初二数学上册知识点复习及配套练习新北师大版本

新北师大版八年级数学上册知识点复习第一章勾股定理1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即222a b c +=。

2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。

3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。

满足222a b c +=的三个正整数称为勾股数。

第二章实数1．平方根和算术平方根的概念及其性质：（1）概念：如果2x a =，那么x 是a 的平方根，记作：a ±；其中a 叫做a 的算术平方根。

（2）性质：①当a ≥0时，a ≥0；当a ＜０时，a 无意义；②()2a ＝a ；③2a a =。

2．立方根的概念及其性质：（1）概念：若3x a =，那么x 是a 的立方根，记作：3a ； （2）性质：①33a a =；②()33a a =；③3a -＝3a -3．实数的概念及其分类：（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；（2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。

无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。

4．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。

因此，数轴正好可以被实数填满。

5．算术平方根的运算律：（a ≥0，b ≥0）；（a ≥0，b ＞0）。

第三章位置与坐标1．直角坐标系及坐标的相关知识。

2．点的坐标间的关系：如果点A 、B 横坐标相同，则AB ∥y 轴；如果点A 、B 纵坐标相同，则AB∥x 轴。

3．将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1-倍，所得到的图形与原图形关于y 轴对称；将图形的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1-倍，所得到的图形与原图形关于x 轴对称；将图形的横、纵坐标都变为原来的1-倍，所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。

北师大版八年级上册数学知识点总及其复习巩固第一章 勾股定理1、勾股定理（1)直角三角形两直角边a,b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）（3)勾股定理的适用范围:仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数有：（6，8,10）（3,4，5)（5，12，，13)（9,12，15）(7,24，25)（9,40，41)……4、 勾股数的规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。

即当a 为奇数且a ＜b 时,如果b+c=a2， 那么a ，b,c 就是一组勾股数。

如(3,4，5）（5，12，，13)（7,24，25）（9，40，41）……（2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如： （6，8，10）（8，15，17）（10,24，26）……第一章 勾股定理一、基础达标:1。

下列说法正确的是（ )A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边,则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ,则a 2＋b 2＝c 2． 2。

△ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C 。

c b a <+ D 。

222c b a =+ 3．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定4．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12,则△ABC 的周长为( ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 5．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．6．假如有一个三角形是直角三角形,那么三边a 、b 、c 之间应满足 ，其中 边是直角所对的边；如果一个三角形的三边a 、b 、c 满足222b c a =+，那么这个三角形是 三角形，其中b 边是 边,b 边所对的角是 ．7．一个三角形三边之比是6:8:10,则按角分类它是 三角形．8． 若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是 ,另外一边的平方是 ．9．如图,已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ,以直角边BC 为直径ACB3m4m20m作半圆，则这个半圆的面积是 ．10． 一长方形的一边长为cm 3,面积为212cm ，那么它的一条对角线长是 ． 二、综合发展:11．如图,一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．12。

各种表达形式：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分
别为 a、b、c，则 c2＝ a2＋b2 ，a2＝ c2－b2 ，b2＝ c2－a2 .
作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求 另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．
2．勾股定理的逆定理
B
A．25 2 m B．25 m
50 C. 3 3 m
D．25 3 m
图 1－10
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7．如图1－11，已知△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，
以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是__8_81_π____．
图1－11
8．如图1－12，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置
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9．如图1－13所示，有一圆柱体，它的高为40 cm，底面周长
为60 cm.在圆柱的下底面A点处有一只蜘蛛，它想吃到上底面上 与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是____5_0___cm.
10．如图1－14，是一块长、宽、高分别是4 cm、2 cm和1 cm
的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着 长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要
第一按章丁生|过的关办测法试，将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形 ABFG，如图1－5所示：
则BF＝BC＋CF＝3＋2＝5(cm)，AB＝2 cm，连接AF，在 Rt△ABF中，AF2＝BF2＋AB2＝52＋22＝29≈5.392，
∴AF＝5.39 cm.连接AC， ∵AF<AC＋CF，
解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方 形AEFD，如图1－4所示：

的• •一次函数一．知识回顾（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y ，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。

* 判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的解读式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解读式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面 内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对 应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解读式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题 中的函数关系，不能用解读式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如 y = kx + b （ k ，b 是常数，且k ≠ 0 ）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。

北师大版八年级数学上册知识点及典型习题讲解目录《勾股定理》全章复习与巩固 (2)《实数和二次根式》全章复习与巩固 (8)《平面直角坐标系》全章复习与巩固 (16)《平面直角坐标系》全章复习与巩固 (24)《二元一次方程组》 (32)《平行线的证明》全章复习与巩固 (41)《勾股定理》全章复习与巩固要点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 要点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若时，△ABC 是锐角三角形； 若时，△ABC 是钝角三角形． 2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点诠释：a b 、c 222a b c +=a b c 、、222a b c +=c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜222x y z +=x y z 、、知识点常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.类型一、勾股定理及逆定理的应用例1、如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点(E左F右)，且∠ECF＝45°，求证：.举一反三：a b c、、at bt ct、、a b c、、a b c<<2a b c=+27 29222AE BF EF+=典型例题【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：.例2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．类型二、勾股定理及逆定理的综合应用222BD AB BC =+例3、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．例4、如图：正方形ABCD中，E是DC中点，F是EC中点.求证：∠BAF=2∠EAD.举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？类型三、勾股定理的实际应用例5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD ＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．例6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？《实数和二次根式》全章复习与巩固要点一、平方根和立方根 类型 项目平方根立方根 被开方数 非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论要点二、无理数与实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类实数 要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.a ±3a ⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数532知识点2.实数与数轴上的点一 一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。

