2020高考理科数学冲刺卷解析版 (2)

2020冲刺高考理科数学精选高分压轴试卷第二卷数学试题1.若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，外接球的表面积为40π，四边形ABCD 和11BCC B 的外接圆的圆心分别为M ，N ，则直线MN 与1CD 所成的角的余弦值是（ ） A ．79-B ．13-C ．13D ．79【答案】D【解析】设该四棱柱的外接球的半径为R ，高为h ，由2440S R ππ==，得=R ，由==R h =所以112,6,3=====CD CC C D DE EC .因为四边形ABCD 和11BCC B 的外接圆的圆心分别为M ，N ，所以M ，N 分别为BD 和1BC 的中点，所以1//MN DC ，所以DEC ∠为直线MN 与1CD 所成的角或其补角，又9947cos 2339+-∠==⨯⨯DEC ，所以直线MN 与1CD 所成的角的余弦值为79，故选：D.2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，22ON NF b -=,260ONF ∠=︒,12F MF △的面积为（ ）A ．22142x y -=B ．22144x y -=C ．22182y x -=D ．22184x y -=【答案】C【解析】由N 为2MF 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故1260F MF ∠=︒，2121||||(||||)2ON NF MF MF a -=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，在12MF F △中，由余弦定理可得22212124||||2||||cos60c MF MF MF MF =+-⋅︒，21212(||||)||||MF MF MF MF =-+⋅2124||||a MF MF =+⋅， 22212||||444MF MF c a b ∴⋅=-=，12F MF ∴△的面积为2121||||sin 602MF MF ⋅⋅︒=2222,48b a b ∴===，双曲线的方程为22182y x -=.故选：C3.在ABC ∆中，3AC =，向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( )A．5 B ．C D ．【答案】C【解析】∵向量AB u u u v在AC u u u v 上的投影的数量为2-，∴||cos 2AB A =-u u u r．①∵3ABC S ∆=，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ， ∴||sin 2AB A =u u u r．② 由①②得tan 1A =-，∵A为ABC∆的内角，∴34Aπ=，∴2||3sin4 ABπ== u u u r在ABC∆中，由余弦定理得2222232cos323(2942BC AB AC AB ACπ=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴BC=故选C．4.函数()sin()8cos22xf x xπ=--的最小值为_______．【答案】7-【解析】由()sin()8cos22xf x xπ=--所以2()cos8cos2cos18cos222x x xf x x=-=--即2()2cos8cos122x xf x=--，由1cos12x-≤≤令cos2xt=，[]1,1t∈-则2281y t t=--，对称轴为2t=所以2281y t t=--在[]1,1-递减当1t=，即cos12x=时，有min()7f x=-故答案为：7-5.函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且()f x 为奇函数.当0x >时，(2)2()1f x f x =-，且(2)3f =，则满足()5272xf -<-<的x 的取值范围是___________. 【答案】()2log 3,3【解析】根据题意，因为当0x >时，(2)2()1f x f x =-，且(2)3f =()()22113f f ∴=-=， 所以()12f =．又()()42215f f =-=， 所以()()445f f -=-=-，5(27)2x f -<-<Q()()()4271x f f f ∴-<-<．因为()f x 在[0，)+∞上单调递增，且()f x 为奇函数， 所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．所以()()()4271xf f f ∴-<-<，4271x ∴-<-<，328x ∴<<，2log 33x ∴<<即()2log 3,3x ∈，故答案为：()2log 3,3．6.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，E 为AB 的中点，,1,3,PD CE AE PD PC ⊥===（1）证明：AD ⊥平面PCD ．（2）求DA 与平面PCE 所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：因为E 为AB 的中点，1AE =， 所以2CD AB ==，所以222CD PD PC +=，从而PD CD ⊥. 又PD CE ⊥，CD CE C =I ，所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥. 因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥. 又CD PD D =I ，所以AD ⊥平面PCD.（2）解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示， 则()2,0,0A ，()0,0,3P ，()2,1,0E ，()0,2,0C ，所以()2,1,3PE =-u u u r ，()2,1,0EC =-u u u r ，()2,0,0DA =u u u r. 设平面PCE 的法向量为(),,n x y z =r， 则0PE n EC n ⋅=⋅=u u u r r u u u r r ，即23020x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令3x =，得()3,6,4n =r .cos ,||||n DA n DA n DA ⋅==r u u u rr u u u r r u u u r ，故DA 与平面PCE7.已知函数()ln(21)(21)1f x x m x =---+.（1）若()y f x =在2x =处的切线与直线320170x y -+=垂直，求()y f x =的极值； （2）若函数()y f x =的图象恒在直线1y =的下方. ①求实数m 的取值范围；②求证:对任意正整数1n >，都有4(1)ln[(2)!]5n n n +<. 【解析】（1）由()ln(21)(21)1f x x m x =---+可得2'()221f x m x =--， 所以21'(2)233f m =-=-，即12m =. 则3()ln (21)2f x x x =--+，2(23)'()1=2121x f x x x --=---1()2x >， 令'()0f x =可得32x =， 当32x >时，'()<0f x ，当1322x <<时，'()>0f x . ∴()f x 在3(,+)2∞上单调递减，在13(,)22上单调递增，∴()f x 的极大值为333()ln 2ln 2222f =-+=，无极小值. （2）①由条件可知：只需()1f x <，即ln(21)(21)0x m x ---<在1(,+)2∞上恒成立.即(21)ln(21)m x x ->-，而12x >，∴210x ->，∴ln(21)21x m x ->-恒成立.令ln(21)()21x g x x -=-，则222ln(21)'()(21)x g x x --=-， 令'()0g x =可得12e x +=. 当1122e x +<<时'()0g x >，当12e x +>时，)'(0g x <，∴()g x 在11(,)22e +上单调递增，在1(,)2e ++∞上单调递减， 故()g x 的最大值为11()2e g e+=，∴1m e>， 即实数m 的取值范围是1(,)e+∞.②由①可知，25m =时，ln(21)2<215x x --，即2(21)ln(21)5x x --<对任意的12x >恒成立. 令21()k x k *=-∈N ，则2ln 5kk <，2ln1ln 2ln3ln(2)12325n n ++++<++++（）L L ， 即212ln1ln 2ln3ln(2)5n n n +++++<（）L ， ∴2(21)4(1)ln[(2)!]55n n n n n ++<<. 8.设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，两个焦点分别是是1F ，2F ，且122F F =，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4.（1）求E 的标准方程；（2）设E 的左顶点为D ，若直线l ：y kx m =+与曲线E 交于两点A ，B （A ，B 不是左右顶点），且满足DA DB DA DB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.【解析】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意2422a c =⎧⎨=⎩，即21a c =⎧⎨=⎩，∴b ==∴椭圆E 的方程是22143x y +=.（2）由（1）可知()2,0D -，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222348430k x mkx m +++-=，()()()22222(8)4344121612390mk k m k m ∆=-+-=-+>，即22340k m +->，∴122834mk x x k -+=+，()21224334m x x k-=+， 又()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++22231234m k k -=+，∵DA DB DA DB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴DA DB ⊥u u u r u u u r，即0DA DB ⋅=u u u r u u u r ，即()()()11221212122,2,240x y x y x x x x y y +⋅+=++++=，∴2222224128312240343434m mk m k k k k---+⨯++=+++，∴2271640m mk k -+=， 解得12m k =，227m k =，且均满足即22340k m +->， 当12m k =时，l 的方程为()22y kx k k x =+=+，直线恒过()2,0-，与已知矛盾；当22 7m k=，l的方程为2277y kx k k x⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，直线恒过2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

