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2020届高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|2A x x =<，{}|320B x x =->，则（ ） A ．{}3|2B A x x =<I B ．A B =∅I C ．3|2A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭U D ．A B =R U【答案】A2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．2D ．i 1-【答案】A3．已知命题p ：0x ∀>，()ln 10x +＞；命题q ：若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝【答案】B4．已知向量(3,6)a =v ，(1,)b λ=-v，且a b r r ∥，则λ=（ ）A ．2B ．3C ．2-D ．3-【答案】C5．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（ ）个面包． A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C6．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则下列说法错误的是（ ）A ．丙可以知道四人的成绩B ．乙、丙的成绩是一优秀一良好C ．乙可以知道自己的成绩D ．丁可以知道自己的成绩【答案】A7．已知函数()()() sin 00f x A x b A ωϕω=++＞，＞的图象如图所示，则() f x 的解析式为（ ）A ．()2sin()263f x x ππ=++B ．1()3sin()236f x x π=-+C ．()2sin()366f x x ππ=++D ．()2sin()363f x x ππ=++【答案】D8．2()2f x x x =-的定义域为[1,1]a a -+，lg 0.2b =，0.22c =，则（ ） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】D9．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．43B ．23C ．83D ．2【答案】C10．已知[x ]表示不超过．．．x 的最大．．整数．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出z 的值为（ ）A ．1B ．05-．C ．05．D ．04-．【答案】B11．已知如下六个函数：y x =，2y x =，ln y x =，2x y =，sin y x =，cos y x =，从中选出两个函数记为()f x 和()g x ，若()()()F x f x g x =+的图象如图所示，则()F x =（ ）A ．2cos x x +B ．2sin x x +C ．2cos x x +D ．2sin x x +【答案】D12．已知定义在()0,+∞上的函数()f x ，满足（1）()0f x >；（2）()()()2f x f x f x '<<（其中()f x '是()f x 的导函数，e 是自然对数的底数），则()()23f f 的范围为（ ） A ．21,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．311,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】设()()e x f x g x =，则()()()0exf x f xg x '-'=>()g x ∴在(0,)+∞上单调递增，所以(2)(3)g g <，即2(2)(3)(2)1e e (3)e f f f f <⇒<，令2()()e x f x h x =，则2()2()()0e xf x f x h x '-'=<，()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，所以(2)(3)h h >，即242(2)(3)(2)1e e (3)e f f f f >⇒>．综上，21(2)1e (3)ef f <<．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥，则34z x y =-的最小值为___________．【答案】1-14．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是___________．【答案】8π15．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101240i i x ==∑，1011700i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为255．，据此估计其身高为____________．【答案】17616．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，11n n n a S S ++=-，则22110n n nS S +的最大值为_____．【答案】319【解析】因为11n n n a S S ++=-，所以有111111n n n n n nS S S S S S +++-=-⇒-=，即1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项等于1公差为1的等差数列，所以11n n n S S n=⇒=，则22221()1110110()nn n nS n S n =++2221111101010110()n n n n n n n n====++++，因为10210n n +≥（当且仅当10n =时取等号），因为n 为自然数，所以根据函数的单调性可从与10n =相邻的两个整数中求最大值，3n =，13n S =，22311019n n nS S =+，22124,,411013n n n nS n S S ===+，所以最大值为319．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设数列{}()123n a n =⋯，，，的项满足关系12(2)n n a a n -=≥，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{1}n a +的前n 项和．【答案】（1）()122n n a a n =Q －≥，从而212a a =，32124a a a ==，又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即13221()a a a +=＋， 所以111421)2(a a a +=+，解得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n n a =． （2）设{}1n a +的前n 项和为n T ，则1122(12)()2212n n n n T a a a n n n +-=++++=+=-+-L ．18．（本小题满分12分）在ABC △中，边a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且满足2sin sin sin B A C =+．（1）求证：1cos 2B ≥；（2）设B 的最大值为0B ，当0B B =，3a =，又12AD DB =u u u r u u u r，求CD 的长． 【答案】（1）由题设及正弦定理知，2b a c =+，即2a cb +=．由余弦定理知，()()222222223232212cos 22882a c a c a c ac ac ac a cb B ac ac ac ac +⎛⎫+- ⎪+--+-⎝⎭====≥，（2）cos y x =Q 在()0,π上单调递减，B ∴的最大值03B π=，根据（1）中均值不等式，只有当a c =时才能取到03B π=，3a c ∴==，又12AD DB =u u u r u u u r ，所以1AD =，在ACD △中由余弦定理得：22213cos 3213CD π+-=⨯⨯，得7CD =．19．（本小题满分12分）某化妆品商店为促进顾客消费，在“三八”妇女节推出了“分段折扣”活动，具体规则如下表：购买商品金额 折扣 消费不超过200元的部分 9折 消费超过200元但不超过500元的部分 8折 消费超过500元但不超过1000元的部分7折 消费超过1000元的部分6折例如，某顾客购买了300元的化妆品，她实际只需付：()2000.93002000.8260⨯+-⨯=（元）．为了解顾客的消费情况，随机调查了100名顾客，得到如下统计表：购买商品金额（0，200] （200，500] （500，1000] 1000以上人数10403020（1）写出顾客实际消费金额y 与她购买商品金额x 之间的函数关系式（只写结果）； （2）估算顾客实际消费金额y 不超过180的概率； （3）估算顾客实际消费金额y 超过420的概率．【答案】（1）0.92000.8202005000.77050010000.6170100x x x x y x x x x ⎧⎪+<⎪=⎨+<⎪⎪+>⎩ ≤ ≤ ≤ ．（2）令180y ≤，得200x ≤，所以()()118020010P y P x ==≤≤．（3）令420y >，得500x >，所以()()()()3214205005001000100010102P y P x P x P x >=>=<+>=+=≤．20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD －中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD ==，4PA BC ==，N ，T 分别为线段PC ，PB 的中点．（1）若PC 与面ABCD 所成角的正切值为43，求四棱锥P ABCD -的体积．（2）试探究：线段AD 上是否存在点M ，使得AT ∥平面CMN ？若存在，请确定点M 的位置，若不存在，请说明理由．【答案】（1）连AC ，由PA ⊥底面ABCD 可知PCA ∠为PC 与面ABCD 所成的角，4PA =Q ，4tan 3PCA ∠=，3AC ∴=， 取线段BC 的中点E ，由3AB AC ==得AE BC ⊥，225AE AB BE =-=．()1753452ABCDS ∴=+⨯=，17514543P ABCD V -∴=⨯⨯=．（2）取线段AD 的三等分点M ，使得223AM AD ==．连接AT ，TN ， 由N 为PC 中点知TN BC ∥，122TN BC ==． 又AD BC ∥，故TN AM ∥且TN AM =．四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥． 因为AT ⊄面CMN ，MN ⊂面CMN ，所以AT ∥平面CMN ，AD ∴上存在点M ，满足2AM =，就能使AT ∥平面CMN ．21．（本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x mx =--． （1）当0m =时，求函数()f x 的最大值；（2）函数()f x 与x 轴交于两点1(,0)A x ，2(,0)B x 且120x x <<，证明：1212121()()333f x x x x '+<-．【答案】（1）当0m =时，()22ln f x x x =-，求导得()()()211x x f x x+-'=，根据定义域，容易得到在1x =处取得最大值，得到函数的最大值为1-．（2）根据条件得到21112ln 0x x mx --=，22222ln 0x x mx --=，两式相减得 221212122(ln ln )()()x x x x m x x ---=-，得221212121212122(ln ln )()2(ln ln )()x x x x x x m x x x x x x ----==-+--，因为2()2f x x m x'=-- 得1212121212122(ln ln )12212()2()()12333333x x f x x x x x x x x x x -'+=-+-++-+121212122(ln ln )21()12333x x x x x x x x -=-+--+ 因为120x x <<，要证1212121()()333f x x x x '+<-，即证1212122(ln ln )201233x x x x x x --<-+，即证1212122()2(ln ln )01233x x x x x x --->+，即证2112212(1)2ln 01233x x x x x x -->+， 设12x t x =(01)t <<，原式即证12(1)2ln 012133t t t -->+⋅，即证6(1)2ln 02t t t -->+ 构造18()62ln 2g t t t =--+，22(1)(4)()0(2)t t g t t t ---'=<+，()g t 单调递减， 所以()(1)0g t g >=得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线的倾斜角）．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系．圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，设直线l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）求角α的取值范围； （2）若点P 的坐标为()1,0-，求11PA PB+的取值范围． 