北师大版八年级（上）册数学知识点复习第一章：勾股定理知识点1：勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+.几何表示：222c b a =+知识点2：勾股定理逆定理（直角三角形判别条件）（1）如果三角形的三边长a，b，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.（2）勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数.第二章：实数知识点1:无理数（1）无限不循环小数称为无理数.（2）有限小数（即：分数），整数，无限循环小数为有理数.知识点2：平方根（1）算术平方根概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即：a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“a ”，读作：根号a，如：932=，则39=；或者：,3=a 则9=a .（2）特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即：00=（3）注：负数没有算术平方根；当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数；a （a≥0）是一个非负数.（4）平方根概念：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）.（5）一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它就是0本身；负数没有平方根.（6）一个正数的两个平方根记作：a ±.abc（7）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==.0,0,00,2a a a a a a a 知识点三：立方根（1）概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a，即a x =3，那么这个数x就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）；3a x =.（2）性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.知识点四：实数（1）概念：有理数和无理数统称为实数.（2）实数分类1：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧数无理数：无限不循环小无线循环小数有限小数分数负整数正整数整数有理数实数（3）实数分类2：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数正无理数正分数正整数正有理数正实数实数0，.......知识点五：二次根式（1）概念：一般地，形如)0≥a a 的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数.（2）二次根式的性质：()()⎪⎩⎪⎨⎧>≥=≥≥∙=0,00,0b a b a b a b a b a ab 语言叙述：积的算术平方根，等于算数平方根的积；商的算术平方根，等于算术平方根的商.（3）最简二次根式包含两个条件：○1，被开方数不含分母，○2，也不含开得尽方的因数或因式.（4）分母有理化：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号.（5）二次根式的运算：第三章：位置与坐标知识点一：确定位置概念：在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据.知识点二:平面直角坐标系（1）概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.通常，两条数轴分别位于水平位置与铅直位置，取向右与与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x 轴或横轴，铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，x 轴，y轴统称为坐标轴，它们的公共原点称为直角坐标系的原点.（2）直角坐标系如下：（3）坐标轴上的点不在任何一个象限.（4）在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应.知识点三：轴对称与坐标变化（1）关于x 轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数.（2）关于y 轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数.（3）关于原点对称的两个点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≥=≥≥=∙.0,00,0里的，如果有括号先算括号再算乘除，最后算加减混合运算：先算乘方，的二次根式合并；，然后把被开方数相同根式化成最简二次根式加减法：先把各个二次；除法法则：；乘法法则：b a b a b a b a ab b a第四章：一次函数知识点一：函数（1）概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和y ，并且对于变量x 的每一个值，变量y 都有唯一的值与它对应，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量.（2）表示函数的方法一般有：列表法，关系式法，图像法.（3）自变量取值应考虑如下两个方面：○1必须使含有自变量的代数式有意义；○2满足实际问题的意义.知识点二：一次函数与正比例函数概念：若两个变量x，y 间的对应关系可以表示成：b kx y +=（k，b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数，特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数，即：()0≠=k kx y .知识点三：一次函数的图像（1）在正比例函数()0≠=k kx y 中：○1当k＞0时，y 的值随着x 的增大而增大；k 的值越大，函数值上升越快；○2当k＜0时，y 的值随着x 的增大而减小；k 的值越大，函数值下降越快.（2）kxy =b kx y +=.（3）一次函数b kx y +=的图象经过点（0，b）：○1当k＞0时，y 的值随着x 的增大而增大，若b＞0，图象过一，二，三象限；若b＜0，图象过一，三，四象限.○2当k＜0时，y 的值随着x 的增大而减小，若b＞0，图象过一，二，四象限；若b＜0，图象过二，三，四象限.（4）直线111:b x k y l +=与直线222:b x k y l +=的位置关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠≠==≠=.,,,21212121212121轴上同一点时，位置关系为：交于；时，位置关系为：相交；时，位置关系为：重合；时，位置关系为：平行y b b k k k k b b k k b b k k 知识点四：一次函数b kx y +=与方程0=+b kx 的关系关系：一般地，当一次函数b kx y +=的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程0=+b kx 的解，从图象上看，一次函数b kx y +=的图形与x 轴的交点的横坐标就是方程0=+b kx 的解.向上平移b （b ＞0）个单位向下平移b （b ＜0）个单位第五章：二元一次方程组知识点一：认识二元一次方程组（1）二元一次方程概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.（2）二元一次方程组概念：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.（3）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.（4）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.知识点二：求解二元一次方程组解二元一次方程组的方法()()⎩⎨⎧. 21加减消元法代入消元法；知识点三：二元一次方程组的应用列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：○1，审：审题，分析题中已知条件和所求问题，明确各数量之间的关系；○2，设：设未知数；○3，列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组；○4，解：求未知数；○5，验：检验所求未知数的值是否符合题意；○6，答：写出答案（包括单位名称）.知识点四：二元一次方程与一次函数（1）一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线.（2）一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.知识点五：待定系数法概念：先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.知识点六：三元一次方程组（1）含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.（2）共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.第六章：数据的分析知识点一：平均数（1）在日常生活中，常用平均数描述一组数据的的集中趋势.（2）算数平均数：一般地，对于n 个数1x ，2x ，3x ，●●●●●●，n x ，我们把()n x x x x n+∙∙∙+++3211叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记为-x .（3）加权平均数：一般地，如果对于n 个数1x ，2x ，3x ，●●●●●●，n x ，的权分别为1w ，2w ，3w ，●●●●●●，n w ，那么我们把nn n w w w w w x w x w x w x +∙∙∙++++∙∙∙+++321332211叫做这n 个数的加权平均数.知识点二：中位数与众数（1）中位数：一般地，n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.（2）众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.（3）注：求中位数时，先将数据由小到大或由大到小排列，若这组数据是奇数个，则中位数是最中间的一个；若这组数据是偶数个，则中位数是最中间的两个数据的平均数.（4）中位数与众数的单位与原数据单位相同.（5）中位数在一组数据中是唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据.知识点三：数据的离散程度（1）极差：一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差就是刻画数据离散程度的一个统计量.（2）数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画.（3）方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，即：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙∙∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2_2_22_121x x x x x x n s n ，其中，_x 是n x x x ,,,21∙∙∙的平均数，2s 是方差，而标准差就是方差的算术平方根，即：标准差=2s .（4）一般而言，一组数据的极差，方差或标准差越小，这组数据就越稳定.（5）方差，标准差比极差更精细的刻画了数据的离散程度.第七章：平行线的证明知识点一：定义与命题（1）定义是对名称和术语的含义加以描述，作出明确规定，而不是对其性质的判断.（2）判断一件事情的句子，叫做命题.（3）命题包含两层意思：○1，是一个完整句子，常为陈述句；○2，必须对某件事情作出肯定或否定的判断，但与判断的正确与否没有关系.（4）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题，要说明一个命题是假命题，常常举出一个反例即可.（5）八条基本事实（公理）：○1，两点确定一条直线；○2，两点之间，线段最短；○3，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；○4，同位角相等，两直线平行；○5，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；○6，两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS定理）；○7，两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA定理）；○8，三边分别相等的两个三角形全等（SSS定理）.（6）定理：同角（等角）的补角相等.（7）定理：同角（等角）的余角相等.（8）定理：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.（9）定理：对顶角相等.知识点二：平行线的判定（1）定理1:同位角相等，两直线平行.（2）定理2：内错角相等，两直线平行.（3）定理3：同旁内角互补，两直线平行.知识点三：平行线的性质（1）性质定理1：两直线平行，同位角相等.（2）性质定理2：两直线平行，内错角相等.（3）性质定理3:两直线平行，同旁内角互补.（4）定理：平行于同一条直线的两条直线平行.（5）完成一个命题的证明，主要环节有如下五个方面：○1，理解题意；○2，根据题意正确画出图形；○3，根据题意写出“已知”和“求证”；○4，分析题意，探索证明思路；○5，依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言，条例清晰地写出证明过程.知识点四:三角形内角和定理（1）定理：三角形的内角和等于180°.（2）三角形外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.（3）定理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.。

