人教版高中数学必修一《基本初等函数》全章教学设计

基本初等函数全章教案-人教课标版(新教案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第二章 基本初等函数（Ⅰ）一、课标要求：教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.. 了解指数函数模型的实际背景.. 理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.. 理解指数函数的概念和意义，掌握()的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.. 通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.. 理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.. 通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握()符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.. 知道指数函数与对数函数互为反函数（＞,≠），初步了解反函数的概念和()的意义.. 通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数1312,,,y x y x y x y x -====的图象，了解它们的变化情况 .二、编写意图与教学建议：. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望. 教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.. 在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展 ..教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担..通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 ... 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.三、教学内容与课时安排的建议本章教学时间约为课时.指数函数：课时对数函数：课时幂函数：课时小结：课时一．教学目标：．知识与技能：（）理解分数指数幂和根式的概念；（）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（）掌握分数指数幂的运算性质；（）培养学生观察分析、抽象等的能力.．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.．情态与价值（）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点．教学重点：（）分数指数幂和根式概念的理解；（）掌握并运用分数指数幂的运算性质；．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解三．学法与教具．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法．教具：多媒体四、教学设想：第一课时一、复习提问：什么是平方根什么是立方根一个数的平方根有几个，立方根呢=，则x叫做的平方根.同理，若归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a3=，则x叫做的立方根.x a根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―的立方根为―；零的平方根、立方根均为零.二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出次方根的概念.次方根：一般地，若n x a =，则叫做的次方根（），其中＞，且∈Ｎ＊,当为.类比平方根、立方根，猜想：当为偶数时，一个数的次方根有多少个当为奇数时呢n a n a n a n ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为正数:为偶数, 的次方根有两个,为n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.0=举例：的次方根为2±，275-的27-的次方根不存在. 小结：一个数到底有没有次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清为奇数和偶数两种情况.根据次方根的意义，可得：n a =n a =a =一定成立吗？如果不让学生注意讨论，为奇偶数和的符号，充分让学生分组讨论.a =为偶数,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩|8|8==-=-=值，这样就避免出现错误：例题：求下列各式的值（）(1)(2)(3)(4)||a =，然后再去绝对值.n =是否成立，举例说明. 课堂练习：. 求出下列各式的值(1)a ≤1,a a =-求的取值范围.三．归纳小结：．根式的概念：若＞且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,n 为偶数时，x =．掌握两个公式：(0),||(0)n a a n n a a a ≥⎧==⎨-<⎩为奇数时为偶数时．作业：习题 组 第题第二课时提问：．习初中时的整数指数幂，运算性质？00,1(0),0n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠无意义1(0)n na a a -=≠;()m n m n m n mn a a a a a +⋅==(),()n m mn n n n a a ab a b ==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.．观察以下式子，并总结出规律：a ＞1025a a ===842a a ===1234a a ===1025a a ===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：23(0)a a ==>12(0)b b ==>54(0)c c ==>*(0,,1)m na a n N n =>∈>为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：*0,,)m na a m n N =>∈正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：*1(0,,)m nm naa m n N a-=>∈规定：的正分数指数幂等于，的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)n mmmma a a a a =⋅⋅⋅⋅>由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（）(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈ （）()(0,,)r S rs a a a r s Q =>∈ （）()(0,0,)r r r a b a b Q b r Q ⋅=>>∈若a ＞，是一个无理数，则该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本——.方向逼近向逼近(如课本图所示)所以，.一般来说，无理数指数幂(0,)p a a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考：由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈ ()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈．例题（）．（，例）求值 解：①2223323338(2)224⨯====②1112()21222125(5)555--⨯--====③5151(5)1()(2)2322----⨯-===④334()344162227()()()81338-⨯--===（）．（，例）用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞）解：117333222a a a aa +=⋅==228222333a a a aa +⋅==421332()a a ====分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 课堂练习：练习 第 ，，，题 补充练习：. 