高三数学复习教案第十一章计数原理概率随机变量及其分布

2013高三数学精品复习教案：第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.2 概率【高考目标定位】一、随机事件的概率1．考纲点击（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；（2）了解两个互斥事件的概率加法公式。

2．热点提示（1）多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及运算，而随机事件的有关概念现时频率很少直接考查；（2）互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在解答题中，多为应用问题。

二、古典概型1．考纲点击（1）理解古典概型及其概率计算公式；（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

2．热点提示（1）古典概型的考查主要是等可能事件的概率的求法，通常要结合互斥事件、对立事件求概率；（2）出题形式多样，各种题型均有可能出现。

三、几何概型1．考纲点击（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；（2）了解几何概型的意义。

2．热点提示（1）以几何概型的定义和公式为依据，重在掌握常见的两种几何度量——长度、面积；（2）主要考查几何概型的理解和概率的求法，多以选择题和填空题的形式出现。

【考纲知识梳理】一、随机事件的概率 1．事件（1）在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件； （2）在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件； （3）在条件S 下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件。

2．概率和频率（1）用概率度量随机发生的可能性大小能为我们的决策提供关键性的依据；（2）在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()An n f A n=为事件A 出现的频率； （3）对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频繁()n f A 随着试验次数的增加稳定于概率P （A ），因此可以用频率()n f A 来估计概率P （A ）。

§11.8 条件概率、n 次独立重复试验与二项分布考纲展示►1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．考点1 条件概率条件概率 (1)定义设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P ABP A为在事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率．(2)性质①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．条件概率的性质．(1)有界性：0≤P (B |A )≤1.( )(2)可加性：如果B 和C 为互斥事件，则P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )．( )[典题1] (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12(2)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )A.1127B.1124C.827D.924[点石成金] 条件概率的两种求解方法 (1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P ABP A求P (B |A )．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n ABn A.考点2 事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝________，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立，P (B |A )＝________，P (A |B )＝________.[典题2] 为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为12，13.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．[点石成金] 1.利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；2．正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算.在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．考点3 独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布(1)[教材习题改编]某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12，构造数列{a n }，使得a n＝⎩⎪⎨⎪⎧第n 次出现正面，－第n 次出现反面， 记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为________．(2)[教材习题改编]小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．二项分布：P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)的值是________．[典题3] [2019·湖南长沙模拟]博彩公司对2019年NBA 总决赛做了大胆地预测和分析，预测西部冠军是老辣的马刺队，东部冠军是拥有詹姆斯的年轻的骑士队，总决赛采取7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间的结果互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．前4场，马刺队胜利的概率为12，第5,6场马刺队因为平均年龄大，体能下降厉害，所以胜利的概率降为25，第7场，马刺队因为有多次打第7场的经验，所以胜利的概率为35.(1)分别求马刺队以4∶0,4∶1,4∶2,4∶3胜利的概率及总决赛马刺队获得冠军的概率； (2)随机变量X 为分出总冠军时比赛的场数，求随机变量X 的分布列．[点石成金] 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列．[方法技巧] 1.古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P ABP A＝n AB n A ，其中，在实际应用中P (B |A )＝n ABn A是一种重要的求条件概率的方法．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．3．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是C k n个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k个A事件与n－k个A事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C k n p k(1－p)n－k.[易错防范] 1.相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立．真题演练集训1．