ﹣3．故答案为：x≠0，﹣3.故答案为: x≠0，﹣3．故答案为：x≠0，﹣3．点评: 本题考查了函数自变量的范围, 一般从三个方面考虑:（1）当函数表达式是整式时, 自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时, 考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时, 被开方数非负．（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14. （2分）（2014•常州）已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1, 则m=2, 另一个根为2.考点: 一元二次方程的解；根与系数的关系.分析: 根据方程有一根为1, 将x=1代入方程求出m的值, 确定出方程, 即可求出另一根．解答: 解: 将x=1代入方程得: 1﹣3+m=0,解得: m=2,方程为x2﹣3x+2=0, 即（x﹣1）（x﹣2）=0,解得: x=1或x=2,则另一根为2.故答案为：2, 2．故答案为：2，2.故答案为: 2，2．故答案为：2，2．点评: 此题考查了一元二次方程的解, 方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．15. （2分）（2014•常州）因式分解: x3﹣9xy2=x（x+3y）（x﹣3y）.考点: 提公因式法与公式法的综合运用.分析: 先提取公因式x, 再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答: 解: x3﹣9xy2,=x（x2﹣9y2）,=x（x+3y）（x﹣3y）.=x（x+3y）（x﹣3y）．点评: 本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解, 一个多项式有公因式首先提取公因式, 然后再用其他方法进行因式分解, 同时因式分解要彻底, 直到不能分解为止．16. （2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中, 一次函数y=10﹣x的图象与函数y=（x ＞0）的图象相交于点A, B. 设点A的坐标为（x1, y1）, 那么长为x1, 宽为y1的矩形的面积为6, 周长为20.考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.分析: 解由两函数组成的方程组, 求出A的坐标, 再根据矩形的性质求出面积和周长即可．解答: 解: 解方程组得: , ,根据图象知: x1=5﹣, y1=5﹣,即长为x1, 宽为y1的矩形的面积是（5﹣）×（5+ ）=6, 周长是2（5﹣+5+ ）=20,故答案为：6, 20．故答案为：6，20.故答案为: 6，20．故答案为：6，20．点评: 此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点, 必须先求出交点坐标, 难易程度适中．17. （2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中, 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（1, 1）, 与x轴交于点A, 与y轴交于点B, 且tan∠ABO=3, 那么点A的坐标是（﹣2, 0）或（4, 0）.考点: 待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义专题: 压轴题.分析: 已知tan∠ABO=3就是已知一次函数的一次项系数是或﹣．根据函数经过点P, 利用待定系数法即可求得函数解析式, 进而可得到A的坐标．解答: 解: 在Rt△AOB中, 由tan∠ABO=3, 可得OA=3OB, 则一次函数y=kx+b中k=±.∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（1, 1）,∴当k=时, 求可得b=；k=﹣时, 求可得b=．即一次函数的解析式为y=x+或y=﹣x+.令y=0, 则x=﹣2或4,∴点A的坐标是（﹣2, 0）或（4, 0）.故答案为：（﹣2, 0）或（4, 0）．点评: 本题考查求一次函数的解析式及交点坐标.三、解答题（本大题共2小题, 满分18分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. （8分）（2014•常州）计算与化简：（1）﹣（﹣）0+2tan45°；（2）x（x﹣1）+（1﹣x）（1+x）.考点: 整式的混合运算；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值.分析: （1）先求出每一部分的值, 再代入合并即可；（2）先算乘法, 再合并同类项即可．（2）先算乘法，再合并同类项即可.（2）先算乘法，再合并同类项即可．解答: 解: （1）原式=2﹣1+2×1=2﹣1+2=﹣1；（2）原式=x2﹣x+1﹣x2=1﹣x.=1﹣x．点评: 本题考查了二次根式的性质, 零指数幂, 特殊角的三角函数值, 整式的混合运算的应用, 主要考查学生的计算能力, 题目比较好, 难度适中．19. （10分）（2014•常州）解不等式组和分式方程:（1）；（2）.考点: 解一元一次不等式组；解分式方程专题: 计算题.分析: （1）分别求出不等式组中两不等式的解集, 找出解集的公共部分即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程, 求出整式方程的解得到x的值, 经检验即可得到分式方程的解．（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答: 解: （1）,由①得: x＞1,由②得：x＞﹣2,则不等式组的解集为: x＞1；（2）去分母得: 3x+2=x﹣1,移项得: 3x﹣x=﹣1﹣2, 即2x=﹣3,解得：x=﹣,经检验x=﹣是分式方程的解.经检验x=﹣是分式方程的解．点评: 此题考查了解一元一次不等式组, 以及解分式方程, 熟练掌握运算法则是解本题的关键．四.解答题:20. （7分）（2014•常州）为迎接“六一”儿童节的到来, 某校学生参加献爱心捐款活动, 随机抽取该校部分学生的捐款数进行统计分析, 相应数据的统计图如下:（1）该校本的容量是50, 样本中捐款15元的学生有10人；（2）若该校一共有500名学生, 据此样本估计该校学生的捐款总数．考点: 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图.分析: （1）用捐5元的人数除以所占的百分比即是样本容量, 用总人数减去捐5元与10元的人数即是捐款15元的学生人数；（2）求出平均每人的捐款数再乘以该校人数即可得学生的捐款总数.（2）求出平均每人的捐款数再乘以该校人数即可得学生的捐款总数．解答: 解: （1）15÷30%=50（人）, 50﹣15﹣25=10（人）,故答案为：50, 10；（2）平均每人的捐款数为: ×（5×15+10×25+15×10）=9.5（元）,9.5×500=4750（元）,答：该校学生的捐款总数为4750元.答: 该校学生的捐款总数为4750元．答：该校学生的捐款总数为4750元．点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用, 读懂统计图, 从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21. （8分）（2014•常州）一只不透明的箱子里共有3个球, 把它们的分别编号为1, 2, 3, 这些球除编号不同外其余都相同.（1）从箱子中随机摸出一个球, 求摸出的球是编号为1的球的概率；（2）从箱子中随机摸出一个球, 记录下编号后将它放回箱子, 搅匀后再摸出一个球并记录下编号, 求两次摸出的球都是编号为3的球的概率．考点: 列表法与树状图法；概率公式.分析: （1）直接利用概率公式求解即可；（2）首先列出树状图, 然后利用概率公式求解即可．（2）首先列出树状图，然后利用概率公式求解即可.（2）首先列出树状图，然后利用概率公式求解即可．解答: 解: （1）从箱子中随机摸出一个球, 摸出的球是编号为1的球的概率为: ；（2）画树状图如下:共有9种等可能的结果, 两次摸出的球都是编号为3的球的概率为．共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是编号为3的球的概率为.共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是编号为3的球的概率为．点评: 本题考查了列表法与树状图法级概率公式, 难点在于正确的列出树形图, 难点中等．五.解答题（本大题共2小题, 共12分, 请在答题卡指定区域内作答, 解答应写出证明过程）22．（5分）（2014•常州）已知: 如图, 点C为AB中点, CD=BE, CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE.考点: 全等三角形的判定专题: 证明题.分析: 根据中点定义求出AC=CB, 根据两直线平行, 同位角相等, 求出∠ACD=∠B, 然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE．解答: 证明: ∵C是AB的中点（已知）,∴AC=CB（线段中点的定义）.∵CD∥BE（已知）,∴∠ACD=∠B（两直线平行, 同位角相等）.在△ACD和△CBE中,,∴△ACD≌△CBE（SAS）.∴△ACD≌△CBE（SAS）．点评: 本题主要考查了全等三角形的判定方法, 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等, 判定两个三角形全等时, 必须有边的参与, 若有两边一角对应相等时, 角必须是两边的夹角．23. （7分）（2014•常州）已知: 如图, E, F是四边形ABCD的对角线AC上的两点, AF=CE, 连接DE, DF, BE, BF. 四边形DEBF为平行四边形.求证：四边形ABCD是平行四边形.考点: 平行四边形的判定与性质. 21世纪教育网专题: 证明题.分析: 由“平行四边形的对角线相互平分”推知OD=OB, OE=OF；然后结合已知条件推知四边形ABCD的对角线互相平分, 则易证得结论．解答: 证明: 如图, 连结BD交AC于点O.∵四边形DEBF为平行四边形,∴OD=OB, OE=OF,∵AF=CE,∴AF﹣EF=CE﹣EF, 即AE=CF,∴AE+OE=CF+OF, 即OA=OC∴四边形ABCD是平行四边形.点评: 本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种, 应用时要认真领会它们之间的联系与区别, 同时要根据条件合理、灵活地选择方法．六.画图与应用（本大题共5小题, 请在答题卡指定区域内作答, 共14分）24．（7分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中, 如图, 已知Rt△DOE, ∠DOE=90°, OD=3, 点D在y轴上, 点E在x轴上, 在△ABC中, 点A, C在x轴上, AC=5．∠ACB+∠ODE=180°, ∠ABC=∠OED, BC=DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M, 点E 的对应点为点N）, 画出△OMN；（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A, B, C的对应点分别为点A′, B′, C′）, 使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合；（3）求OE的长.考点: 作图-旋转变换；作图-平移变换.专题: 作图题.分析: （1）以点O为圆心, 以OE为半径画弧, 与y轴正半轴相交于点M, 以OD为半径画弧, 与x轴负半轴相交于点N, 连接MN即可；（2）以M为圆心, 以AC长为半径画弧与x轴负半轴相交于点A′, B′与N重合, C′与M重合, 然后顺次连接即可；（3）设OE=x, 则ON=x, 作MF⊥A′B′于点F, 判断出B′C′平分∠A′B′O, 再根据角平分线上的点到角的两边距离相等和角平分线的对称性可得B′F=B′O=OE=x, F C′=O C′=OD=3, 利用勾股定理列式求出A′F, 然后表示出A′B′、A′O, 在Rt△A′B′O中, 利用勾股定理列出方程求解即可．（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，判断出B′C′平分∠A′B′O，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等和角平分线的对称性可得B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3，利用勾股定理列式求出A′F，然后表示出A′B′、A′O，在Rt△A′B′O中，利用勾股定理列出方程求解即可.（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，判断出B′C′平分∠A′B′O，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等和角平分线的对称性可得B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3，利用勾股定理列式求出A′F，然后表示出A′B′、A′O，在Rt△A′B′O中，利用勾股定理列出方程求解即可．解答: 解: （1）△OMN如图所示；（2）△A′B′C′如图所示；（3）设OE=x, 则ON=x, 作MF⊥A′B′于点F,由作图可知: B′C′平分∠A′B′O, 且C′O⊥O B′,所以, B′F=B′O=OE=x, F C′=O C′=OD=3,∵A′C′=AC=5,∴A′F= =4,∴A′B′=x+4, A′O=5+3=8,在Rt△A′B′O中, x2+82=（4+x）2,解得x=6,即OE=6.点评: 本题考查了利用旋转变换作图, 利用平移变换作图, 勾股定理, 熟练掌握性质变化与平移变化的性质是解题的关键．38 36 34 32 30 28 2625. （7分）（2014•常州）某小商场以每件20元的价格购进一种服装, 先试销一周, 试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x（元/件）如下表:x（元/件）t件） 4 8 12 16 20 24 28假定试销中每天的销售号（件）与销售价x（元/件）之间满足一次函数.（1）试求与x之间的函数关系式；（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下, 每件服装的销售定价为多少时, 该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注: 每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价﹣每件服装的进货价）考点: 二次函数的应用. 21世纪教育网分析: （1）设y与x的函数关系式为t=kx+b, 将x=38, y=4；x=36, y=8分别代入求出k、b, 即可得到t与x之间的函数关系式；（2）根据利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式, 利用二次函数的性质即可求出小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大值以及每天的最大毛利润是多少．（2）根据利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，利用二次函数的性质即可求出小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大值以及每天的最大毛利润是多少.（2）根据利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，利用二次函数的性质即可求出小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大值以及每天的最大毛利润是多少．解答: 解: （1）设与x之间的函数关系式为: t=kx+b, 因为其经过（38, 4）和（36, 8）两点, ∴,解得: .