2005年硕士研究生入学考试（数学四）试题及答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x = 2 . 【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】 12s i n l i m2+∞→x x x x =.212lim 2=+∞→x xx x （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为 2=xy . 【分析】 直接积分即可.【详解】 原方程可化为 0)(='xy ，积分得 C xy =， 代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.（3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=)0,1(dz dy e edx )2(2++ .【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】)1l n (y xe e xzy x y x +++=∂∂++,y x xe y z y x +++=∂∂+11, 于是 =)0,1(dzdy e edx )2(2++.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=21. 【分析】 四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a. 【详解】 由题设，有=1234123121112aa a 0)12)(1(=--a a , 得21,1==a a ，但题设1≠a ，故.21=a（5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =4813 . 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯ 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ]【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】 12186)(2+-='x x x f =)2)(1(6--x x ，知可能极值点为x=1,x=2，且 a f a f -=-=4)2(,5)1(，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B).（8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>.(C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ A ]【分析】 关键在于比较22y x +、22y x +与222)(y x +在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上的大小.【详解】 在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上，有1022≤+≤y x ，从而有2212y x +≥>π≥22y x +≥0)(222≥+y x由于cosx 在)2,0(π上为单调减函数，于是22c o s 0y x +≤)c o s (22y x +≤≤222)c o s (y x +因此<+⎰⎰σd y x D22cos<+⎰⎰σd y xD)cos(22σd y xD⎰⎰+222)cos(，故应选(A).（9）下列结论中正确的是 (A)⎰∞++1)1(x x dx 与⎰+10)1(x x dx 都收敛. （B ）⎰∞++1)1(x x dx 与⎰+10)1(x x dx都发散.(C)⎰∞++1)1(x x dx 发散，⎰+10)1(x x dx收敛. (D)⎰∞++1)1(x x dx 收敛，⎰+10)1(x x dx发散.[ D ]【分析】 直接计算相应积分，判定其敛散性即可. 【详解】⎰∞++1)1(x x dx =2ln 1ln1=+∞+x x ，积分收敛，⎰+1)1(x x dx =+∞=-∞-=+)(01ln10x x，积分发散.故应选(D).（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是(A) f(0)是极大值，)2(πf 是极小值. （B ） f(0)是极小值，)2(πf 是极大值.（C ） f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值.[ B ]【分析】 先求出)(),(x f x f '''，再用取极值的充分条件判断即可.【详解】 x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，显然 0)2(,0)0(='='πf f ，又 x x xx f s i n c o s )(-=''，且02)2(,01)0(<-=''>=''ππf f ，故f(0)是极小值，)2(πf 是极大值，应选(B). （11）以下四个命题中，正确的是(A) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. [ C ] 【分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可. 【详解】 设f(x)=x 1, 则f(x)及21)(xx f -='均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B); 又x x f =)(在（0，1）内有界，但xx f 21)(='在（0，1）内无界，排除(D). 故应选(C).（12）设A,B,C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若B=E+AB,C=A+CA ，则B-C 为(A) E. （B ）-E. （C ）A. (D) -A [ A ] 【分析】 利用矩阵运算进行分析即可. 【详解】 由B=E+AB,C=A+CA ，知 (E-A)B=E, C(E-A)=A,可见，E-A 与B 互为逆矩阵，于是有 B(E-A)=E.从而有 (B-C)(E-A)=E-A, 而E-A 可逆，故 B-C=E. 应选(A).（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ， 即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14） 设 ,,,,21n X X X 为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为)1(>λλ的指数分布，记)(x Φ为标准正态分布函数，则(A) )(}{lim 1x x nn XP ni in Φ=≤-∑=∞→λλ. (B) )(}{lim 1x x n n XP ni in Φ=≤-∑=∞→λλ.(C)).(}{lim 1x x nnX P ni i n Φ=≤-∑=∞→λ(D)).(}{lim 1x x n XP ni in Φ=≤-∑=∞→λλ[ C ]【分析】 只需求出∑=ni iX1的期望与方差，再根据中心极限定理将其标准化即可.