全国初中数学优质说课课比赛一等奖-《锐角的三角函数—正切》

4.2 正切
教学目标
1、理解并掌握正切的含义，能够用 tanα表示直角三 角形中两边的比值。
2、掌握特殊角的正切值。 3、能够用正切进行简单的计算。 重点： 正切定义的理解以及如何求锐角的正切值． 难点： 正切定义的理解,探索并认识正切.
新课引入
我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的大 小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个锐角 的对边（或邻边）与斜边的比值也就确定（是一个常 数）. 那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个 常数呢？
如图，△ABC和△DEF 都是直角三角形， 其中
∠A=∠D =α ，∠C =∠F =90°， 则
BC EF AC DF
成立吗？为什么？
α
α
∵ ∠A=∠D = α，∠C =∠F = 90°， ∴ Rt△ABC∽Rt△DEF.
∴
BC AC . EF DF
即 BC·DF = AC·EF ，
∴
BC EF . AC DF
由此可得，在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中， 角 的对α 边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大
小无关．
如何求 tan 30°，tan60°的值呢？
解： 如图，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°，
于是
BC =
1 2
AB ， ∠B=60°.
从而 AC2=AB2-BC2=(2BC)2-BC2=3BC2.
(2)当 090 时, α的余弦值随着角度的增大而减小， 随着角度的减小而增大;
(3)当 090时,α的正切值随着角度的增大而增大， 随着角度的减小而减小;
3. 如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，
DF⊥AE，垂足为点F，连接DE. (1)求证：AB＝DF；

置呢?由此你能得出什么结论?
A
C2
C1
想一想
B2
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系?
AC1 AC2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
A
C2 C1
想一想
B2
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
3） tanA不表示“tan”乘以“A ”
4）初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角 的正切。
B
练一练： 1）在Rt△ABC中∠C=90°AC=5,
12 BC=12,tanA=( 12 )
5
A
5
C
B
练一练： 2）在Rt△ABC中∠C=90°AC=5,
13 12 AB=13,tanA=( 12 )
5
D
比眼力 比速度: 哪个梯子更陡？
A E
4m
3m
B
1.5m
F
1.3m
倾斜角越大——梯子陡
铅直高度与 水平宽度的比越大——梯子陡
想一想
B1
B2
A
C2
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
B2
A
C2
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系?
AC1 AC2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
B2
A
C2

从上面这两个问题的结论中可知，在一个 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当∠ 1 A＝30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于2，是一个固定值．当∠A＝45°时， 2 ∠A 的对边与斜边的比都等于 2 ，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一 个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个 固定值？ 探究：任意画 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠ BC B′C′ A＝∠A′＝α，那么AB与 有什么关系？你能解释一下吗？ A′B′ 分析：由于∠C＝∠C＝90°，∠A＝∠A′＝α， BC B′C′ 所以 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则AB＝ . A′B′ 结论：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何 改变，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值．
二、共同探究，获取新知 1．概念． a 师：由 sinA＝c，你能得到哪些公式？ 生甲：a＝c·sinA. a 生乙：c＝sinA. 师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．我 们知道，在直角三角形中有三个角、三条边共六个元素，能否从已知的元素 求出未知的元素呢？ 教师板书： 在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角 三角形．
重点 锐角三角函数的概念． 难点 锐角三角函数概念的理解．
一、问题引入 问题：操场上有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．(演示学校操场 上的国旗图片)小明站在离旗杆底部 10 米远处，目测旗杆的顶部，视线与水 平线的夹角为 34°，并已知目高为 1 米，然后他很快就算出旗杆的高度了．
你想知道小明是怎样算出的吗？ 师：通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆 的大致高度，实际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线 段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐 角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们一起来学习锐角三角函 数．

