甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试(一)数学(文)试题 Word版含答案

2020年高考（文科）数学一诊试卷一、选择题.1．已知集合A ＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，2，4} B ．{2，4} C ．{1，3，5} D ．{1，2，3，4，5}2．已知复数z =5i2−i+2，则|z |＝（ ） A ．√5B ．5C ．13D ．√133．已知非零向量a →，b →，给定p ：∃λ∈R ，使得a →=λb →，q ：|a →+b →|=|a →|+|b →|，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若2sin 5π12cos7π12=1−tan 2α2tanα2，则tan α＝（ ）A ．4B ．3C ．﹣4D ．﹣35．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（ ） A ．√52B ．√3C ．√5D ．2√36．已知集合A ={π6，5π6，7π6，11π6，13π6}，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） A ．110B ．25C ．35D ．3107．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份 1 2 3 4 5 羊只数量（万只） 1.40.90.750.60.3草地植被指数1.14.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．38．已知函数f(x)=ln(√x2+1)，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），c=f(log133)，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．√32B．√22C．√33D．1310．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（12，34]B．（12，54]C．（54，32]D．（54，52]11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．1+2√5B．2√5C．√17D．512．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．1eD．−1e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={2x ，x ＜12x +1，x ≥1，则f(f(log 232))= ．14．已知向量a →，b →满足|b →|=√2，向量a →，b →夹角为120°，且（a →+b →）⊥b →，则向量|a →+b →|＝ ．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且c 2=a 2+b 2−√2ab ，a ＝8，sin A2=13，则c ＝ ．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF ，侧棱AA '、BB '、CC '、DD '、EE '、FF '相互平行且与平面ABCDEF 垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B ′C ′D ′＝109°28′16''．已知一个房中BB '＝5√3，AB ＝2√6，tan54°44′08''=√2，则此蠊房的表面积是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在等差数列{a n }中，a 1＝﹣8，a 2＝3a 4． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =4n(12+a n)(n ∈N ∗)，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n =95，求n 的值．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，PA ＝AB ＝1，点A 到平面PBC 的距离为√33，且直线AC 与PB 垂直．（Ⅰ）在棱PD 找点E ，使直线PB 与平面ACE 平行，并说明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P ﹣EAC 的体积．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为x1和x2，若|x1−x2|＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算x1和x2（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82820．已知点F 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M 、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM ∥直线BN ，直线AN 、BM 的斜率分别为k 1和k 2，求证：k 1•k 2＝e 2﹣1（e 为椭圆的离心率）． 21．已知函数f(x)=2√3x −alnx −12x 2+12（a ∈R 且a ≠0）．（Ⅰ）当a =2√3时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y ＝f （x ）有两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）＜9﹣lna ．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1−√22ty =2+√22t （t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2√2cos(α+π4)，曲线C 2的直角坐标方程为y =√4−x 2． （Ⅰ）若直线l 与曲线C 1交于M 、N 两点，求线段MN 的长度；（Ⅱ）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，点P 在曲线C 2上，求AB →⋅AP →的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ． （Ⅰ）求不等式f （x ）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{2，4}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．已知复数z=5i2−i+2，则|z|＝（）A．√5B．5C．13D．√13【分析】利用复数的运算法则求出z，再求其模长即可．解：因为复数z=5i2−i+2=5i(2+i)(2−i)(2+i)+2＝i（2+i）+2＝1+2i；∴|z|=√12+22=√5；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，复数的模长，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知非零向量a→，b→，给定p：∃λ∈R，使得a→=λb→，q：|a→+b→|=|a→|+|b→|，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由q可得向量a→，b→同向共线，进而判断出关系．解：由q可得向量a→，b→同向共线，∴q⇒p，反之不成立．∴p 是q 的必要不充分条件． 故选：B ．【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．若2sin 5π12cos7π12=1−tan 2α2tanα2，则tan α＝（ ）A ．4B ．3C ．﹣4D ．﹣3【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得tan α的值． 解：若2sin5π12cos7π12=1−tan 2α2tanα2，即2cosπ12•（﹣sinπ12）＝2•1tanα，即﹣sinπ6=2cosαsinα=−12， ∴cosαsinα=−14，故tan α＝﹣4，故选：C ．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题． 5．已知双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（ ） A ．√52B ．√3C ．√5D ．2√3【分析】根据题意可知（2，﹣1）在y =−bax 上，可得a 2＝4b 2，即可得到离心率． 解：由题可知（2，﹣1）在双曲线的渐近线y =−bax 上，则a ＝2b ，即a 2＝4b 2，所以e =√c 2a 2=√a 2+b 2a2=√52， 故选：A ．【点评】本题考查双曲线离心率的求法，根据条件表示出a 、b 关系是关键，属于中档题． 6．已知集合A ={π6，5π6，7π6，11π6，13π6}，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ）A ．110B ．25C ．35D ．310【分析】从A 中任选两个角，基本事件总数n =C 52=10，其正弦值相等包含的基本事件个数m =C 41=4，由此能求出其正弦值相等的概率． 解：∵集合A ={π6，5π6，7π6，11π6，13π6}， sinπ6=sin5π6，sinπ6=sin 13π6，sin 5π6=sin 13π6，sin 7π6=sin 11π6， 从A 中任选两个角，基本事件总数n =C 52=10， 其正弦值相等包含的基本事件个数m =C 41=4， ∴其正弦值相等的概率是p =m n =410=25． 故选：B ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份 1 2 3 4 5 羊只数量（万只） 1.40.90.750.60.3草地植被指数1.14.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r 1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r 2，则|r 1|＜|r 2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可．解：对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以①错误；对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为r2，其相关性更强，所以|r1|＜|r2|，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，所以③错误；综上知，正确的判断序号是②，共1个．故选：B．【点评】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，是基础题．3)，则a、8．已知函数f(x)=2+1)，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），c=f(log13b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a3=−1，由此能比较三个数的大小．【分析】推导出0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，log13解：∵函数f(x)=2+1)的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞），3=−1，0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，log133)，∵a＝f（0.20.2），b＝f（log34），c=f(log13∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°，则异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为（ ） A ．√32B ．√22C ．√33D ．13【分析】建立直角坐标系．不妨设OB ＝1．高和底面的半径相等，得OE ＝OB ＝OA ，OA ⊥底面DEB ，利用向量夹角公式即可得出． 解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB ＝1．因为高和底面的半径相等，∴OE ＝OB ＝OA ，OA ⊥底面DEB ．∵点D 为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°， ∴AB ＝AD ＝DB ； ∴D 为BÊ的中点 则O （0，0，0），B （0，﹣1，0），D （1，0，0），A （0，0，1），E （0，1，0）， ∴AB →=（0，﹣1，﹣1），DE →=（﹣1，1，0）， ∴cos ＜AB →，DE →＞=|AB →⋅DE→|AB →|⋅|DE →||=12，∴异面直线AM 与PB 所成角的大小为π3． ∴异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为√32．故选：A ．【点评】本题考查了异面直线所成的角，本题转化为向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数f （x ）＝sin ωx （sin ωx +cos ωx ）（ω＞0），若函数f （x ）的图象与直线y ＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是 A ．（12，34]B ．（12，54]C ．（54，32]D ．（54，52]【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，再把问题转化为sin （2ωx −π4）=√22有三个根，借助于正弦函数的性质即可求解．解：因为函数f （x ）＝sin ωx （sin ωx +cos ωx ）=12（1﹣cos2ωx ）+12sin2ωx =√22sin（2ωx −π4）+12（ω＞0），∵函数f （x ）的图象与直线y ＝1在（0，π）上有3个不同的交点； 即√22sin （2ωx −π4）+12=1有3个根；∴sin （2ωx −π4）=√22有三个根；∵x ∈（0，π）；∴2ωx −π4∈（−π4，2ωπ−π4）； ∵2π+π4＜2ωπ−π4≤2π+3π4⇒54＜ω≤32． 故选：C ．【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数以及方程根的个数问题的求解，属于综合性题目．11．已知点M （﹣4，﹣2），抛物线x 2＝4y ，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 做PQ ⊥l ，点Q 为垂足，过P 作抛物线的切线l 1，l 1与l 交于点R ，则|QR |+|MR |的最小值为（ ） A ．1+2√5B ．2√5C ．√17D ．5【分析】画出图形，设出P 的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR |+|MR |的最小值就是MF 的距离即可． 解：设P （m ，m 24），则过P 的切线的斜率为：k =m 2，Q （m ，﹣1），k PQ =−2m ，k PQ＞k ＝﹣1，根据抛物线的定义，|PF |＝|PQ |． l 1为FQ 的垂直平分线，|RF |＝|RQ |，|QR |+|MR |的最小值为|MF |=√(−4−0)2+(−2−1)2=5， 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想计算能力，是中档题．12．已知定义在R 上的函数f （x ），f '（x ）是f （x ）的导函数，且满足xf '（x ）﹣f （x ）＝x 2e x ，f （1）＝e ，则f （x ）的最小值为（ ） A ．﹣eB ．eC ．1eD ．−1e【分析】构造函数F(x)=f(x)x ，则F′(x)=xf′(x)−f(x)x2=e x ，设F （x ）＝e x +c ，即f （x ）＝xe x +cx ，又f （1）＝e 得c ＝0，所以f （x ）＝xe x ，再利用导数即可求得f （x ）的最小值．解：由xf '（x ）﹣f （x ）＝x 2e x ，构造函数F(x)=f(x)x，则F′(x)=xf′(x)−f(x)x2=e x ， 所以可以设F （x ）＝e x +c ，即f(x)x=e x +c ，f （x ）＝xe x +cx ，又因为f （1）＝e 得c ＝0，所以f （x ）＝xe x ， 由f '（x ）＝e x （x +1）＝0得x ＝﹣1，所以当x ＜﹣1时f '（x ）＜0，即f （x ）在（﹣∞，﹣1）上为减函数， 当x ＞﹣1时f '（x ）＞0，f （x ）在（﹣1，+∞）上为增函数， 所以f(x)min =f(−1)=−1e ，故选：D ．【点评】本题主要考查了构造函数，以及利用导数研究函数的最值，是中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知函数f(x)={2x ，x ＜12x +1，x ≥1，则f(f(log 232))= 4 ．【分析】先求出f （log 232）=2log 232=32，从而f(f(log 232))=f （32），由此能求出结果．解：∵函数f(x)={2x ，x ＜12x +1，x ≥1，∴f （log 232）=2log 232=32，∴f(f(log 232))=f （32）＝2×32+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知向量a →，b →满足|b →|=√2，向量a →，b →夹角为120°，且（a →+b →）⊥b →，则向量|a →+b →|＝ √6 ．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得|a →|•|b →|cos ＜a →，b→＞=−2，及|a →|的值，而|a →+b →|=√(a →+b →)2展开可求出其值． 解：因为（a →+b →）⊥b →，所以（a →+b →）•b →=0，即a →⋅b →+b →2＝0，因为|b →|=√2，向量a →，b →夹角为120°，整理可得−b →2＝|a →|•|b →|cos ＜a →，b →＞=−2， 即﹣2＝|a →|⋅√2•（−12），所以|a →|＝2√2，所以|a →+b →|=√(a →+b →)2=√a →2+b →2+2a →⋅b →=√8+2+2⋅(−2)=√6故答案为：√6．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，及和向量的模的求法，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且c 2=a 2+b 2−√2ab ，a ＝8，sin A 2=13，则c ＝ 9 ．【分析】根据c 2=a 2+b 2−√2ab 可求出cos C ，进而求出sin C ．由sin A 2=13可得sin A ，最后利用正弦定理求出c 的值．解：由c 2=a 2+b 2−√2ab 得cosC =a 2+b 2−c 22ab =√2ab 2ab =√22，∴sinC =√1−cos 2C =√22．显然A2∈(0，π2)，结合sin A 2=13，∴cos A2=√1−sin2A2=2√23，∴sinA=2sin A2cos A2=4√29．∵a＝8，由正弦定理得asinA =csinC，即4√29=√22，∴c＝9．故答案为：9．【点评】本题考查正余弦定理的应用及二倍角公式等知识点．同时考查学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．属于基础题．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5√3，AB＝2√6，tan54°44′08''=√2，则此蠊房的表面积是216√2．【分析】连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6√2，由OB′C′D′为菱形，可求OC′＝2•12B′D′tan54°44′08″=6，B′C′＝3√3，进而可求CC′，可求S梯形BB′CC′，即可计算得解S表面积的值．解：连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6√2，∵OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''=√2，∴OC′＝2•12B′D′tan54°44′08″=2×3√22=6，B′C′＝3√3，∴CC′＝BB′−√B′C′2−BC2=4√3，∴S 梯形BB ′CC ′=2√6×(5√3+4√3)2=27√2，∴S 表面积＝6×27√2+3×12×6×6√2=216√2． 故答案为：216√2．【点评】本题主要考查了勾股定理在解三角形中的应用，考查了菱形的性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在等差数列{a n }中，a 1＝﹣8，a 2＝3a 4． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =4n(12+a n)(n ∈N ∗)，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n =95，求n 的值．【分析】（Ⅰ）先设公差为d ，由a 1＝﹣8，a 2＝3a 4，求出d ，进而求出a n ；（Ⅱ）先利用（1）中求出的a n 求b n ，再利用裂项相消法求T n ，从而解决n 的值得问题． 解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差是d ，由a 1＝﹣8，a 2＝3a 4得：﹣8+d ＝3（﹣8+3d ）解得d ＝2，所以a n ＝﹣10+2n ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n ＝﹣10+2n ，∴b n =4n(12+a n )=4n(2n+2)=2(1n −1n+1)，所以T n ＝2[（11−12）+（12−13）+…+（1n−1n+1）]=2nn+1， 由T n =95解得n ＝9．【点评】本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，属于基础题．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，PA ＝AB ＝1，点A 到平面PBC 的距离为√33，且直线AC 与PB 垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．【分析】（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．连接BD，交AC点O，说明OE∥PB，然后证明PB与平面ACE平行（Ⅱ）说明AC⊥平面PAB，则AC⊥AB，设AC＝x，通过等体积法转化求解即可．解：（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．证明：连接BD，交AC点O，则点O为BD的中点，因为点E为PD中点，故OE为△PDB的中位线，则OE∥PB，OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意AC⊥PB，PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥PA，PA∩PB ＝P，所以AC⊥平面PAB，则AC⊥AB设AC＝x，V p−ACB=V A−PBC=13×12×x×1×1=1×12×√2×√x2+12×√33，得AC＝1，3则V P−EAC=12V P−ACD=12×13×12×1×1×1=112．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理与形状的应用，是基本知识的考查．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I ）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记 不标记 合计 坡腰 坡顶 合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？ （Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为x 1和x 2，若|x 1−x 2|＞20cm ，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算x 1和x 2（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【分析】（I ）利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值； （Ⅱ）由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）计算x 1和x 2，求出|x 1−x 2|，即可得出结论． 解：（I ）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C ， 则P （C ）＝0.08+0.16+0.36＝0.6； （Ⅱ）由频率分布表，填写列联表如下：标记 不标记 合计 坡腰 30 20 50 坡顶 20 30 50 合计5050100由表中数据，计算K 2=100×(30×30−20×20)250×50×50×50=4＞3.841，所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关；（Ⅲ）计算x 1=0.08×5+0.16×15+0.36×25+0.24×35+0.12×45+0.04×55＝25.8（cm ）， x 2=0.04×5+0.12×15+0.24×25+0.32×35+0.20×45+0.08×55＝32.6（cm ）， 且|x 1−x 2|＝4.8＜20，所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是中档题． 20．已知点F 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M 、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM ∥直线BN ，直线AN 、BM 的斜率分别为k 1和k 2，求证：k 1•k 2＝e 2﹣1（e 为椭圆的离心率）．【分析】（Ⅰ）由题意可知，a +c ＝3，a ﹣c ＝1，可求出a ，c 的值，再利用b 2＝a 2﹣c 2求出b 的值，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率也为k ，所以直线AM 的方程为y ＝k （x ﹣2），直线BN 的方程为y ＝kx −√3，联立直线AM 与椭圆方程求出点M 的坐标，联立直线BN 与椭圆方程求出点N 的坐标，再利用斜率公式分别求出k 1，k 2，化简k 1•k 2=−14，从而得到k 1•k 2＝e 2﹣1．解：（Ⅰ）由题意可知，{a +c =3a −c =1，解得{a =2c =1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A （2，0），B （0，−√3）， 设直线AM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率也为k ，故直线AM 的方程为y ＝k （x ﹣2），直线BN 的方程为y ＝kx −√3， 由{3x 2+4y 2=12y =k(x −2) 得：（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0， ∴2x M =16k 2−123+4k2，∴x M =8k 2−63+4k2，y M =−12k 3+4k2，∴M(8k 2−63+4k2，−123+4k2)，由{3x 2+4y 2=12y =kx −√3 得：(3+4k 2)x 2−8√3kx =0， ∴x N =8√3k 3+4k2，y N=4√3k 2−3√33+4k2，∴N(8√3k3+4k2，4√3k 2−3√33+4k2)，∴k 1=4√3k 2−3√33+4k 283k 3+4k2=√3(4k 2−2(4k 2−43k+3)， k 2=−12k 3+4k2+√38k 2−63+4k2=√3(4k 2−4√3k+3)2(4k 2−3)， ∴k 1k 2=√3(4k 2−2(4k 2−4√3k+3)•√3(4k 2−4√3k+3)2(4k 2−3)=−34，又∵e =c a =12， ∴k 1•k 2＝e 2﹣1．【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理得应用，是中档题．21．已知函数f(x)=2√3x −alnx −12x 2+12（a ∈一、选择题且a ≠0）．（Ⅰ）当a =2√3时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y ＝f （x ）有两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）＜9﹣lna ．【分析】（Ⅰ）因为a =2√3时，f ′（x ）＝2√3−2√3x−x ⇒f ′（1）＝﹣1，易求f （1）＝2√3，从而可得曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由题意可知f ′（x ）＝2√3−a x −x =−x 2+2√3−a x（x ＞0），令﹣x 2+2√3x ﹣a ＝0，通过对△＝12﹣4a符号的分析，即可求得函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）依题意，f′（x）=−x2+2√3−ax=0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2√3，x1•x2＝a＞0，f（x1）+f（x2）＝2√3（x1+x2）﹣aln（x1x2）−12（x12+x22）+1＝﹣alna+a+7，利用分析法，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，通过对其导数的分析，存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，且g（x0）为（1，2）上的最小值，g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0+1x0），利用对勾函数的单调性即可证得结论成立．解：（Ⅰ）因为a=2√3时，f(x)=2√3x−2√3lnx−12x2+12，所以f′（x）＝2√3−2√3x−x，那么f′（1）＝﹣1，f（1）＝2√3，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2√3=−（x﹣1），即x+y ﹣2√3−1＝0，（Ⅱ）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝2√3−ax−x=−x2+2√3−ax，由﹣x2+2√3x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a＞0，即a＜3时，有x1=√3+√3−a，x2=√3−√3−a，x1＞x2，又当x∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数．又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数．当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，综上所述，当a＜0时，在（0，3+√3−a），f（x）为增函数；在（3+√3−a，+∞），f（x）为减函数；当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3−√3−a）和（3+√3−a，+∞）上为减函数，在（3−√3−a，3+√3−a），f（x）为增函数；当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数．（Ⅲ）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=−x2+2√3−ax=0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2√3，x1•x2＝a＞0，即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2√3（x1+x2）﹣aln（x1x2）−12（x12+x22）+1＝﹣alna+a+7，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则g′（x）＝1+lnx−1x−1＝lnx−1x，且在（0，3）上为增函数，又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln2−12＞0，所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，即lnx0=1x0，且x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0+1x0），又因为x0∈（1，2），则x0+1x0∈（2，52），所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查导数的几何意义的应用，突出考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查了逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−1−√22ty=2+√22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ= 2√2cos(α+π4)，曲线C2的直角坐标方程为y=√4−x2．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C2上，求AB→⋅AP→的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围．解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为{x =−1−√22t y =2+√22t（t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y ﹣1＝0，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2√2cos(α+π4)，转换为直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x +2y ＝0，转换为标准式为（x ﹣1）2+（y +1）2＝2，所以圆心（1，﹣1）到直线x +y ﹣1＝0的距离d =2=√22， 所以弦长|MN |＝2√(√2)2−(22)2=√6． （Ⅱ）线C 2的直角坐标方程为y =√4−x 2．转换为直角坐标方程为x 2+y 2＝4，转换为参数方程为{x =2cosθy =2sinθ（0≤θ≤π）．由于A （1，0），B （0，1），点P 在曲线C 2上，故P （2cos θ，2sin θ），所以AB →=(−1，1)，AP →=(2cosθ−1，2sinθ)，（0≤θ≤π），所以AB →⋅AP →=2√2sin(θ−π4)+1，故：−√22≤sin(θ−π4)≤1， 所以AB →⋅AP →∈[−1，2√2+1]．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ．（Ⅰ）求不等式f （x ）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式，最后把每种情况的解集取并集即可；（Ⅱ）易知f （x ）min ＝2，g （x ）≥|2a +2|+a ，结合题意可知2≥|2a +2|+a ，由此求得实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）f(x)={−3x −1，x ≤−1x +3，−1＜x ＜13x +1，x ≥1，∴f （x ）＞4即为{x ≤−1−3x −1＞4或{−1＜x ＜1x +3＞4或{x ≥13x +1＞4， ∴x ＜−53或x ∈∅或x ＞1，∴不等式的解集为(−∞，−53)∪(1，+∞)； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x ＝﹣1时，f （x ）min ＝2，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ≥|（x +2）﹣（x ﹣2a ）|+a ＝|2a +2|+a ，由题意，对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，故f （x ）min ≥g （x ）min ，即2≥|2a +2|+a ，解得﹣4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围为[﹣4，0]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，同时也涉及了绝对值不等式性质的运用，属于基础题．。

