2017-2018北京初三(上)期末数学各区试题汇-几何综合题

●知识模块3：图形变换1．（东城18期末6）△DEF 和△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，点D ，E ，F 分别是OA ,OB ,OC 的中点，若△DEF 的面积是2，则△ABC 的面积是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 2．（海淀18期末4）如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的大小为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°3（海淀18期末6）6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 从（3，4）出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A不．经过（ ） A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q4．（昌平18期末6）如图，将ΔABC 绕点C 顺时针旋转，点B 的对应点为点E ，点A 的对应点为点D ，当点E 恰好落在边AC 上时，连接AD ，若∠ACB=30°，则∠DAC 的度数是（ ） A ．60° B ．65°C ．70°D ．75°5．（门头沟18期末10）已知线段5AB cm =，将线段AB 以点A 为旋转中心，逆时针旋转90°得到线段'AB ，则点B 、点'B 的距离为__________. 6．（朝阳18期末10）如图，把△ABC 绕着点A 顺时针方向旋转，得到△A B 'C '，点C 恰好在B 'C '上，旋转角为α，则∠C '的度数为 （用含α的式子表示）． 7．（昌平18期末10）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别为（0，2），（1-，0），将线段AB 沿x 轴的正方向平移，若点B 的对应点的坐标为'B （2，0），则点A 的对应点'A 的坐标为 ．ED C BAC'EB C D A8．（昌平18期末14）如图，在直角三角形ABC中,∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠,使点C 落在AB边的E点,那么AE的长度是．9．（昌平18期末15）如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE 可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：_________________________________________________________________________________________．10．（朝阳18期末14）如图，在平面直角坐标系中，△COD 可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由△AOB得到△COD的过程：_________________________________________________________________________.11．（石景山18期末15）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：________________ __________________________________________________．12．（平谷18期末15）如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：____________________________________________________________________________．13．（门头沟18期末15）如图，在平面直角坐标系xOy中，图形L2可以看作是由图形L1经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写出一种由图形L1得到图形L2的过程________________________________________________________________________________.14．（燕山18期末18）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．（1）在图1中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，直接写出点C的对应点C1的坐标．（2）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A2B2C2与△ABC的对应边的比为2:1（画出一种即可）．直接写出点C的对应点C2的坐标．15．（朝阳18期末19）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；（2）在（1）中的条件下，①点A经过的路径的长为（结果保留π）；②写出点B′的坐标为.16．（东城18期末22）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°.将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A BC'', 其中点A', C'分别是点A，C的对应点.（1）作出△A BC''(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；（2）连接AA',求∠C A A''的度数.AA'17．（西城18期末20）在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．。

●知识模块4：相似三角形的应用1．（大兴18期末6）为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E. 如图所示，若测得BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，则这条河的宽AB 等于（ ） A ．120 m B ．67.5 m C ．40 m D ．30 m 2．（怀柔18期末6）网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB 的高度）.中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D 点处接球，设计打出直线．．穿越球，使球落在对方底线上C 处，用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为（ ）A. 1.65米B. 1.75米C.1.85米D. 1.95米 3．（海淀18期末15）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾x m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m ，若小张能看到整个红灯，则x 的最小值为 ．4．（丰台18期末11、密云18期末14）如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB 为蜡烛的火焰，线段A ＇B ＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB 的高度为2cm ，倒立的像A ＇B ＇的高度为5cm ，点O 到AB 的距离为4cm ，那么点O 到A ＇B ＇的距离为 cm.图1 图2停止线信号灯CAB'A'BO5．（海淀18期末22）古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中BAC ∠为锐角，图2中BAC ∠为直角，图3中BAC ∠为钝角）．图1 图2 图3在△ABC 的边BC 上取B '，C '两点，使AB B AC C BAC ''∠∠∠==， 则ABC △∽B BA '△∽C AC '△，()ABB BAB'=，()AC C CAC'=，进而可得22AB AC += ；（用BB CC BC ''，，表示） 若AB =4，AC =3，BC =6，则B C ''= ．AB B' C' CAB B'(C')C B C' B' C A。

2017-2018学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（ ）A．80°B．140°C．20°D．50°3．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）A．m＜2B．m＞2C．m≤2D．m≥24．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（ ）A．10°B．60°C．90°D．120°5．将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（ ）A．y=5（x+2）2+3B．y=5（x﹣2）2+3C．y=5（x+2）2﹣3D．y=5（x﹣2）2﹣36．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（ ）A．120m B．67.5m C．40m D．30m7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（ ）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（ ）A．①B．②C．①②D．①③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是 ．10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°= ．11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于 ．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： ．13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC的长为 cm．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是 cm2．15．若函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是 ．16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：．求作：所在的圆．作法：如图，（1）在上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是 ．三、解答题（本题共68分）17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．求反比例函数y=的表达式．18．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．19．（5分）已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，求BC的长．21．（5分）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BD的长．22．（5分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°，∠ECB=45°．请你根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）23．（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？24．（5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B 重合），∠CAD=∠B（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F，且EF=4，AD=6，求BD的长．25．（5分）如图，AB=6cm，∠CAB=25°，P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥AB交射线AC 于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．设A，P两点间的距离为xcm，P，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值均为0）小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0.000.601.001.512.002.753.003.504.004.294.905.506.00y/cm0.000.290.470.70 1.201.271.371.361.301.000.490.00（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的x值的个数是 ．26．（7分）已知一次函数y1=x﹣1，二次函数y2=x2﹣mx+4（其中m＞4）．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：①若m=5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围；②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．27．（8分）已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB．过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H．（1）求证：∠BCG=∠EBG；（2）若sin∠CAB=，求的值．28．（8分）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与x轴的交点分别为（1，0），（﹣1，0），与y轴的交点分别为（0，1），（0，﹣1）．在平面直角坐标系xOy中，设锐角a的顶点与坐标原点O重合，a的一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（x1，y1），且点P在第一象限．（1）x1= （用含a的式子表示）；y1= （用含a的式子表示）；（2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90°后与单位圆交于点Q（x2，y2）．①判断y1与x2的数量关系，并证明；②y1+y2的取值范围是： ．2017-2018学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）【分析】由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2）2+3，∴顶点坐标为：（2，3）．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题．2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（ ）A．80°B．140°C．20°D．50°【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：∠APB=∠AOB=×40°=20°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．3．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）A．m＜2B．m＞2C．m≤2D．m≥2【分析】先根据反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大判断出1﹣2m的符号，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大，∴m﹣2＜0，∴m＜2．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，根据题意判断出1﹣2m的符号是解答此题的关键．4．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（ ）A．10°B．60°C．90°D．120°【分析】根据弧长的计算公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数．【解答】解：根据弧长的公式l=，得到：4π=，解得n=60°，故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．5．将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（ ）A．y=5（x+2）2+3B．y=5（x﹣2）2+3C．y=5（x+2）2﹣3D．y=5（x﹣2）2﹣3【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2﹣3．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．6．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（ ）A．120m B．67.5m C．40m D．30m【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE=90m，CE=45m，CD=60m，∴，解得：AB=120，故选：A．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（ ）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．