北师大版数学七年级下册第五章53简单的轴对称图形2线段的垂直平分线课时练

第2课时线段的垂直平分线1．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC( D )A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点2．(2019·广西梧州中考)如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是( B )A．12 B．13 C．14 D．153．(2019·山东济南槐荫区期末)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于D，E 两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为( B )A．130° B．95° C．90° D．85°4．(2019·广东佛山南海区期中)如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B＝30°，AD＝AC，∠BAC的度数为( C )A．80° B．85° C．90° D．105°5．已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是( B )A．与AB距离相等的点在MN上B．MN上的点到点A和点B的距离相等C．与MN距离相等的点在AB上D．AB垂直平分MN6．(2019·广东广州荔湾区一模)已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝4 cm，则PB＝ 4 cm. 7．(2019·山东枣庄峄城区期末)已知△ABC的三边的垂直平分线的交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为直角三角形．8．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，边AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于D ，E 两点，连接AE ，若AE 平分∠BAC ，求∠C 的度数．解：因为DE 是线段AB 的垂直平分线，∠B ＝30°，所以AE ＝BE ，所以∠BAE ＝∠B ＝30°.因为AE 平分∠BAC ，所以∠EAC ＝∠BAE ＝30°，所以∠BAC ＝60°，所以∠C ＝180°－∠BAC －∠B ＝180°－60°－30°＝90°.9．线段是轴对称图形，它的一条对称轴为 线段的垂直平分线 ．10．(2019·北京昌平区月考)如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB 上由A 向B 行驶，M ，N 分别是位于公路AB 两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M ，N 的距离相等？解：(1)如图，连接MN ；(2)作线段MN 的垂直平分线l ，交直线AB 于点C ，则点C 即为所求．易错点 未正确判断垂直平分线导致出错11．如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，垂足为E ，且BE ＝DE ，下列结论不一定成立的是( B )A ．AB ＝AD B ．AC ＝BD C ．CA 平分∠BCDD ．△BEC ≌△DEC12．(2019·福建厦门思明区月考)如图，以C 为圆心，以大于点C 到AB 距离的长为半径作弧交AB 于点D ，E ，再以D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点F ，作射线CF ，则( B )A．CF平分∠ACB B．CF⊥ABC．CF平分AB D．CF垂直平分AB13．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠BAC＝20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连接AD，则∠CAD＝( B )A．40° B．30° C．20° D．10°14．下列说法正确的有( B )①经过线段中点的直线只有一条②线段上任意一点到垂直平分线两端的距离相等；③线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等；④点P在线段AB外且PA＝PB，过点P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．①② B．③ C．⑤ D．②⑤15．(2019·山东滨州二模)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为48° .16．(2019·广东深圳南山区期末)如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线分别交AB，BC的延长线于点F，E.求证：DF∥AC.证明：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC (角平分线的定义)．因为EF 垂直平分AD ，所以 FD ＝ FA (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)， 所以∠BAD ＝∠ADF ，所以∠DAC ＝∠ADF (等量代换)，所以DF ∥AC ( 内错角相等，两直线平行 )．17．(2019·山东滨州期末)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，作边AB 的垂直平分线交直线BC 于M ，交AB 于点N .(1)如图1，若∠A ＝40°，则∠NMB ＝ 20 度； (2)如图2，若∠A ＝70°，则∠NMB ＝ 35 度； (3)如图3，若∠A ＝120°，则∠NMB ＝ 60 度；(4)由(1)(2)(3)小题，你能发现∠NMB 与∠A 有什么关系？写出猜想，并证明． 解：(4)猜想：∠NMB ＝12∠A .理由：因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠ACB ＝12(180°－∠A )＝90°－12∠A .因为MN ⊥AB ，所以∠MNB ＝90°， 所以∠NMB ＝90°－(90°－12∠A )＝12∠A .18．在△ABC 中，DE 垂直平分AB ，分别交AB ，BC 于点D ，E ，MN 垂直平分AC ，分别交AC ，BC 于点M ，N ，连接AE ，AN .(1)如图1，若∠BAC ＝100°，求∠EAN 的度数； (2)如图2，若∠BAC ＝70°，求∠EAN 的度数；(3)若∠BAC＝α(α≠90°)，请直接写出∠EAN的度数．(用含α的代数式表示)。