.新北师大版八年级数学上册知识点复习第一章勾股定理1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即 2 2 2a b c 。

2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。

2 2 23．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a b c ，那么这个三角形是2 2 2直角三角形。

满足a b c 的三个正整数称为勾股数。

第二章实数1．平方根和算术平方根的概念及其性质：（1）概念：如果 2x a，那么x 是a 的平方根，记作： a ；其中 a 叫做a 的算术平方根。

（2）性质：①当a≥0 时， a ≥0；当a ＜０时， a 无意义；②2a ＝a ；③ 2a a 。

2．立方根的概念及其性质：（1）概念：若（2）性质：①33 a ；x a ，那么x 是a 的立方根，记作：33 a3 a ；② 3 a a；③ 3 a ＝ 3 a3．实数的概念及其分类：（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；（2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。

无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。

4．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。

因此，数轴正好可以被实数填满。

a a5．算术平方根的运算律：（a ≥0，b ≥0）；（a ≥0，b ＞0）。

a b a bb b第三章位置与坐标1．直角坐标系及坐标的相关知识。

2．点的坐标间的关系：如果点A、B横坐标相同，则AB ∥y 轴；如果点A、B 纵坐标相同，则AB∥x 轴。

3．将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于y 轴对称；将图形的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于x 轴对称；将图形的横、纵坐标都变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。

新北师大版八年级上数学第一章到第七章知识点总结第一章勾股定理【主要知识】1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于_______________。

如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么________________【注】①直角三角形；②找准斜边、直角边。

2、〔1〕勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足_____________，那么这个三角形是直角三角形。

〔2〕勾股数：满足2b2c2a的三个正整数，称为______________。

3、勾股定理的应用1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，那么c的长为〔〕A．26B．18C．20D．212、在以下数组中，能构成一个直角三角形的有〔〕①10，20，25；②10，24，25；③9，80，81；④8；15；17A、4组B、3组C、2组D、1组3、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ) 2－ｃ2,那么此三角形是().A、钝角三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、等边三角形4、以下各组数：①0.3，0.4，0.5；②9，12，16；③4，5，6；④8a，15a，17a〔a0〕；⑤9，40，41。

其中是勾股数的有〔〕组A、1B、2C、3D、45、将Rt△ABC的三边都扩大为原来的2倍，得△A’B’C’,那么△A’B’C’为()A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、无法确定6、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，那么a的长为〔〕A：5B：10C：52D：57、a、b、c是三角形的三边长，如果满足2(a6)b8c100，那么三角形的形状是〔〕A：底与边不相等的等腰三角形B：等边三角形C：钝角三角形D：直角三角形第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

初二数学上册知识点复习及配套练习(新北师大版本)第一章 勾股定理1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即222a b c +=。

2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。

3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形。

满足222a b c +=的三个正整数称为勾股数。

第二章 实数1．平方根和算术平方根的概念及其性质：（1）概念：如果2x a =,那么x 是a 的平方根,记作：a ±；其中a 叫做a 的算术平方根。

（2）性质：①当a ≥0时,a ≥0；当a ＜０时,a 无意义；②()2a ＝a ；③2a a =。

2．立方根的概念及其性质：（1）概念：若3x a =,那么x 是a 的立方根,记作：3a ；（2）性质：①33a a =；②()33a a =；③3a -＝3a - 3．实数的概念及其分类：（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；（2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。

无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。

4．与实数有关的概念： 在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内,有理数的运算法则和运算律同样成立。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数和数轴上的点是一一对应的。

因此,数轴正好可以被实数填满。

5．算术平方根的运算律： （a ≥0,b ≥0）； （a ≥0,b ＞0）。

第三章 位置与坐标1．直角坐标系及坐标的相关知识。

2．点的坐标间的关系：如果点A 、B 横坐标相同,则AB ∥y 轴；如果点A 、B 纵坐标相同,则AB ∥x 轴。

3．将图形的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的1-倍,所得到的图形与原图形关于y 轴对称；将图形的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的1-倍,所得到的图形与原图形关于x 轴对称；将图形的横、纵坐标都变为原来的1-倍,所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。