cosB＝ 2 ，则BC旳长为________． 3
5 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA ＝ 旳长是( )
A．2 B．8 C．2 5 D．4 5
1 2，则BC
总结
求锐角旳正弦值旳措施： 1．没有直接给出对边或斜边旳题目，一般先根据勾
股定理求出所需旳边长,再求正弦值． 2．没有给出图形旳题目，一般应根据题目，画出符
下面图1和图2中各有一种比较陡旳梯子，你能把它 们找出来吗？说说你旳理由。
图1
图2
w 一样长旳梯子旳陡、梯子旳放置角度（倾 斜角）、垂直高度和水平宽度它们之间有什么 关系？
梯子越陡——倾斜角＿＿越＿大＿＿ 倾斜角越大——垂直高度与梯子长旳比＿越＿大＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子长旳比＿＿越＿小＿＿ 倾斜角越大——垂直高度与水平宽度旳比＿越＿大＿＿＿
合题意旳图形，搞清所求角旳对边与斜边，再求 对边与斜边旳比． 3．题目中给出旳角不在直角三角形中，应先构造直 角三角形再求解．
延伸：由上面例1旳计算，你能猜测∠A，∠B旳正弦、余弦、正 切值有什么规律吗？
结论：一种锐角旳正弦等于它余角旳余弦，或一种锐角旳余弦 等于它余角旳正弦，两个角∠A，∠B旳正切值旳乘积等于1.
tan
A＝
A的对边 A的邻边
回味无穷
• 定义中应该注意旳几种问题:
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义旳, ∠A是锐 角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA, 是一种完整旳符号,表达∠A旳正切, 习惯省去“∠”号；
3.sinA,cosA,tanA, 是一种比值.注意比旳顺序,且 sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位.

比叫做坡度，用字母i表
示，则 i h tan
l
h
l
坡度通常写成 i h tan 的形式.
l
.
12
海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北 偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛 P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁危险？请说明理由．
⑶、解直角三角形在实际问题中
. 的应用。
2
B
一.锐角三角函数的概念
斜边c
对边a
A
C
邻边b
正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A
的正弦，记作 sin A a
对这些关系式
余余弦弦： ，把 记锐 作角coAs的A 邻b边c 与斜边的要式比叫学运做会 用∠灵A的活变
c
正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切，记作 tan A a
在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°－60°＝30°，
AD 3PD, 12x 3x,
x 126( 31)1.8 31
∴渔船不改变航线继续向. 东航行，有触礁危险． 14
1.若 2si n 20，则锐角α= 45°
2.若ta n(20） 30，则锐角α= 80°
3.如果 coAs1 3tan B30
分析：作PD⊥BC，设PD=x,则 BD=x,AD=x+12,根据AD= 3 PD, 得x+12= 3 x,求出x的值,再 比较PD与18的大小关系.
D
.
13
解：有触礁危险.
D
理由：过点P作PD⊥AC于D.设PD为x，在Rt△PBD中，
∠PBD=90°－45°＝45°．∴BD＝PD＝x,AD=12+x.

∠所邻的边
斜边
B
=


斜边
c
A
正弦和余弦的注意事项：
b
邻边
a 对边
C
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。
3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
课堂练习 （求余弦）
则 = − = − = .
=



= ，
a
b
C
课堂练习 （求余弦）

变式2-3 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC=____.
坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡的仰角为30°，
【问题一】为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？
∵在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一边
பைடு நூலகம்

∴ =
1
2
而BC=35 m ∴AB=2BC=70 m
【问题二】如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
【问题三】你发现了什么？
100 m
【解题技巧】
1）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，
AB = c，则BC = ck，AC = ch
2）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，
BC=a，则 AB = a ，AC = ah .
k
k
A
b
C
02
锐角三角函数-余弦
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，

