利用二次函数性质求最值综合训练.

二次函数的图象与性质专题【知识点1 二次函数的配方法】二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)配方成顶点式y =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a 2， 对称轴为2b x a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，．【题型1 二次函数的配方法】【例1】用配方法将下列函数化成y ＝a （x -h ）2+k 的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．（1）y ＝2x 2+4x -1 （2）y =12x 2﹣2x +3； （3）y ＝（1﹣x ）（1+2x ）；【知识点2 二次函数的五点绘图法】利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =−+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.【题型2 二次函数的五点绘图法】【例2】已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3（1）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、与x 、y 轴交点；（2）选取适当的数据填表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．【知识点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】①二次项系数a ：a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． ②一次项系数b ：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置，概括的说就是“左同右异”. ③常数项c ：总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】【例3-1】如图所示的四个二次函数图象分别对应 ①y =ax 2， ②y =bx 2， ③y =cx 2， ④y =dx 2，则a ，b ，c ，d 的大小关系为 .(用“>”连接)【例3-2】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像如图，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b>am2+bm；④a-b+c>0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．②④B．②⑤C．①②③D．②③⑤【例3-3】函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【知识点4 二次函数图象的平移变换】平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=−+，确定其顶点坐标()h k，；②平移规律概括成八个字“左加右减，上加下减”．【题型4 二次函数图象的平移变换】【例4】要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象（）A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位【知识点5 二次函数图象的对称变换】2y ax bx c=++关于x轴对称，得到2y ax bx c=−−−；关于y轴对称，得到2y ax bx c=−+；()2y a x h k=−+关于x轴对称，得到()2y a x h k=−−−；关于y轴对称，得到()2y a x h k=++；2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=−+−；()2y a x h k=−+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=−+−；【题型5 二次函数图象的对称变换】【例5】在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2a﹣b）x+b+1与y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4关于x轴对称，则a+b的值为（）A．﹣5B．3C．5D．15【变式5-1】抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为．【变式5-2】在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x+1）2﹣2C．y＝﹣（x﹣1）2+2D．y＝﹣（x+1）2+2【题型6 利用二次函数的性质判断结论】【例6】对于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1：③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞﹣1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式6-1】关于抛物线y ＝x 2﹣（a +1）x +a ﹣2，下列说法错误的是（ ）A ．开口向上B ．当a ＝2时，经过坐标原点OC ．不论a 为何值，都过定点（1，﹣2）D ．a ＞0时，对称轴在y 轴的左侧【变式6-2】对于二次函数y ＝x 2﹣2mx ﹣3，有下列结论：③ 它的图象与x 轴有两个交点；②如果当x ≤﹣1时，y 随x 的增大而减小，则m ＝﹣1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m ＝1；④如果当x ＝2时的函数值与x ＝8时的函数值相等，则m ＝5．其中一定正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）【题型7 利用二次函数的性质比较函数值】【例7】已知二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的自变量x 1，x 2，x 3对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3．当﹣1＜x 1＜0， 1＜x 2＜2，x 3＞3时，y 1，y 2，y 3三者之间的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3【变式7-1】抛物线y ＝x 2+x +2，点（2，a ），（﹣1，﹣b ），（3，c ），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＞a ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．无法比较大小【变式7-2】已知点A （b ﹣m ，y 1），B （b ﹣n ，y 2），C （b +m+n 2，y 3）都在二次函数y ＝﹣x 2+2bx +c 的图象上， 若0＜m ＜n ，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2 【题型8 利用二次函数的性质求字母的范围】【例8】已知抛物线y ＝﹣（x ﹣2）2+9，当m ≤x ≤5时，0≤y ≤9，则m 的值可以是（ ）A ．﹣2B ．1C ．3D ．4【变式8-1】若抛物线y ＝（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣3）经过四个象限，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜﹣3B ．﹣1＜m ＜2C ．﹣3＜m ＜0D ．﹣2＜m ＜1【题型9 利用二次函数的性质求最值】【例9】若实数m 、n 满足m+n ＝2，则代数式2m 2+mn +m ﹣n 的最小值是_______．【变式9-2】抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）过A （4，4），B （2，m ）两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0＜d ≤1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≤2或m ≥3B ．m ≤3或m ≥4C ．2＜m ＜3D ．3＜m ＜4*【题型10 二次函数给定范围内的最值问题】【例10】若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣1≤x ≤2时的最大值为3，那么m 的值是（ ）A ．﹣4或72B ．﹣2√3或72C ．﹣4 或2√3D ．﹣2√3或2 √3【变式10-1】已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ）A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38 【变式10-2】若二次函数y ＝x 2﹣2x +5在m ≤x ≤m +1时的最小值为6，那么m 的值是 ．二次函数的图象与性质— 易错精选 —1. 二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下面五条信息：①c ＜0；②ab ＜0； ③a ﹣b +c ＞0；④2a ﹣3b ＝0；⑤c ﹣4b ＞0．你认为其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：①abc ＞0；②2a ﹣b ＝0；③4ac ﹣b 2＜0；④若点B （﹣，y 1）、C （﹣，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2；⑤am 2+bm ＜a ﹣b （m 为任意实数）；其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43. 在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，现给出以下结论：①abc ＜0；②c +2a ＜0；③9a ﹣3b +c ＝0；④a ﹣b ≥m （am +b ）（m 为实数），其中正确的结论有 ．（只填序号）4. 已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图像如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a ﹣c ；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b ；⑤a+b＜m （am+b ），（m≠1的实数）⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．5. 如图是抛物线21(0)y ax bx c a =++≠图像的一部分，抛物线的顶点坐标为(1,3)A ，与x 轴的一个交点为(4,0)B ，点A 和点B 均在直线2(0)y mx n m =+≠上.①20a b +=；②>0abc ；③抛物线与x 轴的另一个交点时(4,0)−；④方程23ax bx c ++=−有两个不相等的实数根；⑤4a b c m n −+<+；⑥不等式2mx n ax bx c +>++的解集为14x <<.上述六个结论中，其中正确的结论是_____________.（填写序号即可）6. 在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x 的图象如图所示，则123,,a a a 的大小关系为___________（用“>”连接）．。

