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2010届高三应知应会讲义4——平面向量与复数(孔凡海)

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高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-4 平面向量的应用课件 文

高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-4 平面向量的应用课件 文

【跟踪训练】
1．[2015·沈阳一模]在△ABC 中，|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，AB＝2，AC＝1，E，F 为 BC 的三等分点，
则A→E·A→F＝( )
8
10
A.9
B. 9
25
26
C. 9
D. 9
解析 由|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，化简得A→B·A→C＝0，又因为 AB 和 AC 为三角形的两条边，不可能为 0， 所以A→B与A→C垂直，所以△ABC 为直角三角形．以 AC 为 x 轴，以 AB 为 y 轴建立平面直角坐标系，如图 所示，则 A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，由 E，F 为 BC 的三等分点知 E23，23，F31，34，所以A→E＝32，32，A→F＝13，43， 所以A→E·A→F＝23×13＋23×43＝190.
2．[2016·兰州诊断]已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝( )A．0B来自1C．2D. 5
解析 因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－0＋22＝5，所以|a－b|＝ 5，故选 D.
3．在△ABC 中，A→B＝(cos18°，cos72°)，B→C＝(2cos63°，2cos27°)，则角 B 等于( )
考点多维探究
考点 1 向量在平面几何中的应用
典例1
(1)[2014·天津高考]已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E，F 分别在边 BC，DC
上，BE＝λBC，DF＝μDC.若A→E·A→F＝1，C→E·C→F＝－23，则 λ＋μ＝(
)
1
2
A.2
B.3
5
7
C.6
D.12
(2)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(A→B＋

高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4讲 数系的扩充与复数的引入课件 文 北师大版

高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4讲 数系的扩充与复数的引入课件 文 北师大版

＝
(2)复数加法的运算定律
Байду номын сангаас
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C， 有 z1＋z2＝__z_2_＋__z1__，(z1＋z2)＋z3＝__z_1＋___(z_2_＋__z_3)_．
栏目
导引
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．辨明三个易误点 (1)两个虚数不能比较大小． (2)利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d ∈R 的前提条件． (3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到 复数集中来．例如，若 z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不能推出 z1＝z2＝0；z2<0 在复数范围内有可能成立．
(1)复数的加、减 、乘、除运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝___(a_＋__c_)_＋__(_b_＋__d_)i_；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__(a_－__c_)_＋__(_b_－__d_)i__；
解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实 部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式， 列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以 确定实部和虚部．
栏目 导引
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
实 虚数 数（ （bb______≠__＝________00） ）， 纯 非虚 纯数 虚（ 数a（__a＝≠ ___0_，0，b≠b_0_）_≠_. __0），
栏目 导引
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

高三数一轮复习课件：第五章 平面向量与复数. .ppt.FFE.

高三数一轮复习课件：第五章 平面向量与复数. .ppt.FFE.

②对角线A→C
③b＋a a＋(b＋c) 0＋a (2)a－b 3．(1)λa ①|λ||a| ②相同 相反 0 (2)①μ(λa) ②λa＋μa ③λa＋λb 4．b＝λa
2019年5月30日
你是我心中最美的云朵
10
设 a0 为单位向量， ①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；
②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；
你是我心中最美的云朵
13
对于非零向量 a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当 a＋b＝0 时，a＝－b，所以 a∥b；当 a∥b 时， 不一定有 a＝－b，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不 必要条件．故选 A.
2019年5月30日
你是我心中最美的云朵
18
下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；
③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线；
④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
⑤若 m＝n，n＝p，则 m＝p.
其中不正确的个数是
A．2
B．3
C．4
() D．5
2019年5月30日
你是我心中最美的云朵
17
解：两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两 个相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．若|a|＝|b|，
由于 a 与 b 方向不确定，所以 a，b 不一定相等，故②不正确．若A→B
2019年5月30日

人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第7章平面向量、复数 第4节复数

人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第7章平面向量、复数 第4节复数
解 因为2i-3是方程的一个根,所以-2i-3也是这个方程的一个根,由根与系数
的关系,得