【详解】 由题设，21,1λλ==i i DX EX ， ,,,2,1n i =，于是λnX Eni i =∑=1， 21λnX Dni i =∑=，根据中心极限定理，知nnX nnXni i ni i∑∑==-=-121λλλ其极限分布服从标准正态分布，故应选(C).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分8分）求).111(lim 0xe x x x --+-→【分析】 ""∞-∞型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】 )1(1lim )111(lim 200x xx x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+ =2201lim x e x x x x -→+-+ =x e x x x 221lim 0-→-+=.2322lim0=+-→x x e （16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222yg y x g x ∂∂-∂∂ 【分析】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【详解】 由已知条件可得)()(2y x f x y f xy x g '+'-=∂∂， )(1)()(242322y xf y y x f xy x y f x y x g ''+''+'=∂∂，)()()(1yxf y x y x f x y f x yg '-+'=∂∂， )()()()(13222222y xf yx y x f y x y x f y x x y f x y g ''+'+'-''=∂∂， 所以 222222yg y x g x ∂∂-∂∂ =)()()(2222y x f y x y x f x y x y f x y ''+''+')()(222y x f y x x y f xy ''-''-=).(2xy f x y ' （17）（本题满分9分） 计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】 记}),(,1),{(221D y x y x y x D ∈≤+=，}),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=，于是σd y xD⎰⎰-+122=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x=⎰⎰--2021)1(πθrdr r d ⎰⎰-++Ddxdy y x )1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x=8π+⎰⎰⎰⎰---+20102210210)1()1(πθrdr r d dy y x dx =.314-π（18）（本题满分9分）求f(x,y)=222+-y x 在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值. 【分析】 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值..【详解】 令02,02=-=∂∂==∂∂y yf x x f 得可能极值点为x=0,y=0. 且 2)0,0(22=∂∂=x fA ，0)0,0(2=∂∂∂=y x fB ，2)0,0(22-=∂∂=yfC ，042>=-=∆AC B ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点.再考虑其在边界曲线1422=+y x 上的情形：令拉格朗日函数为 )14(),(),,(22-++=y x y x f y x F λλ， 解 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+='=+-=+∂∂='=+=+∂∂=',014,02122,0)1(2222y x F y y y y f F x x x fF y x λλλλλ得可能极值点4,2,0===λy x ；4,2,0=-==λy x ；1,0,1-===λy x ；.1,0,1-==-=λy x 代入f(x,y)得,2)2,0(-=±f 3)0,1(=±f ，可见z=f(x,y)在区域}14),{(22≤+=y x y x D 内的最大值为3，最小值为-2.（19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(【分析】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.【详解】 方法一：设=)(x F ⎰⎰-'+'x g x f dt t g t f dt t f t g 01)1()()()()()(，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且=')(x F )]1()()[()1()()()(g x g x f g x f x f x g -'='-'，由于]1,0[∈x 时，0)(,0)(≥'≥'x g x f ，因此0)(≤'x F ，即F(x)在[0，1]上单调递减.注意到 =)1(F ⎰⎰-'+'11)1()1()()()()(g f dt t g t f dt t f t g ，而⎰⎰⎰'-=='11110)()()()()()()()(dt t g t f t f t g t df t g dt t f t g=⎰'-1)()()1()1(dt t g t f g f ，故F(1)=0.因此]1,0[∈x 时，0)(≥x F ，由此可得对任何]1,0[∈a ，有 ⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(方法二：⎰⎰'-='aaa dx x g x f x f x g dx x f x g 0)()()()()()(=⎰'-adx x g x f a g a f 0)()()()(，⎰⎰'+'adx x g x f dx x f x g 01)()()()(=⎰⎰'+'-1)()()()()()(dx x g x f dx x g x f a g a f a⎰'+1.)()()()(adx x g x f a g a f由于]1,0[∈x 时，0)(≥'x g ，因此)()()()(x g a f x g x f '≥'，]1,[a x ∈， ⎰⎰-='≥'101)]()1()[()()()()(a g g a f dx x g a f dx x g x f ，从而⎰⎰'+'adx x g x f dx x f x g 01)()()()().1()()]()1()[()()(g a f a g g a f a g a f =-+≥（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x和（ii ） ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b, c 的值.【分析】 方程组（ii ）显然有无穷多解，于是方程组（i ）也有无穷多解，从而可确定a ，这样先求出（i ）的通解，再代入方程组（ii ）确定b,c 即可.【详解】 方程组（ii ）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii ）有无穷多解.因为方程组（i ）与（ii ）同解，所以方程组（i ）的系数矩阵的秩小于3.