2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1,2,3},B={x|−1≤x<3}则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. ⌀2.已知z=1−i，则|z|等于()A. 2B. √2C. 1D. 03.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(2,m)，则“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，则tan2α=()A. −4√3B. −√32C. 4√3 D. √325.若双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(√3,1)，则该双曲线的离心率为()A. √5B. 2C. √3D. √26.已知函数f(x)=cosπx4，集合A={2,3，4，5，6}，现从集合A中任取两数m，n，且m≠n，则f(m)⋅f(n)≠0的概率为()A. 310B. 715C. 35D. 7107.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是()A. DB. EC. FD. A8. 已知函数，若f(a)=12，则a 的值为( )A. −1B. √2C. −1或√2D. −1或129. 如图，圆锥的底面直径AB =4，高OC =2√2，D 为底面圆周上的一点，且∠AOD =2π3，则直线AD 与BC 所成的角为( )A. π6B. π3C. 5π12D. π210. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx 的最小正周期为π.则函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围是( )A. [−2,2]B. [−2,√3]C. [−√3,2]D. [−√3,√3]11. 过焦点为F 的抛物线y 2=12x 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若直线NF 的斜率为−√33，则|MF|=( )A. 2B. 2√3C. 4D. 4√312. 函数f(x)=xe −x ，x ∈[0,4]的最小值为( )A. 0B. 1eC. 4e 4D. 2e 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)={−e x ,x >0x 2−1,x ≤0，则f(f(ln2))=________．14. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(m,−6)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|2a ⃗ +b ⃗ |=______．15. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2+b 2−c 2=√3ab ，则∠C = ． 16. 如图所示，在△ABC 中，C =π3，BC =4，点D 在边AC 上，AD =DB ， DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE =2√2，则cos A =________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等差数列{a n}中，a4+a5=4a2,2a3−a6=1.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+118.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PC=2√7，E，F分别是棱PC，AB的中点．(1)证明：直线EF//平面PAD；(2)求三棱锥P−AEF的体积．19.某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据(单位：小时).根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．(1)估计该校学生每周平均使用手机上网时间(每组数据以组中值为代表)；(2)估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；(3)将每周使用手机上网时间在(4,12]内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在(0,4]内的定义为“不长时间使用手机上网”.在样本数据中，有25名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机15合计25．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.10.050.0100.005k0 2.7063.8416.6357.87920.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F1(2,0)，离心率为e．(1)若e=√22，求椭圆的方程；(2)设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．①证明点A在定圆上；②设直线AB的斜率为k，若k≥√3，求e的取值范围．21.已知函数．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性与极值点．22. 已知过点P (0,−1)的直线的参数方程为{x =12ty =−1+√32t(t 为参数)，在以坐标原点OI 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)．(1)当a =2时，求不等式f(x)>8的解集；(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题，利用交集定义直接求解．解：∵集合A={0,1，2，3}，B={x|−1≤x<3}，∴A∩B={0,1，2}．故选：B．2.答案：B解析：解：∵z=1−i，∴|z|=√12+(−1)2=√2故选：B由条件代入复数的模长公式可得．本题考查复数的模长公式，属基础题．3.答案：B解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，可得b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m，即可判断出结论．解：a⃗+b⃗ =(1,3+m)，∵b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，∴b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m=−1或−2，∴“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的充分不必要条件．故选：B．4.答案：A解析：本题考查同角三角函数的基本关系，是基础题．利用同角三角函数的基本关系式，求出sinα，然后得到tanα，即可求解，解：由有sinαcosπ3−cosαsinπ3=−3(cosαcosπ6+sinαsinπ6)，故12sinα−√32cosα=−3√32cosα−32sinα，则有2sinα=−√3cosα，显然cosα≠0，所以tanα=−√32，故tan2α=2tanα1−tan2α=−√31−34=−4√3，故选A．5.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．由条件求得b=√3a，进一步即可求离心率．解：双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线：by−ax=0，渐近线经过点(√3,1)，可得b=√3a，即b2=3a2，可得c2−a2=3a2，所以：c2=4a2，c=2a，所以双曲线的离心率为：e=ca=2．故选：B．6.答案：A解析：解：∵集合A={2,3，4，5，6}，现从集合A中任取两数m，n，且m≠n，∴基本事件总数N=A52=20，∵函数f(x)=cosπx 4，∴f(m)⋅f(n)≠0包含的基本事件有： (3,4)，(4,3)，(3,5)，(5,3)，(4,5)，(5,4)， 共有M =6个，∴f(m)⋅f(n)≠0的概率为p =M N=620=310．故选：A ．先求出基本事件总数，再用列举法求出f(m)⋅f(n)≠0包含的基本事件的个数，由此能求出f(m)⋅f(n)≠0的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．7.答案：B解析：本题主要考查回归直线和相关系数，属于基础题． 根据散点图分析即可得解．解：因为点E 到回归直线的距离最远，所以去掉点E ，余下的5个点所对应的数据的相关系数最大． 故选B ．8.答案：C解析：本题考查分段函数，已知函数值求解自变量的值，属于基础题． 根据分段函数讨论计算f(a)=12可得结论． 解：当a >0时，f(a)=12，即，解得a =√2，当a ⩽0时，f(a)=12，即2a =12，解得a =−1， 综上，a =√2或a =−1． 故选C ．9.答案：B解析：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．取AB 弧的中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两条直线AD 与BC 所成的角．解：如图，取AB 弧的中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系．∵AB =4，OC =2√2，∠AOD =2π3，∴A(0,−2,0)，B(0,2，0)，C(0,0，2√2)， D(√3,1，0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2√2)，∴cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= 62√3×2√3= 12， ∴空间中两条直线AD 与BC 所成的角为π3， 故选：B.10.答案：C解析：解：∵函数f(x)=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)的最小正周期为2πω=π， ∴ω=2，函数f(x)=2sin(2x +π6). ∵x ∈[−π4,π4]，∴2x +π6∈[−π3,2π3]，∴2sin(2x +π6)∈[−√3,2]．即函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围是[−√3,2]，故选：C．根据函数的最小正周期为π求得ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围．本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．11.答案：C解析：解：抛物线y2=12x的焦点坐标(3,0)，则DF=6，直线NF的斜率为−√33，可得DN=2√3，则抛物线y2=12x可得：12=12x，解得x=1，所以M(1,2√3)，|MF|=|MN|=3+1=4．故选：C．利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解|MF|即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.答案：A解析：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于基础题．求出函数的导数，根据其单调性即可求解函数的最值．解：因为f′(x)=1−xe x，当x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1,4]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，因为f(0)=0，f(4)=4e4>0，所以当x=0时，f(x)有最小值，且最小值为0，故选A．13.答案：3解析：本题考查分段函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．判断ln2的范围，求出，即可求出结果．解：∵f(x)={−e x ,x >0x 2−1,x ≤0，， ，∴f(f(ln2))=f(−2)=4−1=3．故答案为3．14.答案：13解析：解：∵向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(m,−6)，a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b⃗ =2m −18=0， 解得m =9，∴2a ⃗ +b ⃗ =(13,0)|2a ⃗ +b ⃗ |=√132+02=13．故答案为：13．由a ⃗ ⊥b ⃗ ，求出m =9，从而2a ⃗ +b ⃗ =(13,0)，由此能求出|2a ⃗ +b ⃗ |的值．本题考查向量的模的求法，考查平面向量坐标运算法则，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.答案：π6解析：本题考查余弦定理，属于基础题．由余弦定理即可求解．解： 因为a 2+b 2−c 2=√3ab ，所以由余弦定理有cosC =a 2+b 2−c 22ab =√3ab 2ab =√32，又0<C <π，所以C =π6．故答案为π6．16.答案：√64解析：由已知可得∠A =∠ABD ，∠BDC =2∠A ，设AD =BD =x ，由正弦定理在△BCD 中4sin2A =x sin60°，在△AED 中，可得2√2sinA =x 1，联立即可解得cos A 的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．解：∵C =π3，BC =4，点D 在边AC 上，AD =DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，DE =2√2， ∴∠A =∠ABD ，∠BDC =2∠A ，设AD =BD =x ，∴在△BCD 中，BC sin∠CDB =BD sinC ，可得：4sin2A =x sin60°，①在△AED 中，ED sinA =AD sin∠AED =，可得：2√2sinA =x 1，② ∴联立可得：42sinAcosA=2√2sinA √32，解得：cosA =√64． 故答案为√64．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵由{a 4+a 5=4a 22a 3−a 6=1, ∴得{2a 1−3d =0a 1−d =1, ∴解得a 1=3,d =2，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n +1;(2)∵b n =1a n a n+1 =1(2n +1)(2n +3)=12(12n+1−12n+3)，∴{b n }的前n 项和：S n =12(13−15+15−17+⋯+12n +1−12n +3) =12(13−12n+3)=n 6n+9， ∴S n =n 6n+9．解析：本题考查了等差数列的通项公式，以及利用裂项相消法求数列的和，属于中档题．(1)由条件，得到{2a 1−3d =0a 1−d =1，解得a 1=3,d =2，从而得到通项公式； (2)由题意得到b n =1a n a n+1=12(12n+1−12n+3)，利用裂项相消法，得到数列的和．18.答案：(1)证明：如图，取PD 中点为G ，连结EG ，AG ，则EG//CD,EG =12CD,AF//CD,AF =12CD ，所以EG 与AF 平行与且相等，所以四边形AGEF 是平行四边形，所以EF//AG ，AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF//平面PAD ．(2)连结AC ，BD ，交于点O ，连结EO ，因为E 为PC 的中点，所以EO 为△PAC 的中位线，又因为PA ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ，即EO 为三棱锥E −AFC 的高．在菱形ABCD 中可求得AC =2√3，在Rt △PAC 中，PC =2√7，所以PA =√PC 2−AC 2=4,EO =2所以S △ACF =12S △ABC2=12×12×AB ×BCsin∠ABC =√32， 所以V C−AEF =V E−ACF =13S △ACF ×EO =13×√32×2=√33．解析：【试题解析】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力．(1)取PD 中点为G ，连结EG ，AG ，证明四边形AGEF 是平行四边形，得到EF//AG ，然后证明EF//平面PAD ．(2)连结AC ，BD ，交于点O ，连结EO ，说明EO 为三棱锥E −AFC 的高．通过V C−AEF =V E−ACF .转化求解即可．19.答案：解：(1)根据频率分布直方图，计算 x =1×0.025×2+3×0.100×2+5×0.150×2+7×0.125×2+9×0.075×2+11×0.025×2=5.8；估计该校学生每周平均使用手机上网时间为5.8小时；(2)由频率分布直方图得1−2×(0.100+0.025)=0.75，估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率为0.75；(3)根据题意填写2×2列联表如下，由表中数据，计算K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(65×15−10×10)275×25×75×25≈21.78>3.841， ∴有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．解析：(1)根据频率分布直方图，计算平均数即可；(2)由频率分布直方图求得对应的频率值； (3)根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．20.答案：解：(1)由e =√22=c a，c =2，得a =2√2，b =√a 2−c 2=2． 故所求椭圆方程为x 28+y 24=1．(2)设A(x 1,y 1)，则B(−x 1,−y 1)，故M(x 1+22,y 12)，N(2−x 12,−y12)． ①由题意，得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.化简，得x 12+y 12=4，∴点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上． ②设A(x 1,y 1)，则{y 1=kx 1x 12a 2+y 12b 2=1x 12+y 12=4得到1a 2+k 2b 2=14(1+k 2)．将e=ca =2a，b2=a2−c2=4e2−4，代入上式整理，得k2(2e2−1)=e4−2e2+1；∵e4−2e2+1>0，k2>0，∴2e2−1>0，∴e>√22．∴k2=e4−2e2+12e2−1≥3，化简得{e4−8e2+4≥02e2−1>0，解之得12<e2≤4−2√3，√22<e≤√3−1．故离心率的取值范围是(√22,√3−1]．解析：(1)利用离心率的计算公式e=ca及b2=a2−c2即可得出椭圆的标准方程；(2)利用①的结论，设出直线AB的方程与椭圆的方程联立即可得出关于a、b与k的关系式，再利用斜率与a、b的关系及其不等式的性质即可得出．熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、参数a、b、c的关系、中点坐标公式、直线方程、离心率的计算公式、不等式的基本性质是解题的关键．21.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=x+1x ，f′(x)=1−1x2，则f(2)=2+12=52，f′(2)=1−14=34，∴切线方程为y−52=34(x−2)，整理得：3x−4y+4=0；(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a−1x +1−ax2=(x+a)(x−1)x2，当a≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，此时f(x)的极小值点为1，无极大值点；当a<0时，令f′(x)=0，x=−a或x=1，(i)若−1<a<0，则−a<1，f(x)在(0,−a)和(1,+∞)上单调递增，在(−a,1)上单调递减，此时f(x)的极小值点为1，极大值点为−a；(ii)若a =−1，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)无极值；(iii)若a <−1，则−a >1，f(x)在(0,1)和(−a,+∞)上单调递增，在(1,−a)上单调递减，此时f(x)的极小值点为−a ，极大值点为1．综上可得，当a ≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，此时f(x)的极小值点为1，无极大值点；当−1<a <0时，f(x)在(0,−a)和(1,+∞)上单调递增，在(−a,1)上单调递减，此时f(x)的极小值点为1，极大值点为−a ；当a =−1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)无极值；当a <−1时，f(x)在(0,1)和(−a,+∞)上单调递增，在(1,−a)上单调递减，此时f(x)的极小值点为−a ，极大值点为1．解析：本题考查导数的几何意义和曲线切线的求法，考查利用导数研究函数单调性、极值，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)当a =1时，直接求出f ′(x)从而确定f(2)和f ′(2)，利用点斜式方程即可求出切线方程；(2)分类讨论，当a ≥0时，当a <0时，再分情况讨论−1<a <0，a =−1，a <−1三种情况下，确定f(x)的单调性和极值点.22.答案：解：(1)曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)．∴2aρsinθ−ρ2cos 2θ=0．即x 2=2ay(a >0)．(2)将{x =12t y =−1+√32t代入x 2=2ay ， 得t 2−4√3at +8a =0，得{△=(−4√3a)2−4×8a >0t 1+t 2=4√3at 1t 2=8a.①． ∵a >0，∴解①得a >23．∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM|⋅|PN|，即|t 1−t 2|2=t 1t 2，∴(t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2，即(4√3a)2−40a =0，解得a =0或a =56．∵a >23， ∴a =56.解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线的参数方程及其应用，一元二次方程根与系数的关系的应用．(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；(2)利用直线和曲线的位置关系，把方程组转换为一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果． 23.答案：解：(1)f(x)>8即|x +1|+|x −2|>8，当x ≥2时，x +1+x −2>8，解得x >92；当−1<x <2时，x +1+2−x >8，解得x ∈⌀；当x ≤−1时，−x −1+2−x >8，可得x <−72．综上可得，原不等式的解集为{x|x >92或x <−72}；(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，可得f(x)min ≤32，由f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)≥|x +1−x +a|=|1+a|=a +1，当−1≤x ≤a 时，f(x)取得最小值a +1，由a+1≤3，2，可得0<a≤12].即a的范围是(0,12解析：本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用：求最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．(1)去绝对值，讨论x的范围，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f(x)min≤3，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值，解不等式可得a的范围．2。

甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试（二）数学（文）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()RA B =（ ）A.()1,3B.(]1,3C.[)3,+∞D.()3,+∞2.设复数z 满足(2)34z i i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A.b a > B.b a < C.b a <D.b a >4.已知α为锐角，3cos 5α=，则tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.13B.12C.2D.35.已知f （k ）＝k +（﹣1）k ，执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为4，则判断框内可填入的条件是（ ）A.s ＞3？B.s ＞5？C.s ＞10？D.s ＞15？6.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足MA MO= ，则·OM ON 的取值范围是（ ）A.[]0,2B.0,⎡⎣C.[]22-,D.-⎡⎣7.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A.13B.14C.15D.168.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式(2)5f x +<的解集为（ ）A.(3,7)-B.()4,5-C.(7,3)-D.()2,6-9.已知双曲线C ：22221x y a b-=，O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C 的两条渐近线交于A ，B 两点，若OAB ∆是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ）A.2213x y -= B.2213y x -=C.221124x y -=D.221412x y -= 10.甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m ，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n ，且m ，{}1,2,3n ∈，若1m n -≤，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A.16B.13C.23D.7911.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）A.35B. 45-C. 3-D. 3-12.已知函数f(x)=kx,g(x)=2lnx +2e,(1e≤x ≤e 2)，若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y =e 对称，则实数k 的取值范围是（ ）A. [−2e,−4e2] B. [−2e,2e] C. [−4e2,2e] D. [−4e 2,+∞)第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.已知多项式5432()254367f x x x x x x =--+-+，则(5)f =________． 14.设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为__________. 15.设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，若()()'1f x f x +>，()02020f =，则不等式()2019x x e f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为__________.16.已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，BC ＝3，PB ＝PC =，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为______．三、解答题（题型注释）ABCD 中，ADE ∆是等边三角形，侧面ADE ⊥底面ABCD ，其中//AB DC ，24BD DC ==，3AD =，5AB =.（Ⅰ）F 是EC 上一点，求证：平面BDF ⊥平面ADE ； （Ⅱ）求三棱锥C BDE -的体积. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =，()1310n n n S nS ++-=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若*112,n n n n a b n S S ++=∈N ，求证：123n b b b +++<.19.根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示．()1已知[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；()2该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，并在这5人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和为200元的概率．20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(2,2)A ，点B 在抛物线C 上，且满足2OF FB FA =-（O 为坐标原点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l D '，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线l D '与抛物线C 交于M ，N 两点，OPQ △的面积记为1S ，OMN 的面积记为2S ，求证：221211S S +为定值. 21.已知函数()2ln f x x x x =-+（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明当2a ≥时，关于x 的不等式()2112a f x x ax ⎛⎫<-+-⎪⎝⎭恒成立； 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 3的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，A 、B 均异于原点O ，且||AB =α的值． 23.已知函数()2f x x m x =--+（m R ∈），不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值.参考答案1.C【解析】1.先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R的范围,最后根据交集的含义计算()RA B ⋂的结果.因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,RA =-∞-⋃+∞,又因为()1,B =+∞,所以()[)3,RA B =+∞.故选：C. 2.B【解析】2.先根据(2)34z i i i +=-计算出复数z ，写出其共轭复数z ，即可根据复数的坐标表示选出答案。

甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试（一）数学试题（文）一､选择题1.设集合{|2}A x Z x =∈≤，2{|1}B y y x ==-，则A B ⋂的子集个数为（ ） A. 4 B. 8C. 16D. 32『答案』C 『解析』{}{|2}{|22}2,1,0.1,2A x Z x x Z x =∈≤=∈-≤≤=--，2{|1}{|1},B y y x y y ==-=≤ {}2,1,0,1,A B ∴⋂=--A B ⋂的子集个数为4216.=故选C.2.已知复数z 满足(4)1i z i +=+，则z 的虚部为（ ） A. i - B. iC.1-D. 1『答案』C『解析』(4)1i z i +=+， 141iz i i+∴+==-， 3z i ∴=--，∴复数z 的虚部为1-.故选：C.3.如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升. 其中错误的结论的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3『答案』A『解析』由图可知，一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好，故①正确； 二班的成绩有时高于年级整体成绩，有时低于年级整体成绩，特别是第六次成绩远低于 年级整体成绩，可知二班成绩不稳定，波动程度较大，故②正确； 三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，只有第六次高于年级整体成绩， 但在稳步提升，故③正确. ∴错误结论的个数为0. 故选：A. 4.我们从这个商标中抽象出一个图像如图，其对应的函数可能是( )A. ()211f x x =- B. ()211f x x =+C. ()11f x x =-D. ()11f x x =- 『答案』D『解析』由图像得函数的定义域为{}1x x ≠±，排除B,C. 由1()02f > 排除A. 故选：D.5.已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（ ） A.14B.12C.2D.4『答案』C『解析』由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==.故选：C6.已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）A. ()()()f b f a f c <<B. ()()()f c f b f a <<C. ()()()f c f a f b <<D. ()()()f a f b f c <<『答案』D『解析』因为0.50.71a -=>，01b <<，0c <，∴a b c >> 又()f x 在R 上是单调递减函数，故()()()f a f b f c <<. 故选:D. 7.设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A. 724-B. 524-C.524D.724『答案』D 『解析』1tan 2α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-，()4cos cos 5πββ+=-=-，()(0,βπ∈， 4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=，()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯，故选：D.8.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ､N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法错误的是（ ）A. MN ∥平面ADD 1A 1B. MN ⊥ABC. 直线MN 与平面ABCD 所成角为45°D. 异面直线MN 与DD 1所成角为60° 『答案』D『解析』如图，连结BD ，1A D ，由M ，N 分别为AC ，1A B 的中点知 1//MN A D ， 对A ，由1//MN A D ，从而MN ∥平面ADD 1A 1，A 正确；对B ，由AB ⊥面11ADD A ，可得AB ⊥1A D ，又1//MN A D ，得MN AB ⊥，B 正确； 对C ，由1//MN A D ，直线MN 与平面ABCD 所成角为145A DA ∠=︒，C 正确； 对D ，由1//MN A D ，直线MN 与DD 1所成角为11A DD ∠45=︒，D 错误； 故选：D.9.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A. B. C.D. 『答案』B『解析』设圆心坐标P 为（a ,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a =1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长为B ．10.已知线段4AB E F =,,是AB 垂直平分线上的两个动点，且||2,EF =AE BF ⋅的最小值（ ） A. 5- B. 3-C. 0D. 3『答案』A『解析』以AB 中点O 为原点，如图建立直角坐标系：则()2,0A -，()2,0B ，不妨设E 在F 的上方，则()0,E m ，()0,2F m -，()2,AE m =，()2,2BF m =--，()2242155AE BF m m m ⋅=-+-=--≥-.故选：A11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，122PF PF =，且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.C.D.『答案』B『解析』由题意，122PF PF =，122PF PF a -=，14PF a ∴=，22PF a =. 连接1MF 、2MF ，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，260MF N ∠=，1260F PF ∴∠=，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅，c ∴=，ce a∴== 故选B.12.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 30πB. 41πC. 30πD. 64π『答案』B『解析』根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O ABCD -，正方体的棱长为4，A ､D 为棱的中点，根据几何体判断：球心应该在过A ､D 的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO 的距离为x ，则到AD 的距离为4x -，∴222R x =+，2222(4)R x =+-， 解得出：32x =，22341()824R =+=， 该多面体外接球的表面积为：2441R ππ=. 故选：B. 二､填空题13.命题“000,sin cos 2x R a x x ∃∈+≥”为假命题，则实数a 的取值范围是____________．『答案』(『解析』由题命题“,sin cos 2x R a x x a ∀∈+<<<”为真命题，则2a <a 的取值范围是(14.在数列{a n }中，a 1=1，a 2=5，a n +2=a n +1-a n (n ∈N +)，则S 2020=_______. 『答案』9『解析』∵11a =，25a =，∴321514a a a =-=-=，∴432451a a a =-=-=-， ∴543145a a a =-=--=-，∴654514a a a =-=-+=-， ∴765451a a a =-=-+=，∴876145a a a =-=+=， ∴周期T =6， 因123456154(1)(5)(4)0a a a a a a +++++=+++-+-+-=，所以每个周期的和都为0，因此202012343360154(1)9S a a a a =++++⨯=+++-= 故答案为：915.设抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点A 为抛物线C 上一点，以F 为圆心，F A 为半径的圆交l 于B ､D 两点，若∠BFD =120°，∆ABD ，则p =_______.『答案』2『解析』令抛物线的准线l 与x 轴交于R , ∵120BFD ∠=，2BF DF AF p ===， ∴30BDF DBF ∠=∠=，又∵FR p =， ∴2BF DF AF p ===，||BD =， ∴A 到准线l 的距离2d AF p ==，∴211||222ABD S d BD p ∆=⨯⨯=⨯⨯==，解得p ，负值舍去.故答案为：2.16.黎曼函数（Riemannfunction ）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[]0,1上，其定义为：()[]1,,0,0,10,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数，是不可以再约分的真分数当或者上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则103310f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 『答案』730-『解析』由()()20f x f x +-=知：()f x 关于()1,0对称又()f x 为奇函数，图象关于原点对称 ()f x ∴为周期函数，周期4T=103212111731031031031030f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：730-三､ 解答题17.共享单车又称为小黄车，近年来逐渐走进了人们的生活，也成为减少空气污染，缓解城市交通压力的一种重要手段．为调查某地区居民对共享单车的使用情况，从该地区居民中按年龄用随机抽样的方式随机抽取了21人进行问卷调查，得到这21人对共享单车的评价得分统计填入茎叶图，如下所示（满分100分）：（1）找出居民问卷得分的众数和中位数； （2）请计算这21位居民问卷的平均得分；（3）若在成绩为70~80分的居民中随机抽取3人，求恰有2人成绩超过77分的概率． 解：（1）依题意，居民问卷得分的众数为99，中位数为88； （2）依题意，所求平均得分76521334578991516171818191919808821-----+++++++++++++++++=（3）依题意，从5人中任选3人，可能的情况为()73,74,75，()73,74,78，(73,74,79)，(73,75,78)，(73,75,79)，(73,78,79)，(74,75,78)，(74,75,79)，(74,78,79)，(75,78,79)，其中满足条件的为3种，故所求概率310P =； 18.函数f (x )=A sin(ωx +ϕ)(A >0，ω>0，0<ϕ<π)的部分图象如图所示，又函数g (x )=f (x +8π).（1）求函数g (x )的单调增区间；（2）设ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，又c C 满足g (C )= -1，若sin B =2sin A ，，求∆ABC 的面积.解：（1）由函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象可得2A =，5288T ππ=-，即T π=，则22T πω==，又函数图像过点,28π⎛⎫⎪⎝⎭，则2282k ππϕπ⨯+=+，即2,4k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，即4πϕ=，即()2sin(2)4f x x π=+，则()2sin[2()]2cos 284g x x x ππ=++=由222k x k πππ-≤≤，k Z ∈，得2k x k πππ-≤≤，k Z ∈，所以函数()g x 的单调增区间为,,2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦（2）由()1g C =-，得1cos 22C =-，因为02C <<π，所以02C π<<， 所以223C π=，3C π=， 又sin 2sin B A =，由正弦定理得2ba=①.又c =2222cos3ca b ab π=+-，即223a b ab +-=②由①②解得1a =，2b =. 所以ABC 的面积为11sin 12sin 2232ab C π=⨯⨯⨯=. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2AB BC CD DA ====，1PA =，120BAD ∠=，E 为BC 的中点.（1）求证：AE ⊥平面PAD ；（2）若F 为CD 的中点，求点D 到平面PEF 的距离.（1）证明：如图，连接AC .由条件知四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=，∴60BAC ∠=，∴ABC ∆为正三角形.∵E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥.又∵AD BC ∥，∴AE AD ⊥.又∵PA ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ，∴PA AE ⊥.∵PA AD A ⋂=，∴AE ⊥平面PAD .（2）解：设AC 交EF 于点G ，连接PG ,DE ,则G 为EF 的中点.易知AE AF =，则Rt PAE Rt PAF ∆≅∆，∴PE PF =，∴PG EF ⊥.连接BD .∵2AB BC CD DA ====,1PA =,∴BD ==3342AG AC ==,∴12EF BD =PG ==∴12PEF S EF PG ∆=⋅=. 1124DEF CDE BCD S S S ∆∆∆=== 113sin12042BC CD ⨯⨯⨯=. 设点D 到平面PEF 的距离为h ，又PA ⊥底面ABCD ，由P DEF D PEF V V --=,得11133h =，解得h =故点D 到平面PEF .20.在直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，1AF ，1BF 的中点分别为E ，F ，OEF 的周长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设2ABF 的重心为G ，若||6OG =，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）∵2c e a ==，∵a = 连接2AF ，2BF ，∵E ，O 分别为1AF ，12F F 的中点，∴1112EF AF =，21||2OE AF =， 同理1112FF BF =，21||2OF BF =∴OEF 的周长为()1122122AF BF AF BF a +++==a =1c = 又222b a c =-，∴1b =，∴椭圆C 标准方程为2212x y += （Ⅱ）∵l 过点1(1,0)F -且斜率不为0，∴可设l 的方程为1x my =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my +--= ∴12222m y y m +=+，12212y y m ⋅=-+ ∴()12122422x x m y y m +=+-=-+， 又∵2(1,0)F ，∴12121,33x x y y G +++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即()()22222,3232m m G m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭∴||32OG m ==+632m =+，解得m = ∴直线l 的方程为10x ++=或10x +=.21.已知函数()(1)ln f x x x =-（1）求()f x 的单调性；（2）若不等式()x x e f x x ae ≥+在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.解：（1）由()(1)ln f x x x =-，知1()ln 1f x x x =+-' 当01x <<时，ln 0x <，110x -<，1ln 10x x+-<，此时()0f x '< 当1x >时，ln 0x >，110x->，1ln 10x x +->，此时()0f x '> ∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增（2）不等式()x x e f x x ae ≥+等价于()xx a f x e ≤- 令()x x g x e =，则1()x x g x e '-=，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<∴()x x g x e=在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减 又∵()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴()x x y f x e=-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，即()x x y f x e =-在1x =处取得最小值1e- ∴1a e ≤-，故实数a 的取值范围是1,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数，a R ∈）.在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2223cos 24sin 3ρθρθ+=.（1）若点()2,0A 在直线l 上，求直线l 的极坐标方程；（2）已知0a >，若点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，且||PQ的最小值为2a 的值.解：（1）消去参数t 得l0y +-=，将()2,0A 代入，可得1a =0y +-=所以lcos sin 0θρθ+-= （2）C 的直角坐标方程为2213y x += 直线l0(0)y a +-=>设Q的直角坐标为()cos αα∵P 在直线上，∴||PQ 的最小值为Q 到直线l 的距离()d α的最小值()d α=∵0a >，∴当4πα=，sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时||PQ即||22=，∴a =23.()1解不等式2x 1x 23-++≥；()2设a ，b ，c 0>且不全相等，若abc 1=，证明：()()()222a b c b c a c a b 6+++++>．解：()1原不等式等价于()()x 22x 1x 23≤-⎧---+≥⎨⎩或()()1222123x x x ⎧-<<⎪⎨⎪--++≥⎩或()()122123x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≥⎩， 解得：x 2≤-或2x 0-<≤或2x 3≥， 故原不等式的解集是][2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭； ()2证明：22b c 2bc +≥，c 0>，abc 1=， ()22a b c 2abc 2∴+≥=，同理()22b c a 2abc 2+≥=，()22c a b 2abc 2+≥=， 又a ，b ，c 0>且不全相等，故上述三式至少有1个不取“=”，故()()()222a b c b c a c a b +++++222222a b a c b c b a c a c b =+++++()()()222222a b c b c a c a b 6=+++++>．。

