高中数学 球的体积和表面积教案 新人教A版

1 球的体积和外表积宁夏同心县豫海回民中学韩雪【教材分析】本节课内容结合数学文化，借助小实验给出了球体的体积和外表积公式，病通过实际例题加以对公式的应用。

本班学生根底知识薄弱，空间想象能力差，所以本节课更侧重于公式的实际应用。

借助电子白板教学的优势，攻克教学过程中的重难点，提高教学效果。

【学情分析】本节课考查球的体积和外表积，由于学生空间想象能力弱，根底知识弱，没有通过极限和微积分的角度去学习球体的体积和外表积公式，而是通过数学史开展的角度结合小实验让学生体会数学的美，同时借助三维动画进行演示，帮助想象和理解。

【教学目标】知识与技能〔1〕了解球的外表积和体积公式。

〔2〕能运用球的外表积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题。

〔3〕培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

过程与方法通过数学史开展的角度结合小实验让学生掌握球体的体积和外表积公式，体会数学的美。

情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，渗透数学文化，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

【教学重难点】重点：球的体积和面积公式的实际应用难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。

【教学过程】一、问题导入问题1：圆柱和圆锥的体积公式是什么？问题1：日常生活中常见的球体有哪些？问题2：球体如何形成？〔学生总结球体概念,教师模型展示加深记忆〕二、新课讲授1.球体的概念问题3：球被平面所截得到什么样的图形？2.大圆和小圆问题4：球体有没有底面，能不能展成平面图形？球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么如何求球体体积呢？〔介绍古今中外研究球体体积的数学文化开展〕3 球的体积〔等积原理〕方法1：“祖暅原理〞求球体体积〔幂势既同，那么积不容异〕所以，〔实验证明〕，定理：半径为R的球体的体积为例1 钢球直径是5cm,求它的体积〔解略〕稳固练习：1 将一个球的半径扩大为原来的一倍，那么它的体积是原来的〔〕倍2 两个球的体积之比是8:27，那么它们的半径之比是〔〕方法2：分割---近似---求和---求极限〔借用刘辉的“倍边割圆术〞思想〕〔让学生展示分割的小实验，体会数学的美〕方法3：阿基米德排水法原理〔曹冲称象的视频引入〕问题5：如何求球体的外表积？4 球的外表积又∵，且∴可得，又∵，∴，∴即为球的外表积公式定理：半径为R的球体的外表积为例2：火星的半径约是地球的一半，地球外表积是火星的多少倍？〔解略〕练习稳固：3 假设球的外表积变为原来的2倍，那么半径变为原来的_____倍小结：球的体积公式、外表积公式都是以R为自变量的函数。

《1.3.2球的体积和表面积》教学设计
教材：人民教育出版社A 版普通高中课程标准实验教科书《数学必修2》
一、 教学目标
知识目标：
1、掌握球的体积公式34
3
V R π=
、表面积公式24S R π=. 2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力． 3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题． 能力目标：
通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神. 提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力
情感目标：
通过寻求如何研究球的内切与外接的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育. 二、 教学重点、难点
重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.
难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题 三、教学方法
采用试验探索，启发式的教学方法.
教辅手段：圆柱、圆锥、半球容积比实物模型；一盆水；多媒体. 四、教学过程
由题意可知，该几何体是长方体，。

必修2第1章第3节《球的体积和表面积》第1课时教学设计【课标解读】由于球的体积和表面积公式在推导证明上比较繁琐，先生在理解掌握上也比较困难，根据新的《数学课程标准》要求，本节的公式证明和推导应淡化处理，只需让先生简单了解推导过程，领会其中所包含的数学思想和方法，和它们在后续学习中的作用，不要求先生掌握其证明。

在球的体积和表面积公式运用和球与几何体组合体的求解过程中，进步先生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。

经过运用预设和相应的运用练习进步先生的提出、分析和解决成绩（包括简单的理论成绩）的能力，利用先生身旁熟知的成绩预设进步先生学习数学的兴味，建立学好数学的决心，进而构成锲而不舍的研讨精神和科学态度。

