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管综初数：对于“整除”，你了解多少？对于“整除”的理解，如果你还停留在小学时期认为的两个整数相除无余数的概念，那就太OUT 了。
对于管理类联考来说，关于“整除”的考查，不仅仅是如此，更重要的是对于某些特殊数的整除特征、整除性质、整除个数的考查。
接下来，跨考教育初数教研室程龙娜老师来为考生讲解下数的整除特征、整除的性质及整除的个数问题。
整除的特征（1）能被2整除的数的特征：个位数为0、2、4、6、8。
（2）能被5整除的数的特征：个位数为0或5。
（3）能被3（9）整除的数的特征：各个位上的数字之和必能被3（9）整除。
如1233各个位上的数字之和为9，所以能被3整除，也能被9整除。
（4）能被4（25）整除的数的特征：末两位（个位和十位）数字必能被4（25）整除。
如12316能被4整除，12350能被25整除。
（5）能被8（125）整除的数的特征：末三位（个位、十位和百位）数字必能被8（125）整除。
如1324不能被8整除，也不能被125整除。
（6）能被11整除的数的特征：从右向左，奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和能被11整除（包括0）。
例如：121，奇数位上的数字之和为1+1=2，偶数位上的数字之和为2，相减得0，即121能被11整除。
整除的性质（1）如果b c |，a c |，则b a c +|；如果b c |，a c |，则对任意的整数m ，n 有nb ma c +|；(可加性)（2）如果ab c ，则a c ，b c ；（可拆性） 如：由20212020120,2120⨯⇒（3）如果b c |，a b |，则a c |；（传递性）（4）如果a c ，b c ，且(,)1a b =，则ab c ；（互质可乘性） 如：由10120,5120推不出105120⨯，但是由20120,3120203120⇒⨯又如________72100a ，则a 的值为8。
根据可拆性和互质可乘性可知，________100a 既能被8整除又能被9整除。
数的整除知识点总结数的整除是数论中的一个基本概念，也是初等数学中的重要内容。
它与因数、倍数和约数等概念密切相关，对于解题和推理都有着重要的作用。
下面将对数的整除进行详细总结。
一、定义：如果整数a能够被整数b整除，即a/b是整数，那么称a是b的倍数，b是a的因数。
可以用数学表达式a=b*k来表示，其中k是整数。
二、性质：1.任何一个整数都是它自身的倍数，也是它自身的因数，即a是a的倍数，a是a的因数。
2.任何一个正整数都是1的倍数，即对于任何整数a，都有a是1的倍数。
3.任何一个整数都是它自身的因数，即对于任何整数a，都有a是a的因数。
4.如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数，即若a是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。
5.如果a是b的倍数，b是a的倍数，那么a和b是互为倍数，即a是b的倍数且b是a的倍数，则a和b互为倍数。
6.如果a是b的因数，b是c的因数，那么a也是c的因数，即若a是b的因数且b是c的因数，则a是c的因数。
三、判断一个数能否整除另一个数的方法：1.因式分解法：将被除数和除数都分解成质因数的乘积形式，然后进行比较。
如果被除数的质因数包含除数的质因数，并且对应质因数的指数均大于等于相应的质因数的指数，则被除数能够整除除数。
2.试商法：用除数去除被除数，如果商是整数且余数为0，则被除数能够整除除数，否则不能整除。
四、整除的性质：1.整除关系具有传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，则a 能够整除c。
