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【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习专项强化训练(三)数列的综合应用

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专项强化训练(三)数列的综合应用一、选择题1.设{a n},{b n}分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是( )A.a2>b2B.a3<b3C.a5>b5D.a6>b6【解析】选A.设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,由题可得d=-1,q=,于是a2=3>b2=2,故选A.【加固训练】若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取值范围是.【解析】由等差数列与等比数列的性质得所以==2++.当x,y同号时,+≥2;当x,y异号时,+≤-2.所以的取值范围为(-≦,0]∪[4,+≦).答案:(-≦,0]∪[4,+≦)2.已知数列{a n},{b n}满足a1=1,且a n,a n+1是函数f(x)=x2-b n x+2n的两个零点,则b10等于( )A.24B.32C.48D.64【解析】选D.依题意有a n a n+1=2n,所以a n+1a n+2=2n+1.两式相除得=2,所以a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列.而a1=1,a2=2,所以a10=2〃24=32,a11=1〃25=32.又因为a n+a n+1=b n,所以b10=a10+a11=64.3.设{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( )A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为S n的最大值【解析】选C.因为{a n}是等差数列,所以S n=n2+n.因为S5<S6,S6=S7>S8,所以S n关于n的二次函数开口向下,对称轴为n=6.5,所以d<0,S6与S7均为S n的最大值,S9<S5,a7=S7-S6=0,故选C.4.(2015·北京模拟)已知函数f(x)=把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( )A.a n=,n∈N*B.a n=n(n-1),n∈N*C.a n=n-1,n∈N*D.a n=2n-2,n∈N*【解析】选C.当x≤0时,g(x)=f(x)-x=2x-1-x是减函数,只有一个零点a1=0;当x>0时,若x=n,n∈N*,则f(n)=f(n-1)+1=…=f(0)+n=n;若x不是整数,则f(x)=f(x-1)+1=…=f(x-[x]-1)+[x]+1,其中[x]代表x的整数部分, 由f(x)=x得f(x-[x]-1)=x-[x]-1,其中-1<x-[x]-1<0,没有这样的x. 所以g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序为0,1,2,3,…,通项a n=n-1,故选C.【加固训练】定义:F(x,y)=y x(x>0,y>0),已知数列{a n}满足:a n=(n ∈N*),若对任意正整数n,都有a n≥a k(k∈N*)成立,则a k的值为( ) A. B.2 C.1 D.4【解析】选 A.a n=,==,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2<(n+1)2,当n≥3时,2n2>(n+1)2,即当n≥3时,a n+1>a n,故数列{a n}中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=,故a k的值为.5.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为(n∈N*)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了( )A.600天B.800天C.1000天D.1200天【解析】选B.由第n天的维修保养费为(n∈N*)元,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为=++,当且仅当=时取得最小值,此时n=800,故选B. 【方法技巧】建模解数列问题(1)分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系.(2)构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题.(3)通过建立的关系求出相关量.【加固训练】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( ) A.1和20 B.9和10 C.9和11 D.10和11【解析】选D.设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示)则各个树坑到第i个树坑的距离的和是S=10(i-1)+10(i-2)+…+10(i-i)+10[(i+1)-i]+…+10(20-i)=10+=10(i2-21i+210).所以当i=10或11时,S有最小值.二、填空题6.(2015·镇江模拟)设曲线y=x n+1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n =lg x n ,则a 1+a 2+…+a 99的值为 . 【解析】因为y=x n+1(n ∈N *),所以y ′=(n+1)x n (n ∈N *),所以y ′|x=1=n+1, 所以在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),即(n+1)x-y-n=0,当y=0时,x=,所以x n =,所以a n =lgx n =lg =lg n-lg(n+1),所以a 1+a 2+…+a 99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+…+(lg99-lg100) =lg1-lg100 =-2. 答案:-27.某厂生产微机,原计划第一季度每月增产台数相同,在生产过程中,实际二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台,则该厂第一季度实际生产微机 台.【解析】原计划第一季度三个月分别生产a 1,a 1+d,a 1+2d 台微机,现在实际上生产了a 1,a 1+d+10,a 1+2d+25台.由题意得211d 20d 5a 1000,a d 70,⎧+-+=⎨=+⎩解得1d 10,a 80,=⎧⎨=⎩故第一季度实际生产微机台数是3a 1+3d+35=305. 答案:3058.