计算：122121(2)()248n n n ++-⋅的结果 . 若13107310333,384,[()]n a a a a a -==⋅求的值小结：．分数指数是根式的另一种写法.．无理数指数幂表示一个确定的实数.．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.作业：习题第题第三课时一．教学目标．知识与技能：（）掌握根式与分数指数幂互化；（）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.．过程与方法：通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.．情感、态度、价值观（）培养学生观察、分析问题的能力；（）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.二．重点、难点：．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.．难点：有理指数幂性质的灵活应用.三．学法与教具：．学法：讲授法、讨论法.．教具：投影仪四．教学设想：．复习分数指数幂的概念与其性质．例题讲解例．（，例）计算下列各式（式中字母都是正数）（）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b-÷-（）31884 () m n-（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.我们看到（）小题是单项式的乘除运算；（）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？其实，第（）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.第（）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.解：（）原式211115326236 [2(6)(3)]a b+-+-⨯-÷-0 4ab a（）原式318884()() m n-23m n-例．（例）计算下列各式（）÷2(a＞）分析：在第（）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.解：（）原式 111324(25125)25-÷231322(55)5-÷2131322255---1655-5（）原式125222362132a aa a a--===⋅小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数. 课堂练习：化简：（）2932)-（）归纳小结：1．熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算. 作业： 习题组 第题 组 第题指数函数及其性质（个课时）一. 教学目标：．知识与技能①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；．情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.②培养学生观察问题，分析问题的能力.．过程与方法展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.二．重、难点重点：指数函数的概念和性质及其应用.难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.三、学法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法.②教具：多媒体.第一课时一．教学设想： . 情境设置①在本章的开头，问题（）中时间x 与值中的 1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2)t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2，请问这两个函数有什么共同特征.②这两个函数有什么共同特征157301][()]2t P =t57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用x y a =（a ＞且a ≠来表示）.二．讲授新课 指数函数的定义一般地，函数x y a =（a ＞且a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为.提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （）22x y += （）(2)x y =- （）2x y =- （）x y π= （）2y x = （）24y x = （）x y x = （）(1)x y a =- （a ＞，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集.000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x 当时,等于若当时,无意义若a ＜，如1(2),,8x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在.若a ,11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究a ＞的情况用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象再研究，＜a ＜的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数()2x y =的图象.1xy ⎛⎫= ⎪从图中我们看出12()2x x y y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12()2x x y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2x y =上的x,y 点(-)x y x,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2x x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出115,3,(),()x xx x y y y y ====的函数图问题：：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.x从图上看x y a =（a ＞）与x y a =（＜a ＜）两函数图象的特问题：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.问题：指数函数x y a =（a ＞且a ≠），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞且a ≠）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R;（）对于指数函数()x f x a =（a ＞且a ≠），总有(1);f a = （）当a ＞时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例题：例：（ 例）已知指数函数()x f x a =（a ＞且a ≠）的图象过点（，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.分析：要求(0),(1),(3),,xf f f a x π-13的值,只需求出得出f()=()再把，，分别代入x ，即可求得(0),(1),(3)f f f -.提问：要求出指数函数，需要几个条件？ 课堂练习： 练习：第，，题补充练习：、函数1()()2x f x =的定义域和值域分别是多少?、当[1,1],()32x x f x ∈-=-时函数的值域是多少? 解（）,0x R y ∈>（）（－53，１）例：求下列函数的定义域： （）442x y -= （）||2()3x y =分析：类为(1,0)x y a a a =≠>的定义域是，所以，要使（），（）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得 .．归纳小结作业： 习题 组第、题、理解指数函数(0),101x y a a a a =>><<注意与两种情况。