利用二次函数性质求线段最值考点剖析：利用铅垂法或者构造相似三角形将线段用含参的二次函数表示，然后求最值.一、方法突破：1、如图，已知抛物线223y x x =-++，点P 为抛物线上一点，且横坐标为m ，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，当122m ≤≤时，求线段PE 的最大值和最小值.【核心要点】要求线段PE 的最值，只需要求出当122m ≤≤时，y 的最值即可，先将抛物线的解析式化为顶点式，利用二次函数的增减性即可求解.解：2223(1)4y x x x =-++=--+∴ 抛物线的对称轴为直线x =1.∵-1＜0 ∴ 点P 越靠近对称轴，函数值越大，即PE 越大.∴ PE 的最大值为4.∵ 11212--＜ ∴当m=2时，PE 取得最小值，此时PE=3∴ 当122m ≤≤时，线段PE 的最大值是4，最小值是3. 2、如图，已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是线段BC 上方抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线交BC 于点D ，交x 轴于点E ，求线段PD 的最大值.【核心要点】设出点P 、D 坐标，表示出线段PD 的长，再利用二次函数的性质求最值. 解：∵ 223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，∴ 令y=0，即2230x x -++=，解得121,3x x =-=∵ 点A 在点B 左侧，∴A （-1,0）、B （3,0）∵ 223y x x =-++与y 轴交于点C∴C （0,3）∴ 直线BC 的解析式为3y x =-+设点P 的坐标为2(,23)(03)m m m m -++＜＜则点D 的坐标为(,3)m m -+∴223923(3)()24PD m m m m =-++--+=--+∵ 303-102＜＜，＜∴ 当32m =时，线段PD 取得最大值，最大值为943、如图，已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是线段BC 上方抛物线上一点，过点P 作PM ⊥BC 于M ，求线段PM 的最大值.【核心要点】过点P 作PN ⊥x 轴交BC 于点N ，构造直角三角形，将PM 用PN 表示，再利用二次函数的性质求最值.解：如图，过点P 作PN ⊥x 轴交BC 于点N ，∵ 223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，∴ 令y=0，即2230x x -++=，解得121,3x x =-=∵ 点A 在点B 左侧，∴A （-1,0）、B （3,0）∵ 223y x x =-++与y 轴交于点C∴C （0,3）∴ OB=OC=3∵ PN ⊥x 轴∴ 45PNM OCB ==︒∠∠∴ △PMN 为等腰直角三角形∴ 2PM PN = 直线BC 的解析式为3y x =-+设点P 的坐标为2(,23)(03)m m m m -++＜＜则点N 的坐标为(,3)m m -+∴223923(3)()24PN m m m m =-++--+=--+∴23)2PM m =-+∵ 303-022＜＜， ∴ 当32m =时，线段PM取得最大值，最大值为84、如图，已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，点D 是线段BC 上方抛物线上一点，过点D 作DE ∥BC ，交x 轴于点E ，连接AD 交BC 于点F ，当FB DE取得最小值时，求点D 的横坐标.【核心要点】利用相似三角形的性质进行转化，求FB DE最小值，即求AE 的最大值，利用二次函数的性质求出AE 的最大值即可.解：∵ 抛物线解析式为223y x x =-++，∴ A （-1,0），B （3,0），C （0,3）∴ AB=4,直线BC 的解析式为3y x =-+∵ DE ∥BC∴ 设直线DE 的解析式为y x b =-+，△AFB ∽△ADE∴ FB AB DE AE= ∵ AB 为定值 ∴ FB DE取得最小值，即AE 取得最大值 设点D 的坐标为2(,23)(03)m m m m -++＜＜将点D 的坐标代入直线DE 的解析式得223m b m m -+=-++ ∴ 233b m m =-++∴ 直线DE 的解析式为233y x m m =--++将y =0代入233y x m m =--++中得233x m m =-++ ∴ 点E 的坐标为2(33,0)m m -++ ∴ 22232533(1)34()24AE m m m m m =-++--=-++=--+ ∵ 303-102＜＜，＜∴ 当32m =时，AE 取得最大值 ∴ 当FB DE 取得最小值时，点D 的横坐标为32二、典例精析例一:（2021•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(1,0)-，点C 的坐为(0,5)．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲)．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；【思路分析】（1）将A 的坐标(1,0)-，点C 的坐(0,5)代入2y x bx c =-++，即可得抛物线的解析式为245y x x =-++；（2）过P 作PD x ⊥轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH BC ⊥于H ，由245y x x =-++可得(5,0)B ，故OB OC =，BOC ∆是等腰直角三角形，可证明PHQ ∆是等腰直角三角形，即知2PH =PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为5y kx =+，将(5,0)B 代入得直线BC 解析式为5y x =-+，设2(,45)P m m m -++，(05)m <<，则(,5)Q m m -+，2525()24PQ m =--+，故当52m =时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时5(2P ，35)4； 解：（1）将A 的坐标(1,0)-，点C 的坐(0,5)代入2y x bx c =-++得： 015b c c =--+⎧⎨=⎩，解得45b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为245y x x =-++；（2）过P 作PD x ⊥轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH BC ⊥于H ，如图：在245y x x =-++中，令0y =得2450x x -++=，解得5x =或1x =-，(5,0)B ∴，OB OC ∴=，BOC ∆是等腰直角三角形，45CBO ∴∠=︒，PD x ⊥轴，45BQD PQH ∴∠=︒=∠，PHQ ∴∆是等腰直角三角形，2PH ∴，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为5y kx =+，将(5,0)B 代入得055k =+， 1k ∴=-，∴直线BC 解析式为5y x =-+，设2(,45)P m m m -++，(05)m <<，则(,5)Q m m -+，222525(45)(5)5()24PQ m m m m m m ∴=-++--+=-+=--+， 10a =-<，∴当52m =时，PQ 最大为254， 52m ∴=时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时5(2P ，35)4； 例二： (2021日照中考)已知：抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 为直线BC 上方抛物线上任意一点，连PC 、PB 、PO ，PO 交直线BC 于点E ，设PE k OE=，求当k 取最大值时点P 的坐标，并求此时k 的值．【思路分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）如图1，过点P 作//PH y 轴交直线BC 于点H ，则PEH OEC ∆∆∽，进而可得13k PH =，再运用待定系数法求得直线BC 的解析式为3y x =-+，设点2(,23)P t t t -++，则(,3)H t t -+，从而得出2133()324k t =--+，再利用二次函数性质即可得出答案； 解：（1）抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C ， ∴设(1)(3)y a x x =+-，将(0,3)C 代入，得(01)(03)3a +-=， 解得：1a =-，2(1)(3)23y x x x x ∴=-+-=-++，∴抛物线的解析式为223y x x =-++；（2）如图1，过点P 作//PH y 轴交直线BC 于点H ， PEH OEC ∴∆∆∽，∴PE PH OE OC=， PE kOE=，3OC =， 13k PH ∴=， 设直线BC 的解析式为y kx n =+，(3,0)B ，(0,3)C ，∴303k n n +=⎧⎨=⎩， 解得：13k n =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+，设点2(,23)P t t t -++，则(,3)H t t -+，2223(3)3PH t t t t t ∴=-++--+=-+，221133(3)()3324k t t t ∴=-+=--+， 103-<， ∴当32t =时，k 取得最大值34，此时，3(2P ，15)4；三、中考真题对决1、（2021•泰安）二次函数24(0)y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．（1）求二次函数的表达式；（3）请判断：PQ QB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【思路分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；（3）设PD 与AC 交于点N ，过点B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ，利用待定系数法求出直线AC 表达式，再利用//BM PN ，可得PNQ BMQ ∆∆∽，进而得出5PQ PN PN QB BM ==，设0(P a ，20034)(40)a a a --+-<<，则0(N a ，04)a +，从而得到20(2)45a PQ QB -++=，利用二次函数的性质即可求得答案．解：（1）二次函数24(0)y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴2(4)(4)4040a b a b ⎧⋅-+⋅-+=⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=-⎩， ∴该二次函数的表达式为234y x x =--+；（3）PQ QB有最大值． 如图，设PD 与AC 交于点N ，过点B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ，设直线AC 表达式为y mx n =+，(4,0)A -，(0,4)C ，∴(4)004m n m n ⋅-+=⎧⎨⋅+=⎩， 解得：14m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 表达式为4y x =+，M ∴点的坐标为(1,5)，5BM ∴=，//BM PN ，PNQ BMQ ∴∆∆∽， ∴5PQ PN PN QB BM ==， 设0(P a ，200034)(40)a a a --+-<<，则0(N a ，04)a +， ∴22200000034(4)4(2)4555a a a a a a PQ QB --+-+---++===， ∴当02a =-时，PQ QB有最大值， 此时，点P 的坐标为(2,6)-．2．（2021•巴中）已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(2,0)A -、(6,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，当PM AM最大时，求点P 的坐标及PM AM 的最大值；【思路分析】（1）将(2,0)A -、(6,0)B 、(0,3)C -代入2y ax bx c =++即可求解析式；（2）过点A 作AE x ⊥轴交直线BC 于点E ，过P 作PF x ⊥轴交直线BC 于点F ，由//PF AE ，可得MP PF AM AE=，则求PF AE 的最大值即可； 解：（1）将点(2,0)A -、(6,0)B 、(0,3)C -代入2y ax bx c =++，得42036603a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得1413a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，2134y x x ∴=--； （2）如图1，过点A 作AE x ⊥轴交直线BC 于点E ，过P 作PF x ⊥轴交直线BC 于点F ， //PF AE ∴， ∴MP PF AM AE=， 设直线BC 的解析式为y kx d =+，∴603k d d +=⎧⎨=-⎩， ∴123k d ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，132y x ∴=-， 设21(,3)4P t t t --，则1(,3)2F t t -， 221113332442PF t t t t t ∴=--++=-+， (2,0)A -，(2,4)E ∴--，4AE ∴=， ∴22213131942(3)41681616t t MP PF t t t AM AE -+===-+=--+， ∴当3t =时，MP AM 有最大值916，15(3,)4P ∴-；3．（2021•郴州）将抛物线2(0)y ax a =≠向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P 是抛物线H 上的一个动点．（1）求抛物线H 的表达式；（2）如图1，点P 在线段AC 上方的抛物线H 上运动（不与A ，C 重合），过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，PD 交AC 于点E ．作PF AC ⊥，垂足为F ，求PEF ∆的面积的最大值；【思路分析】（1）根据将抛物线2(0)y ax a =≠向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+，可得顶点坐标为(1,4)-，即可得到抛物线2:(1)4H y a x =++，运用待定系数法将点A 的坐标代入，即可得出答案；（2）利用待定系数法可得直线AC 的解析式为3y x =+，设2(,23)P m m m --+，则(,3)E m m +，进而得出239()24PE m =-++，运用二次函数性质可得：当32m =-时，PE 有最大值94，再证得PEF ∆是等腰直角三角形，即可求出答案；解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为(1,4)-，∴抛物线2:(1)4H y a x =++，将(3,0)A -代入，得：2(31)40a -++=，解得：1a =-，∴抛物线H 的表达式为2(1)4y x =-++；（2）如图1，由（1）知：223y x x =--+，令0x =，得3y =，(0,3)C ∴，设直线AC 的解析式为y mx n =+，(3,0)A -，(0,3)C ，∴303m n n -+=⎧⎨=⎩， 解得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为3y x =+，设2(,23)P m m m --+，则(,3)E m m +，2223923(3)3()24PE m m m m m m ∴=--+-+=--=-++， 10-<，∴当32m =-时，PE 有最大值94， 3OA OC ==，90AOC ∠=︒，AOC ∴∆是等腰直角三角形，45ACO ∴∠=︒，PD AB ⊥，90ADP ∴∠=︒，ADP AOC ∴∠=∠，//PD OC ∴，45PEF ACO ∴∠=∠=︒，PEF ∴∆是等腰直角三角形， 22PF EF PE ∴==， 21124PEF S PE EF PE ∆∴=⋅=， ∴当32m =-时，21981()4464PEF S ∆=⨯=最大值； 4．（2021•黄石）抛物线22(0)y ax bx b a =-+≠与y 轴相交于点(0,3)C -，且抛物线的对称轴为3x =，D 为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（3）若(3,)P t 是对称轴上一定点，Q 是抛物线上的动点，求PQ 的最小值（用含t 的代数式表示）．【思路分析】（1）由题意得：2323b x a b -⎧=-=⎪⎨⎪=-⎩，即可求解； （3）由2222222(3)(63)(3)[(3)6]PQ m m m t m m t =-+-+--=-+-+-，对t 的取值分类讨解：（1）由题意得：2323b x a b -⎧=-=⎪⎨⎪=-⎩，解得13a b =-⎧⎨=-⎩， 故抛物线的表达式为263y x x =-+-；（3）设点Q 的坐标为2(,63)m m m -+-，则2222222(3)(63)(3)[(3)6]PQ m m m t m m t =-+-+--=-+-+-， 设2(3)n m =-，则2222(6)(211)(6)PQ n n t n n t t =++-=+-+-，二次项系数为10>，故2PQ 有最小值，①当112t 时，2PQ 的最小值221234(6)(112)44t t t -=---=， PQ ∴； ②当112t >时，2PQ 的最小值2(6)t =-， PQ ∴的最小值为|6|t -；∴当6t 时，6PQ t =-，当1162t <<时，6PQ t =-，综上所述，11)2116(6)26(6)t PQ t t t t ⎪⎪=-<<⎨⎪-⎪⎪⎩． 5．（2021•东营）如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线122y x =-+过B 、C 两点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式；（3）点(3,2)M 是抛物线上的一点，点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为抛物线对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PM +的最小值．【思路分析】（1）直线122y x =-+过B 、C 两点，可求B 、C 两点坐标，把(4,0)B ，(0,2)C 分别代入212y x bx c =-++，可得解析式． （3）设点D 的坐标为213(,2)22x x x -++，则点E 的坐标为1(,2)2x x -+，由坐标得2122DE x x =-+，当2x =时，线段DE 的长度最大，此时，点D 的坐标为(2,3)，即点C 和点M 关于对称轴对称，连接CD 交对称轴于点P ，此时PD PM +最小，连接CM 交直线DE 于点F ，则90DFC ∠=︒，由勾股定理得5CD =，根据PD PM PC PD CD +=+=，即可求解．解：（1）直线122y x =-+过B 、C 两点， 当0x =时，代入122y x =-+，得2y =，即(0,2)C ， 当0y =时，代入122y x =-+，得4x =，即(4,0)B ， 把(4,0)B ，(0,2)C 分别代入212y x bx c =-++， 得8402b c c -++=⎧⎨=⎩， 解得322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为213222y x x =-++； （3）设点D 的坐标为213(,2)22x x x -++， 则点E 的坐标为1(,2)2x x -+， 21312(2)222DE x x x ∴=-++--+ 213122222x x x =-+++-2122x x =-+， 102-<， ∴当2x =时，线段DE 的长度最大， 此时，点D 的坐标为(2,3)， (0,2)C ，(3,2)M ， ∴点C 和点M 关于对称轴对称， 连接CD 交对称轴于点P ，此时PD PM +最小， 连接CM 交直线DE 于点F ，则90DFC ∠=︒，点F 的坐标为(2,2)， 225CD CF DF ∴=+=， PD PM PC PD CD +=+=， PD PM ∴+的最小值为5．。