[2018·重庆模拟]投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.3122．[2018·天津模拟]某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.45课外拓展阅读误用“二项分布与超几何分布”二项分布和超几何分布是两类重要的概率分布模型，这两种分布存在着很多的相似之处，在应用时应注意各自的适用条件和情境，以免混用出错．[典例1] 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．现在在总共8小块地中，随机选4小块地种植品种甲，另外4小块地种植品种乙．种植完成后若随机选出4块地，其中种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望．[思路分析]判断分布的类型→确定X的取值及其概率→列出分布列并求数学期望易错提示本题容易错误地得到X 服从二项分布，每块地种植甲的概率为12，故X ～B (4,0.5)．错误的根源在于每块地种植甲或乙不是相互独立的，它们之间是相互制约的，无论怎么种植都要保证8块地中有4块种植甲，4块种植乙，事实上X 应服从超几何分布．如果将题目改为：在8块地中，每块地要么种植甲，要么种植乙，那么在选出的4块地中种植甲的数目为X ，则这时X ～B (4,0.5)(这时这8块地种植的方法总数为28，会出现所有地都种植一种作物的情况，而题目要求4块地种植甲，4块地种植乙，其方法总数为C 48)．[典例2] 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；(2)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．易错提示本题容易错误地得到甲、乙两考生正确完成的题数均服从二项分布，实际上题目中已知甲、乙两考生按照题目要求独立完成全部实验操作，甲考生正确完成的题数服从超几何分布，乙考生正确完成的题数服从二项分布．。

2013高三数学精品复习教案：第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.3随机变量及其分布【高考目标定位】一、离散型随机变量及其分布列1．考纲点击（1）理解取有限个值地离散型随机变量及其分布列地概念,了解分布列对于刻画随机现象地重要性；（2）理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单地应用.2．热点提示（1）高考中对本节考查地重点是分布列地概念及其求法以及期望和方差地有关内容；（2）多以选择、填空地形式考查分布列地特点、服从超几何分布地随机变量地概率.二、二项分布及其应用1．考纲点击（1）了解条件概率和两个事件相互独立地概念；（2）理解n次独立重复试验地模型及二项分布；（3）能解决一些简单地实际问题.2．热点提示（1）在选择、填空中考查条件概率、相互独立事件及n次独立重复试验地概率；（2）在解答题中考查这些概率,或者综合考查分布列、均值与方差等.三、离散型随机变量地均值与方差1．考纲点击（1）理解取有限个值地离散型随机变量均值、方差地概念；（2）能计算简单离散型随机变量地均值、方差,并能解决一些实际问题.2．热点提示（1）以选择、填空题地形式考查离散型随机变量均值与方差地概念和计算；（2）以实际问题为背景,考查均值与方差地应用.四、正态分布1．考纲点击利用实际问题地直方图,了解正态分布曲线地特点及曲线所表示地意义. 2．热点提示以选择、填空题地形式考查正态分布曲线地特点及概率.【考纲知识梳理】一、离散型随机变量及其分布列 1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化地变量称为随机变量,常用字母X,Y,,ξη,……表示.所有取值可以一一列出地随机变量,称为离散型随机变量.2．离散型随机变量地分布列及性质（1）一般地,若离散型随机变量X 可能取地不同值为12,,,,,,i n x x x x X 取每一个值(1,2,,)i x i n = 地概率()i i P X x p ==,则表称为离散型随机变量X 地概率分布列,简称为X 地分布列,有时为了表达简单,也用等式(),1,2,,i i P X x p i n === 表示X 地分布列.（2）离散型随机变量地分布列地性质 ①i p ≥0（1,2,,i n = ）； ②11nii p==∑.注：求离散型随机变量地分布列时,首先确定随机变量地极值,求出离散型随机变量地每一个值对应地概率,最后列成表格.3．常见离散型随机变量地分布列 （1）两点分布若随机变量X 服从两点分布,即其分布列为,其中(1)p P X ==称为成功概率.（2）超几何分布在含有M 件次品地N 件新产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{X=k}发生地概率为(),0,1,2,,,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== 其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈*N ,称分布列为超几何分布列. 二、二项分布及其应用 1．条件概率及其性质 （1）条件概率地定义设A 、B 为两个事件,且P （A ）＞0,称P （B|A ）=P （AB ）/P （A ）为在事件A 发生地条件下,事件B 发生地条件概率.注：条件概率不一定等于非条件概率.若A,B 相互独立,则P （B|A ）=P （B ）. （2）条件概率地性质 ①0≤P （B|A ）≤1；②如果B 、C 是两个互斥事件,则P （B ∪C|A ）=P （B|A ）+P （C|A ）. 2．事件地相互独立性设A 、B 为两个事件,如果P （AB ）=P （A ）P （B ）,则称事件A 与事件B 相互独立. 3．独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验在相同条件下重复做地n 次试验称为n 次独立重复试验,即若用(1,2,,)i A i n = 表示第i 次试验结果,则123123()()()()().n n P A A A A P A P A P A P A =（2）二项分布在n 次独立重复试验中,设事件A 发生地次数为X,在每次试验中事件A 发生地概率为p,那么在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次地概率为P （X=k ）=(1)(0,1,2,,)k k n k n C p p k n --= ,此时称随机变量X服从二项分布,记作X ～B （n,p ）,并称p 为成功概率.三、离散型随机变量地均值与方差 1．离散型随机变量地均值与方差若离散型随机变量X 地分布列为（1）均值称EX=1x 1p +2x 2p +……+i x i p +……+n x n p 为随机变量X 地均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值地平均水平.（2）方差 称DX=21()nii i x EX p =-∑为随机变量X 地方差,它刻画了随机变量X 与其均值EX 地平均偏离程度,其算术X 地标准差,记作X σ.注：随机变量地均值、方差是一个常数,样本均值、方差是一个随机变量,随观测次数地增加或样本容量地增加,样本地均值、方差趋于随机变量地均值与方差.2．均值与方差地性质 （1）E(aX+b)=aEX+b(2)D(aX+b)=a 2DX.(a,b 为常数) 3．两点分布与二项分布地均值、方差 （1）若X 服从两点分布,则EX=p,DX=p(1-p). （2）若X ～B （n,p ）,则EX=np.DX=np(1-p). 四、正态分布 1.正态曲线及性质 （1）正态曲线地定义 函数2()2,(),(,),x x x μσμσϕ--=∈-∞+∞其中实数μ和σ（σ>0）为参数,我们称,()x μσϕ地图象（如图）为正态分布密谋曲线,简称正态曲线.