2.整除关系具有反对称性，即如果a能够整除b，b能够整除a，则a 和b相等或互为相反数。
3.整除关系具有自反性，即任何一个数都能整除它本身。
4.整除关系具有非传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，但a 不能整除c。
例如：2能整除4，4能整除8，但2不能整除8五、整数的混合运算与整除的关系：1.若a整除b，b整除c，则a整除c。
2. 若a整除b，b整除c，则a整除bc。
⾏测数量关系技巧：整除法 任何⼀场考试取得成功都离不开每⽇点点滴滴的积累，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测数量关系技巧：整除法”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！⾏测数量关系技巧：整除法 ⾏测题⽬多、时间紧，很好考⽣都想有⼀些技巧性的猜题⽅法，尤其是数量关系部分，⼩编认为，利⽤整除性科学猜题不失为⼀种好⽅法。
⼀、整除的含义 若整数“a”除以⼤于0的整数“b”，商为整数，且余数为0。
那a能被b整除。
⼆、整除核⼼ 判断问题量在题⼲中的整除关系，从⽽排除错误选项。
三、运⽤ (⼀)⽂字描述整除(“平均”，“每”，“倍”…) 例1.⼀个旅游团租车出游，平均每⼈应付车费40元。
后来⼜增加了7⼈，这样每⼈应付的车费是35元，租车费是()元。
A.2000B.1960C.1900D.1850 【答案】B 【解析】租车费=每⼈应付车费×⼈数，，⼈数肯定是整数，就可以⽤整除。
租车费能被35整除，只有B选项满⾜。
例2.教室⾥有若⼲学⽣，⾛了10名⼥⽣后，男⽣⼈数是⼥⽣的2倍，⼜⾛了9名男⽣后，⼥⽣⼈数是男⽣的5倍，问最初教室⾥有多少⼈?A.15B.20C.25D.30 【答案】C 【解析】根据题意，“⾛了10名⼥⽣后，男⽣⼈数是⼥⽣的2倍”，最初教室⾥的⼈数减去10后能够被3整除，验证选项，只有C选项符合。
(⼆)数据体现整除(百分数、分数、⽐例…) 例3.某次英语考试，机械学院有210⼈报名，建筑学院有130⼈报名。
已知两个学院缺考的⼈数相同，机械学院实际参加考试的⼈数是建筑学院实际参加考试⼈数的 。
问建筑学院缺考的⼈数是多少?A.2B.4C.9D.12 【答案】A 【解析】出现了分数，由题“机械学院实际参加考试的⼈数是建筑学院实际参加考试⼈数的”，建筑学院实际参加考试⼈数能被8整除，即(130-选项答案)能被8整除，答案选A。
例4.在⼀次有四个局参加的⼯作会议中，⼟地局与财政局参加的⼈数⽐为5：4，国税局与地税局参加的⼈数⽐为25：9，⼟地局与地税局参加⼈数的⽐为10：3，如果国税局有50⼈参加，⼟地局有多少⼈参加( )。
历年国家公务员考试行测数量关系经典技巧：整除
整除指的是，两个整数相除，商也是整数。
比如15÷3=5，我们就可以说15可以被3整除，3可以整除15。
有的考生会问，整除这么简单，考试中会考吗?在
考试行测数量关系部分中，是会考到整除的应用的。
因为考试题目都是来源于生活的，某
些量就一定有能被整除的条件。
举个实际例子来说，一些学生站队，每排站相同的人数，
正好站5排。
那么学生的人数就一定能被5整除，可以从选项来看哪个能被5整除，而
不是根据题意，通过大量思考和计算来得到答案了。
可见整除是可以化繁为简，把计算的
问题转化为判断和挑选的过程了。
下面
专家就给大家总结一下，在什么样的情况下可以考虑用整除来试一试，找到答案，或者说
排除部分选项。
整除有以下三类应用环境：
一、数据体现整除
当题目中出现分数，小数，百分数，比例数，倍数我们往往可以考虑整除。
例1：甲乙丙丁四家公司为南方雪灾地区捐款，甲公司捐款数是另外三家公司捐款总数的
一半，乙公司捐款数是另外三家公司捐款总数的1/3，丙公司捐款数是另外三家公司捐款
总数的1/4，丁公司捐款总数是169万元，四家公司共捐款多少钱?