绝密★启用前2020年高考数学(理科)冲刺卷全国卷（二）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上1.已知复数i(,)z a b a b =+∈R ，且满足i 1z z -=+，则a b +=() A.-2B.-1C.1D.22.已知全集1,0,1,,3{}2U =-，集合{}0,1,2A =，1,{1}0,B -=，，则()U C A B ⋂=() A.{}1-B.{}0,1C.{}1,2,3-D.1,0,{}1,3-3.已知:12:,p x x 是方程2560x x +-=的两根，12:5q x x +=-，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数()()2ln 28f x x x =--的单调递增区间是() A ．(),2-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()4,+∞5.已知,a b ∈R ，不等式组1111a b -⎧⎨-⎩剟剟，表示的平面区域为M ，不等式组2222a b a b -⎧⎨--⎩„…，表示的平面区域为N .现向平面区域M 内随机抛撒一粒豆子，则该豆子落在平面区域N 的概率是() A.78B.67 C.89D.456.执行下面框图，则输出结果S 为（）A ．19-B ．29-C ．41-D ．55-7.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16 D.158.已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=()A ．50-B ．0C ．2D ．509.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过焦点F 向两条渐近线作垂线，垂足分别为,M N ，若四边形OMFN 3O 为坐标原点，则该双曲线的焦距为() A.23 C.3D.410.已知函数2(43)3,0,()log (1)1,0ax a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩(0a >，且1a ≠)在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.123,334⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭D.123,334⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭11.ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若232cos cos 22A B C -+=，且ABC △的面积为214c ，则C =()A.π6B.π3C.π6，5π6 D.π3，2π312.已知函数()321f x x ax x =-+--在(),-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是()A.()-∞⋃+∞B.⎡⎣C.()-∞⋃+∞D.(13.已知向量()()4,6,2,a b x =-=r r 满足//a b r r，其中R x ∈，那么b =r ________. 14.若22nx ⎫+⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是___________.15.已知圆2222:()()(R,0)C x a y a r a r -+-=∈>与直线14y =-相切，则圆C 所过的定点为__________.16.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，若π5π21212f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的单调递增区间为________.17.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且533S a =，468a a +=. (1)求n a ;(2)设2n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，点E 为棱PC 的中点.(1)求证:BE DC ⊥;(2)若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求平面FAB 与平面ABP 夹角的余弦值.19.为庆祝新中国成立七十周年，某地在每周末的晚上8点到10点半会举行灯光展.灯光展共涉及10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为(0)1P P <<，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位:min)，得到下面的频数表： 亮灯时长/min [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长. (1)试估计的p 值.(2)设X 表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.。

2020年高考百日冲刺（理科）数学试卷（全国Ⅱ卷）一、选择题1．已知集合A＝{x|x＜6且x∈N*}，则A的非空真子集的个数为（）A．30B．31C．62D．632．复数z满足z•（1+i）＝1+3i，则|z|＝（）A．2B．4C．√5D．53．已知sin(3π2+α)=13，则cosα＝（）A．13B．−13C．2√23D．−2√234．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人．金元时期的数学家．与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”．在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质．李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何．翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C处，乙向东行走到B处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走到B处，甲乙二人共行走1600步，AB比AC长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为（）A．x2+z2＝y2？B．x2+y2＝z2？C．y2+z2＝x2？D．x＝y？5．已知袋中有3个红球，n个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则n＝（）A．1B．2C．6D．76．已知双曲线C ：x 24−y 25=1，圆F 1：（x +3）2+y 2＝16．Q 是双曲线C 右支上的一个动点，以Q 为圆心作圆Q 与圆F 1相外切，则以下命题正确的是（ ） A ．⊙Q 过双曲线C 的右焦点 B ．⊙Q 过双曲线C 的右顶点 C ．⊙Q 过双曲线C 的左焦点D ．⊙Q 过双曲线C 的左顶点7．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，△ABC 内有一点O ，满足：CO →=λCB →+μCA →，且λ＞0，μ＞0，4λ+3μ＝2，则CO 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．√2D ．2√28．已知函数y ＝sin （ωx +φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为x =−π6，且f （x ）在（π，4π3）上单调，则ω的最大值为（ ） A ．52B ．3C ．72D ．839．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为B ，右焦点为F ，延长BF 交椭圆E于点C ，BF →=λFC →（λ＞1），则椭圆E 的离心率e ＝（ ） A ．√λ−1λ+1B ．λ−1λ+1C ．√λ2−1λ2+1D ．λ2−1λ+110．已知（1+2x ）n＝a 0+a 1x +…+a n x n ，其中a 0+a 1+…+a n ＝243，则a 01+a 12+a 23+⋯+a n n+1=（ ） A ．182B ．1823C ．913D ．182911．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ）A ．2√3B ．2√2C ．3D ．√612．已知函数f（x）=a+lnxx，g（x）＝e x﹣1（e为自然对数的底数），∃x∈（0，+∞），使得f（x）≥g（x）成立，则实数a的最小值为（）A．1B．e C．2D．ln2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知f（x）＝xlg（√x2+a+x）是偶函数，则f（2x﹣1）≤f（x）的解集为．