【答案】（1）圆C 的直角坐标方程2220x y x +-=，把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入2220x y x +-=得24cos 30t t α-+= ① 又直线l 与圆C 交于A ，B 两点，所以216cos 120α∆=->，解得：cos α>cos α<又由[)0,α∈π故50,,66αππ⎡⎫⎛⎫∈π⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭U ．（2）设方程①的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义可知：12124cos 113t t PA PB t t α++==，又由cos 12α<≤，所以4cos 4333α<≤， 于是11PA PB +的取值范围为43⎤⎥⎝⎦． 23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】 已知函数()3f x x x =+-．（1）解关于x 的不等式()5f x x -≥；（2）设(){},|m n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小．【答案】（1）32,0()|||3|3,0323,3x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-=⎨⎪->⎩≤≤从而得0325x x x <⎧⎨-+⎩≥或0335x x ⎧⎨+⎩≤≤≥或3235x x x >⎧⎨-+⎩≥，解之得23x -≤或 x ∈∅或8x ≥，所以不等式的解集为2(,][8,)3-∞-+∞U ． （2）由（1）易知()3f x ≥，所以3m ≥，3n ≥， 由于()()()()2422422m n mn m mn n m n +-+=-+-=--且3m ≥，3n ≥，所以20m ->，20n -<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+．。
2020年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷(文科)(一)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，若z2−i=1+i，则复数z=()A. 2+iB. 1+iC. 3+iD. 3−i2.设集合A={0,2，4}，集合B={x∈N|log2x≤1}，则A∪B=()A. {2,4}B. {0,1，4}C. {1,2，4}D. {0,1，2，4}3.设a∈R，则|a|>1是1|a|<1的()A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下图给出的是某市2017年2月至2018年1月二手房单价的大致情况，则下列说法错误的是()A. 这段时间该市的二手房的平均单价高于17500元/平方米B. 由图可知，2017年4月的二手房单价最低C. 2017年4月到5月二手房单价的增长率是这12个月份中最高的D. 2017年3月到4月二手房单价呈现负增长5.在等比数列{a n}中，a3=2，a3+a5+a7=26，则a7=()A. 12B. 18C. 24D. 366.已知a⃗为单位向量，b⃗ =(0,2)，且a⃗⋅b⃗ =1，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π6B. π4C. π3D. π27.已知α是第二象限的角，tan(π−α)=512，则sinα=()A. 15B. −15C. 513D. −5138.执行图的程序框图，若输出的S是62，则①应为()A. n≤5？B. n≤6？C. n≤7？D. n≤8？9.已知函数f(x)=e x+e−x，则y=f(x)的图象大致为()A. B.C. D.10.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 2B. 43C. 23D. 1311.设双曲线x2−y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线x=1与双曲线的其中一条渐近线交于点P，则△PF1F2的面积是()A. 3√10B. 13√10 C. 6√2 D. 23√212.若函数f(x)={alnx−x2−2(x>0)x+1x+a(x<0)的最大值为f(−1)，则实数a的取值范围()A. [0,2e2]B. [0,2e3]C. (0,2e2]D. (0,2e3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=xe x−2x2+1在点(0,1)处的切线方程为______．14.袋中共有大小相同的4只小球，编号分别为1，2，3，4.现从中任取2只小球，则取出的2只小球的编号之和是奇数的概率为________．15.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=3，a4=27，S2n为该数列的前2n项和，T n为数列{a n a n+1}的前n项和，若S2n=kT n，则实数k的值为________．16.已知，在△ABC中B=π，b=2，S▵ABC的最大值为________．3三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人．为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，再将两组的分数分成5组：[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰为一男一女的概率；(Ⅱ)若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90％的把握认为“数学尖子生与性别有关”？附：随机变量k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(k2≥k0)0.250.150.100.050.025k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02418.已知数列{√a n−n}是等比数列，且a1=9，a2=36．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{√a n}的前n项和S n．19.在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，DC⊥AD，PA⊥平面ABCD，2AD=BC=2√3，∠DAC=30°，M为PB中点．(1)证明：AM//平面PCD；(2)若三棱锥M−PCD的体积为√3，求M到平面PCD的距离．620.已知函数f(x)=e xx+elnx−ax在x=1处取的极值．(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)求证：f(x)≥0．21.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P为E上的一个动点，且|PF2|的最大值为2+√3，E的离心率与椭圆Ω：x22+y28=1的离心率相等．(1)求E的方程；(2)直线l与E交于M，N两点(M,N在x轴的同侧)，当F1M//F2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为{x=3+tcosπ4y=2+tsinπ4(其中t为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθsin2θ．(Ⅰ)求C1和C2的直角坐标方程；(Ⅱ)过点P(3,2)作直线C1的垂线交曲线C2于M，N两点，求|PM|⋅|PN|．23.设函数f(x)=|x−a|．(1)当a=2时，解不等式f(x)≥4−|x−1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，1m +12n=a(m>0,n>0)，求证：m+2n≥4．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．解：由题意得z=(1+i)(2−i)=3+i故选C．2.答案：D解析：本题考查并集及其运算，属于基础题，先求出集合B，再求出A∪B即可．解析：解：由B={x∈N|log2x≤1}={1,2}，又A={0,2，4}，∴A∪B={0,1，2，4}，故选D．3.答案：C解析：解：根据倒数的性质可知：若|a|>1，则0<1|a|<1成立．若1|a|<1，则|a|>1成立．故|a|>1是1|a|<1的充要条件．故选：C．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．解析：本题主要考查了折线图，属于基础题．从图中提取数据，逐一分析选项即可．解：A：这段时间该市的二手房的平均单价高于17500元/平方米，正确；B：由图可知，2017年4月的二手房单价最低，正确；C：2017年4月到5月二手房单价的增长率没有5月到6月和6月到7月高，所以错误；D：2017年3月到4月二手房单价呈现负增长，正确；故选C．5.答案：B解析：本题考查了等比数列的通项公式，设等比数列{a n}的公比为q，由题意得a1q2=2，a3(1+q2+q4)= 26，解得q2=3，a1=2，即可得出结果．3解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=2，a3+a5+a7=26，∴a1q2=2，a3(1+q2+q4)=26，，解得q2=3，a1=23×33=18，则a7=23故选B．6.答案：C解析：解：|a⃗|=1,|b⃗ |=2；∴a⃗⋅b⃗ =1⋅2cos<a⃗,b⃗ >=1；∴cos<a⃗,b⃗ >=1；2∴a⃗,b⃗ 夹角为π．3故选C．根据条件可知，|a⃗|=1,|b⃗ |=2，从而根据a⃗⋅b⃗ =1即可求出cos<a⃗,b⃗ >的值，从而得出向量a⃗与b⃗考查单位向量的概念，向量数量积的计算公式，以及向量夹角的概念．7.答案：C解析：解：由tan(π−α)=512，得−tanα=512，∴tanα=−512． 联立{sinαcosα=−512sin 2α+cos 2α=1，解得{sinα=513cosα=−1213或{sinα=−513cosα=1213．∵α是第二象限的角，∴sinα=513． 故选：C ．由已知求得tanα，再与平方关系联立即可求得sinα的值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．8.答案：A解析：本题考查了算法中的循环结构，以及等比数列求和，是基础题．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S =2+22+⋯+2n 的值，当不满足条件时，输出S ．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S =2+22+⋯+2n 的值，当不满足条件时，输出S ．∵S =2+22+⋯+26=62，再执行下一步n =n +1后，n 的值为6，此时应退出循环，不满足条件，∴①中应填n ≤5． 故选A ．9.答案：A解析：本题考查函数的图象以及应用，属于基础题．根据偶函数以及特殊点的函数值，运用排除法，即可得到答案． 解：因为f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故排除C ，D ；又f(0)=2，故排除B．故选A．10.答案：C解析：本题考查通过三视图求解几何体的体积，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．通过三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解：如图所示，由三视图可知，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，且底边长为2，高为1，故三棱锥的体积为V P−ABC=13⋅S△ABC⋅PA=13×12×2×1×2=23．故选C．11.答案：A解析：求得双曲线的a，b，c，可得焦距，求得双曲线的一条渐近线方程，代入x=1可得P的坐标，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查三角形的面积的求法，考查运算能力，属于基础题．解：双曲线x2−y29=1的a=1，b=3，c=√a2+b2=√10，即有|F1F2|=2c=2√10，双曲线的一条渐近线方程为y=3x，代入x=1，可得P(1,3)，即有△PF1F2的面积是12×3×2√10=3√10．故选：A．12.答案：B解析：解：由f(−1)=−2+a，可得alnx−x2−2≤−2+a在x>0恒成立，即为a(1−lnx)≥−x2，当x=e时，0>−e2显然成立；当0<x<e时，有1−lnx>0，可得a≥x2lnx−1，设g(x)=x2lnx−1，0<x<e，g′(x)=2x(lnx−1)−x(lnx−1)2=x(2lnx−3)(lnx−1)2，由0<x<e时，2lnx<2<3，则g′(x)<0，g(x)在(0,e)递减，且g(x)<0，可得a≥0；当x>e时，有1−lnx<0，可得a≤x2lnx−1，设g(x)=x2lnx−1，x>e，g′(x)=2x(lnx−1)−x(lnx−1)2=x(2lnx−3)(lnx−1)2，由e<x<e 32时，g′(x)<0，g(x)在(e,e 32)递减，由x>e 32时，g′(x)>0，g(x)在(e 32,+∞)递增，即有g(x)在x=e 32处取得极小值，且为最小值2e3，可得a≤2e3，综上可得0≤a≤2e3．