一次函数解决实际问题—销售问题教案(PDF版)

一次函数是初中数学学习的一个主要内容，它在数学中是一个非常基础的知识点，但是在现实生活中却具有重要的应用价值。

一次函数的解法能够帮助我们解决许多实际问题，比如求解直线方程、计算速度、距离等。

如何将一次函数的知识点应用到实际问题中，是初中数学学习最为重要的一环，下面将介绍一些教学案例，帮助学生更好地理解和掌握一次函数的应用。

一、直线方程问题：在解决直线方程问题时，一次函数是非常有用的。

比如说，兔子在跑步时，经过起点时速度是20米每秒，然后随着时间推移速度逐渐增加，最后在10秒钟时超过终点，求兔子的速度公式。

首先我们可以使用速度等于距离除以时间的公式：v=d/t。

因为兔子是在一条直线上跑步，所以可以将问题转化为一个直线方程。

在这个例子中，兔子的起点坐标为(0,0)，速度为20米每秒，所以直线方程为y=20x。

这个方程描述的是兔子的速度随着时间而变化的过程。

二、距离问题：距离问题也是一次函数非常有效的应用场景。

比如，一个人从起点出发，以10米每秒的速度向前行走，每40秒钟会有一个休息的时间，休息时不计算时间消耗，请计算出这个人在3分钟内行走的距离。

在这个例子中，我们可以将这个问题转化为一个一次函数的形式。

人的速度为10米每秒，因此他每走1秒的距离就是10米，一段时间内走的距离就是这段时间内的秒数*10米，如果这段时间中有多段时间休息，那么可以将这段时间分成多个小段，然后求各小段内的距离总和即可。

因此，这个问题转化成一次函数的形式为f(x)=10x-40*floor(x/40)。

三、速度问题：速度问题也是一次函数的应用场景之一。

比如，在一辆汽车行驶的过程中，它的速度随时间而变化，如果我们知道汽车在某一时刻的速度，可以计算出汽车行驶的距离、时间和最终速度。

在解决速度问题时，我们需要使用以下公式：v=dx/dt，其中v表示速度，d表示距离，t 表示时间。

因为速度是在一条直线上变化的，所以我们可以使用一次函数来描述速度-时间的关系，将速度公式转化为直线方程。

6.4 用一次函数解决问题（2）教学设计教材：义务教育教科书·数学（八年级上册）一、选择更优惠的商品问题1甲、乙两家公司的月出租汽车收取的月租费分别是y1（元）和y2（元），它们都是用车里程x（千米）的函数，图象如图所示.发布任务卡一：1.活动内容：结合情境和图像，设计一个问题，并解答；2.活动要求：小组成员合作完成任务，并指定发言人展示活动成果；3.活动时间：3分钟.二、选择更便利的交通问题2某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，有两种运输方式可供选择，主要参考数据如下：运输方式速度/（千米/时）途中综合费用/ （元/时）装卸费用/ 元汽车60 270 200火车100 240 410（1）请分别写出汽车、火车运输总费用y1（元）、y2（元）与运输路程x（千米）之间的函数表达式．（2）你认为用哪种运输方式好？发布任务卡二：1.活动内容：结合情境和表格中的数据，完成问题（1）和（2）；2.活动要求：（1）独立完成问题（1）、（2）；（2）小组讨论解决问题（2）的方法；（3）推荐小组发言人上台分享解题思路和方法；3.活动时间：8分钟。

