反应谱曲线及公式

第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱一、水平地震作用的基本公式 由上一节可知，()()[]()()t kx t x c t xt x m +=+- 0 3.26因()()r kx t xc ，略去不计，有()()[]()t kx t x t x m ≈+-0 3.27质点的绝对加速度为3.28()()()()()t x t x mkt xt x t a 20ϖ-=-=+= 将式3.24代入上式，得3.29质点的最大绝对加速度为()m ax a t a S =3.30一、 地震反应谱 反应谱分析法：求解结构最大地震反应的方法即反应谱分析法，这种方法是对单质点单自由度体系，在给定的阻尼比 时，取不同的自振周期T ，求出任意给定的地震波下的最大加速度 。

然后，以阻尼比 为参数，作出自振周期T 与最大反应的关系曲线族，即反应谱。

这样一来，对于任何单质点、单自由度体系，如果已知其自振周期T 、阻尼比 ，便可从反应谱图中直接查得该结构体系在特定地震波下的最大反应，实际运用是比较方便的。

图3.7是根据1940.5.18美国埃尔森特罗地震时地面运动加速度记录绘出的加速度反应谱曲线。

任何地震波所得的地震反应谱，几乎后共同的特点。

1、谱曲线是多峰点的，是由于地面运动的不规则造成的，但在阻尼比等于零时反应谱的谱值最大，而任何较小的阻尼比都能否使峰点削平很多。

2、当结构自振周期较小时，随周期T 的增加，反应急剧增长，而较大自振周期时，反应逐渐衰减、稳定。

目前，世界各国已普遍计算和利用地震反应谱。

在现今设计中，已有许多可以直接应用的地震反应谱，包括最大加速度、最大相对加速度或最大相对位移反应，以满足不同使用的要求。

aS 与质点质量的乘积即为水平地震作用的绝对最大值a mS F = 3.31二、 标准反应谱βGk x Sg x mg mS F max a max a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00 3.32式中： k—— 地震系数 β—— 动力系数mg G =——重力（一）地震系数1、概念：即指地面运动最大加速度与重力加速度的比值2、公式：gxk max0 =3.333、有关因素：与地震烈度有关4、确定：见表 3.1 （二）动力系数β1、概念：即指单质点弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面最大加速度之比。

抗震设计中反应谱的应用一．什么就是反应谱理论在房屋工程抗震研究中,反应谱就是重要的计算由结构动力特性所产生共振效应的方法。

它的书面定义就是“在给定的地震加速度作用期间内,单质点体系的最大位移反应、速度反应与加速度反应随质点自振周期变化的曲线。

用作计算在地震作用下结构的内力与变形”,反应谱理论考虑了结构动力特性与地震动特性之间的动力关系,通过反应谱来计算由结构动力特性(自振周期、振型与阻尼)所产生的共振效应,但其计算公式仍保留了早期静力理论的形式。

地震时结构所受的最大水平基底剪力,即总水平地震作用为:FEK = kβ(T)G式中,k为地震系数,β(T)则就是加速度反应谱Sa(T)与地震动最大加速度a的比值,它表示地震时结构振动加速度的放大倍数。

β(T)=Sa(T)/a反应谱理论建立在以下基本假定的基础上:1)结构的地震反应就是线弹性的,可以采用叠加原理进行振型组合;2)结构物所有支承处的地震动完全相同:3)结构物最不利地震反应为其最大地震反应:4)地震动的过程就是平稳随机过程。

二．实际房屋抗震设计中的应用为了进行建筑结构的抗震设计,必须首先求得地震作用下建筑结构各构件的内力。

一般而言,求解建筑结构在地震作用下构件内力的方法主要有两种,一种就是建立比较精确的动力学模型进行动力时程分析计算,这种方法比较费时费力,其精确度取决于动力学模型的准确性与所选取地震波就是否适当,并且对于工程技术人员来说,这种方法不易掌握;第二种方法就是根据地震作用下建筑结构的加速度反映,求出该结构体系的惯性力,将此惯性力作为一种反映地震影响的等效力,即地震作用,然后进行抗震计算,抗震规范实际上采用了第二种方法,即地震作用反应谱法。