14．已知x，y满足线性约束条件{x+y−2≥0，x≤2，kx−y+2≥0，目标函数z＝﹣2x+y的最大值为2，则实数k的取值范围是．15．已知点O（0，0），A（4，0），M是圆C：（x﹣2）2+y2＝1上一点，则|OM||AM|的最小值为．16．公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为θ．则tanθ＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a1=13，a2=415，且数列{√a n4a n−1}是等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AD＝2，AB＝BC＝CD＝1，BC∥AD，∠PAD＝90°．∠PBA为锐角，平面PBA⊥平面PBD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．19．直线l过点（4，0），且交抛物线y2＝2px（p＞0）于A，B两点，∠AOB＝90°．（1）求p；（2）过点（﹣1，0）的直线交抛物线于M ，N 两点，抛物线上是否存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，说明理由．20．某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x （单位：只）的统计情况如表：x 14 15 16 17 18 频数4560756060这300天内（假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡7a （14≤a ≤18）只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a 只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56﹣a 元的价钱处理．（Ⅰ）若a ＝16，求养鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于需求量x （单位：只，x ∈N *）的函数解析式；（Ⅱ）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？21．已知函数f （x ）={x 24e 2，x ≥02x ，x ＜0，g （x ）＝ln （x +a ）．（1）若f （x ），g （x ）有公共点M ，且在点M 处有相同的切线，求点M 的坐标； （2）判定函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在[0，+∞）上的零点个数．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosφy =1+tsinφ（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2=483cos 2θ+4sin 2θ． （Ⅰ）当φ=π3时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为M （2，1），求直线l 的斜率． 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x ﹣2|．（Ⅰ）若f （x ）≥3恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）f （x ）≤x 的解集为[2，m ]，求a 和m ．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x＜6且x∈N*}，则A的非空真子集的个数为（）A．30B．31C．62D．63【分析】求出集合A＝{x|x＜6且x∈N*}＝{1，2，3，4，5}，由此能求出A的非空真子集个数．解：∵集合A＝{x|x＜6且x∈N*}＝{1，2，3，4，5}，故A的子集个数为25＝32，非空真子集个数为30．故选：A．2．复数z满足z•（1+i）＝1+3i，则|z|＝（）A．2B．4C．√5D．5【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．解：由z•（1+i）＝1+3i，得z=1+3i1+i=(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i，∴|z|=√5．故选：C．3．已知sin(3π2+α)=13，则cosα＝（）A．13B．−13C．2√23D．−2√23【分析】利用两角和与差公式直接求解．解：sin(3π2+α)=sin3π2cosα+cos3π2sinα=−cosα=13，故cosα=−1 3．故选：B．4．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人．金元时期的数学家．与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”．在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质．李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何．翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C 处，乙向东行走到B 处，甲向南行走到A 处，甲看到乙，便从A 走到B 处，甲乙二人共行走1600步，AB 比AC 长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB ，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．x 2+z 2＝y 2？B ．x 2+y 2＝z 2？C ．y 2+z 2＝x 2？D ．x ＝y ？【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框中应填入的条件．解：由题知，AC ＝x ，AB ＝y ，BC ＝z ， 由勾股定理可知x 2+z 2＝y 2． 故选：A ．5．已知袋中有3个红球，n 个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则n ＝（ ） A ．1B ．2C ．6D ．7【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果． 解：袋中有3个红球，n 个白球， 有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则p =33+n ×n 3+n +n 3+n ×33+n =1225， 解得n ＝2． 故选：B ．6．已知双曲线C ：x 24−y 25=1，圆F 1：（x +3）2+y 2＝16．Q 是双曲线C 右支上的一个动点，以Q 为圆心作圆Q 与圆F 1相外切，则以下命题正确的是（ ） A ．⊙Q 过双曲线C 的右焦点 B ．⊙Q 过双曲线C 的右顶点 C ．⊙Q 过双曲线C 的左焦点D ．⊙Q 过双曲线C 的左顶点【分析】根据两圆外切得到QF 1＝4+r ；再结合双曲线的定义即可求解结论． 解：如图；因为以Q 为圆心作圆Q 与圆F 1相外切， ∴QF 1＝4+r ；∵QF 1﹣QF 2＝2a ⇒QF 1＝2a +QF 2＝4+QF 2； ∴r ＝QF 2；故圆Q 过双曲线C 的右焦点； 故选：A ．7．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，△ABC 内有一点O ，满足：CO →=λCB →+μCA →，且λ＞0，μ＞0，4λ+3μ＝2，则CO 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．√2D ．2√2【分析】根据题意，易知△ABC 为直角三角形，CB →⋅CA →=0，根据题意，确定λ的取值范围，给CO →=λCB →+μCA →两边平方，化为关于λ的二次函数，求得最值再开平方即得答案．解：△ABC 中，AB 2＝AC 2+BC 2， ∴AC ⊥BC ， ∴CB →⋅CA →=0，||2=λ2CB →2+2λμCB →⋅CA →+μ2CA →=16λ2+9μ2，∵λ＞0，μ＞0，4λ+3μ＝2， ∴2﹣4λ＞0，解得λ＜12， ∴0＜λ＜12．||2=16λ2+9μ2＝16λ2+（2﹣4λ）2=32(λ−14)2+2，∴||2≥2， ∴CO 的最小值为√2． 故选：C ．8．已知函数y ＝sin （ωx +φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为x =−π6，且f （x ）在（π，4π3）上单调，则ω的最大值为（ ） A ．52B ．3C ．72D ．83【分析】首先利用正弦型函数的对称轴建立等量，进一步利用函数的单调性的应用求出结果．解：函数y ＝sin （ωx +φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为x =−π6， 整理得：x =kω6−π6（k ∈Z ）， 由于f （x ）在（π，4π3）上单调， 所以{k 0πω−π6≤π(k 0+1)πω−π6≥4π3，解得：67k 0≤ω≤23(k 0+1)，由于ω＞0，所以{k 0＞067k 0≤23(k 0+1)，解得0＜k 0≤72．所以k 0＝1，2，3，当k 0＝3时，ω的最大值为83． 故选：D ． 9．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为B ，右焦点为F ，延长BF 交椭圆E于点C ，BF →=λFC →（λ＞1），则椭圆E 的离心率e ＝（ ） A ．√λ−1λ+1B ．λ−1λ+1C ．√λ2−1λ2+1D ．λ2−1λ2+1【分析】设点C （x ，y ），利用条件BF →=λFC →可得{x =(1+λ)λcy =−b λ，代入椭圆方程整理即可求得e 的值．解：设C （x ，y ），根据BF →=λFC →可得：{c =λ(x −c)−b =λy，则{x =(1+λ)λcy =−b λ，因为C 在椭圆上，带入方程可得(1+λ)2λ2⋅e 2+1λ2=1，即e 2=λ2−1(1+λ)2=λ−1λ+1，则e =√λ−1λ+1．