故y=﹣2x+80.（2）设每天的毛利润为w元, 每件服装销售的毛利润为（x﹣20）元, 每天售出（80﹣2x）件,则w=（x﹣20）（80﹣2x）=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200,当x=30时, 获得的毛利润最大, 最大毛利润为200元．当x=30时，获得的毛利润最大，最大毛利润为200元.当x=30时，获得的毛利润最大，最大毛利润为200元．点评: 本题主要考查运用待定系数法求一次函数的解析式及二次函数的应用, 根据利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式, 另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．26. （8分）（2014•常州）我们用[a]表示不大于a的最大整数, 例如: [2.5]=2, [3]=3, [﹣2.5]=﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数, 例如: ＜2.5＞=3, ＜4＞=5, ＜1.5＞＞=﹣1. 解决下列问题:（1）[﹣4.5]=﹣5, ＜3.5＞=4.（2）若[x]=2, 则x的取值范围是1＜x≤2；若＜y＞=﹣1, 则y的取值范围是﹣2≤y ＜﹣1.（3）已知x, y满足方程组, 求x, y的取值范围．考点: 一元一次不等式组的应用. 21世纪教育网专题: 新定义.分析: （1）根据题目所给信息求解；（2）根据[2.5]=2, [3]=3, [﹣2.5]=﹣3, 可得[x]=2中的1＜x≤2, 根据＜a＞表示大于a 的最小整数, 可得＜y＞=﹣1中, ﹣2≤y＜﹣1；（3）先求出[x]和＜y＞的值, 然后求出x和y的取值范围．（3）先求出[x]和＜y＞的值，然后求出x和y的取值范围.（3）先求出[x]和＜y＞的值，然后求出x和y的取值范围．解答: 解: （1）由题意得, [﹣4.5]=﹣5, ＜3.5＞=4；（2）∵[x]=2,∴则x的取值范围是1＜x≤2；∵＜y＞=﹣1,∴y的取值范围是﹣2≤y＜﹣1；（3）解方程组得: ,∴x, y的取值范围分别为﹣1≤x＜0, 2≤y＜3．∴x，y的取值范围分别为﹣1≤x＜0，2≤y＜3.∴x，y的取值范围分别为﹣1≤x＜0，2≤y＜3．点评: 本题考查了一元一次不等式组的应用, 解答本题的关键是读懂题意, 根据题目所给的信息进行解答．27. （7分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y=﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A, B（点B在点A的左侧）, 与y轴交于点C. 过动点H（0, m）作平行于x轴的直线l, 直线l与二次函数y=﹣x2+x+2的图象相交于点D, E.（1）写出点A, 点B的坐标；（2）若m＞0, 以DE为直径作⊙Q, 当⊙Q与x轴相切时, 求m的值；（3）直线l上是否存在一点F, 使得△ACF是等腰直角三角形？若存在, 求m的值；若不存在, 请说明理由．考点: 二次函数综合题. 21世纪教育网分析: （1）A.B两点的纵坐标都为0, 所以代入y=0, 求解即可.（2）由圆和抛物线性质易得圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处, 则Q的横坐标为, 可推出D、E两点的坐标分别为：（﹣m, m）, （+m, m）．因为D、E都在抛物线上, 代入一点即可得m．（3）使得△ACF是等腰直角三角形, 重点的需要明白有几种情形, 分别以三边为等腰三角形的两腰或者底, 则共有3种情形；而三种情形中F点在AC的左下或右上方又各存在2种情形, 故共有6种情形．求解时．利用全等三角形知识易得m的值．（3）使得△ACF是等腰直角三角形，重点的需要明白有几种情形，分别以三边为等腰三角形的两腰或者底，则共有3种情形；而三种情形中F点在AC的左下或右上方又各存在2种情形，故共有6种情形. 求解时. 利用全等三角形知识易得m的值.（3）使得△ACF是等腰直角三角形，重点的需要明白有几种情形，分别以三边为等腰三角形的两腰或者底，则共有3种情形；而三种情形中F点在AC的左下或右上方又各存在2种情形，故共有6种情形．求解时．利用全等三角形知识易得m的值．解答: 解: （1）当y=0时, 有,解得: x1=4, x2=﹣1,∴A、B两点的坐标分别为（4, 0）和（﹣1, 0）．（2）∵⊙Q与x轴相切, 且与交于D.E两点,∴圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处,∵抛物线的对称轴为, ⊙Q的半径为H点的纵坐标m（m＞0）,∴D.E两点的坐标分别为: （﹣m, m）, （+m, m）∵E点在二次函数的图象上,∴,解得或（不合题意, 舍去）．（3）存在.①如图1,当∠ACF=90°, AC=FC时, 过点F作FG⊥y轴于G,∴∠AOC=∠CGF=90°,∵∠ACO+∠FCG=90°, ∠GFC+∠FCG=90°,∴∠ACO=∠CFG,∴△ACO≌△∠CFG,∴CG=AO=4,∵CO=2,∴m=OG=2+4=6；反向延长FC, 使得CF=CF′, 此时△ACF′亦为等腰直角三角形,易得yC﹣yF′=CG=4,∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2.②如图2,当∠CAF=90°, AC=AF时, 过点F作FP⊥x轴于P,∵∠AOC=∠APF=90°, ∠ACO+∠OAC=90°, ∠FAP+∠OAC=90°,∴∠ACO=∠FAP,∴△ACO≌△∠FAP,∴FP=AO=4,∴m=FP=4；反向延长FA, 使得AF=AF′, 此时△ACF’亦为等腰直角三角形,易得yA﹣yF′=FP=4,∴m=0﹣4=﹣4.③如图3,当∠AFC=90°, FA=FC时, 则F点一定在AC的中垂线上, 此时存在两个点分别记为F, F′,分别过F, F′两点作x轴、y轴的垂线, 分别交于E, G, D, H.∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°,∴∠DFC=∠EFA,∵∠CDF=∠AEF, CF=AF,∴△CDF≌△AEF,∴CD=AE, DF=EF,∴四边形OEFD为正方形,∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD,∴4=2+2•CD,∴CD=1,∴m=OC+CD=2+1=3.∵∠HF′C+∠CGF′=∠CGF′+∠GF′A,∴∠HF′C=∠GF′A,∵∠HF′C=∠GF′A, CF′=AF′,∴△HF′C≌△GF′A,∴HF′=GF′, CH=AG,∴四边形OHF′G为正方形,∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2,∴OH=1,∴m=﹣1.∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+ ,∴y的最大值为.∵直线l与抛物线有两个交点, ∴m＜．∴m可取值为：﹣4、﹣2、﹣1或3.综上所述, 直线l上存在一点F, 使得△ACF是等腰直角三角形, m的值为﹣4、﹣2、﹣1或3．综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4、﹣2、﹣1或3.综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4、﹣2.﹣1或3．综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4.﹣2、﹣1或3．综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4、﹣2、﹣1或3．点评: 本题难度适中, 考查的主要是二次函数、圆、等腰直角三角形及全等三角形性质, 但是最后一问情形较多不易找全, 非常锻炼学生的全面思考．28. （10分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中, 点M（, ）, 以点M为圆心, OM 长为半径作⊙M. 使⊙M与直线OM的另一交点为点B, 与x轴, y轴的另一交点分别为点D, A （如图）, 连接AM. 点P是上的动点. 21·cn·jy·com（1）写出∠AMB的度数；（2）点Q在射线OP上, 且OP•OQ=20, 过点Q作QC垂直于直线OM, 垂足为C, 直线QC 交x轴于点E. 21·世纪*教育网①当动点P与点B重合时, 求点E的坐标；。

2014—2015学年度第一学期阶段检测..九年级数学试题..注意事项： ..1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、考号、考试科目及选择题答案涂写在答题卡上，并同时将学校、姓名、考号、座号填写在试卷的相应位置。

２．本试卷分为卷I （选择题）和卷II （非选择题）两部分，共120分。

考试时间为90分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共45分）.一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，满分45分） 1．方程x (x ＋1)＝0的解是A. x ＝0B. x ＝1C. x 1＝0，x 2＝1D. x 1＝0，x 2＝－1 2．图中三视图所对应的直观图是3．用配方法解关于x 的一元二次方程x 2－2x －3＝0，配方后的方程可以是 A ．(x －1)2＝4B ．(x ＋1)2＝4C ．(x －1)2＝16D ．(x ＋1)2＝16..4．如果反比例函数xky 的图像经过点（－3，－4），那么函数的图象应在 A ．第一、三象限 B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限..B．5．若函数xmy =的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是 A ．m ＞1B ． m ＞0C ． m ＜1D ．m ＜06．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC △相似的是7．如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么这两个相似三角形的周长比是 A ．2:1B．C ． 1:4D ．1:28．一元二次方程2x 2 + 3x +5=0的根的情况是 A ．有两个不相等的实数 B ．有两个相等的实数 C ．没有实数根D ．无法判断9．如图是小明一天上学、放学时看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序进行排列正确的是A ．（1）（2）（3）（4）B ．（4）（3）（1）（2）C ．（4）（3）（2）（1）D ．（2）（3）（4）（1）10. 下列各点中，不在反比例函数xy 6-=图象上的点是 A ．(-1，6) B ．(-3，2) C ．)12,21(- D ．(-2，5)11．如右图，在△ABC 中，看DE ∥BC ，21=AB AD ，DE ＝4 cm ，则BC 的长为A ．8 cmB ．12 cmC ．11 cmD ．10 cmA ．B ．C ．D ．AB12．下列结论不正确的是A ．所有的矩形都相似B ．所有的正方形都相似11题图C ．所有的等腰直角三角形都相似D ．所有的正八边形都相似 13．在函数y=xk(k<0)的图像上有A(1,y 1)、B(－1,y 2)、C(－2,y 3)三个点，则下列各式中正确的是A ． y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 3<y 1 14．如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，则两个指针同时落在偶数上的概率是Ａ．525 Ｂ．625Ｃ．1025Ｄ．192514题图15．如图，正方形OABC 和正方形ADEF 的顶点A ，D ，C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B ，E 在函数1(0)y x x =>的图象上，则点E 的坐标是A ．1122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭; B ．3322⎛+ ⎝⎭C ．11,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭;D ．3322⎛ ⎝⎭15题图第Ⅱ卷（非选择题 共75分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，把答案填在题中的横线上。

第1页 共4页（九年级数学） 第2页 共4页（九年级数学）九年级2014-2015学年上学期期中考试数 学 试 卷(全卷满分：100分，考试时间：120分钟)一、精心选一选（每小题3分，共30分）1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A.3，2，1B.C.D. 2．用配方法解方程0522=--x x ，原方程应变为（ ）A ．6)1(2=+x B.9)1(2=+x C.6)1(2=-x D. 9)1(2=-x3．已知一个三角形的两边长是方程x 2-8x +15=0的两根，则第三边y 的取值范围是（ ）． A ．y<8 B ．3<y<5 c ．2<y<8 D ．无法确定 4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A 、正三角形B 、平行四边形C 、等腰梯形D 菱形5. 关于x 的一元二次方程013)1(22=-++-m x x m 的一根为0，则m 的值是（ ） A 、1± B 、2± C 、-1 D 、-26. 若菱形的两条对角线分别为6cm 和8cm ，则它的面积为（ ）A. 248cmB. 224cmC. 212cmD. 26cm7．小丽要在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边制成一幅矩形挂图，使整幅挂图面积是5400cm 2，设金色纸边的宽度为x cm ，则x 满足的方程是（ ）。

A 、014001302=-+x x B 、0350652=-+x x C 、014001302=--x x D 、0350652=--x x 8．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是（ ）。

A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形 9．甲、乙两人赛跑，则开始起跑时都迈出左腿的概率是（ ） A.12 B.13 C.14 D.18 10. 下列说法中错误的是（ ）A. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B. 每组邻边都相等的四边形是菱形C. 四个角相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形二、耐心填一填（每小题3分，共30分）11．把方程（2x+1）（x —2）=5－3x 整理成一般形式后，得12．方程22(2)(3)20mm x m x --+--=是一元二次方程，则____m =.13．已知方程22155k x x =+-的一个根是2，则k 的值是 ，方程的另一个根为 ．14．当x=________时，代数式3x 2-6x 的值等于12．15．如果()4122++-x m x 是一个完全平方公式，则=m 。

