第六届时代学习报数学文化节 第二轮(八年级)

第七届时代学习报数学文化节八年级第一轮活动书面解答题(2011年12月 2日)(时间：90分钟．总分：l50分)（第1题6分，第2题5分，第19题ll 分，其余各题，每题8分)班级 学号 姓名 得分数学之史1．宏伟的金字塔 “埃及金字塔”是世界七大建筑奇迹之一，其形状为正四棱锥(如图l)，底部为正方形．金字塔的建造工程浩大，设计精密，其中也反映了古埃及的伟大数学成就，如：(1)计算“截顶金字塔”(如图2)的体积．这是古埃及几何的一项最杰出的成就，出现于一个具体实例中：如果一个截顶金字塔的高为6，上、下底正方形的边长为2和4，那么它的体积为.6)4422(3122⨯+⨯+⨯=V 一般地，请你写出高为h ，上、下底正方形的边长为a ，b 的“截顶金字塔”的体积公式：V=(2)计算金字塔的“陡度”．考虑到单位换算，可用公式将陡度写为hl 7(l ，h 的意义如图1)，则高为250寸，底面正方形的边长为360寸的金字塔的陡度为 ．2．太极八卦 八卦是中国古代道家论述万物变化的经典《周易》中的8种基本图形，由符号“—”和“- -”组成(如图3)．现代计算机采用的数制是二进制，其主要原因在于，可以分别用二进制中的“l”和“0”来表示电路的“通”、“断”两种状态．德国数学家莱布尼兹发明了二进制，他认为，世界上最早的二进制表示法就是中国的八卦(“—”和“- -”分别表示l 和0)。

填写下面关于八卦与二进制关系的表(表1)：表1主办单位： 江 苏 教 育 出 版 社 时 代 学 习 报 江苏省教育学会中学数学教学专业委员会图1数学之美 3．万变不离其宗 在6×6的正方形网格中，沿网格中的虚线裁剪成4块全等的图形，如图4是其中的一种裁剪方法．请画出其他3种裁剪法．(把图5中应改的虚线改成实线即可)4．环环相扣 如图6，2012个同心圆的半径分别为1，2，3，4，…，2011，2012，则图中阴影部分的面积为 ．5．移形换位 如图7，在等边三角形ABC 中，D ，E ，F ，G 为BC 边的五等分点，M ，N分别为AB ，AC 的第一个五等分点，连接各分点，则∠1+∠2+∠3+∠4= °．数学之思6．叠出新天地 如图8．将一副直角三角尺按如图8②放置，使含30°角的三角尺的较短直角边与等腰直角三角尺的一条直角边重合，则图8②中∠1= °．7．构造等腰 图9是由9个边长为1×3的长方形构成的图形，已知A ，B 两个格点．试在其他格点上找一点C ，使以A ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C 共有 个，符合条件的等腰三角形的周长是 ．8．形数结合 在数轴上有A ，B 两点，点A 在数轴原点的左侧，点B 在原点右侧，点A对应整数a ，点B 对应整数b ，点O 在原点．(1)若2010=-b a ，且AO =2B0，则a = ，b = ；(2)若2011=-b a ，则当a 取最大值时，b = 。

时代数学报八年级下册2022摘要：本文以一个真实的小女孩的故事为背景，为我们展示了一种“不可能”的数学概念。

为了让学生更好地理解数学的基本概念——“几何空间”是如何形成的。

这一课我们通过了老师教给我们的知识进行分析和总结——并通过两个案例来帮助我们理解几何空间中的“几何变换”（几何空间中）并思考数学模型的本质和数学应用。

其中，本文主要围绕几何空间中的“几何变换”进行展开探讨，并将其与现实生活进行了融合。

作者认为：“几何空间中的几何变换对于现实生活来说是很有意义和帮助的”。

在数学教学中，当我们接触到大量数学概念或公式时，是否能够举一反三、触类旁通将影响到我们对其思想和内涵的理解，进而又如何运用到实际生活以及教学与学习中呢？”下面是一篇文章摘录——一、几何空间中的“几何变换”几何空间是以一定的单位或面积为尺度，通过对多个点位置分布关系的描述、组合形成的几何整体。

这种空间具有一定规律，即我们经常说的“一点一点”。

在一个长、宽均为正弦形（直线+圆）、中点在其中（两条直角三角形中以中点相连）、长为正弦形、宽为等边三角形和长方形和正方形中的多个小点以及三角形内点构成，称之为几何变换。

这其中有一些规律可以通过观察、操作来实现。

例如：如图1中的长方形和正方形分别在其正中间，四边相连形成一个平行四边形，则一个长方形可以得到两个正锥体（长x3,宽x2)和两个正锥体（长×宽）同时存在一个三角形，叫做正锥三角；又如图2中的两条平行长方形通过延长它们之间的距离，得到一个正锥体。

再如图3当中将多个三角形按照一定数量进行组合形成了一个个“正锥体”。

二、数学在生活中的应用“几何空间”这个概念本身就是一种抽象而又现实的概念。

这一内容包含着许多概念，我们也常常用它来解释生活中有许多数学问题，但实际生活中的应用范围却很有限，甚至根本就不能用来解释更多的数学问题。

几何空间的性质决定了它是一个有无限可能的概念，它所处的空间是无限广大且无限有限的，这就意味着，它不仅仅是一个数学公式，而且是一种很好的数学应用，特别是这种应用是最容易被我们所理解的。

时代数学报第三届数学文化节第二轮活动“能力素质挑战”书面问题解答（九年级）（2008年1月6日 上午9：00～11：00）亲爱的读者，欢迎参加时代数学报第三届数学文化节！在第一轮“基础知识闯关”活动中，你已经感受到扑面而来的数学文化气息，以你良好的基础，完全有信心从容地接受第二轮活动的“能力素质挑战”！这里，重要的不是为了胜人一筹，而是由此更上一层楼。

进一步明白学好数学需要多方面的知识和素养，同时再一次展现你的灵性和潜能，品味数学文化的美丽芬芳和博大精深，简单些吧，写成一个公式：广泛阅读＋深入思考＋仔细品味＝享受数学再简单些吧，写成一个“数学公式”：G ＋S ＋Z ＝X 。

Let’s go!（注：满分150分，除第6题10分，第12题10分，第15题9分外每题7分，选择题只有一个正确答案） 数学之史1、36军官问题 在数学文化节第一轮活动中，我们以探讨一个趣题的方式纪念了数学大师欧拉诞辰300周年。

著名数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们所有人的导师。

”是啊！欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影。

我们再来看看欧拉研究过的“36军官问题”：从6支部队中各选出6名不同军衔的军官，将这36名军官排成一个6行6列的方阵，要求每行每列的6个军官分别来自不同的部队，并具有不同的军衔。

用大写字母A ，B ，C ，D ，E ，F 分别表示6支不同的部队，用小写字母a ，b ，c ，d ，e ，f 分别表示6种不同的军衔，于是问题转化为：在6×6的方格阵中，每个方格分别填入一个大写字母和一个小写字母，使每行和每列中的大小写字母只能各出现一次（通常称这种方阵为欧拉方阵或正交拉丁方）。

欧拉搅尽脑汁，也没能排出符合要求的6×6方阵，他猜想并不存在这样的6×6方阵。

100多年以后，才有人证明了欧拉的这个猜想是正确的。

于是欧拉继而探究了其他情形，例如，他分别作出了3×3，4×4，5×5正交拉丁方，并证明了当n 除以4的余数不等于2时，n ×n 正交拉丁方是存在的。

时代学习报数学周刊时间和程序第一轮活动“数学根底闯关〞书面问题解答 2022 年12月9日上午8：30—10：00举行报社提供活动材料，读者在所在学校进行书面解答和表述第二轮活动“能力素质挑战〞书面问题解答 2022年1月6日上午9：00—11：00举行第一轮活动3％的优胜者参加第三轮活动颁奖大会暨“数学文化交流〞 2022年5月举行第二轮活动的局部优胜者可集中参加颁奖大会数学智趣活动和数学文化报告会、展示会向数学家、教育家请教与同龄人交流等在进行两轮书面解答和表述的同时，可参加组委会组织的有关数学文化的读书活动，“时代之星〞探索与创新〔学生〕论文大赛及“我学数学〞征文比赛，数学文化图片展等，主办单位支持学校在此期间举办名校校园数学文化节。

◆报名与实施以《时代学习报·数学周刊》读者为参加活动的主要对象，同时欢送其他数学爱好者报名参加。

本次活动为科普公益活动，不收取报名费。

★第一轮活动●《时代学习报·数学周刊》读者1、由时代学习报各工作站牵头，协助各地学校开展活动。

时代学习报读者以学校为单位，各学校与时代学习报各大市〔县〕工作站联系参加第一轮活动。

第一轮活动由各校自行举办。

2、第一轮活动结束后10天内，时代学习报各工作站将3%的优胜者的名单、成绩及相应指导老师的名单以Excel表格方式Email至sdsxwhj@163 ，报时代学习报编辑部。