故选：A ．10．已知（1+2x ）n＝a 0+a 1x +…+a n x n ，其中a 0+a 1+…+a n ＝243，则a 01+a 12+a 23+⋯+a n n+1=（ ） A ．182B ．1823C ．913D ．1829【分析】（1+2x ）n＝a 0+a 1x +…+a n x n ，令x ＝1，可得3n ＝a 0+a 1+…+a n ＝243，解得n ＝5．利用（1+2x ）5的通项公式可得a k k+1=2k ∁5k k+1．代入即可得出．解：（1+2x ）n ＝a 0+a 1x +…+a n x n ，令x ＝1，则3n ＝a 0+a 1+…+a n ＝243，解得n ＝5．∴（1+2x ）5的通项公式T k +1=∁5k （2x ）k ＝2k ∁5k x k ，∴a k ＝2k ∁5k，∴a kk+1=2k ∁5k k+1． 则a 01+a 12+a 23+⋯+a nn+1=11+2∁512+25∁556=1+5+403+20+16+163=1823．故选：B ．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ）A．2√3B．2√2C．3D．√6【分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD，四面体所在正方体的棱长为2，分别求出六条棱的长度得答案．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD，四面体所在正方体的棱长为2，则棱长分别为：AB＝CD=√5，AC=2√2，BC＝1，BD=√6，AD＝3．最长的棱的长度为3．故选：C．12．已知函数f（x）=a+lnxx，g（x）＝e x﹣1（e为自然对数的底数），∃x∈（0，+∞），使得f（x）≥g（x）成立，则实数a的最小值为（）A．1B．e C．2D．ln2【分析】∃x∈（0，+∞），使得f（x）≥g（x）成立，分离参数a，可转化为∃x∈（0，+∞），使得a≥xe x﹣x﹣lnx成立．构造函数g（x）＝xe x﹣x﹣lnx（x＞0），利用导数法可求得g（x）min，从而可得答案．解：∵f （x ）=a+lnxx，g （x ）＝e x ﹣1（e 为自然对数的底数），∃x ∈（0，+∞），使得f （x ）≥g （x ）成立， 即∃x ∈（0，+∞），使得a+lnx x≥e x ﹣1成立，即∃x ∈（0，+∞），使得a ≥xe x ﹣x ﹣lnx 成立． 令g （x ）＝xe x ﹣x ﹣lnx （x ＞0）， 则a ≥g （x ）min ，∵g ′（x ）＝（1+x ）e x ﹣1−1x（x ＞0）， ∴g ″（x ）＝（2+x ）e x +1x 2＞0， ∴g ′（x ）＝（1+x ）e x ﹣1−1x 在（0，+∞）上单调递增， 又g ′（13）=43e 13−4＜0，g ′（1）＝2e ﹣2＞0，∴∃x 0∈（13，1）使得g ′（x 0）＝0，此时g （x ）＝xe x ﹣x ﹣lnx 取得极小值，也是最小值．令g ′（x 0）＝0，则（1+x 0）e x 0=1+x0x 0，即e x 0=1x 0．∴g （x 0）＝x 0e x 0−x 0﹣lnx 0＝1﹣x 0﹣ln e −x 0=1，即g （x ）min ＝1， ∴a ≥1，∴实数a 的最小值为1， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知f （x ）＝xlg （√x 2+a +x ）是偶函数，则f （2x ﹣1）≤f （x ）的解集为 [13，1] ．【分析】根据题意，利用复合函数的奇偶性，得出g(x)=lg(√x 2+a +x)为奇函数，g （0）＝0，解得a ＝1，利用函数的单调性解不等式，即可求出f （2x ﹣1）≤f （x ）的解集．解：∵f （x ）为偶函数，y ＝x 为奇函数， ∴g(x)=lg(√x 2+a +x)为奇函数， ∴g （0）＝0，解得a ＝1，对0＜x 1＜x 2，可知0＜g （x 1）＜g （x 2），故0＜x 1g （x 1）＜x 2g （x 2）， ∴函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，∴f （2x ﹣1）≤f （x ）等价于|2x ﹣1|≤|x |，即（2x ﹣1）2≤x 2，解得13≤x ≤1，即f （2x﹣1）≤f （x ）的解集为[13，1]． 故答案为：[13，1]．14．已知x ，y 满足线性约束条件{x +y −2≥0，x ≤2，kx −y +2≥0，目标函数z ＝﹣2x +y 的最大值为2，则实数k 的取值范围是 （﹣1，2] ．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最大值，结合直线系结果的定点，转化求解实数k 的取值范围．解：x ，y 满足线性约束条件{x +y −2≥0，x ≤2，kx −y +2≥0，表示的可行域如图：目标函数化为y ＝2x +z ，z ＝2时，可知：最优解在直线2x ﹣y +2＝0上，而（0，2）在可行域内，且满足2x ﹣y +2＝0．故可知：实数k 的取值范围是（﹣1，2]． 故答案为：（﹣1，2]．15．已知点O （0，0），A （4，0），M 是圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝1上一点，则|OM||AM|的最小值为13．【分析】由题意画出图形，通过图形得到|OM |的最小值与|AM |的最大值，则答案可求． 解：如图，由图可知，当M 为（1，0）时，|OM |最小为1，|AM |最大为3． 则|OM||AM|的最小值为13．故答案为：13．16．公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点A 处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B 处，测得仰角为30°，再行走80米到点C 处，测得仰角为θ．则tan θ＝√7777． 【分析】画出示意图，知道边长和角度，然后利用cos ∠EAB =AE 2+AB 2−BE 22AE⋅AB=AE 2+AC 2−EC 22AE⋅AC⇒EC ，即可求出结论．解：如图；DE ⊥面ACE ，∠EAB ＝45°，∠EBD ＝30°； 由题可得：AE ＝DE ＝60；AB ＝BC ＝80； ∴EB =DEtan30°=60√3； ∴cos ∠EAB=AE 2+AB 2−BE 22AE⋅AB =AE 2+AC 2−EC22AE⋅AC⇒602+802−(60√3)22×60×80=602+1602−EC 22×60×160⇒EC ＝20√77；∴tan θ=2077=3√7777； 故答案为：3√7777．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }满足a 1=13，a 2=415，且数列{√a n4a n −1}是等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ．【分析】（1）先由题设条件求√an 4a n −1，再求出a n ；（2）由（1）中求得的a n ，再利用裂项相消法求出S n ． 解：（1）由a 1=13，a 2=415，可得√a 14a 1−1=1，√a 24a 2−1=2，∵数列{√a n 4a n −1}是等差数列，且首项为1，公差d ＝1，∴√an 4a n −1=n ，∴a n =n 24n 2−1=14+14×14n 2−1=14+18(12n−1−12n+1)， ∴S n =n 4+18[（11−13）+（13−15）+…+（12n−1−12n+1）]=n 4+18−116n+8． 18．四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝CD ＝1，BC ∥AD ，∠PAD ＝90°．∠PBA 为锐角，平面PBA ⊥平面PBD ． （1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值．【分析】（1）作AM ⊥PB 于M ，推出AM ⊥BD ．取AD 中点为Q ，通过{DB ⊥ABDB ⊥AM ⇒DB⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD ．（2）取AQ 中点H ，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 法向量，平面PCD 法向量，利用空间向量的数量积求解即可．解：（1）证明：作AM ⊥PB 于M ，则由平面PAB ⊥平面PBD ⇒AM ⊥平面PBD ⇒AM ⊥BD ．取AD 中点为Q ，则BC ∥¯¯QD ⇒BQ =CD =1=QD =QA ⇒∠ABD =90°． 又∠PBA 为锐角，∴M 、B 不重合．{DB ⊥ABDB ⊥AM⇒DB ⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD ．（2）取AQ 中点H ，如图建立空间直角坐标系（其中x 轴与HB 平行），则B(√32，12，0)，C(√32，32，0)，D （0，2，0），P （0，0，2）．由（1）的证明知：平面PAB 的法向量为BD →=(−√32，32，0)．设平面PCD 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅PD →=0m →⋅CD →=0即{2y −2z =0−√32x +12y =0． 令x =1⇒m =(1，√3，√3)，cos〈m →，BD →〉=m →⋅BD →|m →|⋅|BD →|=−√32+3√323⋅7=√77．平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值：√77．19．直线l 过点（4，0），且交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A ，B 两点，∠AOB ＝90°． （1）求p ；（2）过点（﹣1，0）的直线交抛物线于M ，N 两点，抛物线上是否存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），运用向量垂直的条件和联立直线方程与抛物线的方程，解方程可得p ；（2）抛物线上假设存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值．