5.3.2简单的轴对称图形(二)(基础题)一、填空题1．(1)在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝65°，则这个三角形是等腰三角形．(2)在△ABC中，如果∠A∶∠B∶∠C＝2∶1∶2，那么△ABC是等腰三角形．2．如图，AB＝AC，BD平分∠ABC，且∠C＝2∠A，则图中等腰三角形共有3个．3．(1)如图，在△ABC中，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，以3 cm/s的速度向点A运动，同时，点Q从点A出发，以2 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是4_s．(2)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，则图中等腰三角形共有8个．4．(1)如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝40°，∠CBD＝20°.若AC＝8 cm，则AB＝8_cm．(2)在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是50°或_65°或80°．二、选择题 5．如果一个三角形的一内角的平分线垂直对边，那么这个三角形一定是(A)A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形6．如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD＝(B)A．4 cm B．3 cm C．1.5 cm D．2 cm7．下列说法正确的有(D)①等角对等边；②等腰三角形中与顶角相邻的外角等于底角的2倍；③过等腰三角形一腰上的点作底边的平行线，所截得的小三角形是等腰三角形；④过等腰三角形底边上的点作一腰的平行线，所截得的小三角形是等腰三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，∠DAB＝∠ABD，AC＝24，△BCD的周长为34，则BD的长为(C)A．10B．12C．14D．16三、解答题9．(1)如图，AD平分∠BAC，AB∥CD，求证：△ACD为等腰三角形．证明：∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC.∵AD平分∠BAC，∴∠ADC ＝∠CAD .∴△ACD 为等腰三角形．(2)已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC .①若AD ＝CD ，求证：∠BAD ＝∠BCD ；②若∠A ＝∠C ，求证：AD ＝CD .证明：①连接AC .∵AB ＝BC ，AD ＝CD ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∠DAC ＝∠DCA .∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠BCA ＋∠DCA ，即∠BAD ＝∠BCD .②∵AB ＝AC ，∴∠BAC ＝∠BCA .又∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠BAD －∠BAC ＝∠BCD －∠BCA ，即∠DAC ＝∠DCA .∴AD ＝CD .10．(1)如图，在△ABC 中，AB ＝AC , BD ，CE 是两条角平分线，并且BD ，CE 相交于O .求证：OB ＝OC .证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .又∵BD ，CE 分别平分∠ABC ，∠ACB ，∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠ACB .∴OB ＝OC .(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在线段AB 的反向延长线上，过AC 的中点F 作线段GE 交∠DAC 的平分线于点E ，交BC 于点G ，且AE ∥BC .①求证：△ABC 是等腰三角形；②若AE ＝8，AB ＝10，GC ＝2BG ，求△ABC 的周长．解：①证明：∵AE ∥BC ，∴∠B ＝∠DAE ，∠C ＝∠CAE .∵AE 平分∠DAC ，∴∠DAE ＝∠CAE .∴∠B ＝∠C .∴AB ＝AC .∴△ABC 是等腰三角形．②∵F 是AC 的中点，∴AF ＝CF .∵AE ∥BC ，∴∠C ＝∠FAE .在△AFE 和△CFG 中，{∠FAE ＝∠C ，AF ＝CF ，∠AFE ＝∠CFG ，∴△AFE ≌△CFG (ASA)．∴AE ＝GC ＝8.∵GC ＝2BG ，∴BG ＝4.∴BC ＝12.∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝10＋10＋12＝32.(中档题)一、填空题11．已知在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点，连接AD .若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，则∠C ＝36°或45°．12．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝45°，点M 在线段AB 上，∠GMB ＝12∠A ，BG ⊥MG ，垂足为G ，MG 与BC 相交于点H .若MH ＝10 cm ，则BG ＝5cm.13．在如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是①③④．(填序号)二、解答题14．(1)如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，求证：DE＝BD＋CE；(2)如图2，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，猜想线段DE，DB，EC之间有何数量关系？并证明你的猜想．解：(1)证明：∵BF，CF分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB.∵DE∥BC，∴∠FBC＝∠DFB，∠FCB＝∠EFC.∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF.∴BD＝DF, EF＝CE.∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE.(2)DE＝BD－EC.证明如下：∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠FBC.∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠FBC.∴∠DBF＝∠DFB.∴BD＝DF.∵CF平分∠ACG，∴∠ACF＝∠FCG，∵DF∥BC，∴∠DFC＝∠FCG.∴∠ACF＝∠DFC.∴CE＝EF.∵EF＋DE＝DF，∴DE＝BD－EC.