二次函数性质综合题类型一 二次项系数确定型1.已知二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5.（1）若该二次函数图象关于y 轴对称，写出它的图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象的顶点在第一象限，求m 的取值范围．解：(1)∵二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5的图象关于y 轴对称，∴x =22m --=0， 解得m =0， ∴二次函数为y =x 2-5，∴顶点坐标为（0，-5）；(2)y =x 2-2mx +m 2+m -5=（x -m )2+m -5，∴顶点坐标为（m ，m -5），∵它的图象的顶点在第一象限，∴ m ＞0，且 m −5>0 ， 解得m>5．2.已知抛物线G ：y=x 2-2ax+a -1(a 为常数).（1）当a =3时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为P （p ,q ），①分别用含a 的代数式表示p ,q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，则点P 总落在__________图象上.A .一次函数B .反比例函数C .二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：y =x 2-2ax +N (a 为常数)，其中N 代表含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：_________（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y=kx+b(k,b为常数，k≠0)中，k=___________,b=___________.解：(1)当a=3时，y=x2-6x+2=(x-3)2-7,∴点G的顶点坐标为(3,-7);(2)①y=x2-2ax+a-1=(x-a)2-a2+a-1,∴p=a,q=-a2+a-1;②q=-p2+p-1;③C(3)y=x2-2ax+a2+a-1,1,-1(答案不唯一)【解法提示】y=x2-2ax+a2+a-1=(x-a)2+a-1，顶点坐标为（a,a-1）,顶点所在的一次函数图象的表达式y=x-1.3.已知抛物线y=x2-2mx+2m2+2m,得出两个结论：结论一：当抛物线经过原点时，顶点在第三象限的角平分线所在的直线上；结论二：不论m取什么实数值，抛物线顶点一定不在第四象限.(1)请你求出抛物线经过原点时m的值及顶点坐标,并说明结论一是否正确?(2)结论二正确吗? 若你认为正确,请求出当实数m变化时,抛物线顶点的纵横坐标之间的函数关系式,并说明顶点不在第四象限的理由;若你认为不正确,求出抛物线顶点在第四象限时,m的取值范围.解：(1)结论一正确.抛物线经过原点时,2m2+2m=0,则m1=0，m2=-1,当m=-1时，抛物线解析式为y=x2+2x=(x+1)2-1,顶点坐标(-1,-1)；当m=0时，抛物线解析式为y=x2,顶点坐标(0,0),由于顶点(-1,-1)和顶点(0,0)都在第三象限的角平分线所在的直线上,∴结论一正确；（2）结论二正确.∵抛物线的解析式y =x 2-2mx +2m 2+2m 可变为y =(x -m )2+m 2+2m ,∴抛物线的顶点坐标为（m ,m 2+2m ）,若设抛物线的顶点为(x ,y ),则2,2x m y m m=⎧⎨=+⎩ ∴抛物线顶点的纵横坐标的函数关系式为y =x 2+2x ,∵抛物线y =x 2+2x 的顶点为(-1,-1),与x 轴的交点为(0,0),(-2,0),且抛物线开口向上，∴抛物线 y =x 2+2x 不可能在第四象限.即不论 m 取什么实数值,抛物线顶点一定不在第四象限.4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2-2mx +m 2-m +2的顶点为D ．线段ab 的两端点分别为a （-3，m ），b （1，m ）．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点b （1，m ），求m 的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围． 解：（1）∵y =x 2-2mx +m 2-m +2=（x -m )2-m +2，∴D （m ，-m +2）；(2)∵抛物线经过点B （1，m ）,∴m =1-2m +m 2-m +2，解得m =3或m =1；(3)根据题意：∵A （-3，m ），B （1，m ），∴AB 所在直线的解析式为y =m （-3≤x ≤1）,与y =x 2-2mx +m 2-m +2,联立得： x 2-2mx +m 2-2m +2=0，令y =x 2-2mx +m 2-2m +2，若抛物线y =x 2-2mx +m 2-2m +2与线段AB 只有一个公共点，即函数y 在-3≤x ≤1范围内只有一个零点，当x =-3时，y =m 2+4m +11≤0，∵b 2-4ac ＞0，∴此种情况不存在，当x =1时，y =m 2-4m +3≤0， 解得1≤m ≤3．5.已知抛物线的表达式为 y =2x 2-4x -1.(1)求当x 为何值时y 取最小值,并求出最小值；(2)这个抛物线交x 轴于点(x 1,0),(x 2,0),求2112x x x x +的值； (3)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移 1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为a ,请你求出点a 的坐标.解：(1)y =2x 2-4x -1=2(x 2-2x +1)-2-1=2(x -1)2-3,当x =1时，y 取最小值，最小值为-3；(2)令y =0,得2x 2-4x -1=0,由题意得：方程的两个根为x 1,x 2,∵a =2,b =-4,c =-1,∴x 1+x 2=b a -=2,x 1x 2=c a =12-, 则22221121212121212()210;x x x x x x x x x x x x x x ++-+===- (3)二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到解析式为y=2(x-1-2)2-3,即y=2(x-3)2-3,再向下平移1个单位长度，得y=2(x-3)2-3-1,即y=2(x-3)2-4,则平移后顶点a的坐标为（3，-4）.6.已知二次函数y=-x2+2mx-4m+2（m为常数）（1）请你用m的代数式表示该函数的顶点坐标；（2）对于二次函数y=-x2+2mx-4m+2，若当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，请你求出m的取值范围；（3）若二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，写出H与m的函数关系式，并判断该函数图象的顶点是否有最高点（或最低点）？若有，请求出这个点的坐标．解：(1)∵2224,42 22(1)4b m ac bm m ma a--=-==-+⨯-,∴顶点坐标为（m，m2-4m+2）；(2)∵抛物线的对称轴为直线x=m，且a=-1＜0，∴当x≥m时，函数值y随x的增大而减小，∵当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，∴m≤1；(3)∵二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，∴H=m2-4m+2=（m-2）2-2，∵1＞0，∴函数顶点有最低点，坐标为（2，-2）．7.已知二次函数y=22x bx c++(b,c为常数).（1）当b=1，c=-3时，求二次函数在-2≤x≤2上的最小值；（2）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（3）当c =42b 时，若在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式.解：(1)当b =1，c =-3时，二次函数解析式为2223(1)4y x x x =+-=+-，∵x =-1在-2≤x ≤2的范围内，∴当x =-1时，函数取得最小值为-4；(2)当c =3时，二次函数解析式为y =223x bx ++=22()3x b b +-+，其对称轴为直线x =-b ,①若-b ＜0，即b ＞0时，当x =0时，y 有最小值为3；②若0≤-b ≤4，即4≤b ≤0时，当x =-b 时，y 有最小值为23b -+； ③若-b ＞4,即b ＜-4时，当x =4时，y 有最小值为8b +19;(3)当c =24b 时，二次函数的解析式为y =2224x bx b ++，它是开口向上，对称轴为直线x =-b 的抛物线，①若-b ＜2b ,即b ＞0时，在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 随x 增大而增大,∴当x =2b 时，y=2(2)2b b +×222412b b b +=为最小值，∴12b 2=21，∴b =72或b =72-(舍)， ∴二次函数解析式为y =277x x ++;②若2b ≤-b ≤2b +3,即-1≤b ≤0,当x =-b 时，代入y =2224x bx b ++，得y 的最小值为23b ，∴23b =21， ∴b =7(舍)或b =-7(舍)，③若-b ＞2b +3时,即b<-1，x =2b+3时，代入二次函数解析式y =2224x bx b ++中，得y 的最小值为212189b b ++，∴212189b b ++=21，∴b =-2或b =12(舍)，∴二次函数解析式为y =2416x x -+.综上所述，b =72或b =-2时，此时二次函数的解析式分别为y =277x x ++或y =2416x x -+.类型二 二次项系数不确定型1.已知实数a ，c 满足111a c +=，2a +c -ac +2＞0，二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点 B （4，n ）、A （2，n ），且当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，求a 的值． 解：∵实数a ，c 满足111a c +=，∴c -ac =-a ，∵2a +c -ac +2＞0，∴2a -a +2＞0，∴a ＞-2，∵二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点B （4，n ）、A （2，n ）， ∴2b a -=422+=3， ∴b =-6a ， ∴y =ax 2+bx +9a =a （x 2-6x +9）=a （x -3）2，∵当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，∴|4a -a |=9， ∴a =±3，又∵a>-2, ∴a =3．2.已知抛物线的函数解析式为y =ax 2+bx -3a （b ＜0），若这条抛物线经过 点（0，-3），方程ax 2+bx -3a =0的两根为x 1，x 2，且|x 1-x 2|=4．（1）求抛物线的顶点坐标;（2）已知实数x ＞0，请证明x +1x ≥2，并说明x 为何值时才会有x +1x =2． 解：(1)∵抛物线过点（0，-3），∴-3a =-3，,∴a =1，∴y =x 2+bx -3,∵x 2+bx -3=0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=-b ，x 1x 2=-3,∵|x 1-x 2|=4， ∴|x 1-x 2|=21212()4x x x x +-=4 , ∴212b +＝4， ∴b 2=4 ,∵b ＜0， ∴b =-2 ,∴y =x 2-2x -3=（x -1)2-4 ,∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）;(2)∵x ＞0， ∴x +1x −2＝( x -1x )2 ≥0 ,∴x +1x ≥2，显然当x =1时，才有x +1x =2．3.已知函数24(2)m m y m x +-=+是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x 为何值时y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)根据题意得m +2≠0且m 2+m -4=2，解得m 1=2，m 2=-3， 所以满足条件的m 值为2或-3；(2)当m +2＞0时，抛物线有最低点， 所以m =2， 抛物线解析式为y =4x 2， 所以抛物线的最低点为（0，0），当x ≥0时，y 随x 的增大而增大；(3)当m =-3时，抛物线开口向下，函数有最大值； 抛物线解析式为y =-x 2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x ≥0时，y 随x 的增大而减小．4.我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y =ax 2+bx （a ≠0）.（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，求a 、b 的值；（2）当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，求a 与m 之间的关系式；（3）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y =（k +1）x （k ≠-1）上，请用含k 的代数式表示b ．解：(1)∵顶点坐标为（1，1），∴ 21214b a b a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, 解得12a b =-⎧⎨=⎩； (2)当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，2224b m a b m a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 解得a =2m -； (3)过原点的抛物线y =ax 2+bx 的顶点坐标为（2b a -，24b a-）， ∵抛物线顶点在直线y =(k +1)x （k ≠-1）上， ∴2(1)()42b b k a a-=+-， 整理得：b =2k +2．5.已知二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）.（1）当a =1时，求二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）的顶点坐标和对称轴．（2）二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）与x 轴的交点恒过一个定点，求出这个定点；（3）当二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）时，x 在什么范围内，y 随着x 的增大而减小？解：(1)当a =1时，y =x 2-2x +1， 顶点坐标式为y =（x -1)2，则顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x =1；(2)令y =ax 2-（a +1）x +1=0， a （x 2-x ）+1-x =0，当x =1时，a （x 2-x ）+1-x =0恒成立， 则这个定点为（1，0）；(3)∵y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0），∴y =a (x −12a a +)2+1−2(1)4a a+， ∵a ＞0， ∴当x ＜12a a+时，y 随着x 的增大而减小． 6.已知函数y =（n +1）x m +mx +1-n (m ，n 为实数).（1）当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n ＞-1，那么：①当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由； ②它一定经过哪个点？请说明理由．解：(1)①当m =1，n ≠-2时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y =0时，即（n +1）x m +mx +1-n =0，∴x =12n n -+ ， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；②当m =2，n ≠-1时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是二次函数， 当y =0时，y =（n +1）x m +mx +1-n =0，即（n +1）x 2+2x +1-n =0，△=22-4（1+n ）（1-n ）=4n 2≥0，∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；③当n =-1，m ≠0时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n 是一次函数，当y =0时，x =2m-， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；(2)①假命题，若它是一个二次函数，则m =2，函数y =（n +1）x 2+2x +1-n ， ∵n ＞-1，∴n +1＞0，抛物线开口向上， 对称轴：x =2122(1)1b a n n -=-=-++＜0， ∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 有可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小；②当x =1时，y =n +1+2+1-n =4．当x =-1时，y =0．∴它一定经过点（1，4）和（-1，0）．7.在平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x -3与y 轴交于点 A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线y =2x -3交于点 C ．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0）与线段bC 有唯一公共点，求n 的取值范围． 解：(1)∵直线y =2x -3与y 轴交于点A （0，-3），∴点A 关于x 轴的对称点B （0，3），l 为直线y =3，∵直线y =2x -3与直线l 交于点C ，∴点C 坐标为（3，3）;(2)∵抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0），∴y =nx 2-4nx +4n +n =n (x -2)2+n （n ＞0）,∴抛物线的对称轴为直线x =2，顶点坐标为（2，n ），∵点B （0，3），点C （3，3），①当n ＞3时，抛物线的最小值为n ＞3，与线段BC 无公共点；②当n=3时，抛物线的顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与线段BC有两个公共点；如果抛物线y=n （x-2）2+n经过点b，则3=5n，解得n=35，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（4，3），点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；如果抛物线y=n（x-2）2+n经过点C，则3=2n，解得n=32，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（1，3），点（1，3）在线段BC 上，此时抛物线与线段BC有两个公共点,综上所述，当35≤n＜32或n=3时，抛物线与线段bC有一个公共点．8.已知抛物线C：y1=a（x-h）2-1，直线l：y2=kx-kh-1．（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（2）当a=1，2≤x≤m时，y1≤x-3恒成立，求m的最大值；（3）当0＜a≤1，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在三个横坐标为整数的点，求k的取值范围．解：(1)抛物线C的顶点坐标为（h，-1），当x=h时，y2=kh-kh-1=-1，所以直线l 恒过抛物线C的顶点；(2)当a=1时，抛物线C解析式为y1=(x-h)2-1，不妨令y3=x-3 ，如解图①所示,抛物线C的顶点在直线y=-1上移动，第8题解图①当2≤x≤3时，y1≤x-3恒成立，则可知抛物线C的顶点为（2，-1），设抛物线C 与直线y 3=x -3 除顶点外的另一交点为M ， 此时点M 的横坐标即为m 的最大值，由 2(2)13y x y x ⎧=--⎨=-⎩，解得x =2或x =3， ∴m 的最大值为3．(3)如解图②所示,由（1）可知：抛物线C 与直线l 都过点a （h ，-1）．第8题解图②当0＜a ≤1时，k ＞0，在直线l 下方的抛物线C 上至少存在三个横坐标为整数点，即当x =h +3时，y 2＞y 1恒成立．∴k （h +3）-kh -1＞a （h +3-h ）2-1，整理得：k ＞3a ．又∵0＜a ≤1， 所以0＜3a ≤3，所以k ＞3．9.已知二次函数232y ax bx =+-的图象与y 轴交于点B ， （1） 若二次函数的图象经过点A （1,1）.①二次函数的图象对称轴为直线 x =1,求此二次函数的解析式；②对于任意的正数a ，当x>n 时，y 随x 的增大而增大，请求出n 的取值范围；（2）若二次函数的图象的对称轴为直线x =-1,且直线y =2x -2与直线l 也关于直线x =-1对称，且二次函数的图象在-5<x<-4这一段位于直线l 的上方，在1<x<2这一段位于直线y =2x -2的下方，求此二次函数的解析式.解:(1)①由题意得31212a b b a⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得525a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为253522y x x =-+-; ∵二次函数的图象经过点A （1,1）， ∴31,2a b +-= ∴b =52a -, ∴对称轴为55122242a b x a a a -=-=-=-+， ∵a>0,∴50,4a-< ∴122b x a =-<, ∵当x>n 时，y 随x 的增大而增大，1,221;2b n a n ∴≤-<∴<(2)由直线y =2x -2可知：直线y =2x -2与直线x =-1的交点为(-1,-4),与x 轴的交点为（1,0）,∵直线y =2x -2与直线l 也关于直线x =-1对称，∴直线l 与x 轴的交点为(-3,0),设直线l 的解析式为y =kx +d ,∵直线l 过点（-1，-4），（-3,0），代入解析式得4,03k d k d-=-+⎧⎨=-+⎩解得=2,6k d -⎧⎨=-⎩ ∴直线l 的解析式为y =-2x -6. ∵二次函数232y ax bx =+-的图象的对称轴为直线x =-1,且直线y =2x -2与y =-2x -6关于直线x =-1对称，如解图，当1<x<2时，函数232y ax bx =+-的图象在直线y =2x -2的下方，第9题解图∴当-4<x<-3时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l ：y =-2x -6的下方； 又∵当-5<x<-4时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l 的上方， ∴当x =-4时，y =-2⨯（-4）-6=2， 即（-4,2）为函数232y ax bx =+-与y =-2x -6的图象的交点， ∴316422,12a b b a⎧--=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得716,78a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴此二次函数的解析式为27731682y x x =+-.。