设Q （x 0，y 0），MN 的方程为x ＝ty ﹣1，联立抛物线的方程，运用韦达定理和斜率公式，计算可得结论． 解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由∠AOB ＝90°，即OA →•OB →=0， 可得x 1x 2+y 1y 2＝0，即有y 122p•y 222p+y 1y 2＝0，即y 1y 2＝﹣4p 2，设直线l 的方程为x ＝my +4，联立抛物线的方程y 2＝2px ，可得y 2﹣2pmy ﹣8p ＝0， 则y 1y 2＝﹣8p ＝﹣4p 2，可得p ＝2；（2）抛物线上假设存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值．设Q （x 0，y 0），MN 的方程为x ＝ty ﹣1，代入抛物线的方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4ty +4＝0，则y M +y N ＝4t ，y M y N ＝4，则k MQ +k NQ =y M −y 0x M −x 0+y N −y 0x N −x 0=y M −y 0y M 24−y 024+y N −y 0y N 24−y 024=4y M +y 0+4y N +y 0=4(2y 0+y M +y N )y 02+y 0(y M +y N )+y M y N =4(2y 0+4t)y 02+4ty 0+4=16(t+y02)4y 0(t+y 02+44y 0)．当且仅当y 02=4+y 024y 0时，上式为定值．解得y 0＝±2．故Q （1，2）或（1，﹣2）．20．某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x （单位：只）的统计情况如表：x 14 15 16 17 18 频数4560756060这300天内（假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡7a （14≤a ≤18）只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a 只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56﹣a 元的价钱处理．（Ⅰ）若a ＝16，求养鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于需求量x （单位：只，x ∈N *）的函数解析式；（Ⅱ）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？【分析】（Ⅰ）根据每只鸡的成本为40元，饭店给鸡场每只结算70元，如果每个饭店当天的需求量x ＜a ，剩下的鸡只能以每只56﹣a 元的价格处理，建立分段函数模型，再将a ＝16代入求解；（Ⅱ）根据离散型分布列的特点，分类讨论，分别求出出栏112与119只时的期望，比较大小得结论．解：（Ⅰ）当x ＜a 时，y ＝（70﹣40）x +（56﹣a ﹣40）（a ﹣x ）＝（14+a ）x +16a ﹣a 2， 当x ≥a 时，y ＝30a ，∴y ={(14+a)x +16a −a 2，x ＜a30a ，x ≥a (x ∈N ∗)， 由a ＝16，得y ={30x ，x ＜16480，x ≥16（x ∈N*）；（Ⅱ）若出栏112只，则a ＝16，y ={30x ，x ＜16480，x ≥16（x ∈N*）．记Y 1为养鸡场当天在一个饭店获得的利润， Y 1可求420，450，480．P （Y 1＝420）＝0.15，P （Y 1＝450）＝0.2，P （Y 1＝480）＝0.65， Y 1的分布列为：Y 1 420 450 480 P0.150.20.65E （Y 1）＝420×0.15+450×0.2+480×0.65＝465； 若出栏119只，则a ＝17，y ={31x −17，x ＜17510，x ≥17（x ∈N*）．记Y 2为养鸡场当天在一个饭店获得的利润， Y 2可求417，448，479，510．P （Y 2＝417）＝0.15，P （Y 2＝448）＝0.2，P （Y 2＝479）＝0.25，P （Y 2＝510）＝0.4， Y 2的分布列为：Y 2 417 448 479 510 P0.150.20.250.4E （Y 2）＝417×0.15+448×0.2+479×0.25+510×0.4＝475.9．∵E （Y 1）＜E （Y 2），∴养鸡场出栏119只时，或利润最大．21．已知函数f （x ）={x 24e 2，x ≥02x ，x ＜0，g （x ）＝ln （x +a ）．（1）若f （x ），g （x ）有公共点M ，且在点M 处有相同的切线，求点M 的坐标； （2）判定函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在[0，+∞）上的零点个数．【分析】（1）设M （x 0，y 0），分x 0≥0 和x 0＜0 两种情况讨论，每种情况下利用两个函数在 x ＝x 0处的导数值和函数值相等建立方程求解；（2）结合（1）中得到的结论，分a ＝﹣e 、a ＜﹣e 、﹣e ＜a ≤1、a ＞1 四种情况讨论．解：（1）设M （x 0，y 0），则当x 0≥0时，{x 024e 2=ln(x 0+a)①x 02e 2=1x 0+a ②，由②得x 0+a =2e 2x 0，代入①得x 024e =ln 2e 2x 0=ln(2e 2)−lnx 0， 对函数φ(x)=x 24e 2−ln(2e 2)+lnx ，求导得φ′(x)=x 2e 2+1x ＞0， ∴φ（x ）为增函数，且φ（2e ）＝0，故x 0＝2e ；当x 0＜0时，{2x 0=ln(x 0+a)2=1x 0+a，则2x 0=ln 12，即x 0=−ln22； 综上，M 的坐标为（2e ，1）或(−ln22，−ln2)； （2）由（1）知，x 0＝2e 时，a =−e ，h(x)=x 24e2−ln(x −e)，则h′(x)=x2e2−1x−e ，h″(x)=12e 2+1(x−e)2＞0， 故h ′（x ）在定义域上单调递增，则易知h ′（x ）有唯一零点为x ＝2e ，则h （x ）≥h （2e ）＝0，故h （x ）有唯一零点；当a ＜﹣e 时，h(x)=x 24e2−ln(x +a)＞x 24e2−ln(x −e)≥0，h （x ）无零点；当﹣e ＜a ≤1时，h′(x)=x 2e 2−1x+a在[0，+∞）上至多一个零点，h （x ）在（0，+∞）上至少两个零点，而h （0）＝﹣lna ≥0，h （2e ）＝1﹣ln （2e +a ）＜0，x →+∞时，h （x ）→+∞， 故h （x ）在（0，2e ），（2e ，+∞）上各一个零点；当a ＞1时，h′(x)=x 2e 2−1x+a满足h ′（0）＜0，h ′（2e ）＞0， 故在（0，2e ）上，h ′（x ）仅一个零点，设为m ，在（0，m ）上，h （x ）为减函数，在（m ，+∞）上，h （x ）为增函数，而h(0)=−1a ＜0，h(m)＜h(0)＜0，x →+∞时，h （x ）→+∞，故仅在（m ，+∞）上有一个零点．综上可得，当a ＜﹣e 时，h （x ）无零点；当a ＝﹣e 或a ＞1时，h （x ）有1个零点；当﹣e ＜a ≤1时，h （x ）有2个零点．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosφy =1+tsinφ（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2=483cos 2θ+4sin 2θ． （Ⅰ）当φ=π3时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为M （2，1），求直线l 的斜率． 【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果． 解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为：√3x −y +1−2√3=0； 椭圆C 的直角坐标方程为：x 216+y 212=1．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的直角坐标方程整理得：（3+sin 2φ）t 2+（12cos φ+8sin φ）t ﹣32＝0， 由题意得：t 1+t 2＝0，故12cosφ+8sinφ=0⇒k =tanφ=−32， 所以直线l 的斜率为−32． 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x ﹣2|．（Ⅰ）若f （x ）≥3恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）f （x ）≤x 的解集为[2，m ]，求a 和m ．【分析】（Ⅰ）．根据绝对值三角不等式，由f （x ）＝|x ﹣a |+|x ﹣2|≥||=||，求得f（x）最小值，再由||≥3求解；（Ⅱ）不等式的解集与相应方程根的关系，当x＝2时，f（2）＝2，即||=2，解得a ＝0或4．再分类求解．解：（Ⅰ）∵f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2|≥||=||，当且仅当（x﹣a）（x﹣2）≤0时取等号，故f（x）的最小值为||，∴||≥3⇔a≥5或a≤﹣1．（Ⅱ）由不等式解集的意义可知：x＝2时，f（2）＝2，即||=2，解得a＝0或4．a＝0时，如图所示：不合题意，舍去；a＝4时，如图所示：由y＝x与y＝2x﹣6，解得：x＝6．即m＝6，综上，a＝4，m＝6．。