A、780万元
B、890万元
C、183万元
D、2018万元
【中公解析】答案选A。
根据题意可知，甲公司占四家公司总数的1/3，乙公司占总数的
1/4，丙占总数的1/5，如果假设每家公司捐款都是整数的话，那么总钱数可以被3，被4，被5整除，满足条件的只有A选项，很快的选出答案。
广东梅州事业单位招聘网：数量关系中利用整除巧妙解题行测考试中，数量关系往往是考生们最为头痛的部分。
由于计算量大、花费时间较多以及难度大，让广大考生折戟沉沙，败倒在数量关系上。
如果我们可以用一些小技巧，能够快速的解题，那么对考生而言是天大的福音。
今天我们就来看看如何利用整除巧妙解题。
一、整除的含义若整数“a”除以不为0的整数“ b”，商为整数，且余数为0，那a能被b 整除。
二、整除的核心判断数字特征，通过题干中给出的信息，判断结果是否具备整除特性，从而排除错误选项。
例：张三家家里养了一群猪，其中3/8是黑毛猪。
问张三家共有多少头猪?有黑毛猪多少头？我们可以抓住题目中的特征符号一分数，张三家3/8是黑毛猪，所以猪的总数能被8整除，黑毛猪的数量能被3整除。
那么哪些数具有能够被3整除的特点？哪些数具有能被8整除的特点？我们就非常有必要掌握这些小数字的整除判定。
抓住题中关键数量关系，判断未知量被某数整除或具体的余数值，快速排除、甚至锁定选项。
三、常用小数字的整除判定(一)局部看(1)一个数的末一位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除。
（2）—个数的末两位能被4和25整除，这个数就能被4或25整除。
⑶一个数的末三位能被8和125整除。
这个数就能被8或125整除。
例：判断1238能否被2或5整除。
1238=1230+8 。
任何一个数都可以写成上面的形式。
1230是能被2和5都整除，所以判断1238能否被2或5整除，只要看数字的末一位。
（二）整体看1.看整体的和一个数各位数字的和能被3或9整除，这个数就能被三或九整除。
例：判断1368能否被3或9整除。
我们就可以用划3法或划9法来判定。
我们只需要判定1+3+6+8 的和能否被3或9整除。
2.看整体的差7、11、13的判定方法。
如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差，能被7、11和13整除。
那么这个数能被7、11和13整除（此法适用于四位和四位以上的大数字）。
整除重点知识点总结一、整除的概念1. 整除的定义：如果一个整数a除另一个整数b（且b≠0）的商仍为整数，那么我们说a 能被b整除，记作b|a。
即$a\%b=0$2. 被除数、除数、商、余数：（1）被除数：被除数是指被除数的整数（2）除数：除数是指除数的整数（3）商：商是指商的整数（4）余数：当被除数能被除数整除时，商为整数，余数为零当被除数不能被除数整除时，商不为整数，余数不为零二、整除的性质1. 0的整除性：0是任何整数的倍数。
2. 正整数的整除性：（1）整数c能被整数a、b整数：若c既能被a整数，又能被b整数，则c能被a，b的最小交集整数整除。
（2）整除的传递性：若a能被b整数，b能被c整数，则a能被c整数。
3. 负整数的整除性：（1）整数c能被整数a整数：若c能被a整数，c能被-a、-b整数。
（2）整除的传递性：若a能被b整数，b能被c整数，则a能被c整数。
三、整除的判断方法1. 用倍数表示：若整数a能被整数b整数，则整数a是整数b的倍数（倍数是指数字b 的n倍，n是整数）。
2. 用因数表示：若整数a能被整数b整数，则整数a是整数b的因数（因数是指a能被整数b整数）。
3. 用除法表示：若整数a能被整数b整数，则整数a÷整数b=商。
若商是整数，则整数a 能被整数b整数。
四、整除的应用1. 整数的奇偶性判断：一个数能够被2整数，称为偶数；一个数不能被2整数，称为奇数。
2. 整数的哪些整除：（1）整数判断：整数5能被整数2整数，因为5÷2=2余1；整数3不能被整数2整数，因为3÷2=1余1。
（2）一元一次方程：整数代表数的值，整除代表数的比值。
五、整除的解题方法1. 整除的运算规则：整除的加减乘除法规则。
2. 整数的乘法和除法：整数的乘法、整数的除法。
3. 整数的乘法和除法法则：整数的乘法、整数的除法法则。
4. 整数的乘法和除法法则：整数的乘法、整数的除法法则。
解整分是整数中的一个重要知识点，通过综合上述知识点的学习，我们可以更好地应用整除知识解决实际问题，提高数学解题的能力。
行政职业能力测试之数量关系解题技巧：整除法
数量关系是事业单位考试的必考题型,这部分题一共十道,虽然不是很多,但是做起来比较耗时,主要是因为我们对于数量关系大都应用传统
的列式计算方法,那么今天给大家准备一个比较省时省力的技巧,整除法,能够协助大家节省时间,提升做题效率。
一、整除的概念：
如果A除以B等于C,ABC都是整数,那么我们就说A能够被B整除。
概念很容易理解,并不是很难,那么如何使用整除来计算.比如下边这道题
例：某公司组织员工到外地旅游时租了几辆同样的大巴车，若每辆车
坐32人则有8个人上不了车，若每辆车坐36人则最后一辆车还有12个空座。
问该公司共有员工多少人?
