数量关系容斥原理

数量关系之容斥原理
容斥原理关键就两个公式：
1. 两个集合的容斥关系公式：A+B=A∪B+A∩B
2. 三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
【例1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )
A.22
B.18
C.28
D.26
【解析】设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50; A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。

答案为A。

【例2】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：
A.22人
B.28人
C.30人
D.36人
【解析】设A=喜欢看球赛的人(58)，B=喜欢看戏剧的人(38)，C=喜欢看电影的人(52) A∩B=既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18)
B∩C=既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16)
A∩B∩C=三种都喜欢看的人(12)
A∪B∪C=看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)
根据公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
C∩A=A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C)=148-(100+18+16-12)=26
所以，只喜欢看电影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C=52-16-26+12=22。

在政法干警考试行测题目中，对数量关系中容斥问题的考查内容也经常出现。

这类问题需要考生掌握容斥原理，否则在解答过程中就会遇到困难，甚至花费较长的时间，也很难得出正确的答案。

出现这样的情况，是政法干警行测笔试过程中的大忌。

因为答题的时间有限，保证题目的正确率也至关重要。

所以，考生一定要对容斥原理有一个非常清晰的认识。

容斥原理又称排容原理，主要的工作就是计算时，排斥掉重复计算的部分，保证最后的数据结果无遗漏和重复。

【实例分析】例1. 某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人。

问既会游泳又会体操的有多少人?解析：因至少会游泳或体操的人数为50-15=35(人)，所以根据两个集合的容斥原理，可以得到既会游泳又会体操的人数=27+18-35=10(人)。

例2. 某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课程。

有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人。

问三门课程均未选的有多少人?解析：根据题干叙述选修甲课程的对应为集合A=40，选修乙课程的对应为集合B=36，选修丙课程的对应集合C=30。

兼选甲、乙的对应为A∩B=28，兼选甲、丙的对应为A∩C=26,兼选乙、丙的对应为B∩C=24。

甲、乙、丙均选的对应为A∩B∩C=20。

三门课程均未选的对应为50-A∪B∪C。

根据A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C=40+36+30-28-26-24+20=48三门均未选的有50-A∪B∪C=50-48=2。

故三门课程均未选的有2人。

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3招秒杀容斥原理-2022公务员联考行测解题技巧在数量关系题型中，常考的有两种题型，分别是二集合容斥原理和三集合容斥原理。

解决容斥原理常用的方法有公式法和画图法，其中公式法解决容斥原理是特别快速的解题方法，只要学会公式，理解并能够娴熟应用公式，那么容斥原理是考场中比较简单拿分的一种题型。

两集合容斥原理公式为：满意条件1的个数＋满意条件2的个数－两者都满意的个数＝总个数－两者都不满意的个数；三集合容斥原理分成标准型和非标准型两种。

三集合标准型容斥原理公式为：满意条件1的个数+满意条件2的个数+满意条件3的个数-满意两个条件的个数+三者都满意的个数=总个数-三者都不满意的个数。

三集合非标准型容斥原理公式为：满意条件1的个数+满意条件2的个数+满意条件3的个数-“只”满意两个条件的个数-2×三者都满意的个数=总个数-三者都不满意的个数。

【例1】学校有300个同学选择参与地理爱好小组，生物爱好小组或者两个小组同时参与。

假如80%同学参与地理爱好小组，50%同学参与生物爱好小组。

问同时参与地理和生物爱好小组的同学人数是多少？A.240B.150C.90D.60答案：C【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类，用公式法解题。

其次步，共两个爱好小组，其中80%的同学参与地理爱好小组、50%的同学参与生物爱好小组，依据两集合容斥原理公式：满意条件1的个数＋满意条件2的个数－两者都满意的个数＝总个数－两者都不满意的个数，设同时参与两个爱好小组的同学占比为x，则有80%＋50%－x＝100%－0，解得x＝30%，那么同时参与两个爱好小组的共有300×30%＝90（人）。