兰州一中2019—2020—1学期期中考试高三数学（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|21xB y y ==+，则A B =I （） A. ∅ B. (]1,3 C. (]0,3D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得. 【详解】由已知解得[]()1,3,1,A B =-=+∞， 所以(]1,3A B =I ，故选B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题. 2.若复数z 满足()1i 13i z +=，则复数z 的共轭复数的模为A. 1B.2 C. 2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】首先求出复数z ，即可得到复数z 的共轭复数，利用复数模的计算公式，求得答案。

【详解】由于213i =1+(3)2+=，则22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-， 所以复数z 共轭复数1z i =+，则22112z =+=故答案选B【点睛】本题考查复数四则运算，共轭复数的概念以及复数模的计算公式，属于基础题。

3.若x ，y 满足20,220,2,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则3x y +的最小值为（ ）A. 2B. 10C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解.【详解】作可行域，如图阴影部分，则直线3x y z +=过点(2,2)A -时z 取最小值4，选C.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.4.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】B 【解析】 【分析】分别假设甲阅读，乙阅读，丙阅读，丁阅读，结合题中条件，即可判断出结果.【详解】若甲阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意； 若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、丁都正确；满足题意； 若丙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意；若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意； 故选B【点睛】本题主要考查逻辑推理的问题，推理案例是常考内容，属于基础题型. 5.若tan()34πα+=-，则2sin 2cos αα-=（ ）A.35 B. 25-C. -1D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，可求出tan α的值，所求式子可以写成分母为1的形式，用22sin cos 1αα+=进行代换，分子、分母同时除以2cos α，然后把tan α的值代入求值即可.【详解】tan tan4tan 33tan 241tan tan4παπααπα+⎛⎫+=-⇒=-⇒= ⎪⎝⎭-⋅, 22222222sin2cos 2sin cos cos 2tan 1sin2cos sin cos sin cos 1tan ααααααααααααα----===+++,把tan 2α=代入，求得23sin2cos 5αα-=，故本题选A. 【点睛】本题考查了两角和的正切公式、正弦的二倍角公式,解决本题的关键是22sin cos 1αα+=的代换，变成双齐次方程，这样便于求出值来.6.在如图所示的程序框图中，若输入的2s =，输出的2018s >，则判断框内可以填入的条件是（ ）A. 9i >B. 10i ≤C. 10i ≥D. 11i ≥【答案】D 【解析】输入2S =，1i =，242S ==2i =，382S ==当10i =，1122048S ==当10111i =+=，当11i ≥时，满足条件 退出循环，2048S = 故选D7.为了得到函数sin y x =的图像，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ） A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移6π个单位 B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6π个单位 C. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移6π个单位D. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用()sin y A x ωϕ=+ 的图像变换规律，得到结论。

第Ⅰ 卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|10}M x x =-≤,11{|24,}2x N x x Z +=<<∈,则M N = ( )A ．}1{B ．}0,1{-C ．}1,0,1{-D ．∅2. 若i z )54(cos 53sin -+-=θθ是纯虚数，则)4tan(πθ-的值为 ( )A ．7-B ．71- C. 7 D.7-或17-3. 设{n a }是公比为正数的等比数列，若16,453==a a ，则数列{n a }的前5项和为（ ）A ．41B ．15C ．32D ．314.在空间给出下面四个命题（其中m 、n 为不同的两条直线，a 、b 为不同的两个平面）①m ^a ，n //a Þm n ^ ②m //n ，n //a Þm //a③m //n ，n b ^，m //a Þa b ^ ④m n A =，m //a ，m //b ，n //a ，n //b Þa //b 其中正确的命题个数有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.若下边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 ( )A ．n ≤5B ．n ≤6C ．n ≤7D ．n ≤86.一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边．．三角形,则这个几何体的体积为 ( )A ． (4π+C 7. 给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题:"0":"0"11x x p p x x ≥⌝<--则 ③对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大； ④“0x >”是“12x x+≥”的充分必要条件. 其中正确的命题个数是 ( )A.1B.2C.3D.48.已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωϕωϕωϕ=++><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则 ( )A ．)(x f 的最小正周期为π2，且在),0(π上为单调递增函数B ．)(x f 的最小正周期为π2，且在),0(π上为单调递减函数C ．)(x f 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递增函数D ．)(x f 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递减函数9.设变量,x y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则目标函数1y z x +=取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1,3]C ．3[,3]2D ． 3[1,]212. 已知直线)2(-=x k y (k ＞0)与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k 的值为（ ）A ．13BC． D ．23第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

2020年甘肃高三一模文科数学试卷（河西五市部分普通高中）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）1、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第1题5分2019~2020学年10月江苏南京秦淮区南京航空航天大学附属高级中学高一上学期月考第1题5分2019~2020学年11月重庆渝中区重庆市巴蜀中学高三上学期月考理科第1题5分已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∪N=（）．A. {x|−4<x<3}B. {x|−4<x<−2}C. {x|−2<x<2}D. {x|2<x<3}2、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第2题5分已知角α的终边经过点(−2√5,−√5)，则sin⁡α的值为（）．A. −2√55B. −√55C. −12D. −23、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第3题5分已知e1→，e2→为单位向量，且满足(2e1→+e2→)⋅e2→=0，则e1→，e2→的夹角为（）．A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第4题5分《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作，其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同），二十四节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至后的那个节气（小暑）晷长为（）．A. 五寸B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸5、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第5题5分将函数y=sin⁡(x−π6)的图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（）．A. y=sin⁡(x2−5π12)B. y=sin⁡(x2+π12)C. y=sin⁡(2x−5π12)D. y=sin⁡(x2−5π24)6、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第6题5分2019~2020学年12月广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三上学期月考理科第4题5分已知函数f(x)=x2+2cos⁡x，f′(x)是f(x)的导函数，则函数y=f′(x)的图象大致为（）．A.B.C.D.7、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第7题5分2020年辽宁沈阳浑南区东北育才高中（本部）高三三模文科第5题5分2019~2020学年陕西西安碑林区西安市铁一中学高二上学期期末理科第5题4分等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a3”是“a3<a4”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第8题5分2019~2020学年4月陕西西安碑林区西安市第三中学高三下学期月考文科第6题5分若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）．A. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m//nB. 若m⊥α，n//β，α//β，则m⊥nC. 若m//α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD. 若m//α，n//β，α//β，则m//n9、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第9题5分已知2a=√3，(12)b>1，log12c>1，则（）．A. a>b>cB. c>a>bC. c>b>aD. a>c>b10、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第10题5分2020年辽宁沈阳浑南区东北育才高中（本部）高三三模文科第11题5分已知F1，F2与为双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，直线y=√3x与双曲线C的一个交点P在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为（）．A. 4+2√3B. 5+2√5C. √3+1D. √3+211、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第11题5分2019~2020学年4月天津北辰区天津市第四十七中学高三下学期月考第7题5分已知a，b为正实数，直线y=x−a+2与曲线y=e x+b−1相切，则1a +1b的最小值为（）．A. 1B. 2C. 4D. 812、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第12题5分设函数f(x)={e x−1,x⩽0x2−ax,x>0，若关于x的方程f(x)+m=0对任意的m∈(0,1)有三个不相等的实数根，则a的取值范围是（）．A. (−∞,−2]B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. [−2,2]D. [2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

兰州市高三诊断考试数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =I （ ）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2. 已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12i C ．复数z 的共轭复数为512i + D ．复数z 的模为133. 已知数列{}n a 为等比数列，且2264a a a π+=，则35a a =（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．43π4.若双曲线2214x y -=的两条渐近线分别与抛物线22(0)x py p =>的准线交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若OAB ∆的面积为1，则p 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．22 D ．45.已知圆C ：2216x y +=，直线l ：y x =，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离大于2的概率是（ ） A ．34B ．23C ．12D ．136.已知直线3430x y ++=与直线6140x my +-=平行，则它们之间的距离是（ ） A ．2B ．8C ．175D ．17107. 某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 的值是（ ）A ．1008B ．2017C ．2018D ．30258. 刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．4πB ．3πC 3πD 3 9.设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)1x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足111x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要的条件10.若等比数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S a b n N =⋅+∈，其中a ，b 是常数，则a b +的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．011.抛物线24y x =的焦点为F ，11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线上两动点，若1232)AB x x =++，则AFB ∠的最大值为（ ）A ．23π B ．56π C ．34πD ．3π 12.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，不等式()'()0f x x f x +⋅<成立，若0.20.23(3)a f =，(log 2)(log 2)b f ππ=，2211(log )(log )44c f =，则a ，b ，c 之间的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b a c >> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+=． 14.已知样本数据1a ，2a ，……2018a 的方差是4，如果有2i i b a =-(1,2,,2018)i =⋅⋅⋅，那么数据1b ，2b ，……2018b 的均方差为．15. 设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2πϕ<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ=．16.若向量(,1)a m n =-r ，(,1)(0,0)b n m n =>>r ，且a b ⊥r r ，则14n m+的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =r ，(3,1)b =r ，函数()f x a b m =⋅+r r.（1）求()f x 的最小正周期； （2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =I ，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求三棱锥C BGF -的体积.19.交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市1565:岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果如图表所示：分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组 [15,25)50.5第2组 [15,35) a0.9第3组 [15,45) 27x第4组 [15,55)b 0.36 第5组[15,65)3y（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？ （3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的2人中至少有一个第2组的人的概率.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P .（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）.①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值. 21.已知函数321()3f x x ax bx =+-(,)a b R ∈. （1）若()y f x =图象上11(1,)3-处的切线的斜率为4-，求()y f x =的极大值； （2）()y f x =在区间[1,2]-上是单调递减函数，求a b +的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲]设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集； （2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.兰州市高三诊断考试数学（文科）试题参考答案及评分参考一、选择题1-5: DDCBB 6-10: AABCD 11、12：AC 二、填空题 13. 25-14. 4 15. 3π16. 9 三、解答题17.解：（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =(3,1)m ⋅+3cos 2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++，所以()f x 的最小正周期为T π=. （2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++，当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈. 所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为3m -+. 又∵()f x 的最小值为5，∴35m -+=，即53m =+. 18.解：（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥， 又//BC AD ，所以BC AE ⊥. 因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.又BC BF B =I ，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）因为2AE EB BC ===，所以22EC =2BF =2CF =又因为G 为AC 中点，所以1GF =. 因为AE ⊥面BCE ，所以GF ⊥面BCE . 所以C BGF G BCF V V --=111122323=⨯⨯=.19.解：（1）第1组人数50.510÷=，所以100.1100n =÷=， 第2组人数1000.220⨯=，所以200.918a =⨯=， 第3组人数1000.330⨯=，所以27300.9x =÷=， 第4组人数1000.2525⨯=，所以250.369b =⨯=， 第5组人数1000.1515⨯=，所以3150.2y =÷=.（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18:27:92:3:1=， 所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人.（3）记抽取的6人中，第2组的记为1a ，2a ，第3组的记为1b ，2b ，3b ，第4组的记为c ，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，他们是：12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，1(,)a c ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，2(,)a c ，12(,)b b ，13(,)b b ，1(,)b c ，23(,)b b ，2(,)b c ，3(,)b c .其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，1(,)a c ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，2(,)a c .故所求概率为93155=. 20.解：（1）设动圆半径为r ，则PC r =，PD r =，PC PD +=2CD >=， 由椭圆定义可知，点P 的轨迹E 是椭圆，其方程为2212x y +=. （2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<. ②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2. 若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ， 则1l 的方程为1(1)y k x =+，解方程组122(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =，同理得RT =∴12QSRTS QS RT=⋅2222(1)4(21)(2)kk k+=++2222(1)49(1)4kk+≥+169=，当且仅当22212k k+=+，即1k=±时等号成立.综上所述，当1k=±时，四边形QRST的面积取得最小值为169.21.解：（1）∵321()3f x x ax bx=+-，∴2'()2f x x ax b=+-，由题意得'(1)4f=-且11(1)3f=-，即12411133a ba b+-=-⎧⎪⎨+-=-⎪⎩，解之得1a=-，3b=.∴321()33f x x x x=--，'()(1)(3)f x x x=+-，令'()0f x=得11x=-，23x=，列表可得x(,1)-∞-1-(1,3)-3(3,)+∞'()f x+ 0- 0+()f x Z极大值53]极小值9-Z∴当1x=-时，()f x取极大值3.（2）∵(0y f x=在[1,2]-上是减函数，∴2'()20f x x ax b=+-≤在[1,2]-上恒成立，∴'(1)0'(2)0ff-≤⎧⎨≤⎩120440a ba b--≤⎧⇒⎨+-≤⎩，即210440a ba b+-≥⎧⎨-+≤⎩，作出不等式组表示的平面区域如图当直线z a b=+经过点1(,2)2P-时，z a b=+取最小值32.22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即22((122x y -++=，∴圆心直角坐标为22-. （2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥， ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5=，∴直线l 上的点向圆C=23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+， 所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤， 解集为(,1][3,)-∞+∞U .（2）3,(),x a x a f x x a x a -≥⎧=⎨+<⎩，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立，又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可， 所以2a ≥.。