【教材分析】本节课是人教A版高中数学（课程标准实验教材）必修2第一章“空间几何体”第三节“球的体积和表面积”，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，经过空间度量方式了解另一种基本几何体的结构特点。

从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研讨空间组合体结构特点的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更注重先生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础。

【学情分析】先生刚学习立体几何不久，具备的图形言语表达及空间想象能力绝对不足，几何体的内切球、外接球的地位关系较难想象，很难顺利作出正确的直观图，空间图构成绩向平面图构成绩的转化认识也不够，对于解决组合体的体积和表面积的成绩有必然的困难，而且先生的归纳总结能力不够，独立完成自主学习任务有必然困难，还不能从必然高度去体会和感悟数学思想。

这些都是摆在先生面前的难题，也是教学中迫切需求解决的成绩。

【教学目标】1.掌握球的体积、表面积公式及其运用。

2会用球的表面积公式、体积公式解决相关成绩，培养先生运用数学的能力，发展逻辑思想能力，加强辩证唯物主义观点。

《§ 球的体积与表面积》教学设计一、教学内容分析1 本节课具有承上启下的作用。

它是在学完“柱、锥、台体的体积和表面积”展开的，也为后续立体几何的进一步学习奠定基础。

2教材直接给出公式，并说以后可以证明，这体现了新教材的弹性，同时体现出“公式的应用”是本节的教学重点。

3 本课设置“观察猜想实验验证”、“实验发现类比探究”活动，使原来枯燥的公式记忆和应用变得有趣生动，提高了学生解决问题的能力和创新精神。

4“球的切接问题”是高考的热点,所以“球的简单组合体的表面积和体积”是本节课的教学难点。

二、教学对象分析球是生活中常见的几何体，学生有一定的感知和了解；但学生跟立体几何接触的时间不长，学习程度尚浅，难以从“柱体、锥体、台体的体积和表面积”跨度到“球的表面积与体积”，思维上可能存在障碍，空间想象能力还停留在平面。

三、教学目标 1．知识与技能（1）识记球的体积与表面积公式；圆柱圆锥半球V V V =+创设情境，导观察猜想，动类比探究，视应用举例，当能力提升，拓变式挑战，突归纳小结，形323V R π=半球24S R π=24S R π=323π的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是_______．学生打开IPAD 或手机软件，完成测试并上传答案；学生分享、讲评自己的解答过程。

3解： V V =圆柱球，2343R h R ππ∴=，23443R R ππ∴=，3.R ∴=任务驱动法， 提高学生的解决问题的能力和应用的意识，加深对公式的理解。

提示与强调：球的体积和表面积的问题，关键是求球的半径R利用“101教育PPT ”软件平台，统计出正确率、小组排行榜。

借助 “101教育PPT ”软件平台，用手机拍下自己的解答过程上传到大屏幕来讲评。

教学环节教师活动学生活动设计意图可能出现的问题及对策五、能力提升正方体的棱长为a,球O和正方体的六个面都相切，求球O的表面积。

得到结论：正方体的棱长a等于内切球的直径。

球的体积和表面积【学习目标】1．掌握棱柱与圆柱、棱锥与圆锥、棱台与圆台侧面展开图的形状，会求它的侧面积和其表面积；2．掌握棱柱与圆柱、棱锥与圆锥、棱台与圆台的侧面积与体积公式之间的联系与区别，并熟悉它们之间的转化关系。

3．了解球的体积公式和表面积公式的推导方法，即“分割——求近似和——化成准确值”的基本方法，掌握球的体积、表面积公式并灵活运用。

【学习重难点】1．学习重点：让学生了解球体的体积公式和表面积公式，并在此基础上对其进行应用。

2．学习难点：在公式的应用过程中有关球的组合体的计算。

【学习过程】柱、锥、台体三者之间存在着特定的联系。

柱、锥、台的侧面积与体积公式都可以同台体的侧面积和体积公式统一起来：当c '=c 时，S 正棱台(圆台)侧面积−−−→转化为S 正棱柱(圆柱)侧面积； 当c '= 0时，S 正棱台(圆台)侧面积−−−→转化为S 正棱锥(圆锥)侧面积； 当S '=S 时，V 台体−−−→转化为V 柱体； 当S '= 0时，V 台体−−−→转化为V 锥体。

