天津市南开中学高一数学下学期期中考试试卷

2020-2021学年天津市南开中学高一（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 下列命题中，正确命题的个数是( )①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a ⃗ 共线的单位向量是±a⃗ |a ⃗ |． A. 0 B. 1 C. 2 D. 32. 下列各式不能化简为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −QC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. QC ⃗⃗⃗⃗⃗ −QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗D. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ×BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中k 是非零常数).则△ABC 的形状是( ) A. 正三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形4. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，且向量c ⃗ =λa ⃗ +b ⃗ ，d ⃗ =a ⃗ +(2λ−1)b ⃗ ，若c ⃗ 与d⃗ 反向，则实数λ的值为( )A. 1B. −12C. 1或−12D. −1或−125. 在△ABC 中，D 是AB 边的中点，点E 在BC 边上且BE =2EC ，则ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 16AB ⃗⃗⃗⃗⃗−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 16AB ⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −16AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. −16AB ⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 如图，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为30°，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则λμ等于( ) A. √32 B. 2√33C. 12 D. 27. △ABC 所在平面内一点P 满足CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2θ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos2θ=( )A. √23B. −√23C. 13D. −138. 已知点O 是△ABC 所在平面内的一定点，P 是平面ABC 内一动点，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,+∞)，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 如图，在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别是边BC ，CA ，AB 上的中线，它们交于点G ，则下列选项正确的是( )A. BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AG ⃗⃗⃗⃗⃗ C. DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AG ⃗⃗⃗⃗⃗ D. GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 10. 已知向量e 1⃗⃗⃗ =(−1,2)，e 2⃗⃗⃗ =(2,1)，若向量a ⃗ =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ ，则可使λ1λ2<0成立的a⃗ 可能是( ) A. (1,0) B. (0,1) C. (−1,0) D. (0,−1)11. 已知△ABC ，一下各式可以确定P 点在线段BC 延长线上的是( )A. AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗B. AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x <0)C. PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC⃗⃗⃗⃗⃗ D. CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 12. 在△OAB 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ，BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC ，BD 于E ，F 两点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ>0)，则λ+μ的不可能取到的值为( )A. 2+√37B. 3+√37C. 3+2√37D. 4+2√37三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知两点A(2,−1)，B(5,3)，则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是______ ．14. 若P 是△ABC 内部一点，且满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABP 与△ABC 的面积之比为______ ．15. 如图，O 为直线A 0A 2019外一点，若A 0，A 1，……，A 2019中任意两相邻两点的距离相等，设OA 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OA 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ ，b ⃗ 表示OA 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯…+OA 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其结果为______．16. 在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 上的靠近B ，C 的五等分点，且满足P 为线段EF 上的任一点，实数x ，y 满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记Si S =λi (i =1,2,3)，则λ2⋅λ3为取到最大值时，x ，y 的值分别为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知a ⃗ =(x +3,x 2−3x −4)，A(1,2)，B(3,2)．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，求x 的值； (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //a ⃗ ，求x 的值．18. △ABC 中，点A(2,1)、B(1,3)、C(5,5)．(1)若四边形ABCD 为平行四边形，求D 点坐标． (2)若D 在线段BC 上，且S △ABD =2S △ACD ，求|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |．19. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−2,1)，x ⃗ =a ⃗ +(t +1)b ⃗ ，y⃗ =−1k a ⃗ +1t b ⃗ ． (1)写出平面向量基本原理的内容，并由此说明a ⃗ ,b ⃗ 能否成为一组基底； (2)若对于任意非0实数t ，x ⃗ 与y ⃗ 均不共线，求实数k 的取值范围．20. 在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ ，b ⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)求实数λ的值，使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线．21. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a⃗ =(−1,2)，点A(8,0)，B(n,t)，C(ksinθ,t)，θ∈R ．(1)若k =t ，θ=30°，求|a ⃗ −OC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值； (2)若向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量a ⃗ 共线，常数k >0，求f(θ)=tsinθ的值域．22.