【解答】解：A、运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度不同，错误；B、运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为200mg/L，错误；C、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，正确；D、采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑40min后才能基本消除疲劳，错误；故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（ ）A．①B．②C．①②D．①③【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．故选：B．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是 ．【分析】直接利用正切的定义求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanB===．故答案为．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义．10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°=　3﹣1　．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=2×﹣1+4×=3﹣1，故答案为：3﹣1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于　4：9　．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出△ABC与△DEF的面积比．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比是2：3，∴△ABC与△DEF的面积比等于22：32=4：9．【点评】熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：　y=x2+2　．【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c=2即可．【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式为y=x2+2，故答案为：y=x2+2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC的长为　3　cm．【分析】连接OA．根据垂径定理求得AC的长，再进一步根据勾股定理即可求得OC的长．【解答】解：连接OA∵OC⊥AB，弦AB长为8cm，∴AC=4（cm）．根据勾股定理，得OC==3（cm）．故答案为3．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造直角三角形解决问题．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是　36π　cm2．【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．πcm2．故答案为：36π【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积计算公式，难度一般．15．若函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是　a＜且a≠0　．【分析】根据函数与x轴有两个交点得出△＞0且a≠0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+3x+1=0有两个实数根，即△=32﹣4a＞0且a≠0，解得：a＜且a≠0，故答案为：a＜且a≠0．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于a'的不等式是解此题的关键．16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：．求作：所在的圆．作法：如图，（1）在上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是　线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上　．【分析】由中垂线的性质知OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得．【解答】解：∵分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．∴OD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），∴点A、B、C、D、E在以O为圆心，OC长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的性质和圆的概念．三、解答题（本题共68分）17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．求反比例函数y=的表达式．【分析】把A的坐标代入y=﹣2x，求出n，得出A的坐标，再把A的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可．【解答】解：∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x的图象上，∴n=（﹣2）×（﹣1）=2，∴点A的坐标为（﹣1，2），∵点A在反比例函数y=的图象上，∴k=（﹣1）×2=﹣2．∴反比例函数的解析式为y=﹣．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征．用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．18．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．【分析】（1）利用配方法易得y=（x+2）2﹣1，则抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为直线x=﹣2；（2）利用描点法画二次函数图象；【解答】解：（1）y=（x2+4x）+3=（x2+4x+4﹣4）+3=（x=2）2﹣1；（2）如图：【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．也考查了二次函数图象与性质．19．（5分）已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．【分析】根据已知条件得到，由于∠A=∠A，于是得到△ADE∽△ACB；【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，求BC的长．【分析】过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出BD，利用等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，BC=2BD，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，∴BD=ABcos30°=8×=4，∴BC=8．【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（5分）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BD的长．【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可；【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴=．∴AD=BD，在等腰直角三角形ADB中，BD=ABsin45°=5×=，∴BD=．【点评】本题考查了直径所对的圆周角等于直角，等腰直角三角形的判定与性质，关键是根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°．22．（5分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°，∠ECB=45°．请你根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）【分析】设CD=x，在Rt△CDB中，CD=BD=x，在Rt△CDA中tan∠CAD=，根据图中的线段关系可得AD=AB+BD，进而可得9+x=，再解即可．【解答】解：由题意可知：CD⊥AD于D，∠ECB=∠CBD=45°，∠ECA=∠CAD=35°，AB=9．设CD=x，∵在Rt△CDB中，∠CDB=90°，∠CBD=45°，∴CD=BD=x，∵在Rt△CDA中，∠CDA=90°，∠CAD=35°，∴tan∠CAD=，∴AD=，∵AB=9，AD=AB+BD，∴9+x=，解得x=21，答：CD的长为21米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．23．（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？【分析】设AM的长为x米，则MB的长为（2﹣x）米，由题意得出y=x2+（x﹣2）2=2（x﹣1）2+2，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：设AM的长为x米，则MB的长为（2﹣x）米，以AM和MB为边的两个正方形面积之和为y平方米．根据题意，y与x之间的函数表达式为y=x2+（x﹣2）2=2（x﹣1）2+2，因为2＞0于是，当x=1时，y有最小值，所以，当AM的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次项系数a决定二次函数图象的开口方向．①当a＞0时，二次函数图象向上开口，函数有最小值；②a＜0时，抛物线向下开口，函数有最大值．24．（5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B 重合），∠CAD=∠B（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F，且EF=4，AD=6，求BD的长．【分析】（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．欲证AC是半圆O的切线，只需证明∠CAB=90°即可；（2）由相似三角形的判定定理AA可以判定△AEF∽△BAD；然后根据相似三角形的对应边成比例，求得BD的长即可．【解答】解：（1）∵AB是半圆直径，∴∠BDA=90°，∴∠B+∠DAB=90°，又∵∠DAC=∠B，∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠CAB=90°，∴AC是半圆O的切线．（2）由题意知，OE∥BD，∠D=90°，∴∠D=∠AFO=∠AFE=90°，∴OE⊥AD，∴∠AFE=∠D=∠AFO=90°，AF=AD=3，又∵AD=6∴AF=3．又∵∠B=∠DAE，∴△AEF∽△BAD，∴=，而EF=4，∴，解得BD=．【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．25．（5分）如图，AB=6cm，∠CAB=25°，P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥AB交射线AC 于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．设A，P两点间的距离为xcm，P，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值均为0）小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0.000.601.001.512.002.753.003.504.004.294.905.506.00y/cm0.000.290.470.70 1.201.271.371.361.301.000.490.00（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的x值的个数是　2个　．【分析】（1）利用取点，测量的方法，即可解决问题；（2）利用描点法，画出函数图象即可；（3）作出直线y=0.5与图象的交点，交点的个数是2个．【解答】解：（1）通过取点、画图、测量可得x=2.00cm时，y=0.91cm；（2）利用描点法，图象如图所示．（3）由图可知，当y=0.5时，与之对应的x值的个数是2个．故答案为2个．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会用测量法、图象法解决实际问题．26．（7分）已知一次函数y1=x﹣1，二次函数y2=x2﹣mx+4（其中m＞4）．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：①若m=5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围；②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．【分析】（1）利用配方法求二次函数的顶点坐标；（2）①把m=5代入y2，画图象，并求与x轴交点A、B、C三点的坐标，根据图象可得结论；②根据题意结合图象可知x=3，把x=3代入y2=x2﹣mx+4≤0，当x=4时，y2=x2﹣mx+4＞0即可求得m的取值；【解答】解：（1）∵y2=x2﹣mx+4=（x﹣）2﹣+4，∴二次函数图象的顶点坐标为：（，﹣ +4）…（2）①当m=5时，y1=x﹣1，y2=x2﹣5x+4．…（4分）如图，当y1=0时，x﹣1=0，x=2，∵A（2，0），当y2=0时，x2﹣5x+4=0，解得：x=1或4，∴B（1，0），C（4，0），因为y1＞0，且y2≤0，由图象，得：2＜x≤4．…（5分）②当y1＞0时，自变量x的取值范围：x＞2，∵如果满足y1＞0且y2≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，∴x=3，当x=3时，y2=32﹣3m+4≤0，解得m≥，当x=4时，y2＞0，即16﹣4m+4＞0，m＜5，∴m的取值范围是：≤m＜5．…（7分）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数和一次函数的性质，以及利用函数图象解不等式，体现了数形结合的思想．27．（8分）已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB．过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H．（1）求证：∠BCG=∠EBG；（2）若sin∠CAB=，求的值．【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于直角和平行线的性质证明即可；（2）在Rt△HGB与Rt△BCG中，利用三角函数的性质，即可求得的值．【解答】证明：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵CG⊥AB于点G，∴∠ACB=∠CGB=90°．∴∠CAB=∠BCG，∵CE∥AB，∴∠CAB=∠ACE．∴∠BCG=∠ACE又∵∠ACE=∠EBG∴∠BCG=∠EBG，（2）∵sin∠CAB=，∴，由（1）知，∠HBG=∠EBG=∠ACE=∠CAB∴在Rt△HGB中，．由（1）知，∠BCG=∠CAB在Rt△BCG中，．设GH=a，则GB=2a，CG=4a．CH=CG﹣HG=3a，∵EC∥AB，∴∠ECH=∠BGH，∠CEH=∠GBH∴△ECH∽△BGH，∴．【点评】此题考查了与圆的同弧所对的圆周角相等，以及相似三角形的性质与判定和三角函数的性质等．此题综合性较强，属于中档题，解题时要注意数形结合思想的应用．28．（8分）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与x轴的交点分别为（1，0），（﹣1，0），与y轴的交点分别为（0，1），（0，﹣1）．在平面直角坐标系xOy中，设锐角a的顶点与坐标原点O重合，a的一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（x1，y1），且点P在第一象限．（1）x1=　cosα　（用含a的式子表示）；y1=　sinα　（用含a的式子表示）；（2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90°后与单位圆交于点Q（x2，y2）．①判断y1与x2的数量关系，并证明；②y1+y2的取值范围是：　1＜y1+y2≤．　．【分析】（1）如图作PF⊥x轴于F，QE⊥x轴于E．则OF=OP•cosα，PF=OP•sinα，由此即可解决问题；（2）①过点P作PF⊥x轴于点F，过点Q作QE⊥x轴于点E．只要证明△QOE≌△OPF即可解决问题；②当P在x轴上时，得到y1+y2的最小值为1，由y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，四边形QEFP是直角梯形，PQ=，EF≤PQ，即可推出当EF=PQ=时，得到y1+y2的最大值为；【解答】解：（1）如图作PF⊥x轴于F，QE⊥x轴于E．则OF=OP•cosα，PF=OP•sinα，∴x1=cosα，y1=sinα，故答案为cosα，sinα；（2）①结论：y1=﹣x2．理由：过点P作PF⊥x轴于点F，过点Q作QE⊥x轴于点E．∴∠PFO=∠QEO=∠POQ=90°，∴∠POF+∠OPF=90°，∠POF+∠QOE=90°，∴∠QOE=∠OPF，∵OQ=OP，∴△QOE≌△OPF，∴PF=OE，∵P（x1，y1），Q（x2，y2），∴PF=y1，OE=﹣x2，∴y1=﹣x2②当P在x轴上时，得到y1+y2的最小值为1，∵y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，。