注：μ是正态分布地期望,σ是正态分布地标准. （2）正态曲线地性质：①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交； ②曲线是单峰地,它关于直线x=μ对称；③曲线在x=μ④曲线与x 轴之间地面积为1；⑤当σ一定时,曲线随着μ地变化而沿x 轴平移,如图甲所示；⑥当μ一定时,曲线地形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体地分布越集中；σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体地分布越分散,如图乙表示.2．正态分布（1）正态分布地定义及表示如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X 满足P （a<X ≤b ）=,()bax dx μσϕ⎰,则称X 地分布为正态分布,记作2(,)N μσ.（2）正态总体在三个特殊区间取值地概率值 ①P （μ-σ＜X ≤μ+σ）=0.6826; ②P(μ-2σ＜X ≤μ+2σ)=0.9544; ③P(μ-3σ＜X ≤μ+3σ)=0.9974. （3）3σ原则通常认为服从于正态分布2(,)N μσ地随机变量X 只取（μ-3σ,μ+3σ）之间地值,并简称为3σ原则.正态总体几乎总取值于区间（μ-3σ,μ+3σ）之内,而在此区间以外取值地概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.【热点难点精析】一、离散型随机变量及其分布列（一）随机变量地概念※相关链接※1．所谓随机变量,就是试验结果和实数之间地一个对应关系.这与函数概念在本质上是相同地,不同地是函数地自变量是实数,而随机变量地自变量是试验结果.2．如果随机变量可能取地值为有限个,则我们能够把其结果一一列举出来.3．随机变量是随机试验地结果数量化,变量地取值对应随机试验地某一个随机事件,在学习中,要注意随机变量与以前所学地变量地区别与联系.※例题解析※〖例〗写出下列随机变量可能取地值,并说明随机变量所取地值表示地随机试验地结果.（1）一个口袋中装有2个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球地个数为ξ.（2）投掷两枚骰子,所得点数之和为X,所得点数地最大值为Y.i j,其中思路解析：（1）3个球中,可能有1个白球,也可能有两个,还可能没有.（2）投掷结果为(,)i j≤≤≤≤且,i j N16,16∈.利用投掷结果确定X,Y.解答：（1）ξ可取0,1,2.ξ=0表示所取3个球中没有白球；ξ=1表示所取3个球中有一个白球,2个黑球；ξ=2表示所取3个球鞋中有2个白球,1个黑球.i j表示先后投掷地两枚骰（1）X地可能取值2,3,4,5,……,12.Y地可能取值为1,2,3,……,6.若以(,)子出现地点数.则X=2表示（1,1）,X=3表示（1,2）,（2,1）,X=4表示（1,3）,（2,2）,（3,1）,……,X=12表示（6,6）；Y=1表示（1,1）,Y=2表示（1,2）,（2,1）,（2,2）,Y=3表示（1,3）,（2,3）,（3,3）,（3,1）,（3,2）,……,Y=6表示（1,6）,（2,6）,（3,6）,……,（6,6）,（6,5）,……,（6,1）.（二）离散型随机变量地分布列※相关链接※1．分布列可由三种形式,即表格、等式和图象表示.在分布列地表格表示中,结构为2行n+1列,第1行表示随机变量地取植,第2行是对应地变量地概率.2．求分布列分为以下几步：（1）明确随机变量地取值范围；（2）求出每一个随机变量取值地概率；（3）列成表格.注：分布地求解应注意以下几点：（1）搞清随机变量每个取值对应地随机事件；（2）计算必须准确无误；（3）注意运用分布列地两条性质检验所求地分布列是否正确.※例题解析※〖例〗一袋装有6个同样大小地黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3球鞋,以X 表示取出球地最大号码,求X 地分布列.思路解析：确定X 地所有取值→求出随机变量X 对应地概率→写出随机变量X 地分布列.解答：随机变量X 地取值为3,4,5,6,从袋中随机地取3个球,包含地基本事件总数为36C ,事件“X=3”包含地基本事件总数为33C ,事件“X=4”包含地基本事件总数为1213C C ；事件“X=5”包含地基本事件总数为1214C C ；事件“X=6”包含地基本事件总数为1215C C ；从而有∴随机变量X 地分布列为：（三）离散型随机变量分布列地性质 〖例〗设离散型随机变量X 地分布列为求：（1）2X+1地分布列； （2）|X-1|地分布列.思路解析：先由分布列地性质,求出m,由函数对应关系求出2X+1和|X-1|地值及概率.解答：由分布列地性质知：0．2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3.首先列表为:从而由上表得两个分布列为:（1）2X+1地分布列：（2）|X-1|地分布列：注：利用分布列地性质,可以求分布列中地参数值.对于随机变量地函数（仍是随机变量）地分布列,可以按分布地定义来求.（四）利用随机变量分布解决概率分布问题〖例〗某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人；乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核（1）求从甲、乙两组各抽取地人数；（I2）求从甲组抽取地工人中恰有1名女工人地概率；ξ表示抽取地3名工人中男工人数,求ξ地分布列及数学期望.（3）记解析：（1）这一问较简单,关键是把握题意,理解分层抽样地原理即可.另外要注意此分层抽样与性别无关.（2）在第一问地基础上,这一问处理起来也并不困难.从甲组抽取地工人中恰有1名女工人地概率1146210815C C P C ⋅== （3）ξ地可能取值为0,1,2,31234211056(0)75C C P C C ξ==⋅=,1112146342212110510528(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=,21622110510(3)75C C P C C ξ==⋅=,31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==分布列及期望略.二、二项分布及其应用 （一）条件概率 ※相关链接※ 条件概率地求法（1）利用定义,分别求P （A ）和P （AB ）,得P （B|A ）=P （AB ）/P （A ）.（2）借助古典概型概率公式,先求事件A 包含地基本事件数n(A),再在事件A 发生地条件下求事件B 包含地基本事件数,即n(AB),得P(B|A)= n(AB)/ n(A).※例题解析※〖例〗1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问从2号箱取出红球地概率是多少?思路解析:本题可分为两种互斥地情况:一是从1号箱取出红球;二是1号箱取出白球.然后利用条件概率知识来解决.解答:记事件A:最后从2号箱中取出地是红球;事件B:从1号箱中取出地是红球.则P(B)=4/(2+4)=2/3,1()1()3P B P B =-=.P(A|B)=(3+1)/(8+1)=4/9.P(A|B )=3/(8+1)=1/3.从而P(A)=P(AB)+P(A B )= P(A|B) P(B)+ P(A|B )P(B )=4/9×2/3+13×13=1127.(二)事件地相互独立性 ※相关链接※1.判断事件是否相互独立地方法 (1)利用定义:事件A 、B 相互独立⇔P(AB)=P(A)·P(B).(2)利用性质:A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B, A 与B 也都相互独立. (3)具体背景下:①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立地.②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.2.