2021年高三上学期数学(理)第七次周测试题 含答案

2021年高三上学期数学（理）验班周测七含答案1.已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋2}，若A⊆B，则a的值为( )．A．－2 B．－1 C．0 D．12.设p：x2－x－20＞0，q：log2(x－5)＜2，则p是q的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.下列四种说法中，正确的是( )．A．A＝{－1,0}的子集有3个B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真C．“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件D．命题“∀x∈R，均有x2－3x－2≥0”的否定是“∃x∈R，使得x2－3x－2≤0”4.下列函数f(x)中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)＜0”的是( )．A．f(x)＝1x－x B．f(x)＝x3 C．f(x)＝ln x D．f(x)＝2x5.函数f(x)＝e x cos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )．A.π4B．0 C.3π4D．16. f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝( )．A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x) C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x) 7.某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )．A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.518.已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋3x＋1有两个极值点，则实数a的取值范围是 ( )．A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3，3)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)9. f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( )．A ．4B ．5C ．6D ．710．下列四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数y＝f ′(x )的图象，则f (1)＝( )．A.103 B ．43 C ．－23D ．1 11．设函数在R 上的导函数为，且2.下面不等式在R 上恒成立的是（ ） A. B. C. D.12.已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )．A ．f (a )＜f (1)＜f (b )B ．f (a )＜f (b )＜f (1)C ．f (1)＜f (a )＜f (b )D ．f (b )＜f (1)＜f (a ) 13.函数f (x )＝ln 1|x |＋1的值域是__________．14.已知函数满足)()()()(4,41)1(y x f y x f y f x f f -++==，则=16.已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是________．17.已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3A cos x ，A2cos 2x (A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．18．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1. (1)求函数f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a ＝1，b ＋c ＝2，f (A )＝12，求△ABC 的面积．19．已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x .(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线斜率为1，为求实数a 的值； (2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在上是减函数，求实数a 的取值范围．20已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (k ∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．21.已知函数.(1) 若函数的定义域和值域均为，求实数的值； (2) 若在区间上是减函数，且对任意的， 总有，求实数的取值范围；(3) 若在上有零点，求实数的取值范围.22.已知函数．（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．1.已知集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0，a ＋2}，若A ⊆B ，则a 的值为 ( )．A ．－2B ．－1C ．0D ．1 解析 ∵A ⊆B ，∴a ＋2＝1，解得a ＝－1. 答案 B2.设p ：x 2－x －20＞0，q ：log 2(x －5)＜2，则p 是q 的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由x 2－x －20＞0，得x ＜－4或x ＞5，由log 2(x －5)＜2，得5＜x ＜9，所以p 是q 的必要不充分条件． 答案 B3.下列四种说法中，正确的是( )．A ．A ＝{－1,0}的子集有3个B ．“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真C ．“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件D ．命题“∀x ∈R ，均有x 2－3x －2≥0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2－3x －2≤0” 解析 命题p ∨q 为真，说明p ，q 中至少一个为真即可，命题p ∧q 为真，则p ，q 必须同时为真． 答案 C4.下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)＜0”的是 ( )．A ．f (x )＝1x－x B ．f (x )＝x 3 C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝2x解析 “∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)＜0”等价于在(0，＋∞)上f (x )为减函数，易判断f (x )＝1x－x 符合．答案 A5.函数f (x )＝e xcos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )．A.π4 B ．0 C.3π4D ．1 解析 由f ’(x )＝e x(cos x －sin x )，则在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ’(0)＝1，故倾斜角为π4.答案 A6. f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( )．A ．－x 3－ln(1－x )B ．x 3＋ln(1－x )C ．x 3－ln(1－x )D ．－x 3＋ln(1－x )解析 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－， ∴f (x )＝x 3－ln(1－x )． 答案 C7.某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )．A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.51解析 设在甲地销售x 辆车，则在乙地销售(15－x )辆车，获得的利润为y ＝5.06x －0.15x2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30.当x ＝－ 3.062×－0.15＝10.2时，y 最大，但x ∈N ，所以当x ＝10时，y max ＝－15＋30.6＋30＝45.6. 答案 B8.已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋3x ＋1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( )．A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3，3)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋3.由题意知方程f ′(x )＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4a 2－12＞0， 解得：a ＞3或a ＜－ 3. 答案 D9.下列四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (1)＝ ( )．