2015年江苏常州中考数学试卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2015江苏常州，1，2分）－3的绝对值是A．3B．－3C．31D．－311．A2．（2015江苏常州，2，2分）要使分式23x有意义，则x的取值范围是A．x＞2B．x＜2C．x≠－2D．x≠22．D3．（2015江苏常州，3，2分）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是A．B．C．D．3．B4．（2015江苏常州，4，2分）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝40°，则∠ECD的度数是A．70°B．60°C．50°D．40°EDC4．C5．（2015江苏常州，5，2分）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥ABODB CA5．C6．（2015江苏常州，6，2分）已知a＝22，b＝33，c＝55，则下列大小关系正确的是A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b6．A7．（2015江苏常州，7，2分）已知二次函数y ＝2x ＋（m －1）x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是A ．m ＝－1B ．m ＝3C ．m ≤－1D ．m ≥－1 7．D 8．（2015江苏常州，8，2分）将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是A ．338cm 2 B ．8cm 2 C ．3316cm 2 D ．16cm 28．B二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2015江苏常州，9，2分）计算102)1(-+-π＝_________．9．3210．（2015江苏常州，10，2分）太阳的半径约为696000km ，把696000这个数用科学记数法表示为_______________________．10．6.96×10511．（2015江苏常州，11，2分）分解因式：2222y x -＝_________________． 11．2(x ＋y )(x －y )12．（2015江苏常州，12，2分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________． 12．27π 13．（2015江苏常州，13，2分）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB ＝1：2，DE ＝2，则BC 的长是______．13．614．（2015江苏常州，14，2分）已知x ＝2是关于x 的方程a x a 21)1(=+＋x 的解，则a 的值是______________．14．4515．（2015江苏常州，15，2分）二次函数y ＝－2x ＋2x －3图象的顶点坐标是____________． 15．（1，－2） 16．（2015江苏常州，16，2分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O ，古塔位于点A （400，300），从古塔出发沿射线OA 方向前行300m 是盆景园B ，从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ，则点C 的坐标是_______________．m ）16．（400，800）17．（2015江苏常州，17，2分）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4＝2＋2； 12＝5＋7；6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7； 8＝3＋5； 16＝3＋13＝5＋11； 10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11； …通过这组等式，你发现的规律是__________________________________（请用文字语言表达）． 17．任一大于2的偶数都可写成两个质数之和 18．（2015江苏常州，18，2分）如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，∠BAD ＝60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是_______________．18三、解答题（共10小题，共84分）19．（2015江苏常州，19，6分）先化简，再求值：)2()1(2x x x --+，其中x ＝2． 【考点解剖】本题考查了整式的混合运算与求值，解题的关键是化简正确，代入准确． 【解题思路】先乘除，再加减，把原式化简，最后代入求值． 【解答过程】原式＝x 2＋2x ＋1－2x ＋x 2＝2x 2＋1. 当x ＝2时，原式＝8＋1＝9．【方法规律】初中数学中的乘法公式有：平方差公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2，完全平方公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2，应牢固地掌握．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是(1)完全平方公式计算出错；(2)利用完全平方式计算后没有把运算结果放在括号里；(3)去括号出错.【试题难度】★★【关键词】整式的运算；完全平方公式 20．（2015江苏常州，20（1），4分）解方程：（1）xx x 311213--=-. 【考点解剖】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是掌握分式方程的解法步骤． 【解题思路】按照解分式方程的一般步骤求解即可． 【解答过程】解：（1）去分母，得x ＝2(3x －1)＋1. 去括号，得x ＝6x －2＋1.移项、合并同类项，得5x ＝1. 系数化为1，得x ＝15. 检验：当x ＝15时，3x －1≠0，x ＝15是原分式方程的解. ∴原分式方程的解是x ＝15.【方法规律】解分式方程的一般步骤：先去分母，再去括号、移项、合并同类项、最后系数化为1，最后不要忘记要检验．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是：①去分母时漏乘没有分母的项；②忘记检验步骤；③常出计算错误.【试题难度】★★★【关键词】可化为一元一次方程的分式方程的解法；20．（2015江苏常州，20（2），4分）解不等式组：（2）⎩⎨⎧->->+.521,042x x【考点解剖】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的方法步骤．【解题思路】按照解一元一次不等式组的一般步骤求解即可． 【解答过程】解：解不等式①，得x ＞－2；解不等式②，得x ＜3；∴不等式组的解集为－2＜x ＜3．【方法规律】不等式组的解集是不等式组中所有不等式解集的公共部分，所以可以求出不等式组中各个不等式的解集，然后取它们的公共部分即为不等式组的解集．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是确定两个不等式解集的公共部分出错. 【试题难度】★★★【关键词】一元一次不等式组的解法21．（2015江苏常州，21，8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图； （3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．【考点解剖】本题考查了条形统计图、扇形统计图、简单随机抽样和用样本估计总体的知识，解题的关键是读懂统计图，从统计图中得到必要的信息．【解题思路】（1）样本容量可由0.5小时100人占总人数的20%求得；（2）用样本容量乘以24%即可；（3）计算样本数据中阳光体育运动的平均时间．【解答过程】（1）100÷20%＝500（人），∴该调查小组抽取的样本容量是500． （2）500×24%＝120（人），∴样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时共120人． 补全占频数分布直方图如下图：（3）0.5×20%＋1×40%＋1.5×24%＋2×16%＝1.18 (小时)． ∴该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间为1.18小时．【方法规律】（1）频数÷频率=样本容量；（2）加权平均数计算公式为nf x f x f x x kk +⋯++=2211，其中1f ，2f ，…，k f 代表各数据的权，且1f +2f +…+k f ＝n ，本题中，权重是频数或百分比．统计图表是中考的必考内容，本题渗透了统计图、样本估计总体的知识，考查了学生对于图表的读图、识图能力，由于数据的问题在中考试卷中也有越来越综合的趋势，成为中考命题的热点．解决这类问题时，一定要仔细观察，发掘出图表中所提供的信息，通过联想把图表中的信息与相应的数学知识、数学方法、数学模型联系起来，灵活的运用数学知识进行探索．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是对两个或两个以上的图表不能进行系统的分析，造成读图错误.【试题难度】★★★【关键词】数据的收集；条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体；数形结合思想22．（2015江苏常州，22，8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率； （2）求甲比乙先出场的概率．【考点解剖】本题考查了简单随机事件的概率的计算，解题的关键是正确的列表或者画出树形图．【解题思路】（1）谁第一个出场共3种可能，所以甲第一个出场的概率为13；（2）列表或树状图表示出所有可能性，注意与丙的出场顺序无关．【解答过程】（1）甲，乙，丙三位学生都有可能第一个出场，因此共有三种可能，所以甲第一个出场的概率为13．（2）树状图如下甲乙丙甲乙丙甲开始共有6种情况，其中甲比乙先出场的共有3种，∴P(甲比乙先出场)＝12．【方法规律】概率的问题，稍微复杂一点的题目，会用列表法或画树状图法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有等可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，画树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的概率计算公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．在做摸球的概率问题时，同学们一定要注意球是放回还是不放回的情况，这是同学们经常出错的地方.【易错点睛】此类问题容易出错的地方是不能正确的用树形图表示所有可能出现的结果．【试题难度】★★★【关键词】概率的计算公式；求概率方法---树状图法23．（2015江苏常州，23，8分）如图，在□ABCD中，∠BCD＝120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE＝AF；（2）求∠EAF的度数．D【考点解剖】本题考查了平行四边形和等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是对几何图形的性质和判定的灵活运用.【解题思路】（1）证明两线段相等，可转化为证明△ABE≌△FDA；（2）证明∠DAF＋∠EAB ＝60°．【解答过程】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝60°．∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BC＝BE，CD＝DF，∠EBC＝∠CDF＝60°．∴BE＝AD，AB＝DF，∠ABE＝∠ADF＝120°，∴△ABE≌△FDA，∴AE＝AF．（2）∵△ABE≌△FDE，∴∠BAE＝∠DF A，∵∠ADF＝120°，∴∠DAF＋∠DF A＝60°，∴∠DAF ＋∠EAB＝60°，∴∠EAF＝∠BAD－(∠DAF＋∠EAB)＝60°．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是发掘不到图形中蕴含的全等三角形导致解证思路受阻. 【方法规律】图形中包含两个等边三角形时，常常考虑利用全等三角形的性质解决问题．【试题难度】★★★【关键词】平行四边形的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形的内角和24．（2015江苏常州，24，8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．光明中学市图书馆光明电影院（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？【考点解剖】本题考查了一元一次方程的应用问题及一次函数的知识，解答时要注意等量关系的寻找.【解题思路】（1）光明中学与市图书馆路程小于3公里，可知起步价为9元．再利用“从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元”求出3公里后出租车车费的单价；（2）算出乘车返回光明中学需要的费用，然后跟剩下的现金进行比较即可.【解答过程】（1）∵光明中学与市图书馆路程只有2公里，∴出租车的起步价为9元，即m＝9．∵从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．∴9＋2n＝12.6，解得n＝1.8.∴车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式为：y=1.8（x-3）+9=1.8x+3.6（x＞3）．（2）乘车返回光明中学至少需要花费9＋4×1.8＝16.2元，小张剩下坐车的钱数为：75-15-25-9-12.6=13.4（元），∵13.4＜16.2，∴小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学.【易错点睛】此类问题容易出错的地方是对出租车的收费标准不理解造成计算错误.【方法规律】解决实际问题的关键是将实际问题抽象成一个数学问题，找准题目中的数量关系．【试题难度】★★★【关键词】一元一次方程的应用；一次函数的解析式25．（2015江苏常州，25，8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC ＝105°．（1）若AD＝2，求AB；（2）若AB＋CD＝23＋2，求A B．C【考点解剖】本题考查了解直角三角形的相关知识，解题的关键是如何作辅助线构成直角三角形．【解题思路】（1）过点D作AB的垂线段，将△ABD分成一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形来解决；（2）过点D作DE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，将四边形分成2个等腰直角三角形和两个含30°角的直角三角形，设DE为x，用含x的代数式表示出AB＋CD的长，即可得到一个关于x的一元一次方程．【解答过程】（1）过点D作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，∵∠A＝45°，∴DE＝AD×sin45°，AE＝AD×cos45°．在Rt △BDE 中，∠BDE ＝∠ADB －∠ADE ＝60°，∴BE ＝DE ×t a n60°． ∴AB．（2）过点D 作DE ⊥AB 于E ，过点B 作BF ⊥CD 于F ，设DE 为x .则AE ＝DE ·t a n45°＝x ，BE ＝DE ·t a n60°x ，BD ＝DE ÷sin ∠ABD ＝2x ， ∵∠C ＝45°，BF ⊥CD ，∴∠FBC ＝45°，∴∠DBF ＝∠ABC －∠ABD －∠CBF ＝30°． ∴DF ＝BD ·sin30°＝x ，BF ＝BD ·cos30°x ， ∴CF ＝BF，∴CDx ＋x ．∴AB ＋CD ＝(23＋2)x ，∴x ＝1．∴AB ＝3＋1．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是不知道作垂线构成直角三角形，把问题在直角三角形内解决问题.【方法规律】在解题过程中，如果图中出现30°、45°、60°这些特殊的角度，常考虑构造直角三角形，将这些特殊的角置于直角三角形中．【试题难度】★★★★ 【关键词】解直角三角形26．（2015江苏常州，26，10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”． ⑴阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE ＝DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积． 