20172018学年高中数学人教A版选修22：课时跟踪检测(06) 函数的极值与导数 Word版含解析

课时跟踪检测（十七） 数学归纳法层级一　学业水平达标1．设S k ＝＋＋＋…＋，则S k ＋1为( )1k ＋11k ＋21k ＋312k A ．S k ＋ B ．S k ＋＋12k ＋212k ＋112k ＋2C ．S k ＋－D ．S k ＋－12k ＋112k ＋212k ＋212k ＋1解析：选C 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k ＝＋＋ (1)k ＋11k ＋2＋，①12k 得S k ＋1＝＋＋…＋＋＋.②1k ＋21k ＋312k 12k ＋112(k ＋1)由②－①，得S k ＋1－S k ＝＋－12k ＋112(k ＋1)1k ＋1＝－.故S k ＋1＝S k ＋－.12k ＋112(k ＋1)12k ＋112(k ＋1)2．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由121312n －1n ＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k 项解析：选D 当n ＝k 时，不等式左边的最后一项为，而当n ＝k ＋1时，最后一12k －1项为＝，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加12k ＋1－112k －1＋2k 1，故增加了2k 项．3．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )A ．该命题对于n ＞2的自然数n 都成立B ．该命题对于所有的正偶数都成立C ．该命题何时成立与k 取值无关D ．以上答案都不对解析：选B 由n ＝k 时命题成立可推出n ＝k ＋2时命题也成立，又n ＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.4．对于不等式 ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：n 2＋n (1)当n ＝1时， ＜1＋1，不等式成立．12＋1(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，k 2＋k ＝＜＝＝(k ＋1)＋1，(k ＋1)2＋(k ＋1)k 2＋3k ＋2(k 2＋3k ＋2)＋k ＋2(k ＋2)2∴n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：选D 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的归纳假设，故选D.5．设f (n )＝5n ＋2×3n －1＋1(n ∈N *)，若f (n )能被m (m ∈N *)整除，则m 的最大值为( )A ．2 B ．4C ．8D ．16解析：选C f (1)＝8，f (2)＝32，f (3)＝144＝8×18，猜想m 的最大值为8.6．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是________．解析：∵210＝1 024＞103,29＝512＜93，∴n 0最小应为10.答案：107．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－，假设n ＝k 时，不等式成立，1221321(n ＋1)2121n ＋2则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．解析：观察不等式中分母的变化便知．答案：＋＋…＋＋＞－1221321(k ＋1)21(k ＋2)2121k ＋38．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.解析：当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5；当a ＝3且n ＝2时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.答案：59．已知n ∈N *，求证1·22－2·32＋…＋(2n －1)·(2n )2－2n ·(2n ＋1)2＝－n (n ＋1)(4n ＋3)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右边．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时成立，即1·22－2·32＋…＋(2k －1)·(2k )2－2k ·(2k ＋1)2＝－k (k ＋1)(4k ＋3)．则当n ＝k ＋1时，1·22－2·32＋…＋(2k －1)·(2k )2－2k ·(2k ＋1)2＋(2k ＋1)·(2k ＋2)2－(2k ＋2)·(2k ＋3)2＝－k (k ＋1)(4k ＋3)＋(2k ＋2)[(2k ＋1)(2k ＋2)－(2k ＋3)2]＝－k (k ＋1)(4k ＋3)＋2(k ＋1)·(－6k －7)＝－(k ＋1)(k ＋2)(4k ＋7)＝－(k ＋1)·[(k ＋1)＋1][4(k ＋1)＋3]，即当n ＝k ＋1时成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *结论成立．10．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n (n ∈N *)．n 2121312n 12证明：(1)当n ＝1时，≤1＋≤，命题成立．321232(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k ，k2121312k 12则当n ＝k ＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k ·＝1＋.121312k 12k ＋112k ＋212k ＋2k k212k ＋1k ＋12又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k ＋2k ·＝＋(k ＋1)，121312k 12k ＋112k ＋212k ＋2k 1212k 12即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．层级二　应试能力达标1.凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：选C 增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f (n ＋1)＝f (n )＋1＋n ＋1－3＝f (n )＋n －1.故应选C.2．设f (n )＝1＋＋＋…＋(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )121313n －1A. B.＋13n ＋213n 13n ＋1C.＋D.＋＋13n ＋113n ＋213n 13n ＋113n ＋2解析：选D f (n ＋1)－f (n )＝＋＋.13n 13n ＋113n ＋23．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )A ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1B ．f (k ＋1)＝f (k )＋k －1C ．f (k ＋1)＝f (k )＋kD ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋2解析：选C 当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为f (k )，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f (k )个交点也两两不相同，从而n ＝k ＋1时交点的个数是f (k )＋k ＝f (k ＋1)．4．若命题A (n )(n ∈N *)n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确解析：选C 由题意知n ＝n 0时命题成立能推出n ＝n 0＋1时命题成立，由n ＝n 0＋1时命题成立，又推出n ＝n 0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n 0的正整数命题都成立，而对小于n 0的正整数命题是否成立不确定．5．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成1－an ＋21－a立时，左边所得的项为____________．解析：当n ＝1时，n ＋1＝2，所以左边＝1＋a ＋a 2.答案：1＋a ＋a 26．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1.则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝＝2k ＋1－1，1－2k ＋11－2所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，对任意n ∈N *，等式成立．上述证明中的错误是________．解析：由证明过程知，在证从n ＝k 到n ＝k ＋1时，直接用的等比数列前n 项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．