2
=(2i-3)+(-2i-3),解得p=12.
题组三连线高考
8.(2023·新高考Ⅱ,1)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于( A )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 ∵(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,∴复数在复平面内对应的点位于第一象
第4节 复数
课标解读
1.理解复数的概念,理解复数相等的充要条件.
2.理解复数的代数表示法及其几何意义.
3.掌握复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加减的几何意义.
目录索引
1 强基础 固本增分
知识梳理
1.复数的有关概念
(1)定义:当a与b都是 实数
时,称a+bi为复数,其中i为虚数单位.复数一般
非纯虚数 a ≠ 0.
(2)集合表示
微点拨1.复数的实部与虚部都是实数,特别注意复数a+bi(a,b∈R)的虚部是
b,而不是bi.
2.对于复数a+bi(a,b∈R),其实部a=0是a+bi为纯虚数的必要不充分条件.
3.复数相等
两个复数z1与z2,如果 实部与虚部
都对应相等,我们就说这两个复数相等,
A和点B,则向量 对应的复数在复平面上所对应的点位于( A )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 复平面上表示2-i和3+4i的点分别为点A和点B,则A(2,-1),B(3,4),所以
=(1,5),

新课程高考数学一轮复习第四章平面向量与复数第2讲平面向量基本定理及坐标表示课件

新课程高考数学一轮复习第四章平面向量与复数第2讲平面向量基本定理及坐标表示课件

角度 2 向量共线综合问题 2.(2019·山东德州一模)已知△ABC 的三边分别是 a，b，c，设向量 m＝ (sinB－sinA， 3a＋c)，n＝(sinC，a＋b)，且 m∥n，则 B 的大小是( )
π 5π π 2π A.6 B. 6 C.3 D. 3
答案 B
解析 因为 m∥n，
所以(a＋b)(sinB－sinA)＝sinC( 3a＋c).
由正弦定理得，(a＋b)(b－a)＝c( 3a＋c)，
整理得 a2＋c2－b2＝－ 3ac，
由余弦定理得
a2＋c2－b2 － 3ac cosB＝ 2ac ＝ 2ac ＝－
3 2.
又 0<B<π，所以 B＝56π.
1.平面向量共线的充要条件的两种形式 (1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件是 x1y2－x2y1＝0.如 举例说明 1(1). (2)若 a∥b(b≠0)，则 a＝λb. 2.利用向量共线求参数值 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由向量平行求参 数值．当两向量的坐标均非零时，可以利用坐标对应成比例来求解.
解析 解法一：假设 λ≠0，则由 λe1＋μe2＝0 得 e1＝－μλe2，则 e1，e2 共 线，与 e1，e2 不共线矛盾，所以 λ＝0，同理可得 μ＝0，所以 λ2＋μ2＝0.
解法二：因为 0e1＋0e2＝0，e1，e2 不共线，又因为 λe1＋μe2＝0，所以 由平面向量基本定理得 λ＝μ量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有 向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
1.(2019·厦门外国语学校模拟)已知点 A(－1,1)，B(0,2)，若向量A→C＝(－

高三一轮总复习高效讲义第6章第4节复数课件

高三一轮总复习高效讲义第6章第4节复数课件

(2)几何意义：复数的加、减法可按向量的平行四边
形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2，
→ OZ
＝OZ1＋OZ2，
Z1Z2＝OZ2－OZ1．
(3)复数加法的运算定律
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律 ①交换律：z1＋z2＝____z_2＋__z_1____． ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝_____z_1_＋__(_z2_＋__z_3)______．
2．设复数z满足|z－2i|＝1，在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是( )
A．1
B． 3
C． 5
D．3
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|x＋(y－2)i|＝1，所以 x2＋（y－2）2 ＝1，即x2＋ (y－2)2＝1，
)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：因为11－ ＋ii
＝
（1－i）2 （1＋i）（1－i）
＝－22i
＝－i，11＋－ii
＝（1－（i1）＋（i）1＋2 i）
＝
2i 2
＝i，
所以z＝(－i)2 021＋i2 022＝－i－1＝－1－i，则－z ＝－1＋i．
答案：C
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力 考点1 复数的运算[典例引领]
－
∴z0＝
z z
＝
3－i 3＋i
＝
3－i2
3＋i
3 2
i，
∴z0在复平面内对应的点为12，－
3 2
，∴z0在复平面内对应的点位于第四象限．
(2)复数z对应的点P的坐标为(－1，2)，所以复数z＝－1＋2i，
所以zi ＝－1＋i 2i ＝－－i－1 2 ＝2＋i，所以复数zi 的虚部为1．