因此，选择C选项。

【例2】学某单位共有240名员工，其中订阅A期刊的有125人，订阅B期刊的有126人，订阅C期刊的有135人，订阅A、B期刊的有57人，订阅A、C期刊的有73人，订阅3种期刊的有31人，此外，还有17人没有订阅这三种期刊中的任何一种。

行测数量关系容斥问题引言：在行测考试中，数量关系容斥问题是一个常见的考点。

掌握了该问题的解题方法，能够帮助考生更好地应对这一类题型。

本文将从概念、解题思路以及实例分析等方面进行详细讲解，以帮助考生更好地理解和掌握数量关系容斥问题。

一、概念解释：数量关系容斥问题是指在求解满足多个条件的情况数量时，通过排除重复计数的方法来得到准确结果。

其基本思想是通过理清各个条件的关系，累加满足每个条件的情况数量，然后再减去同时满足不止一个条件的情况数量，以得到最终结果。

二、解题思路：1.理解问题要求：首先，要明确问题所要求的情况数量。

通常情况下，此类问题要求计算满足多个条件的情况数量。

2.列出条件：将题目中给出的条件进行列举，每个条件单独列成一行。

3.计算满足每个条件的情况数量：对于每个条件，可以单独计算满足该条件的情况数量。

这可以通过排列组合、分类讨论等方法来计算。

4.累加满足每个条件的情况数量：将每个条件满足的情况数量累加起来，得到初步的结果。

5.减去同时满足不止一个条件的情况数量：根据容斥原理，需要减去同时满足不止一个条件的情况数量，以避免重复计数。

通过分类讨论或使用其他方法计算同时满足不止一个条件的情况数量。

6.得到最终结果：将初步结果减去同时满足不止一个条件的情况数量，即可得到最终的结果。

三、实例分析：下面通过一个实例来进一步说明解题思路。

例题：某校有甲、乙、丙三位老师，每位老师选择在星期一至星期五中任意一天进行家访。

如果每位老师至少选择一天进行家访，那么共有多少种家访方式？条件：1.甲、乙、丙三位老师任选一天进行家访；2.甲、乙、丙三位老师至少选择一天进行家访。

解题思路：1.理解问题要求：题目要求计算满足两个条件的家访方式数量。

2.列出条件：条件1：甲、乙、丙三位老师任选一天进行家访；条件2：甲、乙、丙三位老师至少选择一天进行家访。

3.计算满足每个条件的情况数量：条件1满足的情况数量为3（每个老师有5种选择，共有3个老师）；条件2满足的情况数量为5^3-1（每个老师有5种选择，减去同时不选择任意一天的情况数量）。

容斥问题是考试中比较偏向技巧性和公式性的问题, 大部分同学对容斥问题是比较熟悉的。

但是其中容斥中的极值问题, 确实考试中一个难点和出题的方向。

何为容斥极值问题, 简而言之就是将容斥问题和极值问题结合起来进行考察的题目。

主要包含以下两种:一、公式法求解容斥极值问题, 如果我们求解的是几个集合公共部分的最小值问题, 下面给出了相应的公式, 我们只需要讲数据代入即可。

其中, 公式中的A.B.C.D分别集合,I代表的是全集。

例1、某班30人, 数学22人优秀, 语文25人优秀, 英语20人优秀, 这三科全部优秀的学生至少有多少人?A.7B.6C.5D.4【答案】A。

解析: 根据题意可得全集为30;将数学、语文以及英语分别看成是A.B.C三个集合, 每个集合的数据也已知;最后题目求三科全部优秀的学生至少有多少人, 即求三个集合相交的最小值, 直接用三集合相交的最小值。

三集合相交的最小值=A+B+C-2*I=22+25+20-2*30=7二、极限思想在容斥极值问题中, 若并非求得是几个集合公共部分的最小值问题, 那就不能直接使用上面的公式解决, 要结合具体题目运用极限思想分析, 下面通过一道例题进行说明:例2参加某部门招聘考试的共有120人, 考试内容共有6道题。