第二章基础复习知识点 1 认识无理数、平方根1. 下列说法中，正确的个数是 ( )①无限小数都是无理数；②不循环小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④无理数也有负数；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数.A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4个2. 9的算术平方根是 ( )A. 3B. -3C. ±3D.√33. 下列各式中，正确的是 ( )A.√16=±4B.√(−3)2=3C.±√4=2D.−√(−3)2=34. 与-2π最接近的两个整数是 ( )A. -3 和-4B. -4和-5C. -5和-6D. -6和-75. 若x²=25,|y|=3, 则x+y所有可能的值为 ( )A. 8B. 8或2C. 8或-2D.±8或±26. 一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是 ( )A. a+1B.a²+1C.√a2+1D.√a+17. 在实数3100,2π,0.3,-2,1π，17, 中，有理数是，无理数是 .8. 如果√a=3，那么a= ；如果2a–18的算术平方根是0，那么a的算术平方根是 .9. 0.01 的平方根是 .10. 若a是( -4)²的算术平方根，√(−9)2的平方根是b，则，√a+b= .11. 计算:(1)√4981;(2)√214;(3)−√1−1625;(4)−√(−3)×(−27)12. 求下列各式中x的值：(1)4x²−12=0;(2)48−3(x−2)²=0.13. 有一个长方形的花坛，长是宽的4 倍，其面积为25m²,，求该长方形花坛的长和宽各是多少?知识点 2 立方根、估算、用计算器开方1. 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a,那么这个数x就叫做a的立方根，每一个数a都有一个立方根，正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.求一个数a 的立方根的运算叫做开立方.2. 估算可以检验计算结果的合理性，也可以比较两个数的大小.3. 对于开平方运算，按键顺序为：、被开方数、；对于开立方运算，按键顺序为：被开方数、14. 有理数-8的立方根为 ( )A. -2B. 2C. ±2D. ±415. 估计√33的值在 ( )A. 2 和3之间B. 3 和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间1016. 利用教材中的计算器依次按键如下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是 ( )A. 2.5B. 2.6C. 2.8D. 2.917.下列整数中，与 10−√13最接近的是 ( )A. 4B. 5C. 6D. 718.-5的绝对值是 ； 278的立方根是 .19. 估算: √37.7≈ (结果精确到1).20. 用计算器计算下列各式的值(精确到0.001)：(1)√8683 ; (2)√0.4262543 ; (3)−√8253 ; (4)±√2402321. 有一块面积为 100cm²的正方形纸片.(1)该正方形纸片的边长为 cm(直接写出结果).(2)小丽想沿着该纸片边的方向裁剪出一块面积为( 90cm²的长方形纸片，使它的长宽之比为 4：3.小丽能用这块纸片裁剪出符合要求的纸片吗?知识点 3 实 数1. 有理数和无理数统称为实数，实数即可以分为有理数和无理数.实数也可以分为正实数、0、负实数.2. 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.3. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数运算法则与运算律对实数仍然适用.22. 在 −4、−√2,0、4这四个数中，最小的数是 ( )A. 4B. 0C.−√2D. -423. 数轴上有两个实数a，b，且(a>0,b<0,a+b<0,则四个数a，b，−a,−b的大小关系为(用“<”号连接).24. 把下列各数分别填在相应的集合中：22 7,3.14159265,√5,−0.8,√23,−√7,√36,π3.知识点 4 二次根式1. 二次根式的性质：√ab=√a⋅√b(a≥0,b≥0),√ab =√a√b(a≥0,b⟩0).2. 被开方数不含分母，也不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.3. 二次根式的乘法法则和除法法则：√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0),√a√b =√ab(a≥0,b⟩0).4. 二次根式也可以进行加减运算，实数的运算法则、运算律仍然适用于二次根式.25.要使√x+12有意义，则x的取值范围为 ( )A. x≤0B. x≥-1C. x≥0D. x≤-126. 下列二次根式中，是最简二次根式的是 ( )A.√12B.√127C. √8D.√327. 下列运算正确的是 ( )A.√3+√4=√7B.√12=3√2C.√(−2)2=−2D.√14√6=√21328. 计算:−22−2+√3+(−12)−2+|2−√3|= .29. 计算:(1)4√5+√45−√8+4√2;(2)2√xy×√1y÷√x.。

八年级数学上册知识点北师大版(汇集4篇）八年级数学上册知识点北师大版（1）全等三角形一、知识框架：二、知识概念：基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的判定定理：⑴边边边()：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边()：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角()：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边()：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边()：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.(包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系)⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.八年级数学上册知识点北师大版（2）三角形一、知识框架二、知识概念：三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形.②边形共有条对角线.八年级数学上册知识点北师大版（3）三角形一、知识框架二、知识概念：三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形.②边形共有条对角线.八年级数学上册知识点北师大版（4）全等三角形一、知识框架：二、知识概念：基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的判定定理：⑴边边边()：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边()：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角()：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边()：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边()：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.(包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系)⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.。

