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2020年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，4，，，则A. B. 1，2， C. 2， D.2.已知复数z满足为虚数单位，则z的虚部为A. 1B.C. 0D. i3.函数的部分图象可能是A. B.C. D.4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则角B等于A. B. C. D.5.两个非零向量，满足，则向量与夹角为A. B. C. D.6.下列说法正确的是A. 命题p，q都是假命题，则命题“”为真命题B. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到C. ，函数都不是奇函数D. 函数的图象关于直线对称7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为A.B.C.D.8.已知直线与抛物线C：及其准线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则m等于A. B. C. D.9.若函数在上是单调函数，则a的取值范围是A. B. C. D.10.若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称，则的最小值为A. B. C. D.11.设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.12.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l与双曲线C左，右两支交于点B，A，若为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足约束条件，则的最大值为______．14.某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则______．15.在中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，，，则，则______．16.设数列的前n项和为，已知，对任意的正整数n满足，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列是首项，的等比数列，设Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ记，求数列的前n项和．18.2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如表：会参与不会参与男生6040女生2030根据如表说明，能否有的把握认为参与马拉松赛事与性别有关？Ⅱ现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动求男、女学生各选取多少人；若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：，其中．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，底面，侧面底面ABCD，，．Ⅰ求证：面PAC；Ⅱ过AC的平面交PD于点M，若，求三棱锥的体积．20.已知椭圆C：，圆：，圆：，椭圆C与圆、圆均相切．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ直线l与圆相切同时与椭圆C交于A、B两点，求的最大值．21.设函数，．当时，求函数的极值；Ⅱ若关于x的方程在区间上有两个实数解，求实数m的取值范围．22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为：为参数，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线：．Ⅰ求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；Ⅱ若曲线与曲线交于A，B两点，求的取值范围．23.已知函数，．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ若，且对任意，恒成立，求m的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的定义，对数的运算性质，以及交集的运算．【解答】解：2，4，，1，2，；．故选：A．2.答案：A解析：解：由，得．则z的虚部为1．故选：A．把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解；显然原函数是偶函数，立即排除B，取，则排除A．故选：C．先判断函数为偶函数，再根据函数值的特点即可判断本题考查了函数图象的识别，考查了函数的奇偶性和函数值的特点，属于中档题4.答案：A解析：解：，由正弦定理可得：，，，，，，可得，，．故选：A．由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合，可得，结合范围，可求B的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.答案：A解析：【分析】由题意画出图象，数形结合，求得向量与夹角．本题主要考查两个向量的夹角的求法，直角三角形中的边角关系，属于中档题．【解答】解：两个非零向量，满足，如图，设，，则，，则四边形OACB为矩形，．设向量与夹角为，则，，，，故选：A．6.答案：D解析：解：选项A，因为p是假命题，所以是真命题，但q是假命题，所以命题“”为假命题，即A错误；选项B，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，即B错误；选项C，例如，当时，函数，是奇函数，即C错误；选项D，，所以其图象关于直线对称，即D正确．故选：D．A，因为p是假命题，所以是真命题，但q是假命题，根据复合命题中“”命题一假则假的原则，所以命题“”为假命题；B，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到；C ，举特例，当时，函数，是奇函数；D ，把代入函数解析式中计算其结果是否为1或，由于，所以其图象关于直线对称．本题考查命题的真假判断，主要包含复合命题的真假判断、正弦函数的性质及图象变换，考查学生的推理论证能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图如图所示：该几何体为三棱锥体．所以几何体的外接球的半径设为r，则：，解得，所以，故选：B．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解：因为，所以点A，B，F共线，所以直线经过抛物线的焦点，所以，因为抛物线的准线为，所以得，即因为，所以，所以，解得，将点A的坐标代入抛物线方程得：，解得，所以．故选：B．因为，所以点A，B，F共线，即直线经过抛物线的焦点，得，联立得，因为，所以，解得A坐标，将点A的坐标代入抛物线方程解得，进而得出结论．本题考查直线与抛物线方程，向量问题，属于中档题．9.答案：B解析：解：当时，，在上恒成立，即在上单调递增，又函数在上是单调函数，，解得．故选：B．先利用导数与函数单调性的关系可知，当时，单调递增，于是在R上单调递增，还需要满足，解之即可得a的取值范围．本题考查分段函数的单调性，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，的图象关于原点对称，，．令，可得的最小值为，故选：A．利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用三角函数的图象的对称性，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：C解析：【分析】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，函数奇偶性的应用，属于难题．根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，结合函数的单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，然后将不等式变形转化可得关于x的不等式组，求解得答案．【解答】解：根据题意，设，其导数，又由当时，，则有，即函数在上为减函数，又由，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在和上，，又由为奇函数，则在区间和上，都有，由，得或，解可得：或，则x的取值范围是．故选：C．12.答案：D解析：解：设，根据双曲线的定义可知：，即，且，即，所以，则，在中，，整理得，所以，则，所以渐近线方程为，故选：D．设，利用双曲线定义，可得，，利用余弦定理可得，进而得到a，b关系，可得渐近线方程．本题考查双曲线的定义，考查双曲线渐近线求法，余弦定理，整体思想，属于中档题．13.答案：8解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：由得：，将直线向上平移，可知当直线经过点时，的截距取得最大值，z的最大值，，故答案为：8．画出满足条件的平面区域，由得：，将直线向上平移，结合图象求出z的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．14.答案：11解析：解：甲组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为20，即，解得；乙组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为10，即，解得．故；故答案为：11．根据茎叶图中的数据，利用平均数的定义，即可求出m、n的值．本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，是基础题目．15.答案：解析：解：，，，由正弦定理可得：，，，可得，或，若，由于，可得，可得舍去，，可得，可得：，，，，由，可得，由余弦定理可得．故答案为：．由正弦定理化简已知等式，结合，可得，可得，或，由于若，可得推出矛盾，可得，根据三角形内角和定理可得，可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos B的值，进而根据余弦定理可求b的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式定理及其变形应用是解题的关键，属于难题．16.答案：解析：解：，，，，；；；；；；；故答案为：．根据递推关系式得到；再利用累加法即可求得结论．本题主要考查数列递推关系式的应用以及累加法的应用，属于中档题目．17.答案：解：由，得，，所以．．由，得，．所以数列的前n项和．解析：利用已知条件推出数列的公比，然后求解数列的通项公式．利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法的应用，是基本知识的考查．18.答案：解：因为，所以有的把握认为参与马拉松赛事与性别有关；根据分层抽样方法得，男生有人，女生有2人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人；设抽取的6名男生分别为A，B，C，D，E，F；2名女生为a，b；从中抽取两人，分别记为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种情形；其中2男的共15种情形，所以所求的概率值为．解析：根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论；根据分层抽样法求得男生、女生抽取人数；利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19.答案：Ⅰ证明：由题意，，，则，又侧面底面ABCD，面面，面PAB，面ABCD．面ABCD，则，又，ABCD为平行四边形，则，又，则为等边三角形，可得ABCD为菱形，则．又，面PAC；Ⅱ解：由，得M为PB中点，由Ⅰ知，ABCD为菱形，又，，．又面ABCD，且，．解析：Ⅰ由题意，，得到，再由平面与平面垂直的性质可得面ABCD，从而得到，结合已知条件证明ABCD为菱形，则由直线与平面垂直的判定可得面PAC；Ⅱ由，得M为PB中点，然后利用求解．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：Ⅰ由题易知的半径，圆的半径，又椭圆与、同时相切，则，则C：．Ⅱ当l斜率为0时，l与椭圆C相切，不符合题意，斜率不为0时，设l：，原点到l的距离．则，由，可得：，设，由根与系数的关系得：，，，将代入得，令则，在上单调递增，则，即时，．解析：Ⅰ利用已知条件求出椭圆的长半轴与短半轴的长，即可得到椭圆方程．Ⅱ当l斜率为0时，l与椭圆C相切，不符合题意；斜率不为0时，设l：，通过原点到l的距离则，由，，设，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解即可．本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，是难题．21.答案：解：依题意知的定义域为，当时，，，令，解得则单调递增，，单调递减．所以当时函数取得极小值，且极小值为，当时函数取得极大值，且极大值为．由，可得，又，所以，．令，则，由，得；由，得，在区间上是增函数，在区间上是减函数．当时函数有最大值，且最大值为，又，当时，方程在区间上有两个实数解．实数m的取值范围为．解析：当把代入，然后对函数求导，结合导数与单调性及极值的关系即可求解；由，可得，构造函数，然后对函数求导，结合导数可分析函数的性质，进而可求．本题主要考查了利用导数求解函数的极值及利用分离法求解参数范围问题，构造函数并利用导数知识是求解问题的关键．22.答案：解：Ⅰ直线l的参数方程为：为参数，转换为曲线的普通方程为：，曲线：根据整理得普通方程为：；Ⅱ将为参数代入：化简整理得：，设A、B两点对应的参数分别为、，则恒成立，，，，所以：．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．23.答案：解：Ⅰ当时，，原不等式等价于或或，解得：或无解或，所以，的解集为分Ⅱ，．则所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．所以当时，取得最小值，．因为对任意恒成立，所以．又因为，所以，解得不合题意．所以m的最小值为分解析：Ⅰ通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；Ⅱ求出函数的单调区间，求出的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道常规题．。
