高中数学 第一章 空间几何体 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积课件 新人教A版必修2

K12课件
7
探究2:探究1中所得圆柱的体积是多少?
答案:在第(1)种情况下,
V=π ·( 2 )2×6= 24 ,
π
π
在第(2)种情况下,
V=π ·( 3 )2×4= 36 .
π
π
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自我检测
1.(求体积)已知圆锥的母线长为5,底面周长为6π ,则它的体积为( D ) (A)36π (B)30π (C)24π (D)12π
3
3
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3.(面积与体积)长方体三个面的面积分别为2,6和9,则长方体的体积是 (A ) (A)6 3 (B)3 6 (C)11 (D)12
解析:设长方体长、宽、高分别为 a,b,c,则 ab=2,ac=6,bc=9,相乘得(abc)2=108, 所以 V=abc=6 3 .
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1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
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1
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课标要求
1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台体的表面积 和体积的求法. 2.了解柱、锥、台体的表面积、体积计算公式;能运用柱、 锥、台的表面积、体积公式进行计算和解决有关实际问题.
通过学习空间几何体的表面积、体积运算培养空间想象能力 素养达成
母线长为 l= h2 R r2 = 4r2 3r2 =5r=10,
所以 r=2,R=8. 故 S 侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π, S 表=S 侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π. 答案:(3)168π
则棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面积为

先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图 所示．
因为BC＝a，SD＝ SB2－BD2 ＝ a2－a22＝ 23a， 所以S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2. 因此，四面体S－ABC的表面积S＝4× 43a2＝ 3a2.
(2)如上图所示，圆锥的底面半径r＝a2，母线长l＝a，则其 表面积为S表＝πr(r＋l)＝π×a2(a2＋a)＝34πa2.
B．2
3 C.2
1 D.2
[答案] A
[分析] 如图所示，设O1、O分别为棱台上、下底面中 心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则 M1M为斜高．
过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1， S侧＝4×12(1＋2)·M1M， S上底＋S下底＝5. 由已知得2(1＋2)·M1M＝5， ∴M1M＝56. 在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝12. ∴M1H＝O1O＝ M1M2－MH2 ＝ 562－122＝23.
学法指导 必须由三视图准确地还原几何体，再根据定 义或公式求出几何体的表面积．
[例4] 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1， 则其表面积等于________．
[答案] 6＋2 3
[解析] 通过三视图还原三棱柱直观图如图2，通过正视
图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为
矩形，上下底面为正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×
43×22
＝6＋2 3.
(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如下图所示，则 该几何体的表面积为( )
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
[答案] C
[解析] 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱

解析 ∵圆锥 SO 的高为 4，体积为 4π， ∴4π＝43πr2，∴r＝ 3.
4.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示， 则其侧面积等于____6____．
解析 由正视图知，其侧面的底边长为 2，高为 1，故 其侧面积 S＝2×1×3＝6.
5.已知底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm 的圆柱，挖 去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求 所得几何体的表面积及体积．
V＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r2·AD－13πr2AD ＝π×3× 6－13×π×3× 6 ＝2 6π(cm3).
探究 3 组合体的表面积与体积 例 3 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面 ABCD 内过点 C 作 l⊥CB，以 l 为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
解 如题图，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC， AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 (1)柱体、锥体、台体的体积公式之间的内在关系为
V 锥体＝13Sh. (2)在三棱锥 A－BCD 中，若求点 A 到平面 BCD 的距离 h，可以先求 VA－BCD，再由 h＝S△3BVCD求得．这种方法就是用 等体积法求点到平面的距离，其中 V 一般用换顶点法求解， 即 VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是 V 易求， 且△BCD 的面积易求．
A.1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．3∶2
解析 ∵G 为 PB 的中点， ∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC ＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC. 又多边形 ABCDEF 是正六边形， ∴S△ABC＝12S△ACD. ∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC. ∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.