理由：连接AH ，EH ．∵AE 为直径，∴∠AHE ＝90°，∴∠HAE ＋∠HEA ＝90°． ∵DH ⊥AE ，∴∠ADH ＝∠EDH ＝90°. ∴∠HAD ＋∠AHD ＝90°.∴∠AHD ＝∠HED ，∴△ADH ∽_____________．∴DEDH DH AD，即2DH ＝AD ×DE ． 又∵DE ＝DC ，∴2DH ＝____________，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．D⑵操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形． 如图②，请用尺规作图作出与□ABCD 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）． ⑶解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）． ⑷拓展探究n 边形（n ＞3）的“化方”思路之一是：把n 边形转化为等积的n －1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．ACBADCB【考点解剖】本题是一个阅读理解题，涉及相似、等积法、中位线等知识．解题的关键是综合运用基本图形，通过探究解决问题.【解题思路】（1）△A H E是一个射影定理基本图形；（2）要作出一个等积的矩形，只需保持底BC长不变，高不变即可，所以考虑分别过点B、点C作AD的垂线段，就可以得到所需要的矩形；（3）要使得矩形和三角形面积相等，只需保证矩形和三角形的底相等，高等于三角形高的一半，就可以得到等积的矩形，所以考虑将△ABC的中位线DE延长变成一条直线，然后分别过点B、点C 作DE的垂线段即可得到矩形BCGF，然后延长FG到H，使得GH＝GC，以FH为直径画作圆，CG 延长线与圆的交点为M，则GM就是所求的正方形的边长．（4）连接BD，将四边形ABCD分成△ABD和△BCD，过点A作BD的平行线，则△ABD和△EBD的面积相等，所以△EBC与四边形ABCD 的面积相等．【解答过程】解：（1）△HDE；AD·DC；（2）矩形BCEF即为所求．（提示：分别过点B，点C作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，则矩形BCEF与平行四边形ABCD 等底等高，所以它们面积相等.）（3）矩形∴线段MG即为所求.（4）△EBC 即为所求．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是阅读量过大，不能迅速找到可用的已知条件，读题能力差，造成失分.【方法规律】作一个图形的等积图形，可将图形分解成比较简单的三角形，平行四边形或矩形，利用它们的底、高的数量关系得到等积的图形．【试题难度】★★★★【关键词】阅读理解题；作图；面积；类比迁移；三角形；平行四边形；矩形27．（2015江苏常州，27，10分）如图，一次函数y ＝－x ＋4的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合．（1）写出点A 的坐标；（2）当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）若点M 在直线l 上，且∠POM ＝90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是1S 、2S ，求2111S S 的值． lyxOBQA P【考点解剖】本题考查了一次函数图象的性质，三角形的外接圆，圆周角定理得推论，等积法，勾股定理，全等三角形等知识．解题的关键是综合运用以上知识灵活解题. 【解题思路】（1）直接把y ＝0代入y ＝－x ＋4，即可求出A 点坐标；（2）假设△OQB ≌△QP A ，求出Q 点坐标和P 点坐标，最后检验点Q 在△OAP 的外接圆上；（3）由于∠P O M ＝90°，因此△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的直径分别为OP 和OM ，利用OP 、OM 表示出S 1和S 2的值，代入2111S S +中变形，即可求出2111S S +的值． 【解答过程】解：（1）∵y ＝－x ＋4的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，∴A (4，0)，B (0，4)．（2）①当点Q 在线段AB 上时，由于∠O BQ ＝∠P AQ ＝45°，此时△OQB ≌△QP A .设Q （a ，－a ＋4），则AQ)a -.∵△OQB ≌△QP A)a -＝4，∴a＝4-BQ4=，∴AP ＝BQ＝4，此时OP 的中点C 坐标为(2，2)，CP 2＝16－CQ 2＝16－P 、Q 在以点C 为圆心的圆上．符合要求， ∴P (4，4).②当点Q 在AB 的延长线和在BA 延长线上时，△OQB 与△APQ 不全等.综上所述P (4，4).（3）∵∠POM ＝90°，∠OAP ＝∠OAM ＝90°，∴△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的直径分别为OP 和OM ，∴S 1＝14π·OP 2，S 2＝14π·OM 2， ∴2111S S +＝2244OP OM ππ+＝22224()OP OM OP OM π+. ∵∠P O M ＝90°，∴222OP OM PM +=，∵∠POM ＝90°，OA ⊥PM ，∴OP OM PM OA ⋅=⋅. ∴2111S S +＝2224PM PM OA π⋅⋅＝14π． 【易错点睛】此类问题容易出错的地方是不知道用利用OP 、OM 表示出S 1和S 2的值，造成没思路，无法求解.【方法规律】（1）求一次函数与x 轴的交点，可令y ＝0；（2）探究是否存在符合要求的点P ，使得两个三角形全等类问题，可先假设两三角形全等，计算得出P 点坐标；（3）直角三角形的外接圆的直径是直角三角形的斜边．【试题难度】★★★★★【关键词】一次函数的性质；圆的基本性质；勾股定理；全等三角形28．（2015江苏常州，28，10分）如图，反比例函数y ＝x k 的图象与一次函数y ＝41x 的图象交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的上方．（1）若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△P AB 的面积；（2）设直线P A 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形；（3）设点Q 是反比例函数图象上位于P 、B 之间的动点（与点P 、B 不重合），连接AQ 、BQ ，比较∠P AQ 与∠PBQ 的大小，并说明理由．【考点解剖】本题考查了一次函数、反比例函数的性质、不规则图形的面积以及利用正切证明两个角度相等等知识，解题的关键是如何灵活运用类比思想解决问题.【解题思路】过点P 作PE ⊥x 轴，分别过点A ，点B 作AE ⊥PE 于E ，作B H ⊥PE 于H ．（1）先由点B 在y ＝41x 的图象上，求出点B 的坐标，代入反比例函数，求出k 的值，而△P AB 是一个不规则的图形，求面积的时候，可通过作辅助线，转化为规则图形求面积；（2）要证明△PMN 是等腰三角形，只需证明∠PNM ＝∠PMN ，而这两个角又分别等于它们的同位角∠PB H ，∠P AE ，所以考虑利用正切，先证明∠PBH ＝∠P AE ；（3）利用（2）得出的结论，很容易证明∠QAD ＝∠QBC ，∠P AE ＝∠PBH ，两式相减即可证明得到∠P AQ ＝∠PBQ ．【解答过程】解：过点P 作PE ⊥x 轴，分别过点A ，点B 作AE ⊥PE 于E ，作B H ⊥PE 于H ．（1）∵一次函数y ＝41x 的图象经过B ，点B 的横坐标是4． ∴B (4，1)，∵y ＝xk 的图象经过B (4，1)，∴k ＝4．∴A (－4，－1). ∴S △P AB ＝S △APE ＋S PEFB －S △ABF ＝12×5×5＋12×(5＋2)×3－12×2×8＝15． （2）设P (a ，4a )，∵t a n ∠P AE ＝4114PE a AE a a +==+，t a n ∠PBH ＝4114PH a BH a a-==-， ∴∠P AE ＝∠PBH ，∵∠P AE ＝∠PMN ，∠PBH ＝∠PNM ，∴∠PNM ＝∠PMN ，∴PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形.（3）过点Q 作PD ⊥x 轴，分别过点A ，点B 作AD ⊥QD 于D ，作BC ⊥QD 于C ．由（2）中结论可证：∠QAD ＝∠QBC ，∠P AE ＝∠PBH ，∴∠P AQ ＝∠PBQ ．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是第3问动点问题解决角度关系时，由于分析不到位，不能类比解决问题.【方法规律】（1）不规则图形的面积，常考虑构造辅助线，将之转化为规则图形面积的和差形式；（2）“等角对等边”是证明等腰三角形常用的手段；（3）函数图象上的动点常考虑先设出点的坐标，利用题中的相等关系，列出方程解决问题．【试题难度】★★★★★【关键词】反比例函数的性质；一次函数；三角函数；等腰三角形；不规则图形的面积；动点问题。

班老中学2014-2015学年上学期九年级数学期中测试卷班级： 姓名： 得分：一、选择题：（每小题3分，共计30分）1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．A B C D 2．把二次函数y ＝－14x 2－x ＋3用配方法化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式( )A ．y ＝－14(x －2)2＋2B ．y ＝14(x －2)2＋4C ．y ＝－14(x ＋2)2＋4D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －122＋33、已知关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为（ ）A.1B.1-C.1或1-D.214．将抛物线y=－2x 2向左平移1个单位,再向上平移6个单位长度，所得抛物线的函数解析式为（ ）A ．y=－2（x-1）2+6B ．y= 2（x-1）2-6C ．y=－2（x+1）2+6D ．y=2（x+1）2-65、一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ） A.12人 B.18人 C.9人 D.10人6、抛物线122+--=m mx x y 的图像经过原点，则m 为（ ） A .±1 B .－1 C.1 D.07、二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论：①a ＜0；②b ＞0； ③ c ＞0； ③b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8、二次函数362+-=x kx y 的图像与x 轴有公共点，则k 的取值范围是（ ） A.k<3 B.k<3且k ≠0 C.k ≤3 D.k ≤3且k ≠0 二、填空题：（每小题3分，共计18分）9、将点A （3，1）绕原点O 按顺时针方向旋转90°到点B ，则点B 的坐标是 10、二次函数3)5(22+--=x y 的顶点坐标是11、.如果关于x 的方程022=+-k x x （k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = . 12、已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在二次函数1)1(2+-=x y 的图像上，若x 1＜x 2＜1，则y 1 y 2.（填“＞”“=”或“＜”）13、点A （a ，3）与点B （- 4，b ）关于原点对称，则a+b= 。

2014-2015学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷一、填空题：（20分）1．（2分）若x=3是方程x 2﹣5x +m=0的一个根，则m 是． 2．（2分）已知数据：2，﹣1，3，5，6，5，则这组数据的极差是，则这组数据的极差是 ，方差是差是 ． 3．（2分）在比例尺为1：2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5cm ，则AB 两地间的实际距离为两地间的实际距离为m ． 4．（2分）在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则sinA 的值为的值为 ． 5．（2分）在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，这些球除颜色外都相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为，则黄球的个数为个．6．（2分）直径为10cm 的⊙O 中，弦AB=5cm ，则弦AB 所对的圆周角是所对的圆周角是 ． 7．（2分）如图所示，一个宽为2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm ），那么该光盘的直径是，那么该光盘的直径是cm ．8．（2分）若圆锥的母线长为4cm ，底面半径为3cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是积是cm 2．9．（2分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙O 的半径R=2，sinB=，则弦AC 的长为长为．10．（2分）如图，在矩形AOBC 中，点A 的坐标是（﹣2，1），点C 的纵坐标是4，则B 点的坐标为点的坐标为．二、选择题：（18分）11．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是S 甲2=0.65，S 乙2=0.55，S 丙2=0.50，S 丁2=0.45，则射箭成绩最稳定的是（绩最稳定的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．（3分）关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．13．（3分）有一斜坡的水平距离为10米，铅直高度为10米，则坡度为（ ）A ．30°B ．60°C ．1：D ．：114．（3分）如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为S 1、S 2，则（，则（）A ．S 1=S 2B ．S 1=S 2C ．S 1=S 2D ．S 1=S 215．（3分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC=OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，则CD ：DE 的值是（ ）A ．B ．1C ．2D ．316．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）（a ＞2），半径为2，函数y=x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为，则a 的值是（ ）A．2 B．2+ C．2 D．2+三、解答题17．（10分）（1）计算：；（2）解方程：x2﹣2x﹣2=0．18．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=a．（1）求sina、cosa、tana的值；（2）若∠B=∠CAD，求BD的长．19．（6分）从3名男生和2名女生中随机抽取2014年南京青奥会志愿者．求下列事件的概率：（1）抽取1名，恰好是女生；（2）抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．20．（7分）甲、乙两校参加市教育局举办的初中生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．分数 7分 8分 9分 10分人数 11 0 8（1）请将甲校成绩统计表和图2的统计图补充完整；（2）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．