输入x开始 2019届河南省普通高等学校招生全国统一考试模拟（三）数学（文）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==，{|12}B x x =-≤≤，则A B =A.[1,2]-B. [1,2]C. (1,2]D. [1,1]{2}-2.已知复数z 满足||2z z z =+=，（z 为z 的共轭复数）.下列选项（选项中的i 为虚数单位）中z = A. 1i + B. 1i - C.1i +或1i - D.1i -+或1i -- 3．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模版”，它 是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块 板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中 任取一点，则此点取自黑色部分的概率为 A ．932B ．516C ．38D ．7164．下列命题中，真命题是A ．0x R ∃∈，使得00xe ≤ B ．22sin 3(π,)sin x x k k Z x+≠∈≥ C ．2,2x x R x ∀∈>D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件5. 一给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<.则该函数的图象可能是D C B A1yyyyxxxx6. 按如图所示的算法框图，某同学在区间[0,9]上随机地取一个数作为x 输 入，则该同学能得到“OK”的概率 A.12 B.19 C.1318D.897.一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为 2，1的长方形，侧视图为正方形.则这个几何体的体积为A.13 B.53 C.54D.2 8．设5sin π=a ，3log2=b ，3241⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则A.b c a <<B. c a b <<C. b a c <<D. a b c <<9．的部分图像大致为A B C D10. 已知直线20x y +=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m .等差数列{}n a 的公差为d ，且7841035,0a a a a ⋅=+<，令123||||||||n n S a a a a =++++，则m S 的值为A.60.B.52C.44D.3611. 知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，(,),(,)B a a C a a ---，过,,A B C 三点的圆与直线2a x c=-相切，则此椭圆的离心率为A.13 B. 12 C. D. 2312. 已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0,30),1ln()(2x x x x x x f ，若0)2()(≥+-x m x f ，则实数m 的取值范围是A. (]1-∞,B. []1-2,C. []0,3D. )[3,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2016年高中毕业年级第三次质量预测数学(文科) 参考答案第Ⅰ卷一、选择题：第Ⅱ卷二、填空题:13．64 14. -15.16．三、解答题:17.（Ⅰ）———————2分因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,———————4分因为,所以.所以———————6分（Ⅱ）因为,所以,因为角A 为ABC 的内角,所以. ———————8分又因为所以由正弦定高考,得,也就是,因为,所以或. ———————10分当时,;当时,. ———————12分18.解 (1)k ＝55×50×30×75105×(10×30－20×452≈6.109＞3.841， ———————5分因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”． ———————7分(3)设“抽到6号或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y )，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36个．事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个 ∴P (A )＝368＝92. ———————12分19.（Ⅰ）证明：在直三棱柱中，不妨设，为等腰直角三角形，，，E、F分别为BC、的中点，，，，有，，又平面ABC，，，平面AEF．…………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，，，…………………………………………………………（8分），，在中，，，………………（10分）设点到平面的距离为，则，所以，即点到平面的距离为1．………………………………………………（12分）20.（I）由：知（0，1），设，因M在抛物线上，故①又，则②，由①②解得，椭圆的两个焦点（0，1），，点M 在椭圆上，由椭圆定义可得∴又，∴，椭圆的方程为：. ……………5分（II）设，由可得：，即由可得：，即⑤×⑦得：，⑥×⑧得：，两式相加得，又点A，B在圆上，且，所以，，即，所以点Q总在定直线上. ……12分21. （Ⅰ）--------------------------------------3分---------------------------------------5分-------------------------------------6分（Ⅱ）----------------------------------------------7分------------------------8分-------------------------------------------9分----------------------------10分，，----------------------------------------------------------12分22．证明：(Ⅰ)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC. ———————5分(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD. ———————10分23．(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，故直线OP的直角坐标方程为———————5分(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，所以直线l的平面直角坐标方程为又圆C的圆心坐标为，半径r＝2，圆心到直线l的距离故直线l与圆C相交．———————10分24．。
2017 年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．若会合 A={ x| x﹣ x2＞0} ， B={ x| （x+1）（m﹣x）＞ 0} ，则“m＞1”是“A∩B≠?”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件2．为认识600 名学生的视力状况，采纳系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分红几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40D．503．已知 z=m﹣ 1+（m+2）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣ 1，2）B．（﹣ 2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣ 2）4．中国有个名句“运筹决胜之中，决胜千里以外”．此中的“筹”原意是指《孙子算经》中记录的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面长进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，以下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数同样，把各个数位的数码从左到右摆列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，比如 6613用算筹表示就是：，则 5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．6．已知 f' （x）=2x+m，且 f（ 0） =0，函数 f（x）的图象在点A（1，f（ 1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2017的值为（）A．B．C．D．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{a n，且 a6 a8=4，则 a8（a4 2a6 a8）的值为（）}++ +A．2B．4C．8D．169．若实数 a、b、c＞0，且（a+c）?（a+b）=6﹣ 2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B．+ 1 C．2 +2 D．2﹣210．椭圆+=1 的左焦点为F，直线 x=a 与椭圆订交于点M、N，当△ FMN 的周长最大时，△ FMN 的面积是（）A．B．C．D．11．四周体 A﹣ BCD 中， AB=CD=10， AC=BD=2，AD=BC=2，则四周体 A﹣ BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100π C． 200πD． 300π12．已知函数 f （x）=，且 f=（）A．﹣ 2014 B．﹣ 2015 C．﹣ 2016 D．﹣ 2017二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．设变量 x，y 知足拘束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m=．15．在△ ABC中，内角 A， B， C 所对的边分别是a，b，c，已知 b=a， A=2B，则 cosA=．16．在△ ABC中，∠ A=，O为平面内一点．且|| ，M 为劣弧上一动点，且．则 p+q 的取值范围为．三、解答题（本大题共7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．已知数列 { a n } 是等差数列，首项a1=2，且 a3是 a2与 a4+1 的等比中项．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设 b n，求数列n的前n 项和 n．={ b }S18．2012 年 3 月 2 日，国家环保部公布了新订正的《环境空气质量标准》，此中规定：居民区的 PM2.5 的年均匀浓度不得超出 35 微克 / 立方米．某城市环保部门在 2013年 1月1日到2013 年 4 月 30 日这 120 天对某居民区的 PM2.5 均匀浓度的监测数据统计以下：组别PM2.5 浓度（微克 / 立方米）频数（天）第一组（ 0， 35]32第二组（35，7564 ]第三组（75， 11516]第四组115以上8（Ⅰ）在这 120 天中抽取 30 天的数据做进一步剖析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本 PM2.5 的均匀浓度超出 75（微克 / 立方米）的若干天中，随机抽取 2 天，求恰巧有一天均匀浓度超出 115（微克 / 立方米）的概率．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ ABC是等腰直角三角形，且斜边AB= ，侧棱 AA1=2，点 D 为 AB 的中点，点 E 在线段 AA1上， AE=λ AA1（λ为实数）．（1）求证：无论λ取何值时，恒有 CD⊥ B1E；（2）当λ=时，求多面体 C1B﹣ECD的体积．12+y2上随意一点，点2 与点 1 对于原点对称，20．已知点 P 是圆 F ：（x﹣1）=8F F线段 PF2的垂直均分线分别与 PF1，PF2交于 M， N 两点．（ 1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（ 2）过点的动直线 l 与点 M 的轨迹 C 交于 A， B 两点，在 y 轴上能否存在定点 Q，使以 AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明原因．21．已知函数 h（ x）=（x﹣a）e x+a．（1）若 x∈[ ﹣1，1] ，求函数 h（x）的最小值；（2）当 a=3 时，若对 ? x1∈[ ﹣1，1] ，? x2∈ [ 1，2] ，使得 h（x1）≥ x22﹣2bx2﹣ ae+e+成立，求b的范围．22．以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线 C 的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ =0．（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 订交于 A，B 两点，当θ变化时，求 | AB| 的最小值．23．已知函数 f （x）=| x﹣5| ﹣| x﹣2| ．（1）若 ? x∈R，使得 f（ x）≤ m 成立，求 m 的范围；（2）求不等式 x2﹣8x+15+f （x）≤ 0 的解集．2017 年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．若会合 A={ x| x﹣ x2＞0} ， B={ x| （x+1）（m﹣x）＞ 0} ，则“m＞1”是“A∩B≠?”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【考点】 2L：必需条件、充足条件与充要条件的判断．【剖析】会合 A={ x| x﹣ x2＞ 0} =（ 0，1）．对于 B：（x+1）（ m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m ）＜0，对 m 与﹣ 1 的大小关系分类议论，再利用会合的运算性质即可判断出结论．【解答】解：会合 A={ x| x﹣x2＞ 0} =（0，1），对于 B：（x+1）（ m﹣x）＞ 0，化为：（x+1）（ x﹣ m）＜ 0，m=﹣1 时， x∈ ?．m＞﹣ 1，解得﹣ 1＜x＜ m，即 B=（﹣ 1， m）．m＜﹣ 1 时，解得 m＜x＜﹣ 1，即 B=（m，﹣ 1）．∴ “m＞1”? “A∩ B≠ ?”，反之不可立，比如取m=．∴ “m＞1”是“A∩ B≠ ?”的充足而不用要条件．应选： A．2．为认识600 名学生的视力状况，采纳系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分红几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40D．50【考点】 B4：系统抽样方法．【剖析】依据系统抽样的特色，求出分段间隔即可．【解答】解：依据系统抽样的特色，得；从 600 名学生中抽取 20 个学生，分段间隔为=30．应选： B．3．已知 z=m﹣ 1+（m+2）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣ 1，2）B．（﹣ 2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣ 2）【考点】 A4：复数的代数表示法及其几何意义．