直线中的对称问题

与直线有关的对称问题山东 杨道叶一、知识精析1．关于直线对称的点若两点111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称，则线段12PP的中点在对称轴l 上，而且连结1P 、2P 的直线垂直于对称轴l ，由方程组 12121212022x x y y A B C y y Bx x A⎧++⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨-⎪=⎪-⎩可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标222(,)P x y （其中120,A x x ≠≠）。

2．关于直线对称的两条直线此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决。

若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l 上，然后再求出1l 上任一个已知点1P 关于对称轴l 对称的点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l ；若已知直线1l 与对称轴l 平行，则与1l 对称的直线和1l 到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出1l 的对称直线。

3．点关于特殊直线对称点的坐标例1 求与点(3,5)P 关于直线l ：320x y -+=对称的点/P 的坐标。

分析：设点/P 的坐标为00(,)x y ，则直线l 为/PP 的垂直平分线，所以/PP l ⊥，/PP 的中点M 在l 上，列出关于0x ，0y 的方程组，求解即可。

解析：设/00(,)P x y ，则/0053PP y k x -=-，/PP 的中点0035,22x y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭。

∴0000511333532022y x x y -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪-⨯+=⎪⎩，解得0051x y =⎧⎨=-⎩， ∴点/P 的坐标为()5,1-。

评注：另解为：先求出过点(3,5)P 与l 垂直的直线/PP 的方程，解/PP 与直线l 的方程组成的方程组，求得交点M 的坐标，再运用中点坐标公式求出点/P 的坐标。

例2 求直线a ：240x y +-=关于直线l ：3410x y +-=对称的直线b 的方程。

浅论直线中的对称问题对称问题是高中数学中的基本问题之一,也是考试的热点和难点之一。

遗憾的是教材中仅有少量求直线对称的例题、习题,而求直线中的对称问题的方法也很少。

鉴于此,本文结合自己的教学实践,谈一下求直线中的对称问题的方法,权作抛砖引玉吧。

直线中的对称问题可以分为四类,即点关点对称、直线关于点对称、点关于直线对称和直线关于直线对称。

下面将依次将这四种对称问题的解题方法总结如下。

1 点关于点对称此类问题可用中点坐标公式求解。

解题方法:已知点A(x1,y1),B(x0,y0)求A 点关于点B的对称点C解:令C点坐标(x,y),则可由中点坐标公式得x=2x0-x1,y=2y0-y1所以点C(2x0-x1,2y0-y1)例1:求点A(2,2)关于点B(-2,-3)的对称点C,答案:(-6,-8)2 直线关于点对称此类问题可用距离公式或点关于点对称知识求解。

解题方法:已知直线l1:Ax+By+C=0,点P(x0,y0),求直线l1关于点p的对称直线l2的直线方程。

方法一:解:令所求对称直线l2的方程为:Ax+By+C1=0(C1≠C),则由两条平行线之间的距离公式可得直线l1,l2间距离d1=■,又由点P(x0,y0)可得点P到l1的距离d2=■,由对称知识知d1=2d2即■=2■,∴C-C1=2Ax0+By0+C0(去掉绝对值符号,根据对称知识排除一个C1值)例2:求直线2x+3y-6=0关于点A(1,-1)对称的直线方程,答案:2x+3y+8=0例3:求直线l:x-y-2=0关于点B(1,-4)对称的直线方程,答案:x-y-8=0方法二:解:在所求对称直线l2上任取一点Q(x,y),则点Q关于点P的对称点A(x1,y1),其中x1=2x0-x,y1=2y0-y,由对称知识知点A必在直线l1上,即满足A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0即所求对称直线方程为:-Ax-By+2Ax0+2By0+C=0 例4:求直线l:y=■x-1关于点A(2,3)对称的直线方程,答案:x-2y+10=0例5:求直线y=x+1关于原点对称的直线方程,答案:x-y-1=03 点关于直线对称此类问题可用直线垂直及中点公式求得。