棱柱,棱锥,棱台的外表积
棱柱
棱锥
棱台
一般地,多面体的外表积就是各个面的面积之和
例1．棱长为 ，a各面均为等边
三角形的四面体S-ABC，求它的 外表积 ．
S
A
B
C
例1．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作 SD ，BC 交BC于点D．
正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可 以统一为：
V Sh（S为底面面积，h为高）．
一般棱柱体积也是：
V Sh
h
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
S
〔二〕、锥体体积：
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
的 1．即棱锥的体积： 3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面 面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于
OO R,ABC是正三角形，
2
OA2 3AB 23r
32
3
解 R O ： O A t中 , O 在 2 O A O 2 O A 2 ,
R2 (R)2 (2 3)2,
2
3
R 4. 3
A
V4R34(4)325;6
3 3 3 81
O C
O
B
S4R241664 .
99
五、课堂小结
柱体、锥体、台体的体积
1.3.1 柱体、锥体、台体 的外表积与体积
1.几何体的展开图与其外表积的关系
在已经学过了正方体和长方体的外表积，你知道正 方体和长方体的展开图与其外表积的关系吗？
几何体外表积 展开图 平面图形面积

该棱台的体积是( )
A．18＋6 2
B．6＋2 2
C．24
D．18
解析：棱台体积 V＝13(2＋ 2×4＋4)×3＝6＋2 2. 答案：B
4．一个圆锥的全面积是底面积的 4 倍，则轴截面 的面积是底面积的( )
A. 21π5倍
B. π15倍
C. π2倍
D.2π 2倍
解析：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，高为 h
• 1．多面体的表面积 • (1)正方体、长方体是由各个平面图形围成
的多面体，它们的表面积就是各个面面积 的和，也就是其展开图
• 的面积． • (2)可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积 • 的方法来求多面体的表面积．
2．旋转体的表面积
几何体
表面积公式
圆柱 圆锥
圆台
S＝ 2πr(r＋l)(其中 r 为底面半径，l 为母线长) S＝ πr(r＋l) (其中 r 为底面半径，l 为母线长) S＝ π(r′2＋r2＋r′l＋rl) (其中 r′，r 分别为 上、下底面半径，l 为母线长)
• 1．表面积是各个面的面积之和，求多面 体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪 开后展成平面图形，利用平面图形求多面 体的表面积．求旋转体的表面积时，可从 回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手， 将其展开求表面积，但要搞清它们的底面 半径、母线长与对应的侧面展开图中的边 长关系．
• 2．几何体占有空间部分的大小，叫做几何 体的体积．这里的“大小”没有比较大小 的含义，而是要用具体的“数”来定量表 示几何体占据了多大的空间．相同几何体 的体积相等，但体积相同的几何体不一定 相同．
依题意得 πr2＋πrl＝4πr2
∴l＝3r，圆锥的高 h＝ 3r2－r2＝2 2r

【探究总结】 知识归纳：
方法总结：较复杂几何体体积的求法 (1)等体积转化法：从不同视角观察同一几何体，通过 转换底面和高，找到更方便求体积的方法. (2)割补法：对于有些组合体，通过割补可使其转化为 简单的几何体的方法.
2.圆锥的底面半径为r，母线长为l，则其侧面展开图 扇形的半径和弧长各是多少？ 提示：圆锥的侧面展开图扇形的半径为圆锥的母线长l， 弧长为圆锥底面圆的周长2πr.
3.一个斜棱柱的侧棱长为l，直截面(垂直于侧棱的截 面)的面积为S，则该斜棱柱的体积等于多少？ 提示：V=Sl.
4.对于三棱锥在求体积时，若改变顶点和底面的位置， 体积改变吗？ 提示：三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，所 以改变顶点和底面的位置，体积不发生变化.
【解析】V=1 ×π×12×2= 2.
3
3
答案：2
3
5.圆柱的一个底面面积为S，高为h，则这个圆柱的侧
面积等于________.
【解析】设圆柱的底面半径为r，则S=πr2，所以r= S，
所以侧面积为2π S×h= 2 Sh.
答案：2 Sh
【备选训练】已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均 为正三角形的四棱锥S-ABCD，求它的表面积.(仿照教 材P24例1的解析过程) 【解析】因为四棱锥S-ABCD的各棱长均为5，各侧面 都是全等的正三角形.
主题2：柱体、锥体、台体的体积 1.正方体、长方体、圆柱的体积与这些几何体的哪些 量有关？ 提示：它们的体积与这些几何体的底面积和高有关.
2.它们的体积公式各是什么？
用符号语言描述：V柱体=Sh，其中S是几何体的底面积， h为几何体的高.
⇓
V锥体=
1 3
Sh，其中S是几何体的底面积，h为几何体的高.