【剖析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解： z=m﹣ 1+（m+2）i 在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞ 0，解得﹣ 2＜m＜1．则实数 m 的取值范围是（﹣ 2，1）．应选： B4．中国有个名句“运筹决胜之中，决胜千里以外”．此中的“筹”原意是指《孙子算经》中记录的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面长进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，以下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数同样，把各个数位的数码从左到右摆列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，比如 6613 用算筹表示就是：，则 5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．【考点】 F1：概括推理．【剖析】依据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则 5288 用算筹可表示为11，应选： C5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．【考点】 GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．【剖析】由已知利用引诱公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：cos（﹣α）=﹣，∴ sin[﹣（﹣α）] =sin（+α）=﹣．应选： D．6．已知 f' （x）=2x+m，且 f（ 0） =0，函数 f（x）的图象在点A（1，f（ 1））处的切线的斜率为3，数列的前 n 项和为 S n2017），则 S 的值为（A．B．C．D．【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【剖析】由题意可设f（x）=x2mx c，运用导数的几何意义，由条件可得m，c + +的值，求出== ﹣，再由数列的乞降方法：裂项相消乞降，计算即可获得所乞降．【解答】解： f'（x）=2x+m，可设 f（ x）=x2+mx+c，由 f（ 0） =0，可得 c=0．可得函数 f（ x）的图象在点 A（1，f（1））处的切线的斜率为 2+m=3，解得 m=1，即 f（ x）=x2+x，则==﹣，数列的前 n 和 S n，S2017+⋯=1=．=1+ +故： A．7．如是某个几何体的三，个几何体体是（）A．B．C．D．【考点】 L!：由三求面、体．【剖析】由三可知：几何体由一个半柱与三棱柱成的几何体．【解答】解：由三可知：几何体由一个半柱与三棱柱成的几何体．个几何体体 V=+ ×（）2×2=2+ ．故： A．8．已知等比数列 { a n } ，且 a6+a8=4， a8（a4+2a6+a8）的（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】 8G：等比数列的性．【剖析】将式子“a8 468）”睁开，由等比数列的性：若m， n， p， q∈++N* ，且 m+n=p+q，有 a m a n=a p a q可得， a8（a4+2a6+a8） =（ a6+a8）2，将条件代入获得答案．【解答】解：由意知： a8（a4+2a6+a8） =a8a4+2a8a6+a82，∵a6+a8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．应选 D．9．若实数 a、b、c＞0，且（a+c）?（a+b）=6﹣ 2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B．+ 1 C．2 +2 D．2﹣2【考点】 7F：基本不等式．【剖析】依据题意，将 2a+b+c 变形可得 2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式剖析可得2a b c=（ a c）（ a b）≥ 2=2，计算可得答案．+++++【解答】解：依据题意， 2a+b+c=（a+c） +（ a+b），又由 a、b、c＞0，则（ a+c）＞ 0，（ a+b）＞ 0，则2a b c=（ a c）（a b）≥ 2=2=2（﹣ 1）=2﹣2，+ ++ + +即2a b c 的最小值为 2﹣ 2，+ +应选： D．10．椭圆+=1 的左焦点为F，直线 x=a 与椭圆订交于点M、N，当△ FMN 的周长最大时，△ FMN 的面积是（）A．B．C．D．【考点】 K4：椭圆的简单性质．【剖析】设右焦点为 F′，连结 MF′，NF′，因为 | MF′|+| NF′|≥ | MN| ，可适当直线x=a过右焦点时，△FMN 的周长最大． c==1．把 c=1 代入椭圆标准方程可得：=1，解得 y，即可得出此时△ FMN 的面积 S．【解答】解：设右焦点为F′，连结 MF′， NF′，∵MF′NF′≥MN，||+|| ||∴当直线 x=a 过右焦点时，△ FMN 的周长最大．由椭圆的定义可得：△ FMN 的周长的最大值 =4a=4．c==1．把 c=1 代入椭圆标准方程可得：=1，解得 y=±．∴此时△ FMN 的面积 S==．应选： C．11．四周体 A﹣ BCD 中， AB=CD=10， AC=BD=2，AD=BC=2，则四周体A ﹣ BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC． 200πD． 300π【考点】 LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【剖析】由题意可采纳割补法，考虑到四周体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为 x， y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可获得一个长、宽、高分别为 x，y，z 的长方体，由此能求出球的半径，从而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采纳割补法，考虑到四周体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为 x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可获得一个长、宽、高分别为x，y，z 的长方体，而且 x2+y2=100，x2 +z2=136，y2+z2=164，设球半径为 R，则有（ 2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．应选 C．12．已知函数 f （x）=，且f=（）A．﹣ 2014 B．﹣ 2015 C．﹣ 2016 D．﹣ 2017【考点】 3T：函数的值．【剖析】推导出函数 f （ x） =1+，令 h（ x）+=，则 h（ x）是奇函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数 f （x）=，=1++=1++，令 h（x） =，则 h（﹣ x）=﹣+=﹣ h（x），即 h（x）是奇函数，∵f=2016，∴ h=1+h（﹣ 2017）=1﹣h13．设变量 x，y 知足拘束条件：，则目标函数 z=x 2y的最小值为 4．+【考点】 7C：简单线性规划．【剖析】由拘束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形联合获得最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由拘束条件作出可行域如图，联立，解得 A（ 2， 1），化目标函数 z=x+2y 为 y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为 4．故答案为： 4．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数 m=．【考点】 9S：数目积表示两个向量的夹角．【剖析】利用两个向量的数目积的定义，两个向量的数目积公式，求得m 的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴= m+3=?2?cos30°，求得，故答案为：．15．在△ ABC中，内角 A， B， C 所对的边分别是a，b，c，已知 b=a， A=2B，则 cosA=．【考点】 HP：正弦定理．【剖析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB= ，从而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵ A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵ b= a，∴由正弦定理可得：===2cosB，∴cosB= ，∴cosA=cos2B=2cosB﹣1= ．故答案为：．16．在△ ABC中，∠ A=，O为平面内一点．且|| ，M 为劣弧上一动点，且．则 p+q 的取值范围为[ 1， 2]．【考点】 9H：平面向量的基本定理及其意义．【剖析】依据题意画出图形，联合图形，设外接圆的半径为r，对=p +q两边平方，成立 p、 q 的分析式，利用基本不等式求出p+q 的取值范围．【解答】解：以下图，△ ABC中，∠ A=，∴∠ BOC=；设 |=r，则 O 为△ ABC外接圆圆心；∵=p +q ，∴==r2，即 p2r2+q2 r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（ p+q）2=3pq+1；又 M 为劣弧 AC上一动点，∴ 0≤ p≤ 1， 0≤q≤ 1，∴ p+q≥2，∴ pq≤=，∴1≤（ p+q）2≤（p+q）2+1，解得 1≤（ p+q）2≤ 4，∴1≤ p+q≤2；即 p+q 的取值范围是 [ 1，2] ．故答案为： [ 1， 2] ．三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．已知数列 { a n } 是等差数列，首项a1=2，且 a3是 a2与 a4+1 的等比中项．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设 b n，求数列n的前n 项和n．={ b }S【考点】 8E：数列的乞降； 8H：数列递推式．【剖析】（1）设等差数列的公差为 d，首项 a1324的等比中项+即可求出公差 d，再写出通项公式即可，（ 2）化简 b n依据式子的特色进行裂项，再代入数列n的前n 项和 n ，利用裂{ b }S项相消法求出 S n．【解答】解：（1）设等差数列 { a n} 的公差为 d，由 a1=2，且 a3是 a2与 a4+1 的等比中项．∴（ 2+2d）2=（3+3d）（2+d），解得 d=2，∴a n=a1+（n 1）d=2+2（n 1）=2n，（ 2） b n ====（），∴ S n=（+++⋯++）=（+）=18．2012 年 3 月 2 日，国家保部布了新修的《境空气量准》，此中定：居民区的PM2.5 的年均匀度不得超 35 微克 / 立方米．某城市保部在 2013 年 1 月 1 日到2013 年 4 月 30 日 120 天某居民区的 PM2.5 均匀度的数据以下：PM2.5 度（微克 / 立方米）数（天）第一（0， 3532 ]第二（35，7564 ]第三（75， 115]16第四115 以上8（Ⅰ）在 120 天中抽取 30 天的数据做一步剖析，每一抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的本 PM2.5 的均匀度超 75（微克 / 立方米）的若干天中，随机抽取 2 天，求恰巧有一天均匀度超 115（微克 / 立方米）的概率．【考点】 CB：古典概型及其概率算公式； B3：分抽方法．【剖析】（Ⅰ）由 120 天中的数据中，各个数据之存在差别，故采纳分抽，算出抽比 k 后，可得每一抽取多少天；（Ⅱ） PM2.5 的均匀度在（ 75， 115] 内的 4 天 A，B，C，D， PM2.5 的均匀度在115 以上的两天 1，2，列出从 6 天任取 2 天的全部状况和足恰有一天均匀度超115（微克 / 立方米）的状况数，代入古典概型概率算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ） 120 天中抽取 30 天，采纳分抽，抽比 k==，第一抽取 32×=8 天；第二组抽取 64×=16 天；第三组抽取 16×=4 天；第四组抽取 8×=2 天（Ⅱ）设 PM2.5 的均匀浓度在（ 75， 115] 内的 4 天记为 A，B，C，D， PM2.5 的均匀浓度在 115 以上的两天记为 1，2．所以 6 天任取 2 天的状况有：AB，AC， AD， A1，A2，BC，BD，B1， B2， CD，C1，C2， D1，D2， 12，共 15 种记“恰巧有一天均匀浓度超出115（微克 / 立方米）”为事件 A，此中切合条件的有：A1，A2， B1，B2，C1， C2，D1，D2，共 8 种所以，所求事件 A 的概率 P=19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ ABC是等腰直角三角形，且斜边AB= ，侧棱 AA1=2，点 D 为 AB 的中点，点 E 在线段 AA1上， AE=λ AA1（λ为实数）．（1）求证：无论λ取何值时，恒有 CD⊥ B1E；（2）当λ=时，求多面体 C1B﹣ECD的体积．【考点】 LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【剖析】（1）由已知可得 CD⊥ AB．再由 AA1⊥平面 ABC，得 AA1⊥ CD．利用线面垂直的判断可得 CD⊥平面 ABB1A1．进一步获得 CD⊥B1E；（ 2）当λ=时，．再由△ ABC是等腰直角三角形，且斜边，得 AC=BC=1．而后利用联合等积法得答案．【解答】（1）证明：∵△ ABC是等腰直角三角形，点 D 为 AB 的中点，∴ CD⊥ AB．∵AA1⊥平面 ABC，CD? 平面 ABC，∴ AA1⊥CD．又∵ AA1? 平面 ABB1A1，AB? 平面 ABB1A1，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面 ABB1A1．∵点 E 在线段 AA1上，∴ B1E? 平面 ABB1A1，∴CD⊥B1E；（ 2）解：当λ=时，．∵△ ABC是等腰直角三角形，且斜边，∴ AC=BC=1．∴，，∴．20．已知点 P 是圆 F1：（x﹣1）2+y2上随意一点，点2 与点 1 对于原点对称，=8F F线段 PF2的垂直均分线分别与1， 2 交于M ，N两点．PF PF（ 1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（ 2）过点的动直线 l 与点 M 的轨迹 C 交于 A， B 两点，在 y 轴上能否存在定点 Q，使以 AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明原因．【考点】 KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程； KL：直线与椭圆的地点关系．【剖析】（1）判断轨迹方程是椭圆，而后求解即可．