●知识模块1：反比例函数图像与性质★图像特点与增减性1．（东城18期末4）点()11,y A x ，()22,y B x 都在反比例函数2y x=的图象上，若120x x ＜＜，则（ ）A ．210y y ＞＞B ．120y y ＞＞C ．210y y ＜＜D ．120y y ＜＜2．（平谷18期末7）反比例函数2y x=的图象上有两点()11A x ,y ，()22B x ,y ，若x 1＞x 2， x 1x 2＞0，则y 1－y 2的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．0D ．非负数3．（西城18期末2）点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ）．A .12y y >B .12y y =C .12y y <D .不能确定4．（密云18期末3）已知点(1,m),(2,n)A B 在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，则（ ） A ．0m n << B ．0n m << C ．0m n >> D ．0n m >>5．（燕山18期末4）若点 (x 1，y 1)，(x 2，y 2) 都是反比例函数6y x=图象上的点，并且y 1<0<y 2，则下列结论中正确的是（ ）A ．x 1＞ x 2B ．x 1 ＜x 2C ．y 随 x 的增大而减小D ．两点有可能在同一象限6．（通州18期末10）已知点()11,y x ，()22,y x 在反比例函数xy 2=上，当021<<y y 时，1x ，2x 的大小关系是____________.7．（大兴18期末3）已知反比例函数2m y x-=，当x >0时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）A ．m <2B ．m >2C ．m ≤2D ．m ≥28．（海淀18期末11）若一个反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是 ．（写出一个即可）9．（海淀18期末7）如图，反比例函数k y x=的图象经过点A （4，1），当1y <时，x 的取值范围是（ ）A ．0x <或4x >B ．04x <<C ．4x <D ．4x >10．（昌平18期末9）请写出一个图象在第二，四象限的反比例函数的表达式 ． 11．（密云18期末13）请写出一个图象在第一、第三象限的反比例函数的表达式_________. 12．（怀柔18期末11）有一个反比例函数的图象，在第二象限内函数值随着自变量的值增大而增大，这个函数的表达式可能是（写出一个即可）： ．13．（平谷18期末11）请写出一个过点（1,1），且与x 轴无交点的函数表达式 ． 14．（顺义18期末14）已知y 与x 的函数满足下列条件：①它的图象经过（1，1）点；②当1x >时，y 随x 的增大而减小． 写出一个符合条件的函数： ． 15．（丰台18期末13）已知函数的图象经过点（2，1），且与x 轴没有交点，写出一个满足题意的函数的表达式 .16．（朝阳18期末11）11. 在反比例函数xmy 23-=的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1< x 2<0，y 1> y 2，则m 的取值范围是 .★k 与面积17．（燕山18期末6）如图，已知点 P 为反比例函数6y x =-上一点，过点 P 向坐标轴引垂线，垂足分别为 M ，N ，那么四边形 MONP的面积为（ ）A ．－ 6B ．3C ．6D ．12 18．（昌平18期末3）如图，点B 是反比例函数(0)ky x k =≠在第一象限内图象上的一点，过点B 作BA ⊥x 轴于点A ，BC ⊥y 轴于点C ，矩形AOCB 的面积为6，则k 的值为（ ）A ．3B ．6C ．-3D ．-619．（西城18期末11）如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y 与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .20．（丰台18期末5）如图，点A 为函数ky x=（x > 0）图象上的一点，过点A 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，连接OA ，如果△AOB 的面积为2，那么k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4★待定系数法21．（顺义18期末4）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I (单位:A)与电阻R (单位:Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R 表示电流I 的函数表达式为（ ）A ．3I R = B ．I R =-6 C ．3I R=- D ．I R =622．（通州18期末1）若反比例函数的图象经过点()2,3-，则该反比例函数的表达式为（ ）A. xy 6=B. xy 6-=C. x y 3=D. xy 3-=23．（燕山18期末10）点A (-2，5) 在反比例函数(0)ky xk =≠的图象上，则k 的值是_____．24．（门头沟18期末11）如图，在平面直角坐标系xOy 中有一矩形，顶点坐标分别为(1,1)、(4,1)、(4,3)、(1,3)，有一反比例函数(0)k y k x=≠它的图象与此矩形没有交点，该表达式可以为_______.25．（燕山18期末8）如图，△ ABC 的三个顶点分别为 A (1，2)，B (5，2)，C (5，5)．若反比例函数ky x=在第一象限内的图象与△ ABC 有交点，则 k 的取值范围是 A ．2 ≤ k ≤ 25 B ．2 ≤ k ≤ 10C ．1 ≤ k ≤ 5D ．10 ≤ k ≤ 2526．（东城18期末16）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()8,0A ，()0,6C ，矩形OABC 的对角线交于点P ，点M 在经过点P 的函数()0ky x x=＞的图象上运动，k 的值为 ,OM 长的最小值为 .27．（海淀18期末20）码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v （单位：吨/天），卸货天数为t ． （1）直接写出v 关于t 的函数表达式：v = ；（不需写自变量的取值范围） （2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？●知识模块2：反比例函数综合1．（石景山18期末13）如图，一次函数b kx y +=1的图象与反比例函数()02<=x xmy 的图象相交于点A 和点B ．当021>>y y 时，x 的取值 范围是_______．2．（大兴18期末17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x=-的图象与反比例函数ky x=的图象的一个交点为A （-1，n ）．求反比例函数ky x=的表达式. 3．（通州18期末18）如图，在平面直角坐标系xOy 中．一次函数()0≠+=k b kx y 与反比例函数()0≠=m x m y 交于点⎪⎭⎫⎝⎛--2,23A ，()a B ,1．（1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据函数图象，直接写出不等式x mb kx ＞+的解集．4．（朝阳18期末22）22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线32--=x y 与双曲线xky =交于M （a ，2），N （1，b ）两点． （1）求k ，a ，b 的值；（2）若P 是y 轴上一点，且△MPN 的面积是7，直接写出 点P 的坐标 ．5．（丰台18期末21）平面直角坐标系xOy 中直线1y x =+与双曲线k y x=一个交点为P (m ，2).（1）求k 的值；（2）M （2，a ），N （n ，b ）是双曲线上的两点，直接写出当a > b 时，n 的取值范围. 6．（东城18期末24）24．在平面直角坐标系xOy 中，直线24y x =+与反比例函数ky x=（k ≠0）的图象交于点()3,A a -和点B ． （1）求反比例函数的表达式和点B 的坐标；（2）直接写出不等式24kx x+＜的解集．7．（海淀18期末23）23．如图，函数ky x=（0x <）与y ax b =+的图象交于点A （-1，n ）和点B （-2，1）． （1）求k ，a ，b 的值；（2）直线x m =与ky x=（0x <）的图象交于点P ，与1y x =-+的图象交于点Q ，当90PAQ ∠>︒时，直接写出m 的取值范围．8．（怀柔18期末20）在平面直角坐标系xOy 中，直线3+-=x y 与双曲线xky =相交于点A (m ，2). （1）求反比例函数的表达式； （2）画出直线和双曲线的示意图；（3）若P 是坐标轴上一点，且满足P A =OA .直接写出点P 的坐标．9．（石景山18期末22）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=x+b 的图象与x 轴交于点)0,2(A ，与反比例函数xky =的图象交于点),3(n B ． （1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P 为x 轴上的点，且△P AB 的面积是2，则点P 的坐标是 ． 10．（西城18期末22）如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线ky x =（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线P A ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ． （1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．11．（平谷18期末22）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y =kx（k ＞0，x ＞0）的图象与直线y =2x ﹣2交于点Q （2，m ）． （1）求m ，k 的值； （2）已知点P （a ，0）（a >0）是x 轴上一动点，过点P 作平行于y 轴的直线，交直线y =2x ﹣2于点M ，交函数y =kx的图象于点N ．①当a =4时，求MN 的长； ②若PM ＞PN ，结合图象，直接写出a 的取值范围．12．（密云18期末22）点P (1，4)，Q （2，m ）是双曲线ky x=图象上一点.（1）求k 值和m 值. （2）O 为坐标原点.过x 轴上的动点R 作x 轴的垂线，交双曲线于点S ，交直线OQ 于点T ，且点S 在点T 的上方.结合函数图象，直接写出R 的横坐标n 的取值范围.13．（顺义18期末25）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =-与双曲线ky x=（k ≠0）相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标是3．（1）求k 的值；（2）过点P （0，n ）作直线l ，使直线l 与x 轴平行，直线l 与直线2y x =-交于点M ，与双曲线ky x=（k ≠0）交于点N ，若点M 在N 右边，求n 的取值范围．14．（门头沟18期末21）在平面直角坐标xOy 中的第一象限内，直线10y kx k =≠（）与双曲20my m x =≠（）的一个交点为A （2，2）.（1） 求k 、m 的值；（2） 过点(0)P x ，且垂直于x 轴的直线与1y kx =、2m y x =的图象分别相交于点M 、N ，点M 、N 的距离为1d ，点M 、N 中的某一点与点P 的距离为2d ，如果12d d =，在下图中画出示意图．．．．．并且直接写出点P 的坐标.15．（燕山18期末25）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数(0)ky x x=＜时图象与直线 y=x+2 交于点A (－3，m )． （1）求 k ，m 的值； （2）已知点 P (a ，b) 是直线 y=x 上，位于第三象限的点，过点P 作平行于x 轴的直线，直线y=x+2于点M ，过点P 作平行于y 轴的直线，交函数(0)ky x x=＜的图象于点N ．①当 a=－ 1时，判断线段PM 与PN 的数量关系，并说明理由； ②若PN ≥ P M 结合函数的图象，直接写出b 的取值范围．。

2017-2018学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题1．（2分）（2016•蓬溪县一模）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）（2018秋•潮南区期末）边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是（）A．1B．2C．D．3．（2分）（2018秋•滨湖区期末）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度4．（2分）（2017秋•东城区期末）点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则（）A．y2＞y1＞0B．y1＞y2＞0C．y2＜y1＜0D．y1＜y2＜0 5．（2分）（2018秋•潮南区期末）A，B是⊙O上的两点，OA＝1，的长是，则∠AOB 的度数是（）A．30B．60°C．90°D．120°6．（2分）（2019•金乡县模拟）△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（）A．2B．4C．6D．87．（2分）（2018秋•萧山区期末）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．8．（2分）（2018秋•椒江区期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：下面有四个推断：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2011•黄浦区一模）已知在△ABC中，∠C＝90°，cos A，AB＝6，那么AC ＝．10．（2分）（2017秋•东城区期末）若抛物线y＝x2+2x+c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：．11．（2分）（2017秋•东城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为．12．（2分）（2017秋•东城区期末）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是．13．（2分）（2017秋•东城区期末）某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度．为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）．经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB，OA的长分别为0.7m，0.3m，观测点O到旗杆的距离OE为6m，则旗杆MN的高度为m．14．（2分）（2017秋•东城区期末）⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论的序号是．①AB＝AD；②BC＝CD；③ ；④∠BCA＝∠DCA；⑤ ．15．（2分）（2017秋•东城区期末）已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是．16．（2分）（2017秋•东城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，点M在经过点P的函数y＞的图象上运动，k的值为，OM长的最小值为．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题5分，第28题8分）17．（5分）（2017秋•东城区期末）计算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1|．18．（5分）（2017秋•东城区期末）已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，求△ABC的顶角和底角的度数．19．（5分）（2018秋•张家港市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E 在AB上，∠DEC＝90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．20．（5分）（2017秋•东城区期末）在△ABC中，∠B＝135°，AB，BC＝1．（1）求△ABC的面积；（2）求AC的长．21．（5分）（2017秋•东城区期末）北京2018新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目．历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率．22．（5分）（2017秋•东城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°．