高等数学--傅里叶级数(1)

12)1()(x f 0x x =)(00x f a =!)(0)(k x f a k k =ππππ11()cos d (0,1,2,),()sin d (1,2,)ππn n a f x nx x n b f x nx x n --====⎰⎰． 34求收敛半径定理，幂级数展开定理，1 为了叙述方便，称前者为有限加而无穷个数相加只是我们不可能用有限加法的方法来完成另外，有限加法中的结合律和交换律在我们在研究无限累加时，是以有限加法(部一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书1 ，B ．）级数的求和问题． +-+-=1111x0)11()11(=+-+-= x 1)11()11(1=-----= x x x -=+-+--=1)1111(1 ，于是12x =． 柯西指出：以上解法犯∑∞=--11)1(n n2 ∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u ∑∞=1n nup2 1π3sin4n nn ∞=∑ π303sin π44nnn ⎛⎫<< ⎪⎝⎭13π4nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑1π3sin4n nn ∞=∑ 11π3sin341π43sin 4n n n n ++=< 1π3sin4n n n ∞=∑ 3 ∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u 0lim =∞→n n u∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u3 ∑∞=---+-11)11()1(n n n n1111211)11()1(1+>-++=--+=--+--n n n n n n n n∑∑∞=∞==+01111n n nn ∑∞=---+-11)11()1(n n n n0112limlim =-++=∞→∞→n n u n n n0)2)(11()1(2)12(2)2()11(1>++--+--++-+=-+---+=-+n n n n n n n n n n n n u u n n4 ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--21111n n n∑∑∑∞=∞=∞==-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--22112121111n n k k n n n 11k k ∞=∑∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--21111n n n 4 0n n n a x ∞=∑nn n a a 1lim+∞→R ),(R R -R x ±=nn n a a 1lim +∞→0x x -5 ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛151n nx n111155nnnn n x x n n ∞∞==⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭∑∑ 11511lim lim lim lim1(1)55(1)551n n n n n n n na n na n n n ++→∞→∞→∞→∞⋅====+⋅⋅+⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭5=R )5,5(-5=x ∑∞=11n n 5-=n ∑∞=-1)1(n n n)5,5[-6 2111(1)(21)!n n n x n -∞+=--∑2221(21)!1limlim lim 0(21)!2(21)n n n n nu n x x x u n n n +→∞→∞→∞-===⋅+++∞=R ),(+∞-∞7 11(1)(1)nn n x n∞-=--∑ 1-=x t ∑∞=--11)1(n nn nt 1111lim 1lim lim1=+=+=∞→∞→+∞→nn n a a n n n n n1=R )1,1(-1-=t ∑∑∞=∞=--=--1111)1()1(n n n n n n 1=t ∑∞=--111)1(n n n ∑∞=--11)1(n nn nt ]1,1(-]2,0( 5 )(x f )(x f 0lim ()0n n R x →∞=)(x f)1()2()3()4()5( 8 2()12xf x x x=+-x ⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=x x x x x x f 2111131)21)(1()(+++++=-n x x x x2111)11(<<-x+-++-+-=+n n x x x x x )2(842121132⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-2121x∑∞=-+=)2)1(1()(n n n nx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-2121xn n 9 x x f ln )(=2-x2()ln[2(2)]ln 2ln 12x f x x -⎛⎫=+-=++⎪⎝⎭22-=x t )1ln(221ln t x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-++-+-=-nn t nt t t t 1432)1(432t <-1(1) 2312322(2)(2)(1)(2)ln 12222322n nnx x x x x n -------⎛⎫+=-++++ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭ x <0(≤)4+⋅--++-+---+=-n nn n x x x x x 2)2()1(2)2(312)2(21222ln ln 13322x <0(≤)4 10 ∑∞=+++12)2)(1(n n n n x1)3)(2()2)(1(lim=++++=∞→n n n n R n 1±=x ]1,1[-．∑∞=+++=12)2)(1()(n n n n x x S∑∞=++='111)(n n n x x S ∑∞==''1)(n nx x S∑∞=-=11n n x x x xxx S -=''1)()11(<<-x ⎰⎰---=-=''='-'x xx x x xxx x S S x S 00)1ln(d 1d )()0()()11(<<-x 0)0(='S )1ln()(x x x S ---=')11(<<-x⎰⎰---='=-x xx x x x x S S x S 0d )]1ln([d )()0()(⎰--+---=x x xx x x x 02d 1)1ln(2 )1ln()1(22x x x x --+-= )11(<<-x 0)0(='S)1ln()1(2)(2x x x x x S --+-= )11(<<-x11 ∑∞=+02!12n nx n n 0)1)(12(32lim !12)!1(32lim 2232=+++=+++∞→+∞→x n n n x n n xn n n n n n),(+∞-∞∑∞=+=2!12)(n nx n n x S2212200021()d d e !!!n nx x n x n n n n x x S x x x x x x n n n +∞∞∞===+====∑∑∑⎰⎰()2220()()d (e )e (12)x x x S x S x x x x ''===+⎰222021()e (12)!n x n n S x x x n ∞=+==+∑),(+∞-∞∈x )1(10)1)(2(2+++n n x n )2(11nx n n 2!12+1)3(106 )(x f )(x f )(x f )(x f )(x f [π,π]-n a n b ∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a )(x f )(x f [π,π]-n a n b)(x f x )(x f )(x f )(x f 2)()()(-++=x f x f x f∑∞=++=1)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f )(x f12 +-+-=!6!4!21cos 642x x x x 13246357cos isin 1i 2!4!6!3!5!7!θθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫+=-+-++-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23456i i 1i 2!3!4!5!6!θθθθθθ=+--++--，2i 1=-3i i =-4i 1=5i i =23456i (i )(i )(i )(i )(i )cos isin 1i e 2!3!4!5!6!θθθθθθθθθ+=+++++++=i cos isin e θθθ+=14 10年，每年向球300?假设存储30003000B p B 元． r t nntn r p B ⎪⎭⎫⎝⎛+=1ntn r B p ⎪⎭⎫⎝⎛+=1， re rt B p =e ertrt B p B -==．