A.156 人
B.168 人
C.175 人
D.182 人
【答案】B。
解析：根据题意可知，该公司的员工总数减去8后能够被32整除，结合选项，只有B满足条件。
二、适用题型
并不是所有题都能够应用整除,那么面对什么样的题型我们能够采用整除这种技巧。
通常情况下在题中出现比例,百分数,分数,倍数的情况下,能够采用整除,比如：
例：某粮库里有三堆袋装大米。
已知第一堆有303袋大米，第二堆有
全部大米袋数的五分之一，第三堆有全部大米袋数的七分之若干。
问
粮库里共有多少袋大米?
A.2585袋
B.3535袋
C.3825袋
D.4115袋
【答案】B。
解析：由题意，所求大米总袋数为5的倍数和7的倍数，故是35的倍数，选择B。
常握好这种技巧,能够协助大家又快又准的计算出答案。
公务员行测考试整除法说明数量关系是在行测中对大多数考生来说都比较难的部分，但是如果我们能够掌握一类题型的做题思路，相对来说就会对没有那么强的畏难情绪。
下面小编给大家带来关于公务员行测考试整除法说明，希望会对大家的工作与学习有所帮助。
公务员行测考试整除法说明一、整除与除尽的概念1、整除若整数“a”除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除。
2、除尽两数相除，没有余数，这时就说被除数能被除数除尽。
整除是除尽的一种情况。
二、常用小数字的整除判定1、局部看(1)一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除;(2)一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除;(3)一个数的末三位能被8或 125 整除，这个数就能被8或125整除;2、整体看(1)整体作和一个数各位数数字和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。
(2)整体作差如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除。
三、整除的应用环境1、文字描述整除：明显整除字眼、出现“每”“平均”“倍数”;2、数据体现整除：出现分数、百分数、比例等。
四、整除的应用例1.若干学生住若干房间，如果每间住4人，则有20人没地方住;如果每间住8人，则有一间只有4人住，问共有多少学生?A.30B.34C.40D.44【答案】D。
解析：题干中出现“每”，可以考虑用整除。
每间住4人，则有20人没地方住，说明(总人数-20)能被4整除，20能被4整除，也意味着总人数能被4整除，排除A、B选项。
每间住8人，则有一间只有4人住，说明(总人数-4)能被8整除，排除C选项，故选择D选项。
例2.公司四名促销员某月共推销新产品100件，甲与丁共推销64件，甲与乙销量的比例为5:3，丙与丁销量的比例为1:2，则甲该月推销了多少件?A.20B.28C.38D.40【答案】D。
解析：题干中出现比例，可以考虑用整除。
综合整除知识点总结一、整除的定义整除是指当一个整数a能被另一个整数b整除时，记为b|a，即a能被b整除。
这意味着存在一个整数c，使得a=bc，这时a称为b的倍数，b称为a的约数。
例如，6能被2整除，因为6=2*3，此时6是2的倍数，2是6的约数。
二、整除的性质1. 传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
2. 自反性：任何整数都能被1和它自身整除。
3. 0的整除性：0能整除任何不等于0的整数。
4. 整除与乘法的关系：如果a能被b整除，那么对于任何整数c，ac都能被bc整除。
5. 整除与加法的关系：如果a能被b整除，c能被d整除，那么a+c能被b+d整除。
三、整除定理1. 常用整除定理：当a、b、c是整数，且a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
2. 辗转相除法：对两个整数a和b，找到它们的最大公约数的常用方法是辗转相除法。
辗转相除法可以用递归的方法实现，即将b作为a，a除以b的余数作为b，直到余数为0，此时b即为最大公约数。
3. 整数除法算法：对于任意正整数a和b，整数除法算法可以通过连续减法或连续加法来实现，直到a小于b为止，此时a即为a除以b的商。
四、最大公约数与最小公倍数1. 最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）：两个整数a和b的最大公约数，是两个数的公约数中最大的那个数。
最大公约数可以通过辗转相除法、质因数分解法、更相减损术等方法求得。