实践也证明此方法更适合工程技术人员采用。

由于目前抗震规范中的地震作用反应谱仅考虑结构发生弹性变形情况下所得的反应谱,因此当结构某些部位发生非线性变形时,抗震规范中的反应谱就不能适用,而应采用弹塑性反应谱来进行计算。

清华规范反应谱公式清华规范反应谱公式可分为加速度反应谱和速度反应谱两种类型。

加速度反应谱描述了地震动对结构物的加速度影响，而速度反应谱则描述了地震动对结构物的速度影响。

这些反应谱的计算基于地震动时程分析和傅里叶变换的原理。

对于加速度反应谱公式，清华规范采用了双曲线模型来描述结构物在地震动下的加速度响应。

该模型以地震动参数的峰值加速度为输入，进而推导出结构物的反应加速度随频率的变化规律。

具体地，清华规范的加速度反应谱公式如下：Sa(T)=ξSa,g(T)×[(1+c1α+c2α^2)/(1+α)],其中，Sa(T)表示在周期为T的地震动下的加速度反应谱；ξ为地震动参数的比值，等于实际地震动的峰值加速度与设计地震动的峰值加速度的比值；Sa,g(T)为设计地震动下的加速度反应谱；α为结构物的振动周期与地震动周期的比值；c1和c2为与结构物的阻尼比有关的系数，可根据工程经验进行选择。

对于速度反应谱公式，清华规范同样采用了双曲线模型。

速度反应谱公式如下：Sv(T)=ξSv,g(T)×(1+c1α+c2α^2)/(1+α),其中，Sv(T)表示在周期为T的地震动下的速度反应谱；ξ为地震动参数的比值，等于实际地震动的峰值速度与设计地震动的峰值速度的比值；Sv,g(T)为设计地震动下的速度反应谱；α为结构物的振动周期与地震动周期的比值；c1和c2为与结构物的阻尼比有关的系数，可根据工程经验进行选择。

需要注意的是，清华规范的反应谱公式是以设计地震动参数为基础进行计算的，因此在实际工程中应根据具体情况进行调整。

此外，反应谱公式中的系数c1和c2对结构的动态特性影响较大，因此在选择时需要考虑结构物的性质和使用要求。

总体而言，清华规范反应谱公式提供了一种有效的工具，能够对地震动对结构物的动力响应进行定量描述。

在土木工程设计和抗震设计中，通过使用这些公式，可以合理评估结构物的抗震性能，从而确保结构物在地震中具有足够的安全性和稳定性。

【2017年整理】地震反应谱、设计反应谱与地震影响系数谱曲线地震反应谱、设计反应谱与地震影响系数谱曲线一直对反应谱这个东西，进来在听完一些免费结构讲座之后，自己总结了一下，梳理了一下几个概念，当然理解这些概念还需要对地震动的一些基本概念有一定理解，下次有机会再将地震动的东西总结一下，希望对初学者有点作用，文中所用图均来自网上。

1. 地震反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比相同但自振周期各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大反应与相应体系自振周期间的关系曲线。

但是, 不同场地类别和震中距对反应谱有影响，因而不能直接用于抗震设计，需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称为设计反应谱。

由结构动力学789地震系数，该参数可将地震动幅值对地震反应谱的影响分离出来。

与基本烈度的关系基本烈度地震系数k0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.40（另：本人对其结果很是不解，由后文可知，地震影响系数最大值等于的地震系数，而《抗震规范》2010表5.1.4-1除以2.25后应该为基本烈度地震系数kJt-/ J w *购）地震系数 2.25 倍0.0170.0355(0.0533)0.071(0.106)0.142欢迎大家讨论〜）a 八=动力系数，是体系最大绝对加速度的放大系数特点:a.是一种规则化的地震反应谱，且动力系数不受地震动振幅的影响。