21．（7分）如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离BC（结果精确到1m）．22．（6分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．万元；年的可变成本为（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．23．（6分）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．24．（7分）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕CE=，且．（1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标．25．（7分）如图，直线l1与l2相交于点A，点B、C分别在直线l1与l2上，且BC ⊥l2，垂足为C点．点D在直线l2上，AC=4，BC=3．（1）画出⊙O，使⊙O经过点B且与直线l2相切于点D（不写画法，保留画图痕迹）；（2）是否存在这样的⊙O1，既与直线l2相切又与直线l1相切于点B？若存在，求出⊙O1的半径；若不存在，请说明理由．2014-2015学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（20分）1．（2分）若x=3是方程x2﹣5x+m=0的一个根，则m是 6 ．【解答】解：把x=3代入x2﹣5x+m=0得9﹣15+m=0，解得m=6．故答案为6．2．（2分）已知数据：2，﹣1，3，5，6，5，则这组数据的极差是，则这组数据的极差是 7 ，方差是 ．【解答】解：这组数据的极差=6﹣（﹣1）=7，这组数据的平均数==，所以这组数据的方差=[22+（﹣1）2+32+52+62+52﹣6×（）2]=．故答案为7，．3．（2分）在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为两地间的实际距离为 100 m．【解答】解：设AB两地间的实际距离为x，=，解得x=10000cm=100m．故答案为：100m．4．（2分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则sinA的值为的值为 ．【解答】解：按比例分配，得A 180×=30°，sinA=sin30°==，sinA=sin30°故答案为：．5．（2分）在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，这些球除颜色24外都相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为，则黄球的个数为个．【解答】解：设黄球的个数为x 个， 根据题意得：=，解得：x=24，经检验：x=24是原分式方程的解； ∴黄球的个数为24． 故答案为：24；6．（2分）直径为10cm 的⊙O 中，弦AB=5cm ，则弦AB 所对的圆周角是所对的圆周角是 30°或150° ．【解答】解：连接OA 、OB ， ∵AB=OB=OA ， ∴∠AOB=60°， ∴∠C=30°，∴∠D=180°﹣30°30°=150°=150°． 故答案为：30°或150°．7．（2分）如图所示，一个宽为2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm ），那么该光盘的直径是，那么该光盘的直径是 10 cm ．【解答】解：如图，设圆心为O ，弦为AB ，切点为C ．如图所示．则AB=8cm ，CD=2cm ．连接OC ，交AB 于D 点．连接OA ．∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切， ∴OC ⊥AB ． ∴AD=4cm ．设半径为Rcm ，则R 2=42+（R ﹣2）2， 解得R=5，∴该光盘的直径是10cm ． 故答案为：108．（2分）若圆锥的母线长为4cm ，底面半径为3cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是积是 12π cm 2．【解答】解：圆锥的侧面展开图的面积=•2π•3•4=12π（cm 2）． 故答案为12π．9．（2分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙O 的半径R=2，sinB=，则弦AC 的长为长为 3 ．【解答】解：连接AO 并延长至⊙O 于点D ，则△ACD 为直角三角形， ∵∠B=∠D ， ∴sinD=sinB==，∵AD=2R=4， ∴AC=3．10．（2分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的坐标为点的坐标为 （，3） ．【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE=∠CHO，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE=CF=4﹣1=3，∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE，∴，即 ，∴OE=，即点B（ ，3），故答案为：（，3）．二、选择题：（18分）11．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是S 甲2=0.65，S 乙2=0.55，S 丙2=0.50，S 丁2=0.45，则射箭成绩最稳定的是（绩最稳定的是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁【解答】解：∵=0.65，=0.55，=0.50，=0.45，丁的方差最小，∴射箭成绩最稳定的是：丁． 故选：D ．12．（3分）关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m ＞0， 解得m ＜． 故选：B ．13．（3分）有一斜坡的水平距离为10米，铅直高度为10米，则坡度为（ ） A ．30°B ．60°C ．1：D ．：1【解答】解：坡度=10÷（10）=1：．故选：C ．14．（3分）如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为S 1、S 2，则（，则（）A ．S 1=S 2B ．S 1=S 2C ．S 1=S 2D ．S 1=S 2【解答】解：过A 点作AG ⊥BC 于G ，过D 点作DH ⊥EF 于H ． 在Rt △ABG 中，AG=AB•sin40°=AG=AB•sin40°=5sin40°5sin40°， ∠DEH=180°﹣140°140°=40°=40°， 在Rt △DHE 中，DH=DE•sin40°=8sin40°，S 1=8×5sin40°÷2=20sin40°， S 2=5×8sin40°÷2=20sin40°． 则S 1=S 2． 故选：C ．15．（3分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC=OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，则CD ：DE 的值是（ ）A ．B ．1C ．2D ．3【解答】解：如图，连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径，BC=OB ， ∴OA=OB=BC ， ∵CE 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥CE ， ∵AE ⊥CE ， ∴OD ∥AE ，∴△COD ∽△CAE ，∴==，∴=2．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a 的值是（的值是（ ）A．2 B．2+ C．2 D．2+【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接P A．∵PE⊥AB，AB=2，半径为2，∴AE=AB=，PA=2，根据勾股定理得：PE==1，∵点A在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=2，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．∵⊙P的圆心是（2，a），∴a=PD+DC=2+．三、解答题17．（10分）（1）计算：；（2）解方程：x2﹣2x﹣2=0．【解答】解：（1）原式=﹣1=1﹣1=0；（2）x2﹣2x﹣2=0，x2﹣2x=2，x2﹣2x+1=1+2，（x﹣1）2=3，x﹣1=，x1=1+，x2=1﹣．18．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=a．（1）求sina、cosa、tana的值；（2）若∠B=∠CAD，求BD的长．【解答】解：在Rt△ACD中，∵AC=2，DC=1，∴AD==．（1）sinα===，cosα===，tanα==；（2）在Rt△ABC中，tanB=，即tanα==，∴BC=4，∴BD=BC﹣CD=4﹣1=3．19．（6分）从3名男生和2名女生中随机抽取2014年南京青奥会志愿者．求下列事件的概率：（1）抽取1名，恰好是女生；（2）抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．【解答】解：（1）5名学生中有2名女生，所以抽取1名，恰好是女生的概率为；共有20种情况，恰好是1名男生和1名女生的情况数有由树形图可得出：共有（2）由树形图可得出：12种，所以概率为．20．（7分）甲、乙两校参加市教育局举办的初中生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．分数 7分 8分 9分 10分人数 11 0 1 8（1）请将甲校成绩统计表和图2的统计图补充完整；（2）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．【解答】解：（1）5÷=20（人），20×=3（人），20﹣11﹣8=1（人），填表如下：如下尚不完整的统计图表．分数 7分 8分 9分 10分人数 11 0 1 8如图所示：（2）甲校的平均分为=（7×11+8×0+9×1+10×8）=8.3分，分数从低到高，第10人与第11人的成绩都是7分，故中位数=（7+7）=7（分）；由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断，乙校的成绩较好．故答案为：1．21．（7分）如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离BC（结果精确到1m）．【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由题意可得：∠ADE=15°，∠BDF=15°，AD=1600m，AC=500m，ADE=cos15°==≈0.97，∴cos∠ADE=cos15°∴≈0.97，解得：DE=1552（m），sin15°==≈0.26，sin15°∴≈0.26，解得；AE=416（m），∴DF=500﹣416=84（m），BDF=tan15°==≈0.27，∴tan∠BDF=tan15°∴≈0.27，解得：BF=22.68（m），∴BC=CF+BF=1552+22.68=1574.68≈1575（m），答：他飞行的水平距离为1575m．22．（6分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．年的可变成本为2.6（1+x）2 万元；（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．【解答】解：（1）由题意，得第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，故答案为：2.6（1+x）2；（2）由题意，得4+2.6（1+x）2=7.146，解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．23．（6分）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP 的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵OP⊥OA，∴∠AOP=90°，∴∠A+∠APO=90°，∵CP=CB，∴∠CBP=∠CPB，而∠CPB=∠APO，∴∠APO=∠CBP，∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC中，OB=，OC=CP+OP=x+1，∵OB2+BC2=OC2，∴（）2+x2=（x+1）2，解得x=2，即BC的长为2．24．（7分）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕CE=，且．（1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标．【解答】解：（1）△OCD与△ADE相似．理由如下：由折叠知，∠CDE=∠B=90°，∴∠EDA+∠CDO=90°，∵∠EDA+∠DEA=90°，∴∠CDO=∠DEA，又∵∠COD=∠DAE=90°，∴△OCD∽△ADE；（2）∵tan∠EDA=，∴设AE=3t，则AD=4t，由勾股定理得DE=5t，∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=8t，由（1）△OCD∽△ADE，得，∴，∴CD=10t，在△DCE中，∵CD2+DE2=CE2，∴（10t）2+（5t）2=（5）2，解得t=1，∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），点E的坐标为（10，3），设直线CE的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴，令y=0，得到x=16，则点P的坐标为（16，0）．25．（7分）如图，直线l1与l2相交于点A，点B、C分别在直线l1与l2上，且BC⊥l2，垂足为C点．点D在直线l2上，AC=4，BC=3．（1）画出⊙O，使⊙O经过点B且与直线l2相切于点D（不写画法，保留画图痕迹）；（2）是否存在这样的⊙O1，既与直线l2相切又与直线l1相切于点B？若存在，求出⊙O1的半径；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1：①连接BD，作BD的垂直平分线MN，②过点D作直线l2的垂线，交直线MN于点O，③以点O为圆心，OD长为半径作圆，则⊙O即为所求的圆；（2）存在．如图2：设⊙O1切直线l2于点E，连接O1B，O1E，过点O1作O1F⊥BC于点F， ∵BC⊥l2，∴∠O1EC=∠ECF=∠O1FD=90°，∠O1BA=90°，∴四边形ECFO1是矩形，∴FC=O1E，∵∠BAC+∠ABC=90°，∠O1BF+∠ABC=90°，∴∠BAC=∠O1BF，∵∠O1FB=∠ACB=90°，∴△BO1F∽△ABC，∴，设⊙O1的半径为x，∵AC=4，BC=3，∴BF=BC﹣CF=3﹣x，在Rt△ABC中，AB==5，第21页（共21页）页）∴，解得：x=，∴⊙O 1的半径为．如图3中，设⊙O 2的半径为r ，则有AB 2=BO 2•BO 1，可得r=15，综上所述，满足条件的⊙O 的半径为15或．。