A.103 B ．43 C ．－23D ．1解析 f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－4)，由a ≠0，结合导函数y ＝f ′(x )，知导函数图象为③，从而可知a 2－4＝0，解得a ＝－2或a ＝2，再结合－a ＞0知a ＝－2，代入可得函数f (x )＝13x 3＋(－2)x 2＋1，可得f (1)＝－23.10. f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为 ( )．A ．4B ．5C ．6D ．7解析 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，∵h (1)＝g (1)，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，g (4)＝3＞2，g (－1)＝－2，∴两个函数图象的交点一共有5个，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.答案 B11．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1的解集为( )．A.{}x |x >0B. {}x |x <0C.{}x |x <－1，或x >1D.{}x |x <－1，或0<x <1解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x －e x >ex－e x＝0，所以g (x )＝e x·f (x )－e x为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0. 答案 A12.已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )．A ．f (a )＜f (1)＜f (b )B ．f (a )＜f (b )＜f (1)C ．f (1)＜f (a )＜f (b )D ．f (b )＜f (1)＜f (a ) 解析 由题意，知f ′(x )＝e x＋1＞0恒成立，所以函数f (x )在R 上是单调递增的，而f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，所以函数f (x )的零点a ∈(0,1)；由题意，知g ′(x )＝1x＋1＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上是单调递增的，又g (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，g (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2＞0，所以函数g (x )的零点b ∈(1,2)． 综上，可得0＜a ＜1＜b ＜2.因为f (x )在R 上是单调递增的，所以f (a )＜f (1)＜f (b )． 答案 A设函数在R 上的导函数为，且2.下面不等式在R 上恒成立的是（ ） A. B. C. D.13.函数f (x )＝ln 1|x |＋1的值域是__________．解析 因为|x |≥0，所以|x |＋1≥1，所以0＜1|x |＋1≤1，所以ln 1|x |＋1≤0，即f (x )＝ln1|x |＋1的值域为(－∞，0]． 答案 (－∞，0] 14.已知函数满足)()()()(4,41)1(y x f y x f y f x f f -++==，则 = -解析 答案 π4－1216.已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是________．解析 依题意知，x ＞0，f ′(x )＝2x 2＋mx ＋1x.令g (x )＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)，当－m4≤0时，g (0)＝1＞0恒成立，∴m ≥0成立；当－m4＞0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m ＜0.综上，m 的取值范围是m ≥－2 2. 答案 ．18．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1.(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a ＝1，b ＋c ＝2，f (A )＝12，求△ABC的面积．解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin2x －12cos2x ＋cos2x ＝32sin 2x ＋12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)∵f (A )＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12.又0＜A ＜π，∴π6＜2A ＋π6＜13π6.∴2A ＋π6＝5π6，故A ＝π3.在△ABC 中，∵a ＝1，b ＋c ＝2，A ＝π3，∴1＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即1＝4－3bc . ∴bc ＝1.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34.19．已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x .(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线斜率为1，为求实数a 的值； (2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在上是减函数，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax.由已知f ′(2)＝1，解得a ＝－3.(2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2a x.由函数g (x )为上的单调减函数， 则g ′(x )≤0在上恒成立，即－2x 2＋2x ＋2ax≤0在上恒成立，即a ≤1x－x 2在上恒成立．令h (x )＝1x－x 2，在上h ′(x )＝－1x2－2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ＜0，所以h (x )在上为减函数，h (x )min ＝h (2)＝－72.所以a ≤－72.20已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )， 所以log 4(4x＋1)＋kx ＝log 4(4－x＋1)－kx ，所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.(2)函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x＋1)－12x ＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a 有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x－43a 有且只有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根．①当a ＝1时，则t ＝－34不合题意；②当a ≠1时，Δ＝0，解得a ＝34或－3.若a ＝34，则t ＝－2，不合题意；若a ＝－3，则t ＝12；③若方程有一个正根与一个负根，即－1a －1＜0， 解得a ＞1.综上所述，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)． 21.已知函数.(1) 若函数的定义域和值域均为，求实数的值；(2) 若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围；(3) 若在上有零点，求实数的取值范围.解：（1）在上的减函数，在上单调递减且………………………………2分……………………………………………………………………4分（2）在区间上是减函数，在上单调递减，在上单调递增，………6分0)2(2)6(26)1()1(22≥-=-=---=+-a a a a a a a f f对任意的，总有，……………………………………………………8分即又，………………………………………9分（3）在上有零点，在上有解。