(综合题)15．已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．(1)如图1，若E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；(2)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，且DE⊥DF，则BE＝AF吗？请利用图2说明理由．解：(1)证明：连接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD＝45°.∵D为BC的中点，∴AD＝12BC＝BD，∠FAD＝45°.∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF.在△BDE和△ADF中，{∠EBD＝∠FAD，BD＝AD，∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF(ASA)．∴BE＝AF.(2)BE＝AF.理由如下：连接AD，∵∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠EBD＝∠FAD＝135°.∵∠EDB＋∠BDF＝90°，∠BDF＋∠FDA＝90°，∴∠EDB ＝∠FDA .在△EDB 和△FDA 中，{∠EBD ＝∠FAD ，BD ＝AD ，∠EDB ＝∠FDA ，∴△EDB ≌△FDA (ASA)．∴BE ＝AF .。

北师大版数学七年级下册第五单元5.3简单的轴对称图形课时练习一、选择题（共15小题）1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A.过顶点的直线B.底边上的高C.顶角平分线所在的直线D.腰上的高所在的直线答案：C解析：解答：对称轴是直线，故B错；须过底边中点，故A错，D错，综上，选C.分析：解决本题关键是首先确定对称轴是直线，其次确定过什么特殊点.2.下面四个图形中，不是轴对称图形的是（）A.有一个内角为45度的直角三角形B.有一个内角为60度的等腰三角形C.有一个内角为30度的直角三角形D.两个内角分别为36度和72度的三角形答案：C解析：解答：对于选项A，有一个内角为45度的直角三角形，三个内角分别是45°、90°、45°，是等腰三角形，是轴对称图形；选项B，有一个内角为60°的等腰三角形，三个角度数分别为60°、60°、60°，是等边三角形，是轴对称图形；对于C，有一个内角为30度的直角三角形，三个角度数分别为30°、90°、60°，不是等腰三角形，不是轴对称图形；对于D，两个内角分别为36度和72度的三角形，三个角度数分别为36°、72°、72°，是等腰三角形，是轴对称图形；综上，选C.分析：解决本题关键是判断是不是等腰三角形，是的就是轴对称图形，否则就不是.3.下列4个图形中，不是轴对称图形的是（）A.有2个内角相等的三角形B.有1个内角为30°的直角三角形C.有2个内角分别为30°和120°的三角形D.线段答案：B解析：解答：对于选项A，有2个内角相等的三角形，是等腰三角形，是轴对称图形；选项B，有1个内角为30°的直角三角形，三个角度数分别为30°、90°、60°，不是等腰三角形，故不是轴对称图形，故选B；对于C，有2个内角分别为30°和120°的三角形，三个角度数分别为30°、120°、30°，是等腰三角形，是轴对称图形；对于D，线段是以其垂直平分线为对称轴，另一条对称轴是其所在的直线.分析：解决本题关键是找出各图形的对称轴，找不出来的就是答案.4.下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）A.三角形B.射线C.角D.相交的两条直线答案：A解析：解答：题中给出的四个选项中，射线以其所在直线为对称轴，角以其角平分线所在直线为对称轴，相交的两条直线以其夹角的平分线所在直线为对称轴；故选A分析：解决本题关键是找出各图形的对称轴，找不出来的就是答案.5.下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案：C解析：解答：题中给出的四个选项中，有三项是等腰三角形，而等腰三角形一定是轴对称图形，剩下的C就是答案，故选C.分析：判断三角形是否是轴对称图形，关键就是看这个三角形是不是等腰三角形.6.角、线段、三角形、圆、长方形和正方形中，一定是轴对称图形的有（）A.4个B.5个C.6个D.3个答案：B解析：解答：通过分析可知，角、线段、圆、长方形和正方形都是轴对称图形，故选B.分析：本题关键是对于每一种图形，找到一条对称轴，找不到的就不是轴对称图形.7.等腰三角形、直角三角形、等边三角形、锐角三角形、钝角三角形和等腰直角三角形中，一定是轴对称图形的有（）A.3个B.4个C.5个D.2个答案：A解析：解答：通过分析可以得到等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形都是轴对称图形，故选A.分析：本题关键看是不是等腰三角形，在所有三角形中，只要是等腰三角形，就一定是轴对称图形.8.下列字母中：H、F、A、O、M、W、Y、E，轴对称图形的个数是（）A.5B.4C.6D.7答案：D解析：解答：从第一个字母研究，只要能够找到一条对称轴，令这个字母沿这条对称轴折叠后，两边的部分能够互相重合，就是轴对称图形，可以得出：字母H、A、O、M、W、Y、E这七个字母，属于轴对称图形，故选D.分析：本题关键是找到一条对称轴，解决方法是针对每一字母逐一研究，涉及到的知识点较为单一.9.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A.有两个内角相等的三角形B.有一个内角为45度的直角三角形C.有两个内角分别为50度和80度的三角形D.有两个内角分别为55度和65度的三角形答案：D解析：解答：从A 选项开始研究，有两个内角相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形；B 有一个内角为45度的直角三角形是等腰直角三角形，也是等腰三角形，是轴对称图形；C 有两个内角分别为50度和80度的三角形，第三个角是50度，故是等腰三角形，是轴对称图形；故选D .分析：本题关键是判断三角形是不是等腰三角形，解决方法逐一研究，涉及到的知识点较为单一.10.有两条或两条以上对称轴的轴对称图形是（ ）A .等腰三角形B .角C .等边三角形D .锐角三角形答案：C解析：解答：从A 选项开始研究，等腰三角形只有一条对称轴；角也只有一条对称轴，是角平分线所在的直线；等边三角形有三条对称轴；D 锐角三角形的对称轴数量不确定. ∴选C分析：本题关键是看能否找到该图形的对称轴，解决方法逐一研究，涉及到的知识点较为单一11.如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若AD =5cm ，CD =3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ）A . 5cmB . 4cmC . 3cmD . 