将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A'BC'，其中点A'，C'分别是点A，C的对应点．（1）作出△A'BC'（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AA'，求∠C'A'A的度数．23．（5分）（2017秋•东城区期末）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？24．（5分）（2017秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a）和点B．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）直接写出不等式＜2x+4的解集．25．（6分）（2018•南充模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于点D，E．DF是⊙O的切线，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若AE＝4，DF＝3，求tan A．26．（7分）（2017秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+n（m ≠0）与x轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线y x﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l1：y＝x+a和l2：y＝﹣x+b组成图形G．当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．27．（7分）（2017秋•东城区期末）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，以点B 为圆心，为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P'C⊥PC，使点P'落在直线BC的上方，且满足P'C：PC＝1：，连接BP，AP'．（1）求∠BAC的度数，并证明△AP'C∽△BPC；（2）若点P在AB上时，①在图2中画出△AP′C；②连接BP'，求BP'的长；（3）点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP'取得最大值或最小值时∠PBC的度数；若没有，请说明理由．28．（8分）（2017秋•东城区期末）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1，0），P2（，1），P3（，0），P4（5，0）中，⊙O的和睦点是；（2）若点P（4，3）为⊙O的和睦点，求⊙O的半径r的取值范围；（3）点A在直线y＝﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E（，），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标x A的取值范围．2017-2018学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题1．（2分）（2016•蓬溪县一模）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故正确；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误．故选：A．2．（2分）（2018秋•潮南区期末）边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是（）A．1B．2C．D．【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB，BC＝2，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，OC．故选：C．3．（2分）（2018秋•滨湖区期末）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y ＝（x+1）2+2．故选：B．4．（2分）（2017秋•东城区期末）点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则（）A．y2＞y1＞0B．y1＞y2＞0C．y2＜y1＜0D．y1＜y2＜0【解答】解：∵k＝2＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，∵x1＜x2＜0，∴点A（x1，y1），B（x2，y2）位于第三象限，∴y2＜y1＜0，故选：C．5．（2分）（2018秋•潮南区期末）A，B是⊙O上的两点，OA＝1，的长是，则∠AOB 的度数是（）A．30B．60°C．90°D．120°【解答】解：∵OA＝1，的长是，∴，解得：n＝60°，∴∠AOB＝60°，故选：B．6．（2分）（2019•金乡县模拟）△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，∴，∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，∴（）2，即，解得：S△ABC＝8，故选：D．7．（2分）（2018秋•萧山区期末）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．【解答】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．8．（2分）（2018秋•椒江区期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：下面有四个推断：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：①当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵，故正确；④若小张移植20 000棵这种树苗，则不一定成活18 000棵，故错误．故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2011•黄浦区一模）已知在△ABC中，∠C＝90°，cos A，AB＝6，那么AC ＝2．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∵cos A，∵cos A，AB＝6，∴AC AB＝2，故答案为2．10．（2分）（2017秋•东城区期末）若抛物线y＝x2+2x+c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：2．【解答】解：因为要使抛物线y＝x2+2x+c与x轴没有交点，必须b2﹣4ac＝22﹣4×1×c ＜0，解得：c＞1，取c＝2，故答案为：2．11．（2分）（2017秋•东城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为（2，﹣1）．【解答】解：∵A（﹣2，1），点B与点A关于点O中心对称，∴点B的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．12．（2分）（2017秋•东城区期末）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是．【解答】解：连接OA，∵C是AB的中点，∴AC AB＝2，OC⊥AB，∴OA2＝OC2+AC2，即OA2＝（OA﹣1）2+22，解得，OA，故答案为：．13．（2分）（2017秋•东城区期末）某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度．为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）．经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB，OA的长分别为0.7m，0.3m，观测点O到旗杆的距离OE为6m，则旗杆MN的高度为15m．【解答】解：∵AB∥NE，∴△ABO∽△NEO，∴，即，解得：NE＝14，∴MN＝14+1＝15，故答案为：1514．（2分）（2017秋•东城区期末）⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论的序号是②⑤．①AB＝AD；②BC＝CD；③ ；④∠BCA＝∠DCA；⑤ ．【解答】解：①∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本结论错误；②∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝CD，故本结论正确；③∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本结论错误；④∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本结论错误；⑤∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴，故本结论正确．故答案为②⑤．15．（2分）（2017秋•东城区期末）已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是a≥1．【解答】解：函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4的图象是开口朝上且以x＝1为对称轴的抛物线，当且仅当x＝1时，函数取最小值﹣4，∵函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，∴a≥1，故答案为：a≥116．（2分）（2017秋•东城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，点M在经过点P的函数y＞的图象上运动，k的值为12，OM长的最小值为2．【解答】解：∵A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，∴P（4，3），代入函数y＞可得，k＝4×3＝12，∴y，∵点M在经过点P的函数y＞的图象上运动，∴根据双曲线的对称性可得，当点M在第一象限角平分线上时，OM最短，当x＝y时，x，解得x＝±2，又∵x＞0，∴x＝2，∴M（2，2），∴OM2，故答案为：12，2．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题5分，第28题8分）17．（5分）（2017秋•东城区期末）计算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1|．【解答】解：原式＝2231，31，＝41．18．（5分）（2017秋•东城区期末）已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，求△ABC的顶角和底角的度数．【解答】解：（1）圆心O在△ABC外部，在优弧BC上任选一点D，连接BD，CD．∴∠BDC∠BOC＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝130°；∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝25°；（2）圆心O在△ABC内部．∠BAC∠BOC＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°．19．（5分）（2018秋•张家港市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E 在AB上，∠DEC＝90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°．∵∠DEC＝90°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BEC．（2）解：∵△ADE∽△BEC，∴，即，∴BE，∴AB＝AE+BE．20．（5分）（2017秋•东城区期末）在△ABC中，∠B＝135°，AB，BC＝1．（1）求△ABC的面积；（2）求AC的长．【解答】解：（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，在Rt△ABD中，AB，∠ABD＝45°，∴AD＝AB×sin45°＝2，∴△ABC的面积BC×AD＝1；（2）∵∠ABD＝45°，∠D＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AD＝2，∴DB＝2，DC＝DB+BC＝2+1＝3，在Rt△ACD中，AC．21．（5分）（2017秋•东城区期末）北京2018新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目．历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率．【解答】解：（1）由题意可得，所有的可能性是：（物理、历史、地理）、（物理、历史、思想品德）、（物理、历史、生化）、（物理、地理、思想品德）、（物理、地理、生化）、（物理、思想品德、生化）、（历史、地理、生化）、（历史、思想品德、生化）、（地理、思想品德、生化）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是，即从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是．22．（5分）（2017秋•东城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°．将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A'BC'，其中点A'，C'分别是点A，C的对应点．（1）作出△A'BC'（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AA'，求∠C'A'A的度数．【解答】解：（1）如图所示：△A'BC'即为所求；（2）在Rt△ABC中，∵∠C＝30°，∠A＝90°，∴∠B＝60°，∵△A′B′C′由△ABC旋转所得，∴△A′B′C′≌△ABC，∴BA＝BA′，∠BA′C′＝∠BAC＝90°，∴△ABA′为等腰三角形，又∵∠ABC＝60°，∴△ABA′为等边三角形，∴∠BA′A＝60°，∴∠C′A′A＝∠BA′C′+∠BA′A＝150°．23．（5分）（2017秋•东城区期末）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？【解答】解：（1）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴当t＝2时，h取得最大值20米；答：小球飞行时间是2s时，小球最高为20m；（2）由题意得：15＝20t﹣5t2，解得：t1＝1，t2＝3，由图象得：当1≤t≤3时，h≥15，则小球飞行时间1≤t≤3时，飞行高度不低于15m．24．（5分）（2017秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a）和点B．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）直接写出不等式＜2x+4的解集．【解答】解：（1）把A（﹣3，a）代入y＝2x+4，可得a＝﹣2，∴A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y，可得k＝6，∴反比例函数的表达式为y．解方程组，得或，∴B（1，6）；（2）在平面直角坐标系中画出直线y＝2x+4与双曲线y，如图．由图象可知，不等式＜2x+4的解集为﹣3＜x＜0或x＞1．25．（6分）（2018•南充模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于点D，E．DF是⊙O的切线，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若AE＝4，DF＝3，求tan A．【解答】（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°，∴∠ODF＝∠DFC＝90°，∴DF⊥AC；（2）过O作OG⊥AC，由垂径定理可知：OG垂直平分AE，∴∠AGO＝90°，AG＝2，由（1）可知：四边形ODFG为矩形，∴OG＝DF＝3，在Rt△AGO中，tan A．26．（7分）（2017秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+n（m ≠0）与x轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线y x﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l1：y＝x+a和l2：y＝﹣x+b组成图形G．当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线所对应的函数表达式为y＝mx2﹣2mx+n，∴抛物线的对称轴为直线x1．（2）①∵抛物线是轴对称图形，∴点A、B关于直线x＝1对称．∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（4，0）．∵抛物线y＝mx2﹣2mx+n过点B，直线y x﹣4m﹣n过点B，∴，解得：，∴直线所对应的函数表达式为y x﹣2，抛物线所对应的函数表达式为y x2+x+4．②联立两函数表达式成方程组，，解得：，．∵点B的坐标为（4，0），∴点C的坐标为（﹣3，）．