1至6道题分别有86人, 88人, 92人, 76人, 72人和70人答对, 如果答对3道题或3道以上的人员能通过考试, 那么至少有多少人能通过考试?A .72B .61 C.58 D .44【答案】D。

解析: 要使通过的人最少, 那么就是对1道, 2道的人最多, 并且应该是对2道的人最多(这样消耗的总题目数最多), 假设都只对了2道, 那120人总共对了240道, 而现在对了86+88+92+76+72+70=484, 比240多了244道, 每个人还可以多4道(这样总人数最少),244/4=61。

3.一次考试共有五道试题, 做对第1.2、3、4、5题的分别占考试人数的81%、91%、85%、79%、74%, 如果做对三道或三道以上为及格, 那么这次考试的及格率至少是多少?(参考第二题的思想, 一个类型)100-81,91,85,79,74=19+9+15+21+26=90 90/3=30, 100-30=70。

行测数量关系知识点汇总2024一、数字推理。

1. 等差数列。

- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

- 通项公式：a_n=a_1+(n - 1)d，其中a_n是第n项的值，a_1是首项，n是项数。

- 求和公式：S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d。

- 示例：数列1,3,5,7,9·s是一个首项a_1=1，公差d = 2的等差数列。

2. 等比数列。

- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）。

- 通项公式：a_n=a_1q^n - 1。

- 求和公式：当q≠1时，S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}；当q = 1时，S_n=na_1。

- 示例：数列2,4,8,16,32·s是一个首项a_1=2，公比q = 2的等比数列。

3. 和数列。

- 定义：通过相邻项相加得到下一项的数列。

- 类型：- 两项和数列：如1,2,3,5,8,13·s，其中a_n=a_n - 1+a_n - 2(n≥3)。

- 三项和数列：例如1,1,2,4,7,13,24·s，a_n=a_n - 1+a_n - 2+a_n - 3(n≥4)。

4. 积数列。

- 定义：通过相邻项相乘得到下一项的数列。

- 类型：- 两项积数列：如2,3,6,18,108·s，其中a_n=a_n - 1× a_n - 2(n≥3)。

- 三项积数列：例如1,2,3,6,36,648·s，a_n=a_n - 1× a_n - 2× a_n - 3(n≥4)。

5. 多次方数列。

- 类型：- 平方数列：1,4,9,16,25·s，通项公式为a_n=n^2。

2018国考行测：数量关系之容斥原理容斥原理问题是公务员考试中一类常考题型，常见的容斥原理问题有三种：两集合容斥原理，三集合容斥原理标准型，三集合容斥原理非标准型。

在审题时大家要牢牢把握住题型的特征：当题目中出现“都满足”，“都不满足”时，就可以归为容斥问题。

河北省考中容斥问题相对来说不是太难，基本上直接套用公式就能解决，属于易于拿分的题型。

下面给大家整理一下容斥原理这三种题型的公式以及用法。

一、两集合容斥原理公式：A+B-AB=总个数- 两者都不满足的个数。

其中A、B分别代表满足不同条件的数量，AB代表两个条件都满足的数量。

【例1】某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两者都没有参加的有20人。

同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人？（）A．28人B．26人C．24人D．22人D【解析】这是一道两集合的容斥问题。

根据公式：60-20=30+32-两者都参加的人，解得答案为D。

二、三集合容斥原理标准型公式：A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=总个数-都不满足的个数。

其中A、B、C代表满足不同条件的数量，AB、BC、AC代表分别满足其中两个条件的数量，ABC代表三个条件都满足的数量。

【例2】100个学生只有2人没学过外语，学过英语的有40人，学过德语的有45人，学过法语的有43人，学过英语也学过德语的有15人，学过英语也学过法语的有12人，学过法语也学过德语的有10人。

问：三种语言都学过的有多少人？（）A．4 B．6C．7 D．5C【解析】运用容斥原理可得：40+45+43-（15+12+10）+三种语言都学过的人数＝100-2。