如图，在△ABC的边上各自做匀速运动的点D，E，F，当t=0时分别从点A，B，C出发，以各自的定速度向点B，C，A前进，当t=1时分别到达点B，C，A．(1)证明：在运动过程中(t∈[0,1])，△DEF的重心保持不变；(2)若△ABC的面积为S，求△DEF的面积的最小值(t∈[0,1])．答案和解析1.【答案】B【解析】解：向量既有大小也有方向，∴单位向量的方向不相同或相反便不共线，∴命题①错误； 长度相等而方向不同的向量不相等，∴命题②错误； 共线的单位向量方向不相同的也不相等，∴命题③错误； 与非零向量a ⃗ 共线的单位向量是：±a⃗ |a ⃗ |，∴命题④正确． 故选：B ．根据向量的定义即可判断命题①②③都错误，与非零向量a ⃗ 共线的单位向量是±a⃗ |a ⃗ |，从而判断命题④正确，这样即可得出正确的选项．本题考查了向量的定义，单位向量的定义，相等向量和共线向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．直接利用向量的表示，求出结果即可． 本题考查向量的加减运算，基本知识的考查．3.【答案】D【解析】解：△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ×BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中k 是非零常数)， 如图所示；∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−AC⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ×(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+k AB⃗⃗⃗⃗⃗ =k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴(1|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+k)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k +1|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， ∴1|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+k =k +1|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴△ABC 是等腰三角形． 故选：D ．根据题意画出图形，利用共线定理求出|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，判断△ABC 是等腰三角形． 本题考查了平面向量的线性运算问题，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，且向量c ⃗ =λa ⃗ +b ⃗ ，d ⃗ =a ⃗ +(2λ−1)b ⃗ ，c ⃗ 与d ⃗ 反向， ∴存在实数k 使c ⃗ =k d ⃗ (k <0)， 于是λa ⃗ +b ⃗ =k[a ⃗ +(2λ−1)b ⃗ ]. 整理得λa ⃗ +b ⃗ =k a ⃗ +(2λk −k)b ⃗ ． 由于向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，所以有{λ=k2λk −k =1， 整理得2λ2−λ−1=0， 解得λ=1或λ=−12． 又因为k <0，所以λ<0， 故λ=−12． 故选：B ．由题意存在实数k 使λa ⃗ +b ⃗ =k[a ⃗ +(2λ−1)b ⃗ ]，k <0，由向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，得2λ2−λ−1=0，由此能求出结果．本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量共线的性质的合理运用．5.【答案】A【解析】解：∵D 为AB 边的中点，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵BE =2EC ，∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．由D 为AB 边的中点，得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由BE =2EC ，得EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据平面向量的三角形运算法则求解即可．本题考查平面向量的基本定理，涉及向量的三角形法则．属基础题．6.【答案】D【解析】解：如图所示：根据平行四边形法则将向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 沿OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向进行分解，则由题意可得OD =λ，CD =μ，∠COD =30°，∠OCD =90°，∠Rt △OCD 中，sin∠COD =sin30°=12=CDOD =μλ， ∴λμ=2， 故选：D ．将向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 沿OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后解三角形即可得到答案．对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．7.【答案】C【解析】解：∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2θCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θCB⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴sin 2θ=13，cos 2θ=23∴cos2θ=cos 2θ−sin 2θ=23−13=13．故选：C ．根据平面向量的基本定理，求得sin 2θ和cos 2θ的值，根据二倍角公式求解即可． 本题考查平面向量的基本定理和二倍角公式，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的合理应用．8.【答案】B【解析】解：如图，设D 是BC 的中点，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,+∞)， ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴点P 的轨迹是射线AD ， ∵AD 是△ABC 中BC 边上的中线， ∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心． 故选：B ．设D 是BC 的中点，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,+∞)，知OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以点P 的轨迹是射线AD ，故点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心． 本题考查三角形五心的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9.【答案】AB【解析】解：由三角形重心性质得BG =2GE ，所以BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 正确； 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×32AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 正确； 由重心性质得，DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 错误； 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，D 正确． 故选：AB ．由已知结合三角形的重心及向量的线性表示分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了三角形的重心及向量的线性表示，属于中档题．10.【答案】AC【解析】解：e 1⃗⃗⃗ =(−1,2)，e 2⃗⃗⃗ =(2,1)， ∴向量a ⃗ =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ =(−λ1,2λ1)+(2λ2,λ2)， =(2λ2−λ1,2λ1+λ2)， 若使λ1λ2<0成立，a⃗ =(1,0)，则2λ1+λ2=0，满足题意， a⃗ =(0,1)，则2λ2−λ1=0，不满足题意， a⃗ =(−1,0)，则2λ1+λ2=0，满足题意， a⃗ =(0,−1)，则2λ2−λ1=0，不满足题意， 故选：AC ．向量a ⃗ =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ =(2λ2−λ1,2λ1+λ2)，结合选项进行分析即可求解． 本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础试题．11.