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(新课标)2015高考数学二轮复习-第二章-函数的概念与基本初等函数I-函数及其表示-理(含2014试题)【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习第二章函数的概念与基本初等函数I 函数及其表示理（含2014试题）理数1. (2014大纲全国,12,5分)函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称,则y=f(x)的反函数是()A.y=g(x)B.y=g(-x)C.y=-g(x)D.y=-g(-x)[答案] 1.D[解析] 1.∵y=g(x)关于x+y=0对称的函数为-x=g(-y),即y=-g-1(-x),∴y=f(x)=-g-1(-x),对换x,y 位置关系得:x=-y-1(-y),反解该函数得y=-g(-x),所以y=f(x)的反函数为y=-g(-x).2. (2014四川,9,5分)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:①f(-x)=-f(x);②f=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是()A.①②③B.②③C.①③D.①②[答案] 2.A[解析] 2.f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-[ln(1+x)-ln(1-x)]=-f( x),①正确.4.(2014山东,3,5分)函数f(x)=的定义域为()A. B.(2,+∞) C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)[答案] 4.C[解析] 4.要使函数f(x)有意义,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,∴log2x>1或log2x<-1.解之得x>2或0<x<.故f(x)的定义域为∪(2,+∞).5. (2014山西太原高三模拟考试（一），1) 已知U={y|}, P={y|}, 则CUP=( )[答案] 5. A[解析] 5. U={y|}=, P={y|}=, 所以6.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，5) 为了得到函数的图像，可将函数的图像（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移[答案] 6. C[解析] 6.因为，把其图象平移个单位长得函数图象，所以，解得，故可将函数的图像向左平移得函数的图像.7. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），11) 已知函数其中为自然对数的底数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.[答案] 7. B[解析] 7. 先令，则，所以，从而方程只有一个解，即的图像与的图像只有一个交点. 由数形结合可知：当时，应满足；当时交点有且只有一个；综上所述，实数的取值范围为.选B.8. (2014广东广州高三调研测试，8) 对于实数和，定义运算“*” ：*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是（）A.B.C.D.[答案] 8.A[解析] 8. 由已知可得，作出的图像，不妨设，由图像可得，且，由重要不等式。
第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示一、函数及映射的概念函数映射两集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射二、函数的定义域、值域、相等函数1．定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域．2．值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3．相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．三、函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．四、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数三要点(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式．(3)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．1．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是一个函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x是同一函数．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 A2．下列函数中，与函数y＝x相同的是()A．y＝B．y＝()2C．y＝lg 10x D．y＝2log2x【答案】 C3．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________.【答案】＋(x≠0)4．设函数f(x)＝则f(f(3))＝________.【答案】5．(2013·陕西高考)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则?RM为()A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)【答案】 B6．(2013·浙江高考)已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝________.【答案】10考向一[010]求函数的定义域(1)(2014·郑州模拟)函数y＝＋(x－1)0的定义域是()A．[－3,1)∪(1,2]B．(－3,2)C．(－3,1)∪(1,2) D．[－3,1)∪(1,2)(2)(2013·大纲全国卷)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为() A．(－1,1) B.C．(－1,0) D.【答案】(1)C(2)B规律方法1 1.本例?1?在求解中，常因遗忘“00无意义”而错选B；本例?2?在求解中；常因不理解f?x?与f?2x＋1?的关系而错选A或C.2.?1?求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，取交集时可借助数轴，并注意端点值的取舍.?2?对抽象函数：①若函数f?x?的定义域为[a，b]，则函数f?g?x??的定义域由不等式a≤g?x?≤b求出.②若已知函数f?g?x??的定义域为[a，b]，则f?x?的定义域为g?x?在x∈[a，b]时的值域.对点训练(1)函数f(x)＝的定义域为()A．(－1,2)B．(－1,0)∪(0,2)C．(－1,0) D．(0,2)(2)已知函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(x)的定义域为________．