10300万元，第一次付款是在签约当%5113=(百万元)， 2205.013+=33205.13=10905.13=1029131 1.05333324.3211.05 1.05 1.051 1.05⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++=≈-， 2432300?%5 13= 20.053e-=)，30.0523(e )-=)，0.050.0520.05333e 3(e )3(e )---=++++，0.05ex -=0.05361.51e -=≈-(百万元)．（ √ ） )(x f )(x f 能展开成0x x -的幂级)(x f（ ⨯ ） )(x f )(x f 时，)(x f,0lim =∞→n n u ∑∞=1n nu收敛； （ ⨯ ）0lim =∞→n n u 正项级数∑∞=1n n u 0lim =∞→n n u ∑∞=11n n 01lim =∞→n n ∑∞=11n n(),11∑∞=-n n na ,0lim =∞→n n a ∑∞=-1)1(n n n a ⨯),2,1(1=≥+n u u n n∑∞=1n na0lim =∞→n n a 1lim1<+∞→n nn a a1lim1n n na a +→∞≤ 1lim 1>=+∞→λn n n a a1lim 1<=+∞→nn n a a q∑∞=+1)4(n n nx a2-=x 2=x4+=x t ∑∞=1n nn ta 2-=x 2=t ∑∞=1n nn ta 2-2(,2)∪(2,)-∞-+∞2=x 6=t ∑∞=+1)4(n n nx a∑∞=1n nn x1<x 1≤x11<≤-x 11≤<-x 11lim lim1=+=∞→+∞→n na a n nn n 1)1,1(-1=x ∑∞=11n n 1-=x ∑∞=-1)1(n n n )1,1[-∑∑∑∞=∞=∞=111,,n nn nn ncb a n n nc b a <<),2,1( =n∑∞=1n nb∑∞=1n na∑∞=1n nb∑∞=1n nc∑∞=1n na∑∞=1n nc∑∞=1n nb∑∞=1n na∑∞=1n nc∑∞=1n nb∑∞=1n na∑∞=1n nc∑∞=1n nb)(x f ∑∞=-100)()(!)(n n n x x n x f)(x f 0)(!)(lim 00)(=-∞→n n n x x n x f ∑∞=-100)()(!)(n n n x x n x f)(x f 0)(!)(lim00)(=-∞→n n n x x n x fe x = 212!!n x x x x n +++++∈R ；=x sin 35211(1)3!5!(21)!n n x x x x x n ---+-+-+∈-R ；=x cos 2421(1)2!4!(2)!nnx x x x n -+-+-+∈R ；=+)1ln(x ]1,1()1(32132-∈+-+-+-+x nx x x x nn ；mx )1(+=)1,1(!)1()1(!2)1(12-∈++--++-++x x n n m m m x m m mx n；∑∞=1n nnx aR ，则∑∞=12n n n x a 的收敛半径为R ；∑∞=1n nnx aR ，则∑∞=1n n n x a 的收敛区间为),(R R -．21nn n a x∞=∑R x <<20⇒R x R <<-，所以，∑∞=12n n n x a 的收敛R)(x f 2π[π,π]-的表达式为{1,π0,()1,0π,x x f x x x --≤<=+≤<则)(x f πx = 1π+ ．ππlim ()lim(1)1πx x f x x --→→=+=+， ππlim ()lim(12π)1πx x f x x ++→→=-+=+， πlim ()1π(π)(2ππ)(π)x f x f f f →=+=-=-= ，)(x f πx =)(x f πx =处收敛于(π)f =1π+ ．∑∞=+1)1(n nxn n 的收敛域与和函数；∑∞=+1)1(n nxn n =∑∞=-+11)1(n n nxn x=∑∞=++0)1)(2(n nxn n x，)(x s ∑∞=++0)1)(2(n nxn n 1-11)(x u 0()d x s x x ⎰00(2)(1)d x nn n n x x ∞=++∑⎰∑∞=++01)2(n n x n()d x u x x ⎰100(2)d x n n n x x ∞+=+∑⎰∑∞=+02n n xxx -12)(x u )1(2'-x x 22)1()1(2x x x x -+-22)1(2x x x -- )(x s ])(['x u ])1(2[22'--x x x 3)1(2x -∑∞=+1)1(n n x n n )(x xs 3)1(2x x- )1,1(-∈x ∑∞=-11n n nx∑∞=+1212n nn x)(x s ∑∞=-11n n nx()d x s x x ⎰101d x n n nx x ∞-=∑⎰∑∞=1n n x xx-1 )(x s )1('-xx2)1(1x -∑∞=-11n n nx 2)1(1x - )1,1(-∈x∑∞=+1212n n n x ∑∞=++112121n n n x x)(x u ∑∞=++11212n n n x='])([x u )12(112'+∑∞=+n n n x ∑∞=12n nx 221x x - )(x u 0()d x u x x '⎰220d 1xx x x -⎰201d 1x x x -⎰0d x x ⎰x x x --+11ln 21∑∞=+1212n n n x ∑∞=++112121n n n x x 111ln 21--+x xx xx f 1)(=3-x x x f 1)(=3)3(1+-x 331131-+⋅xx+11)1,1()1(12-∈+-+-+-x x x x nnx x f 1)(=331131-+⋅x 31]33)1()33(331[2 +⎪⎭⎫⎝⎛--+--+--nn x x x ∑∞=+--01)3(3)1(n nn n x )1,1(33-∈-x )6,0(∈xx sin π6x +x sin ππsin[()]66x +-3π1πsin()cos()2626x x +-+ )6sin(π+x 35211πππ()()()π666()(1)63!5!(21)!n n x x x x x n --++++-+-+-+∈-R ，πcos()6x +242πππ()()()6661(1)2!4!(2)!nnx x x x n +++-+-+-+∈R ，x sin 3π1πsin()cos()2626x x +-+ 234πππ()()()13π131666()22622!23!24!x x x x +++-+++⋅--⋅+22111ππ()()1366(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n x x x n n ---+++-⋅+-⋅+∈-R ．{0,()π,f x x =-π0,0π,x x -≤<≤<将)(x f 在[π,π]-上展成傅里叶级数，傅叶级数在0=x0a ππ1()d πf x x -⎰π01(π)d πx x -⎰2π011(π)π2x x -π2n a ππ1()cos d πf x nx x -⎰π01(π)cos d πx nx x -⎰π1(π)d(sin )πx nx n -⎰π01(π)sin πx nx n -π01sin d πnx x n ⎰π021cos πnx n -20,21,2,2,πn k n k n =-⎧⎪⎨=⎪⎩ n b ππ1()sin d πf x nx x -⎰π01(π)sin d πx nx x -⎰π01(π)d(cos )πx nx n --⎰π01(π)cos πx nx n -π01cos d πnx x n ⎰0cos 1n n1 )(x f)(x f π421211[cos(21)sin(21)sin 2](21)π212k k x k x kx k k k ∞=-+-+--∑ )(lim 0x f x +→0lim(π)x x +→-π)(lim 0x f x -→ 0=x π2∑∞=-211n n n11-n n 1)1(1--n n 23)1(1-n∑∞=-223)1(1n n ∑∞=1231n n312p =>p ∑∞=-211n n n11πtan 2n n n ∞+=∑nn n a aq 1lim +∞→=21π(1)tan2limπtan 2n n n n n +→∞++⋅⋅21π(1)2limπ2n n n n n +→∞++⋅⋅n n n 21lim +∞→2111πtan2n n n ∞+=∑∑∞=+-111)1(n nnn n u ∞→lim 11lim+∞→n n1+n u 21+n 11+n n u∑∞=+-111)1(n nn1000 n B ∞→n%)51(10001+⨯=a n %)51(%)51(10001+++⨯=-n n a a1221223323211211000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),n n n n n n n n n a a a a a a a a --------=⨯+++⎧⎪+=⨯+++⎪+=⨯+++⎨⎪⎪+=⨯+++⎩n a 1112%)51(]%)51(%)51(%)51[(1000--++++++++⨯n n an n %)51(1000%)51(1]%)51(1%)[51(10001+⨯++-+-+⨯- ]1%)51(-+nn n a ∞→lim ∞，n B ]1%)51(-+n元，当∞→n。