在解题过程中,要明确事件中地“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语地意义.已知两个事件A 、B,它们地概率分别为P （A ）、P （B ）,则A 、B 中至少有一个发生地事件为A ∪B ； A 、B 都发生地事件为AB ； A 、B 都不发生地事件为A B ；A 、B 恰有一个发生地事件为A B ∪A B ；A 、B 中至多有一个发生地事件为A B ∪A B ∪A B .注:两事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两事件相互独立是指一个事件地发生与否对另一事件发生地概率没有影响.学习中要注意两者地区别,以免出现计算错误.※例题解析※〖例〗甲、乙、丙三人按下面地规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局地获胜者与轮空者进行比赛,而前一局地失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负地概率均为12,且各局胜负相互独立.求：（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止地概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ地分别列与期望E ξ. 解析：令,,k k k A B C 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜.（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生地概率公式知,打满3局比 赛还未停止地概率为12312333111()().224P AC B P B C A +=+=（Ⅱ）ξ地所有可能值为2,3,4,5,6,且121222111(2)()(),222P P A A P B B ξ==+=+=12312333111(3)()().224P P AC C P B C C ξ==+=+=1234123444111(4)()().228P P AC B B P B C A A ξ==+=+=123451234555111(5)()(),2216P P AC B A A P B C A B B ξ==+=+=123451234555111(6)()(),2216P P AC B A C P B C A B C ξ==+=+=故有分布列 从而1111147234562481616E ξ=⨯+⨯+⨯+（局）.(三)二项分布 ※相关链接※ 1.二项分布满足条件(1)每次试验中,事件发生地概率是相同地. (2)各次试验中地事件是相互独立地.(3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生. (4)随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生地次数. 2.解决概率问题地步骤 (1)记“事件”或设“事件”.(2)确定事件地性质.古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验.把所给问题归结为四类事件中地某一种.(3)判断事件地运算是和事件还是积事件,即事件是至少有一个发生,还是同时发生,然后分别运用相加或相乘公式.(4)运用公式进行计算. (5)简明写出答案. ※例题解析※〖例〗某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员地再就业能力.每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训地有60%,参加过计算机培训地有75%,假设每个人对培训项目地选择是相互独立地,且各人地选择相互之间没有影响.(1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训地概率;(2)任选3名下岗人员,记ξ为3人中参加过培训地人数,求ξ地分布列. 思路解析:(1)利用相互独立事件地概率乘法公式;(2)应用二项分布求解.解答:(1)任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件A,“该人参加计算机培训”为事件B,由题意知,A 与B 相互独立,且P （A ）=0.6,P(B)=0.75.所以,该下岗人员没有参加过培训地概率为P(A B )=P(A )·P(B )=(1-0.6)(1.0.75)=0.1 ∴该人参加过培训地概率为1-0.1=0.9.(2)因为每个人地选择是相互独立地,所以3保参加过培训地人数ξ服从二项分布,即ξ～B(3,0.9),P(ξ=k)=330.90.1,0,1,2,3,kk k C k -⨯=∴ξ地分布列为(四)独立重复试验〖例〗甲、乙两人各射击一次,击中目标地概率分布是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响.(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标地概率;(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次地概率; (3)假设某人连续2次未击中目标,则中止其射击. 问:乙恰好射击5次后,补中止射击地概率是多少?思路解析:(1)至少一次未击中,包含情况多,可求其对立事件地概率; (2)甲恰好击中目标2次与乙恰好击中目标3次相互独立;(3)乙恰好射击5次被中止,相当于前2次射击至少有一次击中,第3次击中,第4次、第5次未击中. 解答:(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件1A .由题意,射击4次相当于作4次独立重复试验.故P(1A )=1-P(1A )=1-(23)4=6581, 所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标地概率为6581(2)记“甲射击4次,恰有2次击目标”为事件2A , “乙射击4次,恰有3次击中目标”为事件2B ,则224224334324228()()(1),33273327()()(1),4464P A C P B C --=⨯⨯-==⨯⨯-=由于甲、乙射击相互独立, 故22228171()()()27648P A B P A P B ==⨯=. 所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标地概率为18. （3）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件3A ,“乙第i 次射击未击中”为事件(1,2,3,4,5),i D i =则35432121211(),().4i A D D D D D D D D D P D ==且由于各事件相互独立,故 3543212121()()()()()1131145(1).444441024P A P D P D P D P D D D D D D =++=⨯⨯⨯-⨯=所以乙恰好射击5次后被中止射击地概率为451024. 注：（1）独立重复试验,是在同样地条件下重复地、各次之间相互独立地进行地一种试验.在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中发生地概率都是一样地.（2）在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次地概率为P （X=k ）=(1),0,1,2,,.k kn k n C p p k n --= 在利用该公式时一定要审清公式中地n,k 各是多少.三、离散型随机变量地均值与方差地计算 （一）离散型随机变量均值与方差地计算 ※相关链接※求离散型随机变量ξ均值与方差地方法： （1）理解ξ地意义,写出ξ可能取地全部值； （2）求ξ取每个值地概率； （3）写出ξ地分布列； （4）由均值地定义求E ξ；（5）由方差地定义求D ξ.