【答案】(1)C(2)考向二[011]求函数的解析式(1)已知f(x＋1)＝lg x，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)；(3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)．规律方法2求函数解析式常用以下解法：?1?待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；?2?换元法：已知复合函数f?g?x??的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；?3?构造法：已知关于f?x?与f或f?－x?的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f?x?.对点训练(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)的解析式；(2)若函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是正比例函数，g(x)是反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，求F(x)的解析式．(3)已知2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，x∈(－1,1)，求f(x)的解析式．考向三[012]分段函数及其应用(1)(2013·福建高考)已知函数f(x)＝，则f＝________.(2)设函数f(x)＝若f(x)＞4，则x的取值范围是________．.【答案】(1)－2(2)(－∞，－2)∪(2，＋∞)．规律方法3 1.本例(2)求解用了两种不同的方法．其中方法一是常规方法，方法二采用图解，其结果更加直观，但画图时务必尽量准确．2．应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论．对点训练(1)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A．75,25B．75,16C．60,25 D．60,16(2)已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)＞－1的解集为()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.∪(0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D.∪(0,1)【答案】(1)D(2)B思想方法之二分段函数求值妙招——分类讨论思想分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点：(1)明确分段函数的分段区间．(2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系．(3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内．————[1个示范例]————[1个对点练]————。
【金版学案】2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第二章第一节函数及其表示文近三年广东高考中对本章考点考查的情况本章内容主要包括：函数的概念与表示，函数的基本性质，基本初等函数，函数的应用，导数的概念、运算及应用．1．函数的概念、表示和函数的基本性质(单调性与最值、奇偶性、周期性)：(1)判断两函数是否为同一函数，确定定义域与对应关系即可．(2)用换元法求函数的解析式时，注意换元前后的等价性．(3)单调性与最值是函数的局部性质，凸显用导数研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围．(4)奇偶性是函数的整体性质，奇偶性、周期性的综合运用灵活多变．2．基本初等函数：以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的概念、性质和图象为主要考查对象，适当考查分段函数、抽象函数．3．函数的应用主要包含：函数与方程、函数模型及应用两部分内容．(1)对函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的取值范围，是高考中常见的题目类型．(2)函数的实际应用问题，多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，综合性较强．4．导数的概念、运算及应用．高考总复习·数学(文科)(1)导数的概念是推导基本初等函数导数公式和四则运算法则的基础．(2)利用导数求曲线的切线方程时，一定要分清已知点是否在曲线上．另外，曲线的切线和平面几何中圆的切线概念易混淆，曲线在点P(x0，f(x0))处的切线是曲线另一点Q无限接近点P时的极限位置，它与曲线可能还有其他公共点．(3)利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，还要注意公式不要用混．(4)导数的应用包括函数的单调性、极值、最值等方面，单调性是关键，一个函数的递增区间或递减区间有多个时，不能盲目地将它们取并集，特别是函数的定义域不能忽略．在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算、导数的几何意义、导数的应用为主(研究函数的单调性、极值和最值等)；在解答题中，有时作为压轴题，主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，考查学生的分类讨论、转化与化归等思想．预测高考对本部分内容的考查，仍会以小题和大题的形式出现，小题主要考查基本初等函数的图象、性质，几种常见函数模型在实际问题中的应用以及函数零点，函数与方程的关系等，大题主要以函数为背景，以导数为工具，考查应用导数研究函数的单调性、极值或最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题．复习本章要重点解决好五个问题：1．准确、深刻地理解函数的有关概念．概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学数学的始终．数、式、方程、不等式、导数、数列等都是以函数为中心的代数知识．近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线．2．揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系．函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容．3．把握数形结合的特征和方法．函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，图象有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性．因此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换、伸缩变换．4．认识函数思想的实质，强化应用意识．