其中c 、c '分别是正棱台的上、下底面的周长，S 、S '分别是正棱台上下底的面积。

要点梳理一、空间几何体的表面积1．棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积，棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和。

（1）因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形，所以它的展开图是以棱柱的周长与高分别为长和高的矩形。

如果设直棱柱底面周长为c ，高为h ，则侧面积S 侧= ch 。

（2）若长方体的长、宽、高分别是A 、B 、C ，则其表面积S = 2（ab ＋bc ＋ca ）。

2．圆柱的侧面展开图是一个矩形。

矩形的高是圆柱母线的长，矩形的长为圆柱底面周长。

如果设圆柱母线的长为l ，底面半径为r ，那么圆柱的侧面积S 侧=2rl π，此时圆柱底面面积S 底=2r π。

所以圆柱的表面积S =S 侧＋S 底=2rl π＋22r π=2()r r l π+。

1.3.2 球的体积与表面积【教学目标】1．会求球体的表面积和体积．2．理解球体的切接问题．3. 培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.4. 激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识【教学重点】会求球体的表面积和体积【教学难点】理解球体的切接问题【教学过程】一、导入新课问题1：一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？问题2：如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？ 我们今天就来学习: 1.3.2 球的体积与表面积二.新知探究与解题研究（认真阅读教材，完成下列各题）(一)问题导学探究1：阅读教材第27页，完成以下填空题：1.球的体积公式为334R V π= (其中R 为球的半径). 2.球的表面积公式为24R S π=.探究2.球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？球没有底面，球的表面不能展开成平面.（二）知识运用与解题研究题型一 球的表面积和体积例 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为5003π，求它的表面积. （1）【解析】设球的半径为R ，则4πR2＝64π，解得R ＝4，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π. （2）【解析】设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5， 所以球的表面积S ＝4πR2＝4π×52＝100π.【点评】1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积.2.已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.变式 一个球的表面积是16π，则它的体积是( )π π【答案】D三、当堂检测1.直径为6的球的表面积和体积分别是( )π，144π π，36ππ，36π π，144π【答案】B【解析】 球的半径为3，表面积S ＝4π·32＝36π，体积V ＝43π·33＝36π. 2.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )【答案】D【解析】设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3. 四、课堂小结（引导学生总结本节课内容与方法）球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据，在球的轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形，其量值关系是解决问题的主要方法.五、课后作业教材必修二：第28页 练习1，2。

百度文库 - 让每个人平等地提升自我1黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第一章《1.3.2球的体积和表面积》学案一、学习目标:知识与技术:⑴通过对球的体积公式的推导，了解推导进程中所用的大体数学思想方式，知道祖暅原理。

⑵能运用球的公式灵活解决实际问题。

培育空间想象能力。

进程与方式:通过球的体积公式的推导，从而取得一种推导球体积公式的方式，情感与价值观:通过学习，使咱们对球的表面积、体积公式的推导方式有了必然的了解，提高空间思维能力和空间想象能力，增强了咱们探索问题和解决问题的信心。

二、学习重难点:学习重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的大体思想方式。

学习难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三、利用说明及学法指导:一、限定45分钟完成，认真阅读教材内容，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。

二、把学案中自己易忘、易犯错的知识点和疑难问题和解题方法规律，及时整理在解题本，多温习记忆。

3、小班完成A,B,C 全数内容；实验班完成B 级以上；平行班完成A~B.（其中A 、B 级问题自主完成；C 级问题可由合作探讨方式完成）四、知识链接:什么是球？球的半径？ 球的直观图如何画？球的半径，截面圆的半径，球心与截面圆心的距离间有何关系？五、学习进程:B 问题1：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么如何来求球的表面积与体积呢？球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？（阅读32页了解球的体积的推导即可，球的表面积的推导不要求了解）B 问题2：球的表面积的公式如何？球的体积如何？A 例1：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。