北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习勾股定理（基础）【学习目标】1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24， 所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三：【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】 解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝6，c ＝10，∴ 2222210664a c b =-=-=， ∴ a ＝8．（2）设3a k =，5c k =，∵ ∠C ＝90°，b ＝32，∴ 222a b c +=．即222(3)32(5)k k +=．解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．类型二、与勾股定理有关的证明2、（2015•丰台区一模）阅读下面的材料 勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，然后按图1的方法将它们摆成正方形． 由图1可以得到（a+b ）2=4×，整理，得a 2+2ab+b 2=2ab+c 2． 所以a 2+b 2=c 2．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到 ， 整理，得 ， 所以 ．【答案与解析】证明：∵S 大正方形=c 2，S 大正方形=4S △+S 小正方形=4×ab+（b ﹣a ）2，∴c 2=4×ab+（b ﹣a ）2， 整理，得2ab+b 2﹣2ab+a 2=c 2， ∴c 2=a 2+b 2． 故答案是：；2ab+b 2﹣2ab+a 2=c 2；a 2+b 2=c 2．【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形． 举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 边的中点，DE ⊥AB 于E ，则AE 2-BE 2等于（ ）A ．AC 2B ．BD 2C ．BC 2D ．DE 2【答案】连接AD 构造直角三角形，得，选A ．类型三、与勾股定理有关的线段长3、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】D ； 【解析】解：设AB ＝x ，则AF ＝x ，∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE ， ∴ △ABE ≌△AFE ．BE ＝EF ， EC ＝BC －BE ＝8－3＝5， 在Rt △EFC 中，由勾股定理解得FC ＝4，在Rt △ABC 中，()22284x x +=+，解得6x =．【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解． 类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）A ．6B ．5C ．11D ．16 【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b 是正方形，可求△ABC ≌△CDE ．由勾股定理可求b 的面积=a 的面积+c 的面积． 【答案】D 【解析】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°， ∴∠ACB=∠DEC ， 在△ABC 和△CDE 中，∵ABC CDE ACB DEC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE ∴BC=DE∵222AB BC AC += ∴222AB DE AC +=∴b 的面积为5+11=16，故选D ． 【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键． 举一反三： 【变式】（2015•东莞模拟）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S 1=4，S 2=9，S 3=8，S 4=10，则S=（ ）A.25B.31C.32D.40【答案】解：如图，由题意得：AB 2=S 1+S 2=13， AC 2=S 3+S 4=18，∴BC 2=AB 2+AC 2=31， ∴S=BC 2=31， 故选B ．类型五、利用勾股定理解决实际问题5、（2016春•淄博期中）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高． 【答案与解析】解：设门高为x 尺，则竹竿长为（x +1）尺， 根据勾股定理可得：x 2+42=（x +1）2，即x 2+16=x 2+2x +1， 解得：x=7.5，竹竿高=7.5+1=8.5（尺）答：门高7.5尺，竹竿高8.5尺．【总结升华】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键． 举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，∴ 22222512169AB BC AC =+=+=． ∴ 13AB =(m )．∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )． ∴ 旗杆折断前的高度为18m ．北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1. 下列说法正确的是（ ）A ．数轴上任一点表示唯一的有理数B ．数轴上任一点表示唯一的无理数C ．两个无理数之和一定是无理数D ．数轴上任意两点之间都有无数个点 2．下列说法中，正确的是（ ）．A ．0.4的算术平方根是0.2B ．16的平方根是4C ．的立方根是4 D ．的立方根是3.（2015•八步区一模）下列运算正确的是（ ） A ． B ．=﹣3 C ．（）2=3 D ．+=4. 3387=-a ，则a 的值是（ ） A.87 B. 87- C. 87± D. 512343- 5. 若式子3112x x -+-有意义,则x 的取值范围是 ( ). A.21≥x B. 1≤x C.121≤≤x D. 以上答案都不对. 6. 下列说法中错误的是（ ）A.3a 中的a 可以是正数、负数或零.B.a 中的a 不可能是负数.C. 数a 的平方根有两个.D.数a 的立方根有一个. 7. 数轴上A ，B 两点表示实数a ，b ，则下列选择正确的是（ ）A.0>+b aB. 0ab >C.0a b ->D.||||0a b ->8.（2016•河北）关于的叙述，错误的是（ ） A ．是有理数B ．面积为12的正方形边长是C ．=2D ．在数轴上可以找到表示的点 二.填空题9. 2005a ，则其小数部分用a 表示为 ． 10．当x 时，32-x 有意义. 11.（2015•庆阳）若﹣2xm ﹣n y 2与3x 4y2m+n是同类项，则m ﹣3n 的立方根是 ．12. 已知最简二次根式43a b +与2a-b+6是同类二次根式，则a b +的值为___________.13. 3343的平方根是 .14.若1.1001.102=，则=±0201.1 .15. 比较大小：2112- ，5- 22- ， 33 216.（2016•黄冈）计算：|1﹣|﹣= . 三.解答题17．（2015•新疆模拟）计算：﹣﹣（）2+|2﹣|．18.已知：，求的值.19. 已知：表示a 、b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简()2b a b a ++-20. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题.大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2－1表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：已知：10＋3＝y x +，其中x 是整数，且10<<y ,求y x -的相反数.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】数轴上任一点都表示唯一的实数. 2. 【答案】D ；【解析】20.20.040.4=≠；16的平方根是±4；的立方根是2.3．【答案】C ；【解析】解：A 、原式==×=3×2=6，所以A 选项错误；B 、原式=|﹣3|=3，所以B 选项错误；C 、原式=3，所以C 选项正确；D 、与不能合并，所以D 选项错误．故选C ．4.【答案】B ； 【解析】33378a a ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭.5. 【答案】A ；6. 【答案】C ；【解析】数a 不确定正负，负数没有平方根. 7. 【答案】C ； 8. 【答案】A ； 【解析】A 、是无理数，原来的说法错误，符合题意；B 、面积为12的正方形边长是，原来的说法正确，不符合题意；C 、=2，原来的说法正确，不符合题意；D 、在数轴上可以找到表示的点，原来的说法正确，不符合题意，故选：A ．二.填空题9. 【答案】2005a -； 10.【答案】为任意实数 ；【解析】任何实数都有立方根. 11.【答案】2； 【解析】解：若﹣2xm ﹣n y 2与3x 4y2m+n是同类项，∴，解方程得：．∴m﹣3n=2﹣3×（﹣2）=8． 8的立方根是2． 故答案为：2．12．【答案】2； 【解析】因为43a b +b+1与2a-b+6是同类二次根式，所以124326b a b a b +=⎧⎨+=-+⎩,解方程组得11a b =⎧⎨=⎩.13.【答案】7±；【解析】 3343＝7，7的平方根是7±.14.【答案】01.1±；【解析】被开方数的小数点向左移动2位，平方根向左移动1位. 15.【答案】＞；＜；＞； 16.【答案】﹣1﹣； 【解析】解：|1﹣|﹣=﹣1﹣2=﹣1﹣．三.解答题 17.【解析】 解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．18.【解析】 解：∴原式.19.【解析】 解：∵b ＜a ＜0∴()2b a b a ++-()||2a b a b a b a b b=-++=--+=-20.【解析】解：∵11＜10＋3＜12∴x ＝11，y ＝10＋3－1131 ∴()3111312x y y x --=-=-=.北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习平面直角坐标系（基础）【学习目标】1.了解确定位置的方法，用有序数对或用方向和距离来确定物体的位置.2.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.2.能在平面直角坐标系中,根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.3.会用确定坐标、描点、连线的方法在直角坐标系中作出简单图形. 【要点梳理】要点一、确定位置的方法有序数对：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．可以用有序数对确定物体的位置，也可以用方向和距离来确定物体的位置（或称方位）. 要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2.点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b 分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．要点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．要点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2.各个象限内和坐标轴上点的坐标的符号特征要点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．【典型例题】类型一、确定物体的位置1．如果将一张“13排10号”的电影票简记为（13,10），那么（10,13）表示的电影票是排号.【思路点拨】在平面上，一个数据不能确定平面上点的位置．须用有序数对来表示平面内点的位置．【答案】10,13.【解析】由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数.【总结升华】在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定”，两个数的位置就不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同．2．如图，雷达探测器测得六个目标A、B、C、D、E、F出现．按照规定的目标表示方法，目标C、F的位置表示为C（6，120°）、F（5，210°）．按照此方法在表示目标A、B、D、E的位置时，其中表示不正确的是（）A．A（5，30°）B．B（2，90°）C．D（4，240°）D．E（3，60°）【思路点拨】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别判断各选项即可得解．【答案】D．【解析】由题意可知A、B、D、E的坐标可表示为：A（5，30°），故A正确；B（2，90°），故B 正确；D（4，240°），故C正确；E（3，300°），故D错误．【总结升华】本题考查了学生的阅读理解能力，由已知条件正确确定点的位置是解决本题的关键．类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念3.如图，写出点A、B、C、D各点的坐标.【思路点拨】要确定点的坐标，要先确定点所在的象限，再看点到坐标轴的距离．【答案与解析】解：由点A向x轴作垂线，得A点的横坐标是2，再由点A向y轴作垂线，得A点的纵坐标是3，则点A的坐标是(2，3)，同理可得点B、C、D的坐标．所以，各点的坐标：A(2，3)，B(3，2)，C(－2，1)，D(－1，－2)．【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是这点横坐标的绝对值．举一反三：【变式】（2015春•临沂期末）多多和爸爸、妈妈周末到动物园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了动物园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道马场的坐标为（﹣3，﹣3），你能帮她建立平面直角坐标系并求出其他各景点的坐标？【答案】解：建立坐标系如图：∴南门（0，0），狮子（﹣4，5），飞禽（3，4）两栖动物（4，1）．4.（2015春•荣昌县期末）如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（5，2），C（2，3）．求这个四边形的面积．【思路点拨】分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图，然后利用S四边形ABCO=S矩形OHEF ﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF进行计算．