解得三种语言都学过的数量为7，因此，本题答案为C选项。

三、三集合非标准型容斥原理公式：A+B+C-只满足两个条件的数量-2×满足三个条件的数量=总个数-都不满足的个数。

【例3】为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。

数量关系之容斥问题解题原理及⽅法 ⼀、知识点 1、集合与元素：把⼀类事物的全体放在⼀起就形成⼀个集合。

每个集合总是由⼀些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。

如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。

2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。

A∪B读作“A 并B”，⽤图表⽰为图中阴影部分表⽰集合A，B的并集A∪B。

例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10} 3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，⼜属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表⽰： 例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。

4、容斥原理（包含与排除原理）： （⽤|A|表⽰集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3） 原理⼀：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进⾏： 第⼀步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的⼀切元素都“包含”进来，加在⼀起）； 第⼆步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素） 总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣ 原理⼆：给定三个集合A，B，C。

要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进⾏： 第⼀步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣； 第⼆步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣； 第三步：再加上∣A∩B∩C∣。

即有以下公式： ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C∣ ⼆、例题分析： 例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A∪B∣。

公务员考试行测数量关系知识点公务员考试中的行政职业能力测验（简称行测）是众多考生需要攻克的难关，而其中的数量关系部分更是让许多人感到头疼。

数量关系主要考查考生对数学运算和数学思维的运用能力，涵盖了众多知识点和题型。

接下来，我们就详细梳理一下这部分的重要知识点。

一、数字推理数字推理是数量关系中的常见题型，要求考生通过分析给定的数字序列，找出其中的规律并推测出下一个数字。

1、等差数列这是最基础的规律之一。

相邻两项的差值相等，例如：1，3，5，7，9，差值均为 2。

2、等比数列相邻两项的比值相等。

比如：2，4，8，16，32，比值均为 2。

3、多次方数列数字是某个数的平方、立方或多次方。

例如：1，4，9，16，25 分别是 1、2、3、4、5 的平方。

4、组合数列数列由两个或多个简单数列组合而成，需要分别分析不同部分的规律。

5、递推数列通过前面若干项的运算得到下一项，如前两项相加等于第三项等。

二、数学运算数学运算包含了各种各样的实际问题和数学模型。

1、行程问题涉及速度、时间和路程之间的关系。

如相遇问题、追及问题等。

相遇问题：路程＝速度和×相遇时间。

追及问题：路程差＝速度差×追及时间。

2、工程问题工作总量＝工作效率×工作时间。

常考的有合作完工问题，根据各自工作效率和合作方式来计算完成工作的时间。

3、利润问题涉及成本、售价、利润、利润率等概念。

利润＝售价成本，利润率＝利润÷成本×100% 。

4、排列组合问题排列是有顺序的，组合是无顺序的。

例如从 5 个人中选 3 个人排成一排，这是排列；从 5 个人中选 3 个人组成一组，这是组合。

5、概率问题计算某个事件发生的可能性大小。

古典概率：概率＝有利事件数÷总事件数。

6、容斥原理用于解决集合之间的重叠问题。

两集合容斥：总数＝ A ＋ B 既 A 又 B ＋既非 A 又非 B 。

三、解题方法1、方程法这是最基本也是最常用的方法。

1、某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。

其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。

问三项全部合格的食品有多少种：答：本题注意按照不合格得到三个类，进行容斥原理分析，分别设三项全部合格、仅一项不合格的产品有、种，根据题意可得：，，联立解得，，因此三项全部合格的食品有23种。

2、某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。

如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个：答：设三种上网方式都使用的客户有x人，根据三集合容斥原理非标准公式：A+B+C-只满足两个条件的个数-2×满足三个条件的个数=总数-三个条件都不满足的个数，可得方程1258+1852+932-（352-x）-2x=3542，解得x=148.3、一旅行团共有50位游客到某地旅游，去A景点的游客有35位，去B景点的游客有32位，去C景点的游客有27位，去A、B景点的游客有20位，去B、C景点的游客有15位，三个景点都去的游客有8位，有2位游客去完一个景点后先行离团，还有1位游客三个景点都没去。