求证：（1）球的体积等于圆柱的体积的32；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积；- 2 - A 例2：已知：钢球直径是5cm,求它的体积.B (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)六、达标训练一、选择题A1一个正方体的极点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ）A. 3πB. 4πC. 2πD. πB2．在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的 一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是 （ ）A B C DB3正方体的全面积为a ,它的极点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ）A.3aπ; B.2aπ; C.a π2; D.a π3.B4已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ ） （A ）22 （B 23 （C ）423 （D 43二、填空题A五、球的直径伸长为原来的2倍,体积变成原来的倍.B六、一个正方体的极点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为 cm3.B7、长方体的一个极点上三条棱长别离为3、4、5，是它的八个极点都在同一球面上，则这个球的表面积是。

2019-2020年高中数学1.3.2球体的体积和表面积教案新人教A版必修2【教学目标】（1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

（2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

【教学重难点】重点：球的体积和面积公式的实际应用难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。

【教学过程】一、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。

教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积，表面积Ｓ＝４πR2二、典例例1．一种空心钢球的质量是732πg，外径是5cm，求它的内径. （钢密度9g/cm3）求空心钢球的体积。

解析：利用“体积=质量/密度”及球的体积公式解：设球的内径为r,由已知得球的体积V=732π/9(cm3)由V=(4/3) π(53-r3)得r=4(cm)点评：初步应用球的体积公式变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________()例2 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。

（答案：2500π）解析：利用轴截面解决解：设球的半径为R,球心到较大截面的距离为x则R2=x2+202,R2=(x+9)2+72解得x=15,R=25所以球的表面积Ｓ＝2500π点评：数形结合解决实际问题变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。

（答案50π）【板书设计】一、球的面积和体积公式二、例题例1变式1例2变式2【作业布置】P30 1、21.3.2 球的体积和表面积课前预习学案一．预习目标：记忆球的体积、表面积公式二．预习内容：1.3.2课本内容思考：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积三．提出疑惑课内探究学案一．学习目标：应用球的体积与表面积公式的解决实际问题学习重点：球的体积和面积公式的实际应用学习难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。

2019-2020年高中数学 1.3.3球的表面积与体积精品教案新人教A版必修2（一）教学目标1．知识与技能（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.（2）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.3．情感、态度与价值让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：球的表面积与体积的计算难点：简单组合体的体积计算（三）教学方法教学过程教学内容师生互动设计意图新课引入复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题.师生共同复习，教师点出点题（板书）复习巩固探索新知1．球的体积：2．球的表面积：师：设球的半径为R，那么它的体积：，它的面积现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数.师(肯定) ：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.加强对公式的认识培养学生理解能力典例分析例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R.因为，教师投影例1并读题，学生先独立完成.教师投影答案并点评（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径）本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力.，所以，.（2）因为， ，所以，S 球 = S 圆柱侧.例2 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（ ）A ．6:13B ．5:14C ．3:4D ．7:15【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD ，球的大圆O 内切于梯形ABCD .设球的半径为R ，圆台的上、下底面半径分别为r 1、r 2，由平面几何知识知，圆台的高为2R ，母线长为r 1 + r 2.∵∠AOB = 90°，OE ⊥AB (E 为切点)，∴R 2 = OE 2 = AE ·BE = r 1·r 2.由已知S 球∶S 圆台侧= 4R 2∶(r 1+r 2)2 = 3∶4(r 1 + r 2)2 =V 球∶V 圆台 =3221122431()23R r r r r R ππ++⋅=故选A.例3 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两垂直且PA = PB = PC = a ，求这个球的体积.教师投影例2并读题， 师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.生：球内切于圆台.师：你准备怎样研究这个组合体？生：画出球和圆台的轴截面.师：圆台的高与球的哪一个量相等？生：球的直径.师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.解：∵PA、PB、PC两两垂直，PA = PB = PC = a.∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.又∵P、A、B、C四点是球面上四点，∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径.∴.∴教师投影例3并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱，所以P–ABC可以看成一个正方体的一角，四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线.本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.随堂练习1．（1）将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？（2）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积.（3）一个球的体积是100 cm2，试计算它的表面积(取3.14，结果精确到1cm2，可用计算器).参考答案：1．（1）8倍；（2）（3）104.学生独立完成巩固所学知识归纳总结1．球的体积和表面积2．等积变换3．轴截面的应用学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.课后作业 1.3 第三课时习案学生独立完成固化练习提升能力备用例题例1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面积与球的体积．【分析】 可以用球的截面性质。