人教版九年级上册数学第二十二章二次函数综合应用题综合训练1．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元．(1)求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？(2)调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆；花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为W1，W2（单位：元）．①求W1，W2关于x的函数关系式；①当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？2．网络销售已经成为一种热门的销售方式，某公司在某网络平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．(1)请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？(3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？3．商场某种商品平均每天可销售20件，每件可获利40元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)每件商品降价多少元时，商场日销售额可达到1200元？(2)若商场平均每天赢利最多，应降价多少元？获得的最大利润为多少？4．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的，如图所示，水柱的最高点为M ，2m AB =，10m BM =，水嘴高6m AD =，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出图中抛物线的表达式．5．一小球M 从斜坡OA 上的点O 处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数12y x =刻画．若小球到达最高点的坐标为(4,8)．(1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x 的取值范围）；(2)小球在斜坡上的落点A 的垂直高度为________米；(3)若要在斜坡OA 上的点B 处竖直立一个高4米的广告牌，点B 的横坐标为2，请判断小球M 能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；(4)求小球M 在飞行的过程中离斜坡OA 的最大高度．6．如图，有长为30m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a 为9m ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为m x ，面积为2m S ．(1)求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)如果围成花圃的面积为263m ，那么AB 应确定多长？7．“互联网＋”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网＋”形成的一种生机勃勃的销售方式．农村电商小李在某电商平台上直播销售一种农产品，每件农产品的成本为40元，每销售一件农产品，需向电商平台缴纳推广费2元．物价部门规定，该农产品的销售单价不高于成本价的2倍，经市场调研发现，每月的销售量y (件)与销售单价x (元)满足如图所示的一次函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当农产品的销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？。

类型一：线段最值问题【经典例题1改编】抛物线y=-x 2+bx +c 与直线y=-x +5一个交点A （2，m ），另一个交点B 在x 轴上，点P 是线段AB 上异于A 、B 的一个动点，过点P 做x 轴的垂线，交抛物线于点E ；（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的点P ，使线段PE 长度最大？若存在求出最大值及此时点P 的坐标，若不存在说明理由；（3）在y 轴右侧，当EP 平行于y 轴时，设点E 的横坐标为m ，当点E 到y 轴的距离等于线段EP 的长时，求m 的值；【解析】（1）A(2，-3)，抛物线解析式y=-x 2+6x -5（2）设点P 的横坐标为m ，E(m ，-m 2+6m -5)，P(m ，-m+5)∴EP=y E -y P=(-m 2+6m -5)-(-m +5)=-m 2+7m -10=-(m -27)2+49 当m=27时，EP 长度有最大值49，此时，P(27，23) （3）根据题意分两种情况∴当0<x <2或x >5时，EP=m 2-7m +10，所以m=m 2-7m +10，即m 2-8m +10=0，解得m1=4+6，m2=4-6；∴当2<x<5时，EP=-m2+7m-10，所以m=-m2+7m-10，即m2-6m+10=0，此方程无解。