答案：没有用归纳假设7．平面内有n (n ∈N *)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2－n ＋2部分．证明：(1)当n ＝1时，n 2－n ＋2＝2，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即k 个圆把平面分成k 2－k ＋2部分．则当n ＝k ＋1时，这k ＋1个圆中的k 个圆把平面分成k 2－k ＋2个部分，第k ＋1个圆被前k 个圆分成2k 条弧，这2k 条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k 个部分，故k ＋1个圆把平面分成k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2部分，即n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，对一切n ∈N *，命题都成立．8．已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2.(1)写出这个数列的前5项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．解：(1)已知a 1＝1，由题意，得a 1·a 2＝22，∴a 2＝22.∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝.3222同理，可得a 4＝，a 5＝.42325242因此这个数列的前5项分别为1,4，，，.941692516(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：a n ＝Error!下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝.n 2(n －1)2①当n ＝2时，a 2＝＝22，结论成立．22(2－1)2②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝.k 2(k －1)2∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2，a 1·a 2·…·a k －1·a k ·a k ＋1＝(k ＋1)2，∴a k ＋1＝＝·＝＝.(k ＋1)2(a 1·a 2·…·ak －1)·ak (k ＋1)2(k －1)2(k －1)2k 2(k ＋1)2k 2(k ＋1)2[(k ＋1)－1]2这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是a n ＝.n 2(n －1)2∴这个数列的通项公式为a n ＝Error!。

课时跟踪检测（二） 导数的几何意义层级一 学业水平达标1．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析：选C f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，当切线垂直于x 轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．2．曲线f (x )＝－2x在点M (1，－2)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：选C Δy Δx ＝－21＋Δx ＋2Δx ＝21＋Δx，所以当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.所以直线方程为y ＋2＝2(x －1)．即y ＝2x －4.故选C.3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1B.π4C.5π4 D ．－π4解析：选B ∵y ′＝li m Δx →0⎣⎡⎦⎤13(x ＋Δx )3－2－⎝⎛⎭⎫13x 3－2Δx＝li m Δx →0 ⎣⎡⎦⎤x 2＋x Δx ＋13(Δx )2＝x 2， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1.∴切线的倾斜角为π4，故应选B. 4．曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1B.12 C ．－12 D ．－1解析：选A ∵y ′|x ＝1＝li m Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝li m Δx →0 2a Δx ＋a (Δx )2Δx＝li m Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1.5．过正弦曲线y ＝sin x 上的点⎝⎛⎭⎫π2，1的切线与y ＝sin x 的图象的交点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选D 由题意，y ＝f (x )＝sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝li m Δx →0 sin ⎝⎛⎭⎫π2＋Δx －sin π2Δx＝li m Δx →0 cos Δx －1Δx. 当Δx →0时，cos Δx →1，∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.∴曲线y ＝sin x 的切线方程为y ＝1，且与y ＝sin x 的图象有无数个交点．6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由点M 在切线上得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：37．已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x y ＝1x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， ∴两曲线的交点坐标为(1,1)．由f (x )＝x ，得f ′(x )＝li m △x →0 1＋Δx －1Δx ＝li m Δx →0 11＋Δx ＋1＝12， ∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)． 即x －2y ＋1＝0，答案：x －2y ＋1＝08．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．解析：设f (x )＝y ＝x 2－3x ，切点坐标为(x 0，y 0)，f ′(x 0)＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－x 20＋3x 0Δx＝li m Δx →0 2x 0Δx －3Δx ＋(Δx )2Δx＝2x 0－3＝1，故x 0＝2， y 0＝x 20－3x 0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)9．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 10．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵Δy Δx ＝(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0.∴当Δx →0时，Δy Δx→3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0， 由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2. ∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5，当a ＝12127时，切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．层级二 应试能力达标1.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则点A 处的切线斜率等于( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：选D Δy ＝2(1＋Δx )3－2×13＝6Δx ＋6(Δx )2＋2(Δx )3，li m Δx →0Δy Δx ＝li m Δx →0 [2(Δx )2＋6Δx ＋6]＝6，故选D.3．设f (x )存在导函数，且满足li m Δx →0f (1)－f (1－2Δx )2Δx ＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 解析：选B li m Δx →0f (1)－f (1－2Δx )2Δx ＝li m Δx →0f (1－2Δx )－f (1)－2Δx ＝f ′(x )＝－1. 4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为( ) A.13B.23 C ．－23 D ．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13. 5.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝______. 解析：由导数的概念和几何意义知，li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2. 