的
解答：
体
积
V= 6
3
122
10
10
2
10
4
2
2160 250 mm3
1.学到了哪些知识？
2.巩固了哪些数学方法？ 由特殊到一般，再由一般到具体的应用 3.运用了什么数学思想？
知识小结（一）
柱体、锥体、台体的表面积 展开图
圆柱 S 2r(r l) r r
圆台S (r2 r 2 rl rl)
展开图的形状吗？如果圆台的上下底面半径分别
旋 转
为r′、r ，母线长为l，你能计算出它的表面积 吗？
体 的
圆台
表
面
积
问题4：圆柱，圆锥，圆台三者的表面积公式之 间有什么关系？
r O
r’＝r
O’
r’＝0
上底扩大
O
上底缩小
O
O
S柱 2r(r l) S台 (r2 r 2 rl rl ) S锥 r(r l)
S
棱
锥
和
圆 锥
E
的A
O
体
积
D
B
高h
C
底面积S
体积V 1 Sh 3
问题5：棱台和圆台的体积如何得到呢？
棱
台
和
高h
圆
台
的
体
积
V 1 (S SS S)h
3
问题6：柱体、锥体、台体的体积公式之
间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
S S
S 0
组
例3 如图，已知螺帽的底面是正六边形，
合 边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm， 体 求这个螺帽的体积？
0.1100100=1000(毫升）.

取A1B1的中点E1,AB的中点E,则E1E是侧面ABB1A1的高.设O1、O分
别是上、下底面的中心,则四边形EOO1E1是直角梯形. 由 S 侧=4×12(10+20)×E1E=780,得 EE1=13, 在直角梯形 EOO1E1 中,O1E1=12A1B1=5, OE=12AB=10,
∴O1O= ������1������2-(������������-������1������1)2=12,
底面,它的三视图如图所示,AA1=3,则这个三棱柱的表面积和体积
分别为
.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:直观图如图,由题意可知,
S△ABC=12×3×323 = 943,
S 侧=3×AC×AA1=3×3×3=27.
所以这个三棱柱的表面积为 27+2×943=27+923, 这个三棱柱的体积为943×3=274 3.
V2=V-V1=abc-16abc=56abc.所以 V1∶V2=1∶5,故比值没发生变化.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
与三视图有关的表面积和体积
例3 (1)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为
()
A.72 B.66 C.60 D.30
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三 视图如图所示,则该几何体的体积是( )
思维辨析
(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中 点,则该几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1截取三棱台AEF-A1B1D1后 剩余的部分.
则该几何体的体积 V=V 正方体-V 三棱台=23-13 ×

rO
S 侧 r ( l x ) r 'x ( r l r x r 'x )
(r'l rl)
A
13
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
rO
S(r'2r2r'lrl)
l
r 'O’
r
l
O
l
rO
O
S r2 rl r(r l)
S 2 r2 2 r l 2 r(r l)
A
14
棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到 ，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱 ）应该具有相等的体积．
4
2
295(m 6 m3) 2.95(6cm3)
所以螺帽的个数为
5 .8 10 (7 0 .8 0 2 .9)5 2 6（5个2 ）
A
20
作业精选 巩固提高
• 1.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均
为全等的等边三角形，俯视图为一个半径
为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积
为A
• A. 3
• 例3（1）两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那 么圆锥被分成的三部分的体积的比是 A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27
解：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的 半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三 个圆锥的体积之比为1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分
3
B. 2 3 C.
3
3 D. 3
A
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作业精选 巩固提高
2.向高为H的水瓶中匀速注水，注满为止，如 果注水量V与水深h的函数关系如下面左图所
示，那么水瓶的形状是 A