2. 最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）：两个整数a和b的最小公倍数，是两个数的公倍数中最小的那个数。
最小公倍数可以通过最大公约数来求得，即两个数的乘积除以它们的最大公约数。
五、整数分解1. 质因数分解：对于任意正整数n，可以将它写成几个质因数的乘积的形式，这种表示方式称为质因数分解。
质因数分解是唯一的，即一个正整数的质因数分解结果是唯一的，可以通过确定性的算法得到。
数字整除知识点总结1. 整除的定义设a, b是两个不全为0的整数，当且仅当存在一个整数c使得a = b * c时，称b整除a，记作b | a。
这里c就是整除时的商。
例如，6整除12，记作6 | 12，因为12 = 6 * 2。
整除的定义可以简单总结为：当且仅当存在一个整数c使得b * c = a时，b整除a。
这里c 就是整除时的商。
2. 整除的性质（1）自整除性：任何整数都能被1整除，并且0不能被任何数整除。
（2）传递性：设a, b, c是整数，如果a整除b，b整除c，那么a也整除c。
（3）整除的基本性质：如果a整除b且a整除c，则a整除（mb + nc），其中m, n是任意整数。
（4）偶数与奇数的整除性：如果一个数能被2整除，则称其为偶数；如果一个数不能被2整除，则称其为奇数。
偶数能被2整除，奇数不能被2整除。
另外，如果一个数能被4整除，则称其为4的倍数。
3. 整除的判定方法（1）整除的判定法则：a整除b，当且仅当b是a的倍数。
也就是说，如果存在一个整数c使得b = a * c，那么a整除b。
（2）整除的判定规律：如果一个整数能被另一个整数整除，那么这两个整数的除数一定是其公约数。
（3）整除的判定定理：对于整数a, b, c，如果a整除b且a整除c，则a整除(b + c)和(b - c)。
这是因为b = a * m，c = a * n，则b + c = a * (m + n)，b - c = a * (m - n)。
4. 整除的应用（1）公因数与最大公因数：对于两个整数a, b，a的约数是指能整除a的数，b的约数是指能整除b的数。
a, b的公因数是指既是a的约数又是b的约数的数；a, b的最大公因数是指a, b的公因数中最大的那个数。
（2）互质数与最小公倍数：如果两个整数的最大公因数是1，则这两个数称为互质数。
两个数的最小公倍数是指能同时整除这两个数的最小的正整数。
（3）整除的运算性质：整除运算具有传递性、交换性、结合性等基本运算性质。
管理类联考初数（一）整除1、数的整除整除的定义：当整数a 除以非零整数b ，商正好是整数而余数为零时，则称a 能被b 整除，或b能整除a ，记作b ∣a 。
当b ∣a 时，称a 是b 的倍数，b 是a 的约数（因数）。
0能被任何整数整除，1能整除任何整数。
整除的性质：1、传递性：若a ∣b ，b ∣c ，则a ∣c2、可加可减性：若a ∣b ，a ∣c ，则a ∣（b ±c ）3、可乘性，若a ∣b ，则a ∣m ×b4、可拆性：若ab ∣c ，则a ∣c ，b ∣c5、★互质可除性：若a ∣mb ，且（a ，m ）=1，则a ∣b（注：（a ，m ）即两数的最大公因数，（a ，m ）=1代表两数互质。
关于最大公因数和互质的知识将在后面介绍，如果同学们已经遗忘可以翻到相应篇章进行学习。
）例1：若a ∣b ，b ∣c ，则当m =（ ）时，m ∣c 。
（A ）b a ⨯（B ）ab （C ）b a +（D ）a b -（E ）ab 解析：令）,(,正整数∈===N M MNa Nbc Ma b例2：14n 是一个整数。
（1） n 是一个整数，且314n 也是一个整数； （2） n 是一个整数，且7n 也是一个整数。
解析：利用整除性质做题条件（一）314n 是一个整数，14∣3n ，由于（14，3）=1，所以14∣n 条件（二）7n 是一个整数，n ∣7，根据整除性质无法推出n ∣14。
所以选（A ）整除的特征（用处：快速判别某数能否被常用数整除或快速分解质因数）能被2/5整除的数：个位能被2/5整除；能被3/9整除的数：各数位数字之和必能被3/9整除；能被4/25整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4/25整除；能被11整除的数：奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除。
能被7、11、13整除的数（末三位法）：将后三位与前几位做差（大减小），判断差能否能被7/11/13整除。
例3：数A 能被11整除。