综上，m1=4+6，m2=4-6【经典例题2】如图所示，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y= -x与抛物线交于E，F两点.(1)求抛物线的解析式；(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH∴EF于点H，求PH的最大值；【解析】(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x−1)=a(x2+2x−3)，即−3a=−3，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x2+2x−3；(2)过点P作PM∴y轴交直线EF于点M，设点P(x ，x 2+2x −3)、点M(x ，−x )，则PH=22PM=22(−x −x 2−2x +3)， 当x =−23时，PH 的最大值为：8221；【经典例题3】已知抛物线l 1:y 1=ax 2−2的顶点为P ，交x 轴于A. B 两点(A 点在B 点左侧)，且sin∴ABP=55. (1)求抛物线l 1的函数解析式；(2)过点A 的直线交抛物线于点C ，交y 轴于点D ，若∴ABC 的面积被y 轴分为1:4两个部分，求直线AC 的解析式；【解析】（1）当x =0时，y 1=ax 2-2=-2∴顶点P （0，-2），OP=2∴∴BOP=90° ∴sin∴ABP=BP OP =55 ∴BP=5OP=25 ∴OB=442022=-=-OP BP∴B （4，0），代入抛物线l 1得：16a -2=0，解得：a =81 ∴抛物线l 1的函数解析式为y 1=81x 2-2 （2）∴知抛物线l 1交x 轴于A 、B 两点∴A 、B 关于y 轴对称，即A （-4，0）∴AB=8设直线AC 解析式：y=kx +b点A 代入得：-4k +b =0∴b =4k∴直线AC ：y=kx +4k ，D （0，4k ）∴S ∴AOD =S ∴BOD =21×4×|4k |=8|k | ∴81x 2-2=kx +4k 整理得：x 2-8kx -32k -16=0∴x 1+x 2=8k∴x 1=-4∴x C =x 2=8k +4，y C =k （8k +4）+4k =8k 2+8k∴C （8k +4，8k 2+8k ）∴S ∴ABC =21AB•|y C |=32|k 2+k | ∴若k >0，则S ∴AOD ：S 四边形OBCD =1：4∴S ∴AOD =51S ∴ABC ∴8k =51×32（k 2+k ） 解得：k 1=0（舍去），k 2=41 ∴直线AC 解析式为y=41x +1 ∴若k <0，则S ∴AOD =S ∴BOD =-8k ，S ∴ABC =-32（k 2+k ）∴-8k =51×[-32（k 2+k ）] 解得：k 1=0（舍去），k 2=41（舍去） 综上所述，直线AC 的解析式为y=41x +1．【经典例题4】如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x +4与抛物线y=21-x 2+bx +c (b ，c 是常数)交于A. B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上。

1.2.7二次函数的图象和性质——增减性和最值1．函数f(x)＝(x－3)(x＋5)的单调递减区间是()．A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)2．二次函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是()．A．最小值是8，无最大值B．最大值是－2，无最小值C．最大值是8，无最小值D．最小值是－2，无最大值3．若抛物线y＝x2＋6x＋c的顶点恰好在x轴上，则c的值为()．A．0 B．3 C．6 D．94．函数f(x)＝x2＋4ax＋2在(－∞，6)内是递减函数，则实数a的取值范围是()．A．[3，＋∞) B．(－∞，3]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x.若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为()．A．30元B．42元C．54元D．越高越好6．已知f(x)＝ax2＋2x－6，且f(1)＝－5，则f(x)的递增区间是__________．7．若函数f(x)＝x2＋mx＋3的最小值是－1，则f(m)的值为__________．8．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋20x和L2＝2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为__________．9．已知二次函数y＝－4x2＋8x－3.(1)画出它的图象，并指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；(2)求函数的最大值；(3)写出函数的单调区间．10．某汽车租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆汽车的月租金每增加50元时，未租出的汽车将会增加一辆．租出的汽车每辆每月需要维护费150元，未租出的汽车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆汽车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆汽车？(2)当每辆汽车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案1. 答案：A解析：f (x )＝(x －3)(x ＋5)＝x 2＋2x －15，12b a -=-，所以f (x )的递减区间是(－∞，－1]，选A ．2. 答案：C3. 答案：D解析：∵y ＝x 2＋6x ＋c ＝(x ＋3)2＋c －9，∴c －9＝0，c ＝9.4. 答案：D解析：f (x )＝x 2＋4ax ＋2＝(x ＋2a )2＋2－4a 2，∵f (x )在(－∞，6)内是递减函数，∴－2a ≥6，∴a ≤－3.5. 答案：B解析：设日销售利润为y 元，则y ＝(x －30)(162－3x ),30≤x ≤54，将上式配方后得y ＝－3(x －42)2＋432，当x ＝42时，y 取得最大值．故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得最大的销售利润．6. 答案：(－∞，1]解析：由f (1)＝－5得a ＋2－6＝－5，所以a ＝－1.这时f (x )＝－x 2＋2x －6. 又212(1)-=⨯-， 所以f (x )的递增区间是(－∞，1]．7. 答案：35解析：由已知得2413141m ⨯⨯-=-⨯， 所以m 2＝16，m ＝±4.当m ＝4时，f (m )＝f (4)＝35；当m ＝－4时，f (m )＝f (－4)＝35.8. 答案：111万元解析：设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆．在甲、乙两地的销售利润分别为L 1＝－x 2＋20x 和L 2＝2(15－x )＝30－2x .于是销售总利润y ＝L 1＋L 2＝－x 2＋20x ＋30－2x ＝－x 2＋18x ＋30.因此当1892(1)x=-=⨯-时，y取最大值f(9)＝－92＋18×9＋30＝111(万元)．9.解：(1)图象如图所示，该图象开口向下；对称轴为x＝1；顶点坐标为(1,1)．(2)∵f(x)＝－4(x－1)2＋1，∴x＝1时，f(x)max＝1.(3)函数在(－∞，1]上是递增函数，在[1，＋∞)上是递减函数．10.解：(1)当每辆汽车月租金为3 600元时，未租出的汽车辆数为360030001250-=，所以这时租出了88辆汽车．(2)设每辆汽车的月租金定为x元，则公司月收益为f(x)＝300010050x-⎛⎫-⎪⎝⎭(x－150)－300050x-×50，整理得f(x)＝150-x2＋162x－21 000＝150-(x－4 050)2＋307 050(x＞150)．∴当x＝4 050时，f(x)最大，最大值为307 050.即每辆汽车的月租金定为4 050元时，汽车租赁公司的月收益最大，最大月收益是307 050元．。

专题10 利用二次函数性质求线段最值方法点拨：二次函数222424b ac b y ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭ ①当0a >时，2bx a =-时，函数y 有最小值244ac b a -；②当0a <时，2bx a=-时，函数y 有最大值244ac b a -。