归纳：独立思考：怎样从表格中提取信息？分别写出汽车、火车运输总费用y1（元）、y2（元）与运输路程x（千米）之间的函数表达式，y1＝200＋4.5x，y2＝410＋2.4x．根据函数表达式求出函数图像的交点坐标．讨论：（1）x为何值，y1＝y2．（2）x为何值，y1＞y2．（3）x为何值，y1＜y2．通过完成任务卡二，合作讨论、分析探究、寻求结果，在教师指导下顺利完成活动．用表格提供信息是人们常用的方式．由表格中的数据知道，汽车运输的装卸费用低，但途中损耗、管理等综合费用高，运输速度慢，火车运输的装卸费用高，但途中损耗、管理等综合费用低，运输速度快．是否选择火车运输较好？如何决策？这是一个具有挑战性的问题．通过学生的交流活动，使学生明确解决问题的基本思路和方法，是分别计算两种运输方式所需要的费用，然后再对相同的运输里程比较费用的大小．三、选择更适合的情境看图、选故事、讲故事根据图中的函数图像，选择符合x、y变化过程的实际意义的选项．A.当x表示时间（分钟）、y表示路程（千米）时，小明以250米/分钟的速度匀速骑自行车8分钟到达某地；在该地休息了6分钟；然后以200米/分钟的速度匀速骑自行车10分钟返回出发地．B.当x表示时间（秒）、y表示所跑的路程（米）时，小明以2米/秒的速度匀速跑8分钟到达某地；在该地休息了6分钟；然后以2米/分钟的速度匀速跑10分钟返回出发地．C. 2017年、2018年市场鸡蛋的价格，2017年1-8月，每月平均上涨0.25元/千克；2017年9月-2018年2月保持不变；2018年3月-12月平均每月下降0.2元/千克.任务卡三：1.活动内容：看图，讲故事2.活动要求：（1）看图，从三个选项中找出符合图像x、y变化过程的实际意义的选项；（2）小组合作，寻找其他符合x、y的变化过程的实际意义；3.活动时间：6分钟.解：选A、C学生合作，根据图像说出x、y变化过程的另一种实际意义的故事.本题由前面问题中实际背景（函数图像）到函数表达式上升到了“函数图像”到“函数表达式”再到“实际背景”中，对于学生是个挑战，让学生充分讨论交流并表达．三、过关斩将练习：1、如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象.下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（）A．①② B．②③④C．②③ D．①②③学生充分思考，小组交流、讨论，教师适时指点．通过完成三个任务卡，学生已经会通过图像找到交点，进一步确定自变量的范围的方法．三道习题让学生充分思考，尝试解答，达到了复习巩固的目的．也进一步体会，解决此类问题，就是要将实际问题转化为已经研讨。

《一次函数》数学教案
标题：《一次函数》数学教案
一、教学目标
1. 知识与技能：理解并掌握一次函数的概念和性质；能够正确地表示一次函数，并进行简单计算。

2. 过程与方法：通过实例引入一次函数，让学生在观察、思考和讨论中理解和掌握一次函数的相关知识。

3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容与重点难点
1. 教学内容：一次函数的概念、图象、性质及应用。

2. 重点：一次函数的概念、图象和性质。

3. 难点：一次函数的应用。

三、教学过程
1. 导入新课：通过生活中的实例（如出租车计费方式）引出一次函数的概念。

2. 新知探索：讲解一次函数的定义、图象和性质，并配以适当的例题进行解析。

3. 巩固练习：设计一系列习题，包括基础题、提高题和挑战题，帮助学生巩固所学知识。

4. 小结与作业：回顾本节课的重点内容，布置相关的课后作业。

四、教学策略
1. 创设情境：通过生活实例引发学生的兴趣，使他们更容易理解和接受新知识。

2. 启发引导：采用问题驱动的教学方式，引导学生主动思考，培养他们的探究精神。

3. 分层教学：针对不同层次的学生，设计不同的学习任务，满足他们的个性化需求。

五、教学评价
1. 形成性评价：通过课堂问答、小组讨论和作业批改等方式，及时了解学生的学习情况，给予反馈和指导。

2. 总结性评价：通过期中、期末考试等，对学生的学习成果进行全面的评估。

六、教学反思
在每次教学结束后，教师应反思自己的教学过程，总结经验，找出不足，以便更好地改进教学。

一次函数的应用（3）教学目标1.进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；2.在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；3.在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．4.在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣．教学重点一次函数图象的应用教学难点从函数图象中正确读取信息教学过程：1.如图，l 1反映了某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l 2反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的关系，根据图意填空：(1)当销售量为2吨时，销售收入=元，销售成本=元；(2)当销售量为6吨时，销售收入=元，销售成本=元；(3)当销售量等于时，销售收入等于销售成本；(4)当销售量时，该公司赢利(收入大于成本)；当销售量时，该公司亏损(收入小于成本)；(5) l 1对应的函数表达式是，l 2对应的函数表达式是。