●其他七~九年级数学爱好者为到达数学文化节普及数学、传播文化的初衷，时代学习报社特允许爱好数学的省内原来非时代学习报读者参加本次文化节活动。

1、愿意参加时代学习报数学文化节的数学爱好者，以学校为单位团体申请报名参加第一轮活动。

由本次活动组委会审核后，可作为特邀单位参加。

各学校直接向时代学习报社报名。

2、报名学校以电子邮件的方式，将参加学生人数、负责人电话以Excel表格方式发送到时代学习报数学文化节邮箱sdsxwhj@163 。

联系电话：************〔朱老师〕，83204722〔蒋老师〕。

时代学习报首届数学文化节第二轮活动“能力素质挑战”书面问题解答(八年级)（时间90分钟，满分150分）班级学号姓名得分数学之史1．几何鼻祖古时候，人们从生活实践中积累了丰富的几何知识．公元前300年-左右，古希腊数学家欧几里得对它们进行了系统整理，写成一部数学巨著，书名是．书中先给出少数基本定义、数学事实和原理，然后以它们为根据，严格推演出数百个几何结论，成为后世数学科学研究的典范．例如，从“平面上两点之间，最短”，可以推出“三角形的两边之和第三边(填“大于”、“小于”或“等于”)”．2．数学群星华人著名科学家：华罗庚、苏步青、陈省身、竺可桢、茅以升、陈景润中，数学家是3．七巧世界七巧板是我国古代劳动人民的智慧结晶，在国际上受到广泛重视，英文里有一个专门单词 (填翻译后的汉语名称)称呼七巧板．下面的4幅由七巧板拼成的人物图案中，有3张完全相同，则与众不同的那一张是( )．数学之美4．透过表面 (1)如图1，有半径分别为7cm，5 cm，4 cm，2 cm，2 cm的5个圆．要求将4个较小的圆与最大的圆进行重叠，使大圆中与小圆不重叠部分(黑色)的面积正好等于4个小圆中与大圆不重叠部分(阴影部分)的面积之和．请简要说明你的办法：(2)如果透过图形的外表，仔细反思你的解题过程，然后将5个圆改变成6个圆，当最大圆的半径仍然是7 cm，并且5个较小的圆与最大的圆进行重叠时，大圆中与小圆不重叠部分的面积正好等于5个小圆中与大圆不重叠部分的而积之和．那么，这5个较小圆的半径(都是整数cm)从大到小依次可以是．5．对称与对仗 《时代数学学习》曾发表过张奠宙教授的文章《对称与对仗》，文中指出，轴对称图形沿对称轴折叠后能完全重合，这种“变中有不变”的思想，在古典文学诗词中就是“对仗”．例如唐朝王维的诗句“明月松间照，清泉石上流”，内容从描写月亮到描写泉水，确有变化，但这一变化中有许多是不变的，特别是两句中对应词的词性不变．如“明”、“清”都是形容词，“月”、“泉”都是名词(景物)．请你再写出两首古代名诗中的对仗句：6．烙饼翻身 野营活动中，同学们创造性地选用铁皮代替锅来烙饼．(1)小明找到一张如图2(a)的等腰三角形铁皮，用它烙一块与铁皮形状、3veJ,,9同的饼．烙好一面后把饼翻身，这块饼正好落在“锅”中，这是因为 ．(2)小倩只找到一张如图2(b)的直角三角形铁皮，用它烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，这块饼翻身就不能正好落在“锅”中．小华将饼切了一刀(沿直线切饼，下同)，然后把两小块饼都翻身，它们也能正好落在“锅”中．请你在图2(b)中画出上述刀痕．(3)小强最后拿到的是一张如图2(e)的三角形铁皮，但它既不是等腰三角形又不是直角三角形．请在图2(c)中画出刀痕的位置(不超过3刀)，也能使饼翻身届正好落在“锅”中．7．数也对称 (1)计算(直接填写结果)：1212222++⨯= ；12321333333++++⨯= (2)先猜想结果，再计算验证：123432144444444++++++⨯= ；1234543215555555555++++++++⨯= ； (3)归纳：设N 为各位数字都是n 的n 位数(n 是小于l0的正整数)，那么12)1(321+++-++++⨯ n N N 是 位数，其正中的一个数字是 ． 数学之思8．滴水不漏 点M ，N 为线段AB 上的两点，若AB=20cm ，AM=12cm ，MN=4cm ，则NB= ．9．不思则罔 小刚被邀请参加另一个班的数学晚会，回来后告诉小飞：“晚会上共有40道抢答题，规定答对一道题得5分，不答得1分，答错一道题得-3分．’抢答结束后，统计各入所得分数，总分好像是147分吧!”小刚所说的总分是否记错了?简要说明理由： ．10．积木成塔 如图3是由若干个正方体形状的积木堆成的，平放于桌面上．其中，上面1个正方体下底面的4个顶点正好是相邻的下面l 个正方体的上底面各边的中点．如果最下面的正方体的棱长为l，且这些正方体积木露在外面的面积之和超过8，则正方体积木最少有个．按此规律不断堆下去，请估计，这些正方体积木露在外面的面积之和与整数最接近．11．纵横错落如图4，长方形ABCD中，放置9个形状、大小都相同的小长方形(尺寸如图)，则图中阴影部分的面积是。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题13 一次函数与正方形【例题讲解】如图，已知一次函数y=﹣34x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求E点坐标．【解答】解：①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM于Q．∵四边形EFMN是正方形，∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ，∴∠EFP=∠MFQ，∵∠FPE=∠FQM=90°，∴△FPE≌△FQM，∴FP=FQ，四边形OPFQ是正方形，设边长为x．∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°，∴∠FAQ=∠FBP，∵∠AQF=∠BPF=90°，∴△AQF≌△BPF，∴AQ=BP，∴6+x=8﹣x∴x=1，∴F（1，﹣1），∴直线AF的解析式为y=﹣7x+6，∴E（67，0）；②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）．综上所述，满足条件的点E坐标为（67，0）或（6，0）．【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是______．2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(﹣1，1)，顶点B 在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为___．3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数112y x=+的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．(1)求正方形ABCD的面积；(2)求点C和点D的坐标；(3)在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x=-+的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE．（1）求线段AB的长；（2）求证：AD平分∠EAF；（3）求△AEF的周长．5．如图，已知一次函数y=﹣12x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=13MP，MB=13OM，OE=13ON，ND=13 NP．（1）b=；（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；（3）在直线y=﹣12x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与两坐标轴分别交于A，B两点．（1）若一次函数y＝﹣12x+m与直线AB的交点在第二象限，求m的取值范围；（2）若M是y轴上一点，N是x轴上一点，直线AB上是否存在两点P，Q，使得以M，N，P，Q四点为顶点的四边形是正方形．若存在，求出M，N两点的坐标，若不存在，请说明理由．7．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．（1）求一次函数的解析式．（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，BQOP的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H 的坐标．8．如图，在平而直角坐标系中．直线l ：()2100y x k =-+≠经过点()3,4C ，与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点D 的坐标为(8，4)，连接OD ，交直线l 于点M ，连按OC ，CD ，AD ．(1)填空：点A 的坐标为_________；点M 的坐标为______；(2)求证：四边形OADC 是菱形；(3)直线AP ：5y x =-+与y 轴交于点P ．①连接MP ，则MP 的长为_______；②已知点E 在直线AP 上，在平面直角坐标系中是否存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．9．直线2y kx =+(0)k <与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，以AB 为边向外作正方形ABCD ，对角线,AC BD 交于点E ，则过,O E 两点的直线的解析式是__________．10．如图，四边形OABC 和四边形ODEF 都是正方形，点F ，O ，A 在一条直线上，点D 在OC 边上，以FA 为x 轴，OC 为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，直线132y x =+经过点B ，E ．（1）求正方形OABC 和正方形ODEF 的边长；（2）若点P 是BE 的中点，试证明：点C ，P ，A 三点在同一条直线上．11．在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，4），B （3，0），以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线l ：y =k （x +3）．（1）点D 的坐标是 ；（2）当直线l 经过D 点时，求k 的值；（3）该直线l 一定经过一个定点，其坐标是 ；（4）当直线l 与正方形的四边有两个交点时，求k 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．(1)当0m =时，①在点()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -中，是折线BA AC -的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC -的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；(2)正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m -．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴负半轴于点C ，且OC ＝6．(1)求直线BC 的解析式；(2)如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；(3)如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 左侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标．答案与解析【例题讲解】如图，已知一次函数y=﹣34x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求E点坐标．【解答】解：①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM 于Q．∵四边形EFMN是正方形，∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ，∴∠EFP=∠MFQ，∵∠FPE=∠FQM=90°，∴△FPE≌△FQM，∴FP=FQ，四边形OPFQ是正方形，设边长为x．∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°，∴∠FAQ=∠FBP，∵∠AQF=∠BPF=90°，∴△AQF≌△BPF，∴AQ=BP，∴6+x=8﹣x∴x=1，∴F（1，﹣1），∴直线AF的解析式为y=﹣7x+6，∴E（67，0）；②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）．综上所述，满足条件的点E坐标为（67，0）或（6，0）．【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是_________．【答案】-3＜b＜3【分析】当直线y=x+b过D，B时，求得b，即可得到结论．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为（1，1），∴D（1，4），B（4，1）当直线y=x+b经过点D时，4=1+b，此时b=3，当直线y=x+b经过点B时，1=4+b，此时b=-3．∴直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是-3＜b＜3．故答案是：-3＜b＜3．【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(﹣1，1)，顶点B 在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为___．【答案】﹣2【分析】根据正方形的对称性得到点B坐标，代入直线解析式即可求出k．【解答】解：∵正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（﹣1，1），∴点B坐标为（1，1），∵点B在直线y=kx+3上，∴1=k+3，解得k=﹣2．故答案为：﹣2【点评】本题考查了正方形的对称性，一次函数的性质，熟知相关知识点，求出点B的坐标是解题关键．3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数112y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ．(1)求正方形ABCD 的面积；(2)求点C 和点D 的坐标；(3)在x 轴上是否存在点M ，使△MDB 的周长最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5(2)C (-1，3)，D (-3，2)(3)()1,0M -，理由见解答【分析】（1）由一次函数112y x =+，可求出A 和B 点坐标，即得出OA 和OB 的长，再根据勾股定理求出AB 的长，最后由正方形面积公式计算即可；（2）作CE y ⊥轴，DF x ⊥轴．根据正方形的性质结合所作辅助线易证(AAS)BCE DAF ABO ≌≌，即得出2BE DF OA ===，1CE AF OB ===，从而可求出3OE =，3OF =，即得出C 、D 两点坐标； （3）找出点B 关于x 轴的对称点B '，连接B D '，与x 轴交于点M ，根据轴对称的性质可知此时BMD 周长最小．由B (0，1)，得出B '(0，-1)，利用待定系数法可求出直线B D '的解析式为=1y x --，从而可求出M 点坐标．（1）对于直线112y x =+，令0x =，得到1y =；令0y =，得到2x =-， ∴A (-2，0)，B (0，1)，∴在Rt AOB △中，2OA =，1OB =，∴根据勾股定理得：22215AB =+=，∴正方形ABCD 面积为5；（2）如图，作CE y ⊥轴，DF x ⊥轴，∴90CEB AFD AOB ∠=∠=∠=︒．∵四边形ABCD 是正方形，∴BC AB AD ==，90DAB ABC ∠=∠=︒， ∴90DAF BAO ∠+∠=︒，90ABO CBE ∠+∠=︒， ∵90DAF ADF ∠∠=+︒，90BAO ABO ∠+∠=︒， ∴BAO ADF CBE ∠=∠=∠，∴(AAS)BCE DAF ABO ≌≌，∴2BE DF OA ===，1CE AF OB ===，∴213OE OB BE =+=+=，213OF OA AF =+=+=， ∴C (-1，3)，D (-3，2)；（3）如图，找出点B 关于x 轴的对称点B '，连接B D '，与x 轴交于点M ，则此时BMD 周长最小． ∵B (0，1)，∴B '(0，-1)设直线B D '的解析式为(0)y kx b k =+≠，把B '与D 坐标代入得：132b k b =-⎧⎨-+=⎩， 解得：11k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线B D '的解析式为=1y x --．对于=1y x --，令0y =，得到=1x -，∴M (-1，0)．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，一次函数的应用以及轴对称变换等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x=-+的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE．（1）求线段AB的长；（2）求证：AD平分∠EAF；（3）求△AEF的周长．【答案】（1）AB＝13；（2）见解析；（3）△AEF周长为24．【分析】（1）根据一次函数解析式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长；（2）证明△CDE和△ADE中，可得∠DCE＝∠DAE，根据三角形内角和和对顶角的性质可得∠DCM＝∠MAF，等量代换得∠MAF＝∠EAM；（3）过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF转换为CF即可求出△AEF的周长．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣125x+12的图象交x轴、y轴与A、B两点，∴当x=0，则y=12，故B(0，12)，当y =0，则x =5，故A (5，0)，即OA ＝5，OB ＝12，∴AB ＝22OA OB +＝22512+＝13，故AB ＝13；（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ＝AD ，∵BD 是正方形的对角线，∴∠CDE ＝∠ADE ，在△CDE 和△ADE 中，CD AD CDE ADE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE ≌△ADE （SAS ），∴∠DCE ＝∠DAE ，设FC 与AD 交点为M ，∵∠EMD ＝∠AMF （对顶角相等），∠DCM +∠EMD ＝∠MAF +∠AMF ，∴∠DCM ＝∠MAF ，∴∠MAF ＝∠EAM ，∴AD 平分∠EAF ；（3）过点C 作y 轴垂线交y 轴于点N ，如图所示：∵∠CBN +∠NCB =∠CBN +ABO =90°，∴∠NCB =∠ABO ，在△CNB 和△BOA 中，90NCB OBA CNB BOA CB BA ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△CNB ≌△BOA （AAS ），∴BN =AO =5，CN =BO =12，又∵CF ⊥x 轴，∴CF =BO +BN =12+5=17，∴C 的坐标为(12，17)；∵△CDE ≌△ADE ，∴AE =CE ，∴AE +EF =CF =17，AF =OF -AO =12-5=7，∴C △AEF =AE +EF +AF =CF +AF =17+7=24．【点评】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，对顶角的性质，以及三角形内角和的应用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．5．如图，已知一次函数y=﹣12x+b 的图象过点A （0，3），点p 是该直线上的一个动点，过点P 分别作PM 垂直x 轴于点M ，PN 垂直y 轴于点N ，在四边形PMON 上分别截取：PC=13MP ，MB=13OM ，OE=13ON ，ND=13NP ． （1）b= ；（2）求证：四边形BCDE 是平行四边形；（3）在直线y=﹣12x+b 上是否存在这样的点P ，使四边形BCDE 为正方形？若存在，请求出所有符合的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）在直线y=﹣12x+b 上存在这样的点P ，使四边形BCDE 为（3）设P 点坐标（x ，y ），当△OBE ≌△MCB 时，四边形BCDE 为正方形，OE=BM ，当点P 在第一象限时，即13y=13x ，x=y ． P 点在直线上，132y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩， 解得22x y =⎧⎨=⎩， 当点P 在第二象限时，﹣x=y132y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩， 解得66x y =-⎧⎨=⎩在直线y=﹣12x+b 上存在这样的点P ，使四边形BCDE 为正方形，P 点坐标是（2，2）或（﹣6，6）． 点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，注意数形结合.6．在平面直角坐标系中，直线y ＝2x+4与两坐标轴分别交于A ，B 两点．（1）若一次函数y ＝﹣12x+m 与直线AB 的交点在第二象限，求m 的取值范围；（2）若M 是y 轴上一点，N 是x 轴上一点，直线AB 上是否存在两点P ，Q ，使得以M ，N ，P ，Q 四点为顶点的四边形是正方形．若存在，求出M ，N 两点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）m ＜4；（2）M （0，87），N （﹣47，0）或M （0，﹣83），N （43，0）或M （0，﹣4），N （﹣163，0）； 【分析】（1）根据题意联立一次函数解析式与直线AB 的解析式，据此进一步用m 表示出x ，最后根据第二象限的点的坐标特征加以分析即可；（2）首先求出A 、B 两点坐标，然后根据题意分图1、图2、图3共三种情况结合相似三角形性质进一步分析求解即可.【解答】（1）联立24y x =+与12y x m =-+，得：1242x x m +=-+， ∴()245x m =-， ∵交点位于第二象限，∴()2405m -<， ∴4m <；（2）当0x =时，244y x =+=，∴A （0，4），当0y =时，024x =+，即：2x =-，∴B （2-，0），∴OA ＝4，OB ＝2．如图1，过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，∵MN ∥AB ，∴△NMO~△BAO ，∴12ON OB OM OA ==， 设ON ＝a ，则OM ＝2a ，∵∠MNQ ＝90°，∴∠QNH+∠MNO ＝∠MNO+∠NMO ＝90°，∴∠QNH ＝∠NMO ，在△QNH 和△NMO 中，∵∠QNH ＝∠NMO ，∠QHN=∠NOM ，QN=MN ，∴△QNH ≅△NMO （AAS ），∴QH＝ON＝a，HN＝OM＝2a，易得：△BQH~△BAO，∴12 BH OBQH OA==，∴BH＝12a，∵OB＝BH+HN+ON，∴2＝122a a a++，解得47a=，∴M（0，87），N（47-，0）；如图2，过点P作PH⊥x轴于H，易证△PNH~△BAO，∴12 PH OBOH OA==，设PH＝b，则NH＝2b，同理证得△PNH≅△NMO，∴PH＝ON＝b，HN＝OM＝2b，∴OH＝HN−OH＝b，易得：△BPH~△BAO，∴12 BH OBPH OA==，∴BH＝12 b，∵OB＝BH+OH，∴2＝12b+b，解得b＝43，∴M（0，83-），N（43，0）；如图3，过点P作PH⊥x轴于H，PE⊥y轴于E，QF⊥y轴于F，易得：△PAE~△BAO，∴12 PE OBAE OA==，设PE＝c，则AE＝2c，同理证得△PNH≅△PME，∴PH＝PE＝OE＝c，则AE＝2c，∵OA＝AE+OE，∴4＝2c+c，解得c＝43，∵△MQF≅△PME，∴MF＝PE＝OE，EM＝FQ，∴EM＝OF＝FQ，设EM＝OF＝FQ＝m，则Q（﹣m，﹣m），代入y＝2x+4中，得﹣m＝﹣2m+4，解得m＝4，∴NO＝NH+OH＝163，∴N（163-，0），∵OF＝m＝4，∴M（0，﹣4）．综上所述M（0，87），N（47-，0）或M（0，83-），N（43，0）或M（0，﹣4），N（163-，0）．【点评】本题主要考查了一次函数与相似三角形的判定及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 7．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．（1）求一次函数的解析式．（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，BQOP的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H的坐标．【答案】（1）y＝x+4；（2）BQOP的值不变，理由见解析；（3）点H的坐标为(42243,22)----或(0,0)或(628,22)-．【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．（2）如图1中，结论：BQOP的值不变．连接BM，设PB交OM于G．想办法证明∠PBM＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．（3）分三种情形：如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，如图2﹣2中，当点P与A重合时．得到四边形PNMO是正方形（是菱形），此时H与原点O重合．如图2﹣3中，当四边形PBNH是菱形时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7），∴22 37k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得14kb=⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y＝x+4．（2）如图1中，结论：BQOP的值不变．理由：连接BM，设PB交OM于G．∵直线y＝x+4与坐标轴相交于点、B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，∵四边形POMN是正方形，∴∠POM＝∠AOB＝90°，OM＝OP，∴∠AOP＝∠BOM，∵OA＝OB，∴△AOP≌△BOM（SAS），∴∠OPG＝∠GMB，∵∠OGP＝∠BGM，∴∠GBM＝∠GOP＝90°，∴QM＝QP，∴QB＝QP＝QM，∵△POQ是等腰直角三角形，∴OP＝2QP，∴22 BQ PQOP OP==．（3）如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，∵BH 垂直平分线段PN ，BH 垂直平分线段OM ，∴BM ＝OB ＝4，∴M （﹣22，4+22），∴P （﹣4﹣22，﹣22），∴BN ＝BP ＝()()2242242243++-=，∴PH ＝BN ＝43，∵QB ＝QN ＝OQ ，∴∠NBO ＝90°，∴BN ∥OA ∥PH ，∴H （﹣4﹣2243-，﹣22）．如图2﹣2中，当点P 与A 重合时，得到四边形PNMO 是正方形（是菱形），此时H 与原点O 重合，H （0，0）．如图2﹣3中，当四边形PBNH 是菱形时，设PH 交OB 于J ，在JO 上取一点F ，使得PJ ＝JF ．∵BP ＝BN ，∴∠BPN ＝∠BNP ＝22.5°，∵∠OPN ＝90°，∠P AO ＝45°，∴∠APO ＝67.5°，∴∠AOP ＝67.5°，∴∠POJ ＝22.5°，∵∠PFJ ＝∠FPO +∠POF ＝45°，∴∠FPO ＝∠POF ＝22.5°，∴PF ＝OF ，设PJ ＝BJ ＝JF ＝x ，则PB ＝BN ＝PF ＝OF ＝2x ，∴2x +2x ＝4，∴x ＝4﹣22，∴BN ＝PH ＝42﹣4，P （22﹣4，22），∴H （62﹣8，22），综上所述，满足条件的点H 的坐标为（﹣4﹣22﹣43，﹣22）或（0，0）或（62﹣8，22）．【点评】本题考查的是一次函数与几何的综合，难度系数较大，第三问比较容易忽略的点在于当点P 与A 重合时．得到四边形PNMO 是正方形，此时是特殊的菱形.8．如图，在平而直角坐标系中．直线l ：()2100y x k =-+≠经过点()3,4C ，与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点D 的坐标为(8，4)，连接OD ，交直线l 于点M ，连按OC ，CD ，AD ．(1)填空：点A 的坐标为_________；点M 的坐标为______；(2)求证：四边形OADC 是菱形；(3)直线AP ：5y x =-+与y 轴交于点P ．①连接MP ，则MP 的长为_______；②已知点E 在直线AP 上，在平面直角坐标系中是否存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(5，0)，(4，2)(2)见解析(3)①5；②存在，点F 的坐标为（5，5）或（52，-52）．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A 的坐标，又点D 的坐标，利用待定系数法可求出直线OD 的解析式，再联立两函数解析式，可求出交点M 的坐标；（2）过点C 作CQ ⊥x 轴于点Q ，利用勾股定理可得出OC =5，又点C ，D 的坐标可得出CD =5，CD ∥x 轴，结合点A 的坐标，可得出CD =OA ，进而可得出四边形OADC 为平行四边形，再结合OC =OA ，即可证出四边形OADC 是菱形；（3）①过点M 作MN ⊥y 轴于点N ，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P 的坐标，结合点M 的坐标可得出MN ，PN 的长，再利用勾股定理，即可求出MP 的长；②存在，分OA 为边及OA 为对角线两种情况考虑，（i ）当OA 为边时，点E 与点P 重合，利用正方形的性质可求出点F 的坐标；（ii ）当OA 为对角线时，点E 在线段AP 的中点，结合点A ，P 的坐标可得出点E 的坐标，再利用正方形的性质，即可求出点F 的坐标．（1）解：当y=0时，-2x+10=0，解得：x=5，∴点A的坐标为（5，0）；设直线OD的解析式为y=kx（k≠0），将D（8，4）代入y=kx，得：4=8k，解得：k=12，∴直线OD的解析式为y=12x．联立两函数解析式得：21012y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：42xy=⎧⎨=⎩，∴点M的坐标为（4，2），故答案为：（5，0）；（4，2）；（2）证明：过点C作CQ⊥x轴于点Q，如图1所示．∵点C的坐标为（3，4），∴OQ=3，CQ=4，∴OC= 222234OQ CQ+=+=5．∵点C的坐标为（3，4），点D的坐标为（8，4），∴CD=5，CD∥x轴，即CD∥OA．∵点A的坐标为（5，0），∴OA=5=CD，∴四边形OADC为平行四边形，又∵OA=OC=5，∴四边形OADC是菱形；（3）解：①过点M作MN⊥y轴于点N，如图2所示．当x=0时，y=-1×0+5=5，∴点P的坐标为（0，5）．∵点M的坐标为（4，2），∴MN=4，ON=2，∴PN=5-2=3，∴MP=2222+=+=5.34PN MN故答案为：5；②存在，分两种情况考虑，如图3所示．（i ）当OA 为边时，∵OA =OP =5，∠AOP =90°，∴点E 与点P 重合，∴点F 的坐标为（5，5）；（ii ）当OA 为对角线时，∵OA =OP =5，∠AOP =90°，∴△AOP 为等腰直角三角形，又∵四边形AEOF 为正方形，∴点E 为线段AP 的中点，∴点E 的坐标为（52，52）， ∴点F 的坐标为（0+5-52，0+0-52），即（52，-52）． ∴在平面直角坐标系中存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形，点F 的坐标为（5，5）或（52，-52）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、平行四边形的判定、菱形的判定以及正方形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出直线OD 的解析式；（2）利用邻边相等的平行四边形为菱形，证出四边形OADC 是菱形；（3）①利用勾股定理，求出MP 的长；②分OA 为边及OA 为对角线两种情况，求出点F 的坐标．9．直线2y kx =+(0)k <与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，以AB 为边向外作正方形ABCD ，对角线,AC BD 交于点E ，则过,O E 两点的直线的解析式是__________．【答案】y x=【分析】分别过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,再证明△BEG≌△AEF，得出EG=EF，从而可得出结论.【解答】解：过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,∵四边形ABCD为正方形，∴BE=AE,且∠AEB=90°，∴∠BEG+∠AEG=∠AEG+∠AEF,∴∠BEG=∠AEF,又∠BGE=∠AFE=90°，∴△BEG≌△AEF（ASA）,∴EF=EG.所以设过OE两点的直线的函数解析式为y=kx(k≠0),点E的坐标为(a,a),代入可得a=ak,解得k=1,∴过,O E两点的直线的解析式是为y=x.故答案为：y=x.【点评】本题主要考查解析式的求法，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确构造全等三角形是解题的关键.10．如图，四边形OABC和四边形ODEF都是正方形，点F，O，A在一条直线上，点D在OC边上，以FA为x轴，OC为y轴建立平面直角坐标系xOy，直线132y x=+经过点B，E．（1）求正方形OABC和正方形ODEF的边长；（2）若点P是BE的中点，试证明：点C，P，A三点在同一条直线上．【答案】（1）6和2；（2）见解答【分析】（1）设B（a，a），A（-b，b），代入132y x=+，即可求解；（2）先写出P（2，4），A（6，0），C（0，6），从而求出直线AC的解析式，把P的坐标代入AC的解析式，即可得到答案．【解答】解：（1）设正方形OABC和正方形ODEF的边长分别为：a，b，∴B（a，a），A（-b，b），∵直线132y x=+经过点B，E，∴132132a ab b⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得：62ab=⎧⎨=⎩，∴正方形OABC和正方形ODEF的边长分别为：6和2；（2）∵B（6，6），A（-2，2），点P是BE的中点，∴P（2，4），∵A（6，0），C（0，6），设AC的解析式为：y=kx+b，∴606k bb+=⎧⎨=⎩，解得：16kb=-⎧⎨=⎩，∴AC的解析式为：y=-x+6，∵x=2时，y=-2+6=4，∴P点在直线AC上，即点C，P，A三点在同一条直线上．【点评】本题主要考查一次函数的性质和图像以及正方形的性质，掌握待定系数法，是解题的关键．11．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线l：y=k（x+3）．（1）点D的坐标是；（2）当直线l经过D点时，求k的值；（3）该直线l一定经过一个定点，其坐标是；（4）当直线l与正方形的四边有两个交点时，求k的取值范围．【答案】(1)(4，7)；(2) k=1；(3)(-3,0)；(4)4 0k3 <<【分析】（1）过D点作DE⊥y轴，证△AED≌△BOA，根据全等求出DE=AO=4，AE=OB=3，即可得出D 的坐标；（2）把D的坐标代入解析式即可求出k的值；（3）y=k（x+3）是经过（-3，0）的直线系，故经过定点（-3，0）；（4）把A的坐标代入求出k的值，即可得出答案．【解答】解：(1)如图，过D点作DE⊥y轴，则∠AED=∠1+∠2=90°.在正方形ABCD中，∠DAB=90°，AD=AB.∴∠1+∠3=90°，12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．(1)当0m =时，①在点()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -中，是折线BA AC -的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC -的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；(2)正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m -．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．最大值，进而即可求解；（2）根据题意求得直线AB 的解析式为2y x m =-+，直线AC 的解析式为2y x m =-++，正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC -所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外），当正方形有一点在AB 或AC 上时，根据点N 的坐标以及正方形的性质求得点F 的坐标，分别代入直线,AB AC 的解析式即可求得点F 的坐标，结合函数图像即可求解．(1)当0m =时，()()()0,2,2,0,2,0A B C -，①如图，在平面直角坐标系中描出点()()()0,2,2,0,2,0A B C -，()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -连接,AB AC ，由图像可知，23,P P 为折线BA AC -的“相关点”；②如图，点M 是直线24y x =+上一点，根据定义可知：点M 为折线BA AC -的“相关点”当M 与点()2,0B -重合时，此时M x 取得最小值，为2-，当M 在直线AC 上时，M x 取得最大值，设直线AC 解析式为y kx b =+()()0,2,2,0A C则202k b b +=⎧⎨=⎩解得12k b =-⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为2y x =-+联立224y x y x =-+⎧⎨=+⎩ 解得2383x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M x 的最大值为23- 223M x ∴-≤<- (2)点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．设直线AB 的解析式为y cx d =+，AC 解析式为y ex f =+,则()220mc d m c d +=⎧⎨-+=⎩，()220me f m e f +=⎧⎨++=⎩， 解得12c d m =⎧⎨=-+⎩，12e f m =-⎧⎨=+⎩∴直线AB 的解析式为2y x m =-+，直线AC 的解析式为2y x m =-++，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”；∴正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC -所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外）， 当正方形有一点在AB 或AC 上时，如图，当点F 在AB 上时，()24,0N m -，正方形的边长为2，则()23,1F m --， 代入直线AB 解析式，可得()1232m m -=--+，解得0m =；当点F 在AC 上时，()24,0N m -，正方形的边长为2，则()25,1F m --，代入直线AC 解析式，可得()1252m m -=--++，解得8m =，结合图像可知，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，0m <或8m >．【点评】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴负半轴于点C ，且OC ＝6．(1)求直线BC 的解析式；(2)如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；(3)如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 左侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标．【答案】(1)483y x =+ (2)122455M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)4607G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()02G -，【点评】本题考查了用待定系数法求解析式、正方形的性质、一次函数的图像与解析式等知识，涉及到了分类讨论的思想方法，解题关键是能正确进行面积转化以及通过作辅助线构造全等三角形对图中的线段进行数量关系上的转化．。