北京十四中2020-2021学年度第一学期期中检测高三数学测试卷注意事项：1.本试卷共4页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.一、选择题（本题共40分，每小题4分，每个题目只有一个选项正确）1. 已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}2M x x =与{}|13N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ）A. {}|2x x <B. {}|12x x <<C. {}|3x x >D. {}|1x x ≤【答案】D 【解析】阴影部分表示的集合为()UMN ，由题{}|1M N x x ⋃=>，所以(){}|1UM N x x ⋃=≤，故选择D.2. 已知向量()()()12,02,1,a b c λ==-=-,,，若()2//a b c -，则实数λ=（ ） A. -3 B.13C. 1D. 3【答案】A 【解析】【详解】向量()()12,02a b ==-,,，则()22,6a b -=，若()2//a b c -，则有26λ=-，所以3λ=-.故选：A.3. 函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω=（ ）A14B.2π C.4π D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象，可得2114T=-=，所以4T =， 又由24w π=，解得2w π=. 故选：B.4. 已知函数()log a f x x =，()x g x b =，的图像都经过点1(,2)4，则ab 的值为 A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】函数f （x ）=log a x ，g （x ）=b x ，的图象都经过点124⎛⎫ ⎪⎝⎭，，可得14a log =2，14b =2，解得a ，b即可得出．【详解】函数f （x ）=log a x ，g （x ）=b x，的图象都经过点124⎛⎫⎪⎝⎭，，∴14alog =2，14b =2，解得a=12，b=16．则ab=8． 故选D ．【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x =-B. 12y x =C. ||2x y =D.3log ()y x =-【答案】C 【解析】 【分析】对每一个选项中的函数，先求定义域，若定义域关于原点对称，再观察是否满足()()f x f x =-，再根据初等函数的单调性判断在(0,)+∞上是否单调递增，可得出选项.【详解】A 项，对于函数3y x =-，定义域为R ，关于原点对称，()33()()f x x x f x -=--==-，所以函数3y x =-是奇函数，故A 项错误；B 项，对于函数12y x =，定义域为(0,)+∞，定义域不关于原点对称，所以函数12y x =为非奇非偶函数，故B 项错误；C 项，对于函数||2x y =，定义域为R ，关于原点对称，2()()2x x g x g x --===，所以函数2x y =为偶函数，当0x >时，22x x y ==，利用指数函数知，函数2xy =在区间(0,)+∞上为增函数，故C 正确；D 项，对于函数3log ()y x =-，定义域为(,0)-∞，定义域不关于原点对称，所以函数3log ()y x =-是非奇非偶函数，故D 项错误；故选：C .6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =-，13(*)n n a a n +=+∈N ，则n S 取最小值时，n 的值是（ ）．A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】分析：求出等差数列{}n a 的通项公式，()()111031313n a a n d n n =+-=-+-=-，利用3130n -≥，从而可得当4n =时，n S 取最小值.详解：在数列{}n a 中，由13n n a a +=+，得()13*n n a a n N +-=∈， ∴数列{}n a 是公差为3的等差数列．又110a =-，∴数列{}n a 是公差为3的递增等差数列． 由()()1110313130n a a n d n n =+-=-+-=-≥，解得133n ≥． ∵*n N ∈，∴数列{}n a 中从第五项开始为正值． ∴当4n =时，n S 取最小值． 故选B ．点睛：求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值. 7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A. 2 5 C. 3D. 22【答案】C 【解析】【分析】由三视图知该几何体是一条侧棱与底面垂直的四棱锥,由三视图求出几何元素的长度､判断出位置关系,由直观图求出该四棱锥最长棱【详解】根据三视图可知几何体是一个四棱锥,底面是一个直角梯形,AD ⊥AB ､AD //BC ,AD =AB =2､BC =1, P A ⊥底面ABCD ,且P A =2, ∴该四棱锥最长的棱长为222222213PA AC PC +=++=,故答案为:3.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力,属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8. 已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（ ） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)-【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目. 9. 已知数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，则“1a ≤”是“数列{}n a 单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由数列{}n a 单调递增，化简得到2a n n <+，再由2t n n =+的单调性求得a 的范围，然后再由充分条件，必要条件的定义判断. 【详解】若数列{}n a 单调递增 则11a a n n n n++>++， 化简得2a n n <+，令221124t n n n ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭在[1,)+∞上递增， 所以2a <，所以“1a ≤”是“数列{}n a 单调递增”的充分不必要条件， 故选：A10. 《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多⋅达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆.该油画规格为：纵77cm ，横53cm .油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面237cm (如图所示).有一身高为175cm 的游客从正面观赏它(该游客头顶T 到眼睛C 的距离为15cm )，设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ.为使观赏视角θ最大，x 应为（ ）A 77 B. 80 C. 100D. 772【答案】D 【解析】 【分析】 设ACD α，BCD β，则θαβ=-，利用两角差的正切公式用x 表示出θ，再根据对勾函数的单调性求解．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，设ACD α，BCD β，则θαβ=-，则2371751577BD（cm ），7777154AD （cm ），∴154tan AD CD xα，77tan BD CDxβ， ∴tan θ=tan αβtan tan 1tan tan αβαβ15477154771x xx x7711858xx， ∴当且仅当11858x x即772x 时，tan θ有最大值，此时θ也最大，故选：D ．【点睛】本题主要考查两角差的正切公式的应用，考查对勾函数的单调性与最值，属于中档题．二、填空题（本题共25分，每小题5分）11. 角θ的终边经过点(1,P ，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________.【答案】12- 【解析】 【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算 【详解】由题意sin θ=1cos 2θ=，所以，1sin cos 622πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-， 故答案为：12-12. 已知AB ，AC 是不共线的两个向量，BE =12AC AB -，则AE AC=______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知可知，AE =AB BE +=12AC ，代入即可求解AE AC． 【详解】AB ，AC 是不共线的两个向量，BE =12AC AB -，∴AE =AB BE +=12AC ， 则AEAC =12AC AC=12， 故答案为12． 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算，属于基础试题． 13. 函数22,0()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，满足()01f x >的0x 的取值范围是____________. 【答案】()()102-+∞，，． 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式得出不等式组00+210x x >⎧⎨<⎩或20031>0x x ⎧->⎨⎩，解之可得答案．【详解】因为22,0()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，()01f x >，所以00+210x x >⎧⎨<⎩或20031>0x x ⎧->⎨⎩，解得10x 或0>2x ，所以0x 的取值范围是()()102-+∞，，． 故答案为：()()102-+∞，，． 14. 在ABC ∆中，3,4,AB AC ==若ABC∆的面积为则BC 边的长度为______.【解析】 【分析】利用三角形的面积公式，求得角A ，再利用余弦定理，即可求解BC 边的长度，得到答案. 