2.例我边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇追赶（如图），下图中，分别表示两船相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分）之间的关系．A B 1l 2l s t根据图象回答下列问题：（1）哪条线表示到海岸的距离与时间之间的关系？（2），哪个速度快？（3）15 min 内能否追上？（4）如果一直追下去，那么能否追上？（5）当逃到离海岸海里的公海时，将无法对其进行检查．照此速度，能否在逃到公海前将其拦截？3. 如图，与分别表示步行与骑车同一路上行驶的路程与时间的关系．（1）出发时与相距多少千米？（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是多少小时？（3）出发后经过多少小时与相遇？课时小结本节课我们学习了一次函数图象的应用，在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象上获取信息解决问题，当然也可以设法得出各自对应的函数关系式，然后借助关系式完全通过计算解决问题。

《一次函数》教案（共5则）第一篇：《一次函数》教案《一次函数》教案马才义一．教学目标1、经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力。

2、理解一次函数和正比例函数的概念，能根据所给的条件写出简单的一次函数表达式，发展学生的数学应用能力。

教学重点、难点重点：理解一次函数和正比例函数的概念。

难点：能根据所给的条件写出简单的一次函数表达式。

二。

教学过程（一）问题的提出题的提出饮料每箱12瓶，售价55元，求买饮料的总价Y（元）与所买瓶数X（瓶）的关系式。

2 某弹簧的自然长度为3厘米，在弹簧限度内，所挂物体的质量X每增加12千克，弹簧长度Y增加0。

5厘米。

（1）计算所挂物体的质量为1千克2千克3千克4千克5千克、、、、、、X千克弹簧长度，并填入下表；X/千克 0 1 2 3 4 5、、、X Y/厘米（2）你能写出X与Y的函数之间的关系吗？（二）做一做某汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千米耗油9升。

（1）完成下表路程X/千米 0 50 100 150 200 300、、、余油Y/升（2）你能写出X与Y的函数之间的关系吗？说明：各题中的X 都有一定的限制。

问：观察上述关系式的特点，总结规律。

（三）一次函数定义、正比例函数的定义若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k,b为常数，k≠0）则称y是x的一次函数（x是自变量，y是因变量）。

特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。

（四）讲例例1写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x一次函数？是否为正比例函数？（1）汽车以60千米/时的速度行使，行使路程y（千米）与行使时间x（时）之间的关系。

（2）圆的面积y （cm2）与它的半径x（cm）之间的关系。

（3）一棵树现高50cm，每个月长高2cm，x月后这棵树的高度为y（cm）。

分析：本题较为简单，由学生完成。

例2 我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入不超过800元的部分不收税；月收入超过800元但不超过1300元的部分征收5%的所得税……如某人月收入1160元，他应缴个人工资、薪金所得税为（1160—800）*5%=18（元）。

一次函数的实际应用教案教学目标：通过学习一次函数的实际应用，使学生能够理解一次函数在实际问题中的应用，并能够解决相关问题。

教学重点：一次函数的实际应用和问题解决能力。

教学难点：运用一次函数解决实际问题。

教学准备：1. 手绘或打印一些一次函数实际应用的例子，如销售利润、车辆油耗等。

2. 准备黑板、彩色粉笔或白板、彩色笔。

教学过程：Step 1: 导入新知教师通过举例子的方式引入一次函数的概念和定义，并解释一次函数的含义和表达方式。

示例：假设小明去超市购买一些商品，每件商品的价格都是固定的10元，这个关系可以用一次函数来表示，即y = 10x，其中x表示购买的商品数量，y表示所需支付的金额。