1．3.2 球的体积和表面积学习目标 1.掌握球的表面积和体积公式.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题 [导入新知]1．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝ . 2．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝ ，即球的表面积等于它的大圆面积的 倍． [化解疑难]1．一个关键 把握住球半径 2．两个结论(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方． (2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方． 题型一 球的体积与表面积[例1] 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16π C.16π3D.64π3题型二 根据三视图计算球的体积与表面积[例2] 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm 2.[类题通法]计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( ) A．18πB．30πC．33πD．40π题型三球的截面问题[例3] 已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．[类题通法]球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积．题型四 1．探究与球有关的组合问题[典例] 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．[多维探究]1．球的内接正方体问题若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积．2．球内切于正方体问题将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π63．球的内接正四面体问题若棱长为a 的正四面体的各个顶点都在半径为R 的球面上，求球的表面积．4．球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．5．球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2D ．5πa 2[方法感悟] 1．正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面，如图(1)． 2．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝2a2，如图(2)． 3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(3)．4．正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . 5．正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为：2R ＝62a . [随堂即时演练]1．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3D ．1∶12．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( ) A ．8π B ．4π C ．12πD ．16π3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍． 4．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M .若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．5．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积． (2)已知球的体积为36π，求它的表面积．一、选择题1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3D.8∶272．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 23．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( )A ．4∶3B ．3∶1C ．3∶2D ．9∶44．(全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π5．(山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π 二、填空题6．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________ cm 2.7．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．8．(天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．10．用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为r 1＝24 cm ，r 2＝15 cm ，两截面间的距离为d ＝27 cm ，求球的表面积．。

高中数学新人教A版必修二教案：1.3.3球的表面积与体积第三课时球的表面积与体积（一）教学目标1．知识与技能（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）. （2）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系. 3．情感、态度与价值让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：球的表面积与体积的计算难点：简单组合体的体积计算（三）教学方法讲练结合[来源:Z教学过程教学内容师生互动设计意图新课引入复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题.师生共同复习，教师点出点题（板书）复习巩固探索新知1．球的体积：2．球的表面积：师：设球的半径为R，那么它的体积：，它的面积现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数.师 (肯定) ：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.加强对公式的认识培养学生理解能力典例分析例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R.因为，，所以，.（2）因为，，所以，S球 = S圆柱侧.例2 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（）A．6:13 B．5:14C．3:4D．7:15【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1 + r2.∵∠AOB = 90°，OE⊥AB (E为切点)，∴R2 = OE2 = AE·BE = r1·r2.由已知S球∶S圆台侧= 4R2∶(r1+r2)2 = 3∶4(r1 + r2)2 =V球∶V圆台 ==故选A.例3 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA = PB = PC = a，求这个球的体积.解：∵PA、PB、PC两两垂直，PA = PB = PC = a.∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.又∵P、A、B、C四点是球面上四点，∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径.∴.∴教师投影例1并读题，学生先独立完成.教师投影答案并点评（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径）[来源:学|科|网]教师投影例2并读题，师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.生：球内切于圆台.师：你准备怎样研究这个组合体？生：画出球和圆台的轴截面.师：圆台的高与球的哪一个量相等？生：球的直径.师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？[来源:学#科#网]生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.教师投影例3并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱，所以P - ABC可以看成一个正方体的一角，四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线.本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力. 通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.[来源:学#科#网]本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.随堂练习1．（1）将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？[来源:Z一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积.（3）一个球的体积是100 cm2，试计算它的表面积(取3.14，结果精确到1cm2，可用计算器).参考答案：1．（1）8倍；（2）（3）104.学生独立完成巩固所学知识归纳总结1．球的体积和表面积2．等积变换3．轴截面的应用学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.课后作业1.3 第三课时习案学生独立完成固化练习提升能力备用例题例1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面积与球的体积．【分析】可以用球的截面性质。