2020年湖北省黄冈中学高考数学冲刺试卷（理科）（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|x2−2x−3≤0}，B={x|x−1>0}，则集合A∩B=()A. {2,3}B. {−1,1}C. {1,2，3}D. ⌀=n+i(m,n∈R)，其中i为虚数单位，则m+n=()2.己知m−2iiA. −1B. 1C. 3D. −33.已知向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=1,|2a⃗+b⃗ |=√7，且a⃗与b⃗ 的夹角为60°，则|b⃗ |=()A. 1B. 3C. √3D. √54.已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3−a5=3，则S7=()A. 42B. 21C. 7D. 35.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图(90后指1990年及以后出生，80后指1980−1989年之间出生，80前指1979年及以前出生)，则下列结论中不一定正确的是()A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C. 互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%(其中e为自然对数的底数)的图象大致为()6.函数f(x)=e x+1x3(e x−1)A. B.C. D.7.已知抛物线y2=4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|=5，则线段MN的中点到y轴的距离为()A. 3B. 32C. 5 D. 528.如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠．若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为()A. 57B. 47C. 27D. 179.已知函数f(x)=2sin(2x+π6)，将f(x)的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x=π6对称，则θ的最小值为()A. π6B. π3C. π2D. π10.设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点．有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与α垂直；④存在过直线AB的平面与α平行．其中，一定正确的是()A. ①②③B. ①③C. ①④D. ③④11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2=45°，则双曲线的渐近线方程为()A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±xD. y=±2x12.已知球O是正四面体A−BCD的外接球，BC=2，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是()A. 89π B. 11π18C. 512π D. 4π9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1.如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n的值为6，则输出i的值为______．14.已知cos(2α+π6)=−25，则sin(2α−π3)=______．15.若(3+ax)(1+x)4展开式中x的系数为13，则展开式中各项系数和为______(用数字作答)．16.已知函数f(x)={e x−1−e1−x,x≤1|x−2|−1,x>1(其中e为自然对数的底数)，则不等式f(x)+ f(x−1)<0的解集为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}中，a1=1且2a n+1=6a n+2n−1(n∈N∗).(1)求证：数列{a n+n2}为等比数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，已知四边形ABCD是边长为√2的正方形，点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，点P在棱SD上，且△SAC的面积为1．(1)若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC；(2)在棱SD上是否存在一点P使得二面角P−AC−D的余弦值为√5？若存在，求出5点P的位置；若不存在，说明理由．19.已知椭圆的一个顶点A(0,−1)，焦点在x轴上，离心率为√3．2(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．20.东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内(含4小时)每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内(含24小时)收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间(假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次)，得到下面的频数分布表：以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．(1)现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的2×2列联表：完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？(2)(i)X表示某辆车一天之内(含一天)在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望E(X)；(ii)现随机抽取该停车场内停放的3辆车，ξ表示3辆车中停车费用大于E(X)的车辆数，求P(ξ≥2)的概率．参考公式：k2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.已知函数f(x)=e2x+mx，x∈(0,+∞)(其中e为自然对数的底数)．(1)求f(x)的单调性；(2)若m=−2，g(x)=a2x2e x，对于任意a∈(0,1)，是否存在与a有关的正常数x0，使得f(x02)−1>g(x0)成立？如果存在，求出一个符合条件x0；否则说明理由．22.在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2−4x−6y+5=0.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−3√22．(1)写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点P在C上，点Q在l上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．23.已知函数f(x)=|x+1|−|x−2|．(1)解不等式f(x)≤1；(2)记函数f(x)的最大值为s，若√a+√b+√c=s(a,b，c>0)，证明：√a b√c≥3．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={x∈Z|−1≤x≤3}={−1,0，1，2，3}，B={x|x>1}，∴A∩B={2,3}．故选：A．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D=n+i，得m−2i=i(n+i)=−1+ni，【解析】解：由m−2ii∴m=−1，n=−2．则m+n=−3．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得m，n的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=1,|2a⃗+b⃗ |=√7，∴4a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=7．又a⃗与b⃗ 的夹角为60°，∴4+4⋅1⋅|b⃗ |⋅cos60°+|b⃗ |2=7，则|b⃗ |=1，或|b⃗ |=−3(舍去)，故选：A．由题意利用两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3−a5=3，∴a1+5d+a1+2d−a1−4d=a1+3d=3，∴S7=7(a1+a7)=7(a1+3d)=21．2故选：B．利用等差数列通项公式求出a1+3d=3，再由S7=72(a1+a7)=7(a1+3d)，能求出结果．本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图，知：在A中，互联网行业从业人员中90后占56%，故A正确；在B中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故B错误；在C中，互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%，故D正确．故选：B．利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图直接求解．本题考查例题真假的判断，考查整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【解析】解：f(−x)=e −x+1(−x)3(e−x−1)=−1+e xx3(1−e x)=e x+1x3(e x−1)=f(x)，故函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3(e x−1)>>e x+1，f(x)→0，故排除B．故选：D．由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f(x)→0，排除B，由此得到答案．本题考查函数图象的确定，考查读图识图能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】【分析】考查抛物线的定义的应用，属于基础题．抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．【解答】解：由抛物线方程得，准线方程为：x=−1，设M(x,y)，N(x′,y′)，由抛物线的定义得，MF+NF=x+x′+p=x+x′+2=5，线段MN的中点的横坐标为x+x′2=32，线段MN的中点到y轴的距离为：32．故选：B．8.