Step 2: 手把手教学教师通过手把手的方式，以实际的应用场景为例，教授学生如何运用一次函数解决实际问题。

例子1：销售利润假设一个公司生产一种产品，成本固定为每件10元，该公司将每件产品卖给经销商12元，经销商再以15元的价格卖给消费者。

现在给定销售量x，要求学生计算该公司的销售利润。

解答步骤：1. 定义变量和函数：设定x为销售量，y为销售利润。

根据问题，成本为10元，售价为12元，则y = 2x。

2. 根据定义计算：当x=100时，y=2*100=200元，公司的销售利润为200元。

例子2：车辆油耗假设一辆汽车每行驶100公里需要消耗8升汽油，现在给定行驶距离x，要求学生计算所需汽油数量。

解答步骤：1. 定义变量和函数：设定x为行驶距离，y为消耗的汽油数量。

根据问题，每行驶100公里需要消耗8升汽油，即y = 8x/100。

2. 根据定义计算：当x=200公里时，y = 8*200/100 = 16升，所需汽油数量为16升。

Step 3: 实践演练教师提供更多的实际问题，让学生运用所学知识解决。

练习题1：某商场举办了一次性大甩卖，商品原价为100元/件，现在以折扣价80元/件出售，请计算购买x件商品时的总花费。

1.某商场某种品牌鞋子平均每天可销售20双，每双赢利44元，若每双降价1元，则平均每天可多销售5双，如果每天要赢利1600元，那么每双应降价多少元?2。

百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利,尽快减少库存．经市场调查发现:如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元？请先填空后再列方程求解：设每件童装降价元,那么平均每天就可多售出件，现在一天可售出件,每件盈利元．3。

某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系,每盆植入3株时，平均单株盈利3元，以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株?文档收集自网络，仅用于个人学习4.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元,每天可售出500千克．经市场调查发现,在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？文档收集自网络，仅用于个人学习5。

某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题．（1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？文档收集自网络，仅用于个人学习6。

商场某种新商品每件进价是120元,在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少?(2)在上述条件不变,商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？文档收集自网络，仅用于个人学习7.某商场推销一种书包,进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P （个）与每个书包销售价x （元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为37元时，每天销售26个．问：如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？文档收集自网络，仅用于个人学习8。

利用一次函数解决实际问题在利用一次函数解决实际问题时，会经常遇到这样的问题，在有的题目中，不论自变量x怎样变化，y和x的关系始终保持一次函数关系，而有的题目中，当自变量x发生变化时，随着x的取值范围不同，y和x的函数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发生了变化.这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线，我们把这类函数归类为分段函数.请同学们注意，这类函数在自变量的整个取值范围内不是一次函数，但把它适当分为几段后，每段内一般来说还仍然是一次函数。

因此，解这类分段函数的基本思路是：首先按照实际问题的意义，把x 的取值范围适当分为几段，然后，根据每段中的函数关系分别求解.请同学们完成下面的习题：1.商店在经营某种海产品中发现，其日销量y(kg)和销售单价x（元）/千克之间的函数关系如图所示.①写出y与之间的函数关系式并注明x的取值范围；②当单价为32元/千克时，日销售量是多少千克？③当日销售量为80千克时，单价是多少？第1题第2题2.(南京)某城市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20cm3时，按2元/立方米计费；月用水量超过20cm3时，超过的部分按2.6元/立方米计费.设每户家庭的月用水量为x cm3时，应交水费y元，①试求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数关系式.②小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月五月六月交纳金额（元）30 34 42.6小明家这个季度共用水多少立方米？3.自2008年3月1日起，我国征收个人所得税的起点由1600元提高到2000元，即月收入超过2000元的部分为全月应纳税所得额.全月应纳税所得额的划分和相应的税率如下表所示.设某人的月工资收入为x（元），月缴纳个人所得税为y（元），①试求出y与x间的函数关系式并注明x的取值范围.②如果某人月工资为3000元，问此人依法缴纳个人所得税后，他的实际收入是多少元？4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6 cm AD=10cm,动点M从点B出发，以每秒1cm 的速度沿BA-AD-DC运动，当M运动到点C时，点M停止运动.设点M的运动时间为t(s)，△BMC的面积为S（cm2）.①点M分别到达点A、点D、点C时，点M的运动时间；②求S与t之间的函数关系式，并注明t的取值范围；③当t=6s时，求△BMC的面积；④当△BMC的面积是20cm2时，求点M的运动时间.B C M第4题5.甲乙两位同学骑自行车同时从A 地出发行驶到B 地，他们离出发点的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数图像如图所示.根据图中提供的信息，①分别求出甲在停留前后s 与t 的函数关系式； ②求出乙的行驶过程中s 与t 的函数关系式；③比较甲在停留前后的速度和乙的速度，三个速度中 的速度最大， 的速度最小；④甲在停留之前超过乙的最大距离；⑤经过多长时间乙追上甲？乙追上甲时，他们距离出发地点多少千米？⑥甲停留以后又出发时，乙超过甲多少千米？ ⑦乙在到达目的地后，甲距目的地还有多少千米？⑧假设甲乙到达目的地后均不停留，分别按原来的速度继续前进，问甲能否追上乙？若能追上，从两人开始出发时计时，经过几小时甲追上乙；若不能追上，请说明理由.6.(2008·济南)济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出 物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）.储运部库存物资s(吨)与时间（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（ ）小时.A.4B.4.4C.4.8D.5（小时）第5题第6题参考答案1.①20≤x≤30时，y=-5x+200;30≤x≤35时y=-10x+350;，②30；③24.2. ①0≤x≤20时，y=-2x;x＞20时，y=2.6x+-1.2②15+17+21=533. 2000≤x＜2500时，y=0.05x-100，y=0.1x-225 4500≤x＜7500时，y=0.15x-4504. ①6s;16s;22;②0≤t＜6时，s=5t;6≤t＜16时，s=30;16≤t＜22时，s=110-5t③20;④4s或18s5.①0≤t≤0.25时,s=18t; 1≤t≤2时,s=13.5t-9②s=12t.③甲在停留前的速度最大；乙的速度最小.④1.5千米.⑤0.375小时，4.5千米.⑥7.5千米.⑦6.75千米.⑧能追上，6小时.6. B。