2020年兰州一中高三数学模拟试卷（二）文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()RA B =（ ）A. ()1,3B. (]1,3C. [)3,+∞ D. ()3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R的范围,最后根据交集的含义计算()RA B ⋂的结果.【详解】因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,RA =-∞-⋃+∞,又因为()1,B =+∞,所以()[)3,RA B =+∞.故选C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解. 2. 设复数z 满足(2)34z i i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】先根据(2)34z i i i +=-计算出复数z ，写出其共轭复数z ，即可根据复数的坐标表示选出答案．【详解】设复数z a bi =+，(2)(2)3423z i i ai b i b ∴+=-+=-⇒+=-，4a =-；4a ∴=-，5b =-；∴复数45z i =--，∴45z i =-+，复数z 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选B ．【点睛】本题考查共轭复数与复数的坐标表示，属于基础题． 3. 若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A. b a > B. b a < C. b a < D. b a >【答案】C 【解析】 【分析】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得．【详解】令23abt ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==，3lg log lg 3tb t ==， ()lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3t t t a b -∴-=-=>⋅，因此，a b >. 故选：C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 4. 已知α为锐角，3cos 5α=，则tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.13B.12C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】先利用半角公式（或二倍角公式）求得tan2α，再根据两角和正切公式求结果.【详解】∵α为锐角，3cos5α=，∴4sin5α，则2sin2sin cos222tan2cos2cos22αααααα==4sin1531cos215αα===++，∴1tan tan1422tan31421tan tan1422παπαπα++⎛⎫+===⎪⎝⎭--.故选：D【点睛】本题考查半角公式以及两角和正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.5. 已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（）A. s＞3？B. s＞5？C. s＞10？D. s＞15？【答案】C【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得：k＝1，s＝1，s＝1，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝2，s＝4，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝3，s＝6，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝4，s＝11，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出k的值为4.因此判断框内的条件可填：s ＞10？ 故选：C .【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力. 6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M满足MA MO= ，则·OM ON 的取值范围是（ ）A. []0,2B. 0,⎡⎣C. []22-,D. -⎡⎣【答案】D 【解析】 【分析】设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22(2)8x y +-=，写出点M 的参数方程，则·22os OM ON θ=，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON 结果.【详解】设(,)M x y ，则∵MA MO=，()0,2A -=∴2222(2)2()x y x y ++=+∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程∴点M的参数方程为2x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）则由向量的坐标表达式有：·22os OM ON θ=又∵cos [1,1]θ∈-∴2·2cos [22,22]OM ON θ=∈- 故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法7. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】D 【解析】 【分析】6根算筹可分为1、5,2、4，3、3，再根据图示写出可能的组合，即可得出答案．【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2714⨯=个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示212⨯=个两位数； 则一共可以表示14216+=个两位数； 故选D ．【点睛】本题结合算筹计数法，考查排列与组合，属于基础题，本题的关键在于读懂题意． 8. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式(2)5f x +<的解集为（ ） A. (3,7)-B. ()4,5-C. (7,3)-D. ()2,6-【答案】C 【解析】 【分析】首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解.【详解】当0x ≥时,2()45f x x x =-<的解为05x <≤；当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<， 所以不等式()5f x <的解集为{}55x x -<<，所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}52573x x x x -<+<=-<<. 故选：C【点睛】本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.9. 已知双曲线C ：22221x y a b-=，O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C 的两条渐近线交于A ，B 两点，若OAB ∆是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ）A. 2213x y -=B. 2213y x -=C. 221124x y -= D.221412x y -= 【答案】A 【解析】 【分析】先根据双曲线性质得3a =，再根据渐近线求得1b =，即得双曲线C 的方程.【详解】由图可知，3a =且一条渐近线的倾斜角为30，所以3b a =，解得1b =，所以双曲线C的方程为2213x y -=.故选：A【点睛】本题考查双曲线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.10. 甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m ，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n ，且m ，{}1,2,3n ∈，若1m n -≤，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A.16B.13C.23D.79【答案】D 【解析】 【分析】由m ，{}1,2,3n ∈，分别作分类讨论，可写出9组数据，再结合古典概型公式计算即可 【详解】当1m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()1,1,1,2,1,3； 当2m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()2,1,2,2,2,3； 当3m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()3,1,3,2,3,3；其中符合1m n -≤的组合为： ()()()()()()()1,1,1,2,2,1,2,2,2,3,3,2,3,37种情况， 故两人心有灵犀的概率为：79P = 故选：D【点睛】本题考查古典概型的基本求法，列举法、树状图法常用来求解此种题型，属于基础题11. 已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）A.35B. 45-C. 3-D. 【答案】B 【解析】【分析】由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定()12sin x x -的值. 【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=， 结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且120x x π<<<，故12712312x x πππ<<<<， 2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 已知函数21(),()2ln 2,()f x kx g x x e x e e==+≤≤，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，则实数k 的取值范围是（ ） A. 224[,]e e-- B. 2[,2]e e-C. 24[,2]e e-D.24[,)e -+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -,推导出2k lnx x=-，由此利用导数性质能求出实数k 的取值范围.【详解】因为函数()()21,2ln 2,f x kx g x x e x e e ⎛⎫==+≤≤⎪⎝⎭的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，所以设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -, 所以22ln 2e kx x e -=+，所以2k lnx x =-，222lnx k x+='-，由0k '=得x e =， 因为21x e e ≤≤，所以1,)x e e⎡∈⎢⎣时，0k '<，2k lnx x =-是减函数； 当2(,x e e ⎤∈⎦时，0k '>，2k lnx x=-是增函数， 所以x e =时，22k lne e e =-=-；当2x e =时，22224k lne e e =-=-， 当1x e=时，2121k ln ee e =-=；所以2min k e=-，2max k e =，所以实数的取值范围是22e e，⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, 所以选B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要构造函数，由导函数确定研究构造的函数的单调性，从而可求出结果.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 已知多项式5432()254367f x x x x x x =--+-+，则(5)f =________． 【答案】2677 【解析】 【分析】结合秦九韶算法，将5432()254367f x x x x x x =--+-+转化为()()()()5432()254367254367f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+，然后由内至外逐步计算即可求出答案【详解】()()()()5432()254367254367f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+令125,t x =- 当5x =时，12555t =⨯-=；则令214t t x =-，当15,5t x ==时，255421t =⨯-=； 则令323t t x =+，当221,5t x ==时，32153108t =⨯+=；则令436t t x =-，当3108,5t x ==时，410856534t =⨯-=； 则令547t t x =+，当4534,5t x ==时，5534572677t =⨯+=； 故(5)2677f = 故答案为：2677【点睛】本题考查秦九韶算法，将多项式转化为()()()()()254367f x x x x x x =--+-+至关重要，属于中档题14. 设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为__________. 【答案】95【解析】 【分析】令1,2a m b n =+=+，则5a b +=，1312n m n ++++可化为111a b++，利用基本不等式可求11a b+的最小值，从而可得所求的最小值. 【详解】令1,2a m b n =+=+，则5a b +=，且13a <<，24b <<， 又1311112n m n a b++=++++， 而()()114222551151115b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎛⎫+=⨯+⎝⨯ ⎪⎝⎭⎭， 当且仅当52a b ==时等号成立， 故1312n m n ++++的最小值为95. 故答案为：95.【点睛】本题考查多变量代数式的最值问题，一般可用基本不等式来求最值，但需要对原代数式化简变形以便出现和为定值或积为定值的形式，注意利用基本不等式求最值时要验证等号是否成立.15. 设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'fx ，若()()'1f x f x +>，()02020f =，则不等式()2019xxe f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为__________.【答案】()0,∞+ 【解析】 【分析】构造函数()()2019xxg x e f x e =--，由题意，只需解()0>g x 即可，利用导数研究()g x 的单调性即可得到答案.【详解】设()()2019x xg x e f x e =--，不等式()2019x xe f x e >+的解等价于不等式()0>g x 的解，因为''()(()()1)0xg x e f x f x =+->，所以()g x 在R 上单调递增，又(0)(0)120190g f =--=， 所以()0(0)g x g >=，所以0x >，所以原不等式的解集为()0,∞+ 故答案为：()0,∞+【点睛】本题主要考查构造函数利用函数的单调性解不等式，考查学生转化与化归思想，是一道中档题.16. 已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，BC ＝3，PB ＝，PC =P ﹣ABC 外接球的表面积为______．【答案】10π 【解析】 【分析】由O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，可得球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心， 在△PBC 中，由余弦定理、正弦定理可得R .【详解】因为O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，根据球的性质，球心一定在垂线l 上，∵球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心，在△PBC 中，由余弦定理得cos B 222222PB BC PC BP BC +-==⋅，⇒sin B 22=， 由正弦定理得：2PC R sinB =，解得R 10=， ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为s ＝4πR 2＝10π， 故答案为10π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 如图，在四棱锥E ABCD -中，ADE 是等边三角形，侧面ADE ⊥底面ABCD ，其中//AB DC ，24BD DC ==，3AD =，5AB =.（Ⅰ）F 是EC 上一点，求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（Ⅱ）求三棱锥C BDE -的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）35. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由勾股定理得BD AD ⊥，再由平面ADE ⊥平面ABCD ， 得BD ⊥平面ADE ，得证； （Ⅱ）由13C BDE E BCD BCD V V S EH --==⋅△，得112336335C BDE V -=⨯= 【详解】（Ⅰ）在ABD △中，4BD =，3AD =，5AB =222AB AD BD ∴+=，BD AD ∴⊥又平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，BD ∴⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF∴平面⊥BDF 平面ADE（Ⅱ）取AD 中点H ，由ADE 为等边三角形得EH AD ∴⊥ 平面ADE ⊥平面ABCD ，EH ∴⊥平面ABCD ，1·3C BDE E BCD BCD V V S EH --∴==△又因为ADE 中，332EH =， 在ABD △中，AB 边上的高341255⨯==112112(25)342525BCD ABCD ABD S S S ∆∴=-=⨯+⨯-⨯⨯=△ 112336335C BDE V -∴=⨯⨯=∴三棱锥C BDE -的体积为63.考点：空间中的位置关系、体积计算． 18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =，()1310n n n S nS ++-=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若*112,n n n n a b n S S ++=∈N ，求证：123n b b b +++<.【答案】（1）()3*423,n n a n n -=+⋅∈N ；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）题设中的递推关系可转化为131n n S S n n +=+，利用等比数列的通项公式可求n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，从而求出n S 后可求{}n a 的通项公式.（2）利用裂项相消法可求{}n b 的前n 项和，从而可证不等式成立. 【详解】（1）∵()1310n n n S nS ++-=，∴131n n S S n n+=+，又12013S =≠，所以113n n S n S n++=， ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以23为首项，3为公比的等比数列，∴1223233n n n S n --=⨯=⨯，223n n S n -=⋅. 当2n ≥时，()()2331=23213423n n n n n n a S S n n n -----=⋅--⋅=+⋅；当1n =时，123a =符合上式，∴()3*423,n n a n n -=+⋅∈N . （2）证明：()1111122112n n n n n n n n nn S S a b S S S S S S +++++-⎛⎫===- ⎪⎝⎭，∴12122311111112n nn b b b S S S S S S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111223n S S S +⎛⎫=⨯-<⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查数列通项的求法以及裂项相消法求和，后者应该根据通项的特征选择合适的求和方法.19. 根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示．()1已知[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；()2该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，并在这5人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和为200元的概率． 【答案】(1)0.035a =，0.025b =.(2)35【解析】【详解】试题分析：(1)根据频率直方图中结论：所有频率之和为1，则有：(0.0150.0100.015)101a b ++++⨯=，即有：0.060a b +=，又由条件：[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，则有：20.015b a =+，解方程组得：0.035a =，0.025b =；(2) 根据(1)中：0.060a b +=，可得高消费人群所占比例为60100，有利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. 由古典概率模型的求法：令高消费的人为,,A B C ，潜在消费的人为,a b ，从中取出三人，例举总共有：,,,,,,,,,,ABC ABa ABb ACa ACb BCa BCb Aab Bab Cab 这10种情况，其中,,,ABa ABb ACa ,,ACb BCa BCb 为获得代金卷总和为200元的情况，运用概率公式可求出三人获得代金券总和为200元的概率.试题解析：(1) 根据频率直方图中结论：所有频率之和为1，则有：(0.0150.0100.015)101a b ++++⨯=，即有：0.060a b +=，又由条件：[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，则有：20.015b a =+，解方程组得：0.035a =，0.025b =根据(1)中：0.060a b +=，可得高消费人群所占比例为60100，有利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. 令高消费的人为,,A B C ，潜在消费的人为,a b ，从中取出三人，总共有：,,,,,,,,,,ABC ABa ABb ACa ACb BCa BCb Aab Bab Cab 10种情况， 其中,,,,,ABa ABb ACa ACb BCa BCb 为获得代金卷总和为200元的情况，因此，三人获得代金券总和为200元的概率为35. 考点：考查统计与概率的相关知识20. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(2,2)A ，点B 在抛物线C 上，且满足2OF FB FA =-（O 为坐标原点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l D '，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线l D '与抛物线C 交于M ，N 两点，OPQ △的面积记为1S ，OMN 的面积记为2S ，求证：221211S S +为定值. 【答案】（1）24y x =（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据条件解得B 点坐标，代入抛物线方程解得p ，即得结果；（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得1S 与2S ，最后代入化简221211S S +得结果. 【详解】（1）设11(,)B x y 11(,0),2(,0)(4,4)222p p pF OF FB FA x p y ∴=-⇒=--+- 11114,404,422p px p y x y =--+-=∴== 因为点B 在抛物线C 上，2242424p p y x ∴=⋅∴=∴=（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设:1lx my =+，代入24y x =得2440y my --=，所以1212124,4||y y m y y y y +==-∴-==因此1211||1S 2y y =-⨯=2S =因此22222212211111114(1)4(1)4(1)44(1)m S S m m m m+=+=+=++++ 【点睛】本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.21. 已知函数()2ln f x x x x =-+（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明当2a ≥时，关于x 的不等式()2(1)12a f x x ax <-+-恒成立；【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令()()()221111122a g x f x x ax lnx ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而证出结论即可； 解析：（1）()()2121'210x x f x x x x x-++=-+=＞，由f'（x ）＜0，得2x 2﹣x ﹣1＞0．又x ＞0，所以x ＞1，所以f （x ）的单调递减区间为（1，+∞），函数f （x ）的单增区间为（0，1）． （2）令()()()221111122a g x f x x ax lnx ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()()2111'1ax a x g x ax a x x-+-+=-+-=，因为a≥2，所以()()11'a x x a g x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令g'（x ）=0，得1x a =，所以当()10'0x g x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，＞，当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，g'（x ）＜0， 因此函数g （x ）在10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，是增函数，在1x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，是减函数， 故函数g （x ）的最大值为()2111111()1122g ln a a lna a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()12h a lna a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为()12204h ln =-＜，又因为h （a ）在a∈（0，+∞）是减函数， 所以当a≥2时，h （a ）＜0，即对于任意正数x 总有g （x ）＜0， 所以关于x 的不等式恒成立．点睛：这个题目考查的是利用导数研究函数的单调性和最值问题；证明不等式的恒成立问题；证明不等式恒成立问题一般采用以下方法：其一可以转化为函数最值问题，使得函数最值大于或者小于0；其二可以转化为两个函数的不等式关系，使得一个函数的最小值大于另一个函数的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，A 、B 均异于原点O，且AB =α的值. 【答案】（1）(223x y +=，()2211x y -+=；（2）512π或1112π. 【解析】 【分析】（1）由题意消去参数即可得曲线1C 的普通方程，由极坐标方程、直角坐标方程转化公式可得2C 的直角坐标方程；（2）由题意结合极坐标方程、直角坐标方程转化公式可得曲线1C 的极坐标方程，设()1,A ρα，()2,B ρα，由ρ的几何意义可得4sin 6AB πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由特殊角的三角函数值即可得解.【详解】（1）由曲线1C 的参数方程消参可得曲线1C的普通方程为(223x y +=；曲线2C 极坐标方程可变为22cos ρρθ=，∴2C 的直角坐标方程为222x y x +=即()2211x y -+=；（2）曲线1C 化极坐标方程为ρθ=，设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρα=，22cos ρα=，∴122cos 4sin 6AB πρρααα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，由AB =sin 62πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭， ∵0απ<<，∴5666πππα-<-<，∴64ππα-=或364ππα-=， ∴512πα=或1112πα=. 【点睛】本题考查了直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的转化，考查了ρ的几何意义的应用及运算求解能力，属于中档题.23. 已知函数()2f x x m x =--+（m R ∈），不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值. 【答案】（1）6m =（2）32 【解析】 【分析】()1利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于m 的方程,求出m 的值即可;()2由()1知6m =可得,212a b c ++=，利用三个正数的基本不等式a b c ++≥,构造和是定值即可求出()()()113a b c ++-的最大值. 【详解】（1）∵()2f x x m x =--+，()2222f x x m x ∴-=----+，所以不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，, 即为不等式20x m x ---≥的解集为(] 4-∞，，- 21 - ∴2x m x --≥的解集为(] 4-∞，, 即不等式()222x m x --≥的解集为(] 4-∞，， 化简可得,不等式()()2220m m x ++-≥的解集为(] 4-∞，， 所以242m +=,即6m =. （2）∵6m =，∴212a b c ++=.又∵0a >，0b >，3c >，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-= ()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-,212a b c ++=等号成立,即3a =，1b =，7c =时，等号成立，∴()()()113a b c ++-的最大值为32.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式a b c ++≥的灵活运用;其中利用212a b c ++=构造出和为定值即()()()1223a b c ++-+-为定值是求解本题的关键;基本不等式a b +≥取最值的条件:一正二定三相等是本题的易错点;属于中档题.。