b.与地震反应谱具有相同的性质，受到体系阻尼比，以及地震动频谱（场地条件和震中距）的影响。

调整:1、为了消除阻尼比的影响由于大多数实际建筑结构的阻尼比在0.05左右,取确定的阻尼比然后不同建筑物根据公式相应调整。

2、按场地震中距将地震动记录分类，消除地震动频谱对地震动的影响。

3、计算每一类地震动记录动力系数的平均值考虑类别相同的不同地震动记录动力系数的变异性。

经过上述三条措施后，再将计算得到的P （T）平滑化后，可得到抗震设计采用的动力系数谱曲线。

工e说讣来fl的站力•罠丁厂lit动耕盘阀期.蚣墙豪捋叽酿尼《鳖卓《”联】』3.地震影响系数谱曲线吏汇：反应谱的局限性：不能反映地震的持续时间（加速度幅值）不能考虑多点激励的影响（刚性地基）不能反映建筑物质量和刚度分布的不均匀不能反映多个阻尼的情况不能反映场地条件和卓越周期的影响不能反映低周疲劳的影响不能反映结构周期不确定性的影响1,万,1,千地质测量质量要求表（吉林参考）11,万1,5千1,2千1,千1,万草测1,2千草沉1对地层划分到组或阶，如范围大应进一步二分或三分，确定1.在1,万分成的基础上，按岩层、岩性特一般地段的研究程含矿层或地积其时代，测定其厚度及产状点进一步详细划分岩层，研究岩石的物质成度可低于1,万或成矿有利质岩2.对标志层、成矿有利的岩层在图上的宽度大于1毫米者应扩分、结构、构造特征，胶结物性质，结核体与之相似。

反映谱的应用及意义相关:当阻尼比给定时，任一结构对给定地震的最大相对位移反应和最大加速度反应仅由自振频率决定。

改变结构的自振频率，就可以得到不同的Sd和Sa。

给定地震作用下，不同周期对应结构地震反应的最大值。

结构的地震反应仅与结构的阻尼比及自珍频率有关。

反应谱的计算要完成一系列具有不同自振周期的结构反应。

利用抗震规范给出的平均反应谱可以得到一个工程场地结构地震反应的最大值。

（？如何由反应谱计算出反应时程？）5．1．5 建筑结构地震影响系数曲线(图5．1．5)的阻尼调整和：形状参数应符合下列要求：1 除有专门规定外，建筑结构的阻尼比应取0.05，地震影响系数曲线的阻尼调整系数应按1.0采用，形状参数应符合下列规定：1)直线上升段，周期小于0.1s的区段。

2)水平段，自0.1s至特征周期区段，应取最大值(αmax)。

3)曲线下降段，自特征周期至5倍特征周期区段，衰减指数应取0.9。

4)直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数应取0.02。

反应谱分析建立在振型分解反应谱理论基础上。

振型分解理论将结构的地震作用响应分解为各振型分量的叠加，即对应每个振型都有一个地震作用，然后通过一定的组合方法（SRSS，CQC，ABS等）叠加各振型结构的地震响应得到最终总的结构地震响应值。

振型分解法的数学和力学的本质：首先是利用功的互等定理（贝蒂定理）得到的振型正交性质，从而将多自由度结构振动偏微分方程组解耦成若干等效单自由度体系的常微分方程组，进而得到结构位移响应的解答。

当然，对于地震作用这样的复杂问题，结构振动的偏微分方程组的精确解是难以得到的，而必须采用数值解法。

常采用的数值解法有Wilson-θ法，New mark-β法等。

这些数值积分方法都有对应的求解程序，结构工程师不需要很精通这些数值求解方法的具体过程，而只需要建立一些概念即可。

这里需要注意一个概念：振型分析反应谱法只适用线弹性体系。

如果考虑结构的弹塑性性质，则这种方法不适用。

从理论上讲，如果反映谱分析所用的反映谱是时程分析分析时用的地震波所产生的反映谱，而分析又限於弹性阶段，两者几乎没有差别，因为反映谱分析(取足够的模态)只是忽略了影响很小的高阶效应。