用一次函数解决实际问题教学目标（一）教学知识点利用一次函数知识解决相关实际问题．（二）能力训练目标体会解决问题方法多样性，发展创新实践能力。

教学重点灵活运用知识解决相关问题．教学难点灵活运用有关知识解决相关问题．教学过程1．提出问题，创设情境我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢？这将是我们这节课要解决的主要问题.Ⅱ．导入新课下面我们来学习一次函数的应用．例1．某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择.方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元.（1）请分别写出邮车、火车运输的总费用y1（元）、y2（元）与运输路程x（公里）之间的函数关系式；（2）你认为选用哪种运输方式较好，为什么？练习1.某单位急需用车，准备和甲、乙两个出租公司中的一家签订租车合同. 设汽车每月行驶x千米，每月应付给甲公司费用为y1元，应付给乙公司费用为y2元，y1，y2与x的函数关系如图所示，若该单位每月行驶的路程为4000km，为使费用最少，则该单位应该选择（）A.甲公司B.乙公司C.甲、乙都一样D.无法确定练习2.某中学为丰富学生的课余生活，准备购买一批每副售价50元的羽毛球拍和每筒售价10元的羽毛球.购买时，发现两个商场都在进行优惠促销活动．甲：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球；乙：按购买金额打9折付款．学校欲购买这种羽毛球拍10副，羽毛球x（x≥10）筒．（1）写出每种优优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙(元)与x(筒)之间的函数关系式．（2）当购买同样多的羽毛球时，按哪种优惠办法购买更省钱？（3）如果可以任意选择去一个商场购买，也可以同时去两个商场购买，那么购买这种羽毛球拍10副，羽毛球60筒.哪种购买方案最省钱．例2.绵阳中学英才学校初二16班赵老师友情赞助3400元资金，用于给45名同学学习进步的奖励.通过商议，决定拿出不少于1296元但不超过1348元的资金用于吃火锅，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本数学练习册作为纪念品．已知每件文化衫56元，每本练习册30元．（1）设用于购买文化衫和练习册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买的文化衫件数x（件）的函数关系式．（2）购买文化衫和练习册有哪几种方案？为使吃火锅的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．（3）班长去买文化衫时正好遇上老板心情好，决定每件降价a元出售，那么在第(2)问的几种方案中，为使吃火锅的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．通过这一活动让学生逐步学会应用有关知识寻求出解决实际问题的方法，提高灵活运用能力．这个实际问题的解决过程中是怎样思考的？820。