【新教材】8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计（人教A版）本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括表面积和体积.课程目标1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．数学学科素养1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；难点：圆台的体积公式的理解.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本116-119页，思考并完成以下问题1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？3．球的表面积与体积公式各式什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究（一）圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r，母线长为l)圆锥(底面半径为r，母线长为l)圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)侧面展开图底面积S底＝2πr2S底＝πr2S底＝π(r′2＋r2)侧面积S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝π(r′＋r)l表面积S表＝2πr(r+l) S表＝πr(r+l) S表＝π(r′2＋r2)+ π(r′＋r)l（二）　棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝13 Sh.3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝13(S′＋S′S＋S)h.(三) 球的体积公式与表面积公式　1．球的体积公式V＝43πR3(其中R为球的半径)．2．球的表面积公式S＝4πR2.四、典例分析、举一反三题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积例1　若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.【答案】8π　12π.【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4 cm的等边三角形，∴OB＝2 cm，PB＝4 cm，∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π (cm2)，表面积S表＝8π＋π×22＝12π (cm2)．解题技巧（求旋转体表面积注意事项）旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． 跟踪训练一1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )A．81πB．100πC．168πD．169π【答案】C【解析】选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积例2 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m ，圆柱高0.6m 如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）【答案】423.9kg【解析】一个浮标的表面积是()2220.150.640.150.8478mππ⨯⨯+⨯=，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.84780.51000423.9(kg)⨯⨯=.解题技巧(求几何体积的常用方法)(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．跟踪训练二1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．【答案】10π.【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.2.　梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．【答案】见解析【解析】由题意知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝BC－ADcos60°＝2a，AB＝CD sin60°＝3a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝12DD′＝a.由上述计算知，圆柱的母线长为3a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V柱＝π·(2a)2·3a＝43πa3，V锥＝13·π·a2·3a＝33πa3.∴旋转体的体积V＝V柱－V锥＝43πa3－33πa3＝1133πa3.题型三球的表面积与体积例3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.【答案】23【解析】 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R .球的体积3143V R π=，圆柱的体积23222V R R R ππ=⋅=，123342::233V V R R ππ∴==.例4　平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π【答案】B【解析】如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1.∴OM ＝(2)2＋1＝3.即球的半径为3.∴V ＝43π(3)3＝43π.解题技巧（与球有关问题的注意事项）1．正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝2a2，如图(2)．3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝a 2+b 2+c 22，如图(3)．4．正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a .5．正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为：2R ＝62a .6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.跟踪训练三1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【答案】A.【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V 球＝43×π×13＝4π3.2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2【答案】B.【解析】选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝(33a)2＋(12a)2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本119页练习，119页习题8.3的剩余题.本节课的重点是掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.须注意的是:①求面积时看清求的是侧面积，还是底面积，还是表面积；②对本节课的难点的理解类比棱台与棱锥、棱锥的联系；③解决实际问题时先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.3、球的表面积与体积公式。

8.3.2球的体积与表面积教学设计-人教A版高中数学（2019）必修第二册一、教学目标1.熟悉祖暅原理，利用转化与化归的思想掌握球的体积和表面积公式的推导及应用；2.体会“分割、球近似值、再由近似值转化为球的体积”的极限思想方法；3.了解外接球和内切球的相关概念；4.通过本堂课的学习要培养学生的文化自信和民族自豪感；5.学会利用数学建模思想和数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算素养解决与球相关问题.二、教学重难点重点：球的体积与表面积公式的应用；难点：球的体积与表面积公式的推导及其中的极限思维.教师活动学生活动设计意图一、视频导入播放祖暅原理视频。