第1篇一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，正有理数是（）A. -2.5B. -1/2C. 0D. 1/32. 若方程 2x - 3 = 5 的解为 x，则 x 的值为（）A. 4B. 2C. 1D. 33. 在直角坐标系中，点 A（-2，3）关于原点的对称点是（）A. （2，-3）B. （-2，-3）C. （3，-2）D. （-3，2）4. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = x + 2B. y = 2x - 1C. y = 1/xD. y = 3x^25. 若 a、b、c 是等差数列的前三项，且 a + b + c = 12，则 c 的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 106. 在等腰三角形 ABC 中，若 AB = AC，且底边 BC 的长度为 6，则腰 AB 的长度为（）A. 3B. 4C. 5D. 67. 下列命题中，正确的是（）A. 平行四边形的对角线互相垂直B. 矩形的对边平行且相等C. 等腰三角形的底角相等D. 直角三角形的斜边最长8. 若 a、b、c 是等比数列的前三项，且 a b c = 27，则 c 的值为（）A. 3B. 9C. 27D. 819. 下列各式中，能表示 a、b、c 成等差数列的是（）A. a + b = 2cB. a + c = 2bC. a b = c^2D. a^2 + b^2 = c^210. 在等腰三角形 ABC 中，若底边 BC 的长度为 8，腰 AB 的长度为 10，则顶角A 的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（每题5分，共25分）11. 若方程 3x - 2 = 7 的解为 x，则 x 的值为 ________。