数列{a n}的前n项和为S n,若数列{a n}的各项按如下规律排列:,,,,,,,,,,…,,,…,,…,有如下运算和结论:①a24=;②数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列;③数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为T n=;④若存在正整数k,使S k<10,S k+1≥10,则a k=.其中正确的结论有.(将你认为正确的结论的序号都填上)【解析】依题意,将数列{a n}中的项依次按分母相同的项分成一组,第n 组中的数的规律是:第n组中的数共有n个,并且每个数的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n组中的各数和等于=,对于①,注意到21=<24<=28,因此数列{a n}中的第24项应是第7组中的第3个数,即a24=,因此①正确.对于②③,设b n为②③中的数列的通项,则b n==,显然该数列是等差数列,而不是等比数列,其前n项和等于〓=,因此②不正确,③正确.对于④,注意到数列的前6组的所有项的和等于=10,因此满足条件的a k应是第6组中的第5个数,即a k=,因此④正确.综上所述,其中正确的结论有①③④.答案:①③④三、解答题9.(2014·天津高考)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n-1,x i∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n,证明:若a n<b n,则s<t.【解析】(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+2x2+4x3,x i∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)由s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,a i,b i∈M,i=1,2,…,n及a n<b n,可得s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+…+（a n-1-b n-1）q n-2+（a n-b n）q n-1≤（q-1）+（q-1）q+…+（q-1）q n-2-q n-1所以,s<t.10.(2015·洛阳模拟)在数列{a n}中,a1=-5,a2=-2,记A(n)=a1+a2+…+a n,B(n)=a2+a3+…+a n+1,C(n)=a3+a4+…+a n+2(n∈N*),若对于任意n∈N*,A(n),B(n),C(n)成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)求数列{|a n|}的前n项和.【解析】(1)根据题意A(n),B(n),C(n)成等差数列,所以A(n)+C(n)=2B(n),整理得a n+2-a n+1=a2-a1=-2+5=3.所以数列{a n}是首项为-5,公差为3的等差数列,所以a n=-5+3(n-1)=3n-8.(2)|a n |=3n 8,n 2,3n 8,n 3,-+≤⎧⎨-≥⎩记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ≤2时,S n ==-+n; 当n ≥3时,S n =7+=-n+14,【加固训练】已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式.(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和.【解析】(1)设等差数列的公差为d,根据a 1+a 2+a 3=-3可得a 2=-1,进而得a 1a 3=-8,即(a 2-d)(a 2+d)=-8,所以1-d 2=-8,解得d=〒3. 当d=3时,a 1+3=-1,得a 1=-4, 此时a n =-4+(n-1)〓3=3n-7; 当d=-3时,a 1-3=-1,得a 1=2, 此时a n =2+(n-1)〓(-3)=-3n+5.所以{a n }的通项公式为a n =3n-7或a n =-3n+5. (2)d=3时,a 2=-1,a 3=2,a 1=-4, 此时a 2,a 3,a 1成等比数列; 当d=-3时,a 2=-1,a 3=-4,a 1=2,此时a 2,a 3,a 1不是等比数列,故a n =3n-7,这个数列的第一、二两项为负值,从第三项开始为正值.方法一:当n≤2时,|a n|=7-3n,这是一个首项为4,公差为-3的等差数列,故S n=4n+〓(-3)=-+;当n>2时,|a n|=a n=3n-7,此时这个数列从第三项起是一个公差为3的等差数列,故S n=|a1|+|a2|+a3+a4+…+a n=(4+1)+[2+5+…+(3n-7)]=5+=-+10.所以S n=这个式子中n=2时两段函数值相等,故可以写为S n=方法二:设数列{a n}的前n项和为T n,则T n==-.由于n≤2时,|a n|=-a n,所以此时S n=-T n=-+;当n>2时,S n=(-a1-a2)+(a3+a4+…+a n)=-T2+(T n-T2)=T n-2T2=-+10.所以S n=这个式子中n=2时两段函数值相等,故可以写为S n=11.已知{a n}是由正数组成的数列,a1=1且点(,a n+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足b1=1,b n+1=b n+n a2,求证:b n·b n+2<+1.【解题提示】(1)由点在函数图象上即可得出a n+1与a n的关系,从而可写出通项公式.(2)结合(1)找出b n+1与b n的关系式,从而可得b n,然后利用作差法比较大小.【解析】(1)由已知,得a n+1=a n+1,得a n+1-a n=1,又a1=1,所以数列{a n}是以1为首项,1为公差的等差数列.故a n=1+(n-1)〓1=n.(2)由(1),知a n=n,从而b n+1-b n=2n.b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1.因为b n〃b n+2-+1=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2〃2n+1+1)=-5〃2n+4〃2n=-2n<0,所以b n〃b n+2<+1.【方法技巧】数列与函数的综合一般体现在两个方面:(1)以数列的特征量n,a n,S n等为坐标的点在函数图象上,可以得到数列的递推关系.(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质求解数列问题.【加固训练】已知数列{a n}的前n项和为S n,对一切正整数n,点P n(n,S n)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点P n(n,S n)的切线的斜率为k n.