目录第一章 集合与函数 ............................................................................................................................................... 1 第二章 基本初等函数（Ⅰ） ............................................................................................................................. 24 第三章 函数的应用 (59)第一章 集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示一. 教学目标： l.知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力.2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；(6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560x x -+=的所有实数根； (8)不等式30x ->的所有解；(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数； (2)我国的小河流.让学生充分发表自己的建解.3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.4.教师提出问题，让学生思考(1)如果用A 表示高—(3)班全体学生组成的集合，用a 表示高一(3)班的一位同学，b 是高一(4)班的一位同学，那么,a b 与集合A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈. 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.(2)如果用A 表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A 的关系分别是什么?请用数学符号分别表示．(3)让学生完成教材第6页练习第1题.5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A 组第1题.6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题： (1)要表示一个集合共有几种方式?(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么? (3)如何根据问题选择适当的集合表示法?使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。

基本初等函数优秀教案介绍：本教案旨在帮助学生理解和掌握基本初等函数的性质、图像和变化规律。

通过多种活动和案例分析，学生将能够深入了解函数的定义、性质和应用。

教学目标：1. 理解基本初等函数的定义和性质；2. 掌握函数图像的绘制方法；3. 分析函数的变化规律和应用实例。

教学重点：1. 函数的定义和性质；2. 函数图像的绘制方法。

教学难点：1. 函数性质的理解和应用；2. 函数图像的多样性和变化规律。

教学准备：1. 教师备课资料：基本初等函数的性质、定义和应用实例；2. 学生学习资料：教材教辅及图表练习册。

教学过程：Step 1：引入（10分钟）教师通过简单的问题引起学生对函数的认知，例如：“什么是函数？”“你能举出几个函数的例子？”然后教师可介绍函数的定义和概念。

Step 2：认识基本初等函数（20分钟）教师将基本初等函数的种类和性质呈现给学生，如常数函数、线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

学生可以观察并分析这些函数的特点和图像。

Step 3：讨论函数性质（30分钟）学生分小组进行讨论，探究基本初等函数的性质。

教师可提供一些引导性问题，如“常数函数的图像是什么样的？”、“线性函数和二次函数的图像有什么区别？”等。

学生通过分析和讨论，总结出函数的性质。

Step 4：绘制函数图像（30分钟）学生根据教师提供的函数表达式，利用图表练习册上的坐标纸和绘图工具，绘制基本初等函数的图像。

教师可以带领学生一起绘制，同时解答学生在绘图过程中的问题。

Step 5：探索函数变化规律（30分钟）学生通过观察和分析绘制的函数图像，总结出函数的变化规律和特点。

教师可以给学生提供一些实际问题，引导学生应用函数进行解决。

Step 6：应用实例分析（20分钟）教师给学生提供一些实际生活中的问题，要求学生分析并应用基本初等函数进行解决。

学生可以通过函数的图像和变化规律，找到问题的合理解决方法。

Step 7：总结与延伸（10分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并对学生的学习情况进行评价。

基本初等函数教案第二章基本初等函数（ⅰ）§2.1指数函数§2.1.1指数与指数幂的运算（1）[平静地说]指数是学习指数函数的预备知识，初中学生已经学习了整数指数幂的概念及运算性质。

为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂；为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，以及无理数指数幂的概念；为了学习分数指数幂的概念。

首先要介绍根式的概念，本课主要学习根式的概念以及n次方根的性质。

学生们已经学会了数字的平方根和立方根，而根形式的内容就是这些内容的推广。

因此，在介绍部首的概念时，我们应该结合这些学习内容，列出多个具体的例子供学生理解。

根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况中，都要分a?0,a?0,a?0三种情况介绍，并结合具体例子讲解，其中要强调na（a?0,n是偶数）表示一个正数，抓住这一点，理解次方根的性质就容易了。

当n为偶数时，Nan | A |（因为Nan总是一个非负数），这是本课的难点。

你可以在解释的时候先回顾一下a2?|a|这一性质，并结合具体例子加以讲解，有助于学生理解nan?|a|这一性质。

[学习目标]理解根式的概念，掌握n次方根的性质。

[教学重点]1.激进的概念。

2.n次方根的性质。

[教学困难]1、根式概念的理解；2.理解n次方根的性质。

【教学过程】一、课程介绍由p52面的考古例子中的p1??2?t5753,10000,100000时的数：这个式子，当t?6000?12?60005753?1?,???2?100005753?1?,???2?1000005753的意义究竟是什么？来导出下来要学习的内容。

数（自然数）的认知规律→ 整数→ 分数（有理数）→ 实数）可以比作对数字指数幂的认知：整数指数幂→ 分数指数幂（有理数指数幂）→ 无理数指数幂。

2、解释新课程（1）并探索n次平方根的概念。

22?4,32?9,42?16,52?25,?x2?a;其中“?”左右两边的关系是什么？另一个例子：2？8,3? 27,4? 64,5? 125,? 十、A.“在哪里？”左右之间的关系是什么？-1-33333，24？16,34? 81,44? 256,54? 625,? x4？A.“在哪里？”左右之间的关系是什么？等等：？，十、a、 X被称为a的n根。

第二章 基本初等函数 §2．1指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）第一课时：教学目标：1.理解n 次方根、根式的概念；2.正确运用根式运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、运算性质 教学难点：根式概念的理解 教学方法：学导式 教学过程：（Ⅰ）创设情景；阅读问题1、问题2，认识将指数的取值范围进行推广的重要性和必要性。