2cm答案：C解析：解答：∵点D 到AB 的距离是DE∴DE ⊥AB∵BD 平分∠ABC ，∠C =90°∴把Rt △BDC 沿BD 翻折后，点C 在线段AB 上的点E 处∴DE =CD∵CD =3cm∴DE =3cm选C .分析：本题关键是运用翻折，实现DE 与DC 重合，从而判断DE =DC =3cm .12. △ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上，且BD =BC =AD ，则∠A 等于（ ）DBA .30°B .45°C .36°D .72°答案：C解析：解答：∵有很多等腰三角形，∴得到很多对称的图形∴根据题意将上图构造出来后如下图所示∴∠A =36°故选C分析：本题关键根据题干把图构造出来，然后进行计算就可以了.13.一个等腰三角形的顶角为钝角，则底角a 的范围是（ ）A .0°<a <9B .30°<a <90°C .0°<a <45°D .45°<a <90°答案：C解析：解答：∵等腰三角形顶角为钝角∴顶角大于90°小于180°∴两个底角之和大于0°小于90°∴每个底角大于0°小于45°故选C分析：本题关键先将两个底角的和的范围算出来，然后再将每个底角范围出来，注意是大于小于，不包含等于号.14.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE 、CD 交于点F ，则图中共有等腰三角形( ）A .7个B .8个C .9个D .10个答案：B解析：解答：∵等腰三角形有两个角相等 D A B C AB C E DF∴只要能判断出有两个角相等就行了将原图各角标上后显示如左下：因此，所有三角形都是等腰三角形只要判断出有哪几个三角形就可以了.如右上图，三角形有如下几个：①，②，③；①+②，③+②，①+④，③+④；①+②+③+④；共计8个.故选B分析：本题关键先将每一个三角形的内角算出来，然后再将三角形的个数数出来，注意不重不漏.15.等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A .25°B .40°C .25°或40°D .50°答案：C解析：解答：∵等腰三角形有一个是50°∴有两种可能①是三个角为50°、50°、80°；②是三个角为50°、65°、65°分情况说明如下：①当三个角为50°、50°、80°时，根据图①，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB =40°； ②当三个角为50°、65°、65°，根据图②，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB =25°故选C① ②分析：本题关键根据题意确定有两种不同的情况.A B B二、填空题（共5小题）16.等腰三角形的对称轴是.答案：底边的垂直平分线解析：解答：∵对称轴是直线∴等腰三角形的对称轴也是直线∵等腰三角形有两条边相等∴这两条边是轴对称后能够重合的两条线段∴这两边的非公共点是轴对称点∴等腰三角形的对称轴是其底边的垂直平分线分析：本题关键是把求等腰三角形的对称轴转化成求线段的对称轴.17.等边三角形有条对称轴，矩形有条对称轴.答案：3｜2解析：解答：∵等腰三角形有一条对称轴∴等边三角形可以看成以各个点为顶点的等腰三角形而每一种情况下都分别有一条对称轴∴等边三角形有三条对称轴分析：本题关键是把等边三角形向等腰三角形转化，由此得到有三条对称轴18.不重合的两点的对称轴是.答案：连结这两点所成线段的垂直平分线解析：解答：∵两点之间线段最短∴连结已知不重合两点，得一线段∴原题变成求一条线段的对称轴而线段的对称轴是它的垂直平分线∴不重合的两点的对称轴是连结这两点所成线段的垂直平分线.分析：本题关键是由点想到线段，把原题转化成求线段的对称轴.19.在△ABC中，AB =AC，∠A=80°，则∠B=.答案：50°解析：解答：∵AB=AC∴根据轴对称的性质，将线段BC对折重合后，点A在折痕上∴线段AB、AC关于折痕轴对称设折痕与BC交点为D则△ABD、△ACD关于直线AD轴对称∴∠B=∠C =(180°－∠A)÷2=（180°－80°)÷2=50°分析：本题关键是利用轴对称性质，得到∠B =∠C，再利用三角形内角各可以求得.20.已知M 、N 是线段AB 的垂直平分线上任意两点，则∠MAN 和∠MBN 之间关系是 . 答案：∠MAN=∠MBN解析：解答：∵原题当中没有说明点M 、N 在线段AB 的位置，∴可能有以下四种情况：①如图①，点M 、N 在线段AB 两侧时∵M 、N 是线段AB 的垂直平分线上任意两点∴点A 、B 两点关于直线MN 轴对称∴线段MA 、MB 两点关于直线MN 轴对称同理线段NA 、NB 两点关于直线MN 轴对称∴△MAN 与△MBN 关于直线MN 轴对称∴∠MAN =∠MBN②如图①，当点M 、N 在线段AB 同侧时，按照①中逻辑推理，同样可以得到∠MAN =∠MBN ；③如图③，当点N 在线段AB 上时，同理可得∠MAN =∠MBN ；④如图④，当点M 在线段AB 上时，同理可得∠MAN =∠MBN .综上，一定有∠MAN =∠MBN分析：本题关键是考虑到不论点M 、N 与线段AB 的位置如何，求得∠MAN =∠MBN 原理相同，这是关键点.三、解答题（共5小题）21.如图1，在一条河同一岸边有A 和B 两个村庄，要在河边修建码头M ，使M 到A 和B 的距离之和最短，试确定M 的位置；答案：所求点如下图所示 ①AB ②A ③A ④A B lAB解答：∵两点之间线段最短∴需要能将AM 、BM 两边转化到一条直线上∴用轴对称可以办到求点M 的位置的具体步骤如下：①作点A 关于直线BC 的轴对称点A ’②连结A ’B 交BC 于点M③连结AM则点M 就是所求作的点，能够使M 到A 和B 的距离之和最短.解析：分析：本题关键是要分析出如何求点M 的方法，这是关键点.22.如图所示，P 和Q 为△ABC 边AB 与AC 上两点，在BC 上求作一点M ，使△PQM 的周长最小.答案：所求点如下图所示解答：∵△PQM 的三条边中PQ 已经确定∴只需要另外两边之和最短∵两点之间线段最短BB∴需要能将其它两边转化到一条直线上∴用轴对称可以办到求点M的位置的具体步骤如下：①作点P关于直线BC的轴对称点P’②连结P’Q交BC于点M③连结PM则点M就是所求作的点，能够使PQM的周长最小.解析：分析：本题关键是要分析出如何求点M的方法，这是关键点.23.圆、长方形、正方形都是轴对称图形，说出他们分别有几条对称轴.答案：无数条｜2条｜4条解答：∵对于圆来说，过圆心的任意一条直线，都能够将这个圆分成能够互相重合的两部分∴过圆心的直线，都是圆的对称轴∴圆有无数条对称轴∵对于长方形来说，过其中心平行于边的直线，都能够把它分成能够互相重合的两部分∴长方形有2条对称轴∵对于正方形来说，属于长方形的对称轴，对其也成立；∴正方形首先有2条对称轴又∵正方形的每一条对角线所在的直线，也能够把这个正方形分成能够互相重合的两部分∴正方形另外还有2条对称轴综上，正方形有4条对称轴解析：分析：本题关键是要分析出每一种图形对称轴的由来，这是关键点.24.已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，求它的周长.答案：22解答：∵等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，∴等腰三角形的三边长为4，4，9或4，9，9；当三边长为4，4，9时，4+4＜9不能构成三角形，舍去；当三边长为4，9，9时，能够构成三角形，此时，周长为4+9+9 =22答：它的周长是22.解析：分析：本题关键是要考虑到是否能够构成三角形，这是易错点.25.如图，长方形ABCD中，AB=2，点E在BC上并且AE=EC，若将矩形纸片沿AE折叠，使点B恰好落在AC上，则AC的长为多少？答案：4解答：如图，设点B 落在AC 上后，为点F .则有△AFE ≌△ABE∴∠AFE =∠B =90° AF =AB =2∴FE ⊥AC∵AE =EC∴CF =AF =2∴AC =CF +AF =4答：AC 的长为4.解析：分析：本题考察轴对称的性质，关键是把握住对称一定全等，全等三角形的对应线段相等.AB。