【高考数学】第六章 平面向量、复数全章课件PPT教师用书

第1节　平面向量的概念及线性运算考试要求　1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.知识梳理1.向量的有关概念平行向量方向______或______的非零向量0与任一向量_______或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度______且方向_____的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度_______且方向______的向量0的相反向量为0相同相反平行相等相同相等相反2.向量的线性运算向量运算定　义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝_______.(2)结合律：(a＋b)＋c＝__________减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)b＋aa＋(b＋c)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝_______； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向__________；当λ＝0时，λa＝_____λ(μa)＝______；(λ＋μ)a＝_______；λ(a＋b)＝________|λ||a|相同相反λμaλa＋μaλa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得__________b＝λa.基 础 自 测解析　(2)若b＝0，则a与c不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√答案　A答案　D4.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.答案　b－a　－a－b解析　①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.答案　①【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号).①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析　①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.答案　③规律方法　(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，答案　(1)D　(2)D(2)解　∵k a＋b与a＋k b共线，∴存在实数λ，使k a＋b＝λ(a＋k b)，即k a＋b＝λa＋λk b，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.规律方法　(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.答案　(1)C　(2)B本节内容结束第2节　平面向量基本定理与坐标表示考试要求　1.理解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知 识 梳 理1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，___________一对实数λ1，λ2，使a ＝______________.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个___________的向量，叫做把向量正交分解. 不共线有且只有λ1e 1＋λ2e 2互相垂直(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)x1y2－x2y1＝0基 础 自 测解析　(1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同.(5)向量a与b的夹角为∠ABC的补角.答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×2.已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a＋b等于( )A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9)解析　2a＋b＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)，故选D.答案　D3.(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.4.(必修4P101A3改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.答案　(1，5)5.已知向量a＝(－2，x)，b ＝(y，3)，若a∥b且a·b＝12，则x＝__________，y＝__________.答案　2　－3即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形.cos ∠AOB＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°答案　(1)A　(2)3规律方法　(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.。

高三数学人教A版文科一轮复习课件 第四章 平面向量、复数 4-4

虚部 ．若 b＝0 ，则a＋bi为实数；若 b≠0 _______ a＝0，b≠0 ，则a＋bi为纯虚数． _____________
实部 和
，则a＋bi为虚数；若
2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a＝c，b＝d (a，b，c，d∈R)．
3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ d∈R)． a＝c，b＋d＝0 (a，b，c，
1 2
z1 a＋bi a＋bic－di (4)除法：z ＝ ＝ c ＋ d i c＋dic－di 2
ac＋bd＋bc－adi ＝ c2＋d2
(c＋di≠0)．
2．复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋ z2＝ z2＋z1 ，(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ．
复数的概念(自主探究)
2 例 1 (1)下面是关于复数 z＝ 的四个命题： －1＋i
p1 ： |z|＝2 ；p2 ：z2 ＝2i；p3：z 的共轭复数为 1 ＋i；p4： z 的虚部为 －1.
其中的真命题为(
A．p2，p3 C．p2，p4

)
B．p1，p2 D．p3，p4
4－3i (2)设 i 是虚数单位，则复数 z＝ 的虚部为( 1－2i
4．复数的模 向量 O→ Z 的长度叫作复数 z＝a＋bi 的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a ＋bi|＝ a2＋b2 .
二、复数的几何表示
三、复数的运算
1．复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i . (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i . (3)乘法：z ·z ＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i .

高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第4节 复 数

②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i
+ (+)(-) + -
④除法: =
=
+ (+)(-)
=
+
+
+
(+ )
(-)

=1-i.
等于(
D.1+i
)
(2)已知复数 z 满足(2z+3)i=3z,则等于(



A.- - i
√


)

B.- + i



C. - i

D. + i


解析:(2)因为(2z+3)i=3z,2zi+3i=3z,(3-2i)z=3i,
i
B.2
D.-1+
√
i
)
→
解析:(2)设复数 z=x+yi(x,y∈R),因为向量 与实轴正向的夹角为
→
120°且复数 z 的模为 2,所以当 z 在第二象限时,x=||cos 120°=
→


2×(-)=-1,y=||sin 120°=2× = ,所以 z=-1+ i;当 z 在第三
所以其共轭复数为2-i.故选B.
考点二
复数的四则运算
-
[例2] (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z= + ,则z- 等于(
A.-i
√
B.i