故选：B．求得f(−1)，由题意可得alnx−x2−2≤−2+a在x>0恒成立，讨论x的范围，分x=e，0<x<e，x>e，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调区间，可得最值，进而得到a的范围．本题考查函数的最值的求法和应用，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，以及构造函数法，求出导数和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13.答案：y=x+1解析：本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，是基础题．求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程．解：求导函数可得，y′=(1+x)e x−4x当x=0时，y′=1∴曲线y=xe x−2x2+1在点(0,1)处的切线方程为y−1=x，即y=x+1．故答案为：y=x+1．14.答案：23解析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．先求出基本事件总数，再由列举法得到这两个球编号之和为奇数的事件个数，由此能求出这两个球编号之和是奇数的概率．解：一个袋子中有号码为1，2，3，4大小相同的4个小球，从袋中任取两个球(不放回)，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，基本事件总数为6个，这两个球编号之和为奇数的有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，∴则这两个球编号之和为奇数的概率为46=23，故答案为23．15.答案：43解析：本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和公式等知识，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算，属中档题．等比数列{a n}中，S2n=1×(1−32n)1−3=32n−12，数列{b n}为等比数列，公比q′=9，所以T n=3×(1−9n)1−9=3(32n−1)8，求实数k．解：因为各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=3，a4=27，所以a1=1，公比q=3，所以S2n=1×(1−32n)1−3=32n−12，a n=3n−1．令b n=a n a n+1=3n−1·3n=32n−1，所以b1=3，数列{b n}为等比数列，公比q′=9，所以T n=3×(1−9n)1−9=3(32n−1)8．因为S2n=kT n，所以32n−12=k⋅3(32n−1)8，解得k=43．故答案为43．16.答案：√3解析：先表示出三角形面积，利用正弦定理换元2sin B，剩下sin A sin C，利用两角和公式化简，求得面积的最大值．属难题．解：∵a sinA=b sinB=c sinC=2sinπ34√33，∴三角形面积S=12acsinB=12×4√33sinA4√33sinCsinB=83sinAsinBnC=4√33sinAsinC=2√33[cos(A−C)−cos(A+C)]=2√33[cos(A−C)+12]当A=C时，S max=√3故答案为√3．17.答案：解：(Ⅰ)由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名．分数小于110分的学生中，男生有60×0.05=3(人)，记为A1，A2，A3；女生有40×0.05=2(人)，记为B1，B2．从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1,A2)，(A1,A3)，(A2,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，故所求的概率P=610=35．(Ⅱ)由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生有“数学尖子生”60×0.25=15(人)，女生有“数学尖子生”40×0.375=15(人)．据此可得2×2列联表如下：数学尖子生非数学尖子生合计男生154560女生152540合计3070100所以得K2的观测值k=100×(15×25−15×45)260×40×30×70=2514≈1.79．因为1.79<2.706.所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”．解析：解析：本题考查古典概型及独立性检验，同时考查分层抽样及频率分布直方图，属基础题．(Ⅰ)由直方图及分层抽样得男生和女生抽取的人数，然后利用古典概型求解即可; (Ⅱ)由已知得2×2列联表，然后计算K2的观测值即可求解．18.答案：解：(1)设等比数列{√a n−n}的公比为q，则q=√a2−2√a−1=6−23−1=2．从而√a n−n=(3−1)×2n−1，故a n=(n+2n)2．(2)∵√a n=n+2n，∴S n=n(n+1)2+2(1−2n)1−2，=2n+1+n2+n−42．解析：本题考查数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和公式的应用，属于基础题．(1)直接利用定义求出数列的通项公式．(2)利用分组法求出数列的和．19.答案：(本小题满分12分)解：取PC的中点为N，连结MN，DN(1)∵M是PB的中点，∴MN//BC,MN=12BC∵AD//BC，且BC=2AD，∴NM//AD且NM=AD，∴四边形AMND为平行四边形，∴AM//ND，又∵AM⊄平面PCD，ND⊂平面PCD所以AM//平面PCD(6分)(2)∵M是PB的中点，∴V三棱锥M−PCD =12V三棱锥B−PCD=√36∵V三棱锥B−PCD=V三棱锥P−BCD=13⋅S△BCD⋅PA=13×12×2√3×1×PA=√33PA=√33所以PA=1∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD 又∵PA=1,AD=√3，∴PD=2，∴S△PCD=1设点M到平面PCD的距离为h，则V三棱锥M−PCD =13⋅S△PCD⋅ℎ=13×1×ℎ=√36，∴ℎ=√32，故M到平面PCD的距离为√32(12分)解析：(1)取PC的中点为N，连结MN，DN，利用AD//BC，通过证明NM//AD，推出AM//ND，即可证明AM//平面PCD．(2)利用三棱锥M−PCD的体积为√36，转化求解V B−PCD，设点M到平面PCD的距离为h，通过体积，求解M到平面PCD的距离．本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查计算能力．20.答案：解：(Ⅰ)∵f′(x)=e x(x−1)x2+ex−a①，依题意知f′(1)=0，∴a=e；(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=e xx+elnx−ex(x>0)，则f′(x)=(x−1)(e x−ex)x2，令g(x)=e x−ex②，则g′(x)=e x−e，由g′(x)=0，得x=1，∵当0<x≤1时，g′(x)≤0，当x>1时，g′(x)>0，∴函数y=g(x)在(0,1]上递减，在(1,+∞)上递增，∴当0<x≤1时，g(x)≥g(1)=0，当x>1时，g(x)>g(1)=0，∴对∀x∈(0,+∞)，g(x)≥0，即e x≥ex③∴由②③，当0<x≤1时，x−1≤0，f′(x)≤0，当x >1时，x −1>0，f ′(x)>0，∴函数y =f(x)在(0,1]上递减，在(1,+∞)上递增， ∴f(x)≥f(1)=0．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题． (Ⅰ)由导数的几何意义直接求解即可．(Ⅱ)求导利用导函数研究函数的单调性，即可证明f(x)的最小值f(1)=0． 21.答案：解：(1)由题意可得{a +c =2+√3c a=√1−28， 解得a =2，c =√3 则b 2=a 2−c 2=1， 故E 的方程为x 24+y 2=1．(2)延长MF 1交E 于点M′， 由(1)可知F 1(−′√3,0)，F 2(√3,0)， 设M(x 1,y 1)，M′(x 2,y 2)，设直线MF 1的方程为x =my −√3，由{x =my −√3x 24+y 2=1可得(m 2+4)y 2−2√3y −1=0， ∴y 1+y 2=2√3mm 2+4，y 1y 2=−1m 2+4∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√12m 2(m 2+4)2+4m 2+4=4√m 2+1m 2+4，设F 1M 与F 2N 的距离为d ，则四边形的F 1F 2NM 面积S =12(|F 1M|+|F 2N|)d =12(|F 1M|+|F 2M′|)d =12|MM′|d =S △MF 2M′，∴S =S △MF 2M′=S △F 2MF 1+S △F 2M′F 1=12|F 1F 2||y 1−y 2|=4√3√m 2+1m 2+4=4√3√m 2+1+3√2≤4√32√3=2，故四边形F 1F 2NM 面积的最大值为2．解析：(1)由题意可得{a +c =2+√3c a=√1−28，解得a =2，c =√3则b 2=a 2−c 2=1，即可求出； (2)设直线MF 1的方程为x =my −√3，由{x =my −√3x 24+y 2=1可得(m 2+4)y 2−2√3y −1=0，利用韦达定理定理求出y 1−y 2|，由题意可得S =12|F 1F 2||y 1−y 2|，利用基本不等式求得最值．本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，属中档题22.答案：解：(Ⅰ)直线C 1的参数方程为{x =3+tcos π4y =2+tsin π4(其中t 为参数)消去t 可得：x −y −1=0，由ρ=4cosθsin 2θ得ρ2sin 2θ=4ρcosθ，的y 2=4x.(x ≠0)(Ⅱ)过点P(3,2)与直线C 1垂直的直线的参数方程为：{x =3−√22ty =2+√22t (t 为参数)，代入y 2=4x 可得t 2+8√2t −16=0设M ，N 对应的参数为t 1，t 2，则t 1t 2=−16， 所以|PM||PN|=|t 1t 2|=16．解析：(Ⅰ)直线C 1的参数方程为{x =3+tcos π4y =2+tsinπ4(其中t 为参数)消去t 可得：x −y −1=0，由ρ=4cosθsin 2θ得ρ2sin 2θ=4ρcosθ，的y 2=4x.(x ≠0)；(Ⅱ)代入直线的参数方程到曲线C 2中，利用参数的几何意义可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：(I)当a =2时，不等式f(x)≥4−|x −1|，即为|x −2|≥4−|x −1|，①当x ≤1时，原不等式化为2−x ≥4+(x −1)，得x ≤−12，故x ≤−12；②当1<x <2时，原不等式化为2−x ≥4−(x −1)，得2≥5，故1<x <2不是原不等式的解；③当x ≥2时，原不等式化为x −2≥4−(x −1)，得x ≥72，故x ≥72．综合①、②、③知，原不等式的解集为(−∞,−12]∪[72,+∞)． (Ⅱ)证明：由f(x)≤1得|x −a|≤1，从而−1+a ≤x ≤1+a ， ∵f(x)≤1的解集为{x|0≤x ≤2}， ∴{−1+a =01+a =2得a =1，∴1m +12n =a =1．又m >0，n >0，∴m +2n =(m +2n)(1m +12n)=2+(2nm +m2n )≥2+2√2nm ⋅m2n =4， 当且仅当2nm =m2n 即m =2n 时，等号成立，此时，联立1m +12n =1，得{m =2n =1时，m +2n =4，故m +2n ≥4，得证．解析：本题考查绝对值不等式的解法以及不等式证明，属中档题．(1)本小题考查绝对值不等式的解法，将a =2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可．(2)本小题考查不等式证明，先由已知解集{x|0≤x ≤2}确定a 值，再将“m +2n ”改写为“(m +2n)(1m +12n )”，展开后利用基本不等式可完成证明．。