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设Q={x|x=k n,n∈N*},R={x|x=2a n,n∈N*},等差数列{c n}的任一项c n ∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,110<c10<115,求{c n}的通项公式.【解析】(1)因为点P n(n,S n)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,所以S n=n2+2n(n∈N*).当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n+1,当n=1时,a1=S1=3满足上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n+1.(2)因为Q={x|x=2n+2,n∈N*},R={x|x=4n+2,n∈N*},所以Q∩R=R.又因为c n∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,所以c1=6,因为{c n}的公差是4的倍数,所以c10=4m+6(m∈N*).又因为110<c10<115,所以,解得m=27,所以c10=114,设等差数列{c n}的公差为d,则d===12,所以c n=6+(n-1)〓12=12n-6,所以{c n}的通项公式为c n=12n-6.12.已知数列{a n}中,a1=2,a2=3,其前n项和S n满足S n+2+S n=2S n+1+1(n∈N*);数列{b n}中,b1=a1,b n+1=4b n+6(n∈N*).(1)求数列{a n},{b n}的通项公式.(2)设c n=b n+2+(-1)n-1λ·n a2(λ为非零整数,n∈N*),试确定λ的值,使得对任意n∈N*,都有c n+1>c n成立.【解题提示】【解析】(1)由已知,得S n+2-S n+1-(S n+1-S n)=1,所以a n+2-a n+1=1(n≥1).又a2-a1=1,所以数列{a n}是以a1=2为首项,1为公差的等差数列.所以a n=n+1.又b n+1+2=4(b n+2),所以{b n+2}是以4为首项,4为公比的等比数列.所以b n=4n-2.(2)由(1)知a n=n+1,b n=4n-2,则c n=4n+(-1)n-1λ〃2n+1,要使c n+1>c n成立,需c n+1-c n=4n+1-4n+(-1)nλ〃2n+2-(-1)n-1λ〃2n+1>0恒成立,即3〃4n-3λ(-1)n-12n+1>0恒成立,所以(-1)n-1λ<2n-1恒成立.①当n为奇数时,即λ<2n-1恒成立,当且仅当n=1时,2n-1有最小值1,所以λ<1;②当n为偶数时,即λ>-2n-1恒成立,当且仅当n=2时,-2n-1有最大值-2,所以λ>-2.结合①②可知-2<λ<1,又λ为非零整数,则λ=-1.故存在λ=-1,使得对任意n∈N*,都有c n+1>c n成立.【误区警示】遇到式子中含有(-1)n的问题时要注意分n为奇数与偶数两种情况进行讨论,本题的易错点就是忘掉对n的奇偶性的讨论. 【加固训练】已知等差数列{a n}的公差为2,其前n项和S n=pn2+2n(n∈N*).(1)求p的值及a n.(2)若b n=,记数列{b n}的前n项和为T n,求使T n>成立的最小正整数n的值.【解题提示】【解析】(1)方法一:因为{a n}是公差为2的等差数列,所以S n=na1+d=na1+〓2=n2+(a1-1)n.又由已知S n=pn2+2n,所以p=1,a1-1=2,所以a1=3,所以a n=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,a n=2n+1.方法二:由已知a1=S1=p+2,S2=4p+4,即a1+a2=4p+4,所以a2=3p+2.又此等差数列的公差为2,所以a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,所以a1=p+2=3,所以a n=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,a n=2n+1.方法三:由已知a1=S1=p+2,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)]=2pn-p+2, 所以a2=3p+2,由已知a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,所以a1=p+2=3,所以a n=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,a n=2n+1.(2)由(1)知b n==-,所以T n=b1+b2+b3+…+b n=+++…+=1-=.因为T n>,所以>,所以20n>18n+9,即n>,又n∈N*,所以使T n>成立的最小正整数n=5.13.某工厂年初用98万元购买一台新设备,第一年设备维修及燃料、动力消耗(称为设备的低劣化)的总费用12万元,以后每年都增加4万元,新设备每年可给工厂收益50万元.(1)工厂第几年开始获利?(2)若干年后,该工厂有两种处理该设备的方案:①年平均获利最大时,以26万元出售该设备;②总纯收入获利最大时,以8万元出售该设备.问哪种方案对工厂合算?【解析】(1)由题设每年费用是以12为首项,4为公差的等差数列, 设第n年时累计的纯收入为f(n).所以f(n)=50n-[12+16+…+(4n+8)]-98=40n-2n2-98.获利即为:f(n)>0,所以40n-2n2-98>0⇒n2-20n+49<0⇒10-<n<10+,又n∈N,所以n=3,4,5, (17)所以当n=3时,即第3年开始获利.(2)①年平均收入==40-2（n+）≤40-4=12(万元),当且仅当n=,即n=7时等号成立.即年平均收益最大时,总收益为:12〓7+26=110(万元),此时n=7.②f(n)=-2(n-10)2+102,所以当n=10时,f(n)max=102,总收益为102+8=110万元,此时n=10.比较两种方案,总收益均为110万元,但第一种方案需7年,第二种方案需10年,故选择第一种方案.【加固训练】有一种零存整取的储蓄项目,在每月某日存入一笔相同金额,这是零存;到期可以提出全部本金和利息,这是整取,它的本利和公式如下:本利和=每期存入的金额×[存期+×存期×(存期+1)×利率].(1)试解释这个本利和公式.(2)若每月初存入100元,月利率为5.1%,到第12个月底的本利和是多少?(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1%,希望到第12个月底取得本利和2000元,那么每月初应存入多少?【解析】(1)设每期存入的金额为A,每期利率为P,存期为n,则各期的利息之和为nAP+(n-1)AP+…+2AP+AP=,所以本利和为nA+=A(元).(2)到第12个月底的本利和为100=1597.8(元).(3)设每月初应存入x元,则有x=2000,解得x≈125.2.所以每月初应存入125.2元.关闭Word文档返回原板块。