【答案】BC【解析】解：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则B ，C ，P 三点共线，当0<x <1时，P 在线段BC 上， 当x >1时，P 在CB 延长线上，当x <0时，P 在BC 延长线上，A 错误，B 正确；PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可知P ，C ，B 三点共线且P 在BC 延长线上，C 正确； CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 可知P ，C ，B 三点共线且P 在CB 延长线上，D 错误． 故选：BC ．结合向量的共线定理分别检验各选项即可判断．本题主要考查了平面象限的线性运算及向量共线定理，属于基础题．12.【答案】ABC【解析】解：由A ，M ，D 三点共线，可得存在实数t 使得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(1−t)OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 同理由C ，M ，B 三点共线，可得存在实数m 使得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(1−m)OA⃗⃗⃗⃗⃗ +m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{t =14(1−m)12(1−t)=m ，解得{m =37t =17，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =17OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +37OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =xλOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yμOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则{xλ=17yμ=37，即{7x =1λ7y =3μ， 则1λ+3μ=7，故λ+μ=17(λ+μ)(1λ+3μ)=17(1+3+μλ+3λμ)≥4+2√37． 故选：ABC ．由已知可得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =17OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +37OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若过M 作动直线l 分别交线段AC ，BD 于E ，F 两点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ>0)，则1λ+3μ=7，再由基本不等式可得答案． 本题考查的知识点是平面向量在几何中的应用，三点共线的充要条件，基本不等式的应用，属于中档题．13.【答案】(35,45)【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4)，∴与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(35,45)． 故答案为：(35,45)．可求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后代入AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |即可求出与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量的坐标． 本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量的长度的方法，单位向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】13【解析】解：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设AB 的中点为O ， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 为△ABC 的重心，根据重心的性质可得C 到AB 的距离为P 到AB 的距离的3倍， 故S △ABPS△ABC=13．由已知结合向量的加法及减法运算进行化简，然后结合三角形的重心性质可求． 本题主要考查了向量的线性表示及三角形重心的性质的应用，属于基础题．15.【答案】1010(a ⃗ +b ⃗ )【解析】解：设A 0A 2019的中点为A ，则A 也是A 1A 2018，A 2A 2017，……，A 1009A 1010的中点，由向量的中点坐标公式可得，OA 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗ +b ⃗ ， 同理，OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2017⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =⋯…=OA 1009⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 1010⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， ∴OA 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯…+OA 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1010(a ⃗ +b ⃗ )． 故答案为：1010(a ⃗ +b ⃗ )．设A 0A 2019的中点为A ，可知OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2017⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =⋯…=OA 1009⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 1010⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，进而得解．本题考查平面向量的几何运算，主要考查向量的中点坐标公式，属于基础题．16.【答案】2，2【解析】解：因为E ，F 分别为AB ，AC 上的靠近B ，C 的五等分点，则EF//BC ，故点P 到BC 的距离等于三角形ABC 的BC 边上的高的15，则S 1=15S ，所以S 2+S 3=45S ，λ2+λ3=45， 由此可得λ2λ3≤(λ2+λ32)2=425，当且仅当λ2=λ3=25时取等号，此时P 为EF 的中点，延长AP 交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =4PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 所以x =y =2，故当λ2λ3取得最大值时，x ，y 的值分别为2，2.， 故答案为：2，2．利用E ，F 分别为AB ，AC 上的靠近B ，C 的五等分点，得出EF//BC ，且则S 1=15S ，再根据基本不等式以及平面向量基本定理即可求解．本题考查了平面向量在三角形中的应用，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，属于中档题．17.【答案】解：(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，所以有{x +3=2x 2−3x −4=0⇒x =−1，(2)x 2−3x −4=0即可，解得x =−1或4．【解析】(1)先表示AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后结合向量相等的条件可求x ； (2)由已知结合向量平行的坐标表示即可直接求解．本题主要考查了向量相等条件及平行的坐标表示，属于基础题．18.【答案】解：(1)设D(x,y)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得(x −2,y −1)=(4,2) 解得D(6,3)；(2)解：因为S △ABD =2S △ACD ，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)+23(4,2)=(53,103)， 所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(53)2+(103)2=5√53．【解析】(1)先设D 的坐标，然后由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 结合向量的坐标运算即可求解； (2)由已知条件可转化为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后结合向量的坐标表示可求AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再由模长公式即可求解．本题主要考查了向量的线性运算的坐标表示，属于基础题．19.