答案：－26．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 解析：由导数的定义，得f ′(0)＝li m Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝li m Δx →0 a (Δx )2＋b Δx ＋c －c Δx＝li m Δx →0 (a ·Δx ＋b )＝b . 又因为对于任意实数x ，有f (x )≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，所以ac ≥b 24，所以c >0. 所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．解：∵f ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 a (x ＋Δx )2＋1－(ax 2＋1)Δx＝2ax ， ∴f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a .∵g ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )－(x 3＋bx )Δx＝3x 2＋b ，∴g ′(1)＝3＋b ，即切线斜率k 2＝3＋b .∵在交点(1，c )处有公共切线，∴2a ＝3＋b .又∵a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，故可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.8．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2－1Δx＝2x ＋Δx ， ∴y ′＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．又∵切线过点(1，a)，且y0＝x20＋1，∴a－(x20＋1)＝2x0(1－x0)，即x20－2x0＋a－1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．。

课时跟踪检测(五) 函数的单调性与导数一、选择题1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－3)和(1，＋∞)D ．(－3,1)解析：选D y ′＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x ，令(－x 2－2x ＋3)e x ＞0，由于e x ＞0，则－x 2－2x ＋3＞0，解得－3＜x ＜1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)．2．y ＝x ln x 在(0,5)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上减，在⎝⎛⎭⎫1e ，5上增D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上增，在⎝⎛⎭⎫1e ，5上减解析：选C ∵y ′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1，∴当0＜x ＜1e 时，ln x ＜－1，即y ′＜0，∴y 在⎝⎛⎭⎫0，1e 上为减函数．当1e ＜x ＜5时，ln x ＞－1，即y ′＞0，∴y 在⎝⎛⎭⎫1e ，5上为增函数．3．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，则f (x )为R 上的增函数的充要条件是( )A ．b 2－3ac >0B ．b >0，c >0C ．b ＝0，c >0D ．b 2－3ac ≤0解析：选D ∵a >0，f (x )为R 上的增函数，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，∴Δ＝(2b )2－4×3a ×c ＝4b 2－12ac ≤0，∴b 2－3ac ≤0.4．已知函数f (x )，g (x )在区间[a ，b ]上均有f ′(x )＜g ′(x )，则下列关系式中正确的是() A ．f (x )＋f (b )≥g (x )＋g (b )B ．f (x )－f (b )≥g (x )－g (b )C ．f (x )≥g (x )D ．f (a )－f (b )≥g (b )－g (a )解析：选B 据题意，由f ′(x )＜g ′(x )得f ′(x )－g ′(x )＜0，故F (x )＝f (x )－g (x )在[a ，b ]上为单调递减函数，由单调性知识知，必有F (x )≥F (b )，即f (x )－g (x )≥f (b )－g (b )，移项整理得f (x )－f (b )≥g (x )－g (b )．5．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如下图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0<x <1时，xf ′(x )<0，∴f ′(x )<0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数；当x >1时，xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此A 、B 、D 选项错误，故选C.二、填空题6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1＜x ＜2是不等式f ′(x )＜0的解，即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6. 答案：－32－6 7．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________．解析：令f ′(x )＝1－2cos x ＞0，则cos x ＜12.又∈(0，π)，解得π3＜x ＜π，所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫π3，π.答案：⎝⎛⎭⎫π3，π 8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．解析：若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b ＞0.答案：(0，＋∞)三、解答题9．若函数f (x )＝ax 3＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2＋1. ①当a ＝0时，f (x )＝x －5在R 上是单调递增的；②当a ≠0时，f ′(x )＝0的根为有限个，因此要使函数f (x )在R 上单调递增，只需f ′(x )＝3ax 2＋1≥0在R 上恒成立即可，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0－12a ≤0，所以a >0. 综上可知，实数a 的取值范围是[0，＋∞)．10．设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间； (2)若当x ≥0时f (x )≥0，求实数a 的取值范围．解：(1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2， f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)f (x )＝x (e x －1－ax )．令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0；若a>1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时，g(x)<0，即f(x)<0，不符合题意，故实数a的取值范围为(－∞，1]．。

课时跟踪检测（七） 函数的最大(小)值与导数层级一 学业水平达标1．设M ，m 分别是函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．小于0 C ．等于1D ．不确定解析： 选A 因为M ＝m ，所以f (x )为常数函数，故f ′(x )＝0，故选A. 2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12，－8 B ．1，－8 C ．12，－15D ．5，－16解析：选A y ′＝6x 2－6x －12， 由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时，y ＝1；x ＝－1时，y ＝12；x ＝1时，y ＝－8. ∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A. 3．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：选D f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D. 4．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.174D ．