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【世纪金榜】2016届高三数学总复习阶段滚动检测(四)文 新人教A版

【世纪金榜】2016届高三数学总复习阶段滚动检测(四)文 新人教A版

【世纪金榜】2016届高三数学总复习阶段滚动检测(四)文新人教A版一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(滚动交汇考查)等比数列{a n}中,“a1<a3”是“a4<a6”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2015·某某模拟)设a是空间中的一条直线,α是空间中的一个平面,则下列说法正确的是( )A.过a一定存在平面β,使得β∥αB.过a一定存在平面β,使得β⊥αC.在平面α内一定不存在直线b,使得a⊥bD.在平面α内一定不存在直线b,使得a∥b3.(2015·某某模拟)已知一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示,则该三棱锥的俯视图可能为( )A.①②B.②③C.①④D.②④4.(2015·某某模拟)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是,则正视图中的x的值是( )A.2B.C.D.35.(滚动单独考查)已知不等式组y x,y x,x a≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域S的面积为4,则z=ax+y的最大值为( )A.4B.6C.8D.126.某几何体的直观图如图所示,该几何体的正视图和侧视图可能正确的是( )7.(滚动单独考查)在△ABC中,D 是BC边上的点,AB=2,AD=,AC=4,∠C=30°,∠BAC>∠B,则BD=( )A.2或4B.1或3C.3或2D.4或18.(2015·某某模拟)如图,在正三棱锥A-BCD中,E,F分别是AB,BC的中点,EF⊥DE,且BC=1,则正三棱锥A-BCD的体积是( )A. B.C. D.9.(滚动单独考查)在△ABC中,AB=AC=2,∠B=30°,P为BC边中线上的任意一点,则·的值为( )A.-12B.-6C.6D.1210.已知正四棱锥S-ABCD中,SA=2,那么当棱锥的体积最大时,点S到平面ABCD的距离为( )A.1B.C.2D.311.(2015·某某模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长AB=6,AA1=2,它的外接球的球心为O,点E是AB的中点,点P是球O上任意一点,则下列说法错误的是( )A.PE的最大值为9B.三棱锥P-EBC体积的最大值为C.存在过点E的平面,截球O的截面面积为9πD.三棱锥P-AEC1体积的最大值为2012.(滚动交汇考查)设f(x)=|lnx|,若函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,3]上有三个零点,则实数a 的取值X围是( )A.(0,)B.[,)C.(0,]D.(,e)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(滚动单独考查)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=lnx,则f(f())=.14.(2015·某某模拟)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为cm3.15.(2015·某某模拟)某几何体的三视图如图,则该几何体体积的最大值为.16.(滚动单独考查)设0<m<,若+≥k恒成立,则k的最大值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(滚动单独考查)已知向量a=(sin,),b=(cos-sin,1),函数f(x)=a·b,△ABC 三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)求f(x)的单调递增区间.(2)若f(B+C)=1,a=,b=1,求△ABC的面积S.18.(12分)(2015·模拟)如图,已知四边形ABCD和四边形BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE=,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.(1)求证:EC⊥CD.(2)求证:AG∥平面BDE.(3)求几何体EG-ABCD的体积.19.(12分)如图,五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,且DA=1,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P,Q,M分别为AE,BD,EF的中点.(1)求证:PQ∥平面BCE.(2)求证:AM⊥平面ADF.20.(12分)(滚动单独考查)数列{a n}中,已知a1=2,当n≥2时,a n=a n-1+.数列{b n}满足b n=3n-1a n(n∈N*).(1)证明:数列{b n}为等差数列,并求{b n}的通项公式.(2)求数列{a n}的前n项和S n.21.(12分)(2015·某某模拟)四棱锥P-ABCD中,AB=2DC=4,AC=2AD=4,BC=8,平面PAD⊥底面ABCD,M为棱PB上任一点.(1)证明:平面AMC⊥平面PAD.(2)若△PAD为等边三角形,平面AMC把四棱锥P-ABCD分成两个几何体,当这两个几何体的体积之比V PM-ACD∶V M-ABC=11∶4时,求的值.22.(12分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=lnx.(1)若直线y=x+m与函数f(x)的图象相切,某某数m的值.(2)证明:曲线y=f(x)与曲线y=x-有唯一的公共点.(3)设0<a<b,比较与的大小,并说明理由.答案解析1.D 在等比数列中,由a1<a3可得a1<a1q2,则q可取正也可取负,不能推出a4<a6,而由a4<a6可得a1q3<a1q5;两者之间的大小关系取决于q的正负取值情况,故不能相互推出,则知“a1<a3”是“a4<a6”的既不充分也不必要条件.2.B 当a与α相交时,不存在过a的平面β,使得β∥α,故A错误;当a与α平行时,在平面α内存在直线b,使得a∥b,故D错误;平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影,则就必然垂直于直线a,故C错误.