（ 2）直线 l 的方程可设为，设 A（ x1，1），（2， 2），联立直线与椭y B x y圆方程，经过韦达定理，假定在y 轴上能否存在定点 Q（0，m），使以 AB 为直径的圆恒过这个点，利用，求得 m=﹣1．推出结果即可．【解答】解：（1）由题意得，∴点 M 的轨迹 C 为以 F1，F2为焦点的椭圆∵，∴点 M 的轨迹 C 的方程为．（ 2）直线 l 的方程可设为，设 A（ x1，1），（2，2），y B x y联立可得 9（1+2k2） x2+12kx﹣16=0．由求根公式化简整理得，假定在 y 轴上能否存在定点Q（ 0，m），使以 AB 为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得 m=﹣1．所以，在 y 轴上存在定点 Q（0，﹣ 1），使以 AB 为直径的圆恒过这个点．21．已知函数 h（ x）=（x﹣a）e x+a．（ 1）若 x∈[ ﹣1，1] ，求函数 h（x）的最小值；（2）当 a=3 时，若对 ? x1∈[ ﹣1，1] ，? x2∈ [ 1，2] ，使得 h（x1）≥ x22﹣2bx2﹣ ae+e+成立，求b的范围．【考点】 6E：利用导数求闭区间上函数的最值； 6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【剖析】（1）求出极值点 x=a﹣1．经过当 a≤0 时，当 0＜ a＜2 时，当 a≥ 2 时，利用函数的单一性求解函数的最小值．（ 2）令，“对 ? x1∈[﹣1，1]， 2 ∈[ 1，2]，使得? x成立”等价于“f（x）在 [ 1，2] 上的最小值不大于 h（ x）在 [ ﹣ 1， 1] 上的最小值”．推出 h（x）min≥（） min．经过①当b ≤1时，f x②当 1＜b＜2 时，③当 b≥ 2 时，分别利用极值与最值求解 b 的取值范围．【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）e x，令 h'（x）=0 得 x=a﹣ 1．当 a﹣1≤﹣ 1 即 a≤ 0 时，在 [ ﹣ 1， 1] 上 h'（ x）≥ 0，函数 h（ x）=（ x﹣a）e x+a 递加， h（x）的最小值为．当﹣ 1＜a﹣ 1＜1 即 0＜ a＜ 2 时，在 x∈[ ﹣ 1， a﹣ 1] 上 h'（x）≤ 0， h（x）为减函数，在 x∈ [ a﹣1，1] 上 h'（ x）≥ 0， h（ x）为增函数．∴ h（x）的最小值为 h （a﹣ 1）=﹣e a﹣1+a．当 a﹣1≥1 即 a≥ 2 时，在 [ ﹣ 1， 1] 上 h'（x）≤ 0，h（x）递减， h（x）的最小值为 h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当 a≤0时 h（x）的最小值为，当a≥ 2 时 h（x）的最小值为（1﹣ a）e a，当 0＜a＜2 时， h（x）最小值为﹣ e a﹣1a．++（2）令，由题可知“对? x1∈[ ﹣1，1] ，? x2∈[ 1，2] ，使得成立”等价于“f（x）在 [ 1，2] 上的最小值不大于h（x）在 [ ﹣ 1， 1] 上的最小值”．即 h（x）min≥f （x）min．由（ 1）可知，当 a=3 时， h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3．当a=3时，，x∈1， 2，[]①当 b≤1 时，，由得，与 b≤1 矛盾，舍去．②当 1＜b＜2 时，，由得，与 1＜ b＜ 2 矛盾，舍去．③当 b≥2 时，，由得．综上， b 的取值范围是．22．以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线的极坐标方程为ρ 2C sinθ﹣2cos θ =0．（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 订交于 A，B 两点，当θ变化时，求 | AB| 的最小值．【考点】 QH：参数方程化成一般方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【剖析】（1）利用极坐标与直角坐标的转变方法，求曲线 C 的直角坐标方程；（2）将直线 l 的参数方程代入 y2=2x，得 t2sin2θ﹣2tcos θ﹣1=0，利用参数的几何意义，求 | AB| 的最小值．222ρ ．θ【解答】解：（1）由ρsinθ﹣2cosθ ，得ρθ=0sin=2 cos∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2；=2x（ 2）将直线 l 的参数方程代入 y2，得22θ﹣2tcos θ﹣．=2x t sin1=0设 A，B 两点对应的参数分别为 t 1， t2，则，，==．当时， | AB| 的最小值为 2．第21页（共 23页）23．已知函数 f （x）=| x﹣5| ﹣| x﹣2| ．（1）若 ? x∈R，使得 f（ x）≤ m 成立，求 m 的范围；（2）求不等式 x2﹣8x+15+f （x）≤ 0 的解集．【考点】 R5：绝对值不等式的解法．【剖析】（1）经过议论 x 的范围，求出 f （x）的分段函数的形式，求出 m 的范围即可；（2）经过议论 x 的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当 2＜x＜ 5 时，﹣ 3＜ 7﹣ 2x＜3，所以﹣ 3≤f（x）≤ 3，∴ m≥﹣ 3；（ 2）不等式 x2﹣8x+15+f（ x）≤ 0，即﹣ f（ x）≥ x2﹣8x+15 由（ 1）可知，当x≤2 时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15 的解集为空集；当 2＜x＜ 5 时，﹣ f（x）≥ x2﹣8x+15，即 x2﹣10x+22≤0，∴；当 x≥5 时，﹣ f（x）≥ x2﹣8x+15，即 x2﹣8x+12≤ 0，∴ 5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．第22页（共 23页）2017年 5月 23日第23页（共 23页）。
一、单选题1. 已知函数，下列为偶函数的是（ ）A．B．C．D．2.函数的单调递增区间A．B．C．D．3.已知是椭圆的右顶点，焦距为，直线交于、两点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的方程为（ ）A．B．C．D．4. 下列函数中，既是奇函数且在区间上又是增函数的为（ ）A．B．C．D．5. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点是角终边上的一点，则的值为（ ）A．B ．3C．D．6. 当直线与曲线有3个公共点时，实数的取值范围是A．B．C．D．7. 如图，在中，D 是边的中点，E ，F 是线段的两个三等分点，若，，则（）A．B．C ．1D ．28.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A．B．C．D．9. 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，有一个数据被墨点覆盖，已知这组数据的平均数是91.5，则中位数是（ ）A ．91B ．91.5C ．92D ．92.510.若直线与平行，则与间的距离是（ ）A．B．C．D．河南省豫南名校毕业班2023届高三仿真测试三模文科数学试题二、多选题11.已知双曲线（，）的渐近线与圆相切，且过双曲线的右焦点与x 轴垂直的直线l 与双曲线交于点A ，B，的面积为，则双曲线的实轴的长为（ ）A．B．C．D．12. 函数y=的定义域是A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，1]C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）13.已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．14. 若是奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（ ）A．B．C．D．15. 命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，16.已知点在抛物线：上，过作圆的两条切线，分别交于，两点，且直线的斜率为，若为的焦点，点为上的动点，点是的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）A．B．C．D．17. 如图所示，平行六面体中，，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且，则下列结论正确的是（）A．B ．平面C．与平面ABCD所成角的余弦值为D ．四棱锥的体积为18.已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则下列说法正确的是（ ）A．函数为偶函数B．的图象关于直线对称C．D．19. 如图，已知直三棱柱的底面为正三角形，为上一点，为的中点，，，则下列结论正确的是（ ）A．平面B．平面C．平面平面D．异面直线与所成角的正切值为20. 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（）A．B．C．D．21. 已知函数，则下列说法正确的是（）A ．的值域为B．的图像关于点中心对称C．的最小正周期为D．的增区间为（）22. 已知多面体中，平面是正方形，平面，，且，，取中点，在平面中，作，且，则下列说法中正确的是（）A．平面B．直线与所成角的正切为C．D．中点到平面的距离为23. 在直三棱柱中，，，，分别为和的中点，为棱上的一点，且三、填空题四、解答题，则下列选项中正确的有（ ）A ．三棱柱存在内切球B ．直线被三棱柱的外接球截得的线段长为C ．点在棱上的位置唯一确定D．四面体的外接球的表面积为24.已知函数，则下列说法正确的有（ ）A ．当时，的最小正周期为B ．当时，的最小值为C ．当时，在区间上有4个零点D ．若在上单调递减，则25.已知焦点坐标为的抛物线上有两点满足，以线段为直径的圆与轴切于点，则__________．26.已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为___________.27. 计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应．现有一个2021位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第个0和第个0之间有个1（），即，则该数的所有数字之和为______．28. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为________.29. 已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l 与C 的左、右两支分别交于点P ，Q，若，则C 的离心率为______．30. 在一次为期天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），得到样本的茎叶图（如下图），则该样本的第百分位数是________31.设全集，若集合，，则__________．32.已知向量，则________.33. 化简：．34.如图，在多面体中，四边形为菱形，且∠ABC =60°，AE ⊥平面 ABCD ，AB =AE =2DF ，AE DF.五、解答题(1)证明：平面AEC ⊥平面 CEF ；(2)求平面ABE 与平面CEF 夹角的余弦值.35. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.36. 化简（I）（Ⅱ）．37.已知(1)化简．(2)若为第三象限角，且，求的值．38. 已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．39. 已知函数.求函数的最小正周期和最大值；如图，在给出的直角坐标系中，画出在区间上的图象.40.为了调查某中学高三学生的身高情况，在该中学高三学生中随机抽取了名同学作为样本，测得他们的身高后，画出频率分布直方图如下：（I ）估计该校高三学生的平均身高；（II）从身高在（含）以上的样本中随机抽取人，记身高在之间的人数为，求的分布列和数学期望.41. 某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为等；分数在内，记为等；分数在内，记为等；60分以下，记为等.同时认定为合格，为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为的所有数据茎叶图如图2所示.(1)求图1中的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；(2)在选取的样本中，从甲，乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．42. 某同学解答一道三角函数题：“已知函数，其最小正周期为．（1）求和的值；（2）求函数在区间上的最小值及相应x的值．”该同学解答过程如下：解：（1）；因为，且，所以．（2）画出函数在上的图象，由图象可知，当时，函数的最小值．下表列出了某些数学知识：任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念的正弦、余弦、正切的诱导公式弧度与角度的互化函数的图象三角函数的周期性正弦函数、余弦函数在区间上的性质同角三角函数的基本关系式正切函数在区间上的性质两角差的余弦公式函数的实际意义两角差的正弦、正切公式参数A，ω，φ对函数图象变化的影响两角和的正弦、余弦、正切公式半角的正弦、余弦、正切公式六、解答题二倍角的正弦、余弦、正切公式积化和差、和差化积公式请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识．43. 部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中.(1)若，分别求出该考生报考两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入大学的面试环节，求的范围.44. 设函数的图象过点．(1)求；(2)求函数的周期和单调增区间；(3)画出函数在区间上的图象.45. 已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求证：.46.已知数列的前n项和满足．数列满足，．(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)求证：．47.已知函数．(1)若是的一个极值点，求的极值；(2)设的极大值为，且有零点，求证：．48. 已知矩形，，为的中点，现分别沿，将和翻折，使点重合，记为点．(1)求证：(2)求直线与平面所成角的正弦值．49.动点到定点的距离比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于、两个不同的点，过点、分别作曲线的切线，且二者相交于点.七、解答题(1)求曲线的方程；(2)求证：.50. 已知数列{a n }与{b n }满足：，若{a n }是各项为正数的等比数列，且a 1＝2，b 3＝b 2＋4.（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）若数列{c n }满足c n ＝(n ∈N *)，T n 为数列{c n }的前n 项和，证明：T n ＜1.51. 