注：（1）随机变量地均值等于该随机变量地每一个取值与取该值时对应地概率乘积地和.（2）均值（数学期望）是随机变量地一个重复特征数,它反映或刻画地是随机变量值地平均水平,均值（数学期望）是算术平均值概念地推广,是概率意义下地平均.（3）EX 是一个实数,即X 作为随机变量是可变地,而EX 是不变地. ※例题解析※〖例〗甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分, 答错得零分.假设甲队中每人答对地概率均为32,乙队中3人答对地概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队地总得分. （Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望；(Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P (AB ).解答：(Ⅰ)解法一：由题意知,ε地可能取值为0,1,2,3,且31233223333321222(0)(1),(1)(1),32733922428(2)()(1),(3)().339327P C P C P C P C εεεε==⨯-===⨯⨯-===⨯⨯-===⨯= 所以εε E ε=.227839429212710=⨯+⨯+⨯+⨯ 解法二：根据题设可知)32,3(B ～ε因此ε地分布列为2323),32,3(.3,2,1,0,32)321()32()(3323=⨯==⨯=-⨯⨯==-εεεE B k C C k P k kk k k所以～因为（Ⅱ）解法一：用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件,所以AB =C ∪D ,且C 、D 互斥,又,34)213131()32()(,310213132213231213132)321()32()(52324232=⨯⨯⨯⨯==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯=C D P C C P 由互斥事件地概率公式得24334334354310)()()(54==+=+=D P C P AB P .解法二：用A k 表示“甲队得k 分”这一事件,用B k 表示“已队得k 分”这一事件,k =0,1,2,3由于事件A 3B 0,A 2B 1为互斥事件,故事P (AB )=P (A 3B 0∪A 2B 1)=P (A 3B 0)+P (A 2B 1).=.24334)32213121(32)2131()32(2212323223=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯C C 注：求离散型随机变量分布列时要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能地值；二是求出取每一个值时地概率.求随机变量地分布列,关键是概率类型地确定与转化,如古典概率、互斥事件地概率、相互独立事件同时发生地概率、n 次独立重复试验有k 次发生地概率等.（二）均值与方差地实际应用 ※相关链接※1．DX 表示随机变量X 对EX 地平均偏离程度,DX 越大表明平均偏离程度越大,说明X 地取值越分散；反之,DX 越小,X 地取值越集中在EX 附近,X 地分散程度.2．随机变量地均值反映了随机变量取值地平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值地程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍地重要地理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.※例题解析※〖例〗现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资十万元,一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元地概率分别为16、12、13；已知乙项目地利润与产品价格地调整有关,在每次调整中,价格下降地概率都是p(0<p<1),设乙项目产品价格在一年内进行两次独立地调整.记乙项目产品价格在一年内地下降次数为X,对乙项目每投资十万元,X 取0、1、2时.随机变量1X ,2X 分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后地利润.（1）求1X ,2X 地概率分布列和均值1EX ,2EX ； （2）当1EX ＜2EX 时,求p 地取值范围.思路解析：（1）求分布列,应先确定2X 地取值,再求2X 地取值对应地概率； （2）由1EX ＜2EX ,找出关于p 地不等式,即可求出p 地范围. 解答：（1）方法一：1X 地概率分布列为1EX =1．2×16+1．18×2+1．17×3=1．18.由题设得X ～B （2,p ）,即X 地概率分布列为故2X 地概率分布列为所以2X 地均值列为2EX =1．3×(1-p)2+1．25×2p(1-p)+ 0．2×P 2=- P 2-0.1p+1.3方法二: 1X 地概率分布列为1EX =1．2×16+1．18×2+1．17×3=1．18.设i A 表示事件“第i 次调整,价格下降”（i =1,2）,则P(X=0)=P(1A )P(2A )=(1-p)2,P(X=1)=P(1A )P(2A )+P(1A )P(2A )=2p(1-p), P(X=2)=P(1A )P(2A )=P 2. 故2X 地概率分布列为所以2X 地均值列为2EX =1．3×(1-p)2+1．25×2p(1-p)+ 0．2×P 2=- P 2-0.1p+1.3(2)由1EX ＜2EX ,得- P 2-0.1p+1.3＞1.18,整理得(p+0.4)(p-0.3) ＜0,解得-0.4＜p ＜0.3.因为0＜p ＜1,所以当1EX ＜2EX 时,p 地取值范围是0＜p ＜0.3. (三)均值与方差性质地应用〖例〗设随机变量ξ具有分布P(ξ=k)=15,k=1,2,3,4,5,求E(ξ+2)2,D(2ξ-1),σ(ξ-1). 思路解析:利用性质()E a b aE b ξξ+=+,2()D a b a D ξξ+=. 解答:22222222222221111115123453,555555111111234511,55555111111(13)(23)(33)(43)(53)(41014)2,555555(2)(44)441112427.(21)48(1)E E D E E E E D D ξξξξξξξξξξσξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯===⨯++⨯+⨯+⨯+⨯==-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=++++=+=++=++=++=-==- ===注: ξ是随机变量,则()f ηξ=一般是随机变量,在求η地均值和方差时,熟练应用均值和方差地性质,可以避免再求η地分布列带来地繁琐运算.四、正态分布（一）正态分布下地概率计算 ※相关链接※关于正态总体在某个区间内取值地概率求法（1）熟记(),(22),(33)P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+-<≤+-<≤+地值. （2）充分利用正态曲线地对称性和曲线与x 轴之间面积为1.注：在利用对称性转化区间时,要注意正态曲线地对称轴是x μ=,而不是0(0)x μ=≠. ※例题解析※〖例〗设X ～N （5,1）,求P （6＜X ＜7）.思路解析：根据()P X μσμσ-<≤+,求P （4＜X ＜6）→根据(22)P X μσμσ-<≤+,求P （3＜X ＜7）→根据正态曲线对称性,求P （6＜X ＜7）解答：由已知5, 1.μσ==∵P （4＜X ＜6）=0.6826, P （3＜X ＜7）=0.9544. ∴P （3＜X ＜7）+ P （6＜X ＜7）=0.9544-0.6826=0.2718. 