（1）A 是形如abcabc 的数（a 是1~9的整数，b 、c 均为0~9的整数）；（2）A=13232323210个 解析：直接利用整除特征做题条件（1），利用末三位法，abc －abc =0，11∣0，所以abcabc 是11的倍数；条件（2）利用奇偶数位和做差法，奇数位之和：3×10+1=31，偶数位之和2×10=20，差为31－20=11，是11的倍数，所以（2）也充分答案选（D ）例4：一个班的同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则这班的人数 （ ）（A ）一定是4的倍数 （B ）不一定是4的倍数 （C ） 一定不是4的倍数（D ） 一定是2的倍数，不一定是4的倍数 （E ）以上均不正确解析：通过分析具体的情境判断数的性质设有同学A 1，和他（她）同性的仍记为A 2，异性的记为B ，则A 两侧的排列应该是A 2A 1B 1B 2，说明在这些同学中，任取相邻的四个人都是两男两女，所以必是四的倍数。
选A 。
连续n 个数乘积可被n 整除原则。
连续n 个正整数之积一定是n 的倍数。
推广：连续n 个数乘积一定是n ！的倍数。
例5：若n 是一个大于100的整数，则n n -3一定有约数 （ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 （E ）以上均不正确解析：利用连续n 个数乘积可被n ！整除原则。
n n -3=()()11n n n -+，有定理：连续k 个数的乘积一定能被k 整除。
所以()()11n n n -+既能被2整除，又能被3整除，故选B 。
练习题：1.从1到120的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（ ）个。
（A ）64 （B ）48 （C ）56 （D ）46 （E ）552.如果m 2是3的倍数，m 3是2的倍数，那么m 必然是（ ）的倍数。
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （E ）93.n m =。
（1）,|n m 且m n |；（2）n m ≥且m n ≥。
4.一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是（ ）（A ）858 （B ）855 （C ）852 （D ）849 （E ）8685.289a 是整数。
（1）若q p a =（p ，q 是互质的正整数），149a 是一个整数； （2）若q p a =（p ，q 是互质的正整数），167a 是一个整数。
6、若)4)(2(--=n n n m ，则m （ ）（A ）必然是2的倍数（B ）必然是3的倍数（C ）必然至少是6的倍数（D ）必然不能被任何数整除（E ）不一定是某个数的倍数7、有（ ）个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的各位数字都能整除它本身。
（A ）10 （B ）7 （C ）8 （D ）5 （E ）68、下面说法中有（ ）是正确的。
（1）0可以被任何整数整除；（2）如果b a c b c a ≠,|,|则c ab |；（3）一个数是4的倍数，必然是2的倍数；（4）如果1078是7的倍数，3647也是7的倍数，那么n m 36471078+必然也是7的倍数。
（n m ,是正整数）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （E ）4练习题讲评：1、前120个正整数中，能被3整除的数有40个，能被5整除的数有24个，能同时被3和5整除的数（即能被15整除）有8个。
根据容斥原理（后文将有介绍），要求的应该是40+24－8=56个。
选（C ）2、显然m 必然是2和3的倍数，即是6的倍数。
选（C ）。
3、两个数互为倍数，这两个数必然相等，条件（1）充分；条件（2）显然也充分，选（D ）4、17的两位数倍数最大是85，个位最大是8时，组成的三位数能被3整除。
选（A ）5、条件（1），当14=a 时，显然结论不成立，条件（1）不充分；条件（2），当16=a 时，显然结论不成立。
条件（1）（2）联合起来，p 既是14的倍数，又是16的倍数，q 既是9的约数又是7的约数，可见q =1，p 是112的倍数。
显然a 是28的倍数。
选（C ）6、显然当n 为奇数时，m 是个奇数，不能被2整除。
再看一下能否被3整除，此时n 除以3的结果只有三种可能：整除、余1、余2，逐一验证发现三种情况下，m 都能被3整除，选（B ）。