2020届高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N C M =I （ ） A ．{}1,3 B ．{}1,5C ．{}3,5D ．{}4,5【答案】C【解析】{}2,3,5U C M =，(){}3,5U N C M =I ． 2．复数()()3i 2i 5--的实部是（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】C 【解析】()()3i 2i 5--=265i i 55i1i 55-+-==-实部为1，故选C ． 3．已知点()tan ,cos P αα在第三象限，则角α的终边在第几象限（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由点()tan ,cos P αα在第三象限可知tan 0cos 0αα<⎧⎨<⎩，所以角α的终边位置在第二象限． 4．11cos 3π=（ ） A ．32B ．32-C ．12-D ．12【答案】D 【解析】11cos3π=π1cos 32⎛⎫-= ⎪⎝⎭，选D ． 5．已知α是第一象限角，3tan 4α=，则sin α等于（ ） A ．45B ．35C ．45-D ．35-【答案】B 【解析】3tan 4α=222sin 39,sin cos 1sin cos 425ααααα⇒=+=∴=Q αQ 是第一象限角，3sin 5α∴=，选B ．6．已知直线经过点()2,5P -，且斜率为34-，则直线l 的方程为（ ）A ．34140x y +-=B ．34140x y -+=C ．43140x y +-=D ．43140x y -+=【答案】A【解析】直线l 经过点()2,5P -，且斜率为34-，则()3524y x -=-+即34140x y +-=，故选A ．7．函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（ ）A ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号【答案】A【解析】由图得2π2,π,22362T A T T ωπππ⎛⎫==--=⇒=== ⎪⎝⎭，由πsin 213ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭得()()2πππ2π2π326k k k k ϕϕ+=+∈∴=-+∈Z Z ，因此2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，选A ．8．在ABC △中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC △是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得::2:3:4a b c =，设2,3,4a m b m c m ===，则由余弦定理得22249161cos 022234a b c C ab +-+-===-<⨯⨯，C ∴为钝角，即ABC △是钝角三角形，选B ．9．函数2sin cos y x x =++的最大值是（ ） A ．22- B ．22+ C ．22-D ．22--【答案】B【解析】2sin cos y x x =++=22sin 4x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，最大值为22+，故选B10．已知函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C①图象C 关于直线1112x π=对称； ②函数在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；③把3sin2y x =的图象向右平移3π个单位可得到图象C ．以上三个论断中，正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】因为①图象C 关于直线1112x =π对称；代入可知函数达到最值，成立．②函数()f x 在区间51212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数；符合题意．由3sin2y x =的图象向右平移6π个单位长度可以得到图象C ，∴③不成立，舍去．11．已知圆1C ：22(1)(1)1x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ） A ．()()22221x y ++-= B ．()()22221x y -++= C ．()()22221x y +++= D ．()()22221x y -+-=【答案】B【解析】圆1C ：()()22111x y ++-=，圆心1,1-（）为半径为1，因为圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则先找1,1-（）关于直线10x y --=的对称点，为（2，-2），所以圆2C 的圆心为（2，-2），半径为1，所以圆2C 为()()22221x y -++=，故选B ．12．已知()()()21001x x f x x x ⎧--⎪=⎨<⎪⎩，≤≤，≤，则下列函数的图象错误的是（ ）A ．()1y f x =-的图象B ．()y f x =-的图象C ．()y f x =的图象D ．()y f x =的图象 【答案】D【解析】()()()21001x x f x x x ⎧--⎪=⎨<⎪⎩，≤≤，≤的图象为，()1f x -的图象是()f x 的图象向右平移1个单位得到的，A 对；()f x -与()f x 关于y 轴对称，B 对；()f x 即为()f x 的图象，C 对；0x Q ≥，()0001x f x x x =⎧⎪∴=⎨<⎪⎩，，≤图象为，D 错；故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．点()1,1P -到直线10x y -+=的距离是__________． 【答案】32【解析】点()1,1P -到直线10x y -+=的距离是1113222++=． 14．函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）的部分图象如图所示，则()0f = ．【答案】62【解析】由图知2A ，74()123T ππ=-=π，所以22Tωπ==，所以()2)f x x ϕ=+，把7(,2)12π-，代入，得722sin(2)12ϕπ-=⨯+，即7sin()16ϕπ+=-，所以73262k ϕππ+=+π（k ∈Z ），即23k ϕπ=+π（k ∈Z ），所以6(0)2sin(2)2sin 332f k ππ=+π==．15．若()22A ，，()0B a ，，()0C b ，（0ab ≠）三点共线，则11a b+=__________．12【解析】因为()0B a ，，()0C b ，（0ab ≠）所以直线BC 为1x ya b+=过()22A ，，所以221a b +=，即1112a b +=，故答案为12． 16．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图象分别交于,M N 两点，则MN的最大值为__________． 【答案】2sin cos 2sin 24MN a a a π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭≤，所以MN 2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知α为第二象限的角，3sin 5α=，β为第三象限的角，4tan 3β=．（1）求()tan +αβ的值；（2）求3sin 4cos 2sin cos ββββ-+的值．【答案】（1）724（2）0 【解析】（1）∵α在第二象限，3sin 5α=∴4cos 5α=-，∴3tan 4α=-∴()34916tan tan 7431212tan 1tan tan 11224αβαβαβ-+-+++====-+．（2）因为β为第三象限的角，4tan 3β=， 所以4sin 5β=-，3cos 5β=-．所以43343sin 4cos 550432sin cos 255ββββ⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．18．（12分）已知直线1:230l x y -+=与直线2:2380l x y +-=，Q 为它们的交点，点()04P ，为平面内一点．求：（1）过点P 且与1l 平行的直线方程；（2）过Q 点的直线，且P 到它的距离为2的直线方程． 【答案】（1）280x y -+=（2）2y =或∴280y x -=- ∴280x y -+=（2）2302380x y x y -+=+-=⎧⎨⎩∴12x y =⎧⎨=⎩，()12Q ， 当斜率不存在，则方程为1x =，不合题意，舍去 当斜率存在，设方程()21y k x -=-，而20kx y k -+-=，∴224444k k k ++=+，234k k =，∴0k =或 ∴方程为2y =或 19．（12 （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间．【答案】（1）T =π，()max 1f x =（2【解析】（1∴T =π，()max 1f x =．20．（12分）在ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a b c ，，，若()cos 2cos b C a c B =-， （1）求B ∠的大小；（2）若b =4a c +=，求,a c 的值． 【答案】（1）3B π=（2）1a =，3c =或3a =，1c = 【解析】解：（1）由已知得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =⋅-⋅ ∴()sin 2sin cos B C A B +=⋅ ∵B C A +=π-∴sin 2sin cos A A B =⋅ ∵(),0,A B ∈π ∴1cos 2B =，3B π= （2）∵2222cos b a c ac B =+- 即()273a c ac =+- ∴31679ac =-= ∴3ac = ∵4a c +=∴1a =，3c =或3a =，1c =21．（12分）在ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a b c ，，，且()223a c b ac +=+． （1）求角B 的大小；（2）若2b =，且()sin sin 2sin2B C A A +-=，求ABC △的面积． 【答案】（1）3B π=；【解析】（1）把()223a c b ac +=+整理得，222a c b ac +-=， 由余弦定理有2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，∴3B π=．(2)ABC △中，A B C ++=π，即()B A C =π-+，故()sin sin B A C =+， 由已知()sin sin 2sin2B C A A +-=可得()()sin sin 2sin2A C C A A ++-=， ∴sin cos cos sin sin cos cos sin 4sin cos A C A C C A C A A A ++-=， 整理得cos sin 2sin cos A C A A =． 若cos 0A =，则2A π=， 于是由2b =，可得2tan c B == 此时ABC △的面积为12S bc ==若cos 0A ≠，则sin 2sin C A =， 由正弦定理可知，2c a =，代入222a c b ac +-=整理可得234a =，解得3a =，进而3c =， 此时ABC △的面积为1sin 2S ac B == ∴综上所述，ABC △22．（12分）已知函数()()22211ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （2）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．【答案】（1）625320x y +-=（2）见解析【解析】（1）当1a =时，()221xf x x =+，此时()()222221x f x x '-=+， 所以()6225k f ==-'，又因为切点为42,5⎛⎫⎪⎝⎭， 所以切线方程()462525y x -=--， 曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为625320x y +-=．（2）由于0a ≠，所以()()()()()()222222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭+'==+ 令()0f x '=，得121,x x a a=-=，当0a >时，则12x x <，易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =，当0a <时，则12x x >，易得()f x 在区间(),a -∞，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为增函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数，故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =．。