1．（2021·重庆万州·九年级期末）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于点(1,0)A -和点B ，交y 轴于点C ，3CO AO =，点P 是抛物线上第一象限内的一动点． （1）求抛物线的解析式；（2）过点P 作//PD y 轴交BC 于点D ，求线段PD 长度的最大值；（3）若Q 为坐标平面内一点，在（2）的条件下，是否存在点Q ，使得以点P 、C 、D 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =-x 2+2x +3；（2）94；（3）（0，34）或（0，214）或（3，94）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点P （x ，-x 2+2x +3），则点D （x ，-x +3）（0＜x ＜3），则PD ＝23924x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，即可求解；（3）分别得到P ，D ，C 的坐标，分PD 为平行四边形的边和对角线，根据平行四边形的性质可得坐标． 【详解】解：（1）∵A （-1，0），则OA =1， 又∵CO =3AO ， ∴OC =3，C （0，3），把A，C两点的坐标代入y=-x2+bx+c得103b cc--+=⎧⎨=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）由-x2+2x+3=0得点B（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B（3，0），C（0，3）代入得303k bb+=⎧⎨=⎩，解得：13kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=-x+3，设点P（x，-x2+2x+3），则点D（x，-x+3）（0＜x＜3），∴PD＝（-x2+2x+3）-（-x+3）＝-x2+3x＝23924x⎛⎫--+⎪⎝⎭，∴当x＝32时，PD有最大值94；（3）由（2）可得：将x=32分别代入y=-x+3和y=-x2+2x+3中，得y=32，y=274，∴D（32，32），P（32，154），又C（0，3），∵以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，如图，若PD为平行四边形的边，则四边形PDCQ2和四边形PCQ1D为平行四边形，∴PD=CQ2=CQ1，PD∥CQ2∥CQ1，可得Q1（0，34），Q2（0，214）；若PD为平行四边形的对角线，则四边形PCQ3D为平行四边形，则CP=DQ3，CP∥DQ3，则Q3（3，94），综上：点Q的坐标为（0，34）或（0，214）或（3，94）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，有一定的综合性，难度适中．2．（2021·安徽·合肥市九年级月考）如图，抛物线y ＝﹣x 2+72x +2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 经过B ，C 两点，点D 为抛物线上一个动点（不与B ，C 重合）． （1）求直线l 的表达式；（2）如图，当点D 在直线l 上方的抛物线上时，过D 点作DE //x 轴交直线l 于点E ，设点D 的横坐标为m ．①当点D 运动到使得点E 与点C 重合时，求点D 的坐标；②求线段DE 的长（用含m 的代数式表示），并求出线段DE 的最大值．【答案】（1）122y x =-+；（2）①7(,2)2D ；②228m m -+，8 【分析】（1）根据抛物线的解析式，分别令0,0x y ==即可求得,B C 的坐标，进而根据待定系数法求得直线l 的解析式；（2）①根据题意DE //x ，则D 的纵坐标为2，根据D 是二次函数上的点即可求得D 的横坐标；②根据E 是直线l 上的点，结合（1）的结论，根据D 的横坐标，表示出D 的纵坐标，进而根据DE //x 轴，即可求得E 的纵坐标，根据l 的解析式即可求得横坐标，由DE 的长等于D的横坐标减去E 的横坐标即可求得DE 的长，进而根据配方法即可求得最大值． 【详解】（1）由2722y x x =-++，令0x =，则2y =，即(0,2)C 令0x =，则2722x x -++0=，即()()2140x x +-=解得121,42x x =-=点A 在点B 的左侧 ()1,0,4,02A B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，设直线l 的解析式为：y kx b =+，将(0,2)C ，()4,0B 代入得，402k b b +=⎧⎨=⎩解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 设直线l 的解析式为：122y x =-+， （2）① DE //x 轴，(0,2)C ，∴当点D 运动到使得点E 与点C 重合时，D 的纵坐标为2，由2722y x x =-++，令2y =，则27222x x =-++ 解得12720,x x == 7(,2)2D ∴②点D 的横坐标为m ，则27(,2)2D m m m -++DE //x 轴，E ∴点的纵坐标为2722m m -++，E 点在直线l ：122y x =-+上， 42x y ∴=-此时E 点的横坐标为：()22427427m m m m --++=-则线段DE 的长为222728m m m m m -+=-+ 228m m -+()22288m =--+≥∴线段DE 的最大值为8．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与坐标轴的交点问题，求一次函数的解析式，求二次函数最值问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．3．（2021·山东·济阳区九年级月考）如图，抛物线2(1)y x k =++ 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣3）． （1）求抛物线的对称轴及k 的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，求此时点P 的坐标； （3）点M 是抛物线上一动点，且在第三象限．①当M 点运动到何处时，AMB 的面积最大？求出AMB 的最大面积及此时点M 的坐标； ②过点M 作PM x ⊥轴交线段AC 于点P ，求出线段PM 长度的最大值．【答案】（1）抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，k ＝﹣4；（2）P （﹣1，﹣2）；（3）①AMB 的最大面积为8，点M 的坐标为（﹣1，﹣4）；②线段PM 长度的最大值为94．【分析】（1）直接将C 点坐标代入函数关系式，进而得出k 的值即可；（2）如图，连接AC 交对称轴于点P ，则此时P A +PC 的值最小，然后利用待定系数法可求出直线AC 的解析式，进一步即可求出点P 的坐标；（3）①表示出M 点坐标，进而表示出△AMB 的面积，然后利用二次函数的性质即可得出答案； ②表示出M 点、P 点的坐标，进而表示出PM 的长，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线y ＝（x +1）2+k 与y 轴交于点C （0，﹣3），∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，且﹣3＝（0+1）2+k ，解得：k ＝﹣4， ∴抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，k ＝﹣4；（2）由（1）可得抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣4，当y＝0，则0＝（x+1）2﹣4，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴点A（﹣3，0）、B（1，0），如图，连接AC交对称轴于点P，则此时P A+PC的值最小，设直线AC的解析式为y＝ax+d，将（﹣3，0），（0，﹣3）代入得：303a dd-+=⎧⎨=-⎩，解得：13ad=-⎧⎨=-⎩．故直线AC：y＝﹣x﹣3，当x=﹣1时，y=﹣2，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；（3）∵点M是抛物线上的一动点，∴设点M的坐标为[x，（x+1）2﹣4]，∵点M在第三象限，∴﹣3＜x＜0；①如图，∵AB＝4，∴S△AMB＝12×4×|（x+1）2﹣4|＝2|（x+1）2﹣4|，∵点M在第三象限，∴S△AMB＝8﹣2（x+1）2，∴当x＝﹣1时，即点M的坐标为（﹣1，﹣4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；②∵直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，故设点P的坐标为（x，﹣x﹣3），∴PM＝﹣x﹣3﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+32）2+94，当x＝﹣32时，PM最大，最大值为94．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象与性质以及函数图象上点的坐标特点等知识，属于常考题型，正确表示出△AMB的面积和PM的长、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．4．（2021·山东·临沂市第九中学九年级月考）如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A （0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标；（2）点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动时，点P到直线AB的距离为d，求d的最大时点P的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为：y=-12x2+2x+6，（2，8）；（2）存在，点M的坐标为（2-27，-6）或（2+27，-6）或（4，6）．（3）当x=3时，d取得最大值，此时点P（3，152）．【分析】（1）抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），则c=6，将点B的坐标代入函数表达式即可求解；（2）分AB是平行四边形的一条边、AB是平行四边形的对角线两种情况分别求解即可；（3）先求出AB解析式，可求d=PH=22PG=222121(266)(3) 2222x x x x x-+++-=-+，即可求解．【详解】解：（1）由抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），则c=6，将点B（6，0）代入函数表达式得：0=36a+12+6，解得：a=-12，故抛物线的表达式为：y=-12x2+2x+6，∵y=-12x2+2x+6=21(2)82x--+，∴函数图象的顶点坐标为（2，8）；（2）设点M （m ，n ），n =-12m 2+2m +6，点N （s ，0）， ①当AB 是平行四边形的一条边时， 点A 向右、向下均平移6个单位得到B ， 同理点N 右、向下均平移6个单位得到M ， 故：s +6=m ，0-6=n ， ∴-12m 2+2m +6=-6解得：m ，故点M 的坐标为（2--6）或（，-6）； ②当AB 是平行四边形的对角线时， 则AB 的中点即为MN 的中点，则 s +m =6，n +0=6， ∴-12m 2+2m +6=6解得：m =4，m =0(不合题意舍去) 故点M 的坐标为（4，6），综上，点M 的坐标为（2--6）或（-6）或（4，6）． （3）如下图，过点P 作PG ∥y 轴交AB 于点G ，作PH ⊥AB 交于点H ，∵OA =OB =6，则∠OAB =∠OBA =45°， ∵PG ∥y 轴，则∠PGH =∠OAB =45°， 直线AB 的表达式为：y =-x +6，设点P （x ，21262x x -++），则G （x ，-x +6），22211266)3)=3)22d PH x x x x x x ==-+++-=-+- 当x =3时，d 取得最大值，此时点P （3，152）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、点的平移、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．5．（2021—2022辽宁大连市九年级月考）如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线21522y x bx =-++与x 轴交于点1,0A ，抛物线的对称轴l 经过顶点B ，作直线AB ．P 是该抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点Q ，过点P 作PN l 于点N ，以PQ 、P N为边作矩形PQMN ． （1）b =______；（2）当点P 在抛物线A ，B 两点之间时，求线段PQ 长度的最大值；（3）矩形PQMN 与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G ，G 的最高点的纵坐标为m ，最低点纵坐标为n ，当2m n -=时，求点P 的坐标．【答案】（1）-2；（2）98；（3）点P 的坐标为54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或72,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）将1,0A 代入抛物线21522y x bx =-++即可求解；（2）首先根据A ，B 两点的坐标利用待定系数法求出直线AB 的表达式，设出点Q 和点P 的坐标，表示出PQ 的长度，然后根据二次函数的性质求解即可；（3）分别当点P 在直线l 左侧和右侧时两种情况讨论，根据题意表示出m 和n 的值，然后根据2m n -=列方程求解即可． 【详解】解：（1）将1,0A 代入抛物线21522y x bx =-++得：10225b =-++，解得2b =-；（2）抛物线解析式为215222y x x =--+．配方得()219222y x =-++．∴顶点B 的坐标为92,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．设直线AB 的解析式为y kx b =+，过点1,0A ．则9220k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴直线AB 的解析式为3322y x =-+．设点215,222P e e e ⎛⎫ ⎪⎝-+⎭-，PQ 与x 轴垂直，点Q 在直线AB 上，∴点Q 的坐标为33,22e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． ∴当20e -<<时，2215331121222222PQ e e e e e ⎛⎫⎛⎫=--+--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 配方得2119228PQ e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．102a =-<，∴当12e =-时，PQ 的最大值为98．（3）当点P 在直线l 左侧时，此时2e <-，G 从左到右上升，图象最高点为B ，最低点为215,222P e e e ⎛⎫ ⎪⎝-+⎭-，∴92m =，215222n e e =--+．2m n -=，∴212522292e e --+⎛⎫-= ⎪⎝⎭．解得14e =-，20e =（舍）． 此时点P 的坐标为54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．当点P 在直线l 右侧时，此时1e >，G 从左到右下降，图象最高点为C ，最低点为215,222P e e e ⎛⎫ ⎪⎝-+⎭-，MQ 垂直y 轴，∴点Q 与点C 的坐标相同． ∴3322m e =-+，215222n e e =--+． 2m n -=，∴23315222222e e e ⎛⎫⎛⎫-+---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解得12=e ，23e =-（舍）． 此时点P 的坐标为72,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上述，点P 的坐标为54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或72,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】此题考查了二次函数和矩形结合的题目，解题的关键是设出点P 和点Q 的坐标，根据题意列出方程求解．6．（2021·江苏丹阳·中考二模）如图1，在平面直角坐标系中抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(3,0)A 、(1,0)B -．