某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的 提成作奖金；……后每增加5万元，其提成比例也增加一个．如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为元．试求：(1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？(2)若某销售员、月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？52. 北京时间2021年11月7日凌晨1点，来自中国赛区的EDG 战队，捧起了英雄联盟S 11全球总决赛的冠军奖杯．据统计，仅在bilibili 平台，S 11总决赛的直播就有3.5亿人观看．电子竞技作为正式体育竞赛项目已经引起越来越多的年轻人关注．已知该项赛事的季后赛后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组．第二轮：胜者组两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮落入败者组两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组．第三轮：败者组两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军);获胜队伍成为败者组第一名．第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军．假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立．问：(1)若第一轮队伍A 和队伍D 对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？(2)已知队伍B 在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B 获得亚军的概率．53. 某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2022年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2021年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2021年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.(1)试求的表达式；(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.54. 某手机配件生产厂为了了解该厂生产同一型号配件的甲､乙两车间的生产质量.质检部门随机从甲､乙两车间各抽检了件配件，其检测结果：等级一等品二等品次品甲车间配件频数乙车间配件频数其中一､二等品为正品.八、解答题（1）分别估计甲､乙车间生产出配件的正品的概率；（2）该厂规定一等品每件的出厂价是二等品每件的出厂价的倍.已知每件配件的生产成本为元，根据环保要求，每件次品需要处理费用为元，厂家要求生产的每件配件的平均利润不低于元，求二等品每件的出厂的最低价.55. 近几年随着移动网络的发展，更多的消费者选择利用手机软件进行网络购物，某科技公司开发了一款手机购物软件，并在各大手机应用商店上架．为了更好地推广该软件，该公司统计得到了此软件的网络推广费用（万元）和在各个手机应用商店的总下载量（万次）的数据，如下表：（1）请利用所给数据，求总下载量与网络推广费用之间的回归直线方程（、精确到）；（2）预测网络推广费用为万元时，该软件在各个手机应用商店的总下载量．（参考公式：，）56. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.57. 甲、乙两人进行拋硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢，此时两个人正在游戏，且知甲再赢次就获胜，而乙要再赢次才获胜，其中一人获胜游戏结束.设再进行次抛币后游戏结束.（1）求概率；（2）求的分布列，并求其数学期望.58. 已知为锐角，且.（1）求的值.（2）求的值.59. 某学校在假期安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校对全校学生进行了测试（满分100分），从中随机抽取50名学生的成绩，并将其分成以下6组：，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a 的值；(2)试估计全校学生成绩的平均数和中位数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）60.已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.(1)求动点的轨迹方程；(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似，且焦点在同一条直线上，曲线经过点.过曲线上任一点作曲线的切线，切点分别为，这两条切线分别与曲线交于点（异于点），证明：.61. 已知函数，，，，它们的最小正周期为.（1）若是奇函数，求和在上的公共减区间D；（2）若的一个零点为，求的最大值.62. 如图，三棱柱中，平面，分别为和的中点，是边长为2 的正三角形，.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.。
河南省安阳市高三第三次模拟考试文科数学试题&参考答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合(){}{}|ln 1,|12A x y x B x x ==-=-<<，则()R C A B =A. ()1,2B. ()1,2-C. ()1,1-D. (]1,1- 2.已知复数z 满足1341iz i i+⋅=+-，则z 的共轭复数为 A. 43i + B. 43i -+ C. 43i -- D.43i -3.“221a b >>>A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知一种腌菜食品按行业生产标准分为A,B,C 三个等级，现针对某加工厂同一批次的三个等级420箱腌菜进行质量检测，采用分层抽样的方法进行抽取，设从三个等级A,B,C 中抽取的箱数分别为,,m n t ，若2t m n =+，则420箱中等级C 的箱数为B. 120C. 130D. 1405.函数()()12sin cos 12xxf x x -=⋅+的图象大致是6.若sin 3,sin1.5,cos8.5a b c ===，则执行如图所示的程序框图，输出的是A. cB. bC. aD.3a b c++ 7.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与椭圆22143x y +=的焦点重合，离心率互为倒数，设12,F F 为双曲线C 的左右焦点，P 为右支上任意一点，则212PF PF 的最小值为B. 16C. 8D. 48.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.某几何体ε的三视图如图所示，将该几何体分别沿棱和表面的对角线截开可得到一个鳖臑和一个阳马，设V 表示体积，则::=V V V ε阳马鳖臑 A. 9:2:1π B. 33:3:1πC. :2:1D. :1:19.将函数()[]()()22,1,12,1,x x f x f x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的正零点从小到大的顺序排成一列，得到数列{},n a n N *∈，则数列(){}11n n a +-的前2017项和为A. 2016B. 2017C. 4032D. 4034 10.在平行四边形ABCD 中，4,2,,3AB AD A M π==∠=为DC 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AB NB AM AN -=-，则AM AN ⋅= A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 11.已知倾斜角为6π的直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F ，抛物线C 上存在点P 与x 轴上一点()5,0Q 关于直线l 对称，则p = A. 2 B. 1 C.12D. 4 12.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1B -，且在,183ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12172,,123x x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x+= B.1 C. 1- D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数321y x =+与23y x b =-的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b = .14.如图将边长为1的正六边形ABCDEF 绕着直线l 旋转180，则旋转所形成的几何体的表面积为 .15.已知等比数列{}n a 满足2532a a a =，且475,,24a a 成等差数列，则12n a a a ⋅⋅⋅的值为 .16.已知不等式2000x y x y y x k -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩组表示的平面区域的面积为43，则1yx +的取值范围为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分） 已知角A,B,C为等腰ABC ∆的内角，设向量()()2sin sin ,sin ,cos ,cos m A C B n C B =-=，且//,7.m n BC = （1）求角B ；（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形ABCD 的面积.18.（本题满分12分）某商家在网上销售一种商品，从该商品的销售数据中抽取6天的价格与销量的对应数据，如下表所示：（1）由表中数据，看出可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，试求y 关于x的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测当价格为1000元时，每天的商品的销量是多少？（2）若从这6天中随机抽取2天，求至少有1天的价格高于700元的概率.19.（本题满分12分）如图，在几何体111A B C ABC -中，190,2,ABC AC BC AA ∠===⊥平面ABC ，111111////,::3:2:1AA BB CC BB CC AA =. （1）求证：平面111A B C ⊥平面11A ABB ；（2）F 为线段1BB 上一点，当11//A B 平面ACF 时，求11B FB B的值.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12,F F ，离心率为12.设过点2F 的直线l被椭圆C 截得的线段为RS ，当l x ⊥轴时， 3.RS =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()4,0T ，证明：当直线l 变化时，总有TS 与TR 的斜率之积为定值.21.（本题满分12分）已知函数()()()1ln ,.f x a x g x x f x x'==++ （1）讨论()()()h x g x f x =-的单调性；（2）若()h x 的极值点为3，设方程()0f x mx +=的两个根为12,x x ，且21a x e x ≥，求证：()()121265f x x m f x x ++>'-.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2016年河南省八市重点高中高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x=3n ﹣1，n ∈Z}，B={x|y=}，则集合A ∩B 的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知=（x ，1），=（﹣1，3），若∥，则x=（ ）A ．B ．﹣C ．3D ．﹣33．已知命题p ：∀α∈R ，sin （π﹣α）≠﹣sin α，命题q ：∃x ∈[0，+∞），sinx ＞x ，则下面结论正确的是（ ）A ．￢p ∨q 是真命题B ．p ∨q 是真命题C ．￢p ∧q 是真命题D ．q 是真命题4．定义m ⊕n=n m （m ＞0，n ＞0），已知数列{a n }满足a n =（n ∈N *），若对任意正整数n ，都有a n ≥（n 0∈N *），则的值为（ ） A ．3 B ．C ．1D ． 5．存在函数f （x ）满足对任意的x ∈R 都有（ ）A ．f （|x|）=x+1B ．f （x 2+4x ）=|x+2|C ．f （2x 2+1）=xD ．f （cosx ）=6．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A ．3+B ．2+C ．2+D ．3+7．已知O 为直角坐标原点，点A （2，3），点P 为平面区域（m ＞0）内的一动点，若•的最小值为﹣6，则m=（ ） A ．1 B ．C ．D ． 8．执行如图所示的程序框图，则输出的k 为（ ）A．3 B．4 C．5 D．69．在△ABC中，已知•=8，sinB=cosA•sinC，S△ABC=3，D为线段AB上的一点，且=m •+n•，则mn的最大值为（）A．1 B．C．2 D．310．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），A（0，﹣b），B（0，b），P为双曲线上的一点，且|AB|=|BP|，则双曲线离心率的取值范围是（）A．[，+∞）B．（1，] C．[，+∞）D．[，+∞）11．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＜e，f（0）=e+2（其中e为自然对数的底数），则不等式e x f（x）＞e x+1+2的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，e+2） C．（﹣∞，0）∪（e+2，+∞） D．（0，+∞）12．公差不为0的等差数列{an }的部分项an1，a，a，…构成等比数列{a}，且n 2=2，n3=6，n4=22，则下列项中是数列{a}中的项是（）A．a46B．a89C．a342D．a387二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z满足z2=﹣i（i为虚数单位），则z的模为______．14．已知A（0，1），B（﹣，0），C（﹣，2），则△ABC外接圆的圆心到直线y=﹣x 的距离为______．15．棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内切球O，以A为顶点，以平面B1CD1，被球O所截的圆面为底面的圆锥的侧面积为______．