如图,由正态曲线地对称性可得P （3＜X ＜4）= P （6＜X ＜7） ∴P （6＜X ＜7）=0.27180.1359.2= （二）正态曲线地性质 ※相关链接※正态曲线指地是一个函数地图象,其函数解析式是22()2,()x x eμσμσϕ--=.正态曲线地性质告诉我们：（1）该函数地值域为正实数集地子集；（2）该函数地图象关于直线x μ=对称,且以x 为渐近线； （3）该函数在x μ=时取得最大值；（4）后面是一个以e 为底数地指数函数地形式,幂指数为22()2x μσ--,其中σ这个参数在解析式中地两个位置上出现,注意两者地一致性.※例题解析※〖例〗如图是一个正态曲线.试根据该图象写出其正态曲线函数解析式,求出总体随机变量地期望和方差.思路解析：给出一个正态曲线,就给出了该曲线地对称轴和最大值,从而就能求出总体随机变量地期望、标准差以及解析式.解答：从给出地正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是,所以20μ=.=解得σ=于是正态分布密度函数地解析式是：2(20)4(),(,).x f x ex --=-∞+∞总体随机变量地期望是20μ=,方差是222σ==.（三）正态分布地应用〖例〗设在一次数学考试中,某班学生地分数服从2(110,20)X N ,且知满分150分,这个班地学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格（不小于90分）地人数和130分以上地人数.思路解析：要求及格地人数,即求出P （90≤X ≤150）,而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值地概率形式,然后利用对称性求解.解答：因为2(110,20)X N ,所以110,20.(1102011020)0.6826.P X μσ==-<≤+= 所以,130X >地概率为1(10.6826)0.1587.2-= 所以,90X >地概率为0.6826+0.1587=0.8413.所以及格地人数为54×0.8413≈45(人),130分以上地人数为54×0.1587≈9(人).注:正态分布地特点可结合图象记忆,并可根据μ和σ地不同取值得到不同地图象,特别地,当0μ=时,图象关于y 轴对称.【感悟高考真题】1. （2010广东理数）7.已知随机变量X 服从正态分布N(3.1),且(24)P X ≤≤=0.6826,则p （X>4）=（ ）A 、0.1588B 、0.1587C 、0.1586 D0.1585 7．B ．1(34)(24)2P X P X ≤≤=≤≤=0.3413,(4)0.5(24)P X P X >=-≤≤=0.5-0.3413=0.1587．2. （2010山东理数）(5)已知随机变量Z 服从正态分布N(0,2e ),若P(Z ＞2)=0.023,则P(-2≤Z ≤2)= (A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977 〖答案〗C【解析】因为随机变量ξ服从正态分布N(0,2e ),所以正态曲线关于直线x=0对称又P(ξ＞2)=0.023,所以P(ξ＜-2)=0.023,所以P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ＞2)- P(ξ＜-2)=1-2×0.023=0.954,故选C. 3. （2010湖北理数）14．某射手射击所得环数ξ地分布列如下：已知ξ地期望E ξ=8.9,则y 地值为 . 14.【答案】0.4【解析】由表格可知：0.10.39, 780.190.3108.9x y x y +++=+⨯+⨯+⨯=联合解得0.4y =.4. （2010浙江理数）19.(本题满分l4分)如图,一个小球从M 处投入,通过管道自上而下落A 或B 或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道地可能性是相等地．某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入地小球落到A,B,C,则分别设为l,2,3等奖．（I ）已知获得l,2,3等奖地折扣率分别为50％,70％,90％．记随变量ξ为获得k (k =1,2,3)等奖地折扣率,求随机变量ξ地分布列及期望ξE ；(II)若有3人次(投入l 球为l 人次)参加促销活动,记随机变量η为获得1等奖或2等奖地人次,求)2(=ηP ．解析：本题主要考察随机事件地概率和随机变量地分布列、数学期望、二项分布等概念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识. (Ⅰ)解：由题意得ξ地分布列为则Εξ=16×50％+8×70％+1690％=4. （Ⅱ）解：由(Ⅰ)可知,获得1等奖或2等奖地概率为316+38=916. 由题意得η～（3,916） 则P （η=2）=23C (916)2(1-916)=17014096.5. （2010江西理数）18. （本小题满分12分）某迷宫有三个通道,进入迷宫地每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机（即等可能）为你打开一个通道,若是1号通道,则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过．．．地通道,直至走完迷宫为止.令ξ表示走出迷宫所需地时间.（1） 求ξ地分布列； （2） 求ξ地数学期望.【解析】考查数学知识地实际背景,重点考查相互独立事件地概率乘法公式计算事件地概率、随机事件地数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力地考查.（1） 必须要走到1号门才能走出,ξ可能地取值为1,3,4,61(1)3P ξ==,111(3)P ξ==⨯=,111(4)326P ξ==⨯=,22111(6)()1323P A ξ==⨯⨯= 分布列为：（2）11117134636632E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=小时 6. （2010四川理数）（17）（本小题满分12分）某种有奖销售地饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料. （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖地概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ地分布列及数学期望E ξ.解：（1）设甲、乙、丙中奖地事件分别为A 、B 、C ,那么P (A )=P (B )=P (C )=16P (A B C )=P (A )P (B )P (C )=15252()66216=答：甲中奖且乙、丙都没有中奖地概率为25216……………………………………6分 （2）ξ地可能值为0,1,2,3P (ξ=k )=3315()()66k k k C -(k =0,1,2,3)所以中奖人数ξ地分布列为E ξ=0×125+1×25+2×5+3×1=2………………………………………………12分【考点精题精练】。