22＋12解析：选B 由f ′(x )＝1x －1x 2＝x 32－1x 2＝0，得x ＝1，且x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1,5]时，f ′(x )＞0， ∴x ＝1时，f (x )最小，最小值为f (1)＝3.5．函数y ＝ln xx的最大值为( ) A ．e －1B ．eC ．e 2D ．10解析：选A 令y ′＝(ln x )′x －ln x x 2＝1－ln xx 2＝0⇒x ＝e.当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x＜e 时，y ′＞0，所以y 极大值＝f (e)＝e －1，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1.6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为__________． 解析：y ′＝12x －1＝1－2x 2x，令y ′＝0得x ＝14.∵0＜x ＜14时，y ′＞0；x ＞14时，y ′＜0.∴x ＝14时，y max ＝14－14＝14. 答案：147．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最小值为________．解析：f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1(e －x ＞0)， ∴f (1)＝1e ＞0，f (0)＝0，f (4)＝4e 4＞0，所以f (x )的最小值为0. 答案：08．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________.解析：∵f ′(x )＝3x 2－3，∴当x ＞1或x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，∴f (0)＜f (3)． ∴f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m ，∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20. 答案：209．设函数f (x )＝e x －k2x 2－x .(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )的最小值为f (0)＝1.(2)若k ＝1，则f (x )＝e x －12x 2－x ，定义域为R.∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1， 则g ′(x )＝e x －1，由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. 所以f (x )在R 上单调递增．10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2， 又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得， 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝⎛⎭⎫23＝9527， 又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.层级二 应试能力达标1．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[0,1) B ．(0,1) C ．(－1,1)D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0＜a ＜1，故选B.2．若函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15D ．－22解析：选B f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f (x )min ＝k －76＝－71.3．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小值时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22解析：选D 因为f (x )的图象始终在g (x )的上方，所以|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，设h (x )＝x 2－ln x ，则h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，令h ′(x )＝2x 2－1x ＝0，得x ＝22，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增，所以当x ＝22时有最小值，故t ＝22.4．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立，又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3，∴a ≥－3.5．设函数f (x )＝12x 2e x ，若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝e x2·x (x ＋2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－2.当x ∈[－2,2]时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∴当x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝0，要使f (x )＞m 对x ∈[－2,2]恒成立，只需m ＜f (x )min ，∴m ＜0.答案：(－∞，0)6．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a ＝________.解析：y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1，∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a ＞－1，则最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解之得a ＝－12⎝⎛⎭⎫a ＝－32舍去；若a ≤－1，则最大值为f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠154.综上知，a ＝－12.答案：－127．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R)，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解：(1)∵f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ， ∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . ∵g (x )是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )， 从而3a ＋1＝0，b ＝0， 解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，∴g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0. 解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝2， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.8．已知函数f (x )＝ln x ＋ax .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解：函数f (x )＝ln x ＋ax 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增． (2)x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在 (a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾；⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋ae >2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a 的值为 e.。