16．存在正数m，使得方程sinx﹣cosx=m的正根从小到大排成一个等差数列．若点A（1，m）在直线ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）上，则+的最小值为______．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且•cosA ﹣sin（C﹣A）•sinA+cos（B+C）=，c=2．（Ⅰ）求sinC；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．18．某校在高三抽取了500名学生，记录了他们选修A、B、C三门课的选修情况，如表：科目学生人数A B C120 是否是60 否否是70 是是否50 是是是150 否是是50 是否否（Ⅰ）试估计该校高三学生在A、B、C三门选修课中同时选修2门课的概率．（Ⅱ）若该高三某学生已选修A，则该学生同时选修B、C中哪门的可能性大？19．多面体ABCDEF中，四边形ABCD、四边形BDEF均为正方形，且平面BDEF⊥平面ABCD，点G，H分别为BF，AD的中点．（Ⅰ）求证：GH∥平面AEF；（Ⅱ）求直线EA与平面ACF所成角的正弦值．20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2，且椭圆C过点A（1，），（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若O是坐标原点，不经过原点的直线l：y=kx+m与椭圆交于两不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），且y1y2=k2x1x2，求直线l的斜率k；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△OPQ面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx+m（x﹣1）2，（m∈R）（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数；（Ⅱ）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，PA为半径为1的⊙O的切线，A为切点，圆心O在割线CD上，割线PD与⊙O相交于C，AB⊥CD于E，PA=．（1）求证：AP•ED=PD•AE；（2）若AP∥BD，求△ABD的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ2（sin2θ+4cos2θ）=4．（1）求曲线C1与曲线C2的普通方程；（2）若A为曲线C1上任意一点，B为曲线C2上任意一点，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=2|x+a|﹣|x﹣1|（a＞0）．（1）若函数f（x）与x轴围成的三角形面积的最小值为4，求实数a的取值范围；（2）对任意的x∈R都有f（x）+2≥0，求实数a的取值范围．2016年河南省八市重点高中高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x=3n ﹣1，n ∈Z}，B={x|y=}，则集合A ∩B 的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】交集及其运算．【分析】求出B 中x 的范围确定出B ，找出A 与B 的交集即可作出判断．【解答】解：∵A={x|x=3n ﹣1，n ∈Z}，B={x|y=}={x|25﹣x 2≥0}={x|﹣5≤x ≤5}，∴A ∩B={﹣4，﹣1，2，5}，则集合A ∩B 的元素个数为4，故选：C ．2．已知=（x ，1），=（﹣1，3），若∥，则x=（ ）A ．B ．﹣C ．3D ．﹣3 【考点】平行向量与共线向量．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程，求解即可．【解答】解： =（x ，1），=（﹣1，3），若∥，可得﹣1=3x ，解得x=﹣．故选：B ．3．已知命题p ：∀α∈R ，sin （π﹣α）≠﹣sin α，命题q ：∃x ∈[0，+∞），sinx ＞x ，则下面结论正确的是（ ）A ．￢p ∨q 是真命题B ．p ∨q 是真命题C ．￢p ∧q 是真命题D ．q 是真命题【考点】复合命题的真假．【分析】命题p ：是假命题，例如取α=0时，sin （π﹣α）=﹣sin α．命题q ：∃x ∈[0，+∞），sinx ＞x ，是假命题，取x=0时，sinx=x ．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．【解答】解：命题p ：∀α∈R ，sin （π﹣α）≠﹣sin α，是假命题，例如取α=0时，sin （π﹣α）=﹣sin α．命题q ：∃x ∈[0，+∞），sinx ＞x ，是假命题，令f （x ）=x ﹣sinx ，则f ′（x ）=1﹣cosx ≥0，∴函数f （x ）在∈[0，+∞）单调递增，∴f （x ）≥f （0）=0，∴x ＞0时，sinx ＜x ．x=0时，sinx=x ．则下面结论正确的是￢p ∨q 是真命题．故选：A ．4．定义m ⊕n=n m （m ＞0，n ＞0），已知数列{a n }满足a n =（n ∈N *），若对任意正整数n ，都有a n ≥（n 0∈N *），则的值为（ ）A．3 B．C．1 D．【考点】数列的函数特性．【分析】由题意可得：an==， ==f（n），可知：f（n）关于n单调递增，经过假设可得：a1＞a2＞a3＜a4＜a5＜…，即可得出．【解答】解：由题意可得：an==，=×==f（n），则f（n）关于n单调递增，n=1时，f（1）=＜1；n=2时，f（2）=＜1；n≥3时，f（n）＞1．∴a1＞a2＞a3＜a4＜a5＜…，∴n0=3时，满足：对任意正整数n，都有an≥（n∈N*），==1．故选：C．5．存在函数f（x）满足对任意的x∈R都有（）A．f（|x|）=x+1 B．f（x2+4x）=|x+2| C．f（2x2+1）=x D．f（cosx）=【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据函数解析式，举特殊值，计算函数值，可判断A，C，D均不恒成立，可得B 正确．【解答】解：A项，当x=1时，f（1）=2；当x=﹣1时，f（1）=0，不合题意；C项，当x=1时，f（3）=1；当x=﹣1时，f（3）=﹣1，不合题意；D项，当x=0时，f（1）=1；当x=2π时，f（1）=，不合题意；故选B．6．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A．3+B．2+C．2+D．3+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出线面位置关系，由勾股定理和三角形的面积公式求出各个面的面积，并加起来求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，直观图如图所示：且D是AB的中点，PD⊥平面ABC，PD=AD=BD=CD=1，∴PD⊥CD，PD⊥AB，由勾股定理得，PA=PB=PC=，由俯视图得，CD⊥AB，则AC=BC=，∴几何体的表面积S=+=2+，故选：B．7．已知O为直角坐标原点，点A（2，3），点P为平面区域（m＞0）内的一动点，若•的最小值为﹣6，则m=（）A．1 B．C．D．【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的公式求出•=2x+3y，结合•的最小值为﹣6，得到y=﹣x﹣2，作出对应的直线方程，求出交点坐标进行求解即可．【解答】解：∵•=2x+3y，∴设z=2x+3y，得y=，∵•的最小值为﹣6，∴此时y=﹣x﹣2，作出y=﹣x﹣2则y=﹣x﹣2与x=﹣1相交为B时，此时B（﹣1，﹣），此时B也在y=m（x﹣2）上，则﹣3m=﹣，得m=，故选：C．8．执行如图所示的程序框图，则输出的k为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时，满足条件|a﹣1.42|＜0.01，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，k=1不满足条件|a﹣1.42|＜0.01，执行循环体，a=，k=2不满足条件|a﹣1.42|＜0.01，执行循环体，a=，k=3不满足条件|a﹣1.42|＜0.01，执行循环体，a=，k=4满足条件|a﹣1.42|＜0.01，退出循环，输出k的值为4．故选：B．9．在△ABC中，已知•=8，sinB=cosA•sinC，S=3，D为线段AB上的一点，且=m△ABC•+n•，则mn的最大值为（）A．1 B．C．2 D．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据三角形内角和定理，利用三角恒等变换求出C=，再利用边角关系以及向量的数量积求出a、b和c的值；通过建立坐标系，利用平面向量的坐标表示，结合基本不等式，即可求出mn的最大值．【解答】解：△ABC中，sinB=cosA•sinC=sin（A+C），∴cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，∵A，C∈（0，π），∴C=；∵•=8，∴ca•cosB=8，∴a2=8，解得a=2；ABC=3，∴ ab=3，且a=2，∴b=；又∵S△∴c==；建立坐标系如图所示：∴点B（2，0），A（，0），∴直线AB的方程是+=1，∵=m•+n•=m（0，1）+n（1，0）=（n，m），点D（n，m）为线段AB上的一点，∴+=1，化简得4m+3n=6；4m+3n≥2，当且仅当4m=3n=3时“=”成立；∴12mn≤==18，即mn≤．故选：B．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），A（0，﹣b），B（0，b），P为双曲线上的一点，且|AB|=|BP|，则双曲线离心率的取值范围是（）A．[，+∞）B．（1，] C．[，+∞）D．[，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P（m，n），即有﹣=1，运用两点的距离公式，可得2b=，转化为n的函数，由配方可得最小值，由离心率公式，解不等式可得e的范围．【解答】解：设P（m，n），即有﹣=1，由|AB|=|BP|，可得2b=，即有4b2=a2（1+）+（n﹣b）2，即为3b2﹣a2=n2﹣2bn=（n﹣）2﹣，即有3b2﹣a2≥﹣，即为（3c2﹣4a2）c2+（c2﹣a2）2≥0，化简可得4c4﹣6a2c2+a4≥0，由e=可得4e4﹣6e2+1≥0，（e＞1），解得e2≥，即为e≥．故选：D．11．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＜e，f（0）=e+2（其中e为自然对数的底数），则不等式e x f（x）＞e x+1+2的解集为（）A ．（﹣∞，0）B ．（﹣∞，e+2）C ．（﹣∞，0）∪（e+2，+∞）D ．（0，+∞） 【考点】导数的运算．【分析】构造函数g （x ）=e x f （x ）﹣e x+1﹣2（x ∈R ），研究g （x ）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．【解答】解：设g （x ）=e x f （x ）﹣e x+1﹣2（x ∈R ），则g ′（x ）=e x f （x ）+e x f ′（x ）﹣e x+1=e x [f （x ）+f ′（x ）﹣e]， ∵f （x ）+f ′（x ）＜e ， ∴f （x ）+f ′（x ）﹣e ＜0， ∴g ′（x ）＜0，∴y=g （x ）在定义域上单调递减， ∵f （0）=e+2，∴g （0）=e 0f （0）﹣e ﹣2=e+2﹣e ﹣2＞0， ∴g （x ）＞g （0）， ∴x ＜0，∴不等式的解集为（﹣∞，0） 故选：A ．12．公差不为0的等差数列{a n }的部分项a n1，a ，a，…构成等比数列{a}，且n 2=2，n 3=6，n 4=22，则下列项中是数列{a}中的项是（ ）A ．a 46B ．a 89C ．a 342D ．a 387 【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意a 2，a 6，a 22成等比数列，求出等比数列的公比q ，从而写出等比数列{a kn}的通项公式，再验证选项是否正确即可．【解答】解：等差数列{a n }中，a 2，a 6，a 22构成等比数列， ∴（a 1+5d ）2=（a 1+d ）（a 1+21d ），且d ≠0， 解得d=3a 1，∴等比数列的公比为q===4；又等差数列{a n }的通项公式为a n =a 1+（n ﹣1）×3a 1=3a 1n ﹣2a 1=（3n ﹣2）a 1， ∴等比数列{a kn}的通项公式为akn=a1×4n ﹣1， 且a 46=a 1+45d=136a 1， a 89=a 1+88d=265a 1，a 342=a 1+341d=1024a 1=a 1•45， a 387=a 1+386d=1159a 1， ∴a 342是数列{a}中的项．故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若复数z 满足z 2=﹣i （i 为虚数单位），则z 的模为 ．【考点】复数求模．【分析】根据复数模的定义，直接求模即可．【解答】解：∵z2=﹣i，∴|z|2=|﹣i|==，∴z的模为|z|=．故答案为：．14．已知A（0，1），B（﹣，0），C（﹣，2），则△ABC外接圆的圆心到直线y=﹣x的距离为．【考点】点到直线的距离公式．【分析】由三角形的三个顶点坐标求出外接圆的圆心，再由点到直线的距离公式求得答案．【解答】解：∵A（0，1），B（﹣，0），C（﹣，2），∴AB的中点坐标为（），又，∴AB的垂直平分线的斜率为k=，则AB的垂直平分线方程为，又BC的垂直平分线方程为y=1，代入上式得：△ABC外接圆的圆心C（），则C到直线y=﹣x的距离为d=．故答案为：．15．棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内切球O，以A为顶点，以平面B1CD1，被球O所截的圆面为底面的圆锥的侧面积为π．【考点】球内接多面体．【分析】作出图形，求出截面圆的半径为，AF==，利用圆锥的侧面积公式求出以A为顶点，以平面B1CD1，被球O所截的圆面为底面的圆锥的侧面积．【解答】解：如图所示，△B1CD1，与球的切点为E，F，G，则EF=1，截面圆的半径为，AF==，∴以A为顶点，以平面B1CD1，被球O所截的圆面为底面的圆锥的侧面积为=π．故答案为：π．16．存在正数m，使得方程sinx﹣cosx=m的正根从小到大排成一个等差数列．若点A（1，m）在直线ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）上，则+的最小值为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】运用两角差的正弦公式，化简可得y=2sin（x﹣），可得0＜m≤2，讨论m的范围，结合三角函数的图象和等差数列的定义，可得m=2，将A代入直线方程，可得a+2b=2，再由乘1法和基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：由sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣），存在正数m，使得方程sinx﹣cosx=m的正根从小到大排成一个等差数列，即有0＜m≤2．