那么，50位游客中有多少位恰好去了两个景点：答：方法一：设去A、C景点的游客有人，根据容斥原理标准公式可得：，可得；因此恰好去了两个景点的有人（可根据尾数法选择）。

方法二：设有名游客恰好去了两个景点，根据容斥原理非标准公式可得：（可根据尾数法选择），可得人。

4、工厂组织工人参加技能培训，参加车工培训的有17人，参加钳工培训的有16人，参加铸工培训的有14人，参加两项及以上培训的人占参加培训总人数的2/3，三项培训都参加的有2人，问总共有多少人参加了培训？答：设参加培训的总人数为n。

根据三集合容斥原理非标准公式：A+B+C-只满足两个条件的个数-2×满足三个条件的个数=总数-三个条件都不满足的个数，可得方程17+16+14-（n-2）-2×2=n，解得n=27。

容斥原理数量关系
《容斥原理数量关系，你真的懂吗？》
嘿，朋友们！今天咱来聊聊一个特别有意思的东西——容斥原理数量关系。

也许你会问，这是啥玩意儿啊？别急，听我慢慢道来。

想象一下，你有一堆糖果，里面有各种口味。

你想知道一共有多少颗糖果，但是直接数太麻烦啦！这时候容斥原理就像一个神奇的魔法棒，能帮你轻松搞定。

比如说，咱有一个班级，里面有的同学喜欢语文，有的喜欢数学，还有些同学既喜欢语文又喜欢数学。

那怎么知道喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少呢？这就用到容斥原理啦！它能让我们不重复、不遗漏地把所有情况都算清楚。

这不就跟我们整理房间一样吗？你要把不同的东西分类放好，才能清楚地知道自己都有啥。

容斥原理就是帮我们在数量的世界里进行这样的分类和整理呀！
你看，生活中很多事情不都这样吗？我们总是要面对各种各样的选择和情况，容斥原理能让我们更有条理地去处理这些。

它不是那种高深莫测、遥不可及的东西，而是实实在在能帮到我们的工具呢！
再想想，我们在做计划的时候，是不是也要考虑各种可能的情况，然后把它们合理地组合起来？容斥原理就像是我们的得力助手，让我们能更准确地把握全局。

难道你不想学会这个神奇的方法，让自己在处理数量关系的时候更加得心应手吗？
所以啊，容斥原理数量关系真的很重要！它就像一把钥匙，能打开我们对复杂数量世界的理解之门。

别再觉得它很遥远、很难懂啦，只要用心去感受，去尝试，你就会发现它的奇妙之处。

相信我，一旦你掌握了它，你会惊叹于它的强大和实用！。

数量关系：轻松识解集合容斥
在行测考试的题目当中有一种比较有趣的题型，令考生百思不得其解，那就是容斥问题，如何判断容斥问题的题型?又该如何解决这类题型，本篇带领考生梳理容斥问题的基本知识点。

容斥问题的题型特征：容斥问题即包含与排斥问题，它是一种计数问题。

这类题目题干特点显著：题目中给出多个概念，概念之间有集合关联。

解题原理：把重复数的次数变为只数1次，或者说把重叠的面积变为1层，做到不重不漏。

首先我们先了解容斥问题的核心公式有哪些
两集合标准公式：总数-两个集合都不包含=A+B-A∩B
三集合标准公式：①总数-三个集合都不包含=A+B+C-A∩B-A∩C -B∩C+A∩B∩C
②总数-三个集合都不包含=A+B+C-只包含于两个集合的元素-2×包含于三个集合的元素
下面通过例题来进行熟悉
【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，那么两种实验都做对的有( )。