一次函数的应用用一次函数解决实际生活问题：常见类型：（1）求一次函数的解析式；（2）利用一次函数的图象与性质解决某些问题，如最大（小）值问题等.一次函数解决实际问题的步骤：(1)认真分析实际问题中变量之间的关系；(2)若具有一次函数关系，则建立一次函数的关系式；(3)利用一次函数的有关知识解题探究类型之一利用一个一次函数的方案选择例1：某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，购进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元.甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6 710元且不超过6 810元购进这两种商品共100件.(1)求这两种商品的进价；(2)该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？类似性问题1.某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套．经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元．（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳的23，求该校本次购买A型和B 型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？2.建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A，B两种树木，需要购买这两种树苗1000棵．A，B两种树苗的相关信息如下表：设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元．解答下列问题：（1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；（2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？（3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B种树苗多少棵？探究类型之二利用两个一次函数的方案选择例3 川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务.为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商.经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元.经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费.另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人.(1)分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式.(2)问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．探究类型之三利用一次函数与不等式的关系进行方案选择例4 某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示.（1）填空：甲种收费的函数关系式是___________________,乙种收费的函数关系式是___________________．（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？类似性问题1、某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用.该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球.设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B（元）.请解答下列问题：（1）分别写出y A和y B与x之间的关系式.（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案.2、某工厂有甲种原料130 kg，乙种原料144 kg. 现用这两种原料生产出A，B 两种产品共30件. 已知生产每件A产品需甲种原料5 kg，乙种原料4 kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3 kg，乙种原料6 kg，且每件B产品可获利900元. 设生产A产品x件(产品件数为整数件)，根据以上信息解答下列问题：(1)生产A，B两种产品的方案有哪几种；(2)设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出(1)中利润最大的方案，并求出最大利润.探究类型之四利用一次函数与图像解决问题。

6.4一次函数解决实际问题（销售问题）预习目标1．能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的表达式．2．能将简单的实际问题通过建立一次函数模型转化为数学问题，从而解决实际问题．3．在解决实际问题的过程中，初步体会方程与函数的关系．教材导读阅读教材P155～P156内容，回答下列问题：1．一次函数是刻画现实世界中物质之间关系的重要模型，其应用比比皆是．要将实际问题转化为与一次函数有关的数学问题，首先要分清哪些是变量，哪些是常量，哪个是自变量，哪个是因变量；其次是建立_______和_______之间的关系，这与列方程一样，不同的是建立一次函数关系时要关注_______的取值范围．2．利用一次函数的知识解应用题的一般步骤：(1)设定实际问题中的变量．(2)建立一次函数表达式．(3)确定自变量的取值范围，保证函数具有实际意义．(4)解答一次函数问题，如最大（小）值．(5)写出答案．例1小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格z（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系式如图2所示．（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值；（2）求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式；（3）试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？例3小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？（2）在（1）的条件下，该服装店在6月21日“父亲节”当天对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？练习：1．某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；（2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？2．为了实施教育均衡化，成都市决定采用市、区两级财政部门补贴相结合的方式为各级中小学添置多媒体教学设备，针对各个学校添置多媒体所需费用的多少市财政部门实施分类补贴措施如下表，其余费用由区财政部门补贴．添置多媒体所需费用（万元）补贴百分比不大于10万元部分80%大于10万元不大于m万元部分50%大于m万元部分20%其中学校所在的区不同，m的取值也不相同，但市财政部门将m调控在20至40之间（20≤m≤40）．试解决下列问题：（1）若某学校的多媒体教学设备费用为18万元，求市、区两级财政部门应各自补贴多少；（2）若某学校的多媒体教学设备费用为x万元，市财政部门补贴y万元，试分类列出y关于x的函数式；（3）若某学校的多媒体教学设备费用为30万元，市财政部门补贴y万元的取值范围为12≤y≤24，试求m的取值范围．。

苏科版数学八年级上册6.4《用一次函数解决问题》教学设计2一. 教材分析苏科版数学八年级上册 6.4《用一次函数解决问题》是学生在学习了函数概念、一次函数的性质等知识后的一个重要内容。

本节内容通过解决实际问题，让学生掌握一次函数在实际问题中的应用，培养学生的数学建模能力。

教材通过丰富的实例，引导学生利用一次函数解决问题，让学生体会数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一次函数的性质、图象与几何变换等知识。

但部分学生对一次函数在实际问题中的应用还不够熟练，需要老师在教学中给予引导和帮助。

此外，学生对实际问题的建模能力有待提高，需要老师通过实例进行培养。

三. 教学目标1.理解一次函数在实际问题中的应用，体会数学与生活的紧密联系。

2.掌握用一次函数解决问题的方法，提高数学建模能力。

3.培养学生的合作交流能力和问题解决能力。

四. 教学重难点1.重点：一次函数在实际问题中的应用。

2.难点：对实际问题进行数学建模，并用一次函数解决问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生通过自主学习、合作交流，提高一次函数在实际问题中的应用能力。