2020年高考文科数学模拟试卷及答案（共五套）2020年高考文科数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)1、设集合{}1 2 3 4U =，，，，集合{}2540A x x x =∈-+<N ，则U C A 等于（ ）A ．{}1 2，B ．{}1 4，C ．{}2 4，D ．{}1 3 4，，2、记复数z 的共轭复数为z ，若()1i 2i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模z =（）A ．2B ．1C ．22D ．23、命题p:∃x ∈N,x 3<x 2;命题q:∀a ∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=log a (x-1)的图象过点(2,0),则( )A. p 假q 真B. p 真q 假C. p 假q 假D. p 真q 真4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A ．18B ．20C ．21D ．255、已知 ，且，则A.B.C.D.6、已知 ， ， ，若 ，则A. B.—8 C. D. —27、执行如右图所示的程序框图，则输出 的值为A. B.C. D.8、等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ，则 的实轴长为 ( )A. B. C. D.9、已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则的外接圆面积为 A. B. 6π C. 7πD.10、一块边长为6cm 的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（ ）A ．3126cmB ．346cmC.3272cm D ．392cm11、已知，曲线 在点 ))1f(,1( 处的切线经过点，则有A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值12、对实数 和 ，定义运算“ ”：．设函数 ，．若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13、 设变量 ， 满足约束条件则目标函数 的最大值为 ．14、已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足：a 1a 7=4，则数列{log 2a n }的前7项之和为15、已知圆 ，则圆 被动直线 所截得的弦长是 .16、如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为．三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．2．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，93．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里5．已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．7．执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}8．圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）9．如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．10．若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．211．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π12．已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设（i为虚数单位），则=_______．14．已知向量，且，则=_______．15．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为_______．16．函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物种植点，其生长状况如表：生长指数 2 1 0 ﹣1地域南区空气质量好45 54 26 35空气质量差7 16 12 5 北区空气质量好70 105 20 25空气质量差19 38 18 5其中生长指数的含义是：2代表“生长良好”，1代表“生长基本良好”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．附：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．选修4-1：几何证明与选讲22．如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．2020年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】结合已知条件即可求解．观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，∴（∁A）={3，5，6}，∵B={1，3，5}，∴B∩（∁A）={3，5}．故选：B．2．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，9【考点】极差、方差与标准差．【分析】由平均数和方差的性质得数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数为，方差为32•σ2．【解答】解：∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，∴=5，∴+1=3×5+1=16，∵x1，x2，x3，…，x n的方差为2，∴3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的方差是32×2=18．故选：C．3．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的定义进行判断即可．【解答】解：若曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线，则对应的标准方程为，则＞0，即m（m﹣2）＞0，解得m＞2或m＜0，故“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的充分不必要条件，故选：A4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案．【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得a1=192，∴第此人二天走192×=96步故选：C5．已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求得渐近线方程，由题意可得=，运用点到直线的距离公式，解方程可得a=4，b=6，进而得到双曲线的方程．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，设一个焦点为（c，0），可得=6，可得c=2，即a2+b2=52，解得a=4，b=9，则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．6．设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．【考点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性．【分析】求导y′=cosx，从而可得y=x2g（x）=x2cosx，从而判断．【解答】解：∵y=sinx，∴y′=cosx，由导数的几何意义知，g（x）=cosx，故y=x2g（x）=x2cosx，故函数y=x2g（x）是偶函数，故排除A，D；又∵当x=0时，y=0，故排除C，故选B．7．执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}【考点】程序框图．【分析】由框图知程序功能是计算并输出y=的值，由题意分类讨论即可得解．【解答】解：由框图知程序功能是计算并输出y=的值，当x＞0时，令x2﹣x=2，解得x=2或﹣1（舍去）；当x＜0时，令x2+x=2，解得x=﹣2或1（舍去）；故输入的值构成的集合是：{﹣2，2}．故选：D．8．圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由题意知，圆心在直线上，解出b，再利用圆的半径大于0，解出a＜2，从而利用不等式的性质求出a﹣b的取值范围．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，∴圆心（1，﹣3）在直线y=x+2b上，故﹣3=1+2b，∴b=﹣2．对于圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0，有4+36﹣20a＞0，∴a＜2，a﹣b=a+2＜4，故选A．9．如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．【考点】解三角形．【分析】分别过C，D作AB的垂线DE，CF，则通过计算可得四边形DEFC为矩形，于是CD=EF=AB﹣AE+BF．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB交AB延长线于F，则DE∥CF，∠CBF=60°．DE=ADsinA==，CF=BCsin∠CBF=（）×=．∴四边形DEFC是矩形．∴CD=EF=AB﹣AE+BF．∵AE=ADcosA==，BF=BCcos∠CBF=（）×=．∴CD=1﹣+=．故选：A．10．若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，可行域为四边形OACD及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点；当x≤0时，可行域为三角形OAB及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点．∴z=y﹣2|x|的最大值为2．故选：D．11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为，即可求出此四面体的外接球的体积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为所以四面体的外接球的体积=4．故选：C．12．已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】为去绝对值号，讨论a：（1）a＜0时，根据指数函数和增函数的定义便可判断函数在[，3]上单调递增，从而需满足g（﹣）≥0，这样可得到﹣1≤a ＜0；（2）a=0时，显然满足条件；（3）a＞0时，得到f（x）=，并可判断x=时取等号，从而需满足，可解出该不等式，最后便可得出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＜0时，函数在上单调递增；∴；∴﹣1≤a＜0；（2）当a=0时，f（x）=2x+1在上单调递增；（3）当a＞0时，，当且仅当，即x=时等号成立；∴要使f（x）在[]上单调递增，则；即0＜a≤1；综上得，实数a的取值范围为[﹣1，1]．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设（i为虚数单位），则=2﹣i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接由复数求模公式化简复数z，则答案可求．【解答】解：由=，则=2﹣i．故答案为：2﹣i．14．已知向量，且，则=5．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，求出x的值，再求的值．【解答】解：向量，且，∴•=x﹣2=0，解得x=2，∴﹣2=（﹣3，4）；==5．故答案为：5．15．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积．【解答】解：由抛物线定义，|PF|=x P+1=5，所以x P=4，|y P|=4，所以，△PFO的面积S==．故答案为：2．16．函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是4．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得，本题即求函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，数形结合得出结论．【解答】解：满足的x的个数n，即为函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，如图所示，存在k∈（﹣∞，0），使得n取到最大值4，故答案为：4．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物种植点，其生长状况如表：生长指数 2 1 0 ﹣1地域南区空气质量好45 54 26 35空气质量差7 16 12 5 北区空气质量好70 105 20 25空气质量差19 38 18 5其中生长指数的含义是：2代表“生长良好”，1代表“生长基本良好”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．附：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据表格数据计算；（II）采用独立检验方法列联表计算K2，与6.635比较大小得出结论；（III）根据绝收比例可以看出采用分层抽样比较合理．【解答】解：（1）调查的500处种植点中共有120处空气质量差，其中不绝收的共有110处，∴空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例．（2）列联表如下：收绝收合计南区160 40 200北区270 30 300合计430 70 500∴K2=≈9.967．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关“．（3）由（2）的结论可知该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关，因此在调查时，先确定该市南北种植比例，再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．