问题1：祖暅原理的应用是什么？学生观看视频，理解什么是祖暅原理.视频播完后，介绍祖暅及其突出的事迹，增强学生的文化自信，提升学生的民族自豪感二、实验探究1.量沙实验每个学习小组发一套同底等高的圆柱、圆锥、球体教具，让学生动手实验，并猜想出球的体积公式. 学生通过量沙实验很快猜出球的体积为对应圆柱体积减去圆锥的体积.学生动手实验，并猜想出球的体积公式，为后面的GGB数学实验奠定了基础，旨在培养学生的数学抽象、直观想象和数学建模等核心素养2.抽象模型问题1：根据球的对称性，我们先研究半球体积问题.设半球半径为R.我们知道过任一平行于半球底面的平面所得的截面为圆，请你据此猜想一下可以用什么几何体作它等体积的替代品？问题2：根据祖暅原理，你认为这些几何体还需要满足什么条件？演示GGB软件，借助数据直观感受.问题3：观察GGB数据，你发现了什么结论？问题4：如果改变截面高度，结论是否发生变化？改变半径呢？问题5：如何证明这一结论？据此学生根据上一环节的实验，结合已有知识以及祖暅原理猜想出用同底等高的圆柱与圆锥推导球的体积公式.学生观察数据发现：圆柱截面圆面积减圆锥截面圆面积等于半球截面圆面积.从而构造一个圆柱挖去一个同底等高圆锥的模型.小组讨论后，学生上台展示证明过程.我们通过分析实验数据，进一步为猜想提供了数据支持，引导学生找到新的组合体，利用祖暅原理求球的体积公式，旨在培养学生的数据分析、数学抽象和逻辑推理等核心素养在发现规律后，进一步论证，是公式获得的必然步骤，培养了学你能推导出球的体积公式吗？生严谨的数学思维，也培养了学生的直观想象、数学抽象和数学运算等核心素养.3.球的表面积公式推导问题1：你还记得如何求圆的面积公式吗？帮助学生回顾逼近的方法求圆的面积公式，并观看视频动画. 问题2：请类比这种方法，利用球的体积公式推导出球的表面积公式学生通过观看视频得到启发，小组合作利用球的体积公式推导球的表面积公式.回顾初中求圆的面积公式的方法，培养学生的类比思想和极限思维，也培养了学生的逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养三、典例解析例1 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）例2 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比学生自主完成后，拍照上传讲解.例1是球的表面积公式的应用，并且有一定的计算量，旨在培养学生的数学建模思想和数学运算素养.通过例2引入内切球概念例题讲解，巩固本堂课的重点知识，是球的体积公式和表面积公式的简单应用，也为后面实际应用提供了理论基础，培养了学生的数学运算等核心素养.四、当堂检测一个棱长为2√3cm的正方体的顶点都在球面上，求球的体积与表面积学生自主完成后，由学生代表回答引入外接球的概念，并且会求正方体的外接球的半径，再求球的体积和表面积课堂检测是球的表面积公式的应用，旨在培养学生的数学建模思想和数学运算素养五、课堂小结问题1：我们通过祖暅原理得到柱体、球体的体积分别是什么？问题2：球的表面积公式是什么？我们利用了什么方法推导出来的？随机选学生总结本节课内容. 引导学生回顾柱体、锥体、球体的体积公式，在回顾球的表面积公式的同时，渗透极限思维，最后引导帮助学生回顾本堂课的数学方法和数学思想六、作业布置必做：教材119页练习题第2，3，4题；选做：请查找资料，了解“夹逼定理”和“圆柱切片”求球的体积公式？必做作业巩固本堂课的知识，选做作业帮助大家丰富数学知识，提高数学学习兴趣。