7、奇数共有1、3、5、7、9五个，无论选哪四个，都必然会有3或9，说明这个四位数必然能被3整除，则这四个数之和必然能被3整除。
这样的四个数可以是1、3、5、9（大家可以验证其它都不可以）。
由于有5存在，个位必须是5。
前三位共有6种排法。
选（E ）8、（1）显然当除数为0时不成立；（2）当12,6,3===c b a 时，显然不成立。
所以整除的可拆性不可逆。
（3）根据整除的传递性，成立。
（4）根据整除的可乘可加性，成立。
选（C ）。
2.奇数和偶数概念与知识点偶数：能被2整除的整数叫做偶数（双数）。
如－2，0，2，4，6，…奇数：不能被2整除的整数叫做奇数（单数）。
如－1，1，3，23，…显然有：⎧⎨⎩奇数整数偶数 。
奇数与偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数；奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数；奇数个奇数之和还是奇数，奇数个偶数之和还是偶数，偶数个奇数之和是偶数，偶数个偶数之和还是偶数。
奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数；在整数的加减运算中，加减号互变，结果的奇偶性不变。
一般设2n 是偶数，设（2n －1）或（2n +1）是奇数。
（n ∈Z ）两个相邻的数必定一奇一偶。
()⎩⎨⎧-=-是奇数是偶数n x n x x n n n,, n x ，当n 是奇数时，x 可以为任意实数；当n 是偶数时，x 只能是非负数。
体验奇偶数“交叉排列”的含义*。
基本做题思路：例1：有偶数位来宾。
（根据12年第20题改编）（1）聚会时所有来宾都被安排坐在一张圆桌周围，且每位来宾与其邻座性别不同。
（2）所有来宾坐成一排，每位来宾与其邻座性别不同。
例2：m 为偶数（1）设n 为整数，m =n （n +1）（2）在1，2，3，……1988这1988个自然数中每相邻两个数之间任意添加一个加号或减号，设这样组成的运算式的结果是m 。
例3：象棋中的“马”每次走棋总是沿“日”字的对角线 进行，那么经过n 次过后，“马”有可能跳回到最初的位置。
（1）n=3（2）n=4例4：如果有理数m <0，则（ ）（A ）当n 为偶数时，()0112>⋅-+n n m（B ）当n 为奇数时，()011>⋅-+n n m（C ）当n 为任意自然数时，()0112>⋅-+n n m（D ）当n 为任意自然数时，()0112<⋅-+n n m（E ）当n 为偶数时，()011<⋅-+n n m练习题：1.已知m ，n 是正整数，则m 是偶数。
（12年第18题）（1）3m +2n 是偶数。
（2）3m 2+2n 2是偶数。
2.m 为偶数。
（1）一个三位数依次减去构成这个数的三个数字所得的差为m 。
（2）一个两位数，颠倒次序后形成一个新的两位数，将这两个两位数相加，所得的和为n ，再将n 所有数位上的数字相加，得m 。
3.一个转盘被平分成20小格，指针停到偶数号格，就可以得大奖，则小明有可能得到大奖。
（1）小明先用骰子随意掷出一个6以内的整数N，指针先指到N所在的位置，再继续向前转动2N格。
（2）小明先用骰子随意掷出一个6以内的整数N，指针先指到N所在的位置，再继续向前转动N格，再倒退一格。
4、m是偶数。
（1）若干个人相互各握手一次，每个人的握手次数之和为m；（2）若干个人相互各握手一次，握手次数为奇数的人数为m。
3.质数和合数概念与知识点质数（素数）：如果一个大于1的正整数，只有1和它本身两个约数，那么这个正整数就叫做质数。
合数：除了1和本身之外还有其他约数的正整数叫做合数。
最小的质数是2，质数中为偶数的数是2，最小的合数是4。
100以内的质数（25个，记住30以内的）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、2931、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97质数与合数判别法：对于一个不很大的自然数N（N>1，N为非完全平方数），从质数2开始用不同的质数试除N，如果能被某质数整除，则说明N是合数，否则继续用下一个质数试除；如果试到质数P，发现P2>N 时，无需再试，N为质数。
例1：三名小孩中有一名学龄前儿童（年龄不足6岁），他们的年龄都是质数，且依次相差4岁，他们的年龄之和为（）（A）21 B）27 （C）33 （D）39 （E）51解析：考察30以内的具体质数最小的质数小于6，可能是2、3或者5，如果是2或5的话都不符合题意，答案只能是3、7、11。