【详解】由题意，在ABC ∆中，3AB =，4AC=，且面积为所以11sin 34sin 22AB AC A A ⋅=⨯⨯=sin A =，又因为(0,)A π∈，所以3A π=或23A π=， 当3A π=时，1cos 2A =， 由余弦定理，可得222212cos 34234132BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=； 当23A π=时，1cos 2A =-，由余弦定理，可得222212cos 34234()372BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=，综上，BC 边的长度为13或37.【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15. 给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____． 【答案】①③ 【解析】 【分析】A 即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝ (0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ； 对③，A ＝ (0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ； 故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本题共85分）16. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2410a a +=，245b b a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若12381n a a a a +++⋅⋅⋅+=，求n ； （3）求和：13521n b b b b -+++⋅⋅⋅+.【答案】（1）21n a n =-；（2）9n =；（3）312n -【解析】 【分析】（1）利用11a =，2410a a +=，求得数列{}n a 的公差，从而求得{}n a 的通项公式； （2）利用等差数列求和公式即可求得.（3）利用245b b a =，59a =，求得239b =，由等比数列性质知33b =，即23q =，知数列{}21n b -是首项为1，公比为3的等比数列，利用等比数列求和公式即可求得. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题可得：24332105a a a a +==⇒=，又11a =，解得112a d =⎧⎨=⎩ ，()1–121n a a n d n ∴=+=-（2）利用等差数列求和可知2123(121)2n n n a a a a n +-+++⋅⋅⋅+==，即281n =，解得：9n =或9n =-（舍去）9n ∴=（3）设等比数列{}n b 的公比为q ，又2243b b b =，59a =，即239b =，又22310b b q q ==>，解得：33b =或33b =-（舍去）即23q =，所以数列{}21n b -是首项为1，公比为3的等比数列135211(13)31132n n n b b b b -⨯--∴+++⋅⋅⋅+==- 17. 已知函数()21()2cos 1sin 2cos 42=-+f x x x x . （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最大和最小值以及相应的x 的取值；（3）若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且()f α=，求α的值.【答案】（1）2π；（2）函数()f x ，此时+,162k x k Z ππ=∈；函数()f x 的最小值为2-，此时3+,162k x k Z ππ=-∈；（3）3148πα=或4748π． 【解析】 【分析】（1）化简函数解析式为最简形式，利用公式求出周期 （2）根据正弦的性质可求得函数最值和相应的x 的取值； （3）根据限定范围和正弦函数的取值可求得答案． 【详解】（1），因为()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-+1cos 2sin 2cos 42x x x =+()sin 124cos4x x +=)24x π=+，所以()f x )24x π=+， 所以()f x 的最小正周期为242ππ=，（2）由（1）得()f x sin(4)24x π=+，所以当sin(4)14x π+=时，函数()f x 的最大值为2，此时4+2,42x k k Z πππ+=∈，即+,162k x k Z ππ=∈；当sin(4)14x π+=-时，函数()f x 的最小值为，此时4+2,42x k k Z πππ+=-∈，即3+,162k x k Z ππ=-∈；所以函数()f x，此时+,162k x k Z ππ=∈；函数()f x的最小值为，此时3+,162k x k Z ππ=-∈； （3）因为(,)2παπ∈，所以9174(,)444πππα+∈.因为()f α=，所以()sin(4)244f παα=+=，即1sin(4)42πα+=. 所以17446ππα+=或256π，故3148πα=或4748π. 18. 已知函数()2()(2,)xf x x ax a e a x R =++≤∈. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使()f x 的极大值为3；若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）()f x 在()2-∞-，和()1，-+∞上单调递增，在()21--，上单调递减；（2）存在，243a e =-． 【解析】 【分析】（1）当1a =时，()2()1xf x x x e =++，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得出函数()f x 的单调区间；（2）求导，分2a =和2a <两种情况得出导函数的正负，得出函数()f x 的单调性，从而得函数的极大值，建立方程，解之可得答案．【详解】（1）当1a =时，()2()1xf x x x e =++，所以()()()'2()3212x x f x e x x e x x =++=++，令'()0f x =，得1x =-或2-，所以当2x <-或>1x -时，'()>0f x ；当21x -<<-时，'()0f x <，所以()f x 在()2-∞-，和()1，-+∞上单调递增，在()21--，上单调递减；（2）存在，243a e =-，理由如下：()()()'2()2+22x xf x e x a x a e x a x ⎡⎤=++=++⎣⎦，令'()0f x =，得x a =-或2-， 因为2,a ≤所以2,a -≥-所以当2a =时，'()>0f x 恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 不存在极值，所以2a ≠；当2a <时，>2a --，所以当2x <-或>x a -时，'()>0f x ；当2x a -<<-时，'()0f x <，所以()f x 在()2-∞-，和()a -+∞，上单调递增，在()2a --，上单调递减， 所以函数()f x 在2x =-时，取得极大值，所以()23f -=，即()2(2)243f a a e --=+=-，解得2432a e =-<，所以存在，243a e =-，使()f x 的极大值为3．【点睛】利用导函数研究函数的单调性，极值，最值等问题时，关键在于分析出导函数取得正负的区间，如果有参数，需讨论参数的范围，使之能确定导函数取得正负的区间． 19. 在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，AB AD12CD ，AB AD ⊥，//AB CD ，点M 是PC 的中点.（1）求证：//MB 平面P AD ； （2）求二面角P BC D --的余弦值；（3）在线段PB 上是否存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ？若存在，请求出PNPB的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（215（3）在线段PB 上不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ． 【解析】【分析】（1）取PD 中点H ，连结MH ，AH ，推导出四边形ABMH 为平行四边形，由此能证明BM ∥平面P AD ．（2）取AD 中点O ，连结PO ，以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P ﹣BC ﹣D 的余弦值． （3）设点N （x ，y ，z ），且 [],0,1PNPBλλ=∈，利用向量法求出在线段PB 上不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ．【详解】（1）取PD 中点H ，连结MH ，AH ．因为 M 为PC 中点，所以 1//,2HM CD HM CD =． 因为1//,2AB CD AB CD =，所以AB ∥HM 且AB =HM ．所以四边形ABMH 为平行四边形， 所以BM ∥AH ．因为 BM ⊄平面P AD ，AH ⊂平面P AD ，所以BM ∥平面P AD ． （2）取AD 中点O ，连结PO ．因为P A =PD ，所以PO ⊥AD ．