由 f ( x ) 的 Fourier 系数建立的三角级数 a0 ∞ + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) 2 n =1 称为 f ( x ) 的 Fourier 级数 , 记为
公式 :
1 an = π
∫−π f ( x)cosnxdx
π
a0 ∞ f ( x) ~ + ∑ ( ancos nx + bnsin nx ) 2 n =1
取 x = 0, 则
4π + 4 1 = 2π 2 ∑ n2 3 n =1
4 ∑ 12 = 2π 3 n n =1
∞ 2
2
∞
?
收敛定理 !
1 =π2 ⇒∑ 2 6 n n=1
∞
16
1 1 1 π2 1+ 2 + 2 + 2 + L = L 8 3 5 7
1 =π2 ∑ n2 6 n=1
∞
1 1 1 1 π2 ⇒ 2 + 2 + 2 + 2 +L = L . 24 2 4 6 8
a0 ∞ f ( x − 0) + f ( x + 0) + ∑ (an cos nx + bn sin nx ) = 2 n =1 6 2 (证明 ) 略
函数 f ( x ) 展开成 (收敛的) Fourier 级数所要求条件不高 (与幂级数相比) , 收敛性容易得到满足 .
将 f ( x ) 展开成 Fourier 级数常用直接方法 .
x2
− 2x
sin nx
1 − n cos nx − 12 sin nx n 1 cos nx n3
14
2 0
a0 = 8 π 2 , 3