直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α. 【加固训练】设a,b是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列命题:①若a⊥b,a∥α,α⊥β,则b∥β;②若a∥α,α⊥β,则a⊥β;③若a⊥β,α⊥β,则a∥α;④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3B ①b与β可能相交,所以①错误.②中a⊥β不一定成立.③中a⊂α或a∥α,所以错误.④正确,所以正确的有1个,所以选B.3.B 由三视图可知,此三棱锥为如图所示的长方体内的P-ABD或P-BCD,当三棱锥为P-ABD时,俯视图为③,当三棱锥为P-BCD时,俯视图为②,选择B.4.【解题提示】先由三视图还原出几何体,再计算求解.C 由三视图可知,该几何体是一个四棱锥,其高为x,底面是上底为1,下底为2,高为2的梯形,所以几何体的体积V=×(1+2)×2×x=,解得x=.5.B 由题意知a>0,如图,不等式组对应的平面区域为△OBC,其中B(a,a),C(a,-a),所以BC=2a,所以△OBC的面积为·a·2a=a2=4,所以a=2.由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x,由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时,直线截距最大,此时z也最大,把B(2,2)代入z=2x+y得z=2×2+2=6.【加固训练】已知直线(m+2)x+(m+1)y+1=0上存在点(x,y)满足x y30,x2y30,x1,+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m的取值X围为( )A.[-,+∞)B.(-∞,-]C.[-1,]D.[-,]B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示,又直线l:(m+2)x+(m+1)y+1=0过定点(-1,1),结合图形可知,点(1,2),(1,-1)在直线l的两侧或其中一点在l上,即[(m+2)×1+(m+1)×2+1]·[(m+2)×1+(m+1)×(-1)+1]≤0,解得m≤-.6.A 由几何体的直观图,可知该几何体可以看作由正方体ABCD-A1B1C1D1割掉四个角后所得的几何体ABCD-MNPQ,如图所示,该几何体的正视图就是其在正方体的面CDD1C1上的投影,显然为正方形CDD1C1与△CDQ的组合;该几何体的侧视图就是其在面BCC1B1上的投影,显然为正方形BCC1B1和△BCP的组合.综上,只有A选项正确,故选A.【加固训练】将一个底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-DEF截去一个三棱锥C-ABD,得到几何体BC-DEF(如图),则该几何体的正视图是( )C 从正前方观察截去三棱锥后的几何体,可知正确选项为C.7.【解题提示】先由正弦定理求∠B,再由余弦定理构建关于BD的方程求解.B 在△ABC中,由正弦定理,得sinB==,所以∠B=45°或∠B=135°.又∠BAC>∠B,所以∠B=45°.因为AD=,则在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos45°,即5=8+BD2-2×2BD ×cos45°,解得BD=1或BD=3.8.【解题提示】根据EF与DE的垂直关系,证明AC⊥DE,再证AC⊥AB,再求得侧棱长,根据体积公式计算即可.B 因为E,F分别是AB,BC的中点,所以EF∥AC,又EF⊥DE,所以AC⊥DE.取BD 的中点O,连接AO,CO,所以在正三棱锥A-BCD 中,AO ⊥BD,CO ⊥BD, 所以BD ⊥平面AOC, 又AC ⊂平面AOC, 所以AC ⊥BD.又DE ∩BD=D, 所以AC ⊥平面ABD,所以AC ⊥AB. 设AC=AB=AD=x,则x 2+x 2=1⇒x=,所以V C-ABD =S △ABD ·AC=AB ·AD ·AC=.9.B 取BC 的中点为O,连接AO,则AO ⊥BC,OB=OC=,以O 为原点,,方向分别为x,y轴正方向建立直角坐标系,则B(-,0),C(,0), 设P(0,x 0),所以=(-,x 0),=(2,0),则·=(-,x 0)·(2,0)=-6.10.【解题提示】以点S 到平面ABCD 距离h 为变量,构建以V 为因变量的函数,然后用导数求最值.C 设点S 到平面ABCD 的距离为h,底面对角线长为l , 则h 2+2()2l =(2)2, 得l =2(0<h<2).所以底面边长a=l =,故体积V=a 2h=(24-2h 2)h=-h 3+8h.令V'=0,得-2h 2+8=0,解得h=2或h=-2(舍去),经检验,当h=2时,棱锥体积最大. 11.B 因为正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长AB=6,AA 1=2,所以AC 1=10,所以它的外接球半径为5.因为点E 是AB 的中点,所以BE=3,OE=4.又点P 是球O 上任意一点,所以PE 的最大值为OE+5=9,所以A 正确. 因为点O 到平面EBC 的距离为,S △EBC =9,三棱锥P-EBC 高的最大值为5+,故其体积的最大值为3(5+),所以B 错误.因为OE=4,所以过E 且垂直于OE 的平面到球心O 的距离为4,所以此截面圆的半径为3,即截面面积为9π,所以C 正确.由题意得球心O 在AC 1上,所以点P 到平面AEC 1的最大距离为5,==12,所以三棱锥P-AEC 1体积的最大值为20,所以D 正确.12.B 函数g(x)=f(x)-ax 在区间(0,3]上有三个零点,即y=f(x)与y=ax 有3个交点.当x>1时,f(x)=lnx,f'(x)=.令y=ax 与f(x)=lnx(x>1)相切,设切点为(x 0,y 0),则f'(x 0)=,所以切线方程为y=x,即当y=f(x)与y=ax 相切时,a=,当x=3时,直线y=ax 过(3,ln3),代入得a=,所以函数g(x)在区间(0,3]上有3个交点时a 的取值X 围为[,).【加固训练】已知f(x)=()2a x 2x,x 0,f x 1,x 0,⎧++<⎪⎨-≥⎪⎩且函数y=f(x)+x 恰有3个不同的零点,则实数a的取值X 围是( ) A.(-∞,1] B.(0,1] C.(-∞,0]D.(-∞,2]A 当x<0时,f(x)=(x+1)2+a-1,把函数f(x)在[-1,0)上的图象向右平移一个单位即得函数f(x)在[0,1)上的图象,继续右移可得函数f(x)在[0,+∞)上的图象.由于函数y=f(x)+x 恰有3个不同的零点,即函数y=f(x),y=-x 的图象有3个不同的交点,则实数a 应满足a-1≤0,即a ≤1.13.