（Ⅱ）复习回顾 ___； -9)0a _____(2≥=；（Ⅲ）讲授新课 22=4 ，（-2）2=4 ⇒ 2，-2叫4的平方根 23=8 ⇒ 2叫8的立方根； （-2）3=-8⇒-2叫-8的立方根 25=32 ⇒ 2叫32的5次方根 … 2n =a ⇒2叫a 的n 次方根 1.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？na x =是否正确？次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。

此时，a 的n 次方根可表示为na x =。

从而有：3273=，2325-=-，236a a =数，负数没有n 次方根。

此时正数a 的n 次方根可表示为：)0a (a n >± 其中n a 表示a 的正的n 次方根，n a -表示a 的负的n 次方根。

结论3：0的n 次方根是0，记作n n a ,00即=当a=0时也有意义。

这样，可在实数范围内，得到n 次方根的性质： 3.n 次方根的性质：（板书）*)(2,12,N k kn a k n a x n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±+== 其中叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

注意：根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，可得到根式的运算性质。

4.根式运算性质：（板书）①a a nn =）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。

问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ ②⎩⎨⎧=为偶数为奇数；n a n a a nn|,|,性质的推导（略）： （III ）课堂练习：求下列各式的值通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。

课时：2课时年级：高一年级教材：《高中数学》人教版教学目标：1. 理解初等函数的概念，掌握基本初等函数的种类及其性质。

2. 能够运用初等函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。

教学重难点：1. 重点：掌握基本初等函数的概念和性质，能够区分不同类型的基本初等函数。

2. 难点：理解初等函数在解决实际问题中的应用，提高学生的数学应用能力。

教学过程：第一课时一、导入1. 复习初中阶段函数的概念，回顾函数的定义、定义域、值域等概念。

2. 通过生活中的实例，如温度与时间的关系、路程与时间的关系等，引导学生理解函数在生活中的应用。

二、新课讲解1. 介绍基本初等函数的概念，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

2. 讲解每种基本初等函数的定义、性质和图像特点，引导学生通过观察图像来理解函数的性质。

三、课堂练习1. 学生独立完成教材中的例题，巩固对基本初等函数的理解。

2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调基本初等函数的概念和性质。

2. 强调函数在解决实际问题中的重要性。

第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学的基本初等函数的概念和性质。

2. 通过提问的方式，检查学生对基本初等函数的理解程度。

二、新课讲解1. 介绍初等函数的运算，包括函数的加、减、乘、除和复合运算。

2. 讲解函数的图像变换，如平移、伸缩、对称等，引导学生通过变换图像来理解函数的性质。

三、课堂练习1. 学生独立完成教材中的例题，巩固对初等函数运算和图像变换的理解。

2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。

四、实际问题应用1. 引导学生运用所学知识解决实际问题，如计算物体的运动速度、求解物体的高度等。

2. 学生分组讨论，共同解决问题，教师巡视指导。

五、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调初等函数的运算和图像变换。

2. 强调初等函数在解决实际问题中的重要性。

课 题：2.1.1 指数-根式教学目的：1．掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力； 教学重点：根式的概念性质教学难点：根式的概念 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教材分析：指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛性质之后较为系统地研究的第一个初等函数为了学习指数函数应该将初中学过的指数概念进行扩展，初中代数中学习了正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质本节在此基础上学习的运算性质为下一节学习分数指数幂概念和性质做准备 教学过程：一、复习引入：1．整数指数幂的概念*)(N n a a a a a an n∈⋅⋅=个 )0(10≠=a a ,0(1N n a a a nn∈≠=-2．运算性质：)()(),()(),(Z n b a ab Z n m aa Z n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+3．注意① nma a ÷可看作nmaa -⋅ ∴n m a a ÷=nm aa -⋅=nm a-② n b a )(可看作nn b a -⋅ ∴n ba )(=n nb a -⋅=n n b a二、讲解新课：1．根式：⑴计算（可用计算器）①23= 9 ，则3是9的平方根 ；②3)5(-=－125 ，则－5是－125的立方根 ； ③若46=1296 ，则6是1296 的 4次方根 ；④57.3=693.43957 ，则3.7是693.43957的5次方根 . ⑵定义：一般地，若*),1(N n n a x n∈>= 则x 叫做a 的n 次方根na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数例如，27的3次方根表示为327，-32的5次方根表示为532-，6a 的3次方根表示为36a ；16的4次方根表示为!416，即16的4次方根有两个，一个是416，另一个是-416，它们绝对值相等而符号相反.⑶性质：①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作： na x =②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）记作：na x ±= ③负数没有偶次方根，④ 0的任何次方根为0注：当a ≥0时， ≥0，表示算术根，所以类似=2的写法是错误的. ⑷常用公式根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式：①当n 为任意正整数时，()n =a.例如，(327)3=27，(532-)5=-32.②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a .例如，33)2(-=-2，552=2；443=3，2)3(-=|-3|=3.⑶根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0）. 注意，⑶中的a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如3628)8(-≠-. 用语言叙述上面三个公式：⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. 三、讲解例题：例1（课本第71页 例1）求值①33)8(-= -8 ；②2)10(-= |-10| = 10 ； ③44)3(π-= |π-3| = 3-π ；④)()(2b a b a >-= |a- b| = a- b .去掉‘a>b ’结果如何？ 例2求值：63125.132)2(;246347625)1(⨯⨯---++分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； 解：负去掉绝对值符号。