【分析】（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED==30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE ⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【解答】解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD…，∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…，又∵△CDE中，∠CED=∠CDE==30°…∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE…，∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1．…，∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE…，∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．…．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，…∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D…，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角…．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==…，∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为…19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）讨论可判断出数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，从而结合8a2=3a1+a3+13可得λ2﹣4λ+4=0，从而解得；（Ⅱ）化简可得b n=，从而可得T n=1+++…+，T n=+++…+，利用错位相减法求其前n项和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+1=（λ+1）S n+1，+1，∴当n≥2时，a n=（λ+1）S n﹣1∴a n+1﹣a n=（λ+1）a n，即a n+1=（λ+2）a n，又∵λ≠﹣2，∴数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，故a2=λ+2，a3=（λ+2）2，∵3a1，4a2，a3+13成等差数列，∴8a2=3a1+a3+13，代入化简可得，λ2﹣4λ+4=0，故λ=2，故a n=4n﹣1；（Ⅱ）∵a n b n=log4a n+1=n，∴b n=，故T n=1+++…+，T n=+++…+，故T n=1+++…+﹣=（1﹣）﹣，故T n=﹣．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求出圆M和圆N的圆心及半径，设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．由圆P与圆M外切并与圆N内切，得到曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），由此能求出C的方程．（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．【解答】解：（Ⅰ）圆M：（x+1）2+y2=1的圆心为M（﹣1，0），半径r1=1，圆N的圆心N（1，0），半径r2=3．设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．∵圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+r1+r2﹣R=r1+r2=4．…由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），∴C的方程为．…（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，…由∠OTS=∠OTR（由题意TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0，即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③…将①代入③即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．…21．已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（Ⅱ）求出k的值，令g（x）=（x2+x）f'（x），问题等价于，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由得，x∈（0，+∞），所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为：，而f（1）=，故切线方程是：y﹣=﹣（x﹣1），即：x+ey﹣3=0；（Ⅱ）证明：若f′（1）=0，解得：k=1，令g（x）=（x2+x）f'（x），所以，x∈（0，+∞），因此，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1，等价于，由h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，∞），得h'（x）=﹣lnx﹣2，x∈（0，+∞），因此，当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（e﹣2，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）的最大值为h（e﹣2）=e﹣2+1，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，设φ（x）=e x﹣（x+1），∵φ'（x）=e x﹣1，所以x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，φ（x）＞φ（0）=0，故x∈（0，+∞）时，φ（x）=e x﹣（x+1）＞0，即，所以．因此，对任意x＞0，恒成立．选修4-1：几何证明与选讲22．如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）通过证明△AME∽△ONE，即可推出结果．（2）利用（1）的结论，设OE=x，求解x，然后在直角三角形中求解即可．【解答】（1）证明：∵M、N分别是AF、AB的中点．∴∠AME=∠ONE=90°，又∵∠E=∠E，∴△AME∽△ONE，∴，∴OE•ME=NE•AE．（2）设OE=x，（x＞0），∵BE==，∴NE=2，AE=3，又∵OM=，∴x=2，即：（x﹣4）（2x+9）=0，∵x＞0，∴x=4，即OE=4，则在Rt△ONE中，cos∠E===∴∠E=30°．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα即可得出曲线C的参数方程，直线l过原点，且斜率为tanθ，利用点斜式方程写出直线l的方程；（2）解方程组求出A，B坐标，得到AB，则P到AB的最大距离为C到AB的距离与圆C 的半径的和．【解答】解：（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα，则x=2+cosα，y=3+sinα，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．直线l的斜率k=tanθ=1，∴直线l的直角坐标方程为y=x．（2）解方程组得或．设A（2，2），B（3，3）．则|AB|==．∵圆C的圆心为C（2，3），半径r=1，∴C到直线AB的距离为=．∴P到直线AB 的最大距离d=+1．∴△PAB面积的最大值为=．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）将k=4代入g（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，根据x的范围求出k的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）k=4时，f（x）+g（x）＜9，即|x﹣3|+|x﹣4|＜9，即或或，解得：﹣1＜x＜3或3≤x≤4或4＜x＜8，故原不等式的解集是{x|﹣1＜x＜8}；（Ⅱ）∵k∵≥2且x∈[1，2]，∴x﹣3＜0，x﹣k＜0，∴f（x）=|x﹣3|=3﹣x，g（x）=|x﹣k|=k﹣x，则∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，∴4≥2k，即k≤2，又∵k≥2，∴k=2．2020年9月9日。
65C ． -33D ． - 63，第Ⅰ卷(选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 l2 小题，每小题 5 分．共 60 分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．设集合 A = {x || x - 2 |≤ 2, x ∈ R }, B = { y || y = - x 2,-1 ≤ x ≤ 2}, 则等于（）A ．RB ． {x | x ∈ R 且x ≠ 0}C ．{0}D ． ∅R（A∩B ）2 ． 已 知 cos(α - β ) =3 ,sin β = - 5 , 且α ∈ (0, π ), β ∈ (- π ,0), 则 s in α =51322（）A ． 3365B ． 63653．对于平面α 和共面的直线m ，n 下列命题中真命题是（）A ．若 m ⊥ α , m ⊥ n , 则n // αC ．若 m ⊂ α，n // α，则m // nB ．若 m // α，n // α，则m // nD ．若 m ，n 与α所成的角相等，则m // n4．数列{a }中，若 a = 1 ， a =n12n1 1 - an -1(n ≥ 2, n ∈ N ) 则 a2007的值为A -1B1 C 1D225.如果 f '(x) 是二次函数, 且 f '(x) 的图象开口向上,顶点坐标为(1,－那么曲线 y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是()3),A. (0, 2π 3 ]B. [0, π 2π π 2π )∪[ , π)C. [0, ]∪[ 2 3 2 3, π) D.π 2π[ , ] 2 3a 2b 2| A ．(1,2 + 3 ⎤B (1, 3 ⎤⎡2+ 3, +∞)D ⎡2 - 3,2 + 3 ⎤11．如图, 直线 MN 与双曲线 C: x 2线相交于 P 点, F 为右焦点,若|FM|=2|FN|, 又NP= λPM (λ∈R), 则6．两直线 3x ＋y －2=0 和 y ＋a=0 的夹角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°7．已知函数 y = f ( x )( x ∈ R)满足f ( x + 2) = f ( x ) 且当 x ∈ [-1,1]时f ( x ) = x 2 ，则y = f ( x )与y = log x 的图像的交点个数为（）7A ．3B ．4C ．5D ．68．若关于 x 的方程 4cos x - cos 2 x + m - 3 = 0 恒有实数解，则实数 m 的取值范围是A. [ -1,+∞)B. [-1,8]C [0,8]D [0,5]9．如图，在杨辉三角中，斜线的上方从 1 开始按箭 头所示的数组成一个锯齿形数列 1，3，3，4，6，5，10，……，记此数列为{a } ，则 a 等于n21A ．55B ．65C ．78D ．6610．已知点 F 、F 为双曲线 x 2 - y 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点， P 为右1 2支上一点，点 P 到右准线的距离为 d ，若 | PF | 、PF| 、d 依次成等差数列，12则此双曲线离心率的取值范围是（）⎦⎦C⎣ ⎣ ⎦a 2 － y 2b 2 = 1的左右两支分别交于 M 、N 两点, 与双曲线 C 的右准→ →实数λ的取值为 ( )11A. B.1 C.2 D.2312．△ABC的AB边在平面α内,C在平面α外,AC和BC分别与面α成30°和45°的角,且面ABC与α成60°的二面角,那么sin∠ACB的值为()1221A.1B.C.D.1或333第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．x2113．二项式(－)9展开式中的系数为________2x x14．一个五位数由数字0,1,1,2,3构成,这样的五位数的个数为_________15．过定点P(1,4)作直线交抛物线C:y=2x2于A、B两点,过A、B 分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为_________ 16．定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)+f(x)=0,且函数f(x+5)为奇函24数，给出下列结论：①函数f(x)的最小正周期是5；②函数f(x)的2图像关于点(5,0)对称；③函数f(x)的图像关于直线x=5对称；④42函数f(x)的最大值为f(5).2其中正确结论的序号是__________(写出所有你认为正确的结论的序号)三、解答题：本大题共６小题，共74分。