当直线l2：y＝﹣x+b1过点B时，0＝﹣4+b1，解得：b1＝4，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y＝﹣x+4，当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，∴点P1的坐标为（1，3）；当直线l2：y＝﹣x+b2过点C时，3+b2，解得：b2，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y＝﹣x，当x＝1时，y＝﹣x，∴点P2的坐标为（1，）．∴当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围为t≤3．27．（7分）（2017秋•东城区期末）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，以点B 为圆心，为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P'C⊥PC，使点P'落在直线BC的上方，且满足P'C：PC＝1：，连接BP，AP'．（1）求∠BAC的度数，并证明△AP'C∽△BPC；（2）若点P在AB上时，①在图2中画出△AP′C；②连接BP'，求BP'的长；（3）点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP'取得最大值或最小值时∠PBC的度数；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝2，∴tan∠BAC，∴∠BAC＝60°；②∵，，∴，∵P'C⊥PC，∴∠PCP'＝∠ACB＝90°，∴∠P'CA＝PCB，∴△AP'C∽△BPC；（2）①如图1所示；②如图2，由（1）知，∠BAC＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝30°，∴AB＝2AC＝4，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC＝∠PBC＝30°，，∵点P在AB上，∴BP，∴AP'＝1；连接P'B，∠P'AB＝∠CAP'+∠BAC＝30°+60°＝90°，在Rt△P'AB中，AP'＝1，AB＝4，根据勾股定理得，BP'；（3）由（1）知，△AP'C∽△BPC，∴，∴，∴AP'＝1是定值，∴点P'是在以点A为圆心，半径为AP'＝1的圆上，①如图3，点P'在BA的延长线上，此时，BP'取得最大值，∴∠P'AC＝180°﹣∠BAC＝60°，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC＝PBC＝120°，∴BP'取得最大值时，∠PBC＝120°；②如图4，点P'在线段AB上时，BP'取得最小值，∵△AP'C∽△BPC，∴∠PBC＝∠BAC＝60°，∴BP'取得最小值时，∠PBC＝60°．28．（8分）（2017秋•东城区期末）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1，0），P2（，1），P3（，0），P4（5，0）中，⊙O的和睦点是P2、P3；（2）若点P（4，3）为⊙O的和睦点，求⊙O的半径r的取值范围；（3）点A在直线y＝﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E（，），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标x A的取值范围．【解答】解：（1）如图1中，分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1为半径画圆，若与⊙O有交点，则P是，⊙O的和睦点，观察图象可知，⊙O的和睦点是P2、P3．故答案为：P2、P3．（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．∵P（4，3），∴OP＝5，满足条件的⊙O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA＝4时，得到r的最小值为4，当OB＝6时，得到r的最大值为6，∴4≤r≤6．（3）①如图3中，当点O到C′D′的距离OM＝1时，此时点A′的横坐标为﹣3．当点E到CD的距离EN＝1时，此时点A的横坐标为5，∴5≤x A≤﹣3时，满足条件；②）①如图3中，当点O到A′B′的距离OM＝1时，此时点A′的横坐标为1当点E到AB的距离EN＝1时，点A的横坐标为1，∴1≤x A≤1时，满足条件；综上所述，满足条件的当A的横坐标的取值范围为：5≤x A≤﹣3或1≤x A≤1．。

大兴区2017-2018学年度第一学期期末检测试卷初三数学考生须知1 •本试卷共8页，共三道大题，28道小题•满分100分，考试时间120分钟.2 •在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号.3 •试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.4 •考试结束，将答题卡交回.、选择题（本题共16分，每小题2 分）F面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.21 •抛物线y = (x - 2) - 3的顶点坐标是A. (-2,3 )B. (2,3 )C. (2,-3 )2.如图，点A, B, P是O O上的三点，若• AOB = 40 ,贝U . APB的度数为A. 80B. 140C. 20D. 50m — 23•已知反比例函数y ，当x>0时，y随x的增大而增大，则m的取值x范围是A .m<2B .m>2C .m< 2D .m>2D. (-3,2 )4. 在半径为12cm的圆中，长为4二cm的弧所对的圆心角的度数为6. 为测量某河的宽度， 小军在河对岸选定一个目标点的这一侧选点 B ，C , D ，使得 AB 丄BC , CD 丄BC , BC 的交点E.如图所示，若测得 BE=90m , EC=45m , 条河的宽AB 等于A . 120mB .C . 40m 7.根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在 40mg/L 以下；如果血乳酸浓度降到 50mg/L 以下，运动员就基本 消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据， 绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度 运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系下列叙述正确的是A .运动后40min 时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B .运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为 350mg/LA. 10B. 60C. 90D. 12025.将抛物线y = 5x 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是2A. y = 5( x 2)32B.y=5(^-2)32C. y = 5(xD.y = 5(x - 2)2 - 3D . 30m斗直蘇E 甘稱A ,再在他所在 然后找出AD 与 CD=60m ，则这67.5mC.运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D •采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳1JD&下图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果F面有三个推断:①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47,所以“正面向上”的概率是0.47 ;②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5 ；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45 .其中合理的是A .① B.② C.①② D.①③二、填空题(本题共16分，每小题2分)9. 如图，在Rt△ ABC 中，/ C= 90°, BC = 4, AC=2,则tanB的值是 ___________ .10. 计算：2sin60 -tan 45 半4cos30 = ___________ .11. 若厶ABC DEF ,且B C : E F = 2 : 3 ,贝^厶ABC 与厶DEF 的面积比等于__________12. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0 , 2)的抛物线的表达式：_________13. 如图，在半径为5cm的O O中，如果弦AB的长为8cm, OCLAB,垂足为C,那么OC的长为____________ c m.14. 圆心角为160°的扇形的半径为9cm,则这个扇形的面积是2___ cm.217.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数y - -2x 的图象15•若函数y =ax 3x 1的图象与x 轴有两个交点，则 a 的取值范围是 ____________________16.下面是“作出冷，所在的圆”的尺规作图过程.(4) 以0为圆心，0C 长为半径作圆，所以O 0即为所求作的左所在的圆..三、解答题(本题共 68分，第17-25题每小题5分，第26题7分，第27题8分,第28题8分)请回答：该尺规与反比例函数求反比例函数ky =-x的表达式.18 . 已知二次函数2y= x+ 4x+3.19 .(1)(2)已知:DE.用配方法将y= x2在平面直角坐标系如图，在△ ABC+ 4x+3化成y=a(x—h)2的形式;xOy中，画出这个二次函数的图象3中，D , E分别为AB、AC边上的点，且AD AE,连接5 若AC= 4, AB= 5.20. 求证：△ ADE ACB.已知：如图，在ABC 中，AB=AC=8, / A=120° ,求BC的长.q433I-l -2 >31 0 $ 4 >ky 的图象的一个交点为A (-1, n).x24.已知：如图，OO的直径AB的长为5cm, C为OO上的一个点，ZACB的平分线交° 0 于点D,求BD 的长.22. 在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1 ）在地面上选定点A, B，使点A，B，D在同一条直线上,测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角/ ECA=35 , / ECB=45 .请你根据以上数据计算出CD的长.（可能用到的参考数sin 35°~57 cos35°~82 tan 35°~70)23. 已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料.当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？24. 已知：如图，AB是半圆0的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A, B重合），.CAD =/B.（1）求证：AC是半圆0的切线；25.如图，AB = 6cm，/ CAB = 25°, P是线段AB上一动点，过点P作PM丄AB交射线AC于点M ,连接MB ,过点P作PN丄MB于点N .设A, 间的距离为xcm,P, N两点间的距离为ycm .（当点P与点A或点B重合时，均为0）P两点（2）过点0作BD的平行线，交AC于点E,交AD于点F,且EF=4, AD=6,求BD 的长.y的值小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.F面是小海的探究过程，请补充完整:(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表:(说明：补全表格时相关数值保留两位小数)(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；r T i- -———11I i1 1■i I i i|1111 I I ii■1I111I1 1■I i1191111 1I I■11V11•1 1i i i i I11111 1I I l4Ir 亠二「di----------- —■-------- -| ----------------------- -------------- —■—1 --------------- ・三1 ------------ —-f ---------------------1—■ ---------- 1 ---------P I111 1I i i I i i I111 I l i■i I I I1i1 1a i i•l i|111 1i j I i l i1111 P i i I i lIL ..______ ___ J L__________ .1 ___________ ___ J_____ _ _ _ _ l ________ - ,■-—■」■ ■&一&i|1I1 111l m I i I*1I I i i i•1 i1111 i i i i i1 |i11 1■i|l i I|1i1 1i i l i1 111 |i i i i1 |11 i i i l i1 I|■i1 1■i|l1■i|111 1i i I i1 i11i1 1i i■i l t1i•i i8i i i li h II i1i11I H1L ■■"丁一 --I l1i1 l l ii i ip i i1 1a i I ii i i I i i i■i•1 i i11i i i i i i1 i i i11 i1i I i1L -_ L_ L”J1. i_ ___ _L ._ _L -■_jil1111 111t1t1i i i i i■l i1ii1i1i i I i I i1i1i11 i I II l i1i1i11 I i i1i1h1i11 i i i1i!L R——-I ■- .___ ■—丄—.—亠-_ _________—1j(3)结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的x值的个数是__________________________________ .126.已知一次函数 y ,=丄x_1，二次2J2t 函数 y 2 = x - mx 十43(其中m>4).1(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含m 的代数式表示)；Y ■ £ —U —101 3 3 4 J «(2 )利用函数图象解决下列冋题：-4 -6①若m =5，求当％ >0且y 2 < 0时， 自变量x 的取值范围；②如果满足％ >0且y 2 < 0时自变量x 的取值范围内有且只有一个整数，直接写出 m 的取值范围.于点E ,连接AC 、BC 、AE , EB.过点C 作CG 丄AB 于点G ,交EB 于点H.(1)求证：/ BCG= / EBG ;28. 一般地，我们把半径为 1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy 中，设单位圆的圆心与坐标原点 0重合，则单位圆与 x 轴的交点分别为(1, 0), (-1,0 ),与y 轴的交点分别 为(0,1 ), (0, -1 ).27.已知：如图, AB 为半圆0的直径，C 是半圆0上一点，过点C 作AB 的平行线交O 0在平面直角坐标系xOy中，设锐角：•的顶点与坐标原点0重合，:-的一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P (x1,y1),且点P在第一象限.y i= _________ L 用含a的式子表示);(2)将射线0P绕坐标原点0按逆时针方向旋转90后与单位圆交于点Q(x2, y2).①判断y1与x2的数量关系,并证明;②y i +y2的取值范围是：_ __________ . ________大兴区2017~2018学年度第一学期期末检测试卷初三数学参考答案及评分标准、选择题(本题共16分，每小题2分)F面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.题号12345678答案B C A B D A C B 二、填空题(本题共16分，每小题2分)19. .210. 3屈1.11. 4 : 9.212. y =x 2.(答案不唯一)13. 3.14. 36 n(1) = _______ L 用含口的式子表示);15. a v -且a 工0.416.不在同一直线上的三个点确定一个圆；圆是到定点的距离等于定长的点的集合；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等•、解答题（本题共68分，第17-25题，每小题5分，第26题7分，第27题8分，第n = _2 (—1)=2 •点A的坐标为（一1,2）• ............2分点A在反比例函数y =k的图象上，x反比例函数的表达式为y-_2• ....... 5分x18.解: 2(1) y =x 4x 3=X24x 4 -1=(x 2)2-1 ...........................................19•证明：3• • AC=3, AB=5, AD528题8分）17.解：T 点A（-1, n）在一次函数y=_2x的图象上,1分22••• △ ADE s\ ACB20.解：过点 A 作AD 丄BC 于D ,•/ AB=AC ，/ BAC=120• / B=Z C = 30 °……BC=2BD ,在 Rt △ ABD 中，/ ADB=90°, / B=30° , AB=8,BD cosB= 一AB• BD=ABcos30° 8 X 3=4 ■ 32 ，• BC =8、、3 ./ ADB =90° , •/ CD 平分/ ACB ,/ ACD=Z BCD ,• AD =BD ...... ....................................................... 