【答案】解：(1)平面向量基本定理的内容：如果e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a ⃗ ，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a ⃗ =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ ． 因为向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−2,1)，所以a ⃗ ,b ⃗ 不共线， 所以a ⃗ ,b ⃗ 可以成为一组基底； (2)假设x ⃗ //y ⃗ ， 则由对应系数成比例可得t+1k+1t=0，即t 2+t +k =0，向量x ，y 不共线，则对任意非0实数t 都无解，所以k >−(t 2+t)， 而函数−(t 2+t)=−(t +12)2+14，当t =−12时，−(t 2+t)的最大值为14， 所以k >14，即实数k 的取值范围为(14,+∞).【解析】(1)写出平面向量基本定理的内容，然后依次即可判断向量a ，b 是否可以成为一组基底；(2)先假设向量x ，y 共线，然后建立等式关系，若不共线，问题转化为对任意非0实数t 都无解，所以k >−(t 2+t)max ， 求出最大值即可．本题考查了平面向量基本定理，涉及到恒成立问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．20.【答案】(1)解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ ， AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +b ⃗ ， (2)解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ −λ(13a ⃗ +b ⃗ )=(1−13λ)a ⃗ +(12−λ)b ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， ∴存在t ∈R 使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(1−13λ)a ⃗ +(12−λ)b ⃗ =t(b ⃗ −a ⃗ )， 又∵a ⃗ ,b⃗ 不共线，∴{1−13λ=−t12−λ=t ，(此处也可由对应系数成比例直接得到)解得λ=98．【解析】(1)根据向量加法运算法则进行转化即可． (2)根据向量共线定理建立方程进行求解即可．本题主要考查向量基本定理的应用，利用向量加法法则和向量共线定理是解决本题的关键，是中档题．21.【答案】解：(1)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k2,k),a ⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−k2,2−k)，|a ⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(1+k2)2+(2−k)2=√54k 2−3k +5=√54(k −65)2+165，∴k =65时，|a ⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值为4√55； (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ksinθ−8,t)，∵向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量a ⃗ 共线，常数k >0， ∴t =−2ksinθ+16，∴f(θ)=tsinθ=−2ksin 2θ+16sinθ=−2k(sinθ−4k )2+32k，①当0<4k <1即k >4时，当sinθ=4k 时，f(θ)=tsinθ取得最大值32k ；sinθ=−1时，f(θ)=tsinθ取得最小值−2k −16，此时函数f(θ)的值域为[−2k −16,32k ]．②当4k ≥1即0<k ≤4时，当sinθ=1时，f(θ)=tsinθ取得最大值−2k +16；sinθ=−1时，f(θ)=tsinθ取得最小值−2k +16，此时函数f(θ)的值域为[−2k −16,−2k +16]． 综上所述，当k >4时f(θ)的值域为[−2k −16,32k ]；0<k ≤4时f(θ)的值域为[−2k −16,−2k +16]．【解析】(1)根据k =t ，θ=30°即可得出OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k2,k)，然后即可得出|a ⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√54k 2−3k +5，然后配方即可求出|a ⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值； (2)根据AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与a ⃗ 共线即可得出t =−2ksinθ+16，从而可得出f(θ)=−2k(sinθ−4k )2+32k，然后可讨论k ：0<4k <1时，可求出f(θ)的最大值和最小值，从而得出此时的f(θ)的值域；同样，当4k ≥1时，可求出f(θ)的值域．本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，根据点的坐标求向量的坐标的方法，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于中档题．22.【答案】(1)证明：设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )，C(x C ,y C )，△DEF 的重心O(x 0,y 0)，由题意，在同一时刻t ，D 、E 、F 分，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的比相同，设为λ， 则λ=AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BC⃗⃗⃗⃗⃗ =CF⃗⃗⃗⃗⃗ FA⃗⃗⃗⃗⃗ =t 1−t，由定比分点坐标公式可得，D(tx B +(1−t)x A ,ty B +(1−t)y A )， E(tx C +(1−t)x B ty C +(1−t)y B )， F(tx A +(1−t)x C ,ty A +(1−t)y C )，由三角形重心坐标公式有，x 0=13(x D +x E +x F ),y 0=13(y D +y E +y F )， 把D 、E 、F 的坐标代入x 0，y 0中，求得△DEF 的重心坐标为(x A +x B +x C 3,y A ,y B ,y C3)，它与t 无关，即在运动过程中，△DEF 的重心保持不变； (2)解：∵ADAB =t,AFAC =1−t ，∴S △DFA ：S △ABC =(AD ⋅AF)：(AB ⋅AC)=t(1−t)，即S △DFA =t(1−t)S ， 同理，S △EFC =S △DEB =t(1−t)S ，∴S △DEF =S △ABC −(S △DFA +S △DEB +S △EFC )=(3t 2−3t +1)S =[3(t −12)2+14]S,t ∈[0,1]，当t =12时，S △DEF 的面积取得最小值14S ．【解析】(1)设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )，C(x C ,y C )，△DEF 的重心O(x 0,y 0)，在同一时刻t ，D 、E 、F 分，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的比相同，设为λ，求得△DEF 的重心坐标为(x A +x B +x C 3,y A ,y B ,y C3)，它与t 无关，即可．(2)ADAB =t,AFAC =1−t ，求出S △DEF =S △ABC −(S △DFA +S △DEB +S △EFC )=(3t 2−3t +1)S 利用二次函数求解最值即可．本题考查向量在几何中点应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。

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（1）当 AM 1km 时，求此时防护网的总长度； （2）若 15 ，问此时人工湖用地 VOMN 的面积是堆假山用地△OAM 的面积的多少 倍？ （3）为节省投入资金，人工湖VOMN 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 VOMN 的面积最小？最小面积是多少？
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6 锥 P ABC 的体积最大值为 108，则球 O 的表面积为________. 14．2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位： 米），三角高程测量法是珠穆朗玛峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示
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意图，现有 A，B，C 三点，且 A，B，C 在同一水平面上的投影 A, B,C 满足 ACB 45o,ABC 60o ，由点 C 测得点 B 的仰角为15o，BB 与 CC 的差为 100，由 点 B 测得点 A 的仰角为 45o ，则 A，C 两点到水平面 ABC 的高度差 AA CC 为________ 米.