2020届高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}220P x x x =-≥，{}12Q x x =<≤，则P Q =I （ ） A ．[0,1) B ．{2}C ．(1,2)D ．[1,2]【答案】B2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称且12i z =+，则12z z =（ ） A ．－5 B ．5C ．－4＋iD ．－4－i【答案】A3．下列函数在(0,2)上是单调递增函数的是（ ） A ．12y x =- B ．12log (2)y x =- C ．21()2x y -=D ．2y x =-【答案】B4．已知 1.22a =，0.21()2b -=，5log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C5．若1cos()43απ+=，(0,)2απ∈，则sin α的值为（ ）A ．23B ．426+ C ．718D ．426- 【答案】D6．如果对于任意实数m ，[]m 表示不超过m 的最大整数，那么“[][]x y =”是“[]1x y -<成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A7．某空间几何体的三视图如图，且已知该几何体的体积为36π，则其表面积为（ ） A ．332π+B ．32πC ．334π+2D ．334π+【答案】A8．已知实数x ，y 满足不等式组：22221x y x y y x +⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≥≥，则3z y x =-的取值范围为（ ）A ．[1,2]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[1,6]【答案】D9．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入20=a ，8=b ，则输出的结果为（ ） A ．4a =，3i =B ．4a =，4i =C ．2a =，3i =D ．2a =，4i =此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号【答案】A10．已知函数()2sin(2)6fx x π=+，若将它的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．12x π=B ．4x π=C ．3x π=D ．3x 2π=【答案】C11．以双曲线22221x y a b -=的两焦点为直径作圆，且该圆在x 轴上方交双曲线于A ，B 两点；再以线段AB 为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ．31+ B ．2C ．21+D ．3【答案】B12．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为[]()0,x x ∈π，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：①332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②函数()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭上为减函数；③任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()4f x f x +π-=；其中不正确．．．的是（ ）A ．①B ．③C ．②D ．②③【答案】C第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(3,4)=a ，(,1)x =b ，若()-⊥a b a ，则实数x 为________． 【答案】714．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B =________． 【答案】3π 15．已知x ，y +∈R ，且231x y +=，则11x y +的最小值是________．【答案】526+16．已知*1log (2)()n n a n n +=+∈N ，观察下列算式：1223log 3log 42a a ⋅=⋅=；126237log 3log 4log 83a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L L ；若1232016m a a a a ⋅⋅⋅⋅=L ，则m 的值为________． 【答案】201622-三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，25a =，823a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，12b a =，27b a =，求1000n S >的最小正整数n ． 【答案】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，826235183a a d d -==-=⇒=．2(2)5(2)331n a a n d n n =+-=+-⋅=-，（2） ∵12b a =，2737120b a ==⋅-=，∴212045b q b ===， ∴25(14)5(41)100042601143nnn n n S --==>⇒=>-， ∵1021024=，92512=，∴210n =，∴ 最小正整数n 为5． 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积34为，求A 到平面PBC 的距离．【答案】（1）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，∵ABCD 是矩形，∴O 为BD 的中点，∵E 为PD 的中点，∴EO ∥PB ． EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴PB ∥平面AEC ： （2）∵1AP =，3AD =，三棱锥P ﹣ABD 的体积34V =， ∴133664V PA AB AD AB =⋅⋅==， ∴32AB =，23131()22PB =+=．作AH ⊥PB 交PB 于H ，由题意可知BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥AH ， 故AH ⊥平面PBC ．又在三角形P AB 中，由射影定理可得：31313PA AB AH PB ⋅==， ∴A 到平面PBC 的距离31313． 19．（本小题满分12分）某学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11日至3月15日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月11日 3月12日 3月13日 3月14日 3月15日昼夜温差（C ︒） 10 11 13 12 8 发芽数（颗）2325302616（1）从3月11日至3月15日中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率；（2）请根据3月12日至3月14日的三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程$$y bx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试用3月11日与3月15日的两组数据检验，问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：2121ˆxn x yx n yx bni i ni ii --=∑∑==，x b y a-=ˆ） 【答案】（1）,m n 的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个，设“,m n 均不小于25”为事件A ，则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）， 所以103)(=A P ，故事件A 的概率为103．（2）由数据得12x =，27y =，3972x y =，31977i i i x y ==∑，321434i i x ==∑，23432x =，由公式，得977972434432b-=-$，$5271232a =-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程为$532y x =-． （3）当10x =时，$22y =，22223-<，当8x =时，^17y =，17216-<， 所以得到的线性回归方程是可靠的．20．（本小题满分12分）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上下左右四个顶点分别为A ，B ，C ，D ，x 轴正半轴上的某点P 满足2PA PD ==，4PC =． （1）求椭圆的标准方程以及点P 的坐标；（2）过C 点作倾斜角为锐角的直线1l 交椭圆于点Q ，过点P 作直线2l 交椭圆于点,M N ，且12//l l ，是否存在这样的直线1l ，2l 使得CDQ △，MNA △，MND △的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．【答案】（1）设点P 的坐标为0(,0)x 0(0)x >，易知224a =+，3a =，041x a =-=，22023b x =-=．因此椭圆标准方程为22193x y+=， P 点坐标为(1,0)．（2）设直线的斜率为(0)k k >，00(,)Q x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1:(3)l y k x =+，2:(1)l y k x =-，MNA △、MND △的面积相等，则点,A D 到直线2l 的距离相等．22|3|11k k k --=++，解之得3k =33k =-（舍）． 当3k =2l 的方程可化为：13x =+，代入椭圆方程并整理得： 253120y -=，所以121235125y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以211212293()45y y y y y y -=+-=； 所以MND △的面积为12119393||||222PD y y ⋅-=⨯=当3k =1l 的方程可化为：33x =-，代入椭圆方程并整理得： 25330y y -=，解之得335y =0y =（舍）， 所以CDQ △的面积为1939362⨯=所以CDQ MND S S =△△． 21．（本小题满分12分） 已知函数2()e (1)x f x x x =-+．（1）当[1,2]x ∈-时，求()f x 的最大值与最小值；（2）如果函数()()1g x f x ax =-+有三个不同零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）因为2()e (1)x f x x x =-+， 所以()(1)e 2(1)(1)(e 2)x x f x x x x '=+-+=+-，令()0f x '=得11x =-，2ln 2x =，()f x '，()f x 的变化如下表：x－1 (1,ln 2)- ln 2 ln 22（，）2 ()f x ' 0－ 0＋()f x1e-2(ln 2)1--22e -9()f x 在[1,2]-上的最小值是2(ln 2)1--，因为22e 90->，10e -<，212e 9e->-，所以()f x 在[1,2]-上的最大值是22e 9-．（2）2()1e (2)(e 2)x x f x ax x x a x x x a -+=--+=---， 所以()10f x ax x =-⇒=或e 20x x a ---=，设()e 2x g x x a =---，则()e 1x g x '=-，0x >时，()0g x '>，0x <时，()0g x '<， 所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，在(,0)-∞上是减函数，()(0)1g x g a =--≥， 且x →+∞，()g x →+∞，x →-∞，()g x →+∞，①当10a -->时，即1a <-时，()0g x =没有实根，方程()1f x ax =-有1个实根； ②当10a --=时，即1a =-时，()0g x =有1个实根为零，方程()1f x ax =-有1个实根； ③当10a --<时，即1a >-时，()0g x =有2不等于零的实根，方程()1f x ax =-有3个实根．综上可得，1a >-时，方程()1f x ax =-有3个实根．选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0α<<π），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的最小值．【答案】（1）由2sin 4cos ρθθ=，得2(sin )4cos ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为24y x =，（2）将直线l 的参数方程代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=． 设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1224cos sin t t αα+=，1224sin t t α=-，∴12AB t t =-==2απ=时，AB 的最小值为4． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()1f x ax =-，不等式()3f x ≤的解集是{}12x x -≤≤． （1）求a 的值； （2）若()()3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围．【答案】（1）由13ax -≤，得313ax --≤≤，即24ax -≤≤．当0a >时，24x a a -≤≤，因为不等式()3f x ≤的解集是{}12x x -≤≤，所以2142aa⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a =；当0a <时，42x a a -≤≤，因为不等式()3f x ≤的解集是{}12x x -≤≤，所以2241aa⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，无解． 所以2a =． （2）因为()()|21||21||(21)(21)|23333f x f x x x x x +--++--+==≥，所以要使()()3f x f x k +-<存在实数解，只需23k >．解得23k >或23k <-． 所以实数k 的取值范围是22(,)(,)33-∞-+∞U ．。