A.27人
B.25人
C.19人
D.10人
【中公解析】B。

解析：设A={物理实验做正确的学生｝，B={化学实验做正确的学生｝。

根据容斥原理，总数-两个集合都不包含=A+ B-A∩B，代入得50-4=40+31-A∩B，则A∩B=25。

即两种实验都做对的有25人。

数量关系容斥问题公式咱来聊聊数量关系里的容斥问题公式。

先说说啥是容斥问题，简单来讲，就是在一些集合的计算中，要考虑重叠部分，别重复计算也别漏算。

这容斥问题的公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开解决这类问题的大门。

比如说，有个班级组织活动，喜欢语文的有 20 人，喜欢数学的有30 人，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 人。

那咱们怎么算这个班级喜欢语文或者数学的总人数呢？这就得用到容斥问题公式啦。

容斥问题的基本公式是：A∪B = A + B - A∩B 。

就拿刚才班级的例子来说，喜欢语文的是 A 集合，有 20 人；喜欢数学的是 B 集合，有30 人；既喜欢语文又喜欢数学的就是A∩B ，有 10 人。

那喜欢语文或者数学的总人数就是 20 + 30 - 10 = 40 人。

再复杂一点的，三个集合的容斥问题公式是：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 。

我之前遇到过这么个事儿，学校组织兴趣小组，有绘画组、音乐组和书法组。

参加绘画组的有 50 人，参加音乐组的有 60 人，参加书法组的有 40 人。

同时参加绘画组和音乐组的有 20 人，同时参加绘画组和书法组的有 15 人，同时参加音乐组和书法组的有 10 人，三个组都参加的有5 人。

那这时候，咱们用公式来算算参加兴趣小组的总人数。

绘画组是 A 集合，50 人；音乐组是 B 集合，60 人；书法组是 C 集合，40 人。

A∩B 就是同时参加绘画组和音乐组的 20 人，B∩C 是同时参加音乐组和书法组的 10 人，C∩A 是同时参加绘画组和书法组的 15 人，A∩B∩C 是三个组都参加的 5 人。

代入公式就是：50 + 60 + 40 - 20 - 10 - 15 + 5 = 100（人）所以，参加兴趣小组的总人数就是 100 人。

通过这些例子，是不是觉得容斥问题公式没那么难啦？其实啊，只要多做几道题，多琢磨琢磨，这公式就能被咱们用得得心应手。

容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩:重合的部分）三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：那么A∪B∪C还缺部分7。

4、等式右边【】号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。

5、等式右边{}里减去C∩A （即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。

容斥原理1 两集合标准型如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

(A∪B = A+B - A∩B )总数=两集合数之和+两集合之外数－两集合公共数例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。

答案15+12-4=23试一试电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。

两个频道都没看过的有多少人？100-(62+34-11)=15容斥原理2 三集合标准型如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

数量关系常用公式一、五大方法1.代入法：代入法时行测第一大法，优先考虑。

2.赋值法：对于有些问题，若能根据其具体情况，合理巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值，往往能使问题获得简捷有效的解决。

题干中有分数，比例，或者倍数关系时一般采用赋值法简化计算，赋值法经常应用在如工程问题，行程问题，费用问题等题目中。

3.倍数比例法：若a : b=m : n（m、n互质），则说明: a占m份，是m的倍数；b占n份，是n的倍数；a+b占m+n份，是m+n的倍数；a-b占m-n份，是m-n的倍数。

4.奇偶特性法：两个奇数之和/差为偶数，两个偶数之和/差为偶数，一奇一偶之和/差为奇数；两个数的和/差为奇数，则它们奇偶相反，两个数的和/差为偶数，则它们奇偶相同；两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数5.方程法：很多数学运算题目都可以采用列方程进行求解。

方程法注意事项：未知数要便于列方程；未知数可以用字母表示，也可以用“份数”，还可以用汉字进行替代。

二、六大题型1.工程问题：工作量=工作效率×工作时间工程问题一般采用赋值法解题。

赋值法有2种应用情况，第一种是题干中已知每个人完成工作的时间，这时我们假设工作量为工作时间的最小公倍数，进而得到每个人的工作效率，从而快速求解；第二种是题干中已知的是每个人工作效率的等量关系，这时我们通过直接赋效率为具体值进行快速求解。