上的动点，则
uuur MA
uuuur MC
的最小值为（
）
A． 25 4
B． 25 16
C． 25 16
D． 25 4
二、填空题
9．若 i
是虚数单位，复数
1 3i 2 i3
________.
10．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，E 是侧棱 AA1 的中点，则平面 B1CE 截
π 3
，点
D
为边
BC
上靠近
B
的三等分点，则
uuur AD
uuur BC
的值为（ ）
A． 16 3

2020-2021学年天津市南开中学高一（下）期中数学试卷附详细解析参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．（4分）在平行四边形ABCD中，+﹣＝（）A．B．C．D．2．（4分）已知＝（1，2），＝（4，3），则（﹣）•＝（）A．﹣30B．﹣15C．﹣10D．53．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件使△ABC有两解的是（）A．b＝2，c＝1，A＝30°B．a＝8，B＝45°，C＝65°C．a＝3，c＝2，A＝30°D．a＝3，b＝4，B＝45°4．（4分）下列命题中正确的是（）A．两个平面可以有且仅有一个公共点B．两两相交的直线一定共面C．如果一条直线与两个相交的平面均平行，那么这条直线与这两个相交平面的交线也平行D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的任意直线平行5．（4分）已知在正四面体ABCD中，点E为棱AD的中点，则异面直线CE与BD成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tan B＝ac，则角B的值（）A．B．C．或D．或7．（4分）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”又寄托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神．如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成，已知向量，，则向量＝（）A．2+3B．（2+）+3C．（2+）+（2+）D．（1+）+（2+）8．（4分）为解决我校午餐拥挤问题，高一某班同学提出创想，计划修建从翔宇楼四楼直达北院食堂二楼的空中走廊﹣﹣“南开飞云”，现结合以下设计草图提出问题：已知A，D 两点分别代表食堂与翔宇楼出入口，C点为D点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，AB＝50m，CD＝25m，设∠DAE＝θ，则cosθ＝（）A．B．C．D．9．（4分）已知，是平面内两个夹角为的单位向量，设，为同一平面内的两个向量，若＝+，|﹣|＝，则|﹣|的最大值为（）A．B．C．D．10．（4分）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝5，AD＝2，CD＝1，且•＝7，设点P为BC边上的任一点，则•的最小值为（）A．B．C．3D．﹣15二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11．（4分）i是虚数单位，则＝．12．（4分）已知向量＝（1，），＝（，﹣3），则与的夹角大小为．13．（4分）已知向量＝（2，1），＝（0，1），＝（4，3），若λ为实数，且（λ+）⊥，则λ＝．14．（4分）已知正四棱柱的体积为24，底面边长为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为．15．（4分）已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝（1﹣λ），＝λ，其中λ∈R，若•＝﹣，则λ＝．16．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，角B为锐角，向量＝（2sin B，﹣）与＝（cos2B，cos B）共线，且sin A+sin C＝2sin A sin C，则△ABC的周长为．三、解答题：本大题共3小题，每小题12分，共36分.17．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面ACE；（Ⅱ）求异面直线AE与BD1所成角的余弦值．18．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P为正方形内一点．（Ⅰ）如图（1）．（ⅰ）求•+•的值；（ⅱ）求•+•+•+•的值；（Ⅱ）如图（2），若点M，N满足＝2，＝2．点P是线段MN的中点，点Q 是平面上动点，且满足2＝λ+（1﹣λ），其中λ∈R，求•的最小值．19．（12分）南开园自然环境清幽，栖居着多种鸟类，热爱动物的南鸢同学独爱其中形貌雅致的蓝膀香鹊，于是她计划与生物兴趣小组的同学一起在翔宇楼前广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到这种可爱鸟儿的飘逸瞬间．南鸢同学设计了以下草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图象的角度为45°，即∠P AQ＝45°，其中P，Q分别在边BC，CD上，记∠BAP＝θ（0°≤θ≤45°）．（Ⅰ）南鸢同学的数学老师很欣赏她的计划，并根据她的设计草图编制了此刻你正在思考的这道期中考试试题，设AC与PQ相交于点R，当θ＝30°时，请你求出：（ⅰ）线段DQ的长为多少？（ⅱ）线段AR的长为多少？（Ⅱ）为节省能源，南鸢同学计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积（即四边形APCQ的面积，记为S）最大，θ应取何值？S的最大值为多少？2020-2021学年天津市南开中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）1．设复数z满足z=1+3i1+i，则|z|＝（）A．√5B．√52C．√102D．22．已知向量a→=（2，3）与向量b→=（x，6）共线，则实数x的值是（）A．2B．3C．4D．63．下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（）A．某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况B．从15种疫苗中抽取5种检测是否合格C．某大学共有学生5600人，其中专科生有1300人、本科生3000人、研究生1300 人，现抽取样本量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况D．