【答案与解析】解：分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图，则E（5，3），所以S四边形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF=5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2=．【总结升华】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；会运用面积的和差计算不规则图形的面积．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知：A（3，2），B（5，0），则△AOB的面积为．【答案】5.类型三、坐标平面及点的特征5.（2016春•宜阳县期中）已知点P（2m+4，m﹣1）．试分别根据下列条件，求出点P的坐标．（1）点P的纵坐标比横坐标大3；（2）点P在过A（2，﹣3）点，且与x轴平行的直线上．【思路点拨】（1）根据横纵坐标的大小关系得出m﹣1﹣（2m+4）=3，即可得出m的值，进而得出P点坐标；（2）根据平行于x轴点的坐标性质得出m﹣1=﹣3，进而得出m的值，进而得出P点坐标．【答案与解析】解：（1）∵点P（2m+4，m﹣1），点P的纵坐标比横坐标大3，∴m﹣1﹣（2m+4）=3，解得：m=﹣8，∴2m+4=﹣12，m﹣1=﹣9，∴点P的坐标为：（﹣12，﹣9）；（2）∵点P在过A（2，﹣3）点，且与x轴平行的直线上，∴m﹣1=﹣3，解得：m=﹣2，∴2m+4=0，∴P点坐标为：（0，﹣3）．【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据已知得出关于m的等式是解题关键．举一反三：【变式】在直角坐标系中，点P(x,y)在第二象限且P到x轴，y轴的距离分别为2，5，则P 的坐标是_________；若去掉点P在第二象限这个条件，那么P的坐标是________.【答案】（－5,2）；（5，2），（－5,2），（5，－2），（－5，－2）.北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一、选择题1．为确定一个平面上点的位置，可用的数据个数为( ).A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列说法正确的是( ).A．(2，3)和(3，2)表示的位置相同B．(2，3)和(3，2)是表示不同位置的两个有序数对C．(2，2)和(2，2)表示两个不同的位置D．(m，n)和(n，m)表示的位置不同3.(2016•大连)在平面直角坐标系中，点M(1，5)所在的象限是( ).A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若点P(m，n)在第三象限，则点Q(－m，－n)在( ).A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．知点P(m＋3，2m＋4)在y轴上，那么点P的坐标是( ).A．(－2，0) B．(0，－2) C．(1，0) D．(0，1)6．（2015•北京）如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（）A．景仁宫（4，2）B．养心殿（﹣2，3）C．保和殿（1，0）D．武英殿（﹣3.5，﹣4）二、填空题7．已知有序数对(2x－1，5－3y)表示出的点为(5，2)，则x＝________，y＝________．8．某宾馆一大楼客房是按一定规律编号的，例如房间403号是指该大楼中第4层第3个房间，则房间815号是指第________层第________个房间；第6层第1个房间编号为________．9. 点P(－3，4)到x轴的距离是________，到y轴的距离是________．10.指出下列各点所在象限或坐标轴：点A(5，－3)在_______，点B(－2，－1)在_______，点C(0，－3)在_______，点D(4，0)在_______，点E(0，0)在_______．11.（2016•黔南州）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：①△（a，b）=（﹣a，b）；②○（a，b）=（﹣a，﹣b）；③Ω（a，b）=（a，﹣b），按照以上变换例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），则○（Ω（3，4））等于．12．（2015•安溪县模拟）若点（3﹣x，x﹣1）在第二象限，则x的取值范围是．三、解答题13．在图中建立适当的平面直角坐标系，使A、B两点的坐标分别为(－4，1)和(－1，4)，写出点C、D的坐标，并指出它们所在的象限．14．（2014春•夏津县校级期中）根据要求解答下列问题：设M（a，b）为平面直角坐标系中的点．（1）当a＞0，b＜0时，点M位于第几象限？（2）当ab＞0时，点M位于第几象限？（3）当a为任意实数，且b＜0时，点M位于何处？15. 已知A，B，C，D的坐标依次为(4，0)，(0，3)，(－4，0)，(0，－3),在平面直角坐标系中描出各点，并求四边形ABCD的面积．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B.2. 【答案】B.3. 【答案】B；【解析】四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）．4. 【答案】A；【解析】因为点P(m，n)在第三象限，所以m，n均为负，则它们的相反数均为正．5. 【答案】B；【解析】m＋3＝0，∴m＝－3，将其代入得：2m＋4＝－2，∴P(0，－2)．6. 【答案】B；【解析】解：根据表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），可得：原点是中和殿，所以可得景仁宫（2，4），养心殿（﹣2，3），保和殿（0，1），武英殿（﹣3.5，﹣3），故选B.二、填空题7. 【答案】3，1；【解析】由2x－1＝5，得x＝3；由5－3y＝2，得y＝1．8. 【答案】8， 15， 601；9. 【答案】4， 3；【解析】到x轴的距离为：│4│＝4，到y轴的距离为：│－3│＝3.10．【答案】第四象限，第三象限，y轴的负半轴上，x轴的正半轴上，坐标原点.11.【答案】（﹣3，4）【解析】解：○（Ω（3，4））=○（3，﹣4）=（﹣3，4）．12.【答案】x＞3；【解析】解：∵点（3﹣x，x﹣1）在第二象限，∴，解不等式①得，x＞3，解不等式②得，x＞1，所以不等式组的解集是x＞3．故答案为：x＞3．三、解答题13.【解析】解：建立平面直角坐标系如图：得C(－1，－2)、D(2，1)．由图可知，点C在第三象限，点D在第一象限.14.【解析】解：∵M（a ，b ）为平面直角坐标系中的点．（1）当a ＞0，b ＜0时，点M 位于第四象限；（2）当ab ＞0时，即a ，b 同号，故点M 位于第一、三象限；（3）当a 为任意实数，且b ＜0时，点M 位于第三、四象限和纵轴的负半轴．15.【解析】解：描点如下：14443242ABCD AOB S S ==⨯⨯⨯=四边形三角形 .北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习坐标平面内图形的轴对称和平移（基础）【学习目标】1. 能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化.2. 掌握左右、上下平移点的坐标规律.【要点梳理】要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a ，b)关于x 轴对称的点的坐标为 (a,－b)；P(a ，b)关于y 轴对称的点的坐标为 (－a,b)；P(a ，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a ，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a ，－a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y 轴的直线上的点的横坐标相同.要点二、用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、用坐标表示轴对称1．已知点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），则b a的值为_______. 【思路点拨】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a＋b＝－3，1－b＝－1，再解方程可得a、b的值，进而算出b a的值．【答案】25【解析】解：∵点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），∴a＋b＝－3，1－b＝－1，解得：b＝2，a＝－5，ba＝25，【总结升华】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．举一反三：【变式】点（3，2）关于x轴的对称点为（）A．（3，－2）B．（－3，2）C．（－3，－2）D．（2，－3）【答案】A．2.已知点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求点B的坐标．【思路点拨】由“点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】解：如图，∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，∴点B与点A的横坐标相同，∴ x＝－3．∵点B到x轴的距离为3，∴ y＝3或y＝－3．∴点B的坐标是(－3，3)或(－3，－3)．【总结升华】在点B的横坐标为－3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举一反三：【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）.A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3）【答案】B.【变式2】若点P (a ,b)在第二象限，则：（1）点P1（a ,－b)在第象限；（2）点P2（－a ,b)在第象限；（3）点P3（－a ,－b)在第象限；（4）点P4（ b ,a )在第象限.【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.类型二、用坐标表示平移3.（2015•海安县校级二模）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，则点B的坐标是．【思路点拨】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解．【答案】（0，﹣3）．【解析】解：∵将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，∴点B的坐标是（﹣2+2，3﹣6），即（0，﹣3）．故答案为：（0，﹣3）．【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．举一反三：【变式1】已知：两点A（－4，2）、B（－2，－6），(1)线段AB的中点C坐标是；(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是．(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是 ,B2点的坐标是．【答案】（1）(－3, －2)； (2)(1,2),(3,－6)； (3)(－4,－1),(－2,－9).【变式2】点P（－2，5）向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，变为P′（0，1）．【答案】2、4．4.（2016春•江西期末）如图中，A、B两点的坐标分别为（2，3）、（4，1），（1）求△ABO的面积．（2）把△ABO向下平移3个单位后得到一个新三角形△O′A′B′，求△O′A′B′的3个顶点的坐标．【思路点拨】（1）把△ABO放在一个矩形里面，用矩形COED的面积﹣△ACO的面积﹣△ABD的面积﹣△BEO的面积即可算出△ABO的面积；（2）根据点的坐标平移的规律，用A、B、O的坐标的纵坐标分别减去3即可．【答案与解析】解：（1）如图所示：S△ABO=3×4﹣×3×2﹣×4×1﹣×2×2=5；（2）A′（2，0），B′（4，﹣2），O′（0，﹣3）．【总结升华】此题主要考查了点的平移，以及求三角形的面积，当计算一个三角形的面积时，可以把它放在一个矩形里，然后用矩形的面积减去周围三角形的面积．举一反三：【变式】（2014秋•宣汉县期末）如图所示，△ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（4，3），C（3，1）．把△A1B1C1向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到△ABC，试写出△A1B1C1三个顶点的坐标．【答案】解：A1（﹣3，5），B1（0，6），C1（﹣1，4）．北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一、选择题1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（－3，5）关于y轴的对称点的坐标为（）A．（－3，－5）B．（3，5）C．（3．－5）D．（5，－3）2.平面直角坐标系中，点P的坐标为（－5，3），则点P关于x轴的对称点的坐标是（）A．（5，3）B．（－5，－3）C．（3，－5）D．（－3，5）3．如图，△COB是由△AOB经过某种变换后得到的图形，请同学们观察A与C两点的坐标之间的关系，若△AOB内任意一点P的坐标是(a，b)，则它的对应点Q的坐标是( )．A．(a，b) B．(－a，b) C．(－a，－b) D．(a，－b)4．（2016•贵港）在平面直角坐标系中，将点A（1，-2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（-1，1）B．（-1，-2）C．（-1，2） D．（1，2）5．在平面直角坐标系中，将某个图象上各点的横坐标都加上3，得到一个新图形，那么新图形与原图形相比( )．A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位6.（2015春•赵县期末）线段CD是由线段AB平移得到的．点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（）A．（2，9） B．（5，3） C．（1，2） D．（﹣9，﹣4）二、填空题7.点A（－3，0）关于y轴的对称点的坐标是______.8.点P（2，－1）关于x轴对称的点P′的坐标是______.9.在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于y轴对称的点为B（a，2），则a＝_____.10. 通过平移把点A(1，－3)移到点A1(3，0)，按同样的平移方式把点P(2，3)移到点P1，则点P1的坐标是__________．11．（2016•广安）将点A（1，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度后得到的点A′的坐标为．12．（2014秋•嘉鱼县校级月考）点P（1，2）关于直线y=1对称的点的坐标是；关于直线x=1对称的坐标是．三、解答题。