2014-2015学年江苏省常州市武进区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共24分）1．化简的结果是（）A． 3 B．﹣3 C．±3 D． 92．下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．3．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形4．估计﹣+1的值（）A．在﹣3到﹣2之间 B．在﹣4到﹣3之间 C．在﹣5之﹣4间 D．在﹣6到﹣5之间5．关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0（其中a为常数）的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．可能有实数根，也可能没有C．有两个相等的实数根 D．没有实数根6．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（） A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形C．矩形 D．对角线相等的四边形7．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A． 30，2 B． 60，2 C． 60， D． 60，8．如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题（每题2分，共20分）9．计算：﹣= ；（+1）（﹣1）= ．10．一元二次方程﹣x2=x的解是．11．使代数式有意义的x的取值范围是．12．若关于x的方程x2﹣3x+k=0的一个根是0，则k值是，另一个根是．13．一组数据2，﹣1，0，x，1的极差是5，则x的值是．14．已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰长为3，则这个等腰梯形的周长为．15．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是度．16．如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB的度数为．17．如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为．18．如图，矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，EC=2cm，AD上有一点P，PA=6cm，过点P作PF⊥AD交BC于点F，将纸片折叠，使P与E重合，折痕交PF于Q，则线段PQ的长是cm．三、解答题（共20分）19．计算：（1）﹣+；（2）（π﹣2013）0++（）﹣1．20．解方程：（1）x2﹣12x﹣4=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）．四、解答题（共36分）21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．22．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，且BD=BC，点E、F分别是DC、AB的中点．求证：（1）EF=AB；（2）过A点作AG∥EF，交BE的延长线于点G，则BE=GE．23．观察下列各式及其验证过程：=2，验证：===2．=3，验证：===3．（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证；（3）用a（a为任意自然数，且a≥2）写出三次根式的类似规律，并给出验证说理过程．24．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD 内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．25．平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．（1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度；（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形．26．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．（1）用含有t的代数式表示PE= ；（2）探究：当t为何值时，四边形PQBE为梯形？（3）是否存在这样的点P和点Q，使△PQE为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年江苏省常州市武进区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共24分）1．化简的结果是（）A． 3 B．﹣3 C．±3 D． 9考点：二次根式的性质与化简．分析：本题可先将根号内的数化简，再开方，根据开方的结果得出答案．解答：解：==3．故选：A．点评：本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意式子为（﹣3）2的算术平方根，结果为非负数．2．下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．考点：同类二次根式．分析：运用化简根式的方法化简每个选项即可选出答案．解答：解：A、=2，故A选项是；B、=3，故B选项不是；C、=2故C选项不是；D、=，故D选项不是．故选：A．点评：本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是熟记化简根式的方法．3．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形考点：菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．分析：本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．解答：解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；点评：本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．4．估计﹣+1的值（）A．在﹣3到﹣2之间 B．在﹣4到﹣3之间 C．在﹣5之﹣4间 D．在﹣6到﹣5之间考点：估算无理数的大小．分析：先求出的范围，再求出﹣+1的范围，即可得出选项．解答：解：∵3＜＜4，∴﹣3＞﹣＞﹣4，∴﹣2＞﹣+1＞﹣3，即﹣+1在﹣3到﹣2之间，故选A．点评：本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出的范围．5．关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0（其中a为常数）的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．可能有实数根，也可能没有C．有两个相等的实数根 D．没有实数根考点：根的判别式．分析：先计算△=（﹣2a）2﹣4×（﹣1）=4a2+4，由于4a2≥0，则4a2+4＞0，即△＞0，然后根据根的判别式的意义进行判断即可．解答：解：△=（﹣2a）2﹣4×（﹣1）=4a2+4，∵4a2≥0，∴4a2+4＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．6．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（） A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形C．矩形 D．对角线相等的四边形考点：三角形中位线定理；菱形的判定．分析：根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．解答：解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，∴EH∥FG，EF=FG，∴四边形EFGH是平行四边形，假设AC=BD，∵EH=AC，EF=BD，∴平行四边形EFGH是菱形，即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，故选：D．点评：本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．7．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，B C=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n 度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A． 30，2 B． 60，2 C． 60， D． 60，考点：旋转的性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．解答：解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2，AB=2BC=4，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD=AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD=AB=2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2=，∴S阴影=DF×CF=×=．故选C．点评：本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．8．如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则的值为（）A． B． C． D．考点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．分析：根据翻折的性质可得∠BAC=∠EAC，再根据矩形的对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠BCA，从而得到∠EAC=∠DAC，设AE与CD相交于F，根据等角对等边的性质可得AF=CF，再求出DF=EF，从而得到△ACF和△EDF相似，根据相似三角形对应边成比例求出=，设DF=3x，FC=5x，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求出AD，再根据矩形的对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解．解答：解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，∴∠BAC=∠EAC，AE=AB=CD，∵矩形ABCD的对边AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∴∠EAC=∠DCA，设AE与CD相交于F，则AF=CF，∴AE﹣AF=CD﹣CF，即DF=EF，∴=，又∵∠AFC=∠EFD，∴△ACF∽△EDF，∴==，设DF=3x，FC=5x，则AF=5x，在Rt△ADF中，AD===4x，又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x，∴==．故选A．点评：本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．二、填空题（每题2分，共20分）9．计算：﹣= ；（+1）（﹣1）= 1 ．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：把化简成最简二次根式，然后把﹣进行合并即可；利用平方差公式计算（+1）（﹣1）．解答：解：：﹣=﹣=；（+1）（﹣1）=（）2﹣1=2﹣1=1．故答案为，1．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．一元二次方程﹣x2=x的解是x1=0，x2=﹣1 ．考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解：﹣x2=x，x2+x=0，x（x+1）=0，x=0，x+1=0，x1=0，x2=﹣1，故答案为：x1=0，x2=﹣1．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生解一元二次方程的能力，题目比较好，难度适中．11．使代数式有意义的x的取值范围是x≥﹣2 ．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，2+x≥0，解得x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．若关于x的方程x2﹣3x+k=0的一个根是0，则k值是0 ，另一个根是 3 ．考点：一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解，把x=0代入原方程得到k的一次方程，解一次方程得到k的值，然后把k的值代入原方程，再利用因式分解法解方程得到方程另一个根．解答：解：把x=0代入x2﹣3x+k=0得k=0，所以原方程变形为x2﹣3x=0，解得x1=0，x2=3，所以方程另一个根是3．故答案为0，3．点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．13．一组数据2，﹣1，0，x，1的极差是5，则x的值是﹣3或4 ．考点：极差．分析：根据极差的公式：极差=最大值﹣最小值．x可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论．解答：解：当x是最大值时，则x﹣（﹣1）=5，所以x=4；当x是最小值时，则2﹣x=5，所以x=﹣3．故答案为﹣3或4．点评：本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．同时注意分类的思想的运用．14．已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰长为3，则这个等腰梯形的周长为18 ．考点：梯形中位线定理；等腰梯形的性质．分析：此题只需根据梯形的中位线定理求得梯形的两底和，即可进一步求得梯形的周长．解答：解：∵等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，∴AB+CD=2×6=12．又∵腰AD的长为3，∴这个等腰梯形的周长为AB+CD+AD+BC=12+3+3=18．故答案为：18．点评：本题考查的是梯形的中位线定理及等腰梯形的性质，熟知梯形中位线定理是解答此题的关键．15．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是22.5 度．考点：正方形的性质．专题：计算题．分析：根据正方形的性质可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC，从而可求得∠BCP的度数，从而就可求得∠ACP的度数．解答：解：∵ABCD是正方形，∴∠DBC=∠BCA=45°，∵BP=BC，∴∠BCP=∠BPC=（180°﹣45°°，∴∠°﹣45°°．点评：此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质，平分每一组对角．16．如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB的度数为°．考点：正方形的性质；菱形的性质．分析：根据正方形的性质求出∠BAC=45°，再根据菱形的对角线平分一组对角解答即可．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°，∵四边形AEFC是菱形，∴∠FAB=∠BAC=×45°°．°．点评：本题考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟记性质是解题的关键．17．如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为．考点：菱形的性质；规律型：图形的变化类；中点四边形．分析：首先根据题意求得第一个菱形的面积、第二个矩形与菱形面积、第三个矩形与菱形面积，继而得到规律：第n个菱形的面积为：（）2n﹣2，则可求得答案．解答：解：∵第一个矩形的面积为2，∴第一个菱形的面积为1；∴第二个矩形的面积为：，第二个菱形的面积为：（）2，第三个矩形的面积为：（）3，第三个菱形的面积为（）4，依此类推，第n个菱形的面积为：（）2n﹣2，∴第2013个菱形的面积为：（）2×2013﹣2=（）4024=．点评：此题考查了菱形与矩形的性质．此题难度适中，注意得到规律：第n个菱形的面积为：（）2n﹣2是解此题的关键．18．如图，矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，EC=2cm，AD上有一点P，PA=6cm，过点P作PF⊥AD交BC于点F，将纸片折叠，使P与E重合，折痕交PF于Q，则线段PQ的长是cm．