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内连续，则其在(a,b)内一定可积的是：A.有界函数B.无界函数C.奇函数D.偶函数2.微分方程y''5y'+6y=0的通解为：A.y=C1e^x+C2e^3xB.y=C1e^2x+C2e^3xC.y=C1e^x+C2e^-6xD.y=C1e^2x+C2e^-3x3.级数∑n=1∞(n^2/n!)的收敛性是：A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定4.在空间直角坐标系中，曲面z=x^2+y^2的切平面方程在点(1,1,2)处为：A.z=2x+2y1B.z=x+y1C.z=2x+2y+1D.z=x+y+15.设矩阵A为对称矩阵，则A的特征值：A.一定全为实数B.一定全为正数C.一定互不相同D.一定存在复数特征值二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处一定连续。

（）2.若函数f(x)在区间(a,b)内单调增加，则其导数f'(x)在(a,b)内一定大于0。

（）3.级数∑n=1∞1/n^2是发散的。

（）4.多元函数的极值点一定是函数的驻点。

（）5.若矩阵A和B可交换，即AB=BA，则A和B一定有共同的特征向量。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x^33x在x=______处取得极小值。

2.微分方程y''+4y=0的通解为y=______。

3.级数∑n=1∞(-1)^(n-1)/n的值为______。

4.曲线x^2+y^2=1在点(√2/2,√2/2)处的切线方程为______。

5.若矩阵A的特征值为λ1,λ2,λ3，则矩阵A^3的特征值为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1.简述罗尔定理及其应用。

2.解释什么是函数的泰勒展开。

3.什么是拉格朗日中值定理？给出一个应用实例。

4.简述多元函数的极值和最值的区别。

解 所给函数满足收敛定理7.14的条件, 它在点 = (2 +
1)( = 0, ±1, ±2, ⋯ )处不连续, ()的傅里叶级数收敛于
( − 0) + (− + 0) 0 −

=
=− .
2
2
2
在连续点 ( ≠ (2 + 1))处, ()的傅里叶级数收敛于
().
其中0 , , ( = 1,2, ⋯ ) 均为常数.
3
01
三角级数与三角函数系的正交性
2.三角函数系的正交性
函数系1, cos , sin , cos 2 , sin 2 , ⋯ , cos , sin , ⋯
(7.30)称为三角函数系.
性质7.8 在三角函数系(7.30)中, 任意两个不同函数的
0
因此“奇延拓”+“周期延拓”的步骤可以省略.
21
02
周期为2π的函数展开成傅里叶级数
(4) ②根据收敛定理, “偶延拓”+“周期延拓”下得到的
余弦级数
∞
0
+ ෍ cos
2
=1
,
∈ [0, ]且为()的连续点;
= ൞1
[( − 0) + ( + 0)], ∈ [0, ]且为()的间断点.
3
3 0
2
2
2

= + sin 3 ห 0 = .
3
9
3
24
02
周期为2π的函数展开成傅里叶级数
例2
设()是周期为2的周期函数, 它在[−, )上的表达式为
, − ≤ < 0,
() = ቊ