12. 在直角坐标系中，点 P（3，-4）关于 x 轴的对称点是 ________。

13. 下列函数中，是正比例函数的是 y = ________。

福州时代中学2022-2023学年第二学期八年级期末考试数 学(完卷时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知x =1是关于x 的一元二次方程x 2+x +2a=0的一个解，则a 的值为( ) A.0 B.−1 C.1 D.22.如图，在□ABCD 中，若∠B+∠D=110°，则∠B 的度数为( )A.45°B.55°C.65°D.70° 3.一本笔记本5元，买x 本共付y 元，在这个过程中，变量是( ) A.5和x B.5和y C. x 和y D.5,x 和y 4.二次函数y=2(x −3)2+1的图象的顶点坐标是( )A.(2,3)B.(2,10)C.(3, −1)D.(3,1)5.小明在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：则阅读课外书数量的中位数和众数分别是( )A.35，15B.14，15C.13，18D.15，156.在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是( )A BDCA.OA=OC ，OB=ODB.AB=DC ，AD=BCC.AB ∥DC ，AB=DCD.AB ∥DC ，AD=BC7.我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，2020年我国GDP 约为99万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，两年后我国GDP 约达125万亿元，将增长率记作x ，可列方程为( ) A.99+99(1+x )=125 B.99(1+x )=125C.99(1+x )2=125D.99(1+x )+99(1+x )2=1258.如图，直线y=k x +3经过点(2,0)，则关于x 的不等式k x +3＜0的解集是( )A.x ＜2B.x ＞2C.x ≥2D.x ≤29.如图，以矩形ABCD 的顶点A 为圆心，AD 长为半径画弧交CB 的延长线于E ；过点D 作DF ∥AE 交BC 于点F ，连接AF ，AB=4，AD=5，则AF 的长是( )A.2√5B.3√5C.3D.3√310.已知抛物线y=x 2−4m x +m ，当−2＜x ＜1时，y 的值随x 值的增大而增大，则此抛物线的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限DEACBF二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.函数y=x−2x+3中，自变量x 的取值范围是________.12.如图，把两根钢条OA ，OB 的一个端点连在一起，点C ，D 分别是OA 、OB 的中点.若CD=4cm ，则该工件内槽宽AB 的长为________cm.13.如图是甲、乙两人5次足球点球测试(每次点球10个)成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作S 甲2、S 乙2，则S 甲2___S 乙2(填“＞”“=”或“＜”).14.若抛物线y=a x 2−2a x +c 经过点(4，0)，则关于x 的一元二次方程a x 2−2a x +c=0的根是________.15.如图，在平面直角坐标系x Oy 中，菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，点A 在轴正半轴上，点B 在第一象限内，且∠AOC=60°，则直线OB 的函数表达式是________.ODCBA16.已知二次函数y=a x 2+b x +c,当x =2时，该函数取最大值12.设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为x 1，若x 1＞4,则a 的取值范围是________.三、解答题(本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解一元二次方程x 2−4x −12=0.18.如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 中点，连接BE ，EC ，证明：EB=EC.19.已知关于x 的-元二次方程x 2−(m −1) x +m −2=0 (1)求证：该方程总有两个实数根.(2)若该方程两个实数根的差为3，求m 的值. 20.若点(m ，n)在一次函数y=2x −3的图象上. (1)求代数式3n −6m+2032的值：(2)点A(5m −6，5n)在直线y=2x −3上吗？为什么？21.端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于6的整数.为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：七年级10名学生活动成绩扇形统计图10分 8分 9分 7分 50%20%20%BA DC E八年级10名学生活动成绩统计表已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分.请根据以上信息，完成下列问题：(1)样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是________，七年级活动成绩的众数为________分.(2)a=________，b=________.(3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由.22.百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件.(1)要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？(2)若设每件童装降价x元时，平均每天销售这种童装盈利y元，求y与x的函数关系式，并求y的最大值23.已知：直线l：y=2k x−4k+3(k≠0).(1)求证：直线l恒过定点P(2,3).(2)已知点A、B坐标分别为(0，1)，(−2，1)，若直线l与线段AB相交，求k的取值范围.(3)在0≤x≤2范围内，任取3个自变量x1，x2，x3，它们对应的函数值分别为y1，y2，y3，若以y1，y2，y3为长度的3条线段能围成三角形，直接写出k的取值范围.24.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，过点D作DF⊥x轴交x轴于点F，交对角线AC于点E.(1)求证：BE=DE.(2)判断∠EBC 、∠FBC 的数量关系，并说明理由.(3)若点A ，B 坐标分别为(0，12)，(5，0)，则△BEF 的周长为________.25.如图1，在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=x 2+b x +c 与x 轴分别交于A(1−m ，0)，B(m −3，0)两点，其中点B 在原点左侧，与y 轴交于点C(0, −3).(1)求抛物线的解析式.(2)已知抛物线顶点为P ，点M 在第三象限的抛物线上. ①若直线CM 与直线BP 关于直线y=x 对称，求点M 的坐标.②如图2，若直线y=2x +n 与抛物线交于点D ，E ， −1＜x D ＜x E ，与抛物线的对称轴l 交于点H ，若DM ⊥l ，连接ME ，MH ，求S △MEH 的取值范围.图1图2福州时代中学2022-2023学年第二学期八年级期末考试数 学(完卷时间120分钟，满分150分)奇偶数学原创解答一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知x =1是关于x 的一元二次方程x 2+x +2a=0的一个解，则a 的值为( ) A.0 B.−1 C.1 D.2 1.解：将x =1代入x 2+x +2a=0得1+1+2a=0，解得a=−1，故选B .2.如图，在□ABCD 中，若∠B+∠D=110°，则∠B 的度数为( )A.45°B.55°C.65°D.70° 2.解：在□ABCD 中，∵∠B=∠D ，又∵∠B+∠D=110°，∴∠B=55°，故选B . 3.一本笔记本5元，买x 本共付y 元，在这个过程中，变量是( ) A.5和x B.5和y C. x 和y D.5,x 和y 3.解：由题意知y=5x ，x 是自变量，y 是因变量，故选C . 4.二次函数y=2(x −3)2+1的图象的顶点坐标是( )A.(2，3)B.(2，10)C.(3, −1)D.(3，1)4.解：y=2(x −3)2+1的图象的顶点坐标是(3，1)，当x =3时，y 有最小值1，故选D .5.小明在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：A BDC则阅读课外书数量的中位数和众数分别是( )A.35，15B.14，15C.13，18D.15，155.解：众数为15，人数最多；中位数也是15，故选D.6.在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A.OA=OC，OB=ODB.AB=DC，AD=BCC.AB∥DC，AB=DCD.AB∥DC，AD=BC6.解：对角线平分的四边形是平行四边形，A能；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，B能；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，C能，D不一定，可能是等腰梯形，故选D.7.我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，2020年我国GDP约为99万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，两年后我国GDP约达125万亿元，将增长率记作x，可列方程为( )A.99+99(1+x)=125B.99(1+x)=125C.99(1+x)2=125D.99(1+x)+99(1+x)2=1257.解：一年后GDP为99(1+x)，两年后为99(1+x)(1+x)，故选C.8.如图，直线y=k x+3经过点(2,0)，则关于x的不等式k x+3＜0的解集是( )A.x＜2B.x＞2C.x≥2D.x≤28.解：由图知，当x＞2时，y＜0，故选B.9.如图，以矩形ABCD 的顶点A 为圆心，AD 长为半径画弧交CB 的延长线于E ；过点D 作DF ∥AE 交BC 于点F ，连接AF ，AB=4，AD=5，则AF 的长是( )A.2√5B.3√5C.3D.3√39.解：∵矩形ABCD 中AD ∥BC ，DF ∥AE ，∴四边形ADFE 为平行四边形，∴EF=AD=5，∵AE=AD=5，∴在Rt △ABE 中，BE=√AE 2−AB 2=3，∴BF=EF −BE=2，由勾股定理知AF=√BF 2+AB 2=2√5，故选A .10.已知抛物线y=x 2−4m x +m ，当−2＜x ＜1时，y 的值随x 值的增大而增大，则此抛物线的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 10.解：抛物线开口向上，对称轴为x =2m ，∵−2＜x ＜1时，y 的值随x 值的增大而增大，∴对称轴在直线x =−2左侧，即2m ＜−2，解得m ＜−1，故抛物线交y 轴于负半轴，则抛物线顶点纵坐标＜0，故抛物线的顶点在第三象限，选C . 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.函数y=x−2x+3中，自变量x 的取值范围是________.11.解：由题意知x +3≠0，故自变量x 的取值范围是x ≠−3.12.如图，把两根钢条OA ，OB 的一个端点连在一起，点C ，D 分别是OA 、OB 的中点.若CD=4cm ，则该工件内槽宽AB 的长为________cm. 12.解：∵点C ，D 分别是OA 、OB 的中点，∴AB=2CD=8cm.DEACBF13.如图是甲、乙两人5次足球点球测试(每次点球10个)成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作S 甲2、S 乙2，则S 甲2___S 乙2(填“＞”“=”或“＜”).13.解：甲的平均数为5.6，乙的平均数为4.4，由图可知甲的成绩波动小，乙的成绩波动大，故S 甲2＜S 乙2.14.若抛物线y=a x 2−2a x +c 经过点(4，0)，则关于x 的一元二次方程a x 2−2a x +c=0的根是________.14.解：抛物线y=a x 2−2a x +c 的对称轴为x =1，由对称性知抛物线与x 轴的另一个交点为(−2，0)，故方程a x 2−2a x +c=0的根是x 1=−2，x 2=4.15.如图，在平面直角坐标系x Oy 中，菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，点A 在轴正半轴上，点B 在第一象限内，且∠AOC=60°，则直线OB 的函数表达式是________.ODCBA15.解：∵中菱形OABC ，OB 平分∠AOC ，∠AOC=60°，∴∠BOA=∠BOC=30°，∴直线OB 与x 轴的夹角为90°−∠BOA=60°，故直线OB 的斜率为√3，即直线OB 的函数表达式是y=√3x .16.已知二次函数y=a x 2+b x +c,当x =2时，该函数取最大值12.设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为x 1，若x 1＞4,则a 的取值范围是________.16.解：∵y=a x 2+b x +c 是二次函数，∴a ≠0，∵当x =2时，该函数取最大值12，∴该函数可写成y=a(x −2)2+12，∵横坐标x 1＞4＞2，∴当x =4时y ＞0，即a(4−2)2+12＞0，解得a ＞−3，故a 的取值范围是−3＜a ＜0.三、解答题(本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解一元二次方程x 2−4x −12=0. 17.解：∵x 2−4x −12=(x −6)(x +2) ∴(x −6)(x +2)=0 ∴x −6=0或x +2=0 故原方程的解为x 1=6，x 2=−2.18.如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 中点，连接BE ，EC ，证明：EB=EC.18.证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠D ，AB=DC ∵E 是AD 中点，∴AE=DE在△ABE 与△DCE 中，∵{AB =DC∠A =∠D AE =DE ，∴△ABE ≌△DCE(ASA)，∴EB=EC .19.已知关于x 的-元二次方程x 2−(m −1)x +m −2=0BA DC E(1)求证：该方程总有两个实数根.(2)若该方程两个实数根的差为3，求m的值.19.解：(1)证明：∵根的判别式=(m−1)2−4(m−2)=(m−3)2≥0，∴该方程总有两个实数根.(2)令方程的两个根为x1、 x2(x1＞x2)∵x1− x2=3，∴(x1−x2)2=9，即x12−2x1x2+ x22=9，配方得(x1+x2)2=9+4x1x2由韦达定理知x1+x2=m−1，x1x2=m−2，代入上式得(m−1)2=9+4(m−2)，化简m2−6m=0 解得m1=0，m2=6，故m的值为0或6。

第三届时代学习报数学文化节八年级第一轮活动书面问题解答（2007年12月9日8：30～10：00）（第1～7题每题7分；第8～17题每题8分，第18～20题每题7分）数学之史1、纪念欧拉 2007年是伟大的数学家欧拉（Euler ）诞辰300周年。

欧拉是历史上最多产的数学家，一生发表过800多篇（本）论文、著作，他28岁时解决了著名的哥尼斯堡七桥问题，其主要思路是将原问题转化为一笔画问题，图1中的两图， 能用一笔画出来（每条边不重复、不遗漏，本题仅有一个正确答案）。

2、引以为豪 现代有不少世界领先的数学研究成果是以华人数学家命名的。

如：有一位数学家的关于完整三角和研究成果被国际数学界称为“华氏定理”，这是以 的姓氏命名的；另一位数学家在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“苏氏锥面”，这是以 的姓氏命名的。

3、菲尔兹奖 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，每4年颁发一次，只奖励40岁以下的数学家。

华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖。

我们知道正整数中有无穷多个质数（素数），陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k ，存在无穷多组含有k 个等间隔质数（素数）的数组。

例如，k ＝3时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而 ， ， 是间隔为12的3个质数（由小到大排列，只写一组3个质数即可）。

数学之美4、对称完形 平行四边形被它的一条对角线平分成两个面积相等的三角形；反过来，对任意一个△ABC ，能否补全为一个平行四边形，使得它的面积是△ABC 面积的两倍？若能，请在图2中作出。

江 苏 教 育 出 版 社 时 代 数 学 报 江苏省教育学会中学数学教学专业委员会主办单位： A B C D D A B C （a ） （b ） 图1 AB C （1） C A B D （2）图25、鬼斧神工 我国古代建筑中有着无数千姿百态、雄伟壮观的宝塔，它们展示着灿烂的中国古代文明。

时代数学报第三届数学文化节第二轮活动“能力素质挑战”书面问题解答（八年级）（2008年1月6日 上午9：00～11：00）亲爱的读者，欢迎参加时代数学报第三届数学文化节！在第一轮“基础知识闯关”活动中，你已经感受到扑面而来的数学文化气息，以你良好的基础，完全有信心从容地接受第二轮活动的“能力素质挑战”！这里，重要的不是为了胜人一筹，而是由此更上一层楼。

进一步明白学好数学需要多方面的知识和素养，同时再一次展现你的灵性和潜能，品位数学文化的美丽芬芳和博大精深，简单些吧，写成一个公式：广泛阅读＋深入思考＋仔细品味＝享受数学再简单些吧，写成一个“数学公式”：G ＋S ＋Z ＝X 。

