2.3.2面面垂直的判定

A
)
B．它们两两都垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、
平面PAD都不垂直
例2
如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，
CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中 点，求证：平面BEF⊥平面BGD.
1.如图所示，ABCD—A1B1C1D1 为长方体，且底
面ABCD为正方形．求证：截面ACB1⊥平面 BDD1B1.
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵BB1⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.
又BD∩BB1＝B，故AC⊥平面BDD1B1，
又AC⊂平面ACB1，
∴截面ACB1⊥平面BDD1B1.
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_____ 无数 个平面 与平面α垂直. 无数 个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作_____ 1 个平面与 3.过平面α的一条斜线，可作____ 平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作____ 1 个平 面与α垂直.
学完一节课或一个内容，
应当及小结，梳理知识
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理 2、 线线垂直
线面垂直面面垂直
二面角的计算步骤
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明所作的角就是所求二面角的平面角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
4.如图，P 是边长为 2 2的正方形 ABCD 外 一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且 PC＝5，
2
2



B
1
α
l
A
O
M
β
6.如图，已知A、B是120的二 面角—l—棱l上的两点，线 段AC，BD分别在面，内，且 AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1， B C AB=3，求线段CD的长。

2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.2 平面与平面垂直的判定学习目标：1、 掌握直线与平面垂直的定义及判定定理；2、 掌握直线、平面垂直的文字，符号，图形语言之间的相互转化；3、 掌握平面与平面垂直的定义，理解二面角，二面角的平面角的定义；4、 掌握平面与平面垂直的判定预习导引：1、要点扫描：1、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的_______直线都________。

我们就说直线l 与平面α垂直，记作________。

直线l 叫做平面α的_________。

平面α叫做直线l 的_______。

直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做_________。

（2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。

（3）判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的_______都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号表述：,l a l b ⊥⊥，_______，__________⇒l α⊥.2、直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条射线和它在平面上的______所成的______，叫做这条直线和这个二平面所成的角。

（2）当直线与平面垂直时，它们所成的角是_______。

（3）当直线与平面平行或者在平面内时，它们所成的角是_______。

（4）线面角的取值范围：_________。

3、（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所成的________叫做二面角。

这条直线叫做二面角的_________，这两个半平面叫做二面角的____________。

（2）、二面角的平面角： 定义：如图，二面角D-AB-F 。

若有H___AB ，HI___面ABCD ，HG___面ABFE ，HG___AB,HI____AB ，则角GHI 就叫做二面角D-AB-F 的平面角。

范围：00[0,180]当二面角的两个半平面重合时所成角为00当两个半平面组成一个平面时，所成角为0180（3）、平面与平面的垂直 定义：一般地，如果两个平面相交，且他们所成的二面角是_______，就说这两个平面互相垂直。

二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
B'
O' B
O
②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
二面角的平面角
一个平面垂直于二面角
的 棱 ， 并 与 两 半 平
面分别相交于射线 PA 、 PB 垂足为P，则∠APB叫做二面
ι
γ
P A B
β
角 的平面角
二面角记作 l

l
l l二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
如图， OA l , OB l ，则∠AOB成为二面角 l 的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
A' A
D1 A1 D A B B1 C C1
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
面面垂直的判定
一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平 面垂直. 符号语言：
a B a A
a
该定理作用：“线面垂直面面垂直”
应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个面的垂线.
例: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平 面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC
2.3.2 平面与平面垂直的判定定理
回顾：直线和平面所成的角是怎样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直 线和这个平面所成的角.


思考：那么平面与平面之间能形成角吗？
我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些， 我们应该怎么刻画这个角的大小？
二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫 做二面角 , 这条直线叫做二面角的棱 , 每个半平 面叫做二面角的面,

无数 1.过平面α的一条垂线可作_____ 个平面与平面α垂直. 无数 个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作_____ 1 个平面与平面α垂 3.过平面α的一条斜线，可作____ 直. 1个平面与α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作____
三、如右图： A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD， ∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点， 求证：平面AEC⊥平面ABD A
一、二面角的定义：
五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“计算”
22
• 例1：《优化设计》P42.例1.
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
一、两个平面垂直的定义
1．平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就 说这两个平面互相垂直． 2．两个平面垂直的判定定理 提出问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建 筑中的一面墙和地面是否垂直呢？
平面与平面垂直的判定
平面与平面所成的角

二面角的平面角 A b l

a
三要素：1、角的顶点在二面角的棱上； 2、角的两边分别在表示二面角的两个半平面上内； 3、角的两边分别与二面角的棱垂直。
从一条直线出发的两个半 1、二面角的平面角 平面所组成的图形叫做二 必须满足三个条件 1、根据定义作出来 面角。这条直线叫做二面 2、二面角的平面角 角的棱。这两个半平面叫 2、利用直线和平面垂 的大小与 其顶点 做二面角的面。 直作出来 在棱上的位置无关 3、借助三垂线定理或 二、二面角的表示方法： 3、二面角的大小用 其逆定理作出来 1、找到或作出二面角的平面角 它的平面角的大 三、二面角的平面角： 2、证明 1中的角就是所求的 角 小来度量 3、计算所求的角 二 面 角 －AB－ 二 四、二面角的平面角的作法： 面 角 C－AB－ D 二 面 角 － l－