六. 教学准备1.教材、教案、PPT等教学资料。

2.相关实际问题素材。

3.投影仪、黑板、粉笔等教学用品。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题引入本节课的主题，如“某商店进行打折促销，原价100元的商品打8折，求打折后的价格”。

让学生思考如何用一次函数解决这个问题。

2.呈现（10分钟）呈现几个与生活紧密相关的一次函数实际问题，如“某城市的气温随时间的变化”、“某商品的销售价格随销售量的变化”等。

让学生观察这些问题中的一次函数关系，并尝试用一次函数进行描述。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际问题，尝试用一次函数进行建模并解决问题。

教师在这个过程中给予引导和帮助，确保学生能够正确地用一次函数解决问题。

第4课时一次函数与实际问题1．根据问题及条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，能够将实际问题转化为一次函数的问题．(重点)一、情境导入联通公司话费收费有A套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y1(元)，B套餐每月话费为y2(元)，月通话时间为x(分钟)．(1)分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？(3)什么情况下A套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题【类型一】利用一次函数解决最值问题广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：进价(元/千克)售价(元/千克) 甲种58乙种913(1)假设该水果店预计进货款为1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，列出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x千克，那么购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x ＋9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x ＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560.∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35.∵－1<0，∴W随x的增大而减小，那么x越小W越大．∴当x＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．【类型二】利用一次函数解决有关路程问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1h后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2h装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地的时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；(2)邮政车出发多久与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由“速度＝路程÷时间〞就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追及问题设邮政车出发a h 与自行车队首次相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以求出D 的坐标，由待定系数法求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得自行车队行驶的速度为72÷3＝24(km/h)．(2)由题意得邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a h 与自行车队首次相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23.答：邮政车出发23h 与自行车队首次相遇；(3)由题意得邮政车到达丙地的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发返回甲地前共用时为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C (7.5，0)．自行车队到达丙地的时间为135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设直线BC 的解析式为y 1＝k 1＋b 1，由题意得⎩⎨⎧135＝214k 1＋b 1k 1＋b 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450.∴y 1＝－60xED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得错误!解得错误!∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【类型三】 利用一次函数解决图形面积问题如图①，底面积为30cm 2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h (cm)与注水时间t (s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm 3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm 2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s ；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)，注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)．再设匀速注水的水流速度为x cm 3/s ，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm ，根据圆柱的体积公式得a ·(30－15)＝18×5，解得a ＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm ，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm 2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S )＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型四】利用一次函数解决销售问题某社区活动中心准备购置10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．设在A超市购置羽毛球拍和羽毛球的费用为y A(元)，在B超市购置羽毛球拍和羽毛球的费用为y B(元)．请解答以下问题：(1)分别写出y A、y B与x之间的关系式；(2)假设该活动中心只在一家超市购置，你认为在哪家超市购置更划算？(3)假设每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购置方案．解析：(1)根据购置费用＝单价×数量建立关系就可以表示出y A、y B的解析式；(2)分三种情况进行讨论，当y A＝y B时，当y A ＞y B时，当y A＜y B时，分别求出购置划算的方案；(3)分两种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比拟就可以求出结论．解：(1)由题意得y A＝(10×30＋3×10x)×0.9＝27x＋270；y B＝10×30＋3(10x－20)＝30x＋240；(2)当y A＝y B时，27x＋270＝30x＋240，得x＝10；当y A＞y B时，27x＋270＞30x＋240，得x＜10.∵x≥2，∴2≤x＜10；当y A ＜y B时，27x＋270＜30x＋240，得x＞10；∴当2≤x＜10时，到B超市购置划算，当x＝10时，两家超市一样划算，当x＞10时，在A超市购置划算；(3)由题意知x＝15，15＞10，∴只在一家超市购置时，选择A超市划算，y A＝27×15＋270＝675(元)．在两家超市购置时，先选择B超市购置10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购置剩下的羽毛球：(10×15－20)×3×0.9＝351(元)，共需要费用10×30＋351＝651(元)．∵651元＜675元，∴最正确方案是先选择B超市购置10副羽毛球拍，然后在A超市购置130个羽毛球．方法总结：此题考查了一次函数的解析式的运用，分类讨论的数学思想的运用，方案设计的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【类型五】利用图表信息解决实际问题某工厂生产甲、乙两种不同的产品，所需原料为同一种原材料，生产每吨产品所需原材料的数量和生产过程中投入的生产本钱的关系如表所示：产品甲乙原材料数量(吨)1 2生产本钱(万元)4 2假设该工厂生产甲种产品m吨，乙种产品n 吨，共用原材料160吨，销售甲、乙两种产品的利润y (万元)与销售量x (吨)之间的函数关系如以下图，全部销售后获得的总利润为200万元．(1)求m 、n 的值；(2)该工厂投入的生产本钱是多少万元？解析：(1)求出甲、乙两种产品每吨的利润，然后根据两种原材料的吨数和全部销售后的总利润，列出关于m 、n 的二元一次方程组，求解即可；(2)根据“生产本钱＝甲的本钱＋乙的本钱〞，列式计算即可得解．解：(1)由图可知，销售甲、乙两种产品每吨分别获利6÷2＝3(万元)、6÷3＝2(万元)．根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝160，3m ＋2n ＝200，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝20，n ＝70；(2)由(1)知，甲、乙两种产品分别生产20吨、70吨，所以投入的生产本钱为20×4＋70×2＝220(万元)．答：该工厂投入的生产本钱为220万元． 方法总结：此题考查了一次函数的应用，主要利用了列二元一次方程组解决实际问题，根据表格求出两种产品每吨的利润，然后列出方程组是解题的关键．三、板书设计1．利用一次函数解决最值问题 2．利用一次函数解决有关路程问题 3．利用一次函数解决图形面积问题 4．利用一次函数解决销售问题 5．利用图表信息解决实际问题本节课的设计，力求表达新课程改革的理念，结合学生自主探究的时间，为学生营造宽松、和谐的气氛，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养学生的探索能力和创新能力，激发学生学习的积极性．在学生选择解决问题的诸多方法的过程中，不过多地干预学生的思维，而是通过引导学生自己去探究来选择适宜的方法解决问题．第2课时百分率和配套问题教学目标1．学会运用二元一次方程组解决百分率和配套问题；2．进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程。