直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。

直线中的对称问题一、点关于点的对称问题1、实质：该点是两对称点连线段的中点2、方法：利用中点坐标公式平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a --，平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x P 对称二、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A 对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 三、点关于直线的对称问题1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点()00,x y 关于直线0++=Ax By C 的对称点(),x y ''，则'0'0''01022⎧-⎛⎫-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩y y A x x B x x y y A B c （2）当直线斜率不存在时：点()00,x y 关于m x =的对称点为()002,-m x y 2、常见的点关于直线的对称点（1）点()00,x y 关于x 轴的对称点为()00,x y -； （2）点()00,x y 关于y 轴的对称点为()00,x y -； （3）点()00,x y 关于直线y x =的对称点为()00,y x ； （4）点()00,x y 关于直线y x =-的对称点为()00,y x --；（5）点()00,x y 关于直线x m =的对称点为()002,m x y -； （6）点()00,x y 关于直线y n =的对称点为()00,2x n y -；（7）点()00,x y 关于直线0x y m -+=的对称点为()00,,y m x m -+； （8）点()00,x y 关于直线0x y m +-=的对称点为()00,,y m x m ---+； 四、直线关于直线的对称问题1、当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，求出关于直线对称的点22()Q x y '， 第三步：利用两点式写出3l 方程2、当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行.两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。

灵活解决直线中的两类对称问题平面解析几何所研究的图形许多是对称图形,于是相关的对称问题自然成为高考中的考点之一。

由于这类问题涉及的知识面广,综合性强,因而不少同学因解题方法选择不当,而导致解题过程繁琐、运算量大,以致半途而废。

本文仅就有关直线中的对称问题作以下简述。

一、关于点对称问题1.点关于点对称的问题例1: 求点a(3,5)关于点p(-2,1)的对称点。

解:设点a关于点p的对称点为b(x,y),则∴ b(-7,-3)。

反思:其理论根据就是用中点坐标公式。

结论:点a(x,y)关于点p(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y)。

2.直线关于点对称的问题例2:求直线3x-y-4=0 关于点p(2,-1)的对称直线l的方程。

解法(一)定义法设l上任一点(x,y),其关于p(2,-1)的对称点为a(4-x,-2-y), 又∵点a在直线3x-y-4=0上,∴ 3(4-x)-(-2-y)-4=0,即直线l的方程为 3x-y-10=0。

反思:解法(一)体现了转化思想。

解法(二)待定系数法设直线l的方程为3x-y-m=0,∵点p(2,-1)到两条直线的距离相等,∴ ,∴ m=10 或4(舍去)。

∴直线l的方程为 3x-y-10=0。

反思:解法(二)应用了点到直线的距离公式,体现了方程思想。

解法(三)待定系数法设所求直线l的方程为3x-y-m=0,在直线3x-y-4=0上取一特殊点a(0,-4),则a点关于p点的对称点a(4,2)在直线l上,∴ 4×3-2-m=0,∴ m=10,∴直线l的方程为3x-y-10=0。

反思:解法(三)体现了转化思想和方程思想。

解法(四)直接法在直线3x-y-4=0上取一特殊点a(0,-4),则a点关于p点的对称点a(4,2)在直线l上,直线l的斜率为3,∴ y-2=3(x-4),∴直线l的方程为3x-y-10=0。

反思:解法(四)应用了点斜式体现了转化思想。

解法(五)直接法在直线3x-y-4=0上取两个特殊点a(0,-4),b(2,2),则a、b关于p的对称点为(4,2)和(2,-4),由两点式可得,∴直线l的方程为3x-y-10=0。