2020届高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}240,20A x x B x x =->=+<，则A B =I （ ） A ．{}2x x > B ．{}2x x <- C ．{2x x <-或}2x >D ．12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【答案】B2．已知复数z 满足：()()3i 12i i z -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于（ ） A ．15- B ．25-C ．45D ．35【答案】C3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C4．“1a >”是“2a a >成立”的（ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A5．抛物线214y x =的焦点到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为（ ）A ．12B ．32C ．1D ．3【答案】B6．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,,a b αβαβ⊂⊂∥，则a b ∥ B ．若,a b αβ⊥∥，且αβ⊥，则a b ∥ C ．若,,a a b b αβ⊥∥∥，则αβ⊥D ．若,,a b a b αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥ 【答案】C7．在区间上[]0,π随机地取一个数x ，则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为（ ） A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】D8．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知11,,cos 43b B A π===，则a =（ ） A ．43B ．23C ．34D ．2【答案】A9．已知向量,a b r r 均为单位向量，且夹角为60︒，若()()a b a b a b λλ-⋅+=-r r r r r r，则实数λ=（ ）A ．3B ．3-C ．1±D ．3±【答案】D10．已知函数()f x 是奇函数，若函数()2x y xf x =-的一个零点为0x ，则0x -必为下列哪个函数的零点（ ）A ．()2x y f x x -=⋅+B ．()12x y f x x=⋅-此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．()2x y f x x =⋅-+D ．()12x y f x x-=⋅-+【答案】B11．设实数,x y 满足不等式组240y xx y ⎧⎪⎨-+⎪⎩≥≥，则2x y +的最大值为（ ）A ．43B ．43-C ．12D ．0【答案】C12．已知函数()[)sin cos ,0,f x x x x =-∈+∞，直线L 过原点且与曲线()y f x =相切，其切点的横坐标从小到大依次排列为123,,,,,n x x x x L L ，则下列说法正确的是（ ） A ．()1n f x =B ．数列{}n x 为等差数列C ．tan 4n n x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．()22221n n nx f x x ⎡⎤=⎣⎦+【答案】D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某植树小组测量了一批新采购的树苗的高度，所得数据如茎叶图所示（单位：cm )，则这批树苗高度的中位数为 ．【答案】7614．从直线y x =上一动点出发的两条射线恰与圆()22:21C x y +-=都相切，则这两条射线夹角的最大值为 ．【答案】2π15．已知ABC △中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接,AD E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r，则m n += ．【答案】12-16．已知三棱锥A BCD -中，213AB CD ==，41,61BC AD AC BD ====，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 ．【答案】77π三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数()()2sin cos +sin 203f x x x x ωωωωπ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)求ω和函数的最小值 （2）求函数()y f x =的单调递增区间．【答案】解：13()2sin (cos )sin 22f x x x x x ωωωω=++13sin 2cos 2)sin 22x x x ωωω=-+ 333sin 222x x ωω=+33)6x ωπ=-+（1）因为函数最小正周期为π，则2|2|T ωπ==π，则1ω=，最小值为3 （2）由（1）得3()3)6f x x π=-+令222()262k x k k πππ-+π-+π∈Z ≤≤，解得()63k x k k ππ-+π+π∈Z ≤≤所以函数的增区间为[,]()63k k k ππ-+π+π∈Z ．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()112,22,1n n a a S n +==+≥． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()31log nn n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】解：（1）122n n a S +=+Q L L L ①∴当2n ≥时，122n n a S -=+L L L ②①-②得：12n n n a a a +-=13n n a a +⇒=，又12a =， 由①得21226a a =+=213a a ∴=，{}n a ∴是以2为首项3为公比的等比数列123n n a -∴=⨯（2）()()11331log 231log 23nnn n n n n b a a --=+-=⨯+-⨯Q()()133231log 21log 3nn n -=⨯+-+-⎡⎤⎣⎦()()()132311log 21n nn n -=⨯+--++-2122n n S b b b ∴=+++L ()221213330n n -=++++++L 231n n =+-．19．（12分）一生物科研小组对升高温度的多少与某种细菌种群存活数量之间的关系进行分析研究，他们制作5份相同的样本并编号1、2、3、4、5，分别记录它们同在0C ︒下升高不同的温度后的种群存活数量，得到如下资料：（1）若随机选取2份样本的数据来研究，求其编号不相邻的概率； （2）求出y 关于x 的线性回归方程；（3）利用（2）中所求出的回归方程预测温度升高15C ︒时此种样本中种菌群存活数量．附：1221ni ii nii x ynxy bxnx==-=-∑∑$，ˆˆay bx =-． 【答案】解：（1）总的选取结果为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10中，其中满足编号不相邻的有（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，5）共6种，则概率为35．（2）由数据求得11x =，25y =，则515221554ˆ 5.4105i ii i i x y x ybx x==-===-∑∑， ˆˆ34.4ay bx =-=-，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 5.434.4y x =-． （3）利用直线方程ˆ 5.434.4yx =-，可预测温度升高15℃时此种样本中细菌种群存活数量为5.41534.446.6(46⨯-=≈个）（个）． 20．（12分）如图1，1AFA △中，11,82FA FA AA CF ===，，点,,B C D 为线段1AA 的四等分点，线段,,BE CF DG 互相平行，现沿,,BE CF DG 折叠得到图2所示的几何体，此几何体的底面ABCD 为正方形．（1）证明：,,,A E F G 四点共面；（2）求四棱锥B AEFG -的体积．【答案】解：由题得1FC AA ⊥，1DG BE ==，所以在图2中FC DC ⊥，FC BC ⊥，DC BC C =I ，所以FC ABCD ⊥面，又,,BE CF DG 互相平行，则,,BE CF DG 均与底面垂直．（1）取FC 中点M ，连接,EM DM ，易得EM BC ∥，且EM BC =，AD BC ∥，且AD BC =，所以四边形AEMD 为平行四边形，所以AE DM ∥，易得GF DM ∥，则AE GF ∥， 所以,,,A E F G 四点共面．DAEG F(2)如图，224333B AEFG B AEG B EFG G AEB G EFB V V V V V -----=+=+=+=． DAE G F21．（12分）如图所示，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 为椭圆在第一象限上的点，且2AF ⊥x 轴，（1）若2135AF AF =，求椭圆的离心率； （2）若线段1BF 与x 轴垂直，且满足11BF AF =，证明：直线AB 与椭圆只有一个交点．【答案】解：（1）因为21||3||5AF AF =，又12||||2AF AF a +=，则1253||,||44AF a AF a ==，所以由勾股定理得12||F F a =，即2a c =，所以离心率12e =（2）把x c =代入椭圆22221x y a b +=得2b y a =，即22||b AF a =，所以2(,)bA c a，又12||||2AF AF a +=所以2222212||2b a b a c AF a a a a -+=-==，即221||a c BF a +=，故22(,)a cB c a+-，则直线AB 的斜率2222AB a c b c a a K c a+-==--，则直线AB 方程为2()b cy x c a a-=--，整理得c y x a a =-+，联立22221x y a b c y x a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 得：2222220a x ca x a c -+=，易得2424440c a c a ∆=-=，故直线AB 与椭圆只有一个交点．22．（12分）已知函数()()()211e ,2x f x x a g x x ax =+-=+，其中a 为常数． （1）若2a =时，求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：（1）2,()(1)x a f x x e ==+则，()(2)x f x x e '∴=+，(0)2f '∴=，又因为切点0,1（），所以切线为210x y -+=；(2)令()()()h x f x g x =-，由题得min ()0h x ≥在[0,)x ∈+∞恒成立，21()(1)2x h x x a e x ax =+---，所以()()(1)x h x x a e '=+-①若0a ≥，则[0,)x ∈+∞时()0h x '≥，所以函数()h x 在[0,)+∞上递增，所以min ()(0)1h x h a ==-，则10a -≥，得1a ≥；②若0a <，则当[0,]x a ∈-时()0h x '≤，当[,+x a ∈-∞）时()0h x '≥，所以函数()h x 在[0,]a -上递减，在[,+a -∞）上递增，所以()()min h x h a =-，又因为()(0)10h a h a -<=-<，所以不合题意．综合得1a ≥．。