某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对15﹣75岁的人群进行随机抽样调查4．在△ABC中，若sinAa=cosBb=cosCc，则△ABC是（）A．正三角形B．有一内角为30°的等腰三角形C．等腰直角三角形D．有一内角为30°的直角三角形5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝2√2，B＝45°，则sin C＝（）A ．441B ．45C ．2√55D ．4√41416．甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10：若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用x 1，x 2表示，方差分别为s 12，s 22表示，则（ ） A ．x 1＞x 2，s 12＞s 22 B ．x 1＞x 2，s 12＜s 22 C ．x 1＜x 2，s12＜s 22D ．x 1＜x 2，s12＞s 227．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为37和27，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（ ）A ．2949B ．649C ．2349D ．43498．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率P （A ∪B ）＝（ ）A ．12B ．13C ．23D ．569．对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度（单位：m /s ）的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36．则他的最大速度的第一四分位数是（ ） A ．29B ．29.5C ．30D ．3610．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →⋅BC →的值为（ ）A ．14B ．12C ．34D ．1二、填空题（共9小题）11．某学院的A，B，C三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为100的样本，已知该学院的A专业有700名学生，B专业有500名学生，则在该学院的C专业应抽取名学生．12．设i是虚数单位，复数1+ai2−i为纯虚数，则实数a＝．13．已知向量a→，b→满足|a→|＝3，|b→|＝4，若a→⊥b→，则|a→+b→|＝．14．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球（1）至少有1个白球；都是白球；（2）至少有1个白球；至少有1个红球（3）恰有1个白球；恰有2个白球（4）至少有1个白球；都是红球是互斥事件的序号为．15．袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是．16．已知点A（﹣1，1），B（1，3），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量AB→在CD→上的投影为．17．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图，估计这次测试中数学成绩的平均分约为、众数约为、中位数约为（结果不能整除的精确到0.1）18．甲船在岛A处南偏西50°的B处，且AB的距离为10海里，另有乙船正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时8海里的速度航行，若甲船要用2小时追上乙船，则速度大小为海里．19．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B−π6），则角B的大小为；若a＝2，c＝3，则b的值为．参考答案一、选择题（本大题共10小题，共50分） 1．设复数z 满足z =1+3i1+i，则|z |＝（ ） A ．√5B ．√52C ．√102D ．2【分析】直接利用商的模等于模的商求解． 解：∵z =1+3i1+i， ∴|z |=|1+3i 1+i |=|1+3i||1+i|=√10√2=√5． 故选：A ．【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2．已知向量a →=（2，3）与向量b →=（x ，6）共线，则实数x 的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【分析】利用向量平行的性质直接求解．解：∵向量a →=（2，3）与向量b →=（x ，6）共线，∴x2=63，解得x ＝4， 故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（ ）A ．某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况B ．从15种疫苗中抽取5种检测是否合格C ．某大学共有学生5600人，其中专科生有1300人、本科生3000人、研究生1300 人，现抽取样本量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况D ．某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对15﹣75岁的人群进行随机抽样调查【分析】量大，有群体差异的抽样，如A ，C ，D 应分层抽样；简单容量小的B 最适合用简单随机抽样方法抽样．解：A ，C ，D 针对不同人群，应分层抽样；B 量小，简单，最适合用简单随机抽样方法抽样． 故选：B ．【点评】本题考查了抽样方法的应用问题，解题时应根据抽样特点进行选择抽样方法，是基础题．4．在△ABC 中，若sinA a=cosB b=cosC c，则△ABC 是（ ）A ．正三角形B ．有一内角为30°的等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角为30°的直角三角形【分析】先利用正弦定理把题设中的边转化成角的正弦，整理求得sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，进而分别求得B 和C ，则三角形的形状可判断． 解：∵sinA a=cosB b =cosC c，由正弦定理可知sinA sinA=cosB sinB=cosC sinC=1∴sin B＝cos B，sin C＝cos C∴B=π4，C=π4，∴A=π2∴△ABC是等腰直角三角形．故选：C．【点评】本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理完成边角问题的互化．