直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：1、定点问题：例1、不论m 为何实数，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0 恒过定点_______. 练习： 直线)(01)2()13(R a y a x a ∈=----恒过定点__________.例2、（1）若直线l ：y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是()2若直线1l ：2y kx k =++与2l ：24y x =-+的交点在第一象限，则k 的取值范围为 .2、对称问题例3、（1）求点P(-1,3)关于直线032=+-y x 的对称点坐标；练习：求点A(1,2)关于直线07:=-+y x l 的对称点A ’.变式练习：（1）点(a ，b)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点坐标是（2）点），（32-关于直线1+=x y 的对称点的坐标为例4：（1）求直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点A(1,1)对称的直线方程；变式练习:求直线02:=+-y x l 关于点P(1,2)的对称直线'l .例5:求直线01:1=+-y x l 关于直线052:=-+y x l 的对称直线'1l .光线反射问题例6: 光线沿直线l 1: x –2y +5=0的方向入射到直线l : 3x –2y +7=0上后反射出去，求反射光线l 2所在的直线方程.例7.光线从点A(-2,1)出发,先经x 轴再经y 轴反射后到达点B(-1,2),求光线从点A 到点B 所经过的路程. 拓展提升例8、（1）已知)0,2(),2,1(-B A ，在直线1-=x y 上找一点P ，使||||PB PA +最小，并求最小值为 ； （2）已知)2,4(),2,1(-B A ，在直线1-=x y 上找一点P ，使||||||PB PA -最大，并求最大值为 ； 1、设a 、b 、c 分别为 ABC 中∠A 、∠B 、∠C 对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系为（ ） （A ）平行； （B ）重合；（C ）垂直； （D ）相交但不垂直2、已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则两条直线 :111=+y b x a ，122=+y b x a 的位置关系是（ ）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是平行 （B)无论k ，21,P P 如何，总是相交 （C ）存在k ，21,P P ，使之平行 （D ）存在k ，21,P P ，使之重合 一、填选题1、A （x,y ）关于B(a,b)的对称点C 的坐标是______________2、A （x,y ）关于直线x y -=的对称点的坐标是______________3、（1）求点)2,1(A 关于直线02=++y x 的对称点的坐标是 （2）求)4,3(A 关于直线32+=x y 的对称点的坐标是4、一张坐标纸，对折后，点A(0，4)与点B （8，0）重叠，若点C(6，8)与D （m ，n ）重叠，则m+n= ；5、求直线43+=x y 关于点A （1，2）对称的直线方程 ；6、求直线0543=-+y x 关于直线2230x y +-=对称的直线方程 ；7、已知直线130kx y k -+-=，当k 变化时所得的直线都经过的定点为8、不论m 取何实数，直线()()1215m x m y m -+-=-总通过一定点 9．直线40ax y +-=和直线20x y --=相交于第一象限，则实数a 的取值范围是 10、已知方程1x kx =+有一正根而没有负根，则实数k 的范围为11、在A B C ∆中，)1,2(A ，点B ，C 分别在x y =及x 轴上游动，则ABC ∆的周长的最小值为 . 二、解答题12、一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q . （1）求入射光线的方程；（2）求这条光线从点P 到点Q 的长度.13、在ABC ∆中，)4,1(--A ，C B ∠∠,的平分线方程分别是01=+y 和01=++y x ，求直线BC 的方程；14.ABC ∆中,BC 边上的高所在直线的方程为A y x ∠=+-,012的平分线所在直线的方程为.0=y 若点B 的坐标为(1,2),求点A 和点C 的坐标.15、已知直线 ：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0 （1）求证：不论m 为何实数，直线 恒过定点M ；（2）过定点M 作一直线 1，使 1夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求 1的方程。

直线关于直线对称问题的常用方法
与技巧资料
直线关于直线对称是指一条直线上的所有点都在另一条直线上的两倍距离的位置上，它们之间的夹角与距离相等。

一般来说，这样的直线就是对称的。

1、几何法——用斜截式找出直线的方程，然后将直线的方程带入另一条直线的方程中，得出另一条直线的斜截式，比较两条直线的斜截式，如果它们相同，则两条直线对称。

2、数学法——利用直线对称的特点，即两条直线中心点与斜率是相反的，将直线的方程转化为常数形式，求出常数，再代入另一条直线的方程中，比较两条直线的方程，如果它们相同，则两条直线对称。