Let ’s go!（注：满分150分，除第9题10分，第11题10分，第13题11分外每题7分，选择题只有一个正确答案） 数学之史１、中华数学奇葩 在中华民族的历史文化宝库中，数学无疑是其中最绚丽的篇章之一，许多数学分支在世界上曾经处于领先地位，在世界数学史上具有重要的地位和价值，现采撷几朵美丽的奇葩，请按人物和与之对应的数学成就连线：2、数学家的墓碑 是德国著名的数学家，被人们誉为“数学王子”，他逝世于1855年2月23日，人们为了纪念他在数学上作出的巨大贡献，为他建造了一座以正十七棱柱为底座的纪念碑。

被人们称为“数学之神”的古希腊数学家 ，他的墓碑很特殊，墓碑上刻着一个球嵌在一个圆柱内，球的直径与圆柱的高相等，以纪念这位大数学家发现的一个定理：以球的直径为底面直径，以球的直径为高的圆柱，其体积是球体积的23倍，其全面积也是球面积的23倍。

商高 圆周率 祖冲之 数理精蕴 秦九韶 勾股定理 康熙 高次方程解法江 苏 教 育 出 版 社 时 代 数 学 报 江苏省教育学会中学数学教学专业委员会主办单位：3、乱中有序 如图，从左到右的前三个网格中，箭头方向是按一定规律变化的，按照这个规律，请在第四个网格中补填上箭头。