与y 轴交于点C ，点P 是该抛物线的对称轴（x 轴上方部分）上的一个动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AP 、BP 将ABP △沿直线AP 翻折，得到AB P '，当点B '落在该抛物线的对称轴上时，求点P 的坐标；（3）如图2，过点P 作//EF x 轴交抛物线于点E 、F ，连接AC ，交线段EF 于M ，AC 、OF 交于点N ．求FNON的最大值．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）21,33P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）34【分析】（1）利用待定系数法把点(3,0)A 、(1,0)B -代入二次函数解析式即可求解； （2）根据1cos ''2AD DAB AB ∠==得到'60DAB ∠=︒，则'30PAB PAB ∠=∠=︒，解直角三角形P AD 即可；（3）通过证明MFN AON ∽得到FN ON AO MF =，即当MF 的值最大时，FNON有最大值即可求解． 【详解】解：（1）把点(3,0)A 、(1,0)B -代入二次函数解析式，可得：933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为2y x 2x 3=-++； （2）设对称轴212x =-=-与x 轴交于点D ，则2AD =，∵将ABP △沿直线AP 翻折，得到AB P '，∴'4==AB AB ，'B P BP =，'PAB PAB ∠=∠， ∴1cos ''2AD DAB AB ∠==， ∴'60DAB ∠=︒， ∴'30PAB PAB ∠=∠=︒，∴tan 30PD AD =⋅︒=∴点P ⎛ ⎝； （3）∵//EF x 轴，∴MFN AON FMN NAO ∠=∠∠=∠，， ∴MFN AON ∽， ∴FN ON AOMF=， ∵3AO =，∴当MF 的值最大时，FNON有最大值， 设AC 的函数解析式为y kx c =+，把(3,0)A ，()0,3C 代入可得13k c =-⎧⎨=⎩，∴AC 的函数解析式为3y x =-+，设()1,P m ，则()3,M m m -，()1F m ，∴132MF m m =+=-令t =24m t =-，∴2221942224MF t t t t t ⎛⎫=--+=-++=--+ ⎪⎝⎭，当12t =时，154m =，此时94MF =取得最大值，此时34MF FN ON AO ==为最大值． 【点睛】本题考查二次函数综合、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等内容，灵活运用上述性质定理是解题的关键．7．（2021·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为（﹣1，0），点C 的坐标为（0，5）． （1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲）．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；（3）图（乙）中，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2＋4x ＋5；（2）P （52，354）；（3）存在，M 的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）． 【分析】（1）将A 的坐标（﹣1，0），点C 的坐（0，5）代入y ＝﹣x 2＋bx ＋c ，即可得抛物线的解析式为y ＝﹣x 2＋4x ＋5；（2）过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y ＝﹣x 2＋4x ＋5可得B （5，0），故OB ＝OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PHPQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y ＝kx ＋5，将B （5，0）代入得直线BC 解析式为y ＝﹣x ＋5，设P （m ，﹣m 2＋4m ＋5），（0＜m ＜5），则Q （m ，﹣m ＋5），PQ ＝﹣（m ﹣52）2＋254，故当m ＝52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P（52，354）； （3）抛物线y ＝﹣x 2＋4x ＋5对称轴为直线x ＝2，设M （s ，﹣s 2＋4s ＋5），N （2，t ），而B （5，0），C （0，5），①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组225022450522s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，即可解得M （3，8），②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC的中点重合，同理可得252022440522s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，解得M （﹣3，﹣16），③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则202522455022s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，解得M （7，﹣16）．【详解】解：（1）将A 的坐标（﹣1，0），点C 的坐（0，5）代入y ＝﹣x 2＋bx ＋c 得：015b cc =--+⎧⎨=⎩，解得45b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2＋4x ＋5；（2）过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y ＝﹣x 2＋4x ＋5中，令y ＝0得﹣x 2＋4x ＋5＝0， 解得x ＝5或x ＝﹣1， ∴B （5，0），∴OB ＝OC ，△BOC 是等腰直角三角形， ∴∠CBO ＝45°， ∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD ＝45°＝∠PQH ， ∴△PHQ 是等腰直角三角形， ∴PH∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y ＝kx ＋5，将B （5，0）代入得0＝5k ＋5， ∴k ＝﹣1，∴直线BC 解析式为y ＝﹣x ＋5，设P （m ，﹣m 2＋4m ＋5），（0＜m ＜5），则Q （m ，﹣m ＋5），∴PQ ＝（﹣m 2＋4m ＋5）﹣（﹣m ＋5）＝﹣m 2＋5m ＝﹣（m ﹣52）2＋254，∵a ＝﹣1＜0，∴当m ＝52时，PQ 最大为254，∴m ＝52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P （52，354）；（3）存在，理由如下：抛物线y ＝﹣x 2＋4x ＋5对称轴为直线x ＝2，设M （s ，﹣s 2＋4s ＋5），N （2，t ），而B （5，0），C （0，5）， ①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴225022450522s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，解得33s t =⎧⎨=-⎩，∴M （3，8），②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴252022440522s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，解得321s t =-⎧⎨=-⎩，∴M （﹣3，﹣16），③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：202522455022s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，解得711s t =⎧⎨=-⎩，∴M （7，﹣16）；综上所述，M 的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 8．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数2224y x x a =--+-的图象与一次函数2y x =-的图象交于点A 、B （点B 在右侧），与y 轴交于点C ，点A 的横坐标恰好为a ．动点P 、Q 同时从原点O 出发，沿射线OB 分别以每秒5和25个单位长度运动，经过t 秒后，以PQ 为对角线作矩形PMQN ，且矩形四边与坐标轴平行． （1）求a 的值及1t =秒时点P 的坐标；（2）当矩形PMQN 与抛物线有公共点时，求时间t 的取值范围；（3）在位于x 轴上方的抛物线图象上任取一点R ，作关于原点()0,0的对称点为'R ，当点M 恰在抛物线上时，求'R M 长度的最小值，并求此时点R 的坐标．【答案】（1）2a =-，()1,2-；（2）1132t ≤≤+；（3）72，631,22⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）将(),2a a -，代入2224y x x a =--+-，求出a ，即可得到抛物线解析式，当1t =秒时，5OP =，设P 的坐标为(),x y ，建立方程求解即可；（2）经过t 秒后，5OP t =，25OQ t =，由（1）方法知，P 的坐标为(),2t t -，Q 的坐标为()2,4t t -进而得出M 的坐标为()2,2t t -，N 的坐标为(),4t t -将()2,2M t t -代入222y x x -=-+，将(),4N t t -代入222y x x -=-+，解方程即可得到答案；（3）设(),R m n ，则R 关于原点的对称点为()',R m n --，当点M 恰好在抛物线上时，M 坐标为()1,1-．过'R 和M 作坐标轴平行线相交于点S ，如图③则2222''(1)(1)R M MS R S m n =+=--+-+．又222n m m =--+得2(1)3m n +=-，消去m 得22'(1)(1)R M m n =++-23724n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即可求解．【详解】解：（1）由题意知，交点A 坐标为(),2a a -，代入2224y x x a =--+-，解得a =∴抛物线解析式为222y x x -=-+．当1t =秒时，OP =P 的坐标为(),x y ，则2252x y y x ⎧⎪+==⎨=-⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩（舍），所以P 的坐标为()1,2-．（2）经过t 秒后，OP =，OQ =，由（1）方法知，P 的坐标为(),2t t -，Q 的坐标为()2,4t t -，由矩形PMQN 的邻边与坐标轴平行可知，M 的坐标为()2,2t t -，N 的坐标为(),4t t -． 矩形PMQN 在沿着射线OB 移动的过程中，点M 与抛物线最先相交， 如图①，然后公共点变为2个，点N 与抛物线最后相离，然后渐行渐远．如图②，将()2,2M t t -代入222y x x -=-+，得2210t t +-=， 解得12t =，或1t =-（舍）， 将(),4N t t -代入222y x x -=-+，得()213t -=，解得1t =1t =．所以，当矩形PMQN 与抛物线有公共点时，时间t 的取值范围是112t ≤≤（3）设(),R m n ，则R 关于原点的对称点为()',R m n --，当点M 恰好在抛物线上时，M 坐标为()1,1-．过'R 和M 作坐标轴平行线相交于点S ，如图③则'R M 222n m m =--+得2(1)3m n +=-，消去m 得'R M===当32n =时，'R M ．此时，23222n m m =--+=，解得1m =-，所以，点R 的坐标是312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，中心对称等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9．（2021·辽宁千山·中考一模）抛物线213y x bx c =-++交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于C ，直线4y x =-+经过B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为直线BC 上方的抛物线上一点//PD y 轴交BC 于D 点，过点D 作DE AC ⊥于E 点．设1021m PD DE =+，求m 的最大值及此时P 点坐标； （3）如图2，点N 在y 轴负半轴上，点A 绕点N 顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M 处，且180ANM ACN ∠+∠=︒，求N 点坐标．【答案】（1）211433y x x =-++（2）m 最大值是3，此时()32P ，（3）1303N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，- 【分析】（1）由直线4y x =-+经过B ，C 两点，先求出点B ，C 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据表达式1021m PD DE =+，设出D 点的坐标和P 点的坐标，用含t 的代数式分别表达出线段PD 、DE ，转化成m 关于t 的二次函数，再求出m 的最大值及P 点坐标；（3）根据条件180ANM ACM ∠+∠=︒，且AN MN =，利用三角形的全等去确定满足条件的M 、N 点，再根据函数解析式求出坐标即可．【详解】解：（1）直线4y x =-+经过B ，C 两点，当0x =时，4y =；当0y =，4x =；()4,0B ∴，()0,4C ，点B ，C 在抛物线213y x bx c =-++上， 164034b c c ⎧-++=⎪∴⎨⎪=⎩，134b c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩，211433y x x ∴=-++； （2）如图1，连接AD ，延长PD 交x 轴于H ，//PD y 轴，PH x ∴⊥轴，图1设(),4D t t -+，211,433P t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， ()221114443333PD t t t t t ∴=-++--+=-+， ABC ADC ADB S S S =+△△△，且()30A -,，()4,0B ，()0,4C ，()11174+74222AC DE t ∴⨯⨯=⋅⨯⨯-+， 35AC ==，75DE t ∴=， 1021m PD DE =+， ()22214107112333321533m t t t t t t ∴=-++⨯=-+=--+， ∴当3t =时，m 有最大值是3，此时()3,2P ；（3）如图2，过N 作NF MC ⊥，交MC 于点F ，过N 点作NG AC ⊥，交CA 的延长线于点G ，图2则90AGN CFN MFN ∠=∠=∠=︒，180ACF GNF ∴∠+∠=︒，由旋转得：AN MN =，180ANM ACM ∠+∠=︒，GNF ANM ∴∠=∠，ANG MNF ∴∠=∠，90AGN MFN ∠=∠=︒，()AGN MFN AAS ∴≅△△，NG NF ∴=，∴NC 平分ACM ∠设直线CM 交x 轴于点K ，CO AB ⊥，3OK OA ∴==，()3,0K ∴，CK ∴的解析式为：443y x =-+， 241144333x x x ∴-+=-++， 解得：10x =，25x =，85,3M ⎛⎫ ⎪⎝-⎭∴， 设()0,N y ，AN MN =，∴由勾股定理得，()22228353y y ⎛⎫-+=++ ⎪⎝⎭， 解得133y =-， 130,3N ⎛⎫ ⎪⎝-⎭∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图像与性质、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．10．（2021·山东济南·中考调研）如图，若一次函数y =﹣3x ﹣3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，点B 的坐标为（3，0），二次函数y =ax 2＋bx ﹣3的图象过A 、B 、C 三点． （1）求二次函数的表达式；（2）如图1，若点P 在直线BC 下方的抛物线上运动，过P 点作PF ⊥BC ，交线段BC 于点F ，在点P 运动过程中，线段PF 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．（3）点P 在y 轴右侧的抛物线上运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线BC 交于点D ，若∠PCD ＋∠ACO ＝45°，请在备用图上画出示意图，并直接写出点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式为223y x x =--；（2）存在，PF 的最大值8；（3）点P 的坐标为(73，209-)或(5，12)． 