《基本初等函数（I）》教材分析通过对数学新课程标准的研讨和学习，特别是经历了第一阶段的几天集中培训，几位专家和老师们的悉心辅导，收获很大。

经过了一个假期的自我学习，以及和同事们的交流、互动，下面就我们的学习体会、感受，分三个方面，汇报如下：第一方面：人教版数学必修1 第三章基本初等函数（I）教材分析1.本单元教学内容的范围3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（II）2.本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用本章是在上一章学习函数及其性质的基础上，具体研究指数函数、对数函数、幂函数这三个高中阶段重要的函数。

这是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生在这一阶段获得较为系统的函数知识，并初步培养函数应用意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理性。

可以说这一章起到了承上启下的作用，本章所涉及的一些重要思想方法，如数形结合、分类原则、函数思想、转化思想、构造思想、数学建模等，对学生掌握基础的数学语言，学好高中数学起着重要的作用。

3.本单元的教学内容总体教学目标（1）理解分数指数幂的概念，理解有理指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（2）理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解其单调性与特殊点。

（3）理解对数的概念及其运算性质，知道换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史及对简化运算的作用。

（4）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并理解其单调性与特殊点。

（5）知道同底的指数函数与对数函数互为反函数。

能以具体函数为例对反函数进行解释和直观理解。

（6）通过实例，了解幂函数的概念，结合函数2132,1,,,x y x y x y x y x y =====的图象，了解它们的变化情况。

人教B版，必修1，基本初等函数（Ⅰ）单元教学设计一、教材分析1、本单元教学内容的范围第三章的主要内容是指数函数、对数函数和幂函数这三种函数模型.本章共分四大节，共14课时.第一大节3.1指数与指数函数分2小节（3.11-3.12）共4课时.该节首先引入整数指数幂和分数指数幂的概念.在初中已经学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念的基础上，本节复习了正整数指数幂、零指数、负整数指数幂的概念，并且复习了正整数指数幂的运算法则.有了这些知识，本章将指数幂的概念和运算性质逐步扩充到有理指数幂以及实数指数幂. 接着通过两个具体的例子引入了指数函数，并对指数函数的图象和性质进行了研究.第二大节3.2对数与对数函数分3小节（3.2.1-3.2.3），共5课时，该节首先学习对数和对数的运算法则，然后再学习对数函数及其图象和性质，对数函数的图象是在画指数函数图象的对应值表的基础上描绘的，对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的.接着，通过对指数函数与对数函数的关系的研究给出了反函数的含义，并对这两种函数的增长差异进行了比较.第三大节3.3幂函数只安排了1个课时.该节通过考查已经学过的函数，引出了幂函数的概念，然后研究了幂函数的图象和性质.第四大节3.4 函数的应用（Ⅱ）也安排了1个课时，举例说明了指数函数、对数函数和幂函数在经济学、物理学等领域中的应用.为了加强数学的应用意识，体现函数作为刻画现实世界变量之间相互关系的数学模型的作用，在第四大节的“探索与研究”中安排了“如何建立数学模型”的内容，在章末安排了“实习作业”.另外，在本章内容的讲解过程中，特别注意通过一些社会生活中的实例来展示指数函数、对数函数和幂函数作为函数模型的广泛应用.为了体现数学文化的作用，本章安排了两个阅读材料，通过介绍对数方法产生的历史以及建立对数与指数的联系的过程，引导学生体会数学与社会生产生活之间的紧密联系，认识对数在人类社会发展、科技进步中的作用，以及社会生产生活的需要对数学发展的促进作用.另外，通过介绍对数方法先于指数概念，对数的发明没有应用指数与对数的互逆关系这一历史，可以让学生体会数学发展的不同轨迹，从而激发学生的学习兴趣.2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用本章内容是在学完函数概念以及函数基本性质后的情况下，较为系统地研究指数函数、对数函数、幂函数，它是函数内容学习的继续和深入（第二阶段）．基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型，由于我们生活在充满变化的现实世界中，其中有一类具有重要的运动变化的关系，如GDP 的增长问题、人口增长问题、细胞分裂、考古中所用的14C 的衰减、药物在人体内残留量的变化等，结合实际问题，可以感受观察、抽象概括并建立数学模型的过程和方法，通过计算工具，感知指数函数、对数函数以及幂函数增长的差异，体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同的函数类型增长的含义．体会函数在数学和其他学科中的重要性，体现数学的应用价值．学生在以前学习中，已经经历过“数”的扩充过程，由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理数到实数，从而形成一个优美的体系，本章继续体现这样扩充的思路，实现指数概念的扩充进而进一步研究幂函数概念，依据两个原则：①数学发展的需要；②基本运算能无限制地进行，把“指数函数、对数函数、幂函数”科学地组织起来，再一次体现充满在整个数学中的组织化、系统化的精神． 本章是在上一章学习函数及其性质的基础上，具体研究指数函数、对数函数、幂函数这三个高中阶段重要的函数．这是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生在这一阶段获得较为系统的函数知识，并初步培养函数应用意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理性．可以说这一章起到了承上启下的重要作用，本章所涉及到的一些重要思想方法，对学生掌握基础的数学语言，学好高中数学起着重要的作用． 