【解析】由题意可知函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),又f()=ln=-2,所以f(f())=f(-2)=-f(2)=-ln2.答案：-ln214.【解析】该几何体为圆柱挖去半个球而得的组合体,其体积为V=π×12×3-×=(cm3).答案：15.【解析】由三视图知该几何体为三棱锥,记为S-ABC,其中SA⊥平面ABC,底面ABC为直角三角形,且∠BAC=90°.则AB=1,设SA=x,AC=y,则x2+y2=6.利用不等式得x2+y2=6≥2xy,所以xy≤3.又体积V=××AB×AC×SA=xy≤×3=.答案：16.【解析】令t=+,因为+≥k恒成立,所以t min≥k恒成立,t=+=+=(+)(2m+1-2m)=2(2++),因为0<m<,所以2m>0,1-2m>0,所以+≥2(当且仅当=,即m=时取等号),所以t≥8,所以k≤8,所以k 的最大值为8.答案：817.【解析】(1)由题意得,f(x)=a·b=sin x2(3cos-sin）+=sin cos-sin2+=sinx-+=sinx+cosx=sin(x+).令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),解得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z).(2)因为f(B+C)=1,所以sin(B+C+)=1,又B+C∈(0,π),B+C+∈(,),所以B+C+=,B+C=,所以A=,由正弦定理得=,把a=,b=1代入上式,得sinB=,故B=或B=,因为A=为钝角,所以B=舍去,所以B=,得C=.所以,△ABC的面积S=absinC=××1×=.【一题多解】本题还可采用如下方法求解.由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,得3=1+c2+c,c=1或-2(舍去),所以△ABC的面积S=bcsinA=×1×1×=.18.【解析】(1)因为平面ABCD⊥平面BCEG,又平面ABCD∩平面BCEG=BC,CE⊥BC,CE⊂平面BCEG,所以EC⊥平面ABCD,又CD⊂平面ABCD,故EC⊥CD.(2)如图,在平面BCEG中,过G作GN⊥CE交BE于M,连接DM,则由已知可得:MG=MN,MN∥BC∥DA,且MN=AD=BC,所以MG∥AD,MG=AD,故四边形ADMG为平行四边形,所以AG∥DM,因为DM⊂平面BDE,AG⊄平面BDE,所以AG∥平面BDE.(3)V EG-ABCD=V D-BCEG+V G-ABD=S四边形BCEG·DC+S△ABD·BG=××2×2+××1×2×1=.【加固训练】在如图所示的几何体中,四边形BB1C1C是矩形,BB1⊥平面ABC,CA=CB;A1B1∥AB,AB=2A1B1,E,F分别是AB,AC1的中点.(1)求证:EF∥平面BB1C1C.(2)求证:C1A1⊥平面ABB1A1.【证明】(1)连接BC1,因为E,F分别是AB,AC1的中点,所以EF∥BC1.又EF⊄平面BB1C1C,BC1⊂平面BB1C1C,所以EF∥平面BB1C1C.(2)连接A1E,CE.因为BB1⊥平面ABC,BB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面ABC,因为CA=CB,E是AB的中点,所以CE⊥AB,所以CE⊥平面ABB1A1.因为B1A1∥BA,B1A1=BA=BE,所以四边形A1EBB1为平行四边形,所以BB1A1E.又BB1CC1,所以A1E CC1,所以四边形A1ECC1为平行四边形,则C1A1∥CE,所以C1A1⊥平面ABB1A1.19.【证明】(1)连接AC,因为四边形ABCD是矩形,Q为BD的中点,所以Q为AC的中点,又在△AEC中,P为AE的中点,所以PQ∥EC.因为EC⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE,所以PQ∥平面BCE.(2)因为M为EF的中点,所以EM=AB=2,又EF∥AB,所以四边形ABEM是平行四边形,所以AM∥BE,AM=BE=2.又AF=2,MF=2,所以△MAF是直角三角形且∠MAF=90°,所以MA⊥AF. 又DA⊥平面ABEF,MA⊂平面ABEF,所以MA⊥DA,又DA∩AF=A,所以AM⊥平面ADF.20.【解析】(1)当n=1时,b1=30×a1=2.当n≥2时,a n=a n-1+,两边同乘以3n-1得,3n-1a n=3n-2a n-1+2,即b n-b n-1=2(n≥2).所以数列{b n}是以2为首项,以2为公差的等差数列, 其通项公式为b n=2+(n-1)×2=2n.(2)由(1)得b n=3n-1a n=2n,所以a n=.S n=2×+4×+…+2(n-1)×+2n×,①S n=2×+4×+…+2(n-1)×+2n×,②①-②,得S n=2×+2×+…+2×-2n×=2×-2n×=3-.所以S n=-.21.【解析】(1)在△ACD中,因为AC2+AD2=16+4=20=CD2,所以AC⊥AD.因为平面PAD⊥底面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,所以AC⊥平面PAD. 又AC⊂平面AMC,所以平面AMC⊥平面PAD.(2)如图,取AD中点E,连接PE,则PE⊥AD,PE⊥平面ABCD,且PE=.连接BE,则平面PBE⊥平面ABCD,过M作MN⊥BE于N,则MN⊥平面ABCD. 在△ABC中,AC2+BC2=16+64=80=AB2,所以AC⊥BC,V P-ABCD=·S梯形ABCD·PE=·（×2×4+×4×8）·=.V M-ABC=·S△ABC·MN=××4×8·MN=MN.由V PM-ACD∶V M-ABC=11∶4得,V P-ABCD∶V M-ABC=15∶4,即∶MN=15∶4,解得,MN=.在△PEB中,因为==,所以=.22.【解析】(1)f′(x)=,设切点为(x0,y0),则k==1,所以x0=1,y0=lnx0=ln1=0,代入y=x+m,得m=-1.(2)令h(x)=f(x)-(x-)=lnx-x+,则h′(x)=-1-=所以h(x)在(0,+∞)内单调递减.又h(1)=ln1-1+1=0,所以x=1是函数h(x)唯一的零点.故点(1,0)是两曲线唯一的公共点.即y=f(x)与y=x-有唯一的公共点.(3)-=-=ln-,因为0<a<b,所以>1,构造函数φ(x)=lnx-(x>1),则φ′(x)=-=-=>0,所以φ(x)在(1,+∞)上单调递增,又当x=1时,φ(1)=0,所以x>1时,φ(x)>0,即lnx>,则有ln>成立,即>, 即>.。