函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，使问题得以解决．纵观近几年高考题，考查函数思想方法，尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想的实质，强化应用意识．5．运用好导数这一锐利武器．应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线．复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导，应立足基础知识和基本方法的复习，以熟练技能、强化应用为目标．学会优先考虑利用导数求函数的极大(小)值、最大(小)值或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化．导数与解析几何或函数图象的综合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意．第一节 函数及其表示知识梳理一、函数与映射的概念二、函数的表示1．函数的表示方法．表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种．(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系． (3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系． 2．函数解析式的常用求法．(1)配凑法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)赋值法．1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用．三、函数定义域的确定1．定义域是函数的灵魂，因此在研究函数时一定要遵循“定义域优先”的原则． 确定函数的定义域的原则是：(1)当函数y ＝f (x )是用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合；(2)当函数y ＝f (x )是用图象给出时，函数的定义域是指图象在x 轴上投影所覆盖的实数x 的集合；(3)当函数y ＝f (x )是用解析式给出时，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x 的集合；(4)当y ＝f (x )是由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定．基础自测1．下列图形中不能作为函数图象的是( )解析：根据函数定义，定义域内任何一个x 取值，都有且只有唯一的y ＝f (x )与之对应，故选D.答案：D2．设A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，则f ：A →B 不是函数的是( ) A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝14xD ．f ：x →y ＝16x解析：因为x ∈A ，y ＝12x ∈[0,3]，而B ＝{y |y ∈[0,2]}．由函数定义可知，对于6∈A ，在集合B 中找不到其对应元素3，故f ：x →y ＝12x 不是函数．故选A.答案：A3．(2013·浙江卷文11改编)已知函数f (x )＝x 2－1.若f (a )＝22，则实数a ＝( ) A. 3B ．－3C. 3或－3D.3或－3解析：因为f (x )＝x 2－1，且f (a )＝22，所以a 2－1＝22，即a 2＝9，所以a ＝3或－3.故选C.答案：C4. (2013·东莞城南中学月考)若函数f (x )＝1－log 2x ，则f (x )的定义域是__________.解析：1－log 2x ≥0，所以log 2x ≤1，得0＜x ≤2，即定义域为(0,2]． 答案：(0,2]2.由解析式表示的函数的定义域的求法． (1)若f (x )是整式，则函数的定义域是实数集R ；(2)若f (x )是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；(3)若f (x )是二次(偶次)根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；(4)若f (x )是对数式，则函数的定义域是使真数的式子大于0且底数大于0并不等于1的实数集合；(5)若f (x )是指数式，则零指数幂的底数不等于零；(6)若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(7)含参问题的定义域要分类讨论． 四、分段函数1．分段函数的定义：在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，叫做分段函数．它是一类较特殊的函数．2．分段函数是一个函数，而不是几个函数．若函数为分段函数，则分别求出每一段上的解析式，再合在一起．3．因分段函数在其定义域内的不同子集上，其对应法则不同而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在的子集，而代入相应的解析式去求函数值，不要代错解析式．4．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．,1．(2013·山东卷)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得－3＜x ≤0，故选A.答案：A2．(2013·新课标全国I 卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：∵|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，一、非空数集 非空集合 任意 唯一 任意 唯一确定 f ：A →B f ：A →B∴由|f (x )|≥ax 得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2－2x ≥ax 且⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，ln (x ＋1)≥ax ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ≥ax ，可得a ≥x －2，则a ≥－2，排除A 、B ，当a ＝1时，易证ln(x ＋1)<x 对x ＞0恒成立， 故a ＝1不适合，排除C ，故选D. 答案：D1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (－x )，x <0，e x －1 ，x ≥0， 若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1或－10B ．－1或10C ．2或－10D ．－2或10解析：因为f (1)＝e 1－1＝1，所以f (a )＝1，当a ≥0时，显然a ＝1满足；当a <0时，令lg(－a )＝1，得－a ＝10，即a ＝－10满足．故选A. 答案：A2．已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是_______．解析：由x ＋1≠0且1x ＋1＋1≠0，得x ≠－1，且x ≠－2.∴定义域为{x |x ≠－1，且x ≠－2}．答案：{x |x ≠－1，且x ≠－2}。