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝2√2，B＝45°，则sin C＝（）A．441B．45C．2√55D．4√4141【分析】根据余弦定理求出b的值，再根据正弦定理求出sin C即可．解：因为a＝1，c＝2√2，B＝45°，所以根据余弦定理，可得：b2＝a2+c2﹣2ac•cos B＝1+8﹣2×1×2√2×√22=5，可得b=√5，所以根据正弦定理csinC=bsinB，可得sin C=c⋅sinBb=2√2×√22√5=2√55．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题型．6．甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9乙：6，6，7，7，10：若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用x 1，x 2表示，方差分别为s 12，s 22表示，则（ ） A ．x 1＞x 2，s 12＞s 22 B ．x 1＞x 2，s 12＜s 22 C ．x 1＜x 2，s12＜s 22D ．x 1＜x 2，s12＞s 22【分析】由平均数公式，方差公式直接代入求值． 解：∵x 1=7+8+8+8+95=8，x 2=6+6+7+7+105=7.2，∴x 1＞x 2． 则S 12=15[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4，S 22=15[（6﹣7.2）2+（6﹣7.2）2+（7﹣7.2）2+（7﹣7.2）2+（10﹣7.2）2]＝2.16，∴S 12＜S 22． 故选：B ．【点评】本题考查平均数公式，方差公式，属于基础题．7．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为37和27，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（ ）A ．2949B ．649C ．2349D ．4349【分析】由题意先求出这2户都没有获得扶贫基金的概率，再用1减去此概率，即为所求．解：某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为37和27，两户是否获得扶持资金相互独立，则这2户都没有获得扶贫基金的概率为（1−37）（1−27）=2049， 则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为1−2049=2949，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率，事件和它的对立事件概率间的关系，属于基础题．8．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数是偶数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（A∪B）＝（）A．12B．13C．23D．56【分析】利用列举法能求出概率P（A∪B）．解：抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数是偶数”，事件B为“向上的点数不超过3”，基本事件总数n＝6，A∪B包含的基本事件个数1，2，3，4，6，则概率P（A∪B）=5 6．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度（单位：m/s）的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36．则他的最大速度的第一四分位数是（）A．29B．29.5C．30D．36【分析】把12个数从大到小排序后，直接找．解：∵最大速度的数据从小到大为：27，28，29，30，31，33，34，35，36，36，38，38∴他的最大速度的第一四分位数是29． 故选：A ．【点评】本题考查四分位数的概念，属于基础题．10．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →⋅BC →的值为（ ）A ．14B ．12C ．34D ．1【分析】以BC 所在的直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出．解：以BC 所在的直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点， ∴B （﹣1，0），C （1，0），E （0，0），A （0，√3）， ∴D （−12，√32），∴BC →=（2，0），DE →=（12，−√32），设F （x ，y ），∴EF →=（x ，y ）， ∵DE ＝2EF ，∴DE →=2EF →，∴（12，−√32）＝2（x ，y ），解得x =14，y =−√34，∴AF→=（14，−5√34），∴AF→⋅BC→=（14，−5√34）•（2，0）=12，故选：B．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，关键是构建坐标系，属于中档题．二、填空题（本大题共9小题，共50分）11．某学院的A，B，C三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为100的样本，已知该学院的A专业有700名学生，B专业有500名学生，则在该学院的C专业应抽取20名学生．【分析】利用分层抽样的性质直接求解．解：某学院的A，B，C三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为100的样本，已知该学院的A专业有700名学生，B专业有500名学生，则在该学院的C专业应抽取：100×1500−700−5001500=20．故答案为：20．【点评】本题考查在该学院C 专业学生中应抽取学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．12．设i 是虚数单位，复数1+ai 2−i 为纯虚数，则实数a ＝ 2 ．【分析】复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a 的值即可．解：因为1+ai 2−i =(1+ai)(2+i)(2−i)(2+i)=2−a+(2a+1)i 5，是纯虚数，所以a ＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数的基本运算﹣﹣复数的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力．13．已知向量a →，b →满足|a →|＝3，|b →|＝4，若a →⊥b →，则|a →+b →|＝ 5 ． 