课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数一、题组对点训练 对点练一 求函数的极值1．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0， 得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时，y ′>0； 当－1<x <3时，y ′<0.∴当x ＝－1时，函数有极大值5； 3∉(－2,2)，故无极小值．2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427，0B ．0，427C ．－427，0 D ．0，－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427，当x ＝1时f (x )取极小值0.3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________． ①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由题图知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点，分别为1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①对点练二 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3D ．－1，－3解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3. 5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b )，令f ′(x )＝0，解得x ＝b ，由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值，则有0<b <1.当0<x <b 时，f ′(x )<0；当b <x <1时，f ′(x )>0，符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，∵函数f (x )既有极大值又有极小值，∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0，解之得a >2或a <－1.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 对点练三 函数极值的综合问题 7．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R . (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x .当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)； 当a >0时，g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12a ， 单调减区间为⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．②当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0,1)内单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，12a 内单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a >12时，0<12a<1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 8．已知函数y ＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，且其图象在x ＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行．(1)求函数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差．解：y′＝3x2＋6ax＋3b.∵x＝2是函数的极值点，∴12＋12a＋3b＝0，即4＋4a＋b＝0，①又图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行，∴y′|x＝1＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0.②由①②解得a＝－1，b＝0，此时y′＝3x2－6x＝3x(x－2)．(1)令y′>0，即3x(x－2)>0，解得x<0或x>2，令y′<0，即3x(x－2)<0，解得0<x<2，∴函数的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．(2)由(1)可知x＝0是极大值点，x＝2是极小值点，又y＝f(x)＝x3－3x2＋c，∴y极大值－y极小值＝f(0)－f(2)＝c－(8－12＋c)＝4.二、综合过关训练1．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1 B．－2e－3C．5e－3D．1解析：选A因为f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1，所以f′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)e x－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]e x－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)e x－1＝(x＋2)(x－1)e x－1.令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－2<x<1，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值＝f(1)＝－1.2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则ab的值为()A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－23解析：选A 由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23，故选A.3．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(－∞，3) C ．(0，＋∞) D ．⎝⎛⎭⎫0，32 解析：选D f ′(x )＝3x 2－2a ， ∵f (x )在(0,1)内有极小值没有极大值，∴⎩⎨⎧f ′(0)<0，f ′(1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a <0，3－2a >0.即0<a <32.4．已知可导函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )(如图)，设F (x )＝f (x )－g (x )，则( )A ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极大值点B ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极小值点C ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是F (x )的极值点D ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0是F (x )的极值点解析：选B 由题图知可导函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线为l ：y ＝g (x )，又F (x )＝f (x )－g (x )在x 0处先减后增，∴F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极小值点．故选B.5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________.解析：设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.答案：－2或26．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(a －1，a ＋1)内存在极值，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x 2－12ln x ＋1的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12·1x ＝4x 2－12x ，∵函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(a －1，a ＋1)内存在极值，∴f ′(x )＝4x 2－12x 在区间(a －1，a ＋1)上有零点，而f ′(x )＝4x 2－12x 的零点为12，故12∈(a －1，a ＋1)，故a －1<12<a ＋1，解得－12<a <32，又a －1≥0，∴a ≥1. 故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32. 答案：⎣⎡⎭⎫1，32 7．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8，从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．8．求函数f (x )＝x 3－3x 2－a (a ∈R)的极值，并讨论a 为何值时函数f (x )恰有一个零点． 解：f ′(x )＝3x 2－6x ，函数f (x )的定义域为R ， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )－a－4－a在x ＝2处有极小值，极小值为f (2)＝－4－a .函数y ＝f (x )恰有一个零点即y ＝f (x )的图象与x 轴只有一个交点(如图)，所以⎩⎨⎧f (0)>0，f (2)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<0，f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a >0，－4－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，－4－a <0，解得a <－4或a >0，所以当a >0或a <－4时，函数f (x )恰有一个零点．。