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题；探究型．分析：连接EQ，由翻折变换的性质可知△PEQ是等腰三角形，OQ是PE的垂直平分线，再由已知条件得出PD及DE的长，由勾股定理得出PE的长，设PQ=x，则QF=5﹣x，用x表示出OQ的长，根据S△PEQ+S梯形QFCE=S梯形PFCE即可得出x的值，进而得出结论．解答：解：连接EQ，∵将纸片折叠，使P与E重合，∴△PEQ是等腰三角形，OQ是PE的垂直平分线，∵矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，PA=6cm，CE=2cm，∴PD=4cm，DE=3cm，∵在Rt△DPE中PE===5．∴OP=PE=，设PQ=x，则QF=5﹣x，∴OQ==∵S△PEQ+S梯形QFCE=S梯形PFCE，即：PE•OQ+（QF+CE）×CF=（PF+CE）×CF，即×5×+×（5﹣x+2）×4=×（5+2）×4，解得x=cm．故答案为：．点评：本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．三、解答题（共20分）19．计算：（1）﹣+；（2）（π﹣2013）0++（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据零指数幂、负整数指数幂的意义得到原式=1+3+，然后合并即可．解答：解：（1）原式=2﹣+2=+2；（2）原式=1+3+=1+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．20．解方程：（1）x2﹣12x﹣4=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．分析：（1）先移项，再配方，开方后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解：（1）x2﹣12x﹣4=0；x2﹣12x=4，配方得：x2﹣12x+62=4+62，（x﹣6）2=40，开方得：x﹣6=±，x1=6+2，x2=6﹣2；（2）移项得：3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]=0，x﹣2=0，3（x﹣2）﹣x=0，x1=2，x2=3．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生解一元二次方程的能力，题目比较好，难度适中．四、解答题（共36分）21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可．解答：证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠FCB=90°，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，在Rt△AED和Rt△CFB中，∵，∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD=BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．22．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，且BD=BC，点E、F分别是DC、AB的中点．求证：（1）EF=AB；（2）过A点作AG∥EF，交BE的延长线于点G，则BE=GE．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．专题：证明题．分析：（1）连接BE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE⊥AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=AB；（2）求出AF=EF，再根据等边对等角可得∠AEF=∠EAF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AEF=∠EAG，从而得到∠EAF=∠EAG，然后利用等腰三角形三线合一的性质可得BE=GE．解答：（1）证明：如图，连接BE，∵BD=BC，点E是CD的中点，∴BE⊥AC，∵点F是AB的中点，∴EF=AB；（2）解：∵AF=EF=AB，∴∠AEF=∠EAF，∵AG∥EF，∴∠AEF=∠EAG，∴∠EAF=∠EAG，又∵BE⊥AC，∴BE=GE（等腰三角形三线合一）．点评：本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．23．观察下列各式及其验证过程：=2，验证：===2．=3，验证：===3．（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证；（3）用a（a为任意自然数，且a≥2）写出三次根式的类似规律，并给出验证说理过程．考点：二次根式的性质与化简．专题：规律型．分析：（1）利用已知，观察=2，=3，可得的值；（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；（3）利用已知可得出三次根式的类似规律，进而验证即可．解答：解：（1）∵=2，=3，∴=4=4=，验证：==，正确；（2）由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，∴=a，验证：==a；正确；（3）=a（a为任意自然数，且a≥2），验证：===a．点评：此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．24．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD 内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．分析：（1）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）设GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．解答：解：（1）GF=GC．理由如下：连接GE，∵E是BC的中点，∴BE=EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵在矩形ABCD中，∴∠C=90°，∴∠EFG=90°，∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF=GC；（2）设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，解得x=．点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键．25．平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．（1）请写出旋转中心的坐标是（0，0），旋转角是90 度；（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形．考点：作图-旋转变换．专题：作图题．分析：（1）根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，一对对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角；（2）根据网格结构分别找出找出△A1AC1顺时针旋转90°、180°后的对应点的位置，然后顺次连接即可．解答：解：（1）旋转中心的坐标是（0，0），旋转角是90度；（2）如图所示，△A1A2C2是△A1AC1以O为旋转中心，顺时针旋转90°的三角形，△A2C3B是△A1AC1以O为旋转中心，顺时针旋转180°的三角形．点评：本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的旋转中心与旋转角的确定，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．26．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．（1）用含有t的代数式表示PE= ﹣t+3 ；（2）探究：当t为何值时，四边形PQBE为梯形？（3）是否存在这样的点P和点Q，使△PQE为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．考点：四边形综合题．分析：（1）由四边形ABCD为矩形，得到∠D为直角，对边相等，可得三角形ADC为直角三角形，由AD与DC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由PE平行于CD，利用两直线平行得到两对同位角相等，可得出三角形APE与三角形ADC相似，由相似得比例，将各自的值代入，整理后得到y 与x的关系式；（2）若QB与PE平行，得到四边形PQBE为矩形，不合题意，故QB与PE不平行，当PQ与BE平行时，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出一对邻补角相等，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，可得出三角形APQ与三角形BEC相似，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到四边形PQBE为梯形时x的值；（3）存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形，分两种情况考虑：当Q 在AE上时，由AE﹣AQ表示出QE，再根据PQ=PE，PQ=EQ，PE=QE三种情况，分别列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意x的值；当Q在EC上时，由AQ﹣AE表示出QE，此时三角形为钝角三角形，只能PE=QE列出关于x的方程，求出方程的解得到满足题意x的值，综上，得到所有满足题意的x的值．解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，AB=DC=3，AD=BC=4，∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC==5，∵PE∥CD，∴∠APE=∠ADC，∠AEP=∠ACD，∴△APE∽△ADC，又∵PD=t，AD=4，AP=AD﹣PD=4﹣t，AC=5，DC=3，∴==，即==，∴PE=﹣t+3．故答案为：﹣t+3；（2）若QB∥PE，四边形PQBE是矩形，非梯形，故QB与PE不平行，当QP∥BE时，∵∠PQE=∠BEQ，∴∠AQP=∠CEB，∵AD∥BC，∴∠PAQ=∠BCE，∴△PAQ∽△BCE，由（1）得：AE=﹣t+5，PA=4﹣t，BC=4，AQ=t，∴==，即==，整理得：5（4﹣t）=16，解得：t=，∴当t=时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形；（3）存在．分两种情况：当Q在线段AE上时：QE=AE﹣AQ=﹣t+5﹣t=5﹣t，（i）当QE=PE时，5﹣t=﹣t+3，解得：x=；（ii）当QP=QE时，∠QPE=∠QEP，∵∠APQ+∠QPE=90°，∠PAQ+∠QEP=90°，∴∠APQ=∠PAQ，∴AQ=QP=QE，∴t=5﹣t，解得，t=；（iii）当QP=PE时，过P作PF⊥QE于F（如图1），可得：FE=QE=（5﹣t）=，∵PE∥DC，∴∠AEP=∠ACD，∴cos∠AEP=cos∠ACD==，∵cos∠AEP===，解得t=；当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图2所示：∴PE=EQ=AQ﹣AE，AQ=t，AE=﹣t+5，PE=﹣t+3，∴﹣t+3=t﹣（﹣t+5），解得nt=．综上，当t=或t=或t=或t=时，△PQE为等腰三角形．点评：此题考查的是四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，梯形的判定，以及等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．。

数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前2014年常州市中考数学试卷数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共16分)一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题给出的四个选项中,恰有一项是正确的)1.12-的相反数是( ) A .12B .12-C .2-D .2 2.下列运算正确的是( ) A .33⋅=a a a B .33()=ab a b C .326()=a aD .842÷=a a a3.下列立体图形中,侧面展开图是扇形的是( )A B C D4.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10次射击成绩平均数均是9.2环,方差分别为2甲s =0.56,2乙s =0.60,2丙s =0.50,2丁s =0.45,则成绩最稳定的是 ( )A .甲B .乙C .丙D .丁5.已知两圆半径分别为3 cm 、5cm ,圆心距为7cm ,则这两圆的位置关系为 ( ) A .相交B .外切C .内切D .外离6.已知反比例函数=ky x的图像经过-1,2（）P ,则这个函数的图像位于( ) A .第二,三象限B .第一,三象限C .第三,四象限D .第二,四象限7.甲,乙两人骑车以相同路线前往距离单位10km 的培训中心参加学习.图中甲l 、乙l 分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程 km s 随时间(分)变化的函数图象.以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km 后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有 ( ) A .4个B .3个C .2个D .1个8.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 经过点-3,0A （）,点B (0,),点P 的坐标为1,0（）,P 与y 轴相切于点O .若将P 沿x 轴向左平移,平移后得到'P (点P 的对应点为点'P ),当'P 与直线l 相交时,横坐标为整数的点'P 共有( )A .1个B .2个C .3个D .4个第Ⅱ卷(非选择题 共104分)二、填空题(本大题共9小题,第9小题4分,其余8小题每小题2分,共20分.请把答案填写在题中的横线上) 9.计算：|1|-= ,22-= ,2(3)-=,= .10.已知()1,2-P ,则点P 关于x 轴的对称点的坐标是 ,点P 关于原点O 的对称点的坐标是 .11.若30α∠=︒,则α∠的余角等于 度,sin α的值为 .12.已知扇形的半径为3 cm ,此扇形的弧长是2πcm ,则此扇形的圆心角等于 度,扇形的面积是 2cm .(结果保留π)13.已知反比例函数2=y x,则自变量x 的取值范围是 ；0,则x = .14.已知关于x 的方程230-+=x x m 的一个根是1,则m = ,另一根为 . 15.因式分解：329-x xy = .16.在平面直角坐标系xOy 中,一次函数10=-y x 的图像与函数6(0)＞=y x x的图像相交于点A 、B ,设点A 的坐标为(1x ,1y ),那么长为1x ,宽为1y 的矩形的面积为 ,周长为 .17.在平面直角坐标系xOy 中,已知一次函数=+y kx b 的图像经过点1,1（）P ,与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,且3tan ∠=ABO ,那么A 点的坐标是 . 三、解答题(本大题共2小题,共18分.解答应写出演算步骤) 18.(本小题满分8分)计算与化简：毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------(11()2tan453-+；(2)(1)(1)(1)-+-+x x x x.19.