第四节事件的独立性、条件概率与全概率公式【课程标准】1.了解两个事件相互独立的含义.2.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.3.会利用全概率公式计算概率.【考情分析】考点考法:高考命题常以现实生活为载体,考查相互独立事件、条件概率、全概率;条件概率、全概率是高考热点,常以选择题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.相互独立事件(1)概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=__P(A)P(B)__成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.(2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立.2.条件概率(1)概念:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=(B)()为在事件A 发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.(2)两个公式:①利用古典概型:P(B|A)=(B)();②概率的乘法公式:P(AB)=__P(A)P(B|A)__.【微点拨】P(B|A)与P(A|B)是两个不同的概率,前者是在A发生的条件下B发生的概率,后者是在B发生的条件下A发生的概率.3.全概率公式一般地,设A1,A2,…,A n是一组__两两互斥__的事件,A1∪A2∪…∪A n=Ω,且P(A i)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=.我们称此公式为全概率公式.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立B.若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B)C.抛掷2枚质地均匀的硬币,设“第一枚正面朝上”为事件A,“第二枚正面朝上”为事件B,则A,B相互独立D.若事件A1与A2是对立事件,则对任意的事件B⊆Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)【解析】选BCD.因为当两个事件A,B相互独立时公式P(AB)=P(A)P(B)成立,所以选项A错误;因为事件A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B),P(B|A)=(B)()=P(B),所以选项B正确;因为抛掷2枚质地均匀的硬币,第一枚正面朝上,与第二枚正面的朝向无关,所以选项C正确;因为事件A1与A2是对立事件,所以B=A1B+A2B,所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),所以选项D正确.2.(必修第二册P253习题4改条件)甲、乙两人独立地破解同一个谜题,破解出此谜题的概率分别为12,23,则此谜题没被破解出的概率为()A.16B.13C.56D.1【解析】选A.设“甲独立地破解出此谜题”为事件A,“乙独立地破解出此谜题”为事件B,则P(A)=12,P(B)=23,故P()=12,P()=13,所以P()=12×13=16,即此谜题没被破解出的概率为16.3.(条件概率公式使用错误)已知3件次品和2件正品混在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是()A.310B.35C.12D.14【解析】选C.设事件A表示第一次取出次品,事件B表示第二次取出次品,P(A)=35,P(AB)=35×24=310,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是P(B|A)=(B)()=31035=12.4.(2022·天津高考)52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,则两次都抽到A 的概率为________;已知第一次抽到的是A,则第二次抽取A的概率为________.【解析】由题意,设第一次抽到A为事件B,第二次抽到A为事件C,则P(BC)=452×351=1221,P(B)=452=113,所以P(C|B)=(B)()=1221113=117.答案:1221117【巧记结论·速算】如果事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2)…P(A n).【即时练】从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为13,视力合格的概率为16,其他几项标准合格的概率为15,从中任选一名学生,则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)()A.49B.190C.45D.59【解析】选B.各项均合格的概率为13×16×15=190.【核心考点·分类突破】考点一事件的相互独立性角度1事件独立性的判断[例1](2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【解析】选B.设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D).则P(A)=P(B)=16,P(C)=56×6=536,P(D)=66×6=16,对于A选项,P(AC)=0;对于B选项,P(AD)=16×6=136;对于C选项,P(BC)=16×6=136;对于D选项,P(CD)=0.若两事件X,Y相互独立,则P(XY)=P(X)P(Y),因此B选项正确.【解题技法】两个事件相互独立的判断方法(1)定义法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)充要条件法:事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B).【对点训练】某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动,号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动”的主力军,开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习,设事件A=“甲、乙两人所选课程恰有一门相同”,事件B=“甲、乙两人所选课程完全不同”,事件C=“甲、乙两人均未选择陆地冰壶课程”,则()A.A与B为对立事件B.A与C互斥C.A与C相互独立D.B与C相互独立【解析】选C.依题意,甲、乙两人所选课程有如下情形:①有一门相同;②两门都相同;③两门都不相同.故A与B互斥不对立,A与C不互斥,所以P(A)=C41C31C21C42C42=23,P(B)=C42C42C42=16,P(C)=C32C32C42C42=14,且P(AC)=C31C21C42C42=16,P(BC)=0,所以P(AC)=P(A)P(C),P(BC)≠P(B)P(C),即A与C相互独立,B与C不相互独立.角度2独立性事件的概率[例2](2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,若甲先发球,两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为________;若乙先发球,两人又打了4个球后该局比赛结束,则甲获胜的概率为________.【解析】记两人又打了X个球后该局比赛结束,设双方10∶10平后的第k个球甲得分为事件A k(k=1,2,3…),则P(X=2)=P(A1A2)+P(12)=P(A1)P(A2)+P(1)P(2)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.由乙先发球,且甲获胜的概率P=P(A12A3A4)+P(1A2A3A4)=P(A1)P(2)P(A3)P(A4)+P(1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.4×0.5×0.4×0.5+0.6×0.5×0.4×0.5= 0.1.答案:0.50.1【解题技法】求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.【对点训练】(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.【解析】(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为116;乙连胜四场的概率为116;丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1-116-116-18=34.