高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.4 复数课件 新人教B版.ppt


【解析】z1=-2+i,z2=1+2i, z1·z2=(-2+i)(1+2i)=-4-3i. 答案:-4-3i
3.(选修2-2P94练习AT2改编)复数z=2 i (i为虚数单位)的共轭复
1i
数是________.
【解析】因为z= 2 i (2 i)(1 i) 1 3i 1 3 i，
2.复数的几何意义 复数z=a+bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b)
3.复数代数形式的四则运算 (1)运算法则： 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则 z1±z2=(a+bi)±(c+di)= (_a_±__c__)+__(_b_±___d_)_i， z1·z2=(a+bi)(c+di)= _(a__c_-_b_d__)_+_(_a__d_+__b_c，)i
则实数m的取值范围是 ( )
A.(-1,1)
B.(-1,3)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-1)
【解析】选A.要使复数z对应的点在第四象限,应满足
m m
1解得0 -1<m<1.
1 0，
2.(选修2-2P93例1改编 )如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是
uuur OA,
Ouu,Bu则r z1·z2=________.
第四节 复 数
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】
1.复数的有关概念 复数：设a，b都是实数，形如a__+_b__i的数叫做复数，i叫做虚数单位. 复数相等：a+bi=c+di⇔a=__c_且___b_=__d_(a，b，c，d∈R). 共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a=__c_且___b__=_-_d_(a，b，c，d∈R). 复平面：建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做_实__轴__，y轴叫 做_虚__轴__，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数的模：设复数a+bi(a，b∈R)对应的向量为OuuZur，则向量 Ouu的Zur 长度叫做复数z=a+bi 的模(或绝对值)，记作|z|，|z|=|a+bi|= a2. b2
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平面向量与复数
二、应知应会知识和方法：
1．（1）在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===
，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则
OE =
（用，，a b c 表示）
． 答案：111244
a b c ++
．
（2）在ABC ∆中，BD 2DC = ，AD mAB nAC =+ ，则m
n
= ．
答案：12
．
说明：考查向量的几何运算，掌握向量的加法、减法、实数与向量积、向量数量积的定义及其运算律，理解用一组基底向量表示其他向量的方法．
2．（1）设−→
AB ＝(2，3)，且点A 的坐标为(2，3)，则点B 的坐标为 ． 答案：(4，6) ．
（2）已知向量a ＝(2，3)，b ＝(x ，6)，且a ∥b ，则x = ． 答案：4．
（3）已知向量a ＝(x －5，3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则由x 的值是 ． 答案：2．
（4）设向量a ＝(－1，2)，b ＝(2，－1)，则(a ⋅b )(a ＋b )等于 ． 答案：(－4，－4) ．
（5）已知a ＝(5，4)与b ＝(3，2)，则与2a －3b 平行的单位向量为 ．
答案：(
55
±． 说明：考查向量的坐标表示及其运算用坐标表示的形式，提高坐标运算的能力．
3．（1）若|a |＝3，| b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝ ．
（2）已知向量a 与b 的夹角为120
，且4==a b ，那么(2)+ b a b 的值为 ．
答案：0． （3）若|a |＝1，| b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3 a ＋5 b )⊥(m a －b )，则实数m 的值为 ． 答案：
23
8
（4）已知平面上三点A ，B ，C 满足|AB |=5，|BC |=6，|CA |=7，则−→AB ⋅−→BC ＋−→BC ⋅−→CA ＋−→CA ⋅−→
AB 的值等于 ． 答案：－55．
（5）在△ABC 中，O 为中线AM 上一个动点，若AM =2，则−→OA ⋅(−→OB ＋−→
OC )的最小值是__________． 答案：－2．
说明：考查向量的模、夹角、平行、垂直的坐标表示方法，要记准公式，确保运算结果正确．平
面向量的模的问题常常用=22|a |a 来转化；两个平面向量的夹角常常通过cos ||||
a b
a b θ= 来求解．
4．（1）已知2OA = ，2OB =
，0=⋅，点C 在线段AB 上，且60AOC ∠= ，则⋅
的值是________________． 答案：
（2）如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点， M ，N 是线段AB 的三等分点．若OA =6，则⋅的 值是 ． 答案：26．
（3）已知△ABC 中，AB =3，AC =2，D 是BC 边上的中点，则AD BC ⋅=
．
答案：52
-
． （4）已知△ABC 中，AB =3，AC =2，O 是△ABC 外接圆的圆心，则AO BC ⋅=
．
答案：52
-
． 说明：着重考查向量数量积．两向量的数量积常常通过以下三种途径加以计算：（1）利用定义，即求出两个向量的模及其夹角；（2）建立适当的坐标系利用坐标；（3）利用平面向量基本定理转化为基底之间的运算．三角形中的有关性质要能进行熟练转换．
A
B
C
D
M N
O
5．（1）复数43i
1+2i
+的实部是 ． 答案：2． （2）复数i
i i )
1)(1(+-在复平面内对应点到原点的距离为 ． 答案：2．
（3）i 是虚数单位，238
i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 答案：44i -．
（4）若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b = ．
答案：2．
说明：考查复数的有关概念：复数、虚数、纯虚数、实数、虚部、实部等；掌握复数的四则运算；了解复数的几何意义．。