4、折折剪剪 一张正方形纸片，通过两次对折，然后按阴影部分进行裁剪并展开，可 以得到如图（1）末的“蝴蝶结”：请你仿图①，将下面的正方形纸片经过两次对折后裁剪并展开，得到如图②末的图形，请画出虚线和实线表示折叠过程，并用阴影表示剪去的部分。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题12 一次函数与菱形【例题讲解】如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（6，8），一次函数2y -3x b =+的图象与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD =BE ，点M 是线段DE 上的一个动点． （1）求b 的值；（2）设点N 是x 轴上方平面内的一点，以O 、M 、D 、N 为顶点的四边形为菱形时，请求出点N 的坐标．解：（1）∵四边形OABC 是矩形，∴AB x ⊥ 轴，BC y ⊥ 轴，∵一次函数2y -3x b =+的图象与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD =BE ，∴OD =BE =b ，∵点B 的坐标为（6，8），∴AB =8，点E 的横坐标为6， ∴AE =AB -BE =8-b ，∴点E （6，8-b ），将点E 代入2y -3x b=+，得：2863b b -=-⨯+ ，解得：6b = ； （2）如图（1），若以OD 为对角线，得到菱形OMDN ， 则MN 垂直平分OD ，M 和N 关于y 轴对称，∵OD =6， ∴点M 的纵坐标均是632= ， 将3y = 代入2y -63=+x ，得：32-63x =+ ，解得：92x = ，∴点M 9,32⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴点N 9,32⎛-⎫⎪⎝⎭；如图（2），若以DM 为对角线，得到菱形ODNM ，则OM =OD =6，线段DM 与线段ON 的中点重合， 设点M 的横坐标为a ，则纵坐标为2-63+a ，∴2222-63a OMa ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+ ，即2222-636a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭++ ，解得：7213a = 或0a =（舍去） ，∴点M 7230,1313⎛⎫⎪⎝⎭，设点N (),n n x y ，由（1）知：()D 0,6 ，∴7213223061322nnxy⎧⎪=⎪⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得：721310813nnxy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点N72108,1313⎛⎫⎪⎝⎭，综上所述，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，点N的坐标为9,32⎛-⎫⎪⎝⎭或72108,1313⎛⎫⎪⎝⎭．【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，5），直线l的解析式为y＝kx+2﹣4k（k＞0）．（1）当直线l经过原点O时，求一次函数的解析式；（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C；（3）在（1）的条件下，点M为直线l上的点，平面内是否存在x轴上方的点N，使以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．2．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数23y x b =-+的图象与边OC、AB分别交于点D、E，且OD=BE．点M是线段DE上的一个动点．（1）求b的值；（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；（3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．3．问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，()0,0O ，点()5,0A ，点()0,3B ．操作发现：以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．(1)如图，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；(2)继续探究：如图，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ，求证：ADB AOB ≌；(3)拓展探究：如图，点M 是x 轴上任意一点，点N 是平面内任意一点，是否存在点N 使以A 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，过点()3,0A的两条直线分别交y 轴于B 、C 两点，且B 、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程2230x x --=的两个根．（1）判断直线AC 与直线AB 的位置关系？并说明理由；（2）如图2，若点D 在直线AC 上，且△BCD 为等边三角形，动点E 在直线AC 上（不与点D 、C 重合），做EF ⊥直线BD ，垂足为点F ，设点EF 的长为d ，点E 的横坐标是x ，请求出d 与x 的函数关系式： （3）在（2）的条件下，直线BD 上是否存在点P ，平面内是否存在点Q ，使以A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，四边形OABC 为矩形，其中O 为原点，A 、C 两点分别在x 轴和y 轴上，B 点的坐标是（4，7）．点D ，E 分别在OC ，CB 边上，且CE ：EB ＝5：3．将矩形OABC 沿直线DE 折叠，使点C 落在AB 边上点F 处．（1）求F 点的坐标；（2）点P 在第二象限，若四边形PEFD 是矩形，求P 点的坐标；（3）若M 是坐标系内的点，点N 在y 轴上，若以点M ，N ，D ，F 为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点M 和点N 的坐标．6．如图，已知四边形OABC 是矩形，点A ，C 在坐标轴上，点B 坐标为（43-，4），将△OCB 绕点O 顺时针旋转90°后得到△ODE ，点D 在x 轴上，直线BD 交y 轴于点F ，交OE 于点H ．（1）求点D 的坐标为_______，点E 的坐标为______； （2）求S △BOH ：S △BOD 的值；（3）若点M 在坐标轴上，试探究在坐标平面内是否存在点N ，使以点D ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，且()4,2B ，E 为直线AC 上一动点，连OE ，过E 作GF OE ⊥，交直线BC 、直线OA 于点F 、G ，连OF ．(1)求直线AC 的解析式．(2)当E 为AC 中点时，求CF 的长．(3)在点E 的运动过程中，坐标平面内是否存在点P ，使得以P 、O 、G 、F 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点P 的横坐标，若不存在，请说明理由．8．已知：在平面直角坐标系中，直线1:2l y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 经过点A ，与y 轴交于点(0,4)C -．(1)求直线2l 的解析式；(2)如图1，点P 为直线1l 一个动点，若PAC △的面积等于10时，请求出点P 的坐标；(3)如图2，将ABC 沿着x 轴平移，平移过程中的ABC 记为111A B C △，请问在平面内是否存在点D ，使得以11A C C D 、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D 的坐标．9．如图1，在平面直角坐标系中，直线34y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且点A 的坐标为(8，0)，四边形ABCD 是正方形．(1)求b 的值和点D 的坐标；(2)点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外）．①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；②点P是x轴上一个动点，Q是坐标平面内一点，探索是否存在一个点P，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点Q的坐标．10．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数2y-3x b =+的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，点M是线段DE上的一个动点．（1）求b的值；（2）连结OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：2，求点M的坐标；（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标．答案与解析【例题讲解】如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（6，8），一次函数2y -3x b=+的图象与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD =BE ，点M 是线段DE 上的一个动点． （1）求b 的值；（2）设点N 是x 轴上方平面内的一点，以O 、M 、D 、N 为顶点的四边形为菱形时，请求出点N 的坐标．解：（1）∵四边形OABC 是矩形，∴AB x ⊥ 轴，BC y ⊥ 轴，∵一次函数2y -3x b =+的图象与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD =BE ，∴OD =BE =b ，∵点B 的坐标为（6，8），∴AB =8，点E 的横坐标为6， ∴AE =AB -BE =8-b ，∴点E （6，8-b ），将点E 代入2y -3x b=+，得：2863b b -=-⨯+ ，解得：6b = ； （2）如图（1），若以OD 为对角线，得到菱形OMDN ， 则MN 垂直平分OD ，M 和N 关于y 轴对称，∵OD =6，∴点M 的纵坐标均是632= ，将3y = 代入2y -63=+x ，得：32-63x =+ ，解得：92x = ，∴点M 9,32⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴点N 9,32⎛-⎫⎪⎝⎭；如图（2），若以DM 为对角线，得到菱形ODNM ，则OM =OD =6，线段DM 与线段ON 的中点重合，设点M 的横坐标为a ，则纵坐标为2-63+a ，∴2222-63a OMa ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+ ，即2222-636a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭++ ，解得：7213a = 或0a =（舍去） ，∴点M 7230,1313⎛⎫⎪⎝⎭，设点N (),n n x y ，由（1）知：()D 0,6 ，∴7213223061322nnxy⎧⎪=⎪⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得：721310813nnxy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点N72108,1313⎛⎫⎪⎝⎭，综上所述，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，点N的坐标为9,32⎛-⎫⎪⎝⎭或72108,1313⎛⎫⎪⎝⎭．【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，5），直线l的解析式为y＝kx+2﹣4k（k＞0）．（1）当直线l经过原点O时，求一次函数的解析式；（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C；（3）在（1）的条件下，点M为直线l上的点，平面内是否存在x轴上方的点N，使以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）12y x=；（2）详见解析；（3）存在，满足条件的点M为(25,5)或(25,5)--或552,⎛⎫⎪⎝⎭．【分析】（1）将原点坐标代入解析式可求出k的值，即可求解；（2）由题意可得点C（4，2），当x＝4时，y＝4k+2﹣4k＝2，则可得不论k为何值，直线l总经过点C；（3）分OA为边，OA为对角线两种情况讨论，由菱形的性质可求解．【解答】解：（1）∵直线l经过原点，∴把点（0，0）代入y＝kx+2﹣4k，得：2﹣4k＝0，解得：12k=，∴一次函数的解析式为：12y x =；（2）由题意可知，点C的坐标为（4，2），当x＝4时，y＝4k+2﹣4k＝2，∴不论k 为何值，直线l 总经过点C ； （3）设点M （x ，12x ）①以OA 为菱形的边，此时，OM ＝OA ＝5， ∴222152x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴x ＝±25， 点M 的坐标为(25,5)或(25,5)--； ②以OA 为菱形的一条对角线， 此时MN 垂直平分OA ， 则12x ＝52∴x ＝5则M 的坐标为552,⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述：满足条件的点M 为(25,5)或(25,5)--或552,⎛⎫⎪⎝⎭．【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．2．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（3，4），一次函数23y x b=-+的图象与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，且OD=BE ．点M 是线段DE 上的一个动点． （1）求b 的值；（2）连结OM ，若三角形ODM 的面积与四边形OAEM 的面积之比为1：3，求点M 的坐标； （3）设点N 是平面内的一点，以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．【答案】（1）3b =；（2）M(1,73)；（3）当四边形OMDN 是菱形时，N(－94, 32)或(3613,5413)【分析】（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D 的坐标，则OD 的长度即可求得，OD=b ，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；（2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；（3）分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论，四边形OMDN是菱形时，M 是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据ON和DM的中点重合，即可求得N 的坐标．【解答】(1)y=23-x+b中,令x=0,解得y=b,则D的坐标是(0,b)，OD=b，∵OD=BE，∴BE=b,则E的坐标是(3,4−b)，把E的坐标代入y=23-x+b得4−b=−2+b，解得：b=3；(2)11()(31)3622OAEDS OD AE OA=+⋅=⨯+⨯=四边形，∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，∴ 1.5ODMS=，设M的横坐标是a，则12×3a=1.5，解得：a=1，把x=a=1代入y=23-x+3得y=23-+3=73，则M的坐标是(1，73 )；(3)当四边形OMDN是菱形时,如图(1),M的纵坐标是32,把y=32代入y=23-x+3,得23-x+3=32,解得：x=94，则M的坐标是(94,32)，则N的坐标是(−94,32)；当四边形OMND是菱形时,如图(2)OM=OD=3，设M 的横坐标是m,则纵坐标是23-m+3，则222(3)93m m +-+=， 解得：m=3613或0(舍去). 则M 的坐标是(3613,1513 ). 则DM 的中点是(1813 ,2713). 则N 的坐标是(3613,5413). 故N 的坐标是(−94,32)或(3613,5413). 【点评】本题是一次函数与菱形的判定与性质的综合题考查了菱形的判定方法，正确运用菱形的性质求出M 的坐标是关键.3．问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，()0,0O ，点()5,0A ，点()0,3B ．操作发现：以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．(1)如图，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；(2)继续探究：如图，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ，求证：ADB AOB ≌；(3)拓展探究：如图，点M 是x 轴上任意一点，点N 是平面内任意一点，是否存在点N 使以A 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()1,3D(2)证明见解析(3)存在，点N 的坐标为()4,3-或()6,3或()1,3-或33(,3)8【分析】（1）先根据矩形的性质得到3AC OB ==，5OA BC ==，90OBC C ∠=∠=︒，再根据旋转的性质得到5AD AO ==，根据勾股定理求出CD 的长，从而可得BD 的长，由此即可得；（2）先根据旋转的性质得到AD AO =，90AOB ADE ∠=∠=︒，从而可得90ADB ∠=︒，再利用HL 定理即可得证；（3）分三种情况讨论：①当四边形ADNM 为菱形时；②当四边形ADMN 为菱形时；③当四边形ANDM 为菱形时，利用菱形的性质求解即可得．（1）解：∵()5,0A ，()0,3B ，∴5OA =，3OB =，∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5OA BC ==，90OBC C ∠=∠=︒，∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到，∴5AD AO ==，在Rt ADC 中，224CD AD AC =-=，∴1BD BC CD =-=，∴()1,3D ． （2）证明：四边形ADEF 是矩形，90ADE ∴∠=︒，点D 在线段BE 上，90ADB ∴∠=︒，由旋转的性质得：AD AO =，在Rt ADB 和Rt AOB △中，AB AB AD AO =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ADB AOB ≅． （3）解：存在，求解过程如下：设点M 的坐标为(,0)M m ，点N 的坐标为(,)N a b ，由题意，分以下三种情况：①如图，当四边形ADNM 为菱形时，则5AM AD ==，55m ∴-=，解得0m =或10m =，当0m =时，点M 的坐标为(0,0)M ，菱形ADNM 的对角线互相平分，5012200322a b ++⎧=⎪⎪∴⎨++⎪=⎪⎩，解得43a b =-⎧⎨=⎩，即此时点N 的坐标为(4,3)N -；当10m =时，点M 的坐标为(10,0)M ，菱形ADNM 的对角线互相平分，51012200322a b ++⎧=⎪⎪∴⎨++⎪=⎪⎩，解得63a b =⎧⎨=⎩，即此时点N 的坐标为(6,3)N ；②如图，当四边形ADMN 为菱形时，菱形ADMN 的对角线互相垂直且平分，∴点N 与点D 关于x 轴对称，(1,3)D ，(1,3)N ∴-；③如图，当四边形ANDM 为菱形时，菱形ANDM 的对角线互相平分，00322b ++∴=，解得3b =，(,3)N a ∴，又四边形ANDM 为菱形，AN DN ∴=，22AN DN ∴=，即2222(5)(30)(1)(33)a a -+-=-+-，解得338a =，则此时点N 的坐标为33(,3)8N ，综上，存在点N 使以,,,A D M N 为顶点的四边形是菱形，点N 的坐标为()4,3-或()6,3或()1,3-或33(,3)8． 【点评】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定、旋转的性质、菱形的性质、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．4．如图1，在平面直角坐标系中，过点)3,0A 的两条直线分别交y 轴于B 、C 两点，且B 、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程2230x x --=的两个根．（1）判断直线AC 与直线AB 的位置关系？并说明理由；（2）如图2，若点D 在直线AC 上，且△BCD 为等边三角形，动点E 在直线AC 上（不与点D 、C 重合），做EF ⊥直线BD ，垂足为点F ，设点EF 的长为d ，点E 的横坐标是x ，请求出d 与x 的函数关系式：（3）在（2）的条件下，直线BD 上是否存在点P ，平面内是否存在点Q ，使以A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）AB ⊥AC ，，理由见解析；（2）23(23)23(23)x x d x x ⎧-⎪=⎨-<⎪⎩；（3）(0,1)或(33+，3)-或(33-，3)或(23，3)【分析】（1）结论：AB CA ⊥．先求出B 、C 两点坐标，得到AB 2，AC 2，BC 2，利用勾股定理的逆定理证明．（2）分两种情形解答①23x ，②23x <，分别Z 在Rt DEF ∆中，解直角三角形即可．（3）分两种情形讨论即可①当AB 为菱形对角线时，线段AB 的垂直平分线的解析式为313y x =+，直线313y x =+与y 轴的交点即为点Q ，此时1(0,1)Q ． ②当AB 为菱形的边时，23AB BP ==，可得2(3,33)P -，3(3,33)P -+，4(33P ，0)，根据菱形的性质求出点Q 坐标即可．【解答】解：（1）AB AC ⊥，理由如下：一元二次方程2230x x --=的两个根为1-，3，(0,1)C ∴-，(0,3)B ，(3A ，0)，∴()2223312AB =+=，()222314AC =+=，()223116BC =+=， ∴222AB AC BC +=，AB AC ∴⊥；（2）如图1中，作DM BC ⊥于M ．∵△BCD 是等边三角形，∴4DB DC BC ===，DM BC ⊥，2BM CM ∴==，1OM ∴=，224223DM =-=，∴(23D ，1)，∵1OC =，3OA =，∴2222AC OC OA OC =+==，∴2AC AD ==，∵(3A ，0)，(0,3)B ，(0,1)C -，∴直线AB 的解析式为33y x =-+，直线AC 的解析式为313y x =-， ①当点E 在点D 上方时，即23x ≥时，点E 的横坐标为x ，2323(3)233AE x x ∴=-=-，2343DE AE AD x =-=-， 60EDF BDC ∠=∠=︒，2333423232DE d EF x x ⎛⎫∴==⨯=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭． ②当点E 在点D 下方时，即23x <时，同理可得23d x =-．综上所述23(23)23(23)x x d x x ⎧-⎪=⎨-<⎪⎩． （3）如图2中，存在，理由如下：当AB 为菱形对角线时,设线段AB 的垂直平分线的解析式为3,3y x b =+ 把AB 的中点33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入：1,b = 所以线段AB 的垂直平分线的解析式为313y x =+， 直线313y x =+与y 轴的交点即为点Q ，此时1(0,1)Q ． 当AB 为菱形的边时，同理可得：BD 的解析式为：33,3y x =-+ 而23AB BP ==， 设23,3,3P x x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭()222333233x x ⎛⎫∴+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 3,x ∴=± 则33333x -+=+或33,- 所以2(3,33)P -，3(3,33)P -+，同理可得4(33P ，0)四边形22ABP Q 、四边形33ABPQ 、四边形44ABQ P是菱形， 所以由平移的性质可得：2(33Q ∴+，3)-，3(33Q -，3)，4(23Q ，3)综上所述，满足条件的点Q 坐标(0,1)或(33+，3)-或(33-，3)或(23，3)．【点评】本题考查四边形综合题、一次函数、两直线位置关系、菱形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3．将矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F 处．（1）求F点的坐标；（2）点P在第二象限，若四边形PEFD是矩形，求P点的坐标；（3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点M和点N的坐标．【答案】（1）（4，5）；（2）（−32，4）；（3）（4，56），（0，376）或（4，10），（0，7）或（4，0），（0，-3）．【分析】（1）先求出点E坐标是（52，7），由折叠的性质可得EF＝CE＝52，由勾股定理可求BF的长，即可求解；（2）连接PF交DE于J，过点D作DM⊥AB，先求出D（0，2），再根据矩形的对角线互相平分，即可求解；（3）分3种情况：①当DF为菱形的对角线时，②当DF为菱形的边时，M在AB的延长上，点N与点C 重合，③当DF为菱形的边时，N在CO的延长上，点M与点A重合，分别求解，即可．【解答】解：（1）∵B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3，∴点E坐标是（52，7），∵四边形OABC为矩形，∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝7，CE＝52，BE＝BC−CE＝32，∵将矩形沿直线DE折叠，点C落在AB边上点F处，∴EF＝CE＝52，∴BF＝222592 44EF EB-=-=，∴AF＝7−2＝5，∴点F （4，5）；（2）如图2中，连接PF 交DE 于J ，过点D 作DM ⊥AB ，当四边形PEFD 是矩形时，△PDE ≌△FDE ≌△CED ，设OD =x ，则CD =DF =7-x ，FM=7-2-x =5-x ，在Rt DFM △中，()()222457x x +-=-，解得：x =2，∴D （0，2），∵E （52，7），DJ ＝JE ， ∴J （54，92）， ∵PJ ＝JF ，∴P （−32，4）； （3）①当DF 为菱形的对角线时，M 、N 分别在AB 与OC 上， ND =NF ，设N （0，y ），∴(y -2)2=()()22405y -+-，解得：376y =， ∴N （0，376），FM =DN =376-2=256, ∴AM =5-256=56，∴M（4，56）；②当DF为菱形的边时，M在AB的延长上，点N与点C重合，ND=DF=5，∴MF=5，AM=5+5=10，∴M（4，10），N（0，7）；③当DF为菱形的边时，N在CO的延长上，点M与点A重合，ND=DF=5，∴ON=5-2=3，∴N（0，-3），M（4，0）．综上所述：M，N的坐标为：（4，56），（0，376）或（4，10），（0，7）或（4，0），（0，-3）．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，翻折变换，图形与坐标，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，掌握分类讨论思想方法，属于中考压轴题．6．如图，已知四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，点B坐标为（43，4），将△OCB绕点O顺时针旋转90°后得到△ODE，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．（1）求点D的坐标为_______，点E的坐标为______；（2）求S△BOH：S△BOD的值；（3）若点M在坐标轴上，试探究在坐标平面内是否存在点N，使以点D，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．∴OF =3，OD =4，∴DF =22345+=，M 在x 轴上时当DM 1为菱形的对角线时，M 1（-4，0），N 1（0，-3）．当DM =DF 时，M 2（-1，0）或M 3（9，0），可得N 2（-5，3），N 3（5，3），当DF 为对角线时，设OM 4=x ，则FM 4= DM 4=4-x∵22244OF OM FM +=∴()22234x x +=-解得78x = ∴M 4（78，0），可得N 4（258，3） 当M 在y 轴上时当DM 为菱形的对角线时，此时有FD =F M =5∴M 5（0，-2），N 5（4，-5）或M 6（0，8），N 6（4，5）当FM 为菱形的对角线时，此时有OF =OM∴M 7（0，-3），N 5（-4，0）当DF 为菱形的对角线时，如图所示，此时DF 与MN 交于P ，设FM =a ，MP =b∵1122FDM S DO FM DF MP ==△ ∴45a b =∴54a b =∵222FM FP MP =+∴22252a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴222525164b b =+ 解得103b =∴256=a ∴M 8（0，-256），N 8（4，256） 满足条件的点N 的坐标为（0，-3）或（-5，3）或（5，3）或（258，3）或（4，5）或（4，-5）或（4，256）或（-4，0）．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，矩形的折叠，两直线的交点坐标，勾股定理，菱形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，且()4,2B ，E 为直线AC 上一动点，连OE ，过E 作GF OE ⊥，交直线BC 、直线OA 于点F 、G ，连OF ．(1)求直线AC 的解析式．(2)当E 为AC 中点时，求CF 的长．(3)在点E 的运动过程中，坐标平面内是否存在点P ，使得以P 、O 、G 、F 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点P 的横坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)直线AC 解析式：122y x =-+≌，根据勾股定理求解即可；）证明CEF AEG根据菱形是性质和判定定理，=FG为边，OF FG1）∵矩形OABC的顶点)0,2C，4,0，点()(AAS∴≌CEF AEG∴=，CF AGEF EG=⊥，OE FG∴为线段FG的垂直平分线，OEOF OG ∴=，设CF x =，则AG x =，()4,0A ，4∴=OA ，4OG x ∴=-，4OF x ∴=-，在Rt OCF 中，根据勾股定理，得()2222x 4x +=-，解得32x =， 32CF ∴=； （3）存在以P 、O 、G 、F 为顶点的四边形为菱形，分情况讨论：①以OG ，OF 为边，则OF OG =，GF OE ⊥，E ∴为FG 的中点，由()2可知点3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭F ，点5,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 根据平移的性质，可得点P 的坐标为()4,2，∴点P 的横坐标为4；②如图1，以OG ，FG 为边，OG FG =，延长OF 至M ，使MF OF =，在OC 的延长线上截取2CN OC ==，连接MN ，12CF MN ∴=，CF MN ∥， 90MNO FCO ∴∠=∠=︒，OG FG =，∥BC OA∴∠=CFO∴∠=CFO∠=BCO∴=OE OC同理可得：∴⊥OF CE∴∠+COFACO∠+∠∴∠COF∠=MNO(ASA ∴≌AOC OMN∴==，MN OC2∴=，CF1==，设OG FG a△中，OE 在Rt EOG5-=-12P∴点横坐标为：③如图2，以作FH OG ⊥于H ，连接CH ，作HQ AC ⊥于Q ，可得OFG ACO OCH OFG ∠=∠∠=∠，，CH ∴平分ACO ∠，,2OH HQ CE OC ∴===，设OH a =，在Rt AHQ △中，HQ x =，AH 4x =-，252AQ AC CQ =-=-，222(4)(252)x x ∴--=-，51x ∴=-，()51,2F∴-， ()51,2P ∴--， 综上所述：P 点横坐标为：4或32-或51-． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定和性质，线段和最小，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理，线段最短原理是解题的关键．8．已知：在平面直角坐标系中，直线1:2l y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 经过点A ，与y 轴交于点(0,4)C -．(1)求直线2l 的解析式；(2)如图1，点P 为直线1l 一个动点，若PAC △的面积等于10时，请求出点P 的坐标；(3)如图2，将ABC 沿着x 轴平移，平移过程中的ABC 记为111A B C △，请问在平面内是否存在点D ，使得以11A C C D 、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D 的坐标． 直线直线1(2,0)A t-2 (4)∴-+解得5t=此时1CC9．如图1，在平面直角坐标系中，直线34y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且点A 的坐标为(8，0)，四边形ABCD 是正方形．(1)求b 的值和点D 的坐标；(2)点M 是线段AB 上的一个动点（点A 、B 除外）．①如图2，将△BMC 沿CM 折叠，点B 的对应点是点E ，连接ME 并延长交AD 边于点F ，问△AMF 的周长是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；②点P 是x 轴上一个动点，Q 是坐标平面内一点，探索是否存在一个点P ，使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点Q 的坐标． 【答案】(1)b 的值为6，点D 的坐标为(14，8)(2)①△AMF 的周长不变，△AMF 的周长为20；②存在，点Q 的坐标为(06)-，或(106)-，或(106)，或25(6)4， 【分析】（1）将点A (8，0)代入34y x b =-+，即可求出b 的值，从而即得出直线AB 的解析式为364y x =-+，进而即得出A (0，6)．过点D 作DH x ⊥轴于点H ，由正方形的性质结合题意利用“AAS”易证AOB DHA ≅，得出8DH OA ==，14OH OA AH =+=，即得出D (14，8)；（2）①由折叠和正方形的性质可知BM =EM ，CD =CE =4，90CDF CEF ∠=∠=︒，即易证CDF CEF ≅(HL)，得出DF EF =．再由△AMF 的周长AM ME EF AF AM BM DF AF AB AD =+++=+++=+，结合勾股定理即可求出答案；②分类讨论ⅰ当AP 为菱形的对角线时，ⅱ当AQ 为菱形的对角线时和ⅲ当AB 为菱形的对角线时，根据菱形的性质结合图形即可求出答案．（1）解：将点A (8，0)代入34y x b =-+，得3084b =-⨯+， 解得：6b =，∴直线AB 的解析式为364y x =-+， 当x =0，时6y =，∴A (0，6)，∴OB =6，OA =8．如图，过点D 作DH x ⊥轴于点H ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD ，90BAD ∠=︒，∴90BAO DAH ∠+∠=︒．∵90BAO ABO ∠+∠=︒，∴ABO DAH ∠=∠．又∵90AOB DHA ∠=∠=︒，∴AOB DHA ≅(AAS)，∴8DH OA ==，6AH OB ==，∴14OH OA AH =+=，∴D (14，8)；（2）解：①由折叠的性质可知BM =EM ，BC =CE =4，90CBM CEM ∠=∠=︒， ∴CD =CE =4，90CDF CEF ∠=∠=︒，又∵CF =CF ，∴CDF CEF ≅(HL)∴DF EF =．∵△AMF 的周长AM MF AF =++，MF ME EF =+，∴△AMF 的周长AM ME EF AF AM BM DF AF AB AD =+++=+++=+． ∵OB =6，OA =8，∴2210AB OA OB =+=，∴△AMF 的周长101020=+=，故△AMF 的周长不变，且为20；综上可知点Q 的坐标为(06)-，或(106)-，或(106)，或25(6)4，时，以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形． 【点评】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理以及菱形的判定和性质等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．。