线段的垂直平分线典型习题【基础知识精讲】一条直线经过线段中点且与该线段垂直，则称该直线为线段的垂直平分线(又称中垂线).线段的垂直平分线是一条直线，它是到线段两端距离相等的点的集合.关于这一点需从两个方面去说明，1.定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，2.它的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段中垂线上.关于1的证明，利用了全等三角形，而有关2的证明则利用等腰三角形的“三线合一”的性质.【重点难点解析】本节重点难点在于对“垂直平分线上的点是到线段两端距离相等的点的集合”这句话的两层含义的理解与掌握上.通过本节学习，要能很好的用中垂线解决问题.例1已知△ABC中，AB，BＣ，ＣＡ的中垂线分别为l1,l2,l3（图3.14-1）.求证l1,l2,l3三线共点.图3.14-1分析可考虑先设l1,l2,交于点O，再设法证明O在l3上，从而达到证l1,l2,l3共点的目的.证设l1,l2交于O，连OA，OB，OC.∵l1为AB中垂线∴OA=OB,同理OB=OC ∴OA=OC ∴O在AC中垂线上.即O在l3上，∴，l1l2l3共点.注：该点叫三角形的“外心”，它与三条中线的交点重心，三条高的交点垂心及内角平分线交点内心称为“三角形的四心”例2 若三角形三边的中垂线的交点在某一边上，则该三角形一定是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形图3.14-2分析 如图3,14-2 P 为中垂线交点，且在AB 上，连PC ，则PA=PB=PC.∴∠1=∠A ∠2=∠B. ∠1+∠2=∠A+∠B=2180 =90° ∴∠ACB=90° 故选C例3 如图3.14-3,△ABC 中∠A=120° AB=AC,AB 的中垂线交AB 于D ，BC于F. 则BC BE = .图3.14-3分析 ∠A=120° AB=AC ∴∠B=∠C=30°又DE 为中垂线AE ∴EA=EB ∠EBA=∠EAB=30°∠EAC=90° ∠C=30°∴AE=BE=21EC ∴BC BE =31 例4 如图3.14-4，AD 为△ABC 的角平分线，AD 的中垂线交AB 于E ，BC 延长线于F ，求证∠CAF=∠B.图3.14-4分析本题从结论入手较困难，应从EF为AD中垂线这一条件入手，得到FA=FD，即△ADF为等腰三角形，∴∠2+∠3=∠4,而∠4为△ABD的外角，∴∠4=∠B+∠1,再由已知∠1=∠2可得结论∠3=∠B.证∵EF为AD中垂线∴AF=DF ∴∠2+∠3=∠4，又∠4=∠1+∠B ∴∠2+∠3=∠1+∠B ∵∠1=∠2∴∠3=∠B 即∠CAF=∠B.【难题巧解点拨】例1 △A BC中，∠A=90°,AB=AC,D、E、F分别在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD为EF中垂线，求证BF=2AD(图3.14-5).图3.14-5分析由已知CD为EF的中垂线，可知△CEF为等腰三角形，∴∠1=∠2.D 为∠ACB平分线上一点，可利用角平分线性质，作D⊥BC于G. ∠A=90°∴DA⊥AC ∴AD=DG,将线段AD转移到线段DG上，又由于∠B=45°∴△BDG为等腰直角三角形∴DG=BG下面只需证明DG=GF，即可.证DG=GF，可考虑证△DGF≌△ADE.证连DE，DF，作DG⊥BC于G.∵DC为EF的中垂线∴DE=DF,CE=CF.DC⊥EF ∴∠1=∠2.又∠A=90°∴DA⊥AC，DG⊥BC ∴DA=DG.又DG=DF ∴Rt △ADE ≌Rt △GDF （HL ） ∴GF=AE又AE=AD ∴AD=DG=GF. ∠A=90° AB=AC ∴∠B=45°在△BDG 中∠B=45° ∠DGB=90° ∴∠BDG=45°∴DG=BG ∴DG=BG=GF ∴DG=21BF AD=21BF. 例2 如图3.14-6，AD 为△ABC 的高，∠B=2∠C ，BD=5，BC=20，求AB.图3.14-6分析 本题巧妙地利用中垂线将线段、角进行转移，考虑AD ⊥BC,BD ＜DC.(BD=5,DC=15)，在DC 上取DE=BD ，利用中垂线将求AB 长转化为求AE 的长，再利用∠B=∠1及已知∠B=2∠C ，将求AE 的长巧妙地转移到求EC 的长.解 ∵BD=5 BC=20在DC 上取DE=BD=5，连AE ，∵AD ⊥BE ，BD=DE ∴AD 为BE 中垂线 ∴AB=AE∠B=∠1=∠2+∠C=2∠C ∴∠C=∠2 AE=EC ∴AB=EC又∵BD=DE=5 BC=20 ∴EC=10 ∴AB=10【同步达纲练习】一、判断(4分×6=24分)( )1.三角形两边的垂直平分线交点在三角形一边上，则该三角形为等边三角形.( )2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内.( )3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点.( )4.四边形ABCD 中共有一点P ，使PA=PB=PC=PD ，则∠A+∠C=180°.( )5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点.( )6.和线段两端相等的点不一定在线段上.1.到三角形三个顶点距离相等的是( )A.三条中线交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条中垂线的交点2.线段AB 外有两点C ，D(在AB 同侧)使CA=CB ，DA=DB ，∠ADB=80°, ∠CAD=10°,则∠ACB=( )A.90°B.100°C.110°D.120°3.BD 为CE 的中垂线，A 在CB 延长线上，∠C=34°,则∠ABE=( )A.17°B.34°C.68°D.136°4.O 为△ABC 三边中垂线的交点，则O 称为△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为( )A ．钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形图3.14-76.△ABC 中，∠ACB=90°, ∠A=30°AC 的中垂线交AC 于E.交AB 于D ，(图3.14-7)则图中60°的角共有( )A ．6个 B.5个 C.4个 D3个三、填空(5分×6=30分)1.△ABC 中，AB=AC ，P 为形内一点，PB=PC ，则P 在 的中垂线上，P 还在∠ 的平分线上.2.△ABC 中，AB=AC=14，腰AB 的中垂线交AC 于D ，△BCD 周长为4cm,则BC= .3.△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°,AB 中垂线交BC 于E ，则BCBE = . 4.正△ABC 内一点O 到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC= .5.△ ABC 的边AC 、BC 的中垂线交于AB 上一点O ，且OC=BC ，则∠A= .6.若PA=PB ，DA=DB ，则PD 是AB 的 .1.△ABC 中，∠C=90°,AB 的中垂线交AB 于D ，AC 于E.且∠EBC=40°,求∠A 及∠BED 的度数.2.已知O 为等边三角形三边中线交点，求证BO 与CO 的中垂线必三等分BC.【素质优化训练】1.AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AC,交AB 于E.过E 作AD 的垂线交BC 延长线于F(图3.14-8),求证21（∠BAC+∠AFC ）=90°-∠B.图3.14-82.如图3.14-9，△ABC中，AB=AC，AE∥BC,D为直线AE上任一点.求证DB+DC＞2AB.图3.14-9参考答案:【同步达纲练习】一、×××√×√二、D B C A C B三、1.BC,BAC 2.10 3.1∶3 4.120° 5.30° 6.中垂线四、1. ∠C=180°, ∠EBC=40°∴∠BEC=50°又AE=BE ∴∠A=25°∠DEB=65°2.提示：设CB中垂线交BC于D，OC中垂线交BC于E，连OD，OE.∴OD=BD OE=EC. 再证∠BOC=120°∠BOD=COE=30°∴∠DOE=60°∠ODE=60°∴OD=OE=DE得BD=DE=EC.【素质优化训练】1.AD为角平分线，DE∥AC ∴∠EAD=∠EDA EF为中垂线∴∠ADF=∠ADF=∠B+∠BAD ∴∠CAF=∠B ∠BAC+∠CAF+∠AFC+∠B=180°∴21(∠BAC+∠AFC)=90°-∠B. 2.延长BA 至F ，使BA=AF ，连FD ，AD ∥BC,AB=AC ∠FAD=∠ABC=∠ACB=∠DAC.AF=AC △FAD ≌△CAD FD=DC ，FD+DB ＞FB∴DB+DC ＞2AB.。

第2课时线段的垂直平分线1．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC( D )A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点2．(2022·广西梧州中考)如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，那么△BEC的周长是( B )A．12 B．13 C．14 D．153．(2022·山东济南槐荫区期末)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于D，E 两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，那么∠BAC的度数为( B )A．130° B．95° C．90° D．85°4．(2022·广东佛山南海区期中)如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B＝30°，AD＝AC，∠BAC的度数为( C )A．80° B．85° C．90° D．105°5．MN是线段AB的垂直平分线，以下说法正确的选项是( B )A．与AB距离相等的点在MN上B．MN上的点到点A和点B的距离相等C．与MN距离相等的点在AB上D．AB垂直平分MN6．(2022·广东广州荔湾区一模)点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝4 cm，那么PB＝ 4 cm. 7．(2022·山东枣庄峄城区期末)△ABC的三边的垂直平分线的交点在△ABC的边上，那么△ABC的形状为直角三角形．8．如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于D，E两点，连接AE，假设AE 平分∠BAC，求∠C的度数．解：因为DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，所以AE＝BE，所以∠BAE＝∠B＝30°.因为AE平分∠BAC，所以∠EAC＝∠BAE＝30°，所以∠BAC＝60°，所以∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－60°－30°＝90°.9．线段是轴对称图形，它的一条对称轴为线段的垂直平分线．10．(2022·北京昌平区月考)如下图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等？解：(1)如图，连接MN；(2)作线段MN的垂直平分线l，交直线AB于点C，那么点C即为所求．易错点未正确判断垂直平分线导致出错11．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，且BE＝DE，以下结论不一定成立的是( B ) A．AB＝AD B．AC＝BDC．CA平分∠BCD D．△BEC≌△DEC12．(2022·福建厦门思明区月考)如图，以C为圆心，以大于点C到AB距离的长为半径作弧交AB于点D ，E ，再以D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点F ，作射线CF ，那么( B )A ．CF 平分∠ACBB ．CF ⊥ABC ．CF 平分ABD ．CF 垂直平分AB 13．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝50°，∠BAC ＝20°，D 为线段AB 的垂直平分线与直线BC 的交点，连接AD ，那么∠CAD ＝( B )A ．40° B．30° C．20° D．10°14．以下说法正确的有( B )①经过线段中点的直线只有一条②线段上任意一点到垂直平分线两端的距离相等；③线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等；④点P 在线段AB 外且PA ＝PB ，过点P 作直线MN ，那么MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A ．①② B．③ C．⑤ D．②⑤15．