2020届甘肃省兰州市一中2017级高三高考冲刺一模考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一､选择题1.设集合{|2}A x Z x =∈≤,2{|1}B y y x ==-,则A B ⋂的子集个数为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32 【答案】C分析：求出集合A,B,得到A B ⋂,可求A B ⋂的子集个数 详解：{}{|2}{|22}2,1,0.1,2A x Z x x Z x =∈≤=∈-≤≤=--,2{|1}{|1},B y y x y y ==-=≤ {}2,1,0,1,A B ∴⋂=--A B ⋂的子集个数为4216.=故选C.2.已知复数z 满足(4)1i z i +=+,则z 的虚部为（ ）A. i -B. iC. 1-D. 1【答案】C【解析】根据复数的除法运算可得z ,再根据复数的概念可得答案.【详解】(4)1i z i +=+,141i z i i +∴+==-, 3z i ∴=--,∴复数z 的虚部为1-.故选：C.3.如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图象,为了容易看出一个班级的成绩变化,将离散的点用虚线连接,根据图象,给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平,整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定,波动程度较大；③三班成绩虽然多次低于年级平均水平,但在稳步提升.其中错误的结论的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】看图分析,①比较一班与年级平均成绩的大小；②看二班的成绩波动；③看三班的平均成绩,以及增减性,即可得到答案.【详解】由图可知,一班成绩始终高于年级平均水平,整体成绩比较好,故①正确； 二班的成绩有时高于年级整体成绩,有时低于年级整体成绩,特别是第六次成绩远低于 年级整体成绩,可知二班成绩不稳定,波动程度较大,故②正确；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平,只有第六次高于年级整体成绩,但在稳步提升,故③正确.∴错误结论的个数为0.故选：A.4.我们从这个商标中抽象出一个图像如图,其对应的函数可能是( )A. ()211f x x =-B. ()211f x x =+C. ()11f x x =-D. ()11f x x =- 【答案】D【解析】。

甘肃兰州一中2020届高考冲刺模拟试卷3数学（文）第 Ⅰ 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}21|A x log x =<，集合{}|2B y y x ==-，则A B =( )A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞2．若复数z ＝1+i +i 2+i 3+…+i 2021，则复数z 对应的点在第( )象限 A ．一B ．二C ．三D ．四3．已知非零向量a b ，满足4b a ＝，且2)+(a a b ⊥，则a 与b 的夹角为( ) A ． B ． C ． D ．4．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象( ) A ．向左平移512π个单位 B ．向右平移512π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位 5．已知3log 0.8a =，0.83b =， 2.10.3c =，则( ) A ．a ab c <<B ．ac b c <<C ．ab a c <<D ．c ac b <<6．函数()ln |||sin |f x x x =+（,x ππ-≤≤且0x ≠）的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．7．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家.他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即 3.1415926π=，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ，则事件“||3a b -≤”的概率为( ) A ．13B ．815C ．23D ．7158．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该几何体的体积为( )A ．12π+B ．136π+ C ．12π+ D ．1233π+ 9．“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，最初是由意大利数学家斐 波那契于1202年通过兔子繁殖问题提出来的．在斐波那契数列{}n a中，11a =，21a =，()*21n n n a a a n N ++=+∈．某同学设计了一个如图所示的求斐波那契数列前n 项和S 的程序框图，若88S =，那么内填入( )A ．7≤iB ．8≤iC ．9≤iD ．10≤i10．已知函数()()lg ,1lg 2,1x x f x x x ≥⎧=⎨--<⎩，()3g x x =，则方程()()1f x g x =-所有根的和等于( )A ．1B ．2C ．3D ．411．现有边长均为1的正方形､正五边形､正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则( )A ．1234l l l l <<<B ．1234l l l l <<=C ．1234l l l l ===D ．1234l l l l ==<12．已知函数()x x f x xe e =-，函数()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是( )A ．21[3,]3e -- B ．2[,)e +∞ C ．21[,]3eD ．1[,)3+∞第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若x ，y 满足约束条件1123x x y -≤≤⎧⎨+≤⎩，则x y -的最小值为______________.14．已知l 为曲线ln a x y x +=在(1,)a 处的切线，当直线l 与坐标轴围成的三角形面积为12时，则实数a 的值为____________.15．已知三棱锥D ABC -四个顶点均在半径为R 的球面上，且2AB BC ==，2AC =，若该三棱锥体积的最大值为43，则这个球的表面积为__________. 16．如图，在平面直角坐标系xOy ，中心在原点的椭圆与双曲线交于,,,A B C D 四点，且它们具有相同的焦点12,F F ，点12,F F 分别在 ,AD BC 上，则椭圆与双曲线离心率之积12e e ⋅=______________.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22,n n S a n N =-∈.（Ⅰ）求证：数列{}n a 为等比数列； （Ⅱ）设数列2{}n a 的前n 项和为n T ，求证：2nnS T 为定值； （Ⅲ）判断数列{}3nn a -中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论. 18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点.（Ⅰ）求证：1C B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求1BA 与平面11A B E 所成角的正弦值.19．某城市对一项惠民市政工程满意程度（分值：分）进行网上调查，有2000位市民参加了投票，经统计，得到如下频率分布直方图（部分图）：现用分层抽样的方法从所有参与网上投票的市民中随机抽取n 位市民召开座谈会，其中满意程度在[0,20)的有5人．（Ⅰ）求n 的值，并填写下表（2000位参与投票分数和人 数分布统计）； 满意程度（分数）[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]人数（Ⅱ）求市民投票满意程度的平均分（各分数段取中点值）；（Ⅲ）若满意程度在[0,20)的5人中恰有2位为女性，座谈会将从这5位市民中任选两位发言，求男性甲或女性乙被选中的概率．20. 已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈. （ Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（ Ⅱ）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点，求实数a 的取值范围.21. 已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（ Ⅰ）求C 的方程；（ Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为252x m ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C 的方程为25,l ρθ=被圆C 2. （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(5)m ，且0m >，求PA PB +的值.23．已知()2121f x x x =++-. （Ⅰ）解不等式()(1)f x f >； （Ⅱ）若不等式11()(0,0)f x m n m n ≥+>>对任意x ∈R 的都成立，证明：43m n +≥. 参考解答1．D 【解析】{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B =+∞．故选D ．2．D 【解析】z ＝1+i+i 2+i 3+…+i 2019+3434i i-+＝（1+i ﹣1﹣i ）+…+（1+i ﹣1﹣i ）+534i +＝0+5(34)(34)(34)i i i -+-＝345i-，∴复数z 对应的点在第四象限．3．C 【解析】220a b a ∴⋅+＝2()()20++2+20a a a b a a b a b ⊥∴⋅∴⋅，＝，＝， 即220cos a a a b b +〈，〉＝.224240b a a a cos a b ∴＝，＋〈，〉＝，12cos ,,,23a b a b π∴〈〉=-∴〈〉=.4．B 【解析】因为sin26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，且cos2y x ==sin 22x π⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭，所以由φ4x π++= 6x π-，知5φ6412πππ=--=-，即只需将cos2y x =的图像向右平移512π个单位，故选B.5．C 【解析】33log 0.8log 10a =<=,0.80331b =>=,()2.10.30,0.3c =∈,故0a <,1b >,01c <<.对A,若()10a ab a b <⇒-<,不成立.故A 错误.对B,因为1c b <<,故B 错误.对C,ab a c <<成立.对D, 因为0ac c <<,故D 错误.6．D 【解析】函数()ln |||sin |f x x x =+（,x ππ-≤≤且0x ≠）是偶函数，排除B ；当0x >时，()ln sin f x x x =+，可得：()1cos f x x x '=+，令1cos 0x x+=，作出1y x=与cos y x =-图像如图： 可知两个函数有一个交点，就是函数的一个极值点，()ln 1fππ=>，排除C ；当0x x =时，()00f x '=，故()00,x x ∈时，函数()f x 单调递增，()0,x x π∈时，函数()f x 单调递减，排除A.7．B 【解析】由题意可知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，则取到数字a ，b 的情况有(4,1)，(4,5)，(4,9)，(4,2)，(4,6)，(1,5)，(1,9)，(1,2)，(1,6)，(5,9)，(5,2)，(5,6)，(9,2)，(9,6)，(2,6)，共15种，其中符合条件的有8种，故所求概率815P =.故选：B.8．B 【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+；所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．9．B 【解析】按照程序框图运行程序，输入1a =，1b =，3i =，则112S =+=，112c =+=，224S =+=，1a =，2b =，满足所填条件，循环；4i =，123c =+=，437S =+=，2a =，3b =，满足所填条件，循环； 5i =，235c =+=，7512S =+=，3a =，5b =，满足所填条件，循环； 6i =，358c =+=，12820S =+=，5a =，8b =，满足所填条件，循环； 7i =，5813c =+=，201333S =+=，8a =，13b =，满足所填条件，循环； 8i =，91321c =+=，332154S =+=，13a =，21b =，满足所填条件，循环； 9i =，132134c =+=，543488S =+=，21a =，34b =，不满足所填条件，输出结果88S =，∴所填条件应为8i ≤.故选：B .10．C 【解析】设点(),x y 是函数lg ,1y x x =≥图象上任意一点，它关于点()1,0的对称点为()'',x y ，则22,0x x x x y y y y +==-⎧⎧∴⎨⎨+=='-''⎩'⎩，代入lg y x =，得()()'''''lg 2,lg 2,1y x y x x -=-∴=--≤.∴函数lg ,1y x x =≥的图象与函数()lg 2,1y x x =--≤的图象关于点()1,0对称，即函数()()lg ,1lg 2,1x x f x x x ≥⎧=⎨--<⎩的图象关于点()1,0对称，易知函数()f x 在定义域R 上单调递增.又函数()3g x x =的图象关于原点()0,0对称，∴函数()1y g x =-的图象关于点()1,0对称，且函数()1y g x =-在定义域R 上单调递增.又()()0111,1f g x =-=∴=是方程()()1f x g x =-的一个根.当1x ≥时，令()()()()31lg 1h x x x g x f x -=--=-，则()h x 在[)1,+∞上单调递减.()()3833313132lg 210,lg lg lg100,20222282102h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-=-=>∴< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=，根据零点存在定理，可得()h x 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点1x ，根据()h x 的单调性知()h x 在()1,+∞上有且只有一个零点1x ，即方程()()1f x g x =-在()1,+∞上有且只有一个根1x .根据图象的对称性可知方程()()1f x g x =-在(),1-∞上有且只有一个根2x ，且122x x +=.故方程()()1f x g x =-所有根的和等于1213x x ++=.11．B 【解析】由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长， 设半径分别为r 1，r 2，r 3，r 4，由题意可知，半径为中心与顶点的距离， 又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为1，圆的半径为1，对于正方形，如图所示：，∵∠AOB ＝90°，∴122r =； 对于正五边形，如图所示：，∵∠AOB ＝72°＜90°，∠OAB ＝∠OBA ＝54°＜72°， ∴r 1＜r 2＜1；对于正六边形，如图所示：，∠AOB ＝60°，∴△AOB 为等边三角形，∴r 3＝OA ＝1； 而 r 4＝1，又因为l 1＝2π•r 1，l 2＝2π•r 2，l 3＝2π•r 3，l 4＝2π•r 4，所以l 1＜l 2＜l 3＝l 4，故选：B ． 12．B 【解析】由题意，函数()(1)xf x e x =-的导数为()xf x xe '=，当0x >时，()0f x '>，则函数()f x为单调递增；当0x <时，()0f x '<，则函数()f x 为单调递减，即当0x =时，函数()f x 取得极小值，且为最小值1-，又由()2223,(2)f e f e --=-=，可得函数()f x 在[2,2]-的值域2[1,]e -，由函数()(0)g x mx m m =->在[2,2]-递增，可得()g x 的值域[3,]m m -，由对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，可得2[1,][3,]e m m -⊆-，即为231m m e-≤-⎧⎨≥⎩，解得2m e ≥，故选B.13．3-【解析】作出不等式组表示的可行域，由123x x y =-⎧⎨+=⎩可得12x y =-⎧⎨=⎩，设()1,2A -.当直线0x y z --=经过点A 时，z 取得最小值3-.故答案为：3-.14．0或34【解析】因为2'1ln a x y x --=，所以'(1)1y a =-，所以切线的方程为：(1)(1)y a a x -=--，令0x =得：21y a =-；令0y =得：121ax a-=-，所以211|21|1||||22|1|2a S x y a -=⋅⋅=⋅=-，解得：a =0或34.15．28916π【解析】设△ABC 的外接圆的半径为r ，因为2AB BC ==2AC =，所以222AB BC AC +=，AB BC ⊥.112ABC S AB BC =⨯⨯=.设D 到平面ABC 的距离为h ，因为三棱锥体积的最大值为43，即max max 14133V h =⨯⨯=，所以max 4h =.设球体的半径为R ，则222(4)1R R -+=，解得178R =. 221728944()816S R πππ==⨯=.16．1【解析】设椭圆和双曲线方程分别为()221122111,0x y a b a b +=>>，()222222221,,0x y a b a b -=>，设点()0,B c y ，由点B 既在椭圆上也在双曲线上，则有2202211222111y c a b a c b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得22221101111b ac c y a a a a -===-2202222222221y c a b c a b ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，解得22222202222b c a c y a a a a -===-,则()22212121212c a a c c a a a a a a ++=+=， 即2121211c c c a a a a ⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，121e e ∴=.17．【解析】（1）当1n =时，1122,S a =-，解得12a =.当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=. 因为10a ≠，所以12nn a a -=，从而数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nn a =. （2）因为()2224nn n a ==，所以2124n na a +=，故数列{}2n a 是以4为首项，4为公比的等比数列， 从而()()2221224112nnnS-==--，()()414441143n nn T -==--，所以232nn S T =.（3）假设{}3nn a -中存在第,,()m n k m n k <<项成等差数列，则()2333n m k n m k a a a -=-+-，即()233232nm m k kn a -=-+-.因为m n k <<，且*,,m n k N ∈，所以1n k +≤.因为()112332323232nm m k k m m n n n a ++-=-+-≥-+-，所以332n m m -≥-，故矛盾，所以数列{}3nn a -中不存在三项成等差数列.18．【解析】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，由余弦定理可得13BC因为22211BC BC CC +=，所以1BC BC ⊥，又因为AB ⊥侧面11BB C C ，所以1AB BC ⊥，又由AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以直线1C B ⊥平面ABC . （2）在11BB C C 中，1BC CE ==且13BCC π∠=，可得1BE =，又由1111B C C E ==且123BC E π∠=，所以13B E =.又因为112BB C C ==，则22211BE B E B B +=，即1BE B E ⊥，因为AB ⊥平面11BB C C ，所以11A B ⊥平面11BB C C ，则11A B BE ⊥，又由11A B ⊆平面11A B E ，1B E ⊆平面11A B E 且1111A B B E B ⋂=，则11BE A B E ⊥，则1BA E ∠为所求1BA 与平面11A B E 所成角，在直角1A BE ∆中，所以112sin 422BE BA E BA ===∠. 19．【解析】（1）易知投票满意度分数在区间[0,20)的人数为20000.00520200⨯⨯=，由20052000n=，解得50n =．所以分数在区间[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]的人数分别为320,400,600,480．填入下表得：满意程度（分数）[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]人数200320400600480（2）市民投票满意程度的平均分为200320400600480103050709058.420002000200020002000⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）设5人中2位女性为a ，乙，3位男性为甲，,b c ，则基本事件有（a ，甲），(,),(,)a b a c ，（乙，甲），（乙，b ），（乙，c ），（a ，乙），（甲，b ），（甲，c ），(,)b c 共10个，其中男性甲或女性乙被选中的事件有（a ，甲），（乙，甲），（乙，b ），（乙，c ），（a ，乙），（甲，b ），（甲，c ），共7个，所以男性甲或女性乙被选中的概率为710． 20．【解析】（1）∵()323'3(0)a x af x x x x x-=-=>.①若0a ≤时，()'0f x >，此时函数在()0,+∞上单调递增；②若0a >时，又()33'0x af x x-==得33a x =33a x ⎛∈ ⎝时()'0f x <，此时函数在33a ⎛ ⎝上单调递减；当3,3a x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时()'0f x >，此时函数在3,3a ⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增； （2）由题意知：3ln x a x =在区间(]1,e 上有两个不同实数解，即函数y a =图像与函数()3ln xg x x=图像有两个不同的交点，因为()()()223ln 1'ln x x g x x -=，令()'0g x =得3x e =所以当(3x e ∈时，()'0g x <，函数在(3e 上单调递减，当3,x e e ⎤∈⎦时，()'0g x >，函数在3,e e ⎤⎦上单调递增；则()3min 3g x ge e ==，而311272791272727ln e g e e e ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且()327g e e =<，要使函数y a =图像与函数()3ln x g x x=图像有两个不同的交点，所以a 的取值范围为(33,e e ⎤⎦. 21．【解析】依题意，圆M 的圆心(1,0)M -，圆N 的圆心(1,0)N ，故42PM PN +=>，由椭圆定义可知，曲线C 是以M 、N 为左右焦点的椭圆（左顶点除外），其方程为221(2)43x y x +=≠； （2）对于曲线C 上任意一点(,)P x y ，由于|PM|-|PN|=2R-2≤3-1=2（R 为圆P 的半径），所以R=2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为22(2)4x y -+=；若直线l 垂直于x 轴，易得23AB =；若直线l 不垂直于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1QP RQMr =，解得(4,0)Q -，故直线l ：(4)y k x =+；有l 与圆M 2311kk =+，解得24k =±；当24k =时，直线224y x =+187AB =；同理，当24k =-时，187AB =. 22．【解析】（Ⅰ）由25sin ρθ=得22250,x y +-=即(2255x y +-=. 直线的普通方程为50x y m +-=， 被圆C 22，即05522m +--=解得33m m ==-或. （Ⅱ）法1：当3m =时，将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，())223225tt-+=，即223220t t -+=，由于(2324420∆=-⨯=>，故可设12t t ，是上述方程的两实根，所以12123221t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，又直线l 过点(5P ，故由上式及t 的几何意义得，PA PB += 122(|t |+|t |)= 122(t +t )= 32 法2：当3m =时点(35P ，，易知点P 在直线l 上. 又223555+>，所以点P 在圆外.联立(2255350x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩消去y 得，2320x x -+=.不妨设((21+51,2+5A B ，、，所以PA PB +=22232=23．【解析】（Ⅰ）()()1f x f >就是21215x x ++->.（1）当12x >时，()()21215x x ++->，得1x >. (2)当112x -≤≤时，()()21215x x +-->，得35>，不成立.（3）当1x <-时，()()21215x x -+-->，得32x <-.综上可知，不等式()()1f x f >的解集是()312⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，. （Ⅱ）因为()()2121222122213x x x x x x ++-=++-≥+--=， 所以113m n+≤. 因为0m >，0n >时，1112m n mn +≥13mn≤23mn ≥.所以423m n mn +≥.。

甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试（二）数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()R A B =（ ） A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)3,+∞ D ．()3,+∞ 2．设复数z 满足(2)34z i i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ）A ．b a >B ．b a <C ．b a <D ．b a > 4．已知α为锐角，3cos 5α=，则tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13 B ．12C ．2D ．3 5．已知f （k ）＝k +（﹣1）k ，执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为4，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．s ＞3？B ．s ＞5？C ．s ＞10？D ．s ＞15？6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足MA MO = ，则·OM ON 的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．0,⎡⎣C ．[]22-,D ．-⎡⎣ 7．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A ．13B ．14C ．15D ．168．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式(2)5f x +<的解集为（ ）A ．(3,7)-B ．()4,5-C ．(7,3)-D ．()2,6-9．已知双曲线C ：22221x y a b-=，O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C 的两条渐近线交于A ，B 两点，若OAB ∆是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213x y -= B ．2213y x -= C ．221124x y -= D ．221412x y -= 10．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m ，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n ，且m ，{}1,2,3n ∈，若1m n -≤，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．7911．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）A ．35B ．45- C．3- D．12．已知函数21(),()2ln 2,()f x kx g x x e x e e==+≤≤，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，则实数k 的取值范围是（ ） A ．224[,]e e -- B ．2[,2]e e - C ．24[,2]e e - D ．24[,)e -+∞二、填空题13．已知多项式5432()254367f x x x x x x =--+-+，则(5)f =________． 14．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为__________. 15．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，若()()'1f x f x +>，()02020f =，则不等式()2019x x e f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为__________.16．已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，BC ＝3，PB ＝PC =则三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为______．三、解答题17．如图，在四棱锥E ABCD -中，ADE 是等边三角形，侧面ADE ⊥底面ABCD ，其中//AB DC ，24BD DC ==，3AD =，5AB =.（Ⅰ）F 是EC 上一点，求证：平面⊥BDF平面ADE ； （Ⅱ）求三棱锥C BDE -的体积.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =，()1310n n n S nS ++-=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若*112,n n n n a b n S S ++=∈N ，求证：123n b b b +++<.19．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示．()1已知[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；()2该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，并在这5人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和为200元的概率．20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(2,2)A ，点B 在抛物线C 上，且满足2OF FB FA =-（O 为坐标原点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l D '，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线l D '与抛物线C 交于M ，N 两点，OPQ △的面积记为1S ，OMN 的面积记为2S ，求证：221211S S +为定值. 21．已知函数()2ln f x x x x =-+ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明当2a ≥时，关于x 的不等式()2(1)12af x x ax <-+-恒成立； 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 3的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，A 、B 均异于原点O ，且||AB =求实数α的值．23．已知函数()2f x x m x =--+（m R ∈），不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值.参考答案1．C【解析】【分析】先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R 的范围,最后根据交集的含义计算()R A B ⋂的结果. 【详解】因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,R A =-∞-⋃+∞, 又因为()1,B =+∞,所以()[)3,R A B =+∞.故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解. 2．B【分析】先根据(2)34z i i i +=-计算出复数z ，写出其共轭复数z ，即可根据复数的坐标表示选出答案．【详解】设复数z a bi =+，(2)(2)3423z i i ai b i b ∴+=-+=-⇒+=-，4a =-； 4a ∴=-，5b =-；∴复数45z i =--，∴45z i =-+， 复数z 在复平面内对应的点位于第二象限．故选B ．【点睛】本题考查共轭复数与复数的坐标表示，属于基础题．3．C【分析】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得．【详解】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==，3lg log lg 3t b t ==， |lg ||lg ||lg |(lg3lg 2)||||0lg 2lg3lg 2lg3t t t a b -∴-=-=>⋅，因此，||||a b >. 故选：C.【点睛】 本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．4．D【分析】 先利用半角公式（或二倍角公式）求得tan2α，再根据两角和正切公式求结果. 【详解】∵α为锐角，3cos 5α=，∴4sin 5α， 则2sin 2sin cos222tan 2cos 2cos 22αααααα==4sin 1531cos 215αα===++， ∴1tan tan 1422tan 31421tan tan 1422παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--. 故选：D【点睛】本题考查半角公式以及两角和正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.5．C【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得：k ＝1，s ＝1，s ＝1，不满足判断框内的条件，执行循环体，k ＝2，s ＝4，不满足判断框内的条件，执行循环体，k ＝3，s ＝6，不满足判断框内的条件，执行循环体，k ＝4，s ＝11，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出k 的值为4.因此判断框内的条件可填：s ＞10？故选：C .【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.6．D【分析】设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22(2)8x y +-=，写出点M 的参数方程，则·22os OM ON θ=，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON 结果.【详解】设(,)M x y ，则∵MA MO =，()0,2A -=∴2222(2)2()x y x y ++=+∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程∴点M的参数方程为2x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）则由向量的坐标表达式有：·22os OM ON θ=又∵cos [1,1]θ∈-∴2·2[OM ON θ=∈-故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法7．D【分析】6根算筹可分为1、5,2、4，3、3，再根据图示写出可能的组合，即可得出答案．【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2714⨯=个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示212⨯=个两位数； 则一共可以表示14216+=个两位数；故选D ．【点睛】本题结合算筹计数法，考查排列与组合，属于基础题，本题的关键在于读懂题意． 8．C【分析】首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解.【详解】当0x ≥时,2()45f x x x =-<的解为05x <≤；当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<，所以不等式()5f x <的解集为{}55x x -<<，所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}52573x x x x -<+<=-<<.故选：C【点睛】本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题. 9．A 【分析】先根据双曲线性质得a =1b =，即得双曲线C 的方程.【详解】由图可知，a =30，所以3b a =，解得1b =，所以双曲线C 的方程为2213x y -=.故选：A 【点睛】本题考查双曲线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 10．D 【分析】由m ，{}1,2,3n ∈，分别作分类讨论，可写出9组数据，再结合古典概型公式计算即可 【详解】当1m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()1,1,1,2,1,3； 当2m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()2,1,2,2,2,3； 当3m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()3,1,3,2,3,3；其中符合1m n -≤的组合为： ()()()()()()()1,1,1,2,2,1,2,2,2,3,3,2,3,37种情况， 故两人心有灵犀的概率为：79P = 故选：D 【点睛】本题考查古典概型的基本求法，列举法、树状图法常用来求解此种题型，属于基础题 11．B 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定()12sin x x -的值. 【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=， 结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且120x x π<<<，故12712312x x πππ<<<<， 2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．B 【分析】设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -,推导出2k lnx x=-，由此利用导数性质能求出实数k 的取值范围. 【详解】因为函数()()21,2ln 2,f x kx g x x e x e e ⎛⎫==+≤≤ ⎪⎝⎭的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，所以设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -, 所以22ln 2e kx x e -=+，所以2k lnx x =-，222lnx k x+='-，由0k '=得x e =， 因为21x e e ≤≤，所以1,)x e e⎡∈⎢⎣时，0k '<，2k lnx x =-是减函数； 当2(,x e e ⎤∈⎦时，0k '>，2k lnx x=-是增函数， 所以x e =时，22k lne e e =-=-；当2x e =时，22224k lne e e =-=-， 当1x e=时，2121k ln ee e =-=；所以2min k e=-，2max k e =，所以实数的取值范围是22e e，⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, 所以选B. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要构造函数，由导函数确定研究构造的函数的单调性，从而可求出结果. 13．2677 【分析】结合秦九韶算法，将5432()254367f x x x x x x =--+-+转化为()()()()5432()254367254367f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+，然后由内至外逐步计算即可求出答案 【详解】()()()()5432()254367254367f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+令125,t x =- 当5x =时，12555t =⨯-=；则令214t t x =-，当15,5t x ==时，255421t =⨯-=； 则令323t t x =+，当221,5t x ==时，32153108t =⨯+=； 则令436t t x =-，当3108,5t x ==时，410856534t =⨯-=；则令547t t x =+，当4534,5t x ==时，5534572677t =⨯+=； 故(5)2677f = 故答案为：2677 【点睛】本题考查秦九韶算法，将多项式转化为()()()()()254367f x x x x x x =--+-+至关重要，属于中档题 14．95【分析】令1,2a m b n =+=+，则5a b +=，1312n m n ++++可化为111a b++，利用基本不等式可求11a b+的最小值，从而可得所求的最小值. 【详解】令1,2a m b n =+=+，则5a b +=，且13a <<，24b <<， 又1311112n m n a b++=++++， 而()()114222551151115b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎛⎫+=⨯+⎝⨯ ⎪⎝⎭⎭， 当且仅当52a b ==时等号成立， 故1312n m n ++++的最小值为95. 故答案为：95.【点睛】本题考查多变量代数式的最值问题，一般可用基本不等式来求最值，但需要对原代数式化简变形以便出现和为定值或积为定值的形式，注意利用基本不等式求最值时要验证等号是否成立.15．()0,∞+ 【分析】构造函数()()2019xxg x e f x e =--，由题意，只需解()0>g x 即可，利用导数研究()g x的单调性即可得到答案. 【详解】设()()2019x xg x e f x e =--，不等式()2019x xe f x e >+的解等价于不等式()0>g x 的解，因为''()(()()1)0xg x e f x f x =+->，所以()g x 在R 上单调递增，又(0)(0)120190g f =--=， 所以()0(0)g x g >=，所以0x >，所以原不等式的解集为()0,∞+ 故答案为：()0,∞+ 【点睛】本题主要考查构造函数利用函数的单调性解不等式，考查学生转化与化归思想，是一道中档题. 16．10π 【分析】由O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，可得球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心， 在△PBC 中，由余弦定理、正弦定理可得R . 【详解】因为O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，根据球的性质，球心一定在垂线l 上，∵球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心，在△PBC 中，由余弦定理得cos B 22222PB BC PC BP BC +-==⋅，⇒sin B 2=，由正弦定理得：2PC R sinB =，解得R 2=， ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为s ＝4πR 2＝10π， 故答案为10π． 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.17．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ. 【分析】（Ⅰ）由勾股定理得BD AD ⊥，再由平面ADE ⊥平面ABCD ， 得BD ⊥平面ADE ，得证；（Ⅱ）由13C BDE E BCD BCD V V S EH --==⋅△，得11235C BDE V -=⨯= 【详解】 （Ⅰ）在ABD △中，4BD =，3AD =，5AB =222AB AD BD ∴+=，BD AD ∴⊥又平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，BD ∴⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF∴平面⊥BDF 平面ADE（Ⅱ）取AD 中点H ，由ADE 为等边三角形得EH AD ∴⊥ 平面ADE ⊥平面ABCD ，EH ∴⊥平面ABCD ，1·3C BDE E BCD BCD V V S EH --∴==△又因为ADE 中，2EH =， 在ABD △中，AB 边上的高341255⨯== 112112(25)342525BCD ABCD ABD S S S ∆∴=-=⨯+⨯-⨯⨯=△11235C BDE V -∴=⨯=∴三棱锥C BDE -.考点：空间中的位置关系、体积计算． 18．（1）()3*423,n n a n n -=+⋅∈N ；（2）证明见解析.【分析】（1）题设中的递推关系可转化为131n n S S n n +=+，利用等比数列的通项公式可求n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，从而求出n S 后可求{}n a 的通项公式.（2）利用裂项相消法可求{}n b 的前n 项和，从而可证不等式成立. 【详解】（1）∵()1310n n n S nS ++-=，∴131n n S S n n+=+，又12013S =≠，所以113n n S n S n++=， ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以23为首项，3为公比的等比数列，∴1223233n n n S n --=⨯=⨯，223n n S n -=⋅. 当2n ≥时，()()2331=23213423n n n n n n a S S n n n -----=⋅--⋅=+⋅；当1n =时，123a =符合上式，∴()3*423,n n a n n -=+⋅∈N . （2）证明：()1111122112n n n n n n n n n n S S ab S S S S S S +++++-⎛⎫===- ⎪⎝⎭，∴12122311111112n nn b b b S S S S S S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111223n S S S +⎛⎫=⨯-<⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项的求法以及裂项相消法求和，后者应该根据通项的特征选择合适的求和方法.19．(1)0.035a =，0.025b =.(2)35【详解】试题分析：(1)根据频率直方图中结论：所有频率之和为1，则有：(0.0150.0100.015)101a b ++++⨯=，即有：0.060a b +=，又由条件：[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，则有：20.015b a =+，解方程组得：0.035a =，0.025b =；(2) 根据(1)中：0.060a b +=，可得高消费人群所占比例为60100，有利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. 由古典概率模型的求法：令高消费的人为,,A B C ，潜在消费的人为,a b ，从中取出三人，例举总共有：,,,,,,,,,,ABC ABa ABb ACa ACb BCa BCb Aab Bab Cab 这10种情况，其中,,,ABa ABb ACa ,,ACb BCa BCb 为获得代金卷总和为200元的情况，运用概率公式可求出三人获得代金券总和为200元的概率.试题解析：(1) 根据频率直方图中结论：所有频率之和为1，则有：(0.0150.0100.015)101a b ++++⨯=，即有：0.060a b +=，又由条件：[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，则有：20.015b a =+，解方程组得：0.035a =，0.025b =根据(1)中：0.060a b +=，可得高消费人群所占比例为60100，有利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. 令高消费的人为,,A B C ，潜在消费的人为,a b ，从中取出三人，总共有：,,,,,,,,,,ABC ABa ABb ACa ACb BCa BCb Aab Bab Cab 10种情况， 其中,,,,,ABa ABb ACa ACb BCa BCb 为获得代金卷总和为200元的情况， 因此，三人获得代金券总和为200元的概率为35. 考点：考查统计与概率的相关知识20．（1）24y x =（2）见解析【分析】（1）先根据条件解得B 点坐标，代入抛物线方程解得p ，即得结果；（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得1S 与2S ，最后代入化简221211S S +得结果. 【详解】 （1）设11(,)B x y 11(,0),2(,0)(4,4)222p p pF OF FB FA x p y ∴=-⇒=--+- 11114,404,422p px p y x y =--+-=∴== 因为点B 在抛物线C 上，2242424p p y x ∴=⋅∴=∴=（2）由题意得直线l 的斜率存在且不为零，设:1l x my =+，代入24y x =得2440y my --=，所以1212124,4||y y m y y y y +==-∴-==因此1211||1S 2y y =-⨯=2S =因此22222212211111114(1)4(1)4(1)44(1)m S S m m m m+=+=+=++++ 【点睛】本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题. 21．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令()()()221111122a g x f x x ax lnx ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而证出结论即可； 解析：（1）()()2121'210x x f x x x x x-++=-+=＞，由f'（x ）＜0，得2x 2﹣x ﹣1＞0．又x ＞0，所以x ＞1，所以f （x ）的单调递减区间为（1，+∞），函数f （x ）的单增区间为（0，1）．（2）令()()()221111122a g x f x x ax lnx ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()()()2111'1ax a x g x ax a x x-+-+=-+-=，因为a≥2，所以()()11'a x x a g x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令g'（x ）=0，得1x a =，所以当()10'0x g x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，＞，当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，g'（x ）＜0，因此函数g （x ）在10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，是增函数，在1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，是减函数，故函数g （x ）的最大值为()2111111()1122g ln a a lna a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()12h a lna a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为()12204h ln =-＜，又因为h （a ）在a∈（0，+∞）是减函数， 所以当a≥2时，h （a ）＜0，即对于任意正数x 总有g （x ）＜0，所以关于x 的不等式恒成立．点睛：这个题目考查的是利用导数研究函数的单调性和最值问题；证明不等式的恒成立问题；证明不等式恒成立问题一般采用以下方法：其一可以转化为函数最值问题，使得函数最值大于或者小于0；其二可以转化为两个函数的不等式关系，使得一个函数的最小值大于另一个函数的最大值．22．（1）22(3x y +=，22(1)1x y -+=；（2）512πα=或1112πα=． 【分析】（1）利用22cos sin 1φφ+=可得曲线1C 的普通方程 ，将2cos ρθ=左右两边同时乘以ρ，再化为直角坐标方程；（2）将曲线3C 与曲线12,C C 的极坐标方程分别联立，求出,A B 两点的极径，则||A B AB ρρ=-，可求得实数α的值.【详解】（1）由曲线C 1的参数方程x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），即cos sin φφ==，得曲线C 1的普通方程为22(3x y +=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，由曲线C 2的极坐标方程2cos ρθ=，得C 2的直角坐标方程为22(1)1x y -+=；（2）曲线C 1化为极坐标方程为ρθ=，设()()12,,,A B ραρα，则12,2cos ραρα==，∴|||2cos |4sin 6AB πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由||AB =sin 62πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭， ∵5666πππα-<-<，∴64ππα-=或364ππα-=， ∴512πα=或1112πα=． 【点睛】本题考查直线的参数方程与极坐标方程，是高考的重要考点，解题的关键是熟练掌握极坐标与直角坐标的互化，属于中档题．23．（1）6m =（2）32【分析】()1利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于m 的方程,求出m 的值即可; ()2由()1知6m =可得,212a b c ++=，利用三个正数的基本不等式a b c ++≥,构造和是定值即可求出()()()113a b c ++-的最大值.【详解】（1）∵()2f x x m x =--+，()2222f x x m x ∴-=----+，所以不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，, 即为不等式20x m x ---≥的解集为(] 4-∞，， ∴2x m x --≥的解集为(] 4-∞，, 即不等式()222x m x --≥的解集为(] 4-∞，， 化简可得,不等式()()2220m m x ++-≥的解集为(] 4-∞，， 所以242m +=,即6m =. （2）∵6m =，∴212a b c ++=.又∵0a >，0b >，3c >，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-= ()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-,212a b c ++=等号成立,即3a =，1b =，7c =时，等号成立，∴()()()113a b c ++-的最大值为32.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式a b c ++≥的灵活运用;其中利用212a b c ++=构造出和为定值即()()()1223a b c ++-+-为定值是求解本题的关键;基本不等式a b +≥取最值的条件:一正二定三相等是本题的易错点; 属于中档题.。