北师大版八年级数学上册知识点总结复习Revised on July 13, 2021 at 16:25 pm八年级上第一章 勾股定理1、勾股定理：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.. a 2+b 2=c 2a 、b 为直角边;c 为斜边2、 勾股定理逆定理：如果三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2;那么这个三角形是直角三角形..a 、b 为直角边;c 为斜边3、会利用勾股定理解题第二章 实数1、有理数;无理数概念：有理数：任何有限小数和无限循环小数都是有理数..无理数：无限不循环小数叫做无理数..正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、平方根如果一个数的平方等于a;那么这个数就叫做a 的平方根或二次方跟..一个数有两个平方根;他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.. 正数a 的平方根记做“a ±”..3、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根;记作“a ”..正数和零的算术平方根都只有一个;零的算术平方根是零..a a ≥0 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a a <0 a ≥04、立方根如果一个数的立方等于a;那么这个数就叫做a 的立方根或a 的三次方根.. 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零..注意：33a a -=-;这说明三次根号内的负号可以移到根号外面..5、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位;就说它精确到哪一位;这时;从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字;都叫做这个数的有效数字..6、科学记数法：把一个数写做n a 10⨯±的形式;其中101<≤a ;n 是整数;这种记数法叫做科学记数法..7、二次根式的计算法则： 1)0()(2≥=a a a2==a a 23)0,0(≥≥•=b a b a ab4)0,0(≥≥=b a ba b a 注：计算时应化为最简二次根式;也就是不能再开根为止..第三章 位置与坐标1、如何确定位置：知道方向和距离2、平面直角坐标：3、轴对称与坐标变换1轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠;直线两旁的部分能够互相重合; 这个图形就叫做轴对称图形;这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条;如圆就有无数条对称轴．2 轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠;如果它能够与另一个图形重合; 那么就说这两个图形关于这条直线对称;这条直线叫做对称轴;折叠后重合的点是对应点;叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．3坐标的对称：a 关于X 轴对称;x 值不变;y 值互为相反数;b 关于Y 轴对称;y 值不变;x 值互为相反数;c 关于原点对称;xy 的值都互为相反数..第四章 一次函数1、一次函数的定义一般地;形如y=kx+bk;b 是常数;且k ≠0的函数;叫做一次函数;其中x 是自变量..当b=0时;一次函数y=kx;又叫做正比例函数..234、会利用一次函数解题第五章 二元一次方程组1、二元一次方程含有两个未知数;并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程;它的一般形式是ax+by+c=0;a 、b 、c 为常数2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值;叫做二元一次方程的一个解..3、二元一次方程组两个或两个以上二元一次方程合在一起;就组成了一个二元一次方程组.. 4二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值;叫做二元一次方程组的解..5、二元一次方程组的解法1代入法2加减法6、三元一次方程把含有三个未知数;并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程..7、三元一次方程组由三个或三个以上一次方程组成;并且含有三个未知数的方程组;叫做三元一次方程组..8、二元一次方程组与一次函数之间的关系二元一次方程组的解及为两个一次函数的交点坐标..9、会利用二元一次方程组解决实际问题..第六章 数据的分析1、平均数的概念1平均数：一般地;如果有n 个数,,,,21n x x x 那么;)(121n x x x n x +++=叫做这n 个数的平均数;x 读作“x 拔”..2加权平均数：如果n 个数中;1x 出现1f 次;2x 出现2f 次;…;k x 出现k f 次这里n f f f k =++ 21;那么;根据平均数的定义;这n 个数的平均数可以表示为nf x f x f x x k k ++=2211;这样求得的平均数x 叫做加权平均数;其中k f f f ,,,21 叫做权..2、平均数的计算方法1定义法当所给数据,,,,21n x x x 比较分散时;一般选用定义公式：)(121n x x x nx +++= 2加权平均数法：当所给数据重复出现时;一般选用加权平均数公式：nf x f x f x x k k ++=2211;其中n f f f k =++ 21.. 3、众数在一组数据中;出现次数最多的数据叫做这组数据的众数..4、中位数将一组数据按大小依次排列;把处在最中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数..5、方差的概念在一组数据,,,,21n x x x 中;各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数;叫做这组数据的方差..通常用“2s ”表示;即6、标准差方差的算数平方根叫做这组数据的标准差;用“s ”表示;即第七章 平行线的证明1、定义：一般地;用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.2、命题：判断一件事情的句子;叫做命题.要点诠释：1每个命题都由题设、结论两部分组成;题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项.2正确的命题称为真命题;不正确的命题称为假命题.3公认的真命题叫做公理.4经过证明的真命题称为定理.3、证明: 在很多情况下;一个命题的正确性需要经过推理;才能作出判断;这种演绎推理的过程称为证明.要点诠释：1实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确;必须推理论证后才能得出正确的结论．2证明中的每一步推理都要有根据;不能“想当然”;这些根据可以是已知条件;学过的定义、基本事实、定理等.3判断一个命题是正确的;必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题;只需列举一个反例即可．4、平行线的判定判定方法1：同位角相等;两直线平行．判定方法2：内错角相等;两直线平行．判定方法3：同旁内角互补;两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论;平行线的判定方法还有：1平行线的定义：在同一平面内;如果两条直线没有交点不相交;那么两直线平行. 2如果两条直线都平行于第三条直线;那么这两条直线平行平行线的传递性.3在同一平面内;垂直于同一直线的两条直线平行.4平行公理：经过直线外一点;有且只有一条直线与这条直线平行.5、平行线的性质性质1：两直线平行;同位角相等；性质2：两直线平行;内错角相等；性质3：两直线平行;同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论;平行线的性质还有：1若两条直线平行;则这两条直线在同一平面内;且没有公共点．2如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直;那么它必与另一条直线垂直．6、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推论：1三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．要点诠释：1由一个公理或定理直接推出的真命题;叫做这个公理或定理的推论.2推论可以当做定理使用.。