课时跟踪检测（七） 函数的最大（小）值与导数一、题组对点训练 对点练一 求函数的最值1．函数f (x )＝x －12x 在区间[0，＋∞)上( )A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，无最小值D ．无最大值，有最小值解析：选A 由已知得f (x )的定义域为[0，＋∞)，f ′(x )＝12x －12.令f ′(x )>0，得f (x )的单调增区间为[0,1)；令f ′(x )<0，得f (x )的单调减区间为(1，＋∞)．所以f (x )在区间[0，＋∞)上有最大值，无最小值．2．函数f (x )＝xe x 在区间[2,4]上的最小值为( )A ．0B ．1eC ．4e 4D ．2e 2解析：选C f ′(x )＝e x －x e x (e x )2＝1－xe x ，当x ∈[2,4]时，f ′(x )<0，即函数f (x )在x ∈[2,4]上是单调减函数，故x ＝4时，函数f (x )有最小值4e4.3．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，解得x ＝±2.计算得f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1， 所以M ＝24，m ＝－8，所以M －m ＝32. 答案：324．已知函数f (x )＝ln x x .(1)求f (x )在点(1,0)处的切线方程； (2)求函数f (x )在[1，t ]上的最大值． 解：f (x )的定义域为(0，＋∞)， f (x )的导数f ′(x )＝1－ln xx 2.(1)f ′(1)＝1，所以切线方程为y ＝x －1. (2)令f ′(x )＝1－ln xx 2＝0，解得x ＝e.当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当1<t <e 时，f (x )在[1，t ]上单调递增， f (x )max ＝f (t )＝ln tt ，当t ≥e 时，f (x )在[1，e]上单调递增， 在[e ，t ]上单调递减，f (x )max ＝f (e)＝1e，f (x )max＝⎩⎨⎧ln tt ，1<t <e ，1e ，t ≥e.对点练二 由函数的最值确定参数的值5．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对解析：选A ∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x ＝0时，f (0)＝m 最大，∴m ＝3.∵f (－2)＝－37，f (2)＝－5，∴最小值为－37.6．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，求a 的值．解：由题意知f ′(x )＝4－a x 2＝4x 2－ax2.又x >0，a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝a2， 当0<x <a 2时，f ′(x )<0；当x >a2时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增， 即当x ＝a 2时，f (x )取得最小值，则a2＝3，解得a ＝36.对点练三 与最值有关的恒成立问题7．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选D ∵2x (x －a )<1，∴a >x －12x .令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1，∴a 的取值范围为(－1，＋∞)．8．已知a ≠0，函数f (x )＝ax (x －2)2(x ∈R )．若对任意x ∈[－2,1]，不等式f (x )<32恒成立，求a 的取值范围．解：因为f (x )＝ax (x 2－4x ＋4)＝ax 3－4ax 2＋4ax . 所以f ′(x )＝3ax 2－8ax ＋4a ＝a (3x 2－8x ＋4) ＝a (3x －2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝2(舍去)，当a >0时，f (x )在⎣⎡⎦⎤－2，23上单调递增，在⎣⎡⎦⎤23，1上单调递减． 故f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫23＝3227a <32，即a <27. 所以0<a <27.当a <0时，f (x )在⎣⎡⎦⎤－2，23上单调递减，在⎣⎡⎦⎤23，1上单调递增，又f (－2)＝－32a >f (1)＝a .所以f (x )的最大值为f (－2)＝－32a <32，即a >－1. 所以－1<a <0.综上可得，a 的取值范围为(－1,0)∪(0,27)． 二、综合过关训练1．函数f (x )＝13x 3－2x 2在区间[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：选B f ′(x )＝x 2－4x ＝x (x －4)． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4，∴f (0)＝0，f (4)＝－323，f (－1)＝－73，f (5)＝－253，∴f (x )max ＝f (0)＝0，f (x )min ＝f (4)＝－323.2．函数f (x )＝13x 3－x 2＋a ，函数g (x )＝x 2－3x ，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f (x )的图象始终在函数g (x )图象的上方，那么a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．⎝⎛⎭⎫－43，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－43 解析：选A 设h (x )＝f (x )－g (x )＝13x 3－x 2＋a －x 2＋3x ，则h ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －3)(x－1)，所以当x ∈(1,3)时 ，h (x )单调递减；当x ∈(3，＋∞)时，h (x )单调递增．当x ＝3时，函数h (x )取得最小值．因为f (x )的图象始终在g (x )的图象上方，则有h (x )min >0，即h (3)＝a >0，所以a 的取值范围是(0，＋∞)．3．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足x ≠1时(x －1)·f ′(x )>0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)>2f (1) B ．f (0)＋f (2)<2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)≤2f (1)解析：选A 当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数； 当x <1时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故f (x )在x ＝1处取得最小值，即有f (0)>f (1)，f (2)>f (1)，得f (0)＋f (2)>2f (1)．4．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小值时t 的值为( )A ．1B ．12C ．52D ．22解析：选D |MN |的最小值，即函数h (t )＝t 2－ln t 的最小值，h ′(t )＝2t －1t ＝2t 2－1t ，显然t ＝22是函数h (t )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. 5．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝e x －2.由f ′(x )>0得e x －2>0， ∴x >ln 2.由f ′(x )<0得，x <ln 2. ∴f (x )在x ＝ln 2处取得最小值．只要f (x )min ≤0即可．∴e ln 2－2ln 2＋a ≤0， ∴a ≤2ln 2－2.答案：(－∞，2ln 2－2]6．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )≥2，即a ≥2x 2－2x 2ln x . 令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ，x >0，则g ′(x )＝2x (1－2ln x )．由g ′(x )＝0得x ＝e 12，且当0<x <e 12时，g ′(x )>0；当x >e 12时，g ′(x )<0，∴当x ＝e 12时，g (x )取最大值g (e 12)＝e ，∴a ≥e.答案：[e ，＋∞)7．已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )<0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2有h (x )<h (0)＝0， 即f ′(x )<0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.8．设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.解：(1)f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．(2)设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增，于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)，而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0，即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.。