3、本单元教学内容总体教学目标学生通过本章学习，可以了解指数函数、对数函数等的实际背景，理解指数函数、对数函数、幂函数的概念与基本性质，了解五种幂函数，体会建立和研究一个函数的基本过程和方法，同时会用它们解决一些实际问题． 一知识目标1.了解指数函数模型的实际背景2．理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 3．经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念，掌握对数的运算性质．4．经历由正整数指数函数逐步扩充到实数指数函数的过程，由指数函数的概念、图象与性质得到对数函数的概念、图象与性质的过程，并通过具体实例去了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，掌握指数函数和对数函数的概念、图象以及性质．5．收集现实生活中普遍使用的指数函数和对数函数的模型实例，了解它们的广泛应用．6．利用计算工具、比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．7．了解指数y=a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y=log a x (a >0，且a ≠1)的图象关系，初步了解指数函数和对数函数互为反函数的关系．8．通过特殊的幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =21x ，y =1x 了解幂函数9．引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、幂函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．10．鼓励学生运用现代信息技术学习、探索和解决问题．例如，利用科学计算器、计算机画出指数函数、对数函数和幂函数的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质．(二)能力目标1．培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力．2．培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力．3．培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力．(三)价值目标1．培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质．2．培养学生观察分析、抽象概括能力，数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力．3．学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学的应用价值．4、本单元教学内容重点和难点分析重点：指数函数和对数函数的性质.难点：无理指数幂的含义以及指数和对数的关系.5、本单元内容《新课标》与《大纲》的比较（1）本单元内容《新课标》与《大纲》的目标对比（2）变化之处1．加强的内容(1)加强了函数模型的背景和应用的要求．了解指数函数模型的实际背景，了解对数函数模型的实际背景；认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；让学生通过收集生活中普遍使用的函数模型实例体会函数模型应用的现实意义．要求学生了解无理数指数幂的意义，感受用有理数指数幂逼近无理指数幂的过程，通过“过剩近似值”与“不足近似值”两个方向逼近，认识无理指数幂是一个确定的实数，明确有理数指数幂的运算性质在无理数范围内也是成立的，大纲只要求掌握有理数指数幂的运算．在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解．新课标在指数函数与对数函数的内容上与原大纲有较大区别，新课标更侧重于指数型函数与对数型函数的教学．(2)加强了信息技术整合的要求．明确指出了要运用信息技术进行教学，如：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；能借助计算器用二分法求相应方程的近似解等．这都体现了加强与信息技术整合的要求，加强了函数模型的背景和应用的要求.在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，有利于加深学生对函数概念的理解． 2．削弱的内容(1)削弱了对定义域、值域的过于繁难的，尤其是人为的过于技巧化的训练．(2)削弱了反函数的概念，只要求知道指数函数xa y =（1,0≠>a a 且）与对数函数xlog y a =（1a ,0a ≠>且）是互为反函数；不要求形式化的理解其概念，也不要求求已知函数的反函数,复合函数的概念仍放到“导数及其应用”的相关内容中．对于对数函数内容的要求也有所降低．这都是为了尽可能地减轻学生的负担．（1）增加了幂函数(y =x ，y =x 2，y =x 3，y =21x ，y =1-x )的内容； （2）换底公式又恢复为教学内容. 6.教学建议1．指数函数、对数函数等有其丰富的实际应用价值，在教学中，应让学生充分感受指数函数的应用，如通过GDP 的增长问题、14C 的衰减，考古、地震、pH 的测定等，体现数学的应用价值．2．应强调在基本初等函数学习中所蕴涵的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、逼近的思想(有理指数幂逼近无理指数幂)、数形结合的思想(用指数函数、对数函数、幂函数的图象探究指数函数的性质)、归纳思想、类比思想(如从指数的运算律类比对数的运算律)等．引导学生用类比的思想方法，将指数函数、对数函数、幂函数的研究方法统一起来，并加以归纳总结．在本章教学中尤其应注意加强数形结合、几何直观等数学思想方法的学习要求，可先从分析具体的函数图象与性质入手，观察分析、体验探索、归纳概括，进而得到的基本初等函数的图象与性质．这是教学的重点之一，强调指数函数和对数函数的底数a 对函数值变化的影响，这是教学的难点，应注意贯穿分类讨论的思想方法，化解难点、突出重点．3．教学过程中要注意发挥信息技术的优势，尽量利用计算机或计算器等创设教学情境，绘制指数函数、对数函数、幂函数的图象，为学生的数学探究与数学思维创设有利的环境和条件．4．教材中对反函数的概念要求作了较大的调整和降低，只要求知道指数函数xa y =（1,0≠>a a 且）与对数函数x y a log =（1,0≠>a a 且）是互为反函数，对反函数的形式化的符号和推理不作一般性的要求。