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 取BC 中点K ，连结OK ，则OK ∥AB ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，设AB =2，则()()()()(1,0,0,1,2,0,1,4,0,1,0,0,A B C D P --，(2,2,0),(1,2,BC PB =-=，则平面BCD的法向量(0,0OP =，设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =，由00BC n PB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020.x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =，则(1,1,3)n =．cos ,||||3OP n OP n OP n ⋅<>===⨯由图可知，二面角P ﹣BC ﹣D 是锐二面角， 所以二面角P ﹣BC ﹣D （3）在线段PB 上是不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ．设点(,,)N x y z ，且[],0,1PNPBλλ=∈，则PN PB λ=，所以()(,,3)1,2,3x y z λ-=-．则233.x y z λλλ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，所以(,2,33)N λλλ-，(+1,233)DN λλλ=-，． 若 DN ⊥平面PBC ，则//DN n ， 即33123λλλ-+==，此方程无解， 所以在线段PB 上不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ．【点睛】在解决线段上是否存在点，使得满足线面平行或线面垂直等条件的问题，常常采用向量的线性表示，运用λ法，设出点的坐标，表示已知条件，求解方程的解，得出结论． 20. 已知函数()(1)(21)x f x axe a x =-+-.（1）若1a =，求函数()f x 的图像在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0x >时，函数()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）32y x =-+（Ⅱ）11a e ≥-． 【解析】试题分析：（1）求出()'4xxf x xe e =+-,求出()0f 的值可得切点坐标，求出()'0f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）首先根据首先()10f ≥，初步判断101a e ≥>-，再证明()'f x 存在唯一根0x ∈ (]0,1，且函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0x +∞上单调递增，函数()f x 的最小值为()()()0000121x f x ax e a x =-+-，只需()00f x ≥即可，又0x 满足()00221xa e a x +=+，代入上式即可证明.试题解析：（Ⅰ）若1a =，则()()221xf x xe x =--，当0x =时，()2f x =，()'4xxf x xe e =+-，当0x =时，()'3f x =-， 所以所求切线方程为32y x =-+ （Ⅱ）由条件可得，首先()10f ≥，得101a e ≥>-， 而()()()'121xf x a x e a =+-+，令其为()h x ，()()'2xh x a x e =+恒为正数，所以()h x 即()'f x 单调递增，而()'020f a =--<，()'12220f ea a =--≥，所以()'f x 存在唯一根0x ∈ (]0,1， 且函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0x +∞上单调递增，所以函数()f x 的最小值为()()()0000121xf x ax e a x =-+-，只需()00f x ≥即可，又0x 满足()00221x a e a x +=+，代入上式可得()()()200001211a x x f x x +-++=+(]00,1x ∈ 200210x x ∴-++≥,即：()00f x ≥恒成立，所以11a e ≥-． 21. 已知任意的正整数n 都可唯一表示为1100112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，其中01a =，12,,a a ,{0,1}k a ⋅⋅⋅∈，*k N ∈.对于*n N ∈，数列{}n b 满足：当01,,,k a a a ⋅⋅⋅中有偶数个1时，0n b =；否则1n b =，如数5可以唯一表示为2105120212=⨯+⨯+⨯，则50b =. （1）写出数列{}n b 的前8项；（2）求证：数列{}n b 中连续为1的项不超过2项；（3）记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1026n S =的所有n 的值.（结论不要求证明）【答案】（1）1,1,0,1,0,0,1,1； （2）证明见解析； （3）2051n =或2052n =.. 【解析】 【分析】（1）由题意，1100112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，实际根是将十进制的转化为二进制的数，即可得到答案；（2）设数列{}n b 中某段连续为1的项从m b 开始，则1m b =，由1001222k k k m a a a -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，则12,,,k a a a 中有奇数个1，分01a =且12,,,k a a a 中无0和当01a =且12,,,k a a a 中有0，两种情况，即可证明； （3）由（2），即可求得n 的值.【详解】（1）由1100112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，根据数列{}n b 满足：当01,,,ka a a ⋅⋅⋅中有偶数个1时，0nb =；否则1n b =， 所以数列{}n b 的前8项为1,1,0,1,0,0,1,1.（2）设数列{}n b 中某段连续为1的项从m b 开始，则1m b =，由题意，令1100112222k k k k m a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，则12,,,k a a a 中有奇数个1，当01a =且12,,,k a a a 中无0时，因为1102222k k m -=++⋅⋅⋅++，所以110112020202k k m ++=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯，110212020212k k m ++=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯，所以121,1,0m m m b b b ++===，此时连续2项为1， 当01a =且12,,,k a a a 中有0时，①若0k a =，则11001122202k k k m a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅， 则11001122212k k k m a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，因为12,,,k a a a 中有奇数个1，所以10m b +=，此时连续I 项为1.②若1k a =，即1101122202k k sk m a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+连续s 个乘以2i ， 则1101122212k k sk m a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+连续s 个乘以2i ，11011222202k k sk m a a a --+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+110020212(1)02s is -⨯++⨯+⨯-连续个乘以（其中i N ∈），如果s 为奇数，那么120,0m m b b ++==，此时连续2项为1， 如果s 为偶数，那么10m b +=，此时仅有1项为1m b =， 综上所述，连续为1的项不超过2项.（3）由（2）可得，满足1026n S =，可得2051n =或2052n =. 【点睛】有关数列新定义问题特点与解题思路：1、新定义数列问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设新的问题情景，要求再阅读理解的基础上，依据他们提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、新定义问题的解题思路：遇到新定义问题时，认真分析定定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.。