课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式层级一 学业水平达标1．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．2．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e解析：选A 由条件得y ′＝e x ，根据导数的几何意义，可得k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1.3．已知f (x )＝－3x 53，则f ′(22)＝( )A ．10B ．－5x 23C ．5D ．－10 解析：选D ∵f ′(x )＝－5x 53，∴f ′(22)＝－5×223×23＝－10，故选D. 4．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.5. 曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1B ．－π4 C.π4 D.5π4解析：选C ∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4. 6．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1e.∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0. 答案：1ex －e y ＝0 7．已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________.解析：因为f ′(x )＝0，g ′(x )＝1x ，所以2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝2x －1x＝1. 解得x ＝1或x ＝－12，因为x ＞0，所以x ＝1. 答案：18．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作抛物线C 的切线l ，则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．解析：显然点(a ，a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点，∵y ′＝2x ，∴直线l 的方程为y －a 2＝2a (x －a )．令x ＝0，得y ＝－a 2，∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0，－a 2)．答案：(0，－a 2)9．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x ；(3)y ＝log 3x ；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2；(5)y ＝e 2. 解：(1)y ′＝(x 8)′＝8x 8－1＝8x 7.(2)y ′＝(4x )′＝4x ln 4.(3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. (4)y ′＝(cos x )′＝－sin x .(5)y ′＝(e 2)′＝0.10．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，(1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程．(2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点．过P 点的切线的斜率k 1＝y ′|x ＝－1＝－2，过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′|x ＝2＝4，过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14，与PQ 平行的切线方程为：y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.层级二 应试能力达标1．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为() A.12523 B.110523C.25523 D.110523解析：选B ∵s ′＝15t －45.∴当t ＝4时， s ′＝15·1544＝110523.2．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2解析：选C ∵y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)． 代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.3．在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1，－1)解析：选D 因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，因为切线的倾斜角为34π，所以切线斜率为－1，即f ′(x )＝－1x 2＝－1，所以x ＝±1， 则当x ＝1时，f (1)＝1；当x ＝－1时，f (1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A. 1nB.1n ＋1C.n n ＋1 D ．1解析：选B 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n . 令x ＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1， 故选B. 5．与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________． 解析：∵直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2，又∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴1x ＝2，解得x ＝12. ∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－ln 2.故切线方程为y ＋ln 2＝2⎝⎛⎭⎫x －12. 即2x －y －1－ln 2＝0.答案：2x －y －1－ln 2＝06．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________________．解析：∵y ′＝12x ，∴切线方程为y －a ＝12a(x －a )，令x ＝0，得y ＝a 2，令y ＝0，得x ＝－a ，由题意知12·a 2·a ＝2，∴a ＝4. 答案：47．已知曲线方程为y ＝f (x )＝x 2，求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．解：设切点P 的坐标为(x 0，x 20)．∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，∴k ＝f ′(x 0)＝2x 0，∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．将点B (3,5)代入上式，得5－x 20＝2x 0(3－x 0)，即x 20－6x 0＋5＝0，∴(x 0－1)(x 0－5)＝0，∴x 0＝1或x 0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5)，即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.8．求证：双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数． 证明：设P (x 0，y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点．∵y ′＝⎝⎛⎭⎫a 2x ′＝－a 2x 2. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a 2x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝2a 2x 0；令y ＝0，得x ＝2x 0. 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·⎪⎪⎪⎪2a 2x 0·|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.。