基本初等函数教案教案标题：基本初等函数教案教案目标：1. 了解基本初等函数的概念和特性；2. 掌握基本初等函数的图像、定义域、值域和性质；3. 能够应用基本初等函数解决实际问题。

教学重点：1. 基本初等函数的定义和性质；2. 基本初等函数的图像和特点。

教学难点：1. 基本初等函数的应用解决实际问题；2. 不同基本初等函数之间的比较和分析。

教学准备：1. 教学课件、投影仪和计算器；2. 学生练习册、教材和参考书籍。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用一些简单的实际问题引入基本初等函数的概念，例如：小明在一小时内以匀速行驶，小明的行驶距离与时间的关系等。

二、概念讲解（15分钟）1. 定义基本初等函数：介绍基本初等函数的概念和基本形式，例如：线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等；2. 介绍基本初等函数的图像和性质，例如：线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线等。

三、图像展示与分析（20分钟）1. 利用教学课件展示不同基本初等函数的图像，并解释其特点和性质；2. 引导学生通过观察图像分析不同基本初等函数之间的区别和联系。

四、应用举例（15分钟）1. 通过实际问题的例子，引导学生应用基本初等函数解决问题，例如：根据某商品的销售数据，利用线性函数预测未来的销售情况等；2. 分组讨论和展示解决问题的方法和答案。

五、练习与巩固（20分钟）1. 发放学生练习册，让学生自主完成相关练习；2. 教师巡回指导和解答学生的问题；3. 针对性地进行错题讲解和强化训练。

六、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，要求学生独立完成；2. 强调作业的重要性，鼓励学生主动思考和解决问题。

教学反思：通过本节课的教学，学生可以初步了解基本初等函数的概念、图像和性质，并能够应用基本初等函数解决实际问题。

在教学过程中，可以通过举例和练习来提高学生的学习兴趣和动手能力。

同时，教师还应注重培养学生的分析和解决问题的能力，引导学生主动思考和探索。