沈阳二中2022——2021学年度上学期10月份小班化学习成果 阶段验收高三（ 15 届）数学（理科）试题命题人：高三数学组 审校人：高三数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.） 1．已知集合A ＝{x|0<log 4x<1}，B ＝{x|x≤2}，则A∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．(1,2] 2．有关下列命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为:若“x 2=1则x ≠1” B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x+1<0” D ．命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题3．已知函数()()2531m f x m m x--=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数,则m 的值为（ ）A ．2B ．-1C ．-1或2D ．04．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13 5．函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为 （ ）A ．)(],4(Z k k k ∈-πππB ．)(]8,8(Z k k k ∈+-ππππC ．)(]8,83(Z k k k ∈+-ππππ D ．)(]83,8(Z k k k ∈++ππππ6．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值（ ）A ．2413- B. 2213-C. 2313-D. 231-7．已知函数2()ln(193)1f x x x =++，则1(lg 2)(lg )2f f +等于（ ）A ．-1 B.0 C. 1 D. 28．tan70°cos10°(1－3tan20°)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．29．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.3210．.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(－∞，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0，1)D ．(0，＋∞)11. 设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则 （ ） A ． 32παβ-=B.32παβ+=C.22παβ-=D.22παβ+=12. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=， 若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[-第Ⅱ卷 （90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13.计算定积分=+⎰-dx x x 112)sin (__________14..设()f x R 是上的奇函数，且2'(1)0,0(1)()2()0f x x f x xf x -=>+-<当时，，则不等 式()0f x >的解集为15.对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数②当且仅当()x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最小值是-1 ③该函数的图象关于直线52()4x k k Z ππ=+∈对称。

2021-2022年高三上学期第二次月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}， 则A∩（）=（ ）A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) (A)y=tanx (B)y=3x (C)y= (D)y=lg|x|3.下列四种说法中,错误的个数是( ) ①A={0,1}的子集有3个;②“若am 2<bm 2,则a<b ”的逆命题为真;③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件;④命题“∀x ∈R,均有x 2-3x-2≥0”的否定是:“∃x 0∈R,使得x 02-3x 0-2≤0”. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.已知函数则f(f())的值是( ) (A)9(B)(C)-9(D)-5.若a=log 20.9,则( )(A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b(D)b<c<a6.若函数y=-x 2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )()()()()53A B C D 4664ππππ7.已知命题p:函数f(x)=2ax 2-x-1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x 2-a 在(0,+∞)上是减函数.若p 且﹁q 为真命题,则实数a 的取值范围是 ( ) (A)a>1(B)a ≤2 (C)1<a ≤2(D)a ≤1或a>28.函数f(x)=的大致图象为( )9．设函数f （x ）=x 2+xsinx ，对任意x 1，x 2∈（﹣π，π）， 若f （x 1）＞f （x 2），则下列式子成立的是（ ） A ．x 1＞x 2B ．C ．x 1＞|x 2|D ．|x 1|＜|x 2|10函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+1)=-f(x)，且x ∈［-1,1］时f(x)=1-x 2，函数()lg x,x 0,g x 1,x 0,x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间［-5，4］内的零点的个数为( ) (A)7(B)8(C)9(D)10二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合M={y|y=x 2﹣1，x ∈R}，，则M∩N=_____ 12．已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是 [﹣1，0]，则a+b= ．13.已知p:≤x ≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p 是﹁q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .14．若f （x ）=是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ． 15.若方程有正数解，则实数的取值范围是_______三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）已知p ：∀x ∈R ，2x ＞m （x 2+1），q ：∃x 0∈R ， x+2x 0﹣m ﹣1=0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．17、（12分）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值．19．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．20. （13分）已知函数f(x)满足()()()x 121f x f 1e f 0x x .2-='-+(1)求f(x)的解析式及单调区间.(2)若f(x)≥x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.21、 (14分)已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=x 2﹣2x ，若对任意x 1∈（0，2]，均存在x 2∈（0，2]，使得 f （x 1）＜g （x 2），求a 的取值范围．高三数学第一次检测题答案解析1. C ．2.C.3.D.4.B.5.B.6.D.7.C 8、D.9.【解析】∵f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣xsin （﹣x ）=x 2+xsinx=f （x ），∴函数f （x ）=x 2+xsinx 为偶函数，又f′（x ）=2x+sinx+xcosx ，∴当x ＞0时，f′（x ）＞0，∴f （x ）=xsinx 在[0，π]上单调递增，∴f （﹣x ）=f （|x|）；∵f （x 1）＞f （x 2），∴结合偶函数的性质得f （|x 1|）＞f （|x 2|），∴|x 1|＞|x 2|，∴x 12＞x 22．故选B ．10.选A.由f（x＋1）＝－f（x），可得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2，求h（x）＝f（x）－g（x）的零点，即求f（x）＝g（x）在区间［－5,4］的解的个数.画出函数f（x）与g（x）的图象，如图，由图可知两图象在［－5,4］之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.11、解：∵集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，={x|﹣}，∴M∩N=．故答案为：．12、解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：13.q:x>a+1或x<a,从而﹁q:a≤x≤a+1.由于p是﹁q的充分不必要条件,故a111a2≥⎧⎪⎨≤⎪⎩＋，，即0≤a≤.答案:[0,]14、解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）15.16、解：不等式2x＞m（x2+1），等价为mx2﹣2x+m＜0，若m=0，则﹣2x＜0，即x＞0，不满足条件．若m≠0，要使不等式恒成立，则，即，解得m＜﹣1．即p：m＜﹣1．———————————————————————4分若∃x0∈R，x+2x﹣m﹣1=0，则△=4+4（m+1）≥0，解得m≥﹣2，即q：m≥﹣2．