若0＜m＜2，由y=2sin（x﹣）的图象可得：直线y=m与函数y=2sin（x﹣）的图象的交点的横坐标不成等差数列，若m=2，即有x﹣=2kπ+，即为x=2kπ+，k∈Z，可得所有正根从小到大排成一个等差数列，公差为2π，则m=2，由点A（1，2）在直线ax+by﹣2=0上，可得a+2b=2，a，b＞0，即b+a=1，则+=（+）（b+a）=2+++≥+2=+2=．当且仅当a=b=时，取得最小值．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且•cosA﹣sin（C﹣A）•sinA+cos（B+C）=，c=2．（Ⅰ）求sinC；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理化简已知等式可得cosC=，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值．（Ⅱ）由已知及余弦定理、基本不等式可得8=a2+b2﹣ab≥ab，解得ab≤6，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由•cosA﹣sin（C﹣A）•sinA+cos（B+C）=，得cos（C﹣A）cosA﹣sin（C﹣A）•sinA=cosC=．…即sinC=．…（Ⅱ）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得8=a2+b2﹣ab≥ab．…当且仅当a=b时取等，即ab≤6，=absinC=ab≤2．所以S△ABC所以△ABC面积的最大值为2．…18．某校在高三抽取了500名学生，记录了他们选修A、B、C三门课的选修情况，如表：科目A B C学生人数120 是否是60 否否是70 是是否50 是是是150 否是是50 是否否（Ⅰ）试估计该校高三学生在A、B、C三门选修课中同时选修2门课的概率．（Ⅱ）若该高三某学生已选修A，则该学生同时选修B、C中哪门的可能性大？【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由频率估计概率得到答案，（Ⅱ），分别求出学生同时选修B、C的概率，比较即可．【解答】解：（I）由频率估计概率得P==0.68．（Ⅱ）若某学生已选修A，则该学生同时选修B的概率估计为．选修C的概率估计为，即这位学生已选修A，估计该学生同时选修C的可能性大．19．多面体ABCDEF中，四边形ABCD、四边形BDEF均为正方形，且平面BDEF⊥平面ABCD，点G，H分别为BF，AD的中点．（Ⅰ）求证：GH∥平面AEF；（Ⅱ）求直线EA与平面ACF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）设AE中点M，以D为原点建立空间坐标系，求出和的坐标，得出，从而得出HG∥MF，故而HG∥平面AEF；（II）求出和平面ACF的法向量的坐标，设所求线面角为θ，则sinθ=|cos＜＞|，利用同角三角函数的关系得出tanθ．【解答】证明：（I）以D为原点，以DA，DC，DE为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：设AB=2，AE的中点为M，则M（1，0，），H（1，0，0），F（2，2，2），G（2，2，）．=（1，2，），=（1，2，）．∴，∴HG∥MF，又HG⊄平面AEF，MF⊂平面AEF，∴GH∥平面AEF．（II）A（2，0，0），F（2，2，2），C（0，2，0），E（0，0，2）．∴=（﹣2，0，2），=（0，2，2），=（﹣2，2，0），设平面ACF的法向量为=（x，y，z），则．∴，令z=1得=（﹣，﹣，1）．∴=4，||=，||=2．∴cos＜＞==．设直线EA与平面ACF所成角为θ，则sinθ=，即直线EA与平面ACF所成角的正弦值为．20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2，且椭圆C过点A（1，），（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若O是坐标原点，不经过原点的直线l：y=kx+m与椭圆交于两不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），且y1y2=k2x1x2，求直线l的斜率k；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△OPQ面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦距为2，且椭圆C过点A（1，），列出方程求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线l的斜率．（Ⅲ）把直线方程与椭圆方程联立，得：2x2+8mx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能求出△OPQ面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2，且椭圆C过点A（1，），∴由题意得，可设椭圆方程为，则，得b2=1，所以椭圆C的方程为．…（Ⅱ）由消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，，故．又∵，∴，∴．∵m ≠0，∴，解得k=，∴直线l 的斜率为或﹣．… （Ⅲ）由（Ⅱ）可知直线l 的方程为，由对称性，不妨把直线方程与椭圆方程联立，消去y 得：2x 2+8mx+4m 2﹣4=0， △=64m 2﹣4（4m 2﹣4）＞0，∵P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），∴x 1+x 2=﹣4m ，，设d 为点O 到直线l 的距离，则d==，∴．当且仅当m 2=1时，等号成立． ∴△OPQ 面积的最大值为1． …21．已知函数f （x ）=lnx+m （x ﹣1）2，（m ∈R ） （Ⅰ）讨论函数f （x ）极值点的个数； （Ⅱ）若对任意的x ∈[1，+∞），f （x ）≥0恒成立，求m 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题． 【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数，通过讨论m 的范围，结合二次函数的性质判断函数f （x ）的单调区间，从而判断其极值的个数；（Ⅱ）通过讨论m 的范围，结合函数的单调性求出m 的具体范围即可． 【解答】解：（I ）由已知得函数f （x ）的定义域为（0，+∞），，令g （x ）=2mx 2﹣2mx+1，（x ＞0），当m=0时，g （x ）=1，此时f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，无极值点； 当m ＞0时，△=4m 2﹣8m=4m （m ﹣2）， ①当0＜m ≤2时，△≤0，g （x ）≥0，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，无极值点； ②当m ＞2时，△＞0，令方程2mx 2﹣2mx+1=0的两个实数根为x 1，x 2（x 1＜x 2）， 且，可得，因此当x ∈（0，x 1）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增； 当x ∈（x 1，x 2）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减； 当x ∈（x 2，+∞）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增． 所以函数f （x ）在（0，+∞）上有两个极值点， 当m ＜0时，△＞0， x 1+x 2=1，x 1•x 2=＜0，可得x 1＜0，x 2＞1，因此，当x ∈（0，x 2）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增； 当x ∈（x 2，+∞）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减． 所以函数f （x ）在（0，+∞）上有一个极值点．综上所述，当m ＜0时，函数f （x ）在（0，+∞）上有一个极值点； 当0≤m ≤2时，函数f （x ）在（0，+∞）上无极值点； 当m ＞2时，函数f （x ）在（0，+∞）上有两个极值点． （Ⅱ）当m ≥0时，当x ≥1时，lnx ≥0，m （x ﹣1）2≥0，即f （x ）≥0，符合题意；当m ＜0时，由（I ）知，x 2＞1，函数f （x ）在（1，x 2）上单调递增，在（x 2，+∞）上单调递减；令h （x ）=x ﹣1﹣lnx ，得，所以函数h （x ）在[1，+∞）上单调递增，又h （1）=0，得h （x ）≥0，即lnx ≤x ﹣1，所以f （x ）≤x ﹣1+m （x ﹣1）2， 当时，x ﹣1+m （x ﹣1）2＜0，即f （x ）＜0，不符合题意；综上所述，m 的取值范围为[0，+∞）． [选修4-1：几何证明选讲]22．如图，PA 为半径为1的⊙O 的切线，A 为切点，圆心O 在割线CD 上，割线PD 与⊙O 相交于C ，AB ⊥CD 于E ，PA=． （1）求证：AP •ED=PD •AE ；（2）若AP ∥BD ，求△ABD 的面积．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AC，先证明，利用切割线定理得到=．Rt△ACD中，AB⊥CD，由射影定理得AE2=CE•ED，即可证明AP•ED=PD•AE；（2）求出AB，证明△ABD是等边三角形，即可求△ABD的面积．【解答】证明：（1）连接AC，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAC=∠ADC，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴∠BDC=∠ADC．∵∠BDC=∠CAB，∴∠PAC=∠CAB，∴=，∴，∵PA为⊙O的切线，∴AP2=PC•PD，∴=．Rt△ACD中，AB⊥CD，由射影定理得AE2=CE•ED，∴=，∴，∴AP•ED=PD•AE；解：（2）∵AP∥BD，∴∠P=∠BDC．Rt△APE中，∠PAC=∠CAB=∠P=30°，∴AP=PC．∵AP2=PC•PD，∴AP2=PC（PC+2），∴PC=AC=1，∴AE=，AB=∵∠ADB=60°，∴△ABD是等边三角形，∴S△ABD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ2（sin2θ+4cos2θ）=4．（1）求曲线C1与曲线C2的普通方程；（2）若A为曲线C1上任意一点，B为曲线C2上任意一点，求|AB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρ2（sin2θ+4cos2θ）=4，利用y=ρsinθ，x=ρcos θ即可化为直角坐标方程．（2）设B（cosβ，2sinβ），则|BC1|==，利用三角函数的单调性与值域、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得：x2+（y﹣1）2=．圆心C（0，1）．曲线C2的极坐标方程为ρ2（sin2θ+4cos2θ）=4，可得直角标准方程：y2+4x2=4，即+y2=4．（2）设B（cosβ，2sinβ），则|BC1|==≥，当sin时取等号．∴|AB|的最小值=﹣．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=2|x+a|﹣|x﹣1|（a＞0）．（1）若函数f（x）与x轴围成的三角形面积的最小值为4，求实数a的取值范围；（2）对任意的x∈R都有f（x）+2≥0，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）求出f（x）分段函数的形式，求出A，B，C的坐标，从而表示出三角形的面积，求出a的范围即可；（2）求出f（x）的最小值，从而得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=，如图示：函数f（x）与x轴围成的△ABC，求得：A（﹣2a﹣1，0），B（，0），C（﹣a，﹣a﹣1），∴S= [=（a+1）2≥4（a＞0），△ABC解得：a≥﹣1；=f（﹣a）=﹣a﹣1，（2）由（1）得：f（x）min对任意x∈R，都有f（x）+2≥0，即（﹣a﹣1）+2≥0，解得：0＜a≤1．2016年10月6日。
一、单选题二、多选题1. 设p ：，q ：，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）A．B．C．D．3. 若直线与直线互相垂直，则实数的值为（ ）A．B．C．D ．24. 在正三棱柱中，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ）A．B．C．D．5. 在圆柱内有一个球，球分别与圆柱的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若，则圆柱的表面积为（ ）.A．B．C．D．6. “华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱好者的推崇．现有4名高三学生准备2021年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）A．B．C．D．7. 设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．8.已知定义在上的偶函数在间上递减，若，，，则，，的大小关系为（ ）A．B．C．D．9. 已知复数，复数满足，则（ ）A．B．C ．复数在复平面内所对应的点的坐标是D ．复数在复平面内所对应的点为，则10. 给定数集M ，若对于任意，有，且，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）A ．集合为闭集合B ．正整数集是闭集合C．集合为闭集合D．若集合，为闭集合，则为闭集合11. 采购经理指数（PMI ）是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预测、预警作用．2023年12月31日，国家统计局发布了中国制造业PMI 指数（经季节调整）图，如下图所示，则下列说法正确的是（ ）河南省郑州市2023届高三三模文科数学试题(1)河南省郑州市2023届高三三模文科数学试题(1)三、填空题四、解答题A．图中前三个数据的平均值为B ．2023年四个季度的PMI 指数中，第一季度方差最大C ．图中PMI指数的极差为D ．2023年PMI 指数的分位数为12.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．的单调减区间为C．图象的一条对称轴方程为D ．点是图象的一个对称中心13.设且，若，则______．14. 某射击运动员次的训练成绩分别为:，则这次成绩的第百分位数为__________.15. 已知的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中含的项的系数为______.16. 某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布．(1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生的成绩为76分，试估计学生在甲市的大致名次；(2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率及的数学期望．参考数据：参考公式：若，有，17. 已知函数．(1)求的值;(2)求的最小正周期和单调递增区间．18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，的一条渐近线的倾斜角为，直线与轴的交点为，且.(1)求的方程；(2)过点作斜率为的直线与交于，两点，为线段的中点，过点且与垂直的直线交轴于点，求证：为定值.19. 已知正项数列中，，和分别表示的前项和与前项积，从①，②，③，中选取一个作为条件，解答以下问题（多选不得分）.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.20.如图，在梯形中，，，，，与交于点，将沿翻折至，使点到达点的位置.(1)证明：；(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为，求三棱锥的体积.21. 已知函数，(1)证明：函数f（x）在内有且仅有一个零点；(2)假设存在常数λ>1，且满足f（λ）=0，试讨论函数的零点个数.。