【答案】A【解析】解：我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠．从某一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n=C73=35，至少含有一颗上珠包含的基本事件个数m=C22C51+C21C52=25，∴至少含有一颗上珠的概率为P=mn =2535=57．故选：A．从某一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n=C73=35，至少含有一颗上珠包含的基本事件个数m=C22C51+C21C52=25，由此能求出至少含有一颗上珠的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】C【解析】解：函数f(x)=2sin(2x+π6)，将f(x)的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得y=f(x−θ)=2sin[2(x−θ)+π6]=2sin(2x−2θ+π6)；又函数y的图象关于直线x=π6对称，即2×π6−2θ+π6=kπ+π2，k∈Z；解得θ=−12kπ，k∈Z；又θ>0，所以θ的最小值为π．2故选：C．根据三角函数图象平移法则写出平移后的函数解析式，再根据函数图象关于直线x=π6对称求出θ的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移问题，是基础题．10.【答案】B【解析】解：对于①，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都在α内存在直线与直线AB异面，所以①正确；对于②，当直线AB与α平行时，平面α内不存在直线与直线AB相交，所以②错误；对于③，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都存在过直线AB的平面与α垂直，所以③正确；对于④，若直线AB与α相交，则不存在过直线AB的平面与α平行，所以④错误；综上知，正确的命题序号是①③．故选：B．根据空间中的直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断题目中的命题真假性即可．本题考查了空间中的直线与平面以及平面与平面的位置关系应用问题，是基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，进而得到所求渐近线方程．【解答】解：设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ， 由|ON|=a ，且ON 为△F 1F 2A 的中位线，可得 |F 2A|=2a ，|F 1N|=√c 2−a 2=b ， 即有|F 1A|=2b ， 因为∠F 1MF 2=45°，所以在等腰直角三角形MF 2A 中，可得|MF 2|=2√2a ， 即有|MF 1|=2b +2a ，由双曲线的定义可得|MF 1|−|MF 2|=2b +2a −2√2a =2a ， 可得b =√2a ，则双曲线的渐近线方程为y =±√2x. 故选A ．12.【答案】A【解析】解：作AO′⊥面BCD ，垂足为O′连接BO′并延长交CD 于F ，由题意得F 时CD 的中点，且O′为三角形BCD 的外接圆的圆心，设三角形BCD 的外接圆半径为r ，则r =BO′=23BF =23⋅√32BC =√33⋅2=2√33，高ℎ=AO′=√AB 2−BO′2=(2√33)=2√63，设外接球的球心为O ，设外接球的半径为R ，则由题意知O 在AO′上，连接OB ，R =OB ，在三角形BOO′中：R 2=r 2+(ℎ−R)2，所以2Rℎ=r 2+ℎ2，将r ，h 值代入可得：R =√62，所以OO′=AO′−R =2√63−√62=√66， 因为点E 在线段BD 上，且BD =3BE ，BD =2，所以BE =23，在三角形BEO′中，由余弦定理：O′E =√BO′2+BE 2−2⋅BO′⋅BE ⋅cos30°=√(2√33)2+(23)2−2⋅2√33⋅23⋅√32=23，正三角形OEO′中，OE 2=O′E 2+OO′2=(23)2+(√66)2=1118当过E 的截面与OE 垂直时，截面的面积最小，设截面的半径为r′则r′2=R 2−OE 2=(√62)2−1118=1618=89，所以截面的面积S =πr′2=89π，故选：A．由正四面体的棱长求出底面外接圆的半径即棱锥的高，再由外接球的半径与高和底面外接圆的半径之间的关系求出外接球的半径，在△BEO′，由余弦定理求出EO′的值，当过E的截面与OE垂直时，截面的面积最小，求出OE，再求求出截面的半径，进而求出截面的面积．考查正四面体的外接球的半径与棱长的关系，及截面面积最小时的情况．属于中档题．13.【答案】8【解析】解：i=0，n=6；n为偶数，n=3，i=1；n为奇数，n=10，i=2；n为偶数，n=5，i=3；n为奇数，n=16，i=4；n为偶数，n=8，i=5；n为偶数，n=4，i=6；n为偶数，n=2，i=7；n为偶数，n=1，i=8；跳出循环，输出结果8，故答案为：8．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出相应变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．14.【答案】25【解析】解：因为sin(2α−π3)=cos[π2−(2α−π3)]=cos(5π6−2α)=cos[π−(2α+5π6)]=−cos(2α+π6)=25．故答案为：25．直接根据诱导公式把所求问题转化为sin(2α−π3)=cos[π2−(2α−π3)]=cos(5π6−2α)=cos[π−(2α+5π6)]=−cos(2α+π6)即可求解．本题主要考查诱导公式在解题中的应用，属于基础题目．15.【答案】64【解析】解：∵(3+ax)(1+x)4展开式中x 的系数为：3C 41+aC 44=12+a =13，∴a =1， 令x =1，得：(3+x)(1+x)4展开式中各项系数和为：(3+1×1)(1+1)4=64， 故答案为：64．依题意，可得3C 41+aC 44=12+a =13，求得a =1，再赋值x =1，即可求得展开式中各项系数和．本题考查二项式定理，依题意，求得a =1是关键，考查赋值法的灵活应用，属于中档题．16.【答案】(−∞,72)【解析】解：因为f(x)={e x−1−e 1−x ,x ≤1|x −2|−1,x >1，∴当x ≤1时，x −1≤0，∴由f(x)+f(x −1)<0，得e x−1−e 1−x +e x−2−e 2−x <0，∴x ≤32，又x ≤1，∴x ≤32； 当1<x ≤2时，0<x −1≤1，∴由f(x)+f(x −1)<0， 得|x −2|−1+e x−2−e 2−x <0，∴|x −2|<1−e x−2+e 2−x ， ∵当1<x ≤2时，|x −2|∈[0,1)，1−e x−2+e 2−x ∈[1,1+e +1e )， ∴当1<x ≤2时，f(x)+f(x −1)<0成立，∴1<x ≤2， 当x >2时，由f(x)+f(x −1)<0，得|x −2|−1+|x −3|−1<0，∴|x −2|+|x −3|<2， ∴32<x <72，又x >2，∴2<x <72， 综上，不等式的解集为(−∞,72)． 故答案为：(−∞,72)．根据f(x)+f(x −1)<0，分x ≤1，1<x ≤2和x >2三种情况解不等式即可． 本题考查了指数不等式和绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和计算能力，属中档题．17.【答案】(1)证明：∵2a n+1=6a n +2n −1(n ∈N ∗)∴a n+1=3a n+n−12；∴a n+1+n+1 2a n+n2=3a n+n−12+n+12a n+n2=3a n+32na n+n2=3；∴{a n+n2}为等比数列，首项为32，公比为3．(2)解：由(1)得：a n+n2=(a1+12)×3n−1=32×3n−1=12×3n；∴a n=12×3n−n2；S n=a1+a2+a3+⋯…+a n=12(31+32+33+⋯…+3n)−12(1+2+3+⋯…+n) =123(1−3n)1−3−12n(n+1)2=3(3n−1)4−n2+n4=3n+1−n2−n−34．【解析】(1)把已知的递推关系式整理即可证明结论；(2)先利用(1)的结论求出通项公式，再直接利用分组求和即可求解．本题主要考查由数列的递推关系式求数列的通项以及分组求和的应用，是对数列知识的综合考查，属于中档题目．18.【答案】解：(1)∵点S在底面ABCD上的射影为点O，∴SO⊥平面ABCD，∵四边形ABCD是边长为√2的正方形，∴AC=2；∵三角形SAC的面积为1，∴12×2×SO=1，即SO=1，∴SC=√2，∵CD=√2，点P是SD的中点，∴CP⊥SD，同理可得AP⊥SD；又因为AP∩CP=P，AP，CP⊂平面PAC；∴SD⊥平面PAC，∵SD⊂平面SCD，∴平面SCD⊥平面PAC．(2)如图，连接OB，易得OB，OC，OS两两互相垂直，分别以OB，OC，OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O−xyz，则A(0,−1,0)，C(0,1，0)，S(0,0，1)，D(−1,0，0)；假设存在点P 使得二面角P −AC −D 的余弦值为√55，不妨设SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λSD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又点P 在棱SD 上，∴0≤λ≤1， 又SD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，−1)， ∴SP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,0，−λ)，∴P(−λ,0，1−λ)， 设平面PAC 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,1，1−λ)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， ∴{−λx +y +(1−λ)z =02y =0， 令z =λ，可得x =1−λ，∴平面PAC 的一个法向量为n⃗ =(1−λ,0，λ)， 又平面ACD 的一个法向量为OS⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)，二面角P −AC −D 的余弦值为√55； ∴|cos <OS ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|OS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||OS ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=√(1−λ)2+λ2=√55， 即3λ2+2λ−1=0，解得λ=13或λ=−1(不合题意，舍去)；所以存在点P 符合题意，点P 为棱SD 靠近端点S 的三等分点．