———————————————————————8分若p∧q为真，则p与q同时为真，则，即﹣2≤m＜﹣1————12分17、解：（1）⇔﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；————————————4分（2）∵，∴f（x）是奇函数；————————————————————————————6分（3）设0＜x1＜x2＜1，则∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，（1﹣x1）（1+x2）=1﹣x1x2+（x2﹣x1）＞1﹣x1x2﹣（x2﹣x1）=（1+x1）（1﹣x2）＞0∴，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减——————————————————12分另解：∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0故f（x）在（0，1）内是减函数．—————————————————12分18、解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴且f′（1）=﹣2a≥0∴a≤0———4分（2）∵x=﹣是f（x）的极值点，∴∴∴a=4——6分∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f′（x）=3x2﹣8x﹣3，∴x1=﹣，x2=3令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；∴x=3时，函数取得最小值﹣18∵f（1）=﹣6，f（4）=﹣12∴f（x）在[1，4]上的最大值为﹣6．————————————————12分19、解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v （x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．——————4分（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．—————————————————————————10分答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．——————————————————————————12分20.(1)∵f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x2,∴f′(x)=f′(1)e x-1-f(0)+x,令x=1得：f(0)=1,∴f(x)=f′(1)e x-1-x+x2,∴f(0)=f′(1)e-1=1,∴f′(1)=e得：f(x)=e x-x+x2.—————————4分设g(x)=f′(x)=e x-1+x,g′(x)=e x+1>0,∴y=g(x)在R上单调递增.令f′(x)>0=f′(0)，得x>0,令f′(x)<0=f′(0)得x<0，∴f(x)的解析式为f(x)=e x-x+x2且单调递增区间为（0，+∞),单调递减区间为（-∞,0).————————————-4分(2)由f(x)≥x2+ax+b得e x-(a+1)x-b≥0，令h(x)=e x-(a+1)x-b,则h′(x)=e x-(a+1).①当a+1≤0时，h′(x)>0⇒y=h(x)在x∈R上单调递增.x→-∞时，h(x)→-∞与h(x)≥0矛盾.——————————6分②当a+1>0时，由h′(x)>0得x>ln(a+1),由h′(x)<0得x<ln(a+1)=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0.———8分得当x=ln(a+1)时，h(x)min（a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1) (a+1>0).令F(x)=x2-x2ln x(x>0)，则F′(x)=x（1-2ln x),——————10分由F′(x)>0得0<x<,由F′(x)<0得x>,当x=时，F（x)=,∴当a=-1,b=时，（a+1)b的最大值为.—————————max—————————————13分21、解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．————————————4分（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．————————————8分（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max ＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．——————————————————12分②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．————————————————14分21072 5250 剐31873 7C81 粁31426 7AC2 竂z33043 8113 脓e35722 8B8A 變 39463 9A27 騧K34467 86A3 蚣38124 94EC 铬=40272 9D50 鵐。

郓城县实验中学高三数学(理)周自测（七）xx.12.3一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集，，则（）A． B． C． D．2、若为实数，且，则a=( )A．一4 B．一3 C． 3 D． 43、下列命题中正确的个数是（）①若是的必要而不充分条件,则是的充分而不必要条件；②命题“对任意,都有”的否定为“存在,使得”；③若p∧q为假命题，则p与q均为假命题；④命题“若x2—4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x+3≠0”A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4、把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．5、已知函数，其中，则的展开式中的系数为（）A. 120B.C. 60 D . 06、已知变量满足约束条件，则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）7、若，，则的值为（）A． B． C． D．8、在锐角中，角所对的边分别为，若，，，则的值为（）A. B. C． D．9、如图，设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·AF→＝( )A ．8B ．10C ．11D ．1210、已知函数对定义域内的任意都有，且当时，其导数满足，若，则（ ）2021年高三上学期周自测（七）数学理试题含答案二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11、已知函数，则= .12、若存在，使不等式成立，则实数的最小值为 ．13、已知与的夹角为，若，且，则在方向上的射影为 .14、已知向量==,若，则的最小值为 .15、已知函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为 .三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、（本题满分12分）已知，，，（）（1）求函数的值域；（2）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，求的值．17、（本题满分12分）已知函数（I ）求的单调递增区间；（II ）将函数的图像向左平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图像，求函数在上的值域。

2021年高三上学期期末考试 理科数学 Word 版含答案本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.复数等于A. B. C. D. 2.设非零实数满足，则下列不等式中一定成立的是 A. B. C. D. 3.下列极坐标方程表示圆的是A. B.C. D.4.阅读如右图所示的程序框图，如果输入的的值为6，那么运行相应程序，输出的的值为A. 3B. 5C. 10D. 16 5. 的展开式中的常数项为A. 12B.C.D. 6.若实数满足条件则的最大值是A. B. C. D.7.已知椭圆:的左、右焦点分别为，椭圆上点满足. 若点是椭圆上的动点，则的最大值为A. B. C.D. 8.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有A.50种B.51种C.140种D.141种开始 结束输入n 输出n i =0n 是奇数n =3n +1i<3i =i +12nn 是否二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知点是抛物线:的焦点，则_______.10.在边长为2的正方形中有一个不规则的图形，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积.若在正方形中随机产生了个点，落在不规则图形内的点数恰有xx个，则在这次模拟中，不规则图形的面积的估计值为__________.11.圆:（为参数）的圆心坐标为__________；直线:被圆所截得的弦长为__________.12.如图，与圆相切于点，过点作圆的割线交圆于两点，，，则圆的直径等于______________.13. 已知直线过双曲线的左焦点,且与以实轴为直径的圆相切,若直线与双曲线的一条渐近线恰好平行，则该双曲线的离心率是_________.14. 已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示.（1）若该四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为__________；（2）关于该四棱锥的下列结论中：①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；③四棱锥中不．可能存在四组互相垂直的侧面.所有正确结论的序号是___________.三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