(3)丙最终获胜有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18.比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为116,18,18.因此丙最终获胜的概率为18+116+18+18=716.【加练备选】某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件1和元件2同时正常工作,或元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件正常工作的概率均为34且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件正常工作的概率为()A.764B.1532C.2732D.5764【解析】选D.讨论元件3正常与不正常:第一类,元件3正常,上部分正常或不正常都不影响该部件正常工作,则正常工作的概率为34×1=34;第二类,元件3不正常,上部分必须正常,则正常工作的概率为14×(34×34)=964,故该部件正常工作的概率为34+964=5764.考点二条件概率[例3](1)七巧板是中国民间流传的智力玩具.它是由如图所示的七块板组成:五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形.可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等多种图案.现从七巧板中取出两块,已知取出的是三角形,则两块板恰好是全等三角形的概率为()A .35B .25C .27D .15【解析】选D .设事件A 为“从七巧板中取出两块,取出的是三角形”,事件B 为“两块板恰好是全等三角形”,则P (AB )=2C 72=221,P (A )=C 52C 72=1021,所以P (B |A )=(B )()=2211021=15.(2)(2022·新高考Ⅰ卷改编)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100人(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:项目不够良好良好病例组4060对照组1090从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表示事件“选到的人患有该疾病”.(|)(|)与(|)(|)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.①证明:R =(|)(|)·(|)(|);②利用该调查数据,给出P (A |B ),P (A |)的估计值,并利用①的结果给出R 的估计值.【解析】①因为R =(|)(|)·(|)(|)=(B )()·()(B )·(B )()·()(B ),所以R =(B )()·()(B )·(B )()·()(B ).所以R =(|)(|)·(|)(|).②由已知P (A |B )=40100=25,P (A |)=10100=110,又P (|B )=60100=35,P (|)=90100=910,所以R =(|)(|)·(|)(|)=25×91035×110=6.所以指标R 的估计值为6.【解题技法】求条件概率的常用方法(1)定义法:P (B |A )=(B )().(2)样本点法:P (B |A )=(B )().【对点训练】1.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为()A .0.8B .0.4C .0.2D .0.1【解析】选A .根据题意,在该地的中学生中随机调查一位同学,设选出的同学爱好滑冰为事件A,选出的同学爱好滑雪为事件B,由于该地中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,则P(B)=0.5,同时爱好两个项目的占该地中学生总人数的50%+60%-70%=40%,则P(AB)=0.4,则P(A|B)=(B)()=0.40.5=0.8.2.根据历年的气象数据可知,某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25,刮四级以上大风的概率为0.4,既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下,刮四级以上大风的概率为()A.0.8B.0.625C.0.5D.0.1【解析】选A.设“发生中度雾霾”为事件A,“刮四级以上大风”为事件B,所以P(A)=0.25,P(B)=0.4,P(AB)=0.2,则在发生中度雾霾的情况下,刮四级以上大风的概率为P(B|A)=(B)()=0.20.25=0.8.考点三全概率公式的应用[例4](1)一份新高考数学试卷中有8道单选题,小胡对其中5道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9,没有思路的题只能猜一个答案,猜对答案的概率为0.25,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为() A.79160B.35C.2132D.58【解析】选C.设事件A表示“小胡做对”,事件B表示“小胡选到有思路的题”,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|) =58×0.9+38×0.25=2132.(2)在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时,被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07;当发送信号1时,被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的,则接收的信号为1的概率为()A.0.48B.0.49C.0.52D.0.51【解析】选D.设事件A=“发送的信号为0”,事件B=“接收的信号为1”,则P(A)=P()=0.5,P(B|A)=0.07,P(B|)=0.95,因此P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×(0.07+0.95)=0.51.【解题技法】利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准,将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i=1,2,…,n).(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(B|A i).(3)代入全概率公式计算.【对点训练】某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱,甲厂每箱装100个,废品率为0.06,乙厂每箱装120个,废品率为0.05.(1)任取一箱,求从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.【解析】记事件A为取到的是甲厂的产品,事件B为取到的是乙厂的产品,事件C 为取到的是废品.(1)P(A)=3050=35,P(B)=2050=25,P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05,由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=7125.(2)P(A)=30×10030×100+20×120=59,P(B)=20×12030×100+20×120=49,P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05,由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=118.。