【解析】(1)根据题意证明CP ⊥SD ，AP ⊥SD ，得出SD ⊥平面PAC ，即可证明平面SCD ⊥平面PAC ；(2)连接OB ，易知OB ，OC ，OS 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，设存在点P 使得二面角P −AC −D 的余弦值为√55，SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λSD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则0≤λ≤1； 利用法向量表示二面角的余弦值，求出λ的值，从而求出点P 的位置．本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了利用空间向量求出二面角余弦的计算问题，是中档题．19.【答案】解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a +y2b =1(a >b >0)， 则{b =1ca =√32,a 2=b 2+c 2,解之得：a =2,b =1,c =√3．故椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设P(x 0,y 0)弦MN 的中点，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 由{y =kx +m,x 24+y 2=1,得(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 因为直线与椭圆相交，所以x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4(m 2−1)4k 2+1，△=(8km)2−16(4k 2+1)(m 2−1)>0⇒m 2<1+4k 2，① ∴x 0=x 1+x 22=−4km4k 2+1，所以y 0=kx 0+m =m4k +1． ∴k AP =y 0+1x 0=−m+1+4k 24km，又|AM|=|AN|，∴AP ⊥MN ，则−m+1+4k 24km=−1k，即3m =4k 2+1，②把②代入①得m 2<3m ，解得0<m <3， 由②得k 2=3m−14>0，解得m >13．综上可知m 的取值范围为(13,3)．【解析】(1)根据顶点、离心率建立方程求出椭圆的标准方程；(2)先由直线与椭圆方程联立方程组，由判别式得出不等关系，根与系数关系，再将条件|AM|=|AN|转化为A 在线段MN 的垂直平分线上，建立等量关系，最后将它们相结合进行求解．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的综合问题，有一定难度，属于中档题目．20.【答案】解：(1)2×2列联表如下：根据上表数据代入公式可得K 2=100×(20×30−10×40)230×70×60×40=5063≈0.794<2.706，所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关． (2)(i)由题意知：X 的可取值为5，8，11，15，19，30， P(X =5)=110，P(X =8)=110，P(X =11)=15， P(X =15)=15，P(X =19)=720，P(X =30)=120．所以X 的分布列为：∴E(X)=5×110+8×110+11×15+15×15+19×720+30×120=14.65． (ii)由题意得P(X >14.65)=15+720+120=35， ∴ξ～B(3,35)，∴P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=C 32(35)2(25)+(35)3=3×925×25+27125=81125．【解析】(1)作出2×2列联表，求出K 2=100×(20×30−10×40)230×70×60×40=5063≈0.794<2.706，从而没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关．(2)(i)由题意知：X 的可取值为5，8，11，15，19，30，分别求出相应的概率，由此有求出X 的分布列和数学期望．(ii)由题意得P(X >14.65)=15+720+120=35，从而ξ～B(3,35)，由此能求出P(ξ≥2)的概率．本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=2e 2x +m ，①当m ≥0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上的单调递增；②当−2≤m <0时，x ∈(0,+∞)，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上的单调递增； ③当m <−2时，由f′(x)=0得x =12ln(−m2)>0，x ∈(0,12ln(−m2))时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x ∈(12ln(−m 2),+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 综上所述：当m ≥−2时，f(x)在(0,+∞)上的单调递增；当m <−2时，f(x)在(0,12ln(−m2))上单调递减，f(x)在(12ln(−m2),+∞)上单调递增；(2)f(x02)−1>g(x 0)⇒e x 0−x 0−1>a2x 02e x 0⇒1−x 0+1e x 0>a2x 02⇒a2x 02+x 0+1e x 0−1<0(∗)，需求一个x 0，使(∗)成立，只要求出t(x)=a2x 2+x+1e x−1的最小值，满足t(x)min <0，∵t′(x)=x(a −1e x )∴t(x)在(0,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增， ∴t(x)min =t(−lna)=a2ln 2a +a(−lna +1)−1，只需证明a2ln 2a +a(−lna +1)−1<0在a ∈(0,1)内成立即可，令φ(a)=a 2ln 2a +a(−lna +1)−1⇒φ′(a)=12ln 2a >0， ∴φ(a)在a ∈(0,1)单调递增，∴φ(a)<φ(1)=12ln 21+1×(−ln1+1)−1=0，所以t(x)min <0，故存在与a 有关的正常数x 0=−lna(0<a <1)使(∗)成立．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可判断， (2)需求一个x 0，满足结论成立，只要求出t(x)=a2x 2+x+1e x−1的最小值，满足t(x)min <0，结合函数的性质及导数即可证明．本题考查了导数的综合应用，考查了一定的推理与运算的能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)圆C 的方程可化为(x −2)2+(y −3)2=8，圆心为C(2,3)，半径为2√2，∴圆C 的参数方程为{x =2+2√2cosαy =3+2√2sinα(α为参数)直线l 的极坐标方程可化为ρsinθ+ρcosθ=−3， ∵{ρcosθ=x ρsinθ=y， ∴直线l 的直角坐标方程为x +y +3=0． (2)：曲线C 是以C(2,3)为圆心，半径为2√2的圆， 圆心C(2,3)到直线l ：x +y +3=0的距离d =22=4√2，所以|PQ|min =4√2−2√2=2√2，此时直线PQ 经过圆心C(2,3)，且与直线l ：x +y +3=0垂直，k PQ ⋅k l =−1， 所以k PQ =1，PQ 所在直线方程为y −3=x −2，即y =x +1． 联立直线和圆的方程{y =x +1x 2+y 2−4x −6y +5=0，解得{x =0y =1或 {x =4y =5当|PQ|取得最小值时，点P 的坐标为(0,1) 所以|PQ|min =2√2，此时点P 的坐标为(0,1)．【解析】(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和方程组的解法的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，方程组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)f(x)={−3,x ≤−12x −1,−1<x <23,x ≥2，①当x ≤−1时，−3≤1恒成立，所以x ≤−1；②当−1<x <2时，2x −1≤1，即x ≤1，所以−1<x ≤1； ③当x ≥2时，3≤1显然不成立，所以不合题意； 综上，不等式的解集为(−∞,1]． (2)证明：由(1)知f(x)max =3=s ， 于是√a +√b +√c =3， 所以√a√a √b√b +√c+√c≥2√b +2√c +2√a =6，当且仅当a =b =c =1时取等号， 所以√a √b √c ≥3．【解析】(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤1分别解不等式即可； (2)先由(1)得到f(x)的最大值s ，然后利用基本不等式即可证明√a √b √c ≥3成立．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。