对方程组（i ）的系数矩阵施以初等行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20011010111532321a a ，从而a=2. 此时，方程组（i ）的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000110101211532321， 故T)1,1,1(--是方程组（i ）的一个基础解系.将1,1,1321=-=-=x x x 代入方程组（ii ）可得 2,1==c b 或.1,0==c b当2,1==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡110101312211，显然此时方程组（i ）与（ii ）同解.当1,0==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡000101202101，显然此时方程组（i ）与（ii ）的解不相同.综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i ）与（ii ）同解. （21）（本题满分13分） 设A 为三阶矩阵，321,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足3211αααα++=A ，3222ααα+=A ，32332ααα+=A .(I) 求矩阵B, 使得B A ),,(),,(321321αααααα=； （II ）求矩阵A 的特征值；（III ）求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】 利用(I)的结果相当于确定了A 的相似矩阵，求矩阵A 的特征值转化为求A 的相似矩阵的特征值.【详解】 (I) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=311221001),,(),,(321321ααααααA , 可知 .311221001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=B （II ）因为321,,ααα是线性无关的三维列向量，可知矩阵],,[321ααα=C 可逆，所以B AC C =-1，即矩阵A 与B 相似，由此可得矩阵A 与B 有相同的特征值.由0)4()1(311221012=--=-------=-λλλλλλB E ，得矩阵B 的特征值，也即矩阵A 的特征值.4,1321===λλλ（III ） 对应于121==λλ，解齐次线性方程组(E-B)X=0，得基础解系T )0,1,1(1-=ξ，T )1,0,2(2-=ξ；对应于43=λ，解齐次线性方程组(4E-B)X=0，得基础解系.)1,1,0(3T =ξ令矩阵 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==110101021321ξξξQ ，则 .4000100011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-BQ Q 因 )()(1111CQ A CQ ACQ C Q BQ Q ----==，记矩阵[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==110101021321αααCQ P =[]323121,2,αααααα++-+-，故P 即为所求的可逆矩阵.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧= 求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ） Y X Z -=2的概率密度).(z f Z( III ) }.2121{≤≤X Y P 【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; 直接用条件概率公式计算即可.【详解】 （I ） 关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x =.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x 关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y =.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y （II ） 令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=，1） 当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ；2） 当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =241z z -; 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z即分布函数为： .2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z 故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z （III ） .4341163}21{}21,21{}2121{==≤≤≤=≤≤X P Y X P X Y P （23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =；（II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov（III ）}.0{1≤+n Y Y P【分析】 先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；求概率}0{1≤+n Y Y P 的关键是先确定其分布.【详解】 由题设，知)2(,,,21>n X X X n 相互独立，且),,2,1(,02n i DX EX i i ===σ，.0=X E（I ）∑≠--=-=nij j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()(=∑≠+-n i j j i DXn DX n 221)11(=.1)1(1)1(222222σσσn n n nn n -=-⋅+- （II ） )])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --= =)])([()(11X X X X E Y Y E n n --= =)(211X X X X X X X E n n +-- =211)(2)(X E X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n n j j +++-∑= =.112222σσσn n n -=+- （III ） X X X X Y Y n n -+-=+11=n n i i X nn X n X n n 222121-+--∑-=, 上式是相互独立的正态随机变量的线性组合，所以n Y Y +1服从正态分布，由于0)(1=+n Y Y E ，故 }0{1≤+n Y Y P =.21。