分 • AD=BD (3)分在等腰直角三角形 ADB 中,BD =5V2 .21. 解：•/ AB 为直径,分4分5BD=ABsi n45 =55分AB = 9.设 CD =x , •/ 在 Rt. CDB 中，/ CDB = 90°,/ CBD = 45 CD=BD = x .•/ 在 Rt. CDA 中，/ CDA = 90°,/ CAD = 35 ••• tan. CAD = CD ,ADx AD =tan 35•/ AB=9, AD=AB+BD ,• 9 x -0.7解得x =21 答：CD 的长为21米.23.解：设AM 的长为x 米，贝U MB 的长为（2 - x ）米，以AM 和MB 为边的两个正方形面积之和为 y 平方米.根据题意，y 与x 之间的函数表达式为2 2y =x (2 -x) .................................................................... 2 分=2(x -1)22 ...................................................................3 分22 .解：由题意可知： CD 丄AD 于D ,/ ECB= / CBD = 45 , / ECA= / CAD = 35 ,因为2>0于是，当X =1时，y有最小值................... ..4分所以，当AM的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小分.524.(1)证明：•/ AB是半圆直径，•••/ BDA=90••• . B . DAB =90又.DAC 二/B••• . DAC . DAB =90即/ CAB=90 °• AC是半圆O的切线.(2 )解：由题意知，OE // BD, . D =90•••/ D = /AFO =/AFE = 90°• OE _AD .1AF AD ............................................................................... 3 分2又••• AD=6•AF=3.又.B -. CAD•△AEFBAD ................................................................. 4 分Hr L!|— In --- ---- -II —7!0 12 3 4(3)两个.26.解：AD BD7 EF =44 3 _ _ _ 6 一 BD9 八225.解：(1) 0.91 (答案不唯一) ............... 1分(2)EF AF-二次函数图象的顶点坐标为m m2(，4)................................................................. 2分2 4(2)①当m =5 时，y2 =x2-5x 亠4 ............................................. 分4 如图,因为y,>0且y2 <0由图象，得2<x<4 ............................................................. 5 分T CG 丄AB 于点G ,•••/ ACB= / CGB =90 ° •••/ CAB= / BCG.. •/ CE II AB , •••/ CAB= / ACE. •••/ BCG= / ACE•••/ BCG= / EBG..1•- tan 一CAB , ........................................................................2 由(1)知，/ HBG =/ EBG = / ACE = / CAB(2)解:sin CAB..2分..3分•••在 Rt △ HGB 中，tan. HBG =GH=1 . GB 2由(1 知，/ BCG =Z CAB在 Rt △ BCG 中,tan. BCG =G B =1.CG 2设 GH=a ，贝U GB=2a , CG=4a.CH=CG — HG=3a. ................... .6 分 •/ EC // AB ,•••/ ECH = / BGH , / CEH = / GBH• △ ECHBGH . ..................................................................... .. 7 分.EC CH 3a 、• •3 . (8)分GB GHa28. (1) cos 、f ； .......................... . ................ 分.1sin : ； ............................... .. ................................................ 2 分 (2)①Yi 与x 2的数量关系是：％ = - x 2 证明：过点P 作PF 丄x 轴于点 .■ PFO =• QEO =90 ..POF • OPF =90；PO _ OQ.■ POF • QOE =90 .QOE "OPF :PO =OQ =1.PF =OE.；.......;P(X i, y i ), Q (x2 ,y2 )”■” y i = X2••• Q在第二象限，P在第一象限…>0, X? <0二y1= -x2 ................................................................ 6 分②1 ■ % +y2 _ 2 ... ........................................................... 8分。

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●知识模块4：解直角三角形应用1．如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点. 此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，那么这棵树的高度为（ ).A．m5B．m7C．m5.7D．m212．（门头沟18期末14）如图,是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是_________m .3．（石景山18期末12）“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶,并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC的坡度达到2.1:1，那么立柱AC的长为_______米．4．（西城18期末14）2017年9月热播的专题片《辉煌中国-—圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国!”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中,中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577 m，记CE与大桥主梁所夹的锐角CED∠为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD= (m） .5．(东城18期末13）某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度. 为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的顶屋坡原来的平屋顶ABC3米斜边在同一直线上(如图）。

●知识模块1：圆基础（选填） (2)★与圆的位置关系 (2)★圆周角、圆心角 (2)★垂径定理 (4)★正多边形 (6)★弧长、扇形面积 (7)●知识模块2：尺规作图 (8)●知识模块3：圆解答题（计算） (13)●知识模块4：圆解答题（综合） (16)●知识模块5：新定义问题 (24)●知识模块1：圆基础（选填）★与圆的位置关系1．（密云18期末5）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC=4，BC=3.以点A 为圆心，AC 长为半径作圆.则下列结论正确的是（ ）A.点B 在圆内B.点B 在圆上C.点B 在圆外D.点B 和圆的位置关系不确定2．（门头沟18期末6）已知ABC △，AC =3，CB =4，以点C 为圆心r 为半径作圆，如果点A 、点B 只有一个点在圆内，那么半径r 的取值范围是A ．3r ＞B ．4r ≥C ．34r ＜≤D ．34r ≤≤3．（顺义18期末13）已知矩形ABCD 中， AB =4，BC =3，以点B 为圆心r 为半径作圆，且⊙B 与边CD 有唯一公共点，则r 的取值范围是 ．4．（石景山18期末14）14．如图，在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，AB =10．若以点C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC =________．★圆周角、圆心角 5．（密云18期末6）如图，ABC ∆内接于O ，80AOB ∠=︒，则ACB∠的大小为（ ）A.20︒B.40︒C.80︒D.90︒6．（大兴18期末2）如图，点A ，B ，P 是⊙O 上的三点，若︒=∠40AOB ，则APB ∠的度数为（ ）A. ︒80B. ︒140C. ︒20D. ︒507．（平谷18期末6）如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA ，OB ，∠ABO =40°，则∠C 的度数是（ ）A ．100°B ．80°C ．50° D40°8．（昌平18期末4）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =50︒，则∠BOC的大小为（ ）A ．40°B ．30°C ．80°D ．100°B CA DABCDBAC9．（门头沟18期末3）如图，DCE ∠是圆内接四边形ABCD 的一个外角，如果75DCE ∠=︒，那么BAD ∠的度数是（ ） A ．65︒ B ．75︒ C ．85︒ D ．105︒ 10．（朝阳18期末6）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，若AB =14，BC =7.则∠BDC 的度数是（ ）A ．15°B ．30°C ． 45°D ．60°11．（石景山18期末3）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若︒=∠25ACD ，则BOD ∠的度数为（ ）A ．︒100B ．︒120C ．︒130D ．︒15012．（西城18期末5）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD 等于（ ）．A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°13．（丰台18期末7）如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任意一点. 如果∠AOB =140°，那么∠ACB 的度数为（ ）A ．70°B ．110°C ．140°D ．70°或110°14．（怀柔18期末5）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC =100°，则∠A 的大小为 （ ）A ．B ．C ．D ．15．（通州18期末4）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上.若︒=∠55ABD ，则BCD ∠的度数为（ ）A ．︒25B ．︒30C ．︒35D ．︒4016．（燕山18期末3）3．如图，圆心角 ∠ AOB=25°，将 AB 旋转 n°得到 CD ，则∠ COD 等于（ ）A ．25°B ．25°+ n°C ．50°D ．50°+ n°40︒50︒80︒100︒AA B DCBAO17．（燕山18期末13）如图，量角器的直径与直角三角尺 ABC的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3°的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点 E ，则第 20 秒点 E 在量角器上对应的读数是 °18．（通州18期末15）⊙O 的半径为1，其内接ABC △的边2=AB ，则C ∠的度数为________. 19．（东城18期末14）⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 平分∠BAD ，则正确结论的序号是 . ①AB=AD ；②BC=CD ；③ AB AD =；④∠BCA=∠DCA ；⑤ BCCD =. 20．（丰台18期末14）在平面直角坐标系中，过三点A （0，0），B （2，2），C （4，0）的圆的圆心坐标为 .21．（西城18期末16）如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为.★垂径定理 22．（顺义18期末6）如图，已知⊙O 的半径为6，弦AB 的长为8，则圆心O 到AB 的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．1023．（石景山18期末4）如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ．若⊙O的半径为4，则弦AB 的长为（ ）A ．32B ．34C ．52D ．5424．（通州18期末6）如图，⊙O 的半径为4.将⊙O 的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O .则折痕AB 的长为（ ）A. 3B. 32C. 6D. 34CBAO25．（怀柔18期末7）某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O ，再任意找出圆O 的一条直径标记为AB （如图1），测量出AB =4分米；②将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C 、D （如图2）；③用一细橡胶棒连接C 、D 两点（如图3）； ④计算出橡胶棒CD 的长度.小明计算橡胶棒CD 的长度为（ ）A ．22分米B ．23分米C ．32分米D ．33分米26．（门头沟18期末13）如图，在△ABC 中，∠A =60°，⊙O 为△ABC的外接圆．如果BC=,那么⊙O 的半径为________.27．（西城18期末13）如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120 ，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 . 28．（大兴18期末13）如图，在半径为5cm 的⊙O 中，如果弦AB 的长为8cm ，OC ⊥AB ，垂足为C ，那么OC 的长为 cm ． 29．（东城18期末12）如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC并延长交⊙O 于点D .若CD =1，AB =4,则⊙O 的半径是_______. 30．（燕山18期末11）如图，AB 、AC 是⊙O 的弦，OM ⊥ AB ，ON ⊥ AC ，垂足分别为 M 、N ．如果 MN =2.5，那么BC =_______★正多边形 31．（东城18期末2）边长为2的正方形内接于M ，则M 的半径是（ ）A ．1B ．2CD． 32．（丰台18期末12）如图，等边三角形ABC 的外接圆⊙O 的半径OA 的长为2，则其内切圆半径的长为 .33．（通州18期末13）如图，AD ，AE 是正六边形的两条对角线.在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论： （1）__________________________； （2）______________________. 34．（昌平18期末13）如图，⊙O 的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O ，则劣弧AB 的长为 ．35．（朝阳18期末9）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为3，则正六边形ABCDEF 的边长为 .36．（平谷18期末13）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB 是圆内接正六边形的一条边，半径OB =1，OC ⊥AB 于点D ，则圆内接正十二边形的边BC 的长是 （结果不取近似值）．F C★弧长、扇形面积 37．（西城18期末4）圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A.48πB.24πC.4πD.2π38．（东城18期末5）A ，B 是O 上的两点，OA =1， AB 的长是1π3，则∠AOB 的度数是（ ） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 39．（大兴18期末4）在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为（ ）A. ︒10B. ︒60C. ︒90D. ︒12040．（通州18期末2）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ）A ．6πB ．πC ．3π D ． 32π41．（海淀18期末13）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为_______． 42．（丰台18期末10）半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_______. 43．