新北师大版数学八年级上册复习知识点第一章 勾股定理【主要知识】1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于_______________。

如果用b a ,和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边；那么________________【注】①直角三角形；②找准斜边、直角边。

2、（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长c b a ,,满足_____________；那么这个三角形是直角三角形。

（2）勾股数：满足222c b a =+的三个正整数；称为______________。

3、勾股定理的应用1、在Rt △ABC 中；∠C ＝90°；a ＝12；b ＝16；则c 的长为（ ）A ．26B ．18C ．20D ．212、在下列数组中；能构成一个直角三角形的有（ ） ①10；20；25；②10；24；25；③9；80；81；④8；15；17A 、4组B 、3组C 、2组D 、1组3、三角形的三边长ａ；ｂ；ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2；则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形 4、下列各组数：①0.3；0.4；0.5；②9；12；16；③4；5；6；④a 8；a 15；a 17（0≠a ）； ⑤9；40；41。

其中是勾股数的有（ ）组A 、1B 、2C 、3D 、45、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍；得△A ’B ’C ’；则△A ’B ’C ’为( ) A 、 直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、无法确定6、在Rt △ABC 中；∠C ＝90°；∠B ＝45°；c ＝10；则a 的长为（ ）A ：5B ：10C ：25D ：57、已知a 、b 、c 是三角形的三边长；如果满足2(6)100a c --=；则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

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北师大版数学八年级上册知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a,b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+例 如图1，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5:3,则AC= ( ）.（A ）6 （B ）8 （C ）10 (D ）12例 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为（ ）.（A ）6 （B ）8。

5 (C ）1320 （D ）13602、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a,b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

例 若三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是 （A)锐角三角形 （B ）钝角三角形（C ）等腰直角三角形（D)直角三角形3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

例 下列各组中，不能构成直角三角形的是（ ）.（A ）9,12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，34 (D ）9，40,41第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。