商丘市2017年高三第三次模拟考试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}|(1)2A x x x =-<，且A B A =，则集合B 可能是（ ）A ．{}1,2-B ．{}0,1C ．{}1,0-D ．{}0,22.设i 是虚数单位，复数321i z i=-，则复数z 的共轭复数为（ ）A ．1i -+B ．1i --C ．1i -D ．1i +3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足624S =，963S =，则4a =（ ） A ．4B ．5C ．6D ．74.已知命题p ：对任意x R ∈，总有22x x >；q ：“4ab >”是“2a >，2b >”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝5.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领到的钱数不少于其他任何人）的概率是（ ） A ．13B ．310C ．25D ．346.设点P 是双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，且12||3||PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 7.我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 值为（ ）A．1.2 B．2.4 C．1.8 D．1.68.不等式组2,6,20,xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域为Ω，若直线10ax y a-++=与Ω有公共点，则实数a的最小值为（）A．13-B．15C．14D．19.函数1()ln||f x xx=+的图象大致是（）10.给出40个数：1,2,4,7,11,16，…，要计算这40个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么框图①处和执行框②处可分别填入（）A ．40?i ≤；1p p i =+-B ．41?i ≤；1p p i =+-C ．41?i ≤；p p i =+D ．40?i ≤；p p i =+11.已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位后，得到的图象关于点(,1)6π-对称，则m 的最小值是（ ）A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 12.已知函数223,1,()ln ,1,x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩若关于x 的方程1()2f x kx =-恰有四个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(2B ．1[2C ．1(2D ．1(2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线23y x =的焦点坐标为 ．14.已知向量a ，b ，其中||1a =，||2b =，且()a b a +⊥，则|2|a b -= ． 15.在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的四个顶点坐标分别是(0,0,0)，(0,3,1)，(2,3,0)，(2,0,1)，则它的外接球的表面积为 ．16.设数列{}n a 是等比数列，公比2q =，n S 为{}n a 的前n 项和，记219n nn n S S T a +-=（*n N ∈），则数列{}n T 最大项的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c4c =，2B C =． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若5c =，点D 为边BC 上一点，且6BD =，求ADC ∆的面积．18.某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如图所示的频率分布直方图．该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）已知选取的是1月至6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出就诊人数y 关于昼夜温差x 的线性回归方程；（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅰ）中该协会所得线性回归方程是否理想？ 参考公式：回归直线的方程y bx a =+，其中1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．19.四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，112AD AA A D ===，H 为AD 中点，且1A H BD ⊥．（Ⅰ）证明：1AB AA ⊥；（Ⅱ）求点C 到平面1A BD 的距离．20.在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,0)-，(2,0)，动点P 满足：直线PA 与直线PB 的斜率之积为34-． （Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点A 作两条互相垂直的直线1l ，2l 分别交曲线E 于M ，N 两点，设1l 的斜率为k （0k >），A M N∆的面积为S ，求Sk的取值范围． 21.已知函数()(2)ln 23f x x x x =-+-（1x ≥）． （Ⅰ）试判断函数()f x 的零点个数；（Ⅱ）若函数(1)()()ln a x g x x a x x-=-+在[1,)+∞上为增函数，求整数a 的最大值. （可能要用的数据：ln1.590.46≈，ln1.600.47≈，4009.7641≈）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l：sin()3πρθ+=，曲线C：1x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（Ⅰ）当3m =时，判断直线l 与曲线C 的位置关系； （Ⅱ）若曲线C 上存在到直线lm 的范围. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||1|f x x x =++-.（Ⅰ）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围； （Ⅱ）若集合{}|()10x f x ax R +->=，求实数a 的取值范围.商丘市2017年高三第三次模拟考试数学（文科）答案一、选择题1-5:BDBDC 6-10:CDBBD 11、12：AC二、填空题13. 1(0,)1214π 16.3 三、解答题17.解：（Ⅰ）由题意2B C =，则sin sin 22sin cos B C C C ==，4c =，所以sin cos 2sin 2B b C C c ===， 所以23cos cos 22cos 15B C C ==-=. （Ⅱ）因为5c =4c =，所以b =由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-,则238025255a a =+-⨯⨯⨯ 化简得，26550a a --=，解得11a =,或5a =-（舍去）， 由6BD =得，5CD =，由cos C =，得sin C ==， 所以ADC ∆的面积11sin 510225S DC AC C =⋅⋅=⨯⨯=. 18.解：（Ⅰ）由数据求得11131282529261611 2444x y ++++++====，，41()()(1111)1(1311)5(1211)2(811)(8)36ii i xx y y =--=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯-=∑， 4222221()021(3)14ii xx =-=+++-=∑，由公式求得121()()18ˆ7()niii nii x x yy bx x ==--==-∑∑， 所以30ˆ7a y bx=-=-，所以y 关于x 的线性回归方程为183077y x =-. （Ⅱ）当10x =时，1507y =，1502227-<；同样，当6x =时，787y =，781227-<.所以，该协会所得线性回归方程是理想的.19.（Ⅰ）证明：等边1A AD ∆中, H 为AD 中点,∴1A H AD ⊥， 又BD H A ⊥1,且D BD AD = ， ∴1A H ABCD ⊥面，∴1A H AB ⊥，在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，H AD H A = 1 ∴11AB ADD A ⊥面 ∴1AA AB ⊥．（Ⅱ）解：BD A 1∆中，22,22,211===B A BD D A ,71=∴∆BD A S由 （Ⅰ）知, ABCD H A 面⊥1∴1113A BCD BCD V S A H -=⨯=等体积法可得1113C A BD A BD V S d d -=⨯==，点C 到平面1A BD 的距离为d =20.解: （Ⅰ）已知()()2,0,2,0A B -，设动点P 的坐标(),x y ，所以直线PA 的斜率1(2)2y k x x =≠-+，直线PB 的斜率22yk x =-（2x ≠），又1234k k ⨯=-，所以3224y y x x ⨯=-+-， 即()221243x y x +=≠±． （Ⅱ）设M 点坐标为00(,)x y ,直线1l 的方程为(2)y k x =+,代入22143x y +=, 可得,2222(34)1616120k x k x k +++-=，2021612(2)34k x k -⨯-=+，所以2026834k x k-=+所以2268||(2)34k AM k -=+=+，同理||AN =，所以11||||22S AM AN =⨯=，22272(1)(34)(43)S k k k k +=++ ， 令21,(1)t k t =+>22272(1)72721(34)(43)(41)(31)121S k t k k k t t t t+===++-++-， 令1()121h t t t =+-，1,t >21()120h t t '=+>，()h t 单调递增，()(1)12h t h >= 所以(0,6)Sk∈． 21.解：（Ⅰ）'''2()(2)ln (2)(ln )2ln 3f x x x x x x x=-+-+=-+在[1,)+∞上为增函数， 且''()(1)1f x f ≥=，故()(2)ln 23f x x x x =-+-在[1,)+∞上为增函数， 又(1)02310f =+-=-<，(2)04310f =+-=>，则函数()f x 在[1,)+∞上有唯一零点. （Ⅱ）'2()ln 10a ag x x x x=+-+≥在[1,)+∞上恒成立， 当1x =时显然成立,当1x >时，可得2(ln 1)1x x a x +≤-在(1,)+∞上恒成立，令2(ln 1)()1x x h x x +=-，则min ()a h x ≤，(1,)x ∈+∞，2'22(2ln 3)(1)(ln 1)[(2)ln 23]()(1)(1)x x x x x x x x x h x x x +--+-+-==--，由（Ⅰ）可知：()(2)ln 23f x x x x =-+-在[1,)+∞上为增函数，故()f x 在[1,)+∞上有唯一零点m ，则'(1,)()0()x m h x h x ∈⇒<⇒在区间(1,]m 上为减函数，'(,)()0()x m h x h x ∈+∞⇒>⇒在区间[,)m +∞上为增函数，故x m =时，()h x 有最小值，min()h x =2(ln 1)()1m m h m m +=-.又(1.60)0.40ln1.600.200.0120f =-⨯+=>，(1.59)0.41ln1.590,180.00860f =-⨯+=-<，则(1.59,1.60)m ∈，有23()(2)ln 230ln 2m f m m m m m m-=-+-=⇒=-， 所以22(ln 1)()12m m m h m m m+==--，(1.59,1.60)m ∈，令2(0.4,0.41)m t -=∈，则()h x 最小值22(2)44123632()4(,)2100415m t h m t m t t -===+-∈+-，因41236326.17, 6.4100415+==，则()h x 的最小值大约在6.17 6.4之间， 故整数a 的最大值为6.22.解：（Ⅰ）当3m =时，直线l：sin()3πρθ+=，展开可得：1sin )2ρθθ=（ 化为直角坐标方程：0y +-=， 曲线C：1x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，利用平方关系化为：22(1)3x y -+=．圆心(1,0)C 到直线l的距离d r ===， 因此直线l 与曲线C 相切．（Ⅱ）∵ 曲线C 上存在到直线l的距离等于2的点， ∴ 圆心(1,0)C 到直线l的距离d =≤解得24m -≤≤．∴实数m 的范围是[2,4]-．23.解：（Ⅰ）∵ 函数()212(1)3f x x x x x =++-≥+--=， 当且仅当(2)(1)0x x +-≤，即21x -≤≤时函数()f x 的最小值为3． （Ⅱ）函数21,2,()213,21,21, 1.x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩而函数1y ax =-+表示过点(0,1)，斜率为a -的一条直线，如图所示：当直线1y ax =-+过点(1,3)A 时，31a =-+，∴2a =-， 当直线1y ax =-+过点(2,3)B -时，321a =+，∴1a =， 故当集合{}()10x f x ax R +->=，函数()1f x ax >-+恒成立，即()f x 的图象恒位于直线1y ax =-+的上方， 数形结合可得要求的a 的范围为(2,1)-．。