《世纪金榜》2016届高三文科数学总复习专项强化训练(四)平行、垂直的综合问题

《世纪金榜》2016届高三文科数学总复习专项强化训练(四)平行、垂直的综合问题

专项强化训练(四)平行、垂直的综合问题1.(2015·济南模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC的中点,N为线段PB的中点,G在线段BM上,且=2.(1)求证:AB⊥PD.(2)求证:GN∥平面PCD.【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,又因为AD⊥AB,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.(2)因为△ABC是正三角形,且M是AC的中点,所以BM⊥AC.在直角三角形AMD中,∠MAD=30°,所以MD=AD.在直角三角形ABD中,∠ABD=30°,所以AD=BD.所以MD=BD.又因为=2,所以BG=GD,又N 为线段PB的中点,所以GN∥PD,又GN⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,所以GN∥平面PCD.2.(2015·太原模拟)如图所示,ABCD为矩形,DA⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,AC和BD交于点G.(1)求证:AE∥平面BFD.(2)求三棱锥C-BFG的体积.【解析】(1)由题意可得G是AC的中点,因为BF⊥平面ACE,所以BF⊥CE,又BC=BE,所以F是CE的中点,所以FG∥AE,又FG⊂平面BFD,AE⊄平面BFD,所以AE∥平面BFD.(2)由矩形ABCD知AD∥BC,因为AD⊥平面ABE,所以BC⊥平面ABE,所以BC⊥AE.因为BF⊥平面ACE,所以BF⊥AE,又BC∩BF=B,所以AE⊥平面BCE.由(1)知G是AC的中点,F是CE的中点,所以FG∥AE且FG=AE=1.所以FG⊥平面BCE.在Rt△BCE中,BF=CE=CF=,所以S△CFB=××=1.所以V C-BFG=V G-BCF=S△CFB×FG=×1×1=.【加固训练】(2015·长春模拟)在如图所示的几何体中,△ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.(1)求证:AE∥平面BCD.(2)求三棱锥D-BCE的体积.【解析】(1)取BC的中点M,连接DM,AM,因为BD=CD,所以DM⊥BC,又因为平面BCD⊥平面ABC,BC为交线,所以DM⊥平面ABC,因为AE⊥平面ABC,所以AE∥DM,又因为AE⊄平面BCD,DM⊂平面BCD,所以AE∥平面BCD.(2)由(1)知AE∥DM,在△BCD中,CD⊥BD,CD=BD,所以MD=BC=1=AE,所以四边形AMDE是平行四边形,所以DE∥AM,且DE=AM=,因为DM⊥平面ABC,所以DM⊥AM.又AM⊥BC,BC∩DM=M,所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD,则V D-BCE=V E-BCD=S△BCD·DE=×·BC·DM·DE=××2×1×=.3.(2015·天津模拟)如图,在边长为1的等边△ABC中,D,E分别是AB,AC 边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图所示的三棱锥A-BCF,其中BC=.(1)证明:DE∥平面BCF.(2)证明:CF⊥平面ABF.(3)当AD=时,求三棱锥F-DEG的体积V F-DEG.【解析】(1)在等边△ABC中,AD=AE,所以=,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DE∥BC.因为DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,所以DE∥平面BCF.(2)在等边△ABC中,F是BC的中点,所以AF⊥FC,BF=CF=.因为在三棱锥A-BCF中,BC=,所以BC2=BF2+CF2,CF⊥BF.因为BF∩AF=F,所以CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知GE∥CF,结合(2)可得GE⊥平面DFG.V F-DEG=V E-DFG=··DG·FG·GE=×××(×)×=.【加固训练】(2015·佛山模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=AB=2,点E为AC中点,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D -ABC,如图2所示.(1)求证:AD⊥BC.(2)在CD上找一点F,使AD∥平面EFB.【解析】(1)在题图1中,可得AC=BC=2,从而AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.因为平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面ADC.又AD⊂平面ADC,所以AD⊥BC.(2)取CD的中点F,连接EF,BF,在△ACD中,因为E,F分别为AC,DC的中点,所以AD∥EF,EF⊂平面EFB,AD⊄平面EFB,所以AD∥平面EFB.4.已知等边△ABC的边长为3,点D,E分别在边AB,AC上,且满足==,将△ADE沿DE折叠到△A1DE的位置,使平面A1DE⊥平面BCED,连接A1B,A1C.(1)证明:A1D⊥平面BCED.(2)在线段BD上是否存在点M,使得CM∥平面A1DE?若存在,求出BM的长;若不存在,说明理由.【解题提示】(1)由平面A1DE⊥平面BCED,只需证明DE⊥A1D即可. (2)过C作BD边的垂线,垂足为所求,然后证明确认.【解析】(1)在△ABC中,==,得AD=CE=1,BD=AE=2,在△ADE中,∠A=60°,AD=1,AE=2,由余弦定理得DE=,于是AE2=AD2+DE2,故△ADE为直角三角形,且DE⊥AD,折叠后DE⊥A1D.因为平面A1DE⊥平面BCED,平面A1DE∩平面BCED=DE,A1D⊂平面A1DE,所以A1D⊥平面BCED.(2)过C作BD边的垂线,垂足即为所求的点M.证明如下:由(1)可知DE⊥AB,于是DE∥CM,因为CM⊄平面A1DE,DE⊂平面A1DE,所以CM∥平面A1DE,因为△ABC为等边三角形,且CM⊥BD,所以BM=BA=.5.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、侧视图、俯视图,在直观图中,M是BD的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.(1)求该几何体的体积.(2)求证:EM∥平面ABC.(3)试问在棱DC上是否存在点N,使MN⊥平面BDE?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)根据直观图与三视图的关系,确定相关线段的长度及线线、线面的位置关系,确定几何体的高.(2)取BC的中点G,证明四边形AGME为平行四边形,利用线面平行的判定定理证明.(3)假设在棱DC上存在点N,使MN⊥平面BDE,通过相关的性质及相似三角形的性质确定N点的位置.【解析】由题意知,EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,AE∥DC,AE=2,DC=4,AB⊥AC且AC=AB=2.(1)因为EA⊥平面ABC,所以EA⊥AB,又因为AB⊥AC,EA∩AC=A,所以AB⊥平面ACDE.所以四棱锥B-ACDE的高h=AB=2,又梯形ACDE的面积S=6.所以V B-ACDE=Sh=4.(2)取BC的中点G,连接EM,MG,AG,因为M为DB的中点,所以MG∥DC,且MG=DC.所以MG∥AE,MG=AE,所以四边形AGME为平行四边形,所以EM∥AG.又EM⊄平面ABC,AG⊂平面ABC,所以EM∥平面ABC.(3)由(2)知EM∥AG,又因为平面BCD⊥底面ABC,AG⊥BC,所以AG⊥平面BCD,EM⊥平面BCD,又因为EM⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面BCD,在平面BCD中,过M作MN⊥DB交DC于点N,所以MN⊥平面BDE,此时点N即为所求点.因为△DMN∽△DCB,所以=,即=,所以DN=3,即DN=DC,所以,边DC上存在点N,当满足DN=DC时,MN⊥平面BDE.关闭Word文档返回原板块。