但是如果结构进入非弹性阶段，只有用时程分析反应普法有几个假设:1,结构是弹性反应,反应可以叠加;2,无土结的相互作用;3,质点的最大反应即为其最不利反应;4,地震是平稳随机过程.而时程分析是把地震过程安时间步长分为若干段,在每时间段内安弹性分析,算出反应,然后再调整刚度和阻尼.总得一句话,就是步步积分法!①反应谱方法是一种拟静力方法，虽然能够同时考虑结构各频段振动的振幅最大值和频谱两个主要要素，但对于持时这一要素未能得到体现，震害调查表明，有些按反应谱理论设计的结构，在未超过设防烈度的地震中，也遭受到了严重的破坏，这充分说明了持时要素在设计中应该被考虑。

②反应谱方法忽略了地震作用的随机性，不能考虑结构在罕遇地震下逐步进入塑性时，因其周期、阻尼、振型等动力特性的改变，而导致结构中的内力重新分布这一现象。

③反应谱方法假设结构所有支座处的地震动完全相同，忽略基础与土层之间的相互作用。

时程分析方法是一种相对比较精细的方法，不但可以考虑结构进入塑性后的内力重分布，而且可以记录结构响应的整个过程。

但这种方法只反应结构在一条特定地震波作用下的性能，往往不具有普遍性。

我国反映谱方法的曲线是由255条地震波的地震反映的平均值，而非包络值，体现的是共性，但无法反映结构进入塑性的整体结构性能。

时程方法体现的是具体某条地震波的反映，不同地震波作用下结果的差异也很大，需要合理选波。

底部剪力法/反应谱法/时程分析法一些有用的概念/histruct/blog/item/465ce38787299023c75cc357.html从传统的观点来看，底部剪力法，反应谱法和时程分析法是三大最常用的结构地震响应分析方法。

那么正确的认识它们的一些关键概念，对于建筑结构的抗震设计具有非常重要的意义。

1.2 弹性反应谱在Maurice A. Biot []首先提出弹性反应谱的概念之后，经若干学者的发展，反应谱的概念已得到了较大程度的推广，且反应谱现在已被广泛地应用于地震工程的各个方面（如地震危险性分析、结构抗震设计、地震加速度记录的选择和调整及基于性能的地震工程等）。

目前，反应谱主要包括：傅立叶谱、弹性反应谱、弹塑性反应谱、能量反应谱和损伤谱等。

以下主要介绍弹性反应谱的定义，其余反应谱的定义与弹性反应谱类似。

所谓弹性反应谱就是在给定的地震加速度输入下，单自由度弹性系统的最大反应和体系的自振特征（自振周期或频率和阻尼比）之间的函数关系。

单自由度弹性系统的最大反应可以是：相对于地面的最大位移、相对于地面的最大速度、最大绝对加速度、拟速度和拟加速度。

在地面加速度的激励下，单自由度弹性系统的动力平衡方程为：)()()()(t u m t ku t u c t u m g -=++(1.1)式（1）的解可由Duhamel 积分求得：ττωτωτξωd t e u t u D t tg D)(sin )(1)()(0--=--⎰(1.2)将式（1.2）求导可得相对速度反应为：ττωτωτξωd t e ut uD t tg D)(sin )(1)()(0--=--⎰(1.3)将式（1.3）求导再与地面加速度相加可得绝对加速度反应为：ττωτωτξωd t e u t u t u D t tg Dg )(sin )(1)()()(0--=+--⎰(1.4)在式（1.1）～（1.4）中，m 为单自由度弹性体系的质量；c 为阻尼系数；k为体系的刚度系数；u(t)为体系相对于地面的位移；)(t u为体系的相对速度；)(t u 为体系的相对加速度；)(t u g 为地面加速度；ω为体系的无阻尼自振圆频率(ω2=2π/T=k/m )；T 为体系自振周期；ζ为阻尼比（ζ=c/2m ω）；ωD 为体系的有阻尼自振圆频率（21ξωω-=D ）。