(2022·山东滨州二模)如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF .假设∠A ＝60°，∠ABD ＝24°，那么∠ACF 的度数为 48° .16．(2022·广东深圳南山区期末)如下图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线分别交AB ，BC 的延长线于点F ，E .求证：DF ∥AC .证明：因为AD 平分∠BAC ，所以∠ BAD ＝∠ DAC (角平分线的定义)．因为EF 垂直平分AD ，所以 FD ＝ FA (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)，所以∠BAD ＝∠ADF ，所以∠DAC ＝∠ADF (等量代换)，所以DF ∥AC ( 内错角相等，两直线平行 )．17．(2022·山东滨州期末)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，作边AB 的垂直平分线交直线BC 于M ，交AB 于点N .(1)如图1，假设∠A ＝40°，那么∠NMB ＝ 20 度；(2)如图2，假设∠A ＝70°，那么∠NMB ＝ 35 度；(3)如图3，假设∠A ＝120°，那么∠NMB ＝ 60 度；(4)由(1)(2)(3)小题，你能发现∠NMB 与∠A 有什么关系？写出猜测，并证明．解：(4)猜测：∠NMB ＝12∠A . 理由：因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠ACB ＝12(180°－∠A )＝90°－12∠A .。

5.3简单的轴对称图形（2）(线段)一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）1．关于线段的垂直平分线有以下说法：① 一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；② 线段的垂直平分线是一条直线； ③ 一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴； 其中正确的说法有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个2．已知△ABC 的周长是m ，BC=m -2AB ，则下列直线一定为△ABC 的对称轴的是( ) A ．△ABC 的边AB 的垂直平分线 B ．∠ACB 的平分线所在的直线C ．△ABC 的边BC 上的中线所在的直线D ．△ABC 的边AC 上的高所在的直线 3．如图，在△ABC 中，DE 是边AB 的垂直平分线，BC=8cm ，AC=5cm ，则△ADC 的周长为（ ）A ．14cmB ．13cmC ．11cmD ．9cm4．如图，在四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ，下列结论不一定成立的是( ) A ．AB=AD B ．CA 平分∠BCD C ．AB=BD D ．△BEC ≌△DEC5．已知△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是70cm 和48cm ，则△ABC 的腰和底边长分别为（ ）A ．24cm 和22cmB ．26cm 和18cmC ．22cm 和26cmD ．23cm 和24cm6．如图，MP 、NQ 分别垂直平分AB 、AC ，且BC=6 cm ，则△APQ 的周长为( ) A ．12 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．无法确定7．如图，△ABC 中，∠BAC=100°，DF ，EG 分别是AB ，AC 的垂直平分线，则∠DAE 等于（ ）A ．50°B ．45°C ．30°D ．20°8．如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，MN 是AC 的垂直平分线，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为( ) A ．65° B ．60° C ．55° D ．45°AE CBD第4题图A E CBD第3题图二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）9．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=6cm ，则线段PB 的长度为__________；10．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=6，BC=4， AB 边的垂直平分线交AC 于点D ，则△BDC 的周长是_________； 11．如图，已知线段AB 、BC 的垂直平分线l 1、l 2交于点D ，则线段AD ，CD 的大小关系是：_________；12．如图，已知AB -AC=2cm ，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，如果△ACD 的周长为14 cm ，则AB=________，AC=_________； 13．如图，△ABC 中，D 、E 在AB 上，且D 、E 分别是AC 、BC 的垂直平分线上一点；若△CDE 的周长为4，则AB 的长为___________；若∠ACB=100°，则∠DCE=_________度；三．解答题：（写出必要的说明过程，解答步骤）14．在△ABC 中，AB=AC ，BC=12，∠B=30°，AB 的垂直平分线DE 交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线MN 交BC 于点N 。

第五章　生活中的轴对称3　简单的轴对称图形第二课时　线段的垂直平分线基础过关全练知识点3　线段的垂直平分线1.下列说法中,不正确的是( )A.线段是轴对称图形B.将线段AB对折,使A,B两点重合,则折痕所在的直线是线段AB的一条对称轴C.线段有无数条对称轴D.线段的垂直平分线是它的一条对称轴2.(2023吉林长春期末)如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=10,BC=6,线段AB的垂直平分线交AC于E,连接BE,则△BEC的周长等于( )A.26B.20C.16D.183.如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=6,则线段PB的长度为 .4.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E两点,若CD=7,△ABC的周长是39,求△ABE的周长.5.【转化思想】如图,在△ABC中,EF是AC的垂直平分线,AD⊥BC,D 为BE的中点.(1)求证:AB=CE;(2)若∠C=32°,求∠BAC的度数.知识点4　用尺规作线段的垂直平分线6.