2021年高三上学期周日（1.17）考试数学试题含答案本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足( i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.2. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A． B． C．2 D．1则此数列前30项和等于（）3.在等差数列中，,A．810 B．840 C．870 D．900 Array 4. 设，则p是q成立的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5. 设函数,( )（A）3 （B）6 （C）9 （D）126.将函数的图像左移个单位，得到函数的图像，则下列说法正确的是（）A．是奇函数 B．的周期是C．的图像关于直线对称 D．的图像关于对称A ．2或B ．C ．-2或D ．7.. 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．cm 3B ．cm 3C ．cm 3D ． cm 38. 下列命题中正确的个数是（ ）①过异面直线a,b 外一点P 有且只有一个平面与a,b 都平行； ②异面直线a,b 在平面α内的射影相互垂直则a ⊥b ；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ④直线a,b 分别在平面α，β内，且a ⊥b 则α⊥β； A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9．等比数列的各项均为正数，且，则＝( ) A ． 12B ．10C ．8D ．2＋10．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4 C．a ≤2 D ．0<a ≤3第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把将答案填在答题卡的相应的横线上．11.已知数列的前n 项和，则的通项公式________． 12.已知，则的值为________．13. 菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则 的最大值为____________.14. 若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只 有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_______.15．已知函数，().若对一切恒成立，则的取值集合 为 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知f(x)＝3sinωx－2sin2ωx2(ω>0)的最小正周期为3π.(1)当x ∈[π2，3π4]时，求函数f(x)的最小值；(2)在△ABC 中，若f (C)＝1，且2sin2B ＝cosB ＋cos(A －C)，求sinA 的值．ODBAD 1C 1B 1A 117.（本小题满分12分）已知函数2()sin(2)4sin 2(0)6f x x x πωωω=--+>，其图象与轴相邻 两个交点的距离为．（1）求函数的解析式；（2）若将的图象向左平移个长度单位得函数的图象恰好经过点，求当取得最小值时，在上的单调增区间．18. 已知函数()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值.19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧面⊥底面，，底面为直角梯形，其中，，为中点. （1）求证：平面 ； （2）求锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知数列满足：*121113,,2(2,)44n n n a a a a a n n N +-===+≥∈，数列满足：，，数列的前项和为. （1）求证：数列为等比数列； （2）求证：数列为递增数列；（3）若当且仅当时，取得最小值，求的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数 （1）求的单调区间；（2）设，是曲线的一条切线，证明上的任意一点都不能在直线的上方； （3）当时，方程有唯一实数解，求正数m 的值．河北武邑中学xx 学年高三周日考试（1.17）数学试题答案1. D2. A3. B4. A5. C6. D7. B 8. A9. B10. A11.12.3 13. 13. 9 14. 6 15.16..解∵f(x)＝3sin(ωx)－2·1－cos ωx 2＝3sin(ωx)＋cos(ωx)－1＝2sin(ωx＋π6)－1， 由2πω＝3π得ω＝23，∴f(x)＝2sin(23x ＋π6)－1. (1)由π2≤x≤3π4得π2≤23x ＋π6≤2π3，∴当sin(23x ＋π6)＝32时，f(x)min ＝2×32－1＝3－1. …………6分(2)由f(C)＝2sin(23C ＋π6)－1及f(C)＝1，得sin(23C ＋π6)＝1，而π6≤23C ＋π6≤5π6， 所以23C ＋π6＝π2，解得C ＝π2. 在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π2，2sin2B ＝cosB ＋cos(A －C)，∴2cos2A －sinA －sinA ＝0，∴sin2A ＋sinA －1＝0，解得sinA ＝－1±52.z yO DAD 1C 1B 1A 1A 1B 1C 1D 1ABCDO∵0<sinA<1，∴sinA ＝5－12. …………12分17. 17.解：（1）函数231()sin(2)4sin 2(0)sin 2cos 26221cos 23342sin 2cos 23sin(2)223f x x x x xx x x x πωωωωωωπωωω=-+>=--+=+=+ ，．．．．．．．．．．4分根据图象与 轴相邻两个交点的距离为，可得函数的最小周期为，求得，故函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）将的图象向左平移个长度单位得到函数()3sin 2()3sin(22)33g x x m x m ππ⎡⎤=++=++⎢⎥⎣⎦的图象，．．．．．．．．．．．．．．．7分再根据的图象恰好经过点，可得，故，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分再结合，可得增区间为、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18. 18. （1） （2）19.(1)证明：如图，连接，则四边形为正方形，所以，且，………2分 故四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面. ……………5分(2)因为为的中点，所以，又侧面⊥底面，交线为，故⊥底面。

2021年高三数学上学期周考（七）试题理本试卷共22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 定义集合运算：．设，则集合的所有元素之和为（）A．0；B．2；C．3；D．62. 复数等于（）A.1+iB.－1+iC.1－iD.－1－i3. 把曲线y cos x+2y－1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（）A.（1－y）sin x+2y－3=0B.（y－1）sin x+2y－3=0C.（y+1）sin x+2y+1=0D.－(y+1)sin x+2y+1=04. 在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为（）A． B． C． D．5. 等差数列的前n项和为，且 =6，=4，则公差d等于A．1 B C.- 2 D 36. 若a＜0，＞1，则 ( )A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜07. 若且，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．8．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A．72 B．108 C．180 D．2169. 若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是A. B.C. D.10．在△中，=2，∠=120°，则以A，B为焦点且过点的双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（11～13题）9. 若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .10. 设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。