（大兴18期末14）圆心角为160°的扇形的半径为9cm ，则这个扇形的面积是_______cm 2． 44．（密云18期末12）扇形半径为3cm ，弧长为πcm ，则扇形圆心角的度数为__________. 45．（平谷18期末10）圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长是 cm （结果不取近似值）． 46．（朝阳18期末7）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A’B’C ，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．2 B ．2πC ．4D ．4π47．（石景山18期末11）如图，扇形的圆心角︒=∠60AOB ，半径为3cm ．若点C 、D 是 的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2．48．（怀柔18期末15）在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为 米2. 49．（顺义18期末20）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中直管道部分AB 的长为3 000mm ，弯形管道部分BC ，CD 弧的半径都是1 000mm ，∠O =∠O ’=90°，计算图中中心虚线的长度．BO '●知识模块2：尺规作图1．（昌平18期末16）阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M.请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为________.2．（门头沟18期末16）下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程.请回答：该尺规作图的依据是______________________________________________.3．（朝阳18期末16）下面是“作顶角为120°的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程.请回答：该尺规作图的依据是_____________________________________________.4．（石景山18期末16）石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．请回答，CACCACABCSSS2211∆∆∆==成立的理由是：①；②．5．（燕山18期末16）在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则CACCACABCSSS2211∆∆∆==．图2B3B1B2MC2C1AB C图1CBA6．（怀柔18期末16）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：请回答：这样做的依据是．7．（丰台18期末16、密云18期末16）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.请回答以下问题：（1）连接OA，OB，可证∠OAP =∠OBP = 90°，理由是；（2）直线P A，PB是⊙O的切线，依据是．8．（大兴18期末16）下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是 ． 9．（通州18期末16）16. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小霞的作法如下：老师说：“小霞的作法正确．”请回答：小霞的作图依据是 ．（1）如图，在平面内任取一点O ； （2）以点O 为圆心，AO 为半径作圆，交射线AB 于点D ，交射线AC 于点E ； （3）连接DE ，过点O 作射线OP 垂直线段DE ，交⊙O 于点P ； （4）连接AP .所以射线AP 为所求.尺规作图：作已知角的角平分线． 已知：如图，已知BAC ∠.求作： BAC ∠的角平分线AP .已知：．求作：所在的圆.（1）在上任取三个点D ，C ，E ；所以⊙O 即为所求作的所在的圆..10．（海淀18期末16、平谷18期末16）下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是．11．（昌平18期末21）尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．C A ●知识模块3：圆解答题（计算）1．（昌平18期末20）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接AC ，BC ．（1）求证：A BCD ∠=∠；（2）若AB =10，CD =8，求BE 的长． 2．（朝阳18期末18）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，对角线AC 是⊙O 的直径，AB=2，∠ADB ＝45°. 求⊙O 半径的长.3．（东城18期末18）已知等腰△ABC 内接于O , AB =AC ，∠BOC =100°，求△ABC 的顶角和底角的度数.4．（密云18期末21）如图，AB 是O 的弦，O 的半径OD AB ⊥垂足为C.若AB =，CD=1 ，求O的半径长.5．（丰台18期末20）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB 的长．请你解答这个问题.6．（平谷18期末20）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∠A =15°，AB =4．求弦CD 的长．7．（大兴18期末21）已知： 如图，⊙O 的直径AB 的长为5cm ，C 为⊙O 上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O 于点D ，求BD 的长．8．（通州18期末19）如图，ABC △内接于⊙O .若⊙O 的半径为6，︒=∠60B ，求AC 的长．A9．（顺义18期末24）已知：如图，AB 为⊙O 直径，CE ⊥AB 于E ，BF ∥OC ，连接BC ，CF ．求证：∠OCF =∠ECB ．10．（燕山18期末19）如图，AB 为⊙ O 的直径，弦 CD ⊥ AB 于点E ，连 接BC ．若AB ＝6，∠ B ＝30°，求：弦CD 的长.E FO C BA●知识模块4：圆解答题（综合）1．（大兴18期末24）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，D 是半圆上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合）， .∠=∠CAD B （1）求证：AC 是半圆O 的切线；（2）过点O 作BD 的平行线，交AC 于点E ，交AD 于点F ，且EF=4，AD=6，求BD 的长． 2．（昌平18期末24）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点D ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE 的长.3．（朝阳18期末24）如图，在△ABC 中，∠C =90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，⊙O的切线DE 交AC 于点E . （1）求证：E 是AC 中点；（2）若AB =10，BC =6，连接CD ，OE ，交点为F ，求OF 的长.4．（东城18期末25）如图，在△ABC 中，AB =AC ,以AB 为直径的O 与边BC ，AC 分别交于点D ，E .DF 是O 的切线,交AC 于点F ． （1）求证：DF ⊥AC ；（2）若AE =4，DF =3，求tan A ．EBC5．（海淀18期末24）如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EF =DE ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接AF 交DE 于点M ，若 AD =4，DE =5，求DM 的长．6．（石景山18期末25）如图，AC 是⊙O 的直径，点D 是⊙O 上一点，⊙O 的切线CB 与AD 的延长线交于点B ，点F 是直径AC 上一点，连接DF 并延长交⊙O 于点E ，连接AE ． （1）求证：∠ABC =∠AED ；（2）连接BF ，若AD 532=，AF =6，tan 34=∠AED ，求BF 的长．CA7．（西城18期末24）如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，=DCE B∠∠．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan3B=，求半圆的半径．8．（丰台18期末24）如图，AB是⊙O的直径，点C是»AB的中点，连接AC并延长至点D，使CD AC=，点E是OB上一点，且23OEEB=，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH.（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当2OB=时，求BH的长.9．（怀柔18期末22）22. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点M 在BA 的延长线上，MD 切⊙O于点D ，过点B 作BN ⊥MD 于点C ，连接AD 并延长，交BN 于点N ． （1）求证：AB =BN ；（2）若⊙O 半径的长为3，cosB =52，求MA 的长．10．（平谷18期末25）25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点O 是AB 边上一点，以O 为圆心作⊙O 且经过A ，D 两点，交AB 于点E ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）AC =2，AB =6，求BE 的长．A11．（密云18期末24）如图，AB 是O 的直径，C 、D 是O 上两点， AC BC=.过点B 作O 的切线l ，连接AC 并延长交l 于点E ，连接AD 并延长交l 于点F .（1）求证：AC =CE .（2）若AE =3sin 5BAF ∠= 求DF 长.12．（顺义18期末26）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ． （1）求证：DE ⊥AB ；（2）若tan ∠BDE =12, CF =3，求DF 的长．B13．（大兴18期末27）已知：如图，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆O 上一点，过点C 作AB的平行线交⊙O 于点E ，连接AC 、BC 、AE ，EB . 过点C 作CG ⊥AB 于点G ，交EB 于点H.（1）求证：∠BCG=∠E BG ；（2）若55sin =∠CAB ，求GB EC 的值.14．（门头沟18期末24）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是AB 边上一点，以BD为直径的⊙O 与边AC 相切于点 E ，连接DE 并延长DE 交BC 的延长线于点F ． （1）求证：BD =BF ；（2）若CF =2，4tan 3B =，求⊙O 的半径．15．（通州18期末22）如图，ABC △是等腰三角形，AC AB =，以AC 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，DE AB ⊥，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，1BE =，求cos A 的值．16．（燕山18期末24）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）如果⊙O 的半径为5，sin ∠ADE =45，求BF 的长.●知识模块5：新定义问题1．（大兴18期末28）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy 中，设单位圆的圆心与坐标原点O 重合，则单位圆与x 轴的交点分别为（1，0），（-1,0），与y 轴的交点分别为（0,1），（0，-1）.在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的顶点与坐标原点O α的一边与x 轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P 11(,)x y ,且点P 在第一象限.（1）1x =_ __ (用含α的式子表示)；1y =____ _ (用含α的式子表示)； （2）将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转90︒后与单位圆交于点22(,)Q x y .①判断1y 2与的数量关系,并证明；x②12y y +的取值范围是：_ ___.2．（东城18期末28）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当⊙O 的半径为3时， 在点P 1（1,0），P 21），P 3（72,0），P 4（5,0）中，⊙O的和睦点是________；（2）若点P （4,3）为⊙O 的和睦点，求⊙O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线y =﹣1上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点E ，若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．3．（昌平18期末28）对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≥，则称1d 为点P 的最大距离；若12d d <，则称2d 为点P 的最大距离.例如：点P （3-，4）到到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为3，因为3 < 4，所以点P 的最大距离为4.（1）①点A （2，5-）的最大距离为 ；②若点B （a ，2）的最大距离为5，则a 的值为 ；（2）若点C 在直线2y x =--上，且点C 的最大距离为5，求点C 的坐标；（3）若⊙O 上存在．．点M ，使点M 的最大距离为5，直接写出⊙O 的半径r 的取值范围.4．（朝阳18期末28）在平面直角坐标系xOy中，点A （0, 6），点B在x轴的正半轴上. 若点P,Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P,Q的“X矩形”. 下图为点P,Q的“X矩形”的示意图.（1）若点B（4,0），点C的横坐标为2，则点B,C的“X矩形”的面积为.（2）点M，N的“X矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围.备用图5．（海淀18期末27）对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PAQA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标________； （2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2BAO ∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．6．（石景山18期末28）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为),(11y x ，点Q 的坐标为),(22y x ，且21x x ≠，21y y ≠，若PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为点P ，Q 的“相关等腰三角形”．下图为点P ，Q 的“相关等腰三角形”的示意图．．．．（1）已知点A 的坐标为)1,0(，点B 的坐标为)0,3(-，则点A ，B 的“相关等腰三角形”的顶角为_________°；（2）若点C 的坐标为)3,0(，点D 在直线34=y 上，且C ，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD 的表达式；（3）⊙O 的半径为2，点N 在双曲线xy 3-=上．若在⊙O 上存在一点M ，使得点M 、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．7．（西城18期末28）在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为(2,2)A，(2,2)B-．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q'落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点(4,1)P-．①在1(1,1)Q-，2(1,1)Q两点中，是点P关于线段AB的内称点的是____________；②若点M在直线1y x=-上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标Mx的取值范围；（2）已知点(3,3)C，⊙C的半径为r，点(4,0)D，若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．8．