【分析】 （1）函数y =-3x -3的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，则点A 、C 的坐标分别为（-1，0）、（0，-3），将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）先利用待定系数法求直线BC 的解析式，设P （m ，m 2-2m -3），过点P 作PT ∥y 轴交直线BC 于点T ，则T （m ，m -3），可得PT ，再证明△PTF ∽△BCO ，运用相似三角形性质得出PF ，再运用二次函数最值求解即可；（3）分两种情况：①当点P 在直线BC 下方的抛物线上时，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，证明△PCM ∽△CAO ，再利用相似三角形性质列方程求解即可；②当点P 在直线BC 上方的抛物线上时，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，证明△PCM ∽△ACO ，再利用相似三角形性质列方程求解即可．【详解】解：（1）在y =-3x -3中，令x =0，得y =-3，∴C （0，-3），令y =0，得-3x -3=0，解得：x =-1，∴A （-1，0），∵二次函数23y ax bx =+-的图象过点A （-1，0），B （3，0），∴309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩， ∴二次函数的表达式为：223y x x =--；（2）设直线BC 的解析式为y kx c =+，∵B （3，0），C （0，-3），∴303k c c +=⎧⎨=-⎩，解得：13k c =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为y =x -3，在Rt △BOC 中，OB =OC =3，BC设P （m ，m 2-2m -3），过点P 作PT ∥y 轴交直线BC 于点T ，则T （m ，m -3），∴PT =()223233m m m m m ----=-+，∵PF ⊥BC ，∴∠PFT =∠BOC =90°，∵PT ∥y 轴，∴∠PTF =∠BCO ，∴△PTF ∽△BCO ， ∴PF OBPT BC=，即：23PF m m =-+∴2233))2PF m m m =-+=-+∴当32m =时，PF ； （3）设P （t ，t 2-2t -3），分以下两种情况：①当点P 在直线BC 下方的抛物线上时，如图，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，则M （0，t 2-2t -3），∴CM =t 2-2t -3-（-3）=t 2-2t ，PM =t ，∵∠PCD +∠ACO =45°，∠BCO =45°，∴∠ACP =90°，∴∠PCM +∠ACO =∠CAO +∠ACO =90°，∴∠PCM =∠CAO ，∵∠PMC =∠AOC =90°，∴△PCM∽△CAO，∴CM OAPM OC=，即：2213t tt-=，∴3t2-7t=0，解得：t1=0（舍去），t2=73，当t=73时，22772023()23339t t--=-⨯-=-，∴点P的坐标为(73，209-)；②当点P在直线BC上方的抛物线上时，如图，过点P作PM⊥y轴于点M，则M（0，t2-2t-3），∴CM=t2-2t-3-（-3）=t2-2t，PM=t，∵∠PCD+∠ACO=45°，∠PCD+∠PCM=45°，∴∠PCM=∠ACO，∵∠PMC=∠AOC=90°，∴△PCM∽△ACO，∴CM OCPM OA=，即：2231t tt-=，∴t2-5t=0，解得：t1=0（舍去），t2=5，当t=5时，t2-2t-3=52-2×5-3=12，∴P（5，12），综上所述，点P的坐标为(73，209-)或(5，12)．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，二次函数最值应用，相似三角形的判定和性质，属于中考压轴题，有一定难度；熟练掌握所学知识并能够灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键．11．（2021·重庆八中九年级月考）在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2﹣72x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C点D是抛物线上位于直线BC下方的一点．（1）如图1，连接AD，CD，当点D的横坐标为5时，求S△ADC；（2）如图2，过点D作DE//AC交BC于点E，求DE长度的最大值及此时点D的坐标；（3）如图3，将抛物线y＝12x2﹣72x+3向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线y'＝ax2+bx+c．新抛物线与原抛物线的交点为点F，G为新抛物线的对称轴上的一点，点H是坐标平面内一点，若以C，F，G，H为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点H坐标．【答案】（1）S △ADC =5；（2）DE D 的坐标为（3，-3）；（3）H （52，112）或（252，112）． 【分析】（1）把D 的横坐标代入抛物线解析式得纵坐标，根据解析式，当x =0时，可得C 的坐标，令直线DC 与x 交点为I ，两点确定一条直线，解析式，直线CD 为y =-x +3，即得I 坐标，当y =0时，代入抛物线解析式得A 、B 坐标，S △ACD =S △AEC +S △AED ，通过计算可得结果； （2）由（1）知A ，B ，C 坐标，两点确定一条直线，可得直线AC 和直线BC 的解析式，过D点作l 平行于BC ，只有当l 与抛物线相切时候，DE 取最大值，设l 解析式为y =-12x +b ，联立直线l 和抛物线的解析式得到二元一次方程组，可得x 2-6x +6-2b =0，相切时即△=0，可得b 的值和D 的坐标，设直线DE 的解析式为y =-3x +n ，直线DE 与抛物线的解析式联立方程组可得E 的坐标，根据两点间的距离公式得DE 的值；（3）根据平移的性质得到新的抛物线为y =12x 2-152x +23，由对称轴公式x =-2b a 得对称轴，联立抛物线和新抛物线得F 点坐标为（5，-2），分情况讨论，若CFGH 是矩形，证明△MFC 和△NGF 、△PCH 都是等腰直角三角形，且△NGF ≅△PCH ，即可求得H 的坐标，当CG ⊥CF 时，同理可得H 的坐标．【详解】解：（1）将x =5代入y =12x 2-72x +3， 得y =-2，∴D （5，-2），令DC 与x 轴交点为I ，由题可知：C （0，3），设直线CD 的表达式为3y kx =+，∴253k -=+，∴1k =-，∴直线CD 的表达式：y =-x +3，令0y =，则3x =，∴I （3，0），如图1可知，S △ADC =S △ACI +S △ADI =12•AI •OC +12•AI •|y 0|=12×AI （OC +|y 0|）， 将y =0代入方程，12x 2-72x +3=0， 解得：1216x x ==，，∴A （1，0），B （6，0），∴AI =2，∴S △ADC =12×2×（3+2）=5，∴S △ADC =5；（2）如图2，由（1）可知A （1，0），B （6，0），C （0，3）， 同理求得直线AC 的表达式为y =-3x +3，直线BC 的表达式为y =-12x +3， 过D 点作直线l 平行于BC ，只有当l 与抛物线相切的时候，DE 取最大值，∵l ∥BC ，∴设直线l 的表达式为12y x b =-+， 解方程21713222x x x b -+=-+，即 x 2-6x +6-2b =0，当两条直线相切时，即只有一个交点，则240b ac =-=，∴62-4(6-2b )=0，∴b =-32， ∴直线l 的表达式为：1322y x =--， 将b =-32代入x 2-6x +6-2b =0， 可得x =3，将x =3代入y =12x 2-72x +3， 解得：3y =-，∴D （3，-3），∵DE ∥AC ，设直线DE 的表达式为：3y x n =-+，将D （3，-3）代入得：333n -=-⨯+，∴6n =，∴直线DE 的表达式为：y =-3x +6，∵E 是CB 、DE 的交点， ∴36132y x y x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 解得65125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， E （65，125）， ∴DE= 点D 的坐标为（3，-3）；（3）y =12x 2-72x +3向右平移4个单位，向下平移2个单位， ∴新抛物线方程为：y =12(x -4)2-7(2x -4)+3-2=12x 2-152x +23， ∴新抛物线的对称轴为：x =152，原抛物线的对称轴为：x =72， ∵F 是两抛物线的交点， 解方程12x 2-152x +23=12x 2-72x +3，得5x =， 当5x =时，y =12x 2-72x +3=-2， ∴F （5，-2），①如果CFGH 是矩形，如图3，过F 作FM ⊥y 轴于M ，交新抛物线的对称于N ，过H 作HP ⊥y 轴于P ，∴M （0，-2），N （152，-2）， ∴MC =2+3=5，MF =5，FN =155522-=， ∵CFGH 是矩形，∴∠CFG =∠AMF =∠FNG =∠HPC =90︒，FG =CH ，则∠MFC =∠MCF =∠NFG =∠NGF =∠PHC =∠PCH =45︒，∴△MFC 和△NGF 、△PCH 都是等腰直角三角形，且△NGF ≅△PCH ，∴NG =FN =PC =PH 52=， ∴PO =PC + CO =511322+=， ∴H （52，112），②如果CG ⊥CF ，如下图，过F 作FK ⊥y 轴于K ，过H 作HL ⊥x 轴交直线FK 于L ，过C 作CJ ⊥y 轴交新抛物线的对称于J ，∵C （0，3），F （5，-2），∴KF =5，CK =2+3=5，CJ =152， 同理△KFC 和△LKH 、△JCG 都是等腰直角三角形，且△LKH ≅△JCG ，∴HL =FL =CJ =GJ 152=，KL =KF + FL =1525522+=， ∴点H 的纵坐标为1511222-=， ∴H （252，112）， 综上所述，H （52，112）或（252，112）． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质，两点确定一条直线的解析式，解一元二次方程，抛物线平移的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等．正确的识别图形是解题的关键．12．（2021·重庆市南华中学校九年级月考）如图，在矩形OABC 中，点A 、点C 分别在x 轴和y 轴上，点()1,2B ．抛物线()20y ax bx c a =++≠经过,A C 两点，交BC 的延长线于点D ，与x 轴另一个交点为E ，且4AE =．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线OD 上方抛物线上的一个动点，//PF y 轴，PQ OD ⊥，垂足为Q ． ①猜想：PQ 与FQ 的数量关系，并证明你的猜想；②设PQ 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数表达式，并求l 的最大值． （3）如果M 是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以M N C E 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224233y x x =--+；（2）①PQ FQ =；②l 的最大值为49248；（3）存在，点N 的坐标：102,-3⎛⎫ ⎪⎝⎭，10-4,-3⎛⎫ ⎪⎝⎭，()-2,2． 【分析】（1）根据矩形的性质，可得A ，C ，根据AE 的长，可得E 点坐标，根据待定系数法，可得答案；（2）①先求出点D 的坐标()2,2-得OC CD =，45CDO COD ∠=∠=︒，由//PF y ，所以45PAQ COD ∠=∠=︒，根据等腰直角三角形的性质，可得答案；②根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PF ，根据等腰直角三角线的性质，可得l ，根据二次函数的性质，可得答案；（3）分两种情况：EC 平行四边形的边长或是对角线两种情况讨论，根据平行四边形的对角顶点的横坐标的和相等，可得N 点的横坐标，根据与函数值的对应关系，可得答案．【详解】解：（1）∵矩形OABC 中，点()B 1,21,2OA OC ∴==()()1,0,0,2A C ∴4AE =()3,0E ∴-∴设()()()-130y a x x a =+≠，将()0,2C 代入得：()()20-103a =+，2-3a ∴=， ()()2224-13-2333y x x x x =-+=-+∴ （2）①P Q FQ =证：抛物线的对称轴为直线1x =-由对称性可知点D 的坐标为()2,2-2CO CD ∴== 45COD ∴∠=︒．//PF y 轴 45PFQ COD ∴∠=∠=︒.PQ OD ⊥ 90PQF ∴∠=︒.45QPF PFQ ∴∠=︒=∠ FQ PQ ∴=.②由题意，得224,--233m P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭点D 的坐标为()2,2-,∴直线OD 的表达式：y x =- .(),F m m ∴-.222421--223333m m m m m PF ∴=++=--+. 由①得：PFQ ∆为等腰直角三角形22222121492--2-22333448l PQ PF m m m ===+++∴（）. 2-03a =< , l ∴的最大值为49248． （3）存在，理由如下： 抛物线的对称轴为3112x -+==-， 设224,233N s s s ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，如图所示， 以CE 为边长的1122,CEN M CEM N ，根据平行四边形的对角顶点的横坐标的和相等∴ 在11CEN M 中，由()-3+10s -=+，解得4s =-，1104,3N ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭， 在22CEM N 中，由310s -+=-+，解得2s =，2102,3N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭， 以CE 对角线的33EM CN ，根据平行四边形的对角顶点的横坐标的和相等，()301s ∴-+=+-，解得2s =-，()32,2N ∴-综上，点N 的坐标：（2，103-），（-4，103-），（-2，2）． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）①的关键是利用等腰直角三角形的性质；解②的关键是利用二次函数的性质；解（3）的关键是利用平行四边形的对角顶点的横坐标的和和相等得出N 点的横坐标，要分类讨论，以防遗漏．。

22.1二次函数图像性质 综合练习题(附答案)1、函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 。

2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）。

4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式。

5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积。

6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6。

求：（1）求出此函数关系式。

（2）说明函数值y 随x 值的变化情况。

7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值。

2、()k h x a y +-=2的图象与性质 1、请写出一个以（2， 3）为顶点，且开口向上的二次函数： 。

2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝ 时，y 有最小值。

3、函数 y ＝12 (x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大。

4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到。

5、已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是6、如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<17、已知函数()9232+--=x y 。

（1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当x= 时，抛物线有最 值，是 。