2016届新课标高三数学(文)一轮复习习题 §6.4数列求和、数列的综合应用 2年模拟

2016届新课标高三数学(文)一轮复习习题 §6.4数列求和、数列的综合应用 2年模拟

§ 6。

4 数列求和、数列的综合应用A 组 2014-2015年模拟·基础题组限时：35分钟1。

（2014河南安阳二模,6）已知数列｛a n }中，a n =—4n+5,等比数列｛b n }的公比q 满足q=a n —a n —1(n≥2)且b 1=a 2，则|b 1｜+|b 2|+｜b 3|+…+|b n ｜=（ ）A.1-4n B 。

4n —1 C.1-4n3 D.4n-132。

(2014辽宁五校协作体联考,15)已知数列｛a n ｝满足a n =1+2+3+…+nn,则数列{1a n a n+1}的前n 项和为 。

3.（2014广东揭阳3月模拟,13)对于每一个正整数n,设曲线y=x n+1在点（1,1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lg x n ，则a 1+a 2+…+a 99= 。

4。

（2015河北石家庄调研)在数列{a n ｝中,已知a 1=14,a n+1a n=14,b n +2=3lo g 14a n (n∈N ＊). （1)求数列｛a n }的通项公式； (2)求证：数列｛b n ｝是等差数列;(3)设数列{c n }满足c n =a n +b n ，求｛c n ｝的前n 项和S n .5.（2014广东湛江二模,19）已知等差数列｛a n｝的首项a1=1，公差d>0，且a2,a5，a14分别是等比数列{b n｝的b2，b3,b4。

（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2）设数列｛c n}对任意正整数n均有c1b1+c2b2+…+c nb n=a n+1成立,求c1+c2+…+c2 014的值。

B组2014—2015年模拟·提升题组限时:50分钟1.（2015长春外国语学校期中）若数列｛a n}满足1a n+1—pa n=0，n∈N＊，p为非零常数,则称数列{a n｝为“梦想数列”.已知正项数列{1b n}为“梦想数列”,且b1b2b3…b99=299,则b8+b92的最小值是（）A。

高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题（含答案）一、单选题1．某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果小新同学贷款10000元，一年还清，假设月利率为0.25%，那么小新同学每月应还的钱约为（ ）（1.002512≈1.03） A ．833B ．858C ．883D ．9022．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（ ） A ．()()5111a γγ++-万元 B ．()()55111a γγγ++-万元C ．()()54111a γγγ++-万元 D ．()51a γγ+万元3．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（ ） A ．20%B ．32%C ．40%D ．50%4．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（ ）万元.（四舍五入，精确到整数） （参考数据：()21.05 1.1025=，()31.05 1.1576=，()41.05 1.2155=） A ．36B ．37C ．38D ．395．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G 基站时要到（ ） A ．2022年12月B ．2023年2月C ．2023年4月D ．2023年6月6．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则n a =（ ）A ．2192B ．39128n -C ．39208n -D ．39288n -7．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法.商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）A ．464B ．465C ．466D ．4958．某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1150万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率1%，当付清全部房款时，各次付款的总和为（ ） A ．1205万元B ．1255万元C ．1305万元D ．1360万元9．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a 元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为r ．按复利计算，则小李每个月应还（ ） A ．()()1111111ar r r ++-元 B ．()()1212111ar r r ++-元C ．()11111a r +元D ．()12111a r +元10．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（ ） A ．35B ．42C ．49D ．5611．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取()111.27.5=，()121.29=） A ．32500元B ．40000元C ．42500元D ．50000元12．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ） A ．2806万元B ．2906万元C ．3106万元D ．3206万元二、填空题13．小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.14．从2017年到2020年期间，某人每年6月1日都到银行存入1万元的一年定期储蓄．若年利率为20%保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄，到2020年6月1日，该人去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额为_______万元．15．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于______．16．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是____.三、解答题17．一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比． (1)求()*n n N ∈分钟后的水温n t ；(2)当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：lg 20.3≈）18．某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元.(1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？(2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其它项目，问应在第几年转投其它项目？19．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b . (1)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；(2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据41.05 1.215≈，51.05 1.276≈，61.05 1.340≈）20．2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年．突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金(2500)t t ≤万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元． （1）写出1n a +与n a 的关系式，并判断{}2n a t -是否为等比数列；（2）若企业每年年底上缴资金1500t =，第*()m m N ∈年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m 的最小值．21．流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月()*1929,k k k +≤≤∈N 日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人. （1）若9k =，求11月1日至11月10日新感染者总人数；（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.22．教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在你生日当天存入1000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%.(1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：71.1 1.95≈） (2)当你取出存款后，你就有了第一笔启动资金，你可以用你的这笔资金做理财投资.如果现在有三种投资理财的方案： ①方案一：每天回报40元；②方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； ③方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 你会选择哪种方案？请说明你的理由.23．已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A ．（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++； （Ⅲ）证明：当5n =时，成等比数列。