（丰台18期末28）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”. （1）当⊙O 的半径为1时，①在点P 1（12，P 2（0，－2），P 30）中，⊙O 的“离心点”是 ；②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围；（2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线121+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B .如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.9．（怀柔18期末28）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的横坐标为x ，纵坐标为2x ，满足这样条件的点称为“关系点”.（1）在点A (1，2)、B (2，1)、M (21，1)、N (1，21)中，是“关系点”的 ；（2）⊙O 的半径为1，若在⊙O 上存在“关系点”P ，求点P 坐标； （3）点C 的坐标为(3，0)，若在⊙C 上有且只有一个．．．．．．“关系点”P ，且“关系点”P 的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写出⊙C 的半径r 的取值范围．10．（平谷18期末28）在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；（2）点M,N是一对“互换点”，点M的坐标为(m,n)，且(m＞n)，⊙P经过点M,N．①点M的坐标为(4,0)，求圆心P所在直线的表达式；②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．11．（密云18期末28）已知在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G,给出如下的定义：若在图形G 上存在一点Q ,使得Q P 、之间的距离等于1，则称P 为图形G 的关联点. （1）当O 的半径为1时，①点11(,0)2P,2P ,3(0,3)P 中，O 的关联点有_____________________. ②直线l 经过（0，1）点，且与y 轴垂直，点P 在直线l 上.若P 是O 的关联点，求点P 的横坐标x 的取值范围.（2）已知正方形ABCD 的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r 的取值范围.备用图 备用图12．（门头沟18期末28）以点P 为端点竖直向下的一条射线PN ，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线1PN ，2PN ，我们规定：12N PN ∠为点P 的“摇摆角”， 射线PN 摇摆扫过的区域叫作点P 的“摇摆区域”（含1PN ，2PN ）. 在平面直角坐标系xOy 中，点(2,3)P .（1）当点P 的摇摆角为60︒时，请判断(0,0)O 、(1,2)A 、(2,1)B、(20)C 属于点P 的摇摆区域内的点是______________________（填写字母即可）；（2）如果过点(1,0)D ，点(5,0)E 的线段完全在点P 的摇摆区域内，那么点P 的摇摆角至少为_________°； （3）⊙W 的圆心坐标为(,0)a ，半径为1，如果⊙W 上的所有点都在点P 的摇摆角为60︒ 时的摇摆区域内，求a 的取值范围．备用图13．（通州18期末25）点P 的“d 值”定义如下：若点Q 为圆上任意一点，线段PQ 长度的最大值与最小值之差即为点P 的“d 值”，记为P d .特别的，当点P ，Q 重合时，线段PQ 的长度为0.当⊙O 的半径为2时：（1）若点⎪⎭⎫⎝⎛-0,21C ，()4,3D ，则=C d _________，=D d _________；（2）若在直线22+=x y 上存在点P ，使得2=P d ，求出点P 的横坐标；（3）直线()033>+-=b b x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B .若线段AB 上存在点P ，使得32<≤P d ，请你直接写出b 的取值范围.14．（燕山18期末28）在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l 的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线。

2017-2018 年度北京市初三上学期期末数学试卷北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研数 学2018． 1本试卷共 8 页，共三道大题， 28 道小题，满分 100 分。

考试时间 120 分钟。

一、选择题 （本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 ．．．1．抛物线 y22 的对称轴是x 1A ． x1B ． x 1C ． x 2D ． x 22．在△ ABC 中，∠ C90°．若 AB 3， BC1，则 sin A 的值为1B ． 2 2C ．2 2D ． 3A ．33B3．如图，线段 BD ， CE 相交于点 A ， DE ∥ BC ．若 AB4， AD 2， DE 1.5，E则 BC 的长为AA ．1B ．2CDC ．3D ．44．如图，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转 100 °，得到△ ADE ．若点 D 在线段ABC 的延长线上，则 B 的大小为EA ．30°B ．40°C ．50°D ．60°BCD5．如图，△ OAB ∽△ OCD ， OA:OC 3:2，∠ A α，∠ C β，△ OAB 与△ OCD 的面积分别是 S 1 和 S 2 ，△OAB 与△ OCD 的周长分别是 C 1 和 C 2 ，则下列等式一定成立的是OB 3 3A ．2 B ．CD2C DOAB S 1 3C 1 3C ．D ．S 22 C 2 22017-2018 年度北京市初三上学期期末数学试卷6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A 从（ 3， 4）出发，绕点 O 顺时针旋转一周，则点A 不经过．A ．点 M yB ．点 N5 AM4C ．点 P 3D ．点 Q21QOx1 2 3 4 5 6–6–5–4–3–2–1–1–2 P N–3–4–5y7．如图，反比例函数yk A （ 4， 1），当 y 1 时， x 的取值的图象经过点x1 A范围是O4xA ． x 0 或 x4B ． 0 x4C ． x4 D ． x48．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点 A 出发沿线段 AB 运动到点 B ，小兰从点 C 出发，以相同的速度沿⊙ O 逆时针运动一周回到点 C ，两人的运动路线如图 1 所示，其中 AC DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点 C 的距离 y 与时间 x （单位：秒）的对应关系如图 2 所示．则下列说法正确的是yA CODO 1.09 7.49 9.68 17.12 xB图 1图 2A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在 1.09 秒和 7.49 秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点 D D ．在 4.84 秒时，两人的距离正好等于⊙ O 的半径A CO DB二、填空题 （本题共 16 分，每小题 2 分）9．方程 x 22 x 0 的根为 ．10．已知∠ A 为锐角，且 tan A3 ，那么∠ A 的大小是yx=1°．11．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小， 则此反比例函数表达式可以是 ．（写出一个即可） Px12．如图，抛物线 yax 2bx c 的对称轴为 x 1 O，点 P ，点 Q 是抛物线与 x轴的两个交点，若点P 的坐标为（ 4， 0），则点 Q 的坐标为．13．若一个扇形的圆心角为60°，面积为 6π，则这个扇形的半径为．14．如图， AB 是⊙ O 的直径， PA ，PC 分别与⊙ O 相切于点A ，点 C ，若∠ P60°，PA3 ，则 AB 的长为 ．BCO15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距AP离．如图，在一个路口，一辆长为 10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯 20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾 x m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m ，若小张能看到整个红灯，则x 的最小值为．红 黄 3.2m 绿0.8m20m10mx m交通 停止线信号灯16．下面是“作一个 30°角”的尺规作图过程．D已知：平面内一点 A ．求作：∠ A ，使得∠ A 30°．AO C B作法：如图，（ 1）作射线 AB ；（ 2）在射线 AB 上取一点 O ，以 O 为圆心， OA 为半径作圆，与射线 AB 相交于点 C ；（ 3）以 C 为圆心， OC 为半径作弧，与⊙ O 交于点 D ，作射线 AD ．∠DAB 即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 小题，每小题 6 分；第 27~28 小题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算： 2sin 30 ° 2 cos 45 °8 ．18．已知x 1 是关于x的方程x2mx 2 m20 的一个根，求m(2 m1)的值．319．如图，在△ABC 中，∠ B 为锐角，AB3 2 ，AC5，sin C，求BC的长．5AB C 20．码头工人每天往一艘轮船上装载30 吨货物，装载完毕恰好用了8 天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v（单位：吨 /天），卸货天数为t．（ 1）直接写出v 关于 t 的函数表达式：v=；（不需写自变量的取值范围）（ 2）如果船上的货物 5 天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？21．如图，在△ABC中，∠ B 90°， AB 4，BC 2，以 AC为边作△ ACE，∠ ACE 90°， AC=CE，延长 BC 至点 D，使 CD 5，连接 DE．求证：△ ABC∽△ CED．AEB C D22．古代阿拉伯数学家泰比特 ·伊本 ·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1 中BAC 为锐角，图 2中 BAC 为直角，图 3 中 BAC 为钝角）．A AABC' B' C BB'(C') CBB' C' C图 1图 2图 3在△ ABC 的边 BC 上取 B ， C 两点，使 AB BAC CBAC ，则 △ ABC ∽ △ B BA ∽ △C AC ，AB AC22；（用 BB ， CC ， BC 表示） B BAB，，进而可得 AB ACC C AC若 AB=4， AC=3， BC=6，则 B C．23．如图，函数 yk0 ）与 yaxb 的图象交于点 A （ -1， n ）和点 B （ -2，1）．（ xx（ 1）求 k ， a ， b 的值；（ 2）直线 x m 与 yk0 ）的图象交于点 P ，与 y x 1 的图象交于点 Q ，当 PAQ 90 时，（ xx直接写出 m 的取值范围．yABOx2017-2018 年度北京市初三上学期期末数学试卷24．如图， A， B， C 三点在⊙ O 上，直径BD 平分∠ ABC，过点 D 作 DE ∥ AB 交弦 BC 于点 E，在 BC 的延长线上取一点 F，使得 EF DE ．（1）求证： DF 是⊙ O 的切线；（2）连接 AF 交 DE 于点 M ，若 AD 4， DE 5，求 DM 的长．ADOB EC F25．如图，在△ ABC 中，ABC 90，C40 °，点D是线段BC上的动点，将线段AD 绕点 A 顺时针旋转 50°至AD，连接BD．已知 AB2cm，设 BD 为 x cm， B D为 y cm．AD'B DC 小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（ 1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y的几组值，如下表：x / cm00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3y / cm 1.7 1.3 1.10.70.9 1.1（ 2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．y21O12 3 x（ 3）结合画出的函数图象，解决问题：线段 BD 的长度的最小值约为__________ cm ；若 BD BD ，则 BD 的长度x的取值范围是_____________．2017-2018 年度北京市初三上学期期末数学试卷26．已知二次函数y ax24ax3a ．（ 1）该二次函数图象的对称轴是x；（ 2）若该二次函数的图象开口向下，当1x 4 时，y的最大值是2，求当1x 4 时，y的最小值；（ 3）若对于该抛物线上的两点P( x1，y1 )， Q( x2，y2 ) ，当 t x1t +1， x25时，均满足 y1 y2，请结合图象，直接写出 t 的最大值．27．对于⊙ C 与⊙ C 上的一点 A，若平面内的点P 满足：射线 AP 与⊙ C 交于点 Q（点 Q 可以与点P 重合），．．且 1PA2 ，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．QA已知点 O 为坐标原点，⊙ O 的半径为1，点 A（ -1， 0）．（ 1）若点 P 是点 A 关于⊙ O 的“生长点”，且点 P 在 x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标 ________；1，求点 B 的纵坐标 t 的取值范围；（ 2）若点 B 是点 A 关于⊙ O 的“生长点” ，且满足tan BAO2（ 3）直线y3x b 与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出 b 的取值范围是 _____________________________ ．y y5544332211A5 x A4 5 xO1 2 3 4O1 2 3–3–2–1–3–2–1–1–1–2–2–3–3–4–4–5–5–6–628．在△ ABC中，∠ A 90°， AB AC．（ 1）如图 1，△ ABC的角平分线BD， CE交于点 Q，请判断“QB2QA ”是否正确：________（填“是”或“否” ）；（ 2）点 P 是△ ABC所在平面内的一点，连接PA， PB，且 PB 2 PA．①如图 2，点 P 在△ ABC内，∠ ABP 30°，求∠ PAB的大小；②如图3，点 P 在△ ABC外，连接PC，设∠ APC α，∠ BPC β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．A A AE Q D PPB C B CB C图 1图 2图 3北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研数学参考答案及评分标准2018．1一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）12345678B AC BD C A D二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9．0或210． 6011．y 1（答案不唯一）12．（2， 0）x13． 614． 215． 1016．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角，sin A 1 ， A 为锐角， A 30.2三、解答题（本题共68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 小题，每小题 6 分；第 27~28 小题，每小题 7 分）17．解：原式 =212222,,,,,, 3 分22=1222=12,,,,,, 5 分18．解：∵x 1 是关于x的方程x2mx2m 20 的一个根，∴ 1m2m20 .∴ 2m2m 1 .,,,,,, 3 分∴ m(2 m 1)2m2m 1.,,,,,, 5 分19．解：作 AD ⊥ BC 于点 D，A ∴ ∠ ADB =∠ ADC=90°.3，∵ AC=5，sin C5BD C∴ AD AC sin C3.,,,,,, 2 分∴在 Rt△ACD 中，CD AC2AD 2 4 .,,,,,, 3 分∵AB 3 2，∴在 Rt△ABD 中，BD AB2AD 23.,,,,,, 4 分∴ BC BD CD7 .,,,,,, 5 分20．解：（ 1）240.,,,,,, 3 分t240（ 2）由题意，当t 5 时， v48 .,,,,,, 5 分t答：平均每天要卸载48 吨 .21．证明：∵∠ B=90°，AB=4 ， BC=2，A∴ AC AB2BC 2 2 5 .E ∵CE=AC，∴ CE 2 5 .B C D∵CD=5，∴ AB AC .,,,,,, 3 分CE CD∵ ∠ B=90°，∠ ACE=90°，∴ ∠ BAC+ ∠BCA=90°，∠ BCA+∠ DCE=90°.∴ ∠ BAC= ∠DCE.∴ △ ABC∽△ CED .,,,,,, 5 分22． BC，BC，BC BB CC,,,,,, 3 分11,,,,,, 5 分623．解：k（ 1）∵ 函数y0 ）的图象经过点B（ - 2，1），（ xxk1，得 k 2 .,,,,,, 1 分∴2k（ x∵函数 y0 ）的图象还经过点A（ - 1，n），x∴ n 22，点A的坐标为（- 1，2）.,,,,,, 2 分1∵函数 y ax b 的图象经过点A和点B，。