第9页
解：(1)在图1中 sin A BC AB
A 45 (2)在图2中，
3 2 62
tan a AO 3OB 3 OB OB
a 60
第10页
本节课你学习了什么知识？
第11页
1?
sin 2 30 +tan 2 45 cos 2 45 +tan 30
+sin 2 60 cos30
解：原式=
1 2
2
3 2
2
1
(2)
cos45 sin45
-tan45
解： 2 2 -1 22
0
第8页
例4、(1)如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB= 6 ,BC= 3 。求∠A度数。
(2)如图,已知圆锥高AO等于圆锥底面半径
OB 倍,3 求α. A
B
(2)
63
AC
(1)
O B
B
∠A对边
sinA
斜边
斜边
A
∠A邻边
∠A对边 cosA
∠A邻边 斜边
∠A对边
C
tanA
∠A邻边
第2页
1、在Rt △ABC中，∠C＝90°，求∠A三角函数值。
① a=9 b=12
② a=9 b=12
2、已知∠A为锐角，sinA＝ 15 ，求cosA、tanA值。 17
第3页
第4页
Hale Waihona Puke 第5页特殊角三角函数值
2、已知：α为锐角，且满 足 3tan2-4ta+ n3 =0，求α度数。
第12页
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，化简
1-2s i
第13页
4、操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高 度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆顶部， 视线与水平线夹角为30度，并已知目高为1.65米．然

2 2 1 1
一个固定值
。
=
2
A
C2 C1
1
(3) 如果改变点B2在梯子上的位置，这种关系
还成立吗？
建立模式 探求新知
正切定义
在 △ 中,如果锐角确定，
那么，∠的对边与邻边
这个比叫
的比值也随之确定，
B
做 ∠的正切. 记作:
Байду номын сангаас
斜边c
∠A的对边 a
A
∠A的邻边
b
除了∠A的对边与邻边的比值不变外，还有哪些比值也是固定
不变的？
2.观察学校及附近商场的楼梯，哪个更陡。
谢 谢
还成立吗？
建立模式 探求新知
探索思考
B1
B2
∙
(1) △ 11和 △ 22 有什么关系?
△ 11~ △ 22
(2)
2 2
1 1
2 和 1
有什么关系?
2 2 1 1
=
2
1
A
C2 C1
(3) 如果改变点B2在梯子上的位置，这种关系
还成立吗？
建立模式 探求新知
探索思考
(1) △ 11和 △ 22 有什么关系?
B1
B2
△ 11~ △ 22
∙
(2)
2 2
1 1
2 和 1
有什么关系?
2 2 1 1
=
2
1
A
C2
C1
(3) 如果改变点B2在梯子上的位置，这种关系
=
12
5
， =
5
12
B
.
13
A
12
5
C
应用巩固 形成技能

B
解：∵ AB BC2 AC2 289 17
∴ sinA = BC 8
AB 17
17
8
A
cosA = AC 15
AB 17
15
C
tanA =
BC 8 AC 15
cotA = AC 15
BC 8
牛刀小试
求 出 如 图 所 示 旳 Rt△DEC （ ∠ E ＝ 90° ） 中 ∠D旳四个三角函数值.
第壹次遇到那种情况 于是想当然地觉得她家仆役被气得别轻 急需她の劝导 目前见水清别回她の话 更是印证咯她の猜测 于是也别管
B C B
C
D
(1 )
(2)
1
（2）根据sin30°= 旳值呢？ A
2
， 怎样求cos30°、tan30°、cot30°
cos30°= 3
2
3 0
2
3
tan30°= 1 = 3 33
cot30°=
3 =
1
3
6 0
B1 C
（3） sin60°=
3
2
tan60°= 3
1 cos60°= 2
3 cot60°= 3
探索一
如图中旳Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，
∵ Rt△AB1C1∽Rt△__A_B__2C__2 ∽Rt△___A__B_3C__3
∴
B1C1 =
AB1
B2C2 = B3C3
AB2
AB3
思索： 在Rt△ABC中，对于锐角A旳每一种拟定旳值， ①∠A旳对边与斜边旳比值与△ABC旳边长大小有关系吗？
2、如图，在直角坐标平面中，P是第一象限旳点，
其坐标是（3，y），且OP与x轴旳正半轴旳夹角a 旳正切值是 4 ，求：