课时跟踪检测(六)函数的极值与导数一、选择题1．(陕西高考)设函数f(x）＝2x＋ln x，则( ）A．x＝12为f（x）的极大值点B．x＝错误!为f(x）的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f（x)的极小值点解析:选D 函数f(x）的定义域为（0，＋∞）,f′（x)＝－错误!＋错误!＝错误!,当x＝2时，f′（x)＝0；当x>2时,f′(x)>0，函数f(x）为增函数；当0〈x<2时，f′(x)〈0，函数f(x)为减函数，所以x＝2为函数f(x)的极小值点．2．函数y＝f(x)＝（x2－1）3＋1在x＝－1处（)A．有极大值 B．有极小值C．无极值D．无法判断极值情况解析：选C f′（x)＝6x(x2－1）2＝6x（x－1)2(x＋1)2，虽然f′（－1)＝0，但f′(x）在x＝－1的左右(附近）不变号,∴函数f(x）在x＝－1处没有极值．3．已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0），则f（x）的（）A．极大值为错误!，极小值为0B．极大值为0,极小值为错误!C．极小值为－错误!，极大值为0D．极大值为－错误!，极小值为0解析：选A ∵f′(x）＝3x2－2px－q，∴f′(1)＝3－2p－q＝0。

①又∵f(1)＝1－p－q＝0，②由①②解得p＝2，q＝－1，即f(x）＝x3－2x2＋x,f′(x)＝3x2－4x＋1。

令f′（x）＝0，得x＝错误!或x＝1,从而当x∈错误!∪(1,＋∞）时，f′（x）>0；当x∈错误!时，f′（x）<0。

故f(x）在错误!，(1，＋∞)上单调递增，在错误!上单调递减．∴当x＝错误!时，f（x)有极大值错误!,当x＝1时,f（x)有极小值0.4．若函数f(x）＝x2－2bx＋3a在区间(0，1）内有极小值,则实数b的取值范围是( )A．b＜1 B．b＞1C．0＜b＜1 D．b＜错误!解析:选C f′（x)＝2x－2b＝2（x－b)，令f′（x）＝0,解得x ＝b,由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有0＜b＜1。

函数的极值A组1．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是() A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0答案：A2．下列函数存在极值的是()A．y＝1x B．y＝x－exC．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3解析：选B.A中f′(x)＝－1x2，令f′(x)＝0无解，且f(x)为双曲线．∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－e x，令f′(x)＝0可得x＝0.当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.∴y＝f(x)无极值．D也无极值．故选B.3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．4．y＝x3－6x＋a的极大值为________．解析：y′＝3x2－6＝0，得x＝±2.当x<－2或x>2时，y′>0；当－2<x<2时，y′<0.∴函数在x＝－2时，取得极大值a＋4 2.答案：a＋4 2B组一、选择题1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.2．函数f(x)＝x＋1x在x＞0时有()A．极小值B．极大值C．既有极大值又有极小值D．极值不存在解析：选A.令f′(x)＝1－1x2＝0，得x＝±1，∵x＞0，∴x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.∴在x＞0时，函数f(x)有极小值．3．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.在x＝0处取得极小值的函数是() A．①②B．②③C．③④D．①③解析：选B.作出函数的大致图象，由图象可分析出结论；也可以用排除法，因为①④是单调函数，无极值，即可排除A、C、D，故应选B.4．函数f(x)的定义在区间[a，b]上，其导函数的图象如图所示，则在[a，b]上函数f(x)的极值点个数为()A．3 B．4C．6 D．7解析：选C.图象与x轴有6个交点，即使得导数值为0的点有6个，故函数有6个极值点．5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则()A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1e D．a＜－1e解析：选A .y′＝e x＋a，令y′＝0得e x＝－a，即x＝ln(－a)＞0，所以a＜－1. 6．函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)＞0，则下列结论中正确的为() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点C．x＝－1不是函数f(x)的极值点D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点解析：选D.由题意，得x＞－1，f′(x)＞0或x＜－1，f′(x)＜0，但函数f(x)在x＝－1处未必连续，即x＝－1不一定是函数f(x)的极值点，故选D.二、填空题7．函数y＝x·2x取极小值时x等于________．解析：y′＝2x＋x·2x ln2＝2x(1＋x·ln2)＝0.∴x＝－1ln2.当x＞－1ln2时，f′(x)＞0，函数递增；当x＜－1ln2时，f′(x)＜0，函数递减．∴函数在x＝－1ln2时取得极小值．答案：－1ln28．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．解析：x＝2是f(x)的极大值点，∵f(x)＝x(x2－2cx＋c2)∴f′(x)＝x(2x－2c)＋x2－2cx＋c2＝3x2－4cx＋c2，∴f′(2)＝c2－8c＋12＝0.∴c＝2或c＝6.当c＝2时，f(x)在x＝2处只能取极小值．不能取极大值，∴c＝6.答案：69．当a为________时，函数f(x)＝e x(x2＋ax＋a＋1)没有极值点．解析：由已知可得f′(x)＝e x(x2＋ax＋a＋1)＋e x(2x＋a)＝e x[x2＋(a＋2)x＋2a＋1]，若函数不存在极值点，则在方程f′(x)＝0即x2＋(a＋2)x＋2a＋1＝0中，有Δ＝(a ＋2)2－4(2a＋1)＝a2－4a≤0，解之得0≤a≤4.答案：0≤a≤4三、解答题10．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝ln x x.解：(1)f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：得极小值，且极小值为f(3)＝－22.(2)函数f(x)＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－ln xx2，令f′(x)＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：故当x＝e时函数取得极大值，且极大值为f(e)＝1 e.11．如果函数f(x)＝ax5－bx3＋c(a≠0)在x＝±1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求a，b，c的值．解：f ′(x )＝5ax 4－3bx 2.令f ′(x )＝0，即5ax 4－3bx 2＝0，x 2(5ax 2－3b )＝0. ∵x ＝±1是极值点，∴5a (±1)2－3b ＝0. 又x 2＝0，∴可疑点为x ＝0，x ＝±1. 若a >0，f ′(x )＝5ax 2(x 2－1)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝1时，f (x )有极小值．∴⎩⎨⎧－a ＋b ＋c ＝4a －b ＋c ＝05a ＝3b⇒⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2b ＝a ＋2b ＝53a⇒⎩⎨⎧c ＝2a ＝3，b ＝5若a <0时，同理可得a ＝－3，b ＝－5，c ＝2.12．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值． 解：∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )， 令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化如下表 ∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，∴m ＝1.。