(2023广东深圳实验学校期末)如图所示,已知△ABC(AC<AB<BC),用尺规在线段BC上确定一点P,使得PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是( )7.【新考法】如图,已知线段AB,分别以点A,B为圆心,5为半径作弧,相交于点C,D.连接CD,点E在CD上,连接CA,CB,EA,EB.若△ABC与△ABE的周长之差为4,则AE的长为 .8.如图,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄,当汽车行驶到哪个位置时,与村庄M,N的距离相等?(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,不要求证明)能力提升全练9.(2023河南漯河第二实验中学期末,5,★★☆)如图,∠B=20°,∠C=30°,若MP和FN分别垂直平分AB和AC,则∠PAF等于( )A.100°B.90°C.80°D.70°10.(2023四川凉山州中考,10,★★☆)如图,在等腰△ABC中,∠A=40°,AB的长为半径画弧,两弧分别交于分别以点A、点B为圆心,以大于12点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,则∠DBC的度数是( )A.20°B.30°C.40°D.50°11.(2023四川成都树德实验中学期中,13,★★☆)如图,已知△ABC的周AC的长为半径画弧,长为14,AC=5,分别以点A和点C为圆心,以大于12两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则△BAD的周长为 .12.(2023陕西西安期末,23,★★★)如图,△ABC中,AD平分∠BAE,AD ⊥BE,EF垂直平分AC,交AC于点F.(1)若∠BAE=48°,求∠C的度数;(2)若△ABC的周长为26,AF=6,求DC的长.13.(2023甘肃张掖期末,25,★★★)如图,在△ABC中,点E是BC边上的一点,连接AE,BD垂直平分AE,垂足为F,交AC于点D,连接DE. (1)若△ABC的周长为19,△DEC的周长为7,求AB的长;(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,求∠CDE的度数.素养探究全练14.【应用意识】如图所示,A,B,C三点表示三个村庄,为了解决村民子女就近入学问题,现计划新建一所小学,并使学校到三个村庄的距离相等.请你在图中确定学校的位置.(作图并写出步骤)答案全解全析基础过关全练1.C　线段只有两条对称轴,故C中说法不正确,故选C.2.C　∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴△BEC的周长=BE+CE+BC=AC+BC,∵AC=10,BC=6,∴△BEC的周长=10+6=16.故选C.3.　答案　6解析　因为点P在线段AB的垂直平分线上,所以PB=PA=6,故答案为6.4.　解析　∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E两点,∴AE=CE,AC=2DC=14,∴△ABE的周长=BA+BE+AE=BA+BE+EC=BA+BC,∵△ABC的周长是39,∴AB+BC=39-AC=39-14=25,∴△ABE的周长为25.5.　解析　(1)如图,连接AE.∵AD⊥BC,且D为BE的中点,∴AD垂直平分BE,∴AB=AE.∵EF垂直平分AC,∴AE=EC,∴AB=CE.(2)∵AE=EC,∠C=32°,∴∠CAE=∠C=32°,∴∠AEC=180°-32°-32°=116°,∴∠AEB=64°.∵AB=AE,∴∠B=∠AEB=64°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=84°.6.A　∵PA+PC=BC,点P在线段BC上,∴PA=BC-PC=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上,结合选项可知,选A.7.　答案　3解析　由作图可知,直线CD是线段AB的垂直平分线,∴CA=CB=5,EA=EB,∵△ABC与△ABE的周长之差为4,∴(CA+CB+AB)-(EA+EB+AB)=4,∴2CA-2AE=4,∴AC-AE=2,∵AC=5,∴AE=3.8.　解析　如图,C点即为所求.能力提升全练9.C　∵∠B=20°,∠C=30°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=130°,∵MP和FN分别垂直平分AB和AC,∴PB=PA,FA=FC,∴∠BAP=∠B=20°,∠CAF=∠C=30°,∴∠PAF=∠BAC-∠BAP-∠CAF=80°.10.B　∵在等腰△ABC中,∠A=40°,AB=AC,=70°,∴∠ABC=∠ACB=180°-∠A2由作图方法可知,MN是线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=40°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°,故选B.11.　答案　9解析　由作图知,MN是线段AC的垂直平分线,∴DA=DC,∵△ABC的周长为14,AC=5,∴AB+BC=9,则△BAD的周长=BA+BD+DA=BA+BD+DC=BA+BC=9,故答案为9.12.　解析　(1)∵AD平分∠BAE,∴∠BAD=∠EAD,∵AD⊥BE,∴∠ADB=∠ADE=90°,∵AD=AD,∴△ABD≌△AED(ASA),∴∠ABE=∠AEB=12×(180°-48°)=66°,∵EF垂直平分AC,∴AE=EC,∴∠C=∠CAE,∵∠C+∠CAE=180°-∠AEC=∠AEB=66°,∴2∠C=66°,∴∠C=33°.(2)∵△ABD≌△AED,∴AB=AE,BD=DE,∵EF垂直平分AC,∴AE=EC,AF=FC=6,∴AB=EC,AC=AF+FC=12,∵△ABC的周长为26,∴AB+BC+AC=26,∴AB+BC=26-12=14,即AB+BD+DE+EC=14,∴2(DE+EC)=14,∴DC=DE+EC=7.13.　解析　(1)∵BD垂直平分AE,∴AB=BE,AD=DE,∵△ABC的周长为19,△DEC的周长为7,∴AB+BE+EC+CD+AD=19,CD+EC+DE=CD+CE+AD=7,∴AB+BE=19-7=12,∴AB=6.(2)∵∠ABC=30°,∠C=45°,∴∠BAC=180°-30°-45°=105°,在△BAD和△BED中,BA=BE, BD=BD, DA=DE,∴△BAD≌△BED(SSS),∴∠BED=∠BAC=105°,∵∠BED=180°-∠CED,∠CED=180°-(∠CDE+∠C),∴∠BED=∠CDE+∠C,∴∠CDE=∠BED-∠C=105°-45°=60°.素养探究全练14.　解析　如图所示.步骤:①连接AB,BC;②分别作AB,BC的垂直平分线,交于点P,则点P就是学校的位置.(作△ABC中任意两边的垂直平分线即可)。