(本小题满分10分)解不等式组和分式方程：(1)32113xx+-⎧⎨-⎩＞＜(2)32111-=--xx x四、解答题(本大题共2小题,共15分.解答应写出文字说明或演算步骤)20.(本小题满分7分)为迎接“六一”儿童节的到来,某校学生参加献爱心捐款活动,随机抽取该校部分学生的捐款数进行统计分析,相应数据的统计图如下：(1)该样本的容量是,样本中捐款15元的学生有人；(2)若该校一共有500名学生,据此样本估计该校学生的捐款总数.21.(本小题满分8分)一只不透明的箱子里共有3个球,把它们分别编号为1、2、3,这些球除编号不同外其余都相同.(1)从箱子中随机摸出一个球,求摸出的球是编号为1的球的概率；(2)从箱子中随机摸出一个球,记录下编号后将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球并记录下编号,求两次摸出的球都是编号为3的球的概率.五、解答题(本大题共2小题,共12分.解答应写出证明过程)22.(本小题满分5分)已知：如图,点C为AB中点,=CD BE,∥CD BE.求证：≌△△ACD CBE.23.(本小题满分7分)已知：如图,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,=AF CE,连接DE、DF、BE、BF.四边形DEBF为平行四边形.求证：四边形ABCD是平行四边形.六、画图与运用(本大题共2小题,共14分)24.(本小题满分7分)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知△Rt DOE,90DOE∠=, 3=OD,点D在y轴上,点E在x轴上,在△ABC中,点A,C在x轴上,5=AC.180ACB ODE∠+∠=,∠=∠ABC OED,=BC DE.按下列要求画图(保留作图痕迹)：(1)将△DOE绕O点按逆时针方向旋转90得到△OMN(其中点D的对应点为点M,点E的对应点为点N),画出△OMN；(2)将△ABC沿x轴向右平移得到△'''A B C(其中点A、B、C的对应点分别为点'A、'B、'C),使得''B C与(1)中的△OMN的边NM重合,画出△'''A B C.数学试卷第3页（共20页）数学试卷第4页（共20页）数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）(3)求OE 的长.25.(本小题满分7分)某小商场以每件20元的价格购进一种服装,先试销一周,试销期间(1)试求t 与x 之间的函数关系式；(2)在商品不积压且不考虑其它因素的条件下,每件服装的销售定价为多少时,该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？(注：每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价－每件服装的进货价) 七、解答题(本大题共3小题,共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26.(本小题满分6分)我们用[]a 表示不大于a 的最大整数,例如：[]2.52=,[]33=,[]2.53-=-；用a 表示大于a 的最小整数,例如： 2.53=,45=, 1.51-=-.解决下列问题：(1)[]4.5-= ,= ；(2)若[]x =2,则x 的取值范围是 ；若y =－1,则y 的取值范围是 ；(3)已知x ,y 满足方程组[][]3233,.6x y x y ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩求x ,y 的取值范围.27.(本小题满分9分)在平面直角坐标系xOy 中,二次函数213222=-++y x x 的图像与x 轴交于点A ,B (点B 在点A 的左侧),与y轴交于点C .过动点H 0,m （）作平行于x 轴的直线l ,直线l 与二次函数213222=-++y x x 的图像相交于点D ,E .(1)写出点A ,点B 的坐标；(2)若0>m ,以DE 为直径作Q ,当Q 与x 轴相切时,求m 的值；(3)直线l 上是否存在一点F ,使得△ACF 是等腰直角三角形？若存在,求m 的值；若不存在,请说明理由.28.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,点M),以点M 为圆心,OM 长为半径作M .使M 与直线OM 的另一交点为点B ,与x 轴,y 轴的另一交点分别为点D ,A (如图),连接AM .点P 是AB 上的动点. (1)写出∠AM B 的度数；(2)点Q 在射线OP 上,且20OP OQ =,过点Q 作QC 垂直于直线OM ,垂足为C ,直线QC 交x 轴于点E .①当动点P 与点B 重合时,求点E 的坐标；②连接QD ,设点Q 的纵坐标为t ,△QOD 的面积为S .求S 与t 的函数关系式及S 的取值范围.数学试卷 第7页（共20页）数学试卷 第8页（共20页）2014年常州市中考数学试卷数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】12-的相反数是12. 【考点】相反数的性质 2.【答案】C【解析】34a a a ⋅=；333()ab a b =；844a a a ÷=.【考点】幂的运算 3.【答案】B【解析】熟悉常见立体图形侧面展开图即可解题. 【考点】图形展开与折叠 4.【答案】D【解析】比较出甲、乙、丙、丁四人的射击成绩的方差，则可判断出谁的成绩最稳定. 【考点】方差 5.【答案】A【解析】根据两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R 、r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系. 【考点】圆与圆的位置关系. 6.【答案】D【解析】先根据点的坐标求出k 的值，再利用反比例函数图像的性质即可求解. 【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图像的性质. 7.【答案】B【解析】观察函数图像可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图像上特殊点的意义进行解答.①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达，故①正确；②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度40101560=÷=（千米/时），故②正确；④设乙出发x 分钟后追上甲，则有1010(18)281840x x ⨯=⨯+-，解得6x =，故④正确；③由④知：乙第一次遇到甲时，5 / 10所走的距离为1066km 2818⨯=-，故③错误.【考点】函数的图像 8.【答案】C【解析】若圆和直线相切，则圆心到直线的距离应等于圆的半径1，直线l 经过点(3,0)A -，点B ，所以30BAO ∠=︒，所以当相切时，2AP =，点P 可能在点A 的左侧或右侧.所以要相交，应介于这两种情况之间，即需要移动的距离大于422-=，而小于325+=，此时横坐标为整数的点P 有(2,0)(3,0)(4,0)---三个.【考点】动点问题，直线，圆第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】1；14；9；2- 【解析】【考点】实数的绝对值，负指数幂，平方和立方根 10.【答案】(1,2)；(1,2)-【解析】根据关于x 轴对称点的坐标特点；横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案；关于原点O 对称点的坐标，横坐标、纵坐标都变为原坐标的相反数. 【考点】关于x 轴对称点的坐标特点 11.【答案】60︒；12【解析】解题的关键是抓住互为余角的两个角的和为90度. 【考点】余角的定义，特殊角的三角函数值 12.【答案】120；23π cm 【解析】根据公式直接计算. 【考点】弧长公式，扇形的面积公式 13.【答案】0x ≠，3-【解析】结合二次根式考查了代数式的值.已知反比例函数2y x=，根据分母不为0可得x的取值范围；0，则3x =-.【考点】反比例函数自变量的取值范围 14.【答案】2；2数学试卷 第11页（共20页）数学试卷 第12页（共20页）【解析】根据一元二次方程的解的定义，将1x =代入原方程求得m 的值，然后利用解方程即可求得方程的另一根.【考点】一元二次方程的解的定义，解一元二次方程. 15.【答案】(3)(3)x x y x y -+【解析】先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. 【考点】用提公因式法，公式法进行因式分解 16.【答案】6；20【解析】先求出两图像的交点坐标，从而得出矩形面积和周长. 【考点】一次函数，反比例函数，矩形 17.【答案】(2,0)-或()4,0【解析】已知tan 3ABO ∠=，就是已知一次函数的一次项系数是13或13-.根据函数经过点P ，利用待 定系数法即可求得函数解析式，进而可得到A 的坐标. 【考点】求三角函数，一次函数的解析式，交点坐标 三、解答题 18.【答案】（1）3 （2）1x -【解析】解：（1）原式2123=-+=. （2）原式2211x x x x =-+-=-.【考点】实数的混合运算，整式的乘法运算 19.【答案】（1）1x >- （2）32x =-【解析】解：（1）解不等式①，得1x >-，解不等式②，得2x >-，∴不等式组的解集为1x >-. （2）321x x +=-，312x x -=--，32x =-.经检验32x =-是原方程的根. 【考点】一完一次不等式组解集的求法，分式方程的解法 20.【答案】（1）50；10 （2）4570（元） 【解析】解：（1）50；10. （2）平均每人的捐款数为1(155********)9.550⨯⨯+⨯+⨯=，9.55004750⨯=（元）. 【考点】条形统计图，扇形统计图的运用，样本数据估计总体7 / 1021.【答案】（1）13（2）19【解析】（1）从箱子中随机摸出一个球，摸出的球是编号为1的球的概率为13. （2）画树状图如下；共有9种可能的结果，两次摸出的球都是编号为3的球的概率为19. 【考点】列表法与树状图求概率 22.【答案】()ACD CBE SAS △△≌【解析】证明：∵//CD BE ，ACD B ∠=∠.∵C 为AB 的中点，∴AC CB =.又CD BE =，∴()ACD CBE SAS △△≌.【考点】三角形全等的判定方法 23.【答案】四边形ABCD 是平行四边形【解析】证明：连接BD 交AC 于点O .∵四边形DEBF 为平行四边形，∴O D O B=，OE OF =，∵A F C E=，∴AF EF CE EF -=-，即AE CF =，∴A E O E C F O F +=+，即OA OC =∴四边形ABCD 是平行四边形.【考点】平行四边形的判定与性质 24.【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）6OE =【解析】（1）、（2）画图如下：（3）设OE x =，则ON x =，作MF A B ''⊥于点F ，由作图可知：B C ''平分A B O ''∠，且C O OB ''⊥，∴B F B O OE x ''===，3FC OC OD ''===.∵5A C AC ''==，∴4A F '=，∴4ABx ''=+，538A O '=+=.∴2228(4)x x +=+，解得6x =，∴6OE =.数学试卷 第15页（共20页）数学试卷 第16页（共20页）【考点】尺规作图，图形的变换，勾股定理 25.【答案】（1）280y x =-+ （2）200【解析】解：（1）设t 与x 之间的函数关系式为：t kx b =+，∵其经过()38,4和()36,8两点，∴438836k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得280k b =-⎧⎨=⎩，故280y x =-+.（2）设每天的毛利润为ω元，每件服装销售的毛利润为()20x -元，每天售出()802x -件，则()()()222080221201600230200x x x x xω=--=-+-=--+.当30x =时，获得的毛利润最大，最大毛利润为200元.【考点】二次函数及一次函数的应用 26.【答案】（1）-5；4 （2）21y -≤<-（3）10x -≤<，23y ≤< 【解析】（1）-5，4；（2）∵[]2x =，∴则x 的取值范围是23x ≤<； ∵1y =-，∴y 的取值范围是21y -≤<-.（3）3[]233[]6x y x y ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，解之得[]13x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴,x y 的取值范围分别为10x -≤<，23y ≤<. 【考点】有理数，不等式组，二元-次方程组 27.【答案】（1）(4,0)和(1,0)- （2）1m =-或1m =（不合题意，舍去） （3）3或-1或-2或-4 【解析】解：（1）当0y =时，有2132022x x -++=，解之得14x =，21x =-，∴A B 、两点的坐标分别为(4,0)和(1,0)-.（2）∵Q 与x 轴相切，且与213222y x x =-++交于D E 、两点，∴圆心O 位于直线l 与抛物线对称轴的9 / 10交点处，且Q 的半径为H 点的纵坐标(0)m m >.∵抛物线的对称轴为332122()2x =-=⨯-，∴D E 、两点的坐标分别为3(,)2m m -，3(,)2m m +，且均在二次函数213222y x x =-++的图像上，∴21333()()22222m m m =-⨯++⨯++，解得12m =-或12m =-（不合题意，舍去）. （3）存在.∵2131()3228y x =--+，∴1=38y 最大，根据题意138m <.在Rt AOC △中，AC ==假设存在，分三种情况：①当AC 为底边时，点F 是在AC 上方，即如图①中的1F ，过点1F 作1FG x ⊥轴于点G ,1F H y ⊥轴于点H ,则11Rt FGA Rt F HC △△≌.∴HC AG =.设AG HC a ==，则24a a +=-，解得1a =，∴1(3,3)F .∴111338m FG ==<，符合题意.当点F 在AC 下方时，根据对称性，过点1F 作1F N AC ⊥于点N ，延长1F N 到2F ，使21F N F N =，可得2F .过点2F 作2F y ⊥轴于点I ，同理可求得1IO =，∴21138m OI =-=-<，符合题意.②以C 为直角顶点AC 为腰，当点F 在AC 上方3F 时，如图②，过点3F 作3F G y ⊥轴于点G ，则3390GF C F CA OCA ∠=︒-∠=∠，390F GC AOC ∠=∠=︒.又∵3F C AC =，∴3F GC AOC △△≌，∴4GC OA ==，则点3F 的纵坐标为6，∴31638m =>，不符合题意，舍去.类似的可以求出当点F 在AC下方4F 的纵坐标为2-，∴41238m =-<，符合题意.③以A 为直角顶点AC 为腰，当点F 为AC 上方的5F 时，如图②，类似②可求5F 纵坐标为4.∴31438m =>，不符合题意，舍去.当点F 为AC 上方的6F 时，类似②可求6F 纵坐标为4-.∴41438m =-<，符合题意.综上，存在这样的点F ，且m 的值为3或1-或2-或4-.数学试卷 第19页（共20页）数学试卷 第20页（共20页）【考点】二次函数解析式，圆的切线的性质，等腰直角三角形 28.【答案】（1）90（2）①；②510S ≤≤ 【解析】解：（1）90；（2）①由题意，易知：2OM =，OD =,∴4OB =.当动点P 与点B 重合时，∵20OP OQ ⋅=,∴5OQ =.∵90OQE ∠=,45POE ∠=,∴OE =.∴点E的坐标为.②∵OD =,点Q 的纵坐标为t，∴12S =⨯=.当动点P 与B 重合时，过点Q 作QF x ⊥轴，垂足为F ,∵4OP =,20OP OQ ⋅=,∴5OQ =,∵90OFC ∠=,45QOD ∠=,∴t =，此时52S =.当动点P 与点A 重合时，点Q 在y 轴上，∴OP =.∵20OP OQ ⋅=,∴t OQ ==,此时10S ==.∴S 的取值范围为510S ≤≤.【考点】平面直角坐标系，圆，一次函数。