【分析】根据题意，由向量垂直的性质可得a →•b →=0，又由|a →+b →|2=a →2+2a →•b →+b →2，据此变形可得答案．解：根据题意，a →⊥b →，则a →•b →=0，则|a →+b →|2=a →2+2a →•b →+b →2＝9+16＝25， 则|a →+b →|＝5； 故答案为：5．【点评】本题考查向量模的计算，涉及向量数量积的运算性质，属于基础题． 14．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球（1）至少有1个白球；都是白球；（2）至少有1个白球；至少有1个红球（3）恰有1个白球；恰有2个白球（4）至少有1个白球；都是红球是互斥事件的序号为 （3）（4） ．【分析】根据互斥事件的定义进行判断．解：（1）“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”与都是白球不是互斥事件；（2）当是“1个白球，1个红球”，两个事件都成立，故（2）不是互斥事件；（3）“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，则（3）是互斥事件；（4）“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是互斥事件；故答案为：（3）（4）【点评】本题考查了互斥事件判断，根据互斥事件的定义是解决本题的关键． 15．袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是 25 ．【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解． 解：袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是：P =25×14+35×24=25． 故答案为：25． 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．已知点A （﹣1，1），B （1，3），C （﹣2，﹣1），D （3，4），则向量AB →在CD →上的投影为 2√2 ．【分析】本题先根据向量的定义得到AB →=（2，2），CD →=（5，5），然后根据向量AB →在CD →上的投影公式AB →⋅CD→|CD →|进行计算可得结果．解：由题意，可知AB →=（2，2），CD →=（5，5），故向量AB →在CD →上的投影为AB →⋅CD→|CD →|=√52+52=2√2．故答案为：2√2．【点评】本题主要考查向量的定义及投影公式的应用．考查了转化思想，定义法，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题．17．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图，估计这次测试中数学成绩的平均分约为 72 、众数约为 75 、中位数约为 73.3 （结果不能整除的精确到0.1）【分析】①平均数是频率分布直方图的“重心”，是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；②众数是出现次数最多的，在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数；③中位数是所有数据中的中间值，在直方图中，中位数的左右两边频数相等，即频率相等．解：①平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．所以平均成绩为：45×（0.005×10）+55×（0.015×10）+65×（0.020×10）+75×（0.030×10）+85×（0.025×10）+95×（0.005×10）＝72；②由众数概念知，众数是出现次数最多的，在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数，由频率分布直方图知，这次测试数学成绩的众数为75；③由于中位数是所有数据中的中间值，故在直方图中，体现的是中位数的左右两边频数应用相等，即频率相等，从而就是小矩形的面积和相等，因此在频率分布直方图中，将频率分布直方图中所有小矩形面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求，∵前三个小矩形的面积和为（0.005+0.015+0.020）×10＝0.4，第四个小矩形的面积为0.030×10＝0.3，0.4+0.3＝0.7＞0.5，∴中位数应位于第四个小矩形中，设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x＝0.1，解得x≈3.3，故成绩的中位数为73.3．故答案为：72，75，73.3．【点评】本题考查了利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数的方法，是基础题．18．甲船在岛A处南偏西50°的B处，且AB的距离为10海里，另有乙船正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时8海里的速度航行，若甲船要用2小时追上乙船，则速度大小为 7 海里．【分析】直接利用方位角的应用求出三角形的内角大小，进一步利用余弦定理的应用求出结果．解：根据题意建立坐标系：如图所示：由题意知：AB ＝10，BC ＝2×8＝16，∠BAC ＝120°，利用余弦定理：BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AC •AB •cos120°＝196，所以BC ＝14．所以乙船的航速为142=7海里．故答案为：7【点评】本题考查的知识要点：方向角的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A ＝a cos （B −π6），则角B的大小为 π3 ；若a ＝2，c ＝3，则b 的值为 √7 ．【分析】由正弦定理得b sin A ＝a sin B ，与b sin A ＝a cos （B −π6）．由此能求出B ，进而根据余弦定理即可解得b 的值．解：∵在△ABC 中，由正弦定理得a sinA =b sinB ，得b sin A ＝a sin B ， 又b sin A ＝a cos （B −π6）．∴a sin B ＝a cos （B −π6），即sin B ＝cos （B −π6）＝cos B cos π6+sin B sin π6=√32cos B +12sin B ， ∴tan B =√3，又B ∈（0，π），∴B =π3．∵在△ABC 中，a ＝2，c ＝3，B =π3，∴由余弦定理得b =√a 2+c 2−2accosB =√4+9−2×2×3×12=√7． 故答案为：π3，√7 【点评】本题考查三角形角和边的求法，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．。