应用一次函数知识解决实际问题（说课）一、教材分析：⑴地位与作用初中数学教学大纲提出，要“学会运用数学知识，解决简单的实际问题，并在这个过程中提高学生学习数学的兴趣，增强用数学的意识” 。

纵观近年来全国各省市的中考试题，不难发现，函数应用题的数量逐年增加，这类考题摆脱了以往传统的模式，构思新颖、贴近实际生活，不但富有时代气息，而且考查和增强了学生应用数学的能力和意识。

教材《函数及其图象》、《一次函数》中的学习要求是“能够把实际问题中的一次函数和正比例函数用解析式表示出来”。

而初三中考备考复习课应源于教材，高于教材的。

通过复习课的学习，将会对课本知识起到巩固与深化的作用，并且在探究如何运用课本知识、思想方法将实际问题抽象成为数学模型，再将所得模型进行转换和运算，从实际问题中建立数学模型的同时，树立学生学习数学、应用数学、改造数学、发展数学的观念，培养学生的创新意识。

因此对于这一内容应将其作为掌握的重点来学习。

“应用一次函数知识解决实际问题”的整个过程中蕴含着丰富的数学思想和方法。

通过这一问题的探究性学习，有利于帮助学生树立已知与未知，特殊与一般在一定条件下可以转化的建模思想、数形结合思想、集合与对应思想等，使学生进一步学会分类讨论和把一般问题化为特殊问题的化归与转化思考方法，掌握用变量和函数来思考问题的函数的思想方法，提高学生的分析综合能力。

⑵重点与难点依据本课时的地位与作用，及现代教学理念确定本节课的教学重点为：①引导学生联系生活事例充分经历体验一次函数解析式的构造、建立的全过程，并能熟练地把实际问题中的一次函数和正比例函数用解析式表示出来。

培养学生建模意识、用变量和函数来思考问题的函数的思想方法。

②引导学生探究确定函数自变量取值范围和已知自变量的值求函数值的方法，初步建立集合与对应思想。

由于函数具有较高的抽象性和动态变化过程，其中蕴含众多的数学思想，初三学生虽然具备了一定的推理能力和分析综合能力，但要求学生自主发现实际问题的不同取值范围还是比较困难的，而自变量的取值范围，又决定了函数值的变化范围．因此，确定本节课的难点是：确定函数自变量取值范围。