2.行程问题：路程=速度×时间行程问题一般要通过数形结合进行快速求解，常见的解法包括列方程，比例法等。

常考的题型包括相遇问题和追及问题。

相遇问题：路程和=速度和×时间追及问题：路程差=速度差×时间3.溶液问题：浓度=溶质÷溶液溶液问题常见的有两种，一种是溶液的混合，这种问题用公式解决；另外一种是单一溶液的蒸发或稀释，这种题目一般用比例法解决，即利用溶质不变进行求解。

4.容斥原理：两集合型的容斥原理题目，关键是分清题目中的条件I和条件II，然后直接套用公式：满足条件I的个数＋满足条件II的个数－两者都满足的个数=总个数－两者都不满足的个数三集合公式型题目，需要大家记住公式核心公式：A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC=总个数－三者都不满足的个数三集合图示型题目，当题目条件不能直接代入标准公式时，我们可以考虑利用图示配合，标数解答。

数量容斥原理三个公式
嘿，朋友们！今天咱来聊聊数量容斥原理的三个公式，这可有意思啦！
你想想看啊，就好像咱去参加一个超级热闹的聚会。

这聚会里呢，有喜欢唱歌的人，有喜欢跳舞的人，还有啥都喜欢掺和一下的人。

那怎么知道到底有多少种不同类型的人呢？这就用到咱们的数量容斥原理啦！
先来说说第一个公式，就像是把不同圈子的人先分别数清楚。

比如唱歌的有这么些，跳舞的有那么些，但是这里面可能有既唱歌又跳舞的呀，这部分可不能重复算，不然不就乱套啦！
再说说第二个公式，哎呀呀，这就好像在整理一个大杂烩。

把各个部分都考虑进来，该加的加，该减的减，力求把真正的人数搞清楚。

就像咱收拾房间，得把该放一起的东西放一块儿，不能乱七八糟的呀！
还有第三个公式呢，这就更妙啦！就如同在一堆杂物中精准地找出我们真正需要的宝贝。

它能让我们更准确地把握各种情况的交织。

举个例子吧，好比一个班级里，有数学好的同学，有语文好的同学，还有既数学好又语文好的。

那我们要知道班级里在这两方面有特别才能的同学到底有多少，就得靠这些公式啦！这不就跟我们生活中很多事情一样嘛，看似复杂，其实用对了方法，一下子就清楚啦！
数量容斥原理的这三个公式啊，就像我们的秘密武器，能帮我们解决好多看似头疼的问题呢。

它们可不是那种死板的东西哦，是非常灵活好用的呢！你想想，要是没有它们，我们面对那些复杂的情况该咋办呀？是不是会手忙脚乱的呀？
所以啊，大家可别小瞧了这三个公式，它们真的超级重要的哟！在很多时候都能派上大用场呢！咱可得好好掌握它们，让它们为我们的生活和学习服务呀！怎么样，是不是觉得很有意思呀？赶紧去试试吧！。

数量关系之容斥原理的解题技巧容斥原理是公务员考试中常考的题型。

我们知道容斥原理包含两集合标准型、三集合标准型和三集合非标准型，主要解题方法是应用公式和文氏图法。

如何判定是标准型还是非标准型呢?什么时候应用公式，什么时候采用文氏图呢?首先，当题目中的公式设计的各个元素都能够找到时，采用公式法;当出现“只一个元素...”时，采用文氏图法;当出现“只两个因素...”时，采用非标准型公式。

以上是关于容斥原理的相关理论知识，下面我们看一下例题，这是2012年春季联考54题。

某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A. 7人B. 8人C. 5人D. 6人通过读题，招聘职位有：甲、乙、丙，及各个岗位报名人数，可知这是一个三集合容斥问题，要求的是报乙、丙职位的人数。