2020年甘肃省兰州第一中学 高三 5月模拟考试试题数学（文）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡第Ⅰ卷一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

） 第Ⅰ卷（选择题，共60分）1．已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|21xB y y ==+，则A B =I A ．∅B ．(]1,3C ．(]0,3 D ．()1,+∞2．若复数满足()1i 1z +=+，则复数的共轭复数的模为A ．1BC ．2D．3．若x ，y 满足20,220,2,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则3x y +的最小值为A ．2B ．10C ．4D ．84．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是 A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．若tan()34πα+=-，则2sin 2cos αα-=A ．35 B ．25-C ．-1D ．36．在如图所示的程序框图中，若输入的2s =，输出的2018s >，则判断框内可以填入的条件是A ．9i >B ．10i ≤C ．10i ≥D ．11i ≥ 7．为了得到函数sin y x =的图象，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象A ．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移6π个单位B ．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6π个单位 C ．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移6π个单位D ．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，2PA PB PC ===，且PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球O 的体积为A ．163πB ．83πC ．3πD ．23π9．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．215πB ．320π C ．2115π-D ．3120π-10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n T ，34a =，627T =，数列{}n b 满足1123n b b b b +=++n b +⋅⋅⋅+，11b =，设n n n c a b =+，则数列{}n c 的前11项和为A.1062B.2124C.1101D.110011．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ,2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为A 1B C ．2D 12．已知函数31()21xxf x x x e e =-++-，其中是自然对数的底数．若(1)f a -+()222f a ≤，则实数a 的取值范围是A.31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知()1,2a =r，()4,b k =r ，若()()2//3a b a b +-r r r r ，则k =_________．14．一个车间为了规定工作原理，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：由表中数据，求得线性回归方程0.6ˆ5ˆyx a =+，根据回归方程，预测加工70个零件所花费的时间为__________分钟．15．若等比数列*{}()n a n N ∈满足1330a a +=，2410a a +=，则12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为__________．16．已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 向圆221(1)2x y -+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形AFBM 面积的最小值为___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本题满分12分）已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）设111ππ1212x <<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围．18．（本题满分12分）设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(2)a c BC BA +⋅+u u u r u u u r 0cCA CB ⋅=u u u r u u u r.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若23b =AB CB ⋅u u u r u u u r的最小值． 19．（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()*12n n a S n +=+∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令()()11211n n n n b a a -+=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ，求证：12n T <．20．（本题满分12分） 设函数()365f x x x =-+.（Ⅰ）求过()0,3点的切线方程；（Ⅱ）若方程()f x a =有3个不同的实根，求a 的取值范围；（Ⅲ）已知当()1,x ∈+∞时，()()1f x k x ≥-恒成立，求实数k 的取值范围． 21．（本题满分12分）已知函数211()ln (1)22f x x x m x m =+-+++． （Ⅰ）设2x =是函数()f x 的极值点，求m 的值，并求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意的(1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，求m 的取值范围．（二）选考题：共10分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本题满分10分）已知直线l的参数方程为1,,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为24cos sin 4ρρθθ=+-． (Ⅰ) 求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ) 设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求OA OB ⋅的值． 23．[选修4—5：不等式选讲] （本题满分10分） 已知函数()21f x x x a =-++，()2g x x =+． （Ⅰ）当1a =-时，求不等式()()f x g x <的解集； （Ⅱ）设12a >-，且当1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．8 14．102 15．729 16.12三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．解：（Ⅰ）显然2A =，又图象过(0,1)点，∴(0)1f =，∴1sin 2ϕ=，∵π||2ϕ<，∴π6ϕ=．又最小正周期2π2π2ππ36T ω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，∴2ω=，∴所求的函数解析式为π()2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （2）如图所示，在同一坐标系中画出ππ11π2sin 261212y x x ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭和y m =的图象，由图可知，当20m -<<2m <<时，直线y m =与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，∴m 的取值范围为(2,0)2)-⋃． 18．解：（Ⅰ）因为(2)0a c BC BA cCA CB u u u r u u u r u u u r u u u r+⋅+⋅=，所以(2)cos cos 0a c ac B cab C ++=，即(2)cos cos 0a c B b C ++=，则(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++=， 所以2sin cos sin()0A B C B ++=，即1cos 2B =-，所以23B π=. （Ⅱ）因为22222cos3b ac ac π=+-，所以22123a c ac ac =++≥，即4ac ≤， 所以AB CB ⋅u u u r u u u r =21cos 232ac ac π=-≥-，即AB CB ⋅u u u r u u u r 的最小值为2-. 19．解：（Ⅰ）*1(2)n n a S n +=+∈N ，① 当1n =时，212a S =+，即24a =， 当2n ≥时，12nn a S -=+，②由①—②可得11n nn n a a S S +--=-， 即12n n a a +=， ∴2222n n n a a -=⨯=，2n ≥当1n =时，1122a ==，满足上式，∴2n n a =*()n ∈N .（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()1112111221212121n n n n n n b -++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭∴11111111111123372121221n n n n T ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭L ，∴12nT < 20.解：(Ⅰ)设切点为()3,65a a a -+，()236f x x ='-，()236k f a a ∴='=-切Q 切线过()0,3，3365362a a a a k a a-+--+∴==切，323362363662a a a a a a a a-+-=⇒-=-+3221a a ⇒=⇒=.363k ∴=-=-切:33l y x ∴=-+切.(Ⅱ)对函数()365f x x x =-+求导，得()236f x x ='-，令()0f x '>，即2360x ->，解得x >x <()0f x '<，即2360x -<，解得x <<，()f x ∴的单调递增区间是(,-∞及)+∞，单调递减区间是(.当x =()f x 有极大值5+x =()f x 有极小值5-∴当55a -<<+y a =与()y f x =的图象有3个不同交点，此时方程()f x a =有3个不同实根.∴实数a 的取值范围为(5-+ .(Ⅲ)()1,x ∈+∞时，()()1f x k x ≥-恒成立，即3651x x k x -+≤-恒成立，令()3651x x g x x -+=-，则()()()22515,1x x x g x x x x +--==+--()g x ∴的最小值为3-，3k ∴≤-.21.解：（Ⅰ）由题意，函数()()211ln 1(0)22f x x x m x m x =+-+++>， 则()11f x x m x'=+--，因为2x =是函数()f x 的极值点，所以()122102f m +'=--=，故32m =，即()152f x x x =+-'，令()21525222x x f x x x x-+'=+-=>，解得102x <<或2x >.令()225202x x f x x'-+=<，解得122x <<,所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞上单调递增，在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）由()11f x x m x'=+--，当1m ≤时，()0f x '>，则()f x 在()1,+∞上单调递增，又()10f =，所以()211ln 1022x x m x m +-+++>恒成立；当1m >时，易知()11f x x m x'=+--在()1,+∞上单调递增，故存在()01,x ∈+∞，使得()00f x '=， 所以()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()10f =，则()00f x <，这与()0f x >恒成立矛盾.综上，1m ≤.22.解：(Ⅰ)∵直线l的参数方程为1x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），∴直线l的普通方程为)1y x =-，即y =，∴直线l 的极坐标方程为=3πθ，又∵曲线C的极坐标方程为24cos sin 4ρρθθ=+-，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴2244x y x +=+-，即()(2223x y -+=，∴曲线C 的直角坐标方程为()(2223x y -+-=.(Ⅱ)∵将直线l ：=3πθ代入曲线C的极坐标方程：24cos sin 4ρρθθ=+-得2540ρρ-+=，设直线l 与曲线C 的两交点,A B 的极坐标分别为()11,A ρθ，()22,B ρθ，∴124ρρ=， ∴12124OA OB ρρρρ⋅=⋅==．23. 解：（Ⅰ）当1a =-时，不等式()()f x g x <化为：21120x x x -+---<，当12x ≤时，不等式化为12120x x x -+---<，解得：102x <≤；当112x <≤时，不等式化为21120x x x -+---<，解得：112x <≤； 当1x >时，不等式化为21120x x x -+---<，解得：12x <<. 综上，原不等式的解集为()0,2 （Ⅱ）由12a x -≤<，得221a x -≤<，21210a x --≤-<，又102x a a ≤+<+ 则()()211f x x x a x a =--++=-++，∴不等式()()f x g x ≤化为：12x a x -++≤+得21a x ≤+对1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭都成立.21a a ∴≤-+，解得：13a ≤.又12a >-，故a 的取值范围是11,23⎛⎤- ⎥⎝⎦.。