往期“时代杯”初中数学文化节总决赛授课教师风采美女短视频，看了整晚都不腻广告在总决赛期间，我们更多的是为参加学生提供小班化的专题课程，小班化的课程更细致入微，同学们可以收获更多。

以下是部分专题课程老师简介。

陈德前老师：江苏省中学数学特级教师、泰州市名师工作室领衔人、兴化市教研室副主任，时代学习报资深作者，在数学教研方法成果丰富王宗信老师：江苏省江苏省中学数学特级教师、教授级高级教师，徐州市数学学科带头人，中考命题及研究专家于新华老师：江苏省中学数学特级教师，常州市武进区教研员，于新华名师工作室领衔人，在数学教育、解题研究和数学文化方面均有很深的造诣何炳均老师：江苏省中学数学特级教师、南京市教科所所长。

曾荣获第二届南京市优秀青年教师、南京市数学学科带头人耿恒考老师：江苏省中学数学特级教师、苏州市园区兼职教研员、苏州市教师教学研修导师，长期处在教学一线，科研、教学成就出类拔萃孙旭东老师：南京市高中数学教研员，曾为南师附中骨干教师，南京市青年优秀教师，在数学竞赛、中高考方面都颇有研究和独自见解沙国祥老师：江苏凤凰教育出版社编辑、《新高考》杂志主编，《数学阅读精粹》丛书主编，时代学习报数学文化节创办人，一直致力于优秀数学文化的传播李克强老师：江苏省初中数学名教师、南师附中树人学校教师，多年从事数学竞赛及中考数学研究工作刘茂全老师：江苏省初中数学名教师、南师附中江宁分校教师，刊发论文多篇，著作丰厚，在数学文化及教育教学方面颇有研究高纪平老师：江苏省初中数学名教师、南京外国语学校教师，中国数学奥林匹克高级教练，多年从事数学竞赛及中考研究工作李中阳老师：江苏省初中数学名教师、南师附中江宁分校教师，连续多年从事初三教学工作，对中考命题研究和学习指导成绩突出满涛老师：南京大学博士、中国数学奥林匹克高级教练。

多年从事数学文化传播及数学教学工作，在数学竞赛和中高考研究方面成绩突出目前，2017年第十二届“时代杯”初中数学文化节总决赛日程已经确定，正式报名将在4月25日开始。

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】专题21从不同的方向看（录入：王云峰）阅读与思考20世纪初，伟大的法国建筑家列·柯尔伯齐曾说：“我想，到目前为止，我们从没有生活在这样的几何时期，周围的一切都是几何学．”生活中蕴含着丰富的几何图形，圆的月亮，平的湖面，直的树干，造型奇特的建筑，不断移动、反转、放大缩小的电视画面……图形有的是立体的，有的是平面的，立体图形与平面图形之间的联系，从以下方面得以体现：1．立体图形的展开与折叠；2．从各个角度观察立体图形；3．用平面去截立体图形．观察归纳、操作实验、展开想象、推理论证是探索图形世界的基本方法．例题与求解【例1】如图是一个正方体表面展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等，那么x y＝＿＿＿＿．（四川省中考试题）解题思路：展开与折叠是两个步骤相反的过程，从折叠还原成正方体入手．【例2】如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个主视图左视图俯视图888102x y（四川省成都中考试题）解题思路：根据三视图和几何体的关系，分别确定该几何体的列数和每一列的层数． 【例3】由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图． （1）请你画出这个几何体的一种左视图；（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n ，求n 的值．（贵州省贵阳市课改实验区中考试题）解题思路：本例可以在“脑子”中想象完成，也可以用实物摆一摆．从操作实验入手，从俯视图可推断左视图只能有两列，由主视图分析出俯视图每一列小正方形的块数情况是解本例的关键，而有序思考、分类讨论，则可避免重复与遗漏．【例4】如图是由若干个正方体形状木块堆成的，平放于桌面上．其中，上面正方体的下底面四个顶点恰是下面相邻正方体的上底面各边的中点，如果最下面的正方体的棱长为1，且这些正方体露在外面的面积和超过8，那么正方体的个数至少是多少？按此规律堆下去，这些正方体露在外面的面积和的最大值是多少？（江苏省常州市中考试题）解题思路：所有正方体侧面面积和再加上所有正方体上面露出的面积和，就是所求的面积．从简单入手，归纳规律．俯视图主视图【例5】把一个正方体分割成49个小正方体（小正方体大小可以不等），请画图表示．（江城国际数学竞赛试题）解题思路：本例是一道图形分割问题，解答本例需要较强的空间想象能力和推理论证能力，需要把图形性质与计算恰当结合．【例6】建立模型18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．（1）根据上面的多面体模型，完成表格中的空格：你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是＿＿＿＿．（2）—个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是＿＿＿．（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x y的值．解题思路：对于（1），通过观察、归纳发现V，F，E之间的关系，并迁移应用于解决（2），（3）．模型应用如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数．（浙江省宁波市中考试题改编）能力训练A 级1．如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是＿＿＿．（山东省菏泽市中考试题）第3题图2．由几个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是＿＿＿＿．（湖北省武汉市中考试题）3．—个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为＿＿＿＿．（山东省烟台市中考试题）4．如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有＿＿（山东省青岛市中考试题）5．一个画家有14个边长为1m 的正方体，他在地面上把它们摆成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂颜色的总面积为（ ）A ．19m 2B ．41m 2C ．33m 2D ．34m 2654321第1题主视图左视图俯视图第2题图①图②图③左视图左视图（山东省烟台市中考试题）6．一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）A．3B ．4C ．5D ．6（河北省中考试题）7．从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是（ ）A ．20B ．22C ．24D ．26（河北省中考试题）8．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ）（2012年温州市中考试题）9．5个棱长为1的正方体组成如图的几何体．（1）该几何体的体积是＿＿＿＿（立方单位），表面积是＿＿＿＿（平方单位）； （2）画出该几何体的主视图和左视图．主视图俯视图 A B C D甲主视方向 乙（广州市中考试题）10．用同样大小的正方体木块搭建的几何体，从正面看到的平面图形如图①所示，从上面看到的平面图形如图②所示．（1）如果搭建的几何体由9个小正方体木块构成，试画出从左面看这个几何体所得到的所有可能的平面图形．（2）这样的几何体最多可由几块小正方体构成？并在所用木块最多的情况下，画出从左面看到的所有可能的平面图形．（“创新杯”邀请赛试题）B 级1．如图，是一个正方体表面展开图，请在图中空格内填上适当的数，使这个正方体相对两个面上标注的数值相等．（《时代学习报》数学文化节试题）2．如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n ，则n 的所有可能的取值之和为＿＿＿＿．正面图① 图②aa -2-1a-（江苏省江阴市中考试题）3．如图是一个立方体的主视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米，则立体图形的体积为＿＿＿＿立方厘米．（“华罗庚金杯赛”试题）4．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5（江苏省常州市中考试题）5．由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆，那么大立方体被涂过油漆的面数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（“创新杯”邀请赛试题）6．小明把棱长为4的正方体分割成了29个棱长为整数的小正方体，则其中棱长为1的小正方体的个数是（ ）主视图 俯视图主视图左视图左视图A ．22B ．23C ．24D ．25（浙江省竞赛试题）7．墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走多少个小正方体？（江苏省竞赛试题）8．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a ，b ，c （a ＞b ＞c ）厘米．如图，将它展开成平面图，那么这个平面图的周长最小是多少厘米？最大是多少厘米？（江苏省竞赛试题）9．王老师将底面半径为20厘米、高为35厘米的圆柱形容器中的果汁全部倒入如图所示的杯子中，若杯口直径为20厘米，杯底直径为10厘米，杯高为12厘米，杯身长13厘米，问果汁可以倒满多少杯？（世界数学团体锦标赛试题）10．一个边长为5厘米的正方体，它是由125个边长为1厘米的小正方体组成的．.P 为上底面ABCD 的中心，如果挖去（如图）的阴影部分为四棱锥，剩下的部分还包括多少个完整的棱长是1厘米的小正方体？10121320①② ⑦ ⑥ ④⑤③ a bc 右面 （水平线）正面（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛试题）。

主办单位：江苏教育出版社时代学习报江苏省教育学会中学数学教学专业委员会时代学习报第六届数学文化节第二轮活动“能力素质挑战”书面问题(八年级)(2010年12月l7日下午3：00～5：00)数学之史1．埃及乘法 古埃及入用加倍与减半的方法做乘法：两数相乘时，把其中一数加倍而另一数减半．减半(即除以2)时如有余数，则余数忽略不计．如计算25×37，则算式如表l ．将表l 中第l 列中的奇数划圈，第二列中与划圈数对应的数相加即得结果：25×37=37+296+592=925．请按这种方法写出36 ×33的算式及结果：(课余时间不妨想想这种算法的道理所在．)2．父子数学家 我国南北朝数学家祖冲之计算出圆周率π的值在3．141 592 6与3．141 592 7之间．他儿子祖暅也是一位数学家，发现了著名的祖暅原理．其大意是夹在两平行平面间的几何体，被平行于这两个面的任一平面相截，如果两个截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等．在图1中根据祖暅原理，利用圆柱、圆锥的体积公式求出半球的体积是 ．数学之美3．旋转对称 一个图形绕某点旋转180°后得到的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形。

一般地，如果图形绕某点旋转角)0(︒≠αα后得到的图形与原图形重合，则称这个图形为旋转对称图形。

请填出和图2中旋转对称图形相对应α的最小值。

4．涂色对称 图3是相同的小正方形拼成的正方形已涂色，请你在图中再涂两小正方形，并满足：（1）4个涂色的小正方形中，每个小正方形至少与其余3个小正方形中的1个有公共点；（2）连同空白小正方形一起构成轴对称图形，即阴影部分呈轴对称，且共用一条对称轴。

则共有 种涂法，在下列正方形网格中画出你的涂法．(8个图不一定全用到)数学之思5．等宽曲线 圆在任何方向上的宽度都相等(如图4①)．保持各个方向等宽的曲线，称为等宽曲线．等宽曲线在生活中有很多应用．英国的50便士硬币的外边缘就是等宽曲线（如图4②），它有七条“边”。

时代学习报暑假去题练习八年级答案2022语文：一、现代文阅读（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

中华文明源远流长，从诗书礼乐到钟鼎彝器，博大精深的古典文化，素来为国人所津津乐道。

然而一到谈及传统建筑，多数人不是一脸茫然，便是心怀遗憾。

保存下来的古建筑本就不多，往往还被岁月剥去了光彩，有几分“土里土气”，相形之下，欧洲古建筑遍地开花，如风光片里古堡的坚固伟岸、教堂的华丽炫酷，让人如何与之一较高下？此言差矣。

以中西古建筑最显著的对比，即材料上的土木和砖石为例。

乍看之下，木质建筑简朴，易朽，扁平，似乎很难与巍峨高耸的石头教堂一争高下。

有人把这归咎于古人的技术不行，或材料短缺。

但事实上，中华大地并不缺石材，古代冶金技术的世界领先，石料开采加工的器具也更先进。

同时，老祖宗们并非完全不用石料修筑，譬如陵墓，在他们看来，才是该用石头堆砌的。

而从秦汉陵墓的空间布局、工程结构之精妙来看，早在那个时代，我们的砖石建筑就已经达到了相当高的水准。

因此，对于砖石建筑，古人“非不能也，乃不为也”。

就像中国传统绘画对散点透视的情有独钟一个样，形式和质料上的偏好，其实是一种文化选择。

追根溯源，审美偏好的出发点，还取决于人与环境的相处方式。

欧洲建筑多以石砌，呈竖向耸立之势，以求“飞升天国”的不朽。

而中国建筑的外部形态，基本是横平舒展，寄寓着华夏先民对土地的依恋。

在中国古人心中，石头冰冷坚硬，缺乏生气，太过疏离自然，至于寻常起居，则一定要置身于“生生之气”的土木之中，以求“天人合一”的居住理想。

中西建筑在文化体系中的“地位”也不尽相同。

在西方，建筑是主要的文化载体，法国作家雨果就曾说过，“建筑是石头的史书”，一切艺术门类都须为建筑服务，绘画之，雕刻之，咏叹之，摹写之，以图将其打造为“高大上”的永恒纪念碑。