三集合标准型公式：总数-都不=符合A的+符合B的+符合C的-符合AB-符合BC-符合AC+符合ABC，设报乙、丙职位的人数为x，将题中信息代入公式，得：42-0=22+16+25-8-6-x+0，解得，x=7。

这是一个比较简单的三集合标准型问题，近两年比较常出现的是三集合非标准型，下面我们看一下例题，2015年国考73题。

某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。

调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷?( )A.310B. 360C. 390D. 410通过读题，调查对象分为三类：使用搜索引擎获取信息、官方网站获取信息、社交网络获取信息，可知这是一个容斥原理的问题。

值得注意的是，“同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人”，告诉我们“只使用两种的是...”，说明这是三集合非标准型容斥问题。

公务员行测数量关系知识点详解在公务员行测考试中，数量关系一直是让众多考生感到头疼的一个模块。

但其实，只要掌握了相关的知识点和解题技巧，数量关系并非难以攻克。

接下来，就让我们详细地了解一下公务员行测数量关系中的常见知识点。

一、等差数列等差数列是数量关系中比较基础且常见的知识点。

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

通项公式：＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），其中\（a_n\）表示第\（n\）项的值，＼（a_1\）表示首项，＼（n\）表示项数，＼（d\）表示公差。

求和公式：＼（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼）。

在解题时，关键是要找出首项、公差和项数。

例如：已知一个等差数列的首项是\（3\），公差是\（2\），第\（10\）项是多少？我们就可以用通项公式求出\（a_{10} ＝ 3 ＋（10 1)×2 ＝ 21\）。

二、等比数列等比数列是指从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数的数列。

通项公式：＼（a_n ＝ a_1 × q^｛n 1}＼），其中\（q\）为公比。

求和公式：当\（q ≠ 1\）时，＼（S_n ＝＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}＼）；当\（q ＝ 1\）时，＼（S_n ＝ na_1\）。

比如：一个等比数列的首项是\（2\），公比是\（3\），求第\（5\）项。

则\（a_{5} ＝ 2×3^｛5 1} ＝ 162\）。

三、行程问题行程问题在数量关系中出现的频率较高。

主要包括相遇问题、追及问题和流水行船问题等。

相遇问题：路程和＝速度和×相遇时间。

追及问题：路程差＝速度差×追及时间。

流水行船问题：顺水速度＝船速＋水速；逆水速度＝船速水速。

例如：甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度是\（5\）千米/小时，乙的速度是\（3\）千米/小时，＼（2\）小时后相遇，那么 A、B 两地的距离就是\（（5 ＋ 3)×2 ＝ 16\）千米。

行测数量关系解题技巧：容斥原理问题【京佳教育】通过对近年来公务员考试和各地市公务员考试行政职业能力测验真题的分析，不难发现，计数性质的试题经常出现在数量关系部分的数学运算中。

而此类试题在运算的过程中又因为容易遗露某个条件而漏计或重复计数出现错误。

今天，京佳教育专家结合具体的试题来和大家一起探讨解决此类试题的方法。

例题：某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。

则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？（）A. 34B. 35C. 36D. 37为便于解决此类计数问题，不妨先让我们引入小学奥数中经常用到的一个原理，即容斥原理：在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先容纳(计算)进去，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去(减去)，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

容斥原理中经常用到的有如下两个公式：两集合的容斥关系公式：A∪B＝A＋B－A∩B。

如果被计数的事物有A、B两类。

那么所有属于A类或属于B类的元素个数总和＝A类元素个数＋属于B类元素个数－既属于A类又属于B类的元素个数。

用文氏图表示为：三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C。

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么所有属于A类或属于B类或属于C类的元素的个数总数＝A 类元素的个数＋B类元素的个数＋C类元素的个数－既是A类又是B类元素的个数－既是B类又是C类元素的个数－既是A类又是C类元素的个数＋同时是A类B类C类元素的个数。

用文氏图表示为：运用上述两个公式需要注意以下情况：这两个公式分别主要针对两种情况：第一个公式是针对涉及到计算两类事物的个数，第二个公式是针对涉及到三类事物的个数。