3、图形法——画出两条直线，以一条直线上的点为中心，绘制一个平行四边形，然后将另一条直线上的点映射到平行四边形的另一面上，如果所有点都能映射到平行四边形的另一面上，则两条直线对称。

第2节 直线关于直线的对称问题知识与方法1.对称问题是平面解析几何中的一类重要的问题，在很多问题中，我们也会运用对称的思想来解题，这一小节我们解决求直线a 关于直线l 的对称直线a '的问题，这类题求解的时候要抓住两点：（l ）所求直线a '经过直线a 和直线l 的交点P ；（2）对称轴l 上除P 外的另一点到a 和a '的距离相等.2．技巧：当对称轴直线l 的斜率是1±时，可直接由对称轴方程将x 、y 反解出来，代入直线a 的方程，整理即可得到a 关于直线l 的对称直线a '的方程.典型例题【例题】直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称直线l 的方程为______.【解析】11013300x y x l x y y +-==⎧⎧⇒⇒⎨⎨--==⎩⎩和2l 的交点为()1,0P ， 直线l 也过点P ，可设其方程为()10A x By -+=， 整理得：0Ax By A +-=，在对称轴2l 上取点()0,3Q -，则点Q 到直线1l 和l 的距离相等，其中A 、B 不同时为0223132B A A B----+B A =或7B A =-，若B A =，则直线l 的方程为0Ax Ay A +-=， 即10x y +-=，此时l 与1l 重合，不合题意，所以7B A =-，故直线l 的方程为70Ax Ay A --=，即710x y --=.【答案】710x y --= 变式1 直线1:220l x y -+=关于直线2:10l x y -+=的对称直线l 的方程为______.【解析】1101x y x y y x =-⎧-+=⇒⎨=+⎩，代入直线1l 的方程为：()()12120y x --++=， 整理得所求直线l 的方程为210x y -+=.【答案】210x y -+=变式2 直线1:220l x y -+=关于直线2:10l x y ++=的对称直线的方程为______.【解析】1101x y x y y x =--⎧++=⇒⎨=--⎩，代入直线1l 的方程得：()()12120y x -----+=，整理得所求直线l 的方程为230x y -+=.【答案】230x y -+=【反思】当对称轴的斜率为1±时，可以使用小技巧来求对称直线的方程，若斜率不是1±，则不能这样做.强化训练1.（★★★）直线l 1:20l x y --=关于直线:330l x y -+=的对称直线2l 的方程为______. 【解析】1520233092x x y l x y y ⎧=-⎪--=⎧⎪⇒⇒⎨⎨-+=⎩⎪=-⎪⎩与l 的交点为59,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线2l 也经过点P ， 可设2l 的方程为59022A x B y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：22590Ax By A B +++=，其中A 、B 不同时为0，在直线l 上取点()1,0Q -，则点Q 到1l 和2l 的距离相等， 2212259244A A B A B ---+++，故A B =-或7A B =， 若A B =-，则直线2l 的方程为2240Bx By B -++=，即20x y --=，与1l 重合，不合题意， 所以7A B =，直线2l 的方程为142440Bx By B ++=，化简得：7220x y ++=.【答案】7220x y ++=2.（★★★）直线1:2310l x y --=关于直线:40l x y +-=的对称直线2l 的方程为______.【解析】4404x y x y y x =-⎧+-=⇒⎨=-⎩，代入直线1l 的方程可得：()()243410y x ----=， 化简得所求直线2l 的方程为3250x y --=.【答案】3250x y --=3.（★★★）一光线从点()0,2P 发出，入射到直线:10l x y --=上的点()1,0Q 后被反射，则反射光线所在的直线的方程为______.【解析】如图，由题意，应有反射光线所在的直线和直线PQ 关于直线l 对称，直线PQ 的斜率20201k -==--，其方程为22y x =-+，即220x y +-=， 1101x y x y y x =+⎧--=⇒⎨=-⎩，代入直线PQ 的方程可得：()()21120y x ++--=，化简得反射光线所在直线的方程为210x y +-=.【答案】210x y +-=。