而古老的东方中国就不这么看了：文字才是千古之承载，不朽之盛事。

相比于文字上的“理想主义”，中国人在对待建筑上体现出了充分的“实用主义”态度。

时代数学报数学文化节竞赛初中时代数学报数学文化节是一项多年来备受关注的数学竞赛活动，旨在提高学生对数学知识的兴趣，鼓励学生参与数学学习和研究。

竞赛内容涵盖了初中数学知识的各个方面，包括代数、几何、概率统计等领域。

通过参与竞赛，学生可以不仅在数学能力上得到锻炼，还可以培养分析问题、推理和解决问题的能力，是一个全面提高学生数学素养的过程。

在初中阶段，学生正处于数学知识的积累和扩展阶段，数学文化节竞赛为他们提供了展示自己学习成果的舞台，也为他们提供了一个与同龄人交流、切磋的机会。

参加竞赛还可以增强学生对数学知识的理解和掌握，推动学生对数学的深入思考和探索。

时代数学报数学文化节竞赛对于初中生来说，不仅是一次比赛，更是一次提升自我的过程。

下面我们将从几个方面来讨论时代数学报数学文化节竞赛对初中生的重要性。

参加数学文化节竞赛可以激发学生对数学的兴趣和热爱。

数学文化节竞赛以其独特的题型和丰富的知识面吸引了众多学生的参与。

参加竞赛过程中，学生们会接触到大量的数学问题，通过思考、探讨、解答的过程，激发了对数学的兴趣和热爱。

竞赛中的问题不仅仅考察了学生的计算能力，更重要的是考察了学生的逻辑思维能力和创造力。

通过解决这些问题，学生们会对数学知识有更深入的认识，这对于提高数学学习兴趣至关重要。

参加数学文化节竞赛可以提高学生的数学素养和解决问题的能力。

数学文化节竞赛的题目设计旨在培养学生的创新与思考能力，通过解决这些题目，学生可以提高自己的分析问题和解决问题的能力。

在竞赛中，学生需要灵活运用所学的数学知识，有条不紊地解决问题，这对提高学生的数学素养和解决问题的能力有着重要的促进作用。

再次，参加数学文化节竞赛可以促进学生之间的交流与合作。

竞赛过程中，学生将与来自不同学校的同龄人相遇，彼此之间交流的过程中，会激发彼此对数学的思考和探讨，有助于扩展学生的数学视野，也有助于提高学生的团队协作能力。

竞赛不仅是一项检验学生个人能力的过程，更是一个培养团队精神和合作意识的过程。

第六届时代学习报数学文化节八年级第一轮活动书面解答题八年级第一轮活动书面解答题(2010(2010年12月13日1515：：0000～～1616：：30)(时间：时间：9090分钟．总分：分钟．总分：l50l50分，第1313，，1414，，18题每题10分，其余各题，每题8分)数学之史1．贾宪三角 完全平方式2222)(b ab a b a ++=+中，右式各项系数依次为l ，2，1．那么，.)(,,)(,)(43n b a b a b a +++L 展开后的各项系数有什么规律呢后的各项系数有什么规律呢?1 1?1 1世纪中叶，我国数学家贾宪给出了直到6)(b a +的系数表的系数表((如图1)1)．贾宪三角中有很多规律．请写出．贾宪三角中有很多规律．请写出两条：两条：(1) (1) ；； (2) (2) ．．2．无字证明 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，平方，这就是著名的勾股定理．这就是著名的勾股定理．勾股定理的证明方法很多，勾股定理的证明方法很多，图图2是古印度的一种证明方法：过正方形ADEC 的中心0，作两条互相垂直的直线，直的直线，将它分成将它分成4份．份．如果这两条直线作得恰当，所分成的四如果这两条直线作得恰当，所分成的四部分和小正方形恰好能拼成大正方形．这种方法，部分和小正方形恰好能拼成大正方形．这种方法，不用运算，单靠不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，堪称“无字的证明”移动几块图形就直观地证出了勾股定理，堪称“无字的证明”!!若BC =6=6，，AC =8=8，则，则EF = = ．．数学之美数学之美3．拼拼凑凑 规律排列的图形，往往给人以美感．如图规律排列的图形，往往给人以美感．如图3的桌布，可以看作相同的平面花瓶布，可以看作相同的平面花瓶((如图中粗线所示如图中粗线所示))铺砌而成．如果圆的直径为10厘米，那么一个花瓶的面积是厘米，那么一个花瓶的面积是 平方厘米．平方厘米． 4．月牙奥秘 如图如图4，三个半圆形成两个月牙形，古希腊几何学家希波克拉蒂发现了计算其面积的简便方法．相信你也能发现其中的奥秘．如果AC=6AC=6，，BC=8BC=8，，那么图中阴影部分的面积是那么图中阴影部分的面积是 ．． 5．数字宝塔 在此数字宝塔中，从上往下数，在此数字宝塔中，从上往下数，20102010在第在第 层等式的层等式的 边边(填“左”或“右”)．填“左”或“右”)．主办单位： 江苏教育出版社时代学习报江苏省教育学会中学数学教学专业委员会数学之思6．位置确定 平面是二维的，因此，确定平面上一个点的位置，需要两个数据．如图平面是二维的，因此，确定平面上一个点的位置，需要两个数据．如图5，小明依次用，小明依次用(0(0，，0)0)，，(3(3，，0)0)，，(1(1，，2)2)表示表示0，A ，曰三点的位置．根据他的想法，点c 可表示为表示为 ．．7．等宽三角形 圆在任何方向上的宽度都相同圆在任何方向上的宽度都相同((如图6①)．我们把保持多个方向等宽的 曲线称为等宽曲线．等宽曲线还有很多，图曲线称为等宽曲线．等宽曲线还有很多，图6②的莱洛三角形就是其中的一个，它由三条相同的圆弧围成．如：弧BC 的圆心为A ，∠BAC =60=60°．若°．若AB =1厘米，则莱洛三角形的周长是周长是 ，面积是，面积是 ．． 8．变中不变 将将2 011个边长都为1厘米的正方形按图7摆放，点201121,,,A A A L 分别为正方形的中心，则2 01 1个这样的正方形重叠后，阴影部分的面积为个这样的正方形重叠后，阴影部分的面积为 平方平方厘米厘米((同一正方形中的两个阴影部分互相不重叠同一正方形中的两个阴影部分互相不重叠))．9．转移直角 如图如图8，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 垂直相交于0，MN 是梯形ABCD 的中位线，若MN c 24=，则∠DBC = = 度．度．10．乱中取胜 图图9是边长为l 厘米的正方形拼成的边长为2厘米的正方形，共有9个交点．则满足个交点．则满足(1)(1)以其中以其中3个交点为顶点；个交点为顶点；(2)(2)面积是面积是1平方厘米的直角三角形有平方厘米的直角三角形有 个．个．11．边的集结 如图如图1010，等腰，等腰Rt Rt△△ABC 中，∠ACB =90=90°，在斜边°，在斜边AB 上取两点M ，N ，使∠MCN =45=45°，设°，设MN =x ，BN =n ，AM =m ，则x ，m ，n 为边的三角形的形状为为边的三角形的形状为( )( )．． (A)(A)锐角三角形锐角三角形 (B (B )直角三角形直角三角形(C)(C)钝角三角形钝角三角形 (D) (D)随随x ，m ，n 的值而定的值而定数学之用12．长宽之比 打印用纸有很多规格，打印用纸有很多规格，下面是A 系列几种打印纸的规格．A4纸：21x2921x29．．7 (表示长2929．．7厘米，宽21厘米，下同厘米，下同))，A5纸：纸：1414．．8x218x21，，A6纸：纸：1010．．5x145x14．．8．这表明，A4纸对折得到A5纸，纸，A5A5纸对折得到A6纸，而且它们形状相同．根据这些规律，不难发现，它们的长与宽的比近似于一个无理数，这个无理数是它们的长与宽的比近似于一个无理数，这个无理数是 ．． 13．蔡勒公式 2010年8月19日第26届国际数学家大会在印度的海德拉巴市举行，并首次颁出陈省身奖．该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖．并首次颁出陈省身奖．该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖． 2010年8月19日是星期几日是星期几??可用蔡勒可用蔡勒((德国数学家德国数学家))公式：公式：1]10)1(26[]4[2]4[-+++++-=d m y y c c W 计算．计算．其中：其中：W ——所求的日期的星期数——所求的日期的星期数((如大于7，就需减去7的整数倍的整数倍))，C ——所求年份的前两位，y ——所求年份的后两位，m ——月份数——月份数((若是l 月或2月，应视为上一年的13月或l4月，即3≤m ≤14)，≤14)，d d ——日期数，——日期数，[a][a]——表示取数——表示取数a 的整数部分．的整数部分． (1) (1)利用蔡勒公式得出利用蔡勒公式得出2010年8月19日是星期日是星期 ；； (2) (2)利用蔡勒公式推得利用蔡勒公式推得2011年8月有月有 个星期二．个星期二． 14．阶梯电价 根据2010年10月国家发改委《关于居民生活用电实行阶梯电价的指导意见意见((征求意见稿征求意见稿))》，阶梯电价被分成三档：基本生活用电、正常生活用电、较高生活质量用电．为此设计了两个电量用电．为此设计了两个电量((x 度)划分及调价方案划分及调价方案((原电价为0.53元/度)．方案一方案一x ≤110时，价格保持不变；110<x <210时，超出ll0度的部分每度涨价5分；x >210 时，超出210度的部分每度涨价0.2元．元．方案二方案二x ≤140时，每度涨价l 分；l40< x <270时，超出l40度的部分每度涨价5分；x >270时，超出270度的部分每度涨价0.2元．元．(1) (1)当用电量当用电量x >210度时，用x 表示出以方案一的计价方式结算出的电费y= (y= (元元)； (2) (2)某用户某月用电量是某用户某月用电量是230度，实行阶梯电价后，度，实行阶梯电价后，①若以方案一的计价方式，该用户相对于原计价方式要多交①若以方案一的计价方式，该用户相对于原计价方式要多交元电费；元电费； ②若以方案二的计价方式，该用户相对于原计价方式要多交②若以方案二的计价方式，该用户相对于原计价方式要多交元电费．元电费． 15．打开数学之门 《九章算术》是古代东方数学《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》第10题的大意是：如图ll ll，假设推开双门，假设推开双门(AD (AD 和BC)BC)，门边缘点，门边缘点D ，C 距门槛AB 为1尺，且双门间隙CD 为2寸，则门宽AB 是 ．．(1尺=10寸，寸，l l 丈=10尺)16．线路最短 如图如图1212，，A ，B ，C 是3个村镇，之间有公路相连．个村镇，之间有公路相连．P P ，Q 是两个加工厂，也有公路相连现欲在公路AB AB，，AC 上分别建一个公交站R ，S ，并使封闭环线四边形PRSQ 周长最短，请画出R ，S 的位置．的位置．((保留作图痕迹，不必说明理由保留作图痕迹，不必说明理由) )17．城市之间某地图出版社在绘制地图前，对某省．城市之间某地图出版社在绘制地图前，对某省A，B，C，D四个城市之间的直线里千千城之间的直线里程为 得到里程表表l．根据表l，可推算出B城与D城之间的直线里程为视作在同一平面内) )视作在同一平面内时代学习报第六届数学文化节八年级第一轮活动书面解答题参考答案和评分标准1．答案不唯一，表达正确即可，如图1中三角形左右两条边上的数都为l ，自第二层起，各层上一个数都等于其肩上两数之和；三角形每一行的数字都是左右对称的……2．7． 3 3．．100100．．4．2424．．5．到第n 层，共有3+5+…+(2n+1)=n(n+2)个数，当n=44时，n(n+2)=44×46=2 024． n=43时，时，n(n+2)=n(n+2)=43×45=1 935．43×45=1 935． 所以2010在第44层，层，2010>1935+442010>1935+44．． 所以在44层等式的右边．层等式的右边． 6．(3(3，，2)2)．．7．周长是p 厘米，厘米，面积是面积是)23(-p 平方厘米．米．8．502.5502.5．．每个小正方形中阴影部分面积都等于1个小正方形面积的41。

小学数学教师评职称个人工作总结本学期，我在学期中休完产假回校接任四（2）班的数学教学工作。

针对自己对该班不熟悉的情况，我及时与班主任交换学生的信息，了解每位学生的学习情况，面向全体学生，教书育人，为人师表，确立“以学生为主体”，“以培养学生主动发展”为中心的教学思想，重视学生的个性发展，工作责任心强，服从领导的分工积极做好本职工作，认真备课、上课、听课、评课，及时批改作业、讲评作业，做好课后辅导工作，广泛获取各种知识，形成比较完整的知识结构，严格要求学生，尊重学生，发扬教学民主，使学生学有所得，不断提高，从而不断提高自己的教学水平，并顺利完成教育教学任务。

下面是本人的教学过程中所得的一些体会：1、要提高教学质量，关键是上好课。

为了上好课，我做了下面的工作：在教学工作方面，优化教学方法，按常规做好课前、课中、课后的各项工作，认真钻研教材，课堂教学真正体现“教师为主导，学生为主体”的教学思想，并结合学校德育科的对小学生心理健康教育，发展学生心理;创设情境，诱发学生的认知需求和创新欲望，使学生从情感、思维和行为上主动参与学习;在培养学生形象和抽象、分析和综合思维能力的同时，有意识地培养学生求新、求异、聚合、发散等创新学习活动所要求的思维方式和方法。

以学生创新学习为主线组织课堂教学活动，鼓励学生主动参与、主动探索、主动思考、主动操作、主动评价，运用启发学习、尝试学习、发现学习、合作学习等方法，在教学中求创新，在活动中促发展，课堂教学重视学生的训练，精心设计练习作业，练习作业有层次有坡度，对学生的作业严格要求，培养良好的作业习惯。

在进行计算能力训练时，我要求学生先要认真审题，边审题边思考：“题抄对了没有?先算什么?再算什么?能否简算?”计算过程中要求学生做到一步一回头，进行自觉检验。

如果发现个别学生做错了题，及时要求学生纠正，自觉分析造成错误的原因，防止再错，养成认真计算的习惯。

平时要求学生对题目中的数字、小数点、运算符号必须写得清楚工整、规范，作业做完后，要养成自觉检验的习惯，端正认真学习、刻苦钻研的学习态度，培养独立思考和克服困难的精神。