[八年级数学上学期月考考试考情分析]八年级上学期数学

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【北师大版】专题3.1第一次月考阶段性测试卷（10月培优卷，八上北师大第1~2章）班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•滨海新区期末）25的算术平方根是（ ）A ．﹣5B ．±5C ．25D ．52．（2023•邵阳县校级模拟）下列各组数中互为相反数的是（ ） A ．﹣2与√(−2)2 B ．﹣2与√−83 C ．﹣2与−12 D ．2与|﹣2|3．（2022秋•徐汇区校级期末）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√0.2bB ．√12a −12bC ．√x 2−y 2D ．√5ab 24．（2023•新都区模拟）代数式√x+1x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣1且x ≠0 B ．x ≥﹣1 C ．x ＜﹣1 D ．x ＞﹣1且x ≠05．（2023春•孝感期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝2，以AB 为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）A ．6B ．9C ．13D ．256．（2023春•长垣市期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C 到旗杆底部B 的距离为5米，则旗杆的高度为（ ）米．A．5B．12C．13D．177．（2022秋•昌图县期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝3：4：58．（2021秋•诸暨市期中）若9−√13的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b等于（）A．12−√13B．13−√13C．14−√13D．15−√139．（2023春•赵县期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）A．h≤17B．h≥8C．15≤h≤16D．7≤h≤1610．（2022秋•高州市期末）下面图形能够验证勾股定理的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2023春•南陵县期末）√8与最简二次根式√m+1是同类二次根式，则m＝．12．（2023春•华蓥市校级期末）直角三角形的两条直角边长分别为√2cm、√10cm，则这个直角三角形的斜边长为，面积为．13．（2023春•丰台区校级期中）已知√6.213≈2.493，√62.13≈7.882，则√62130≈．14．（2023春•五莲县期末）已知a＝3+2√2，b＝3﹣2√2，则a2b﹣ab2＝．15．（2022秋•兴隆县期末）如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝．16．（2023•宁津县校级开学）如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC＝30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为米．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2021秋•乐山期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．18．计算：（1）2√3（√12−√75+13√108）（2）（√a3b−√ab3）√ab（3）（√2−√12）（√18+√48）（4）（5√12−6√32）（14√8+√23）（5）（2√7+5√2）（5√2−2√7）（6）(√3+√2)2013×(√3−√2)2012．19．（2023•江门校级三模）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC 沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．20．（2022秋•巴中期末）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是√43的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求2a﹣b+92c的平方根．21．（2023春•金安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝；（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；（3）利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．22．（2023春•金乡县月考）在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝2c2，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如△ABC的三边长分别是√2，√6和2，因为（√2）2+（√6）2＝2×22，所以△ABC是“类勾股三角形”．小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！根据对话回答问题：（1）判断：小璐的说法；（填“正确”或“错误”）（2）已知△ABC的其中两边长分别为1，√7，若△ABC为“类勾股三角形”，则另一边长为；（3）如果Rt△ABC是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且x＜y，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积．23．（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【北师大版】专题3.1第一次月考阶段性测试卷（10月培优卷，八上北师大第1~2章）班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•滨海新区期末）25的算术平方根是（ ）A ．﹣5B ．±5C ．25D ．5 【答案】D【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．【解答】解：25的算术平方根是：5．故选：D ．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确把握定义是解题关键．2．（2023•邵阳县校级模拟）下列各组数中互为相反数的是（ ） A ．﹣2与√(−2)2B ．﹣2与√−83C ．﹣2与−12D ．2与|﹣2| 【答案】A【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A 、√(−2)2=2，﹣2与√(−2)2是互为相反数，故本选项正确； B 、√−83=−2，﹣2与√−83相等，不是互为相反数，故本选项错误；C 、﹣2与−12是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误；D 、|﹣2|＝2，2与|﹣2|相等，不是互为相反数，故本选项错误．故选：A ．【点评】本题考查了实数的性质，对各项准确计算是解题的关键．3．（2022秋•徐汇区校级期末）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√0.2bB ．√12a −12bC ．√x 2−y 2D ．√5ab 2 【答案】C【分析】A 选项的被开方数中含有分母；B 、D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有C 选项符合最简二次根式的要求．【解答】解：因为：A 、√0.2b =√5b 5； B 、√12a −12b =2√3a −3b ；D 、√5ab 2=√5a |b |；所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选：C ．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．4．（2023•新都区模拟）代数式√x+1x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣1且x ≠0B ．x ≥﹣1C ．x ＜﹣1D ．x ＞﹣1且x ≠0【答案】A【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意，得{x +1≥0x ≠0， 解得：x ≥﹣1且x ≠0．故选：A ．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值后，应排除在取值范围内使分母为0的x 的值．5．（2023春•孝感期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝2，以AB 为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）A ．6B ．9C ．13D ．25【答案】C【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由正方形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，∴AB=√AC2+BC2=√32+22=√13，∴正方形的面积＝（√13）2＝13．故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．6．（2023春•长垣市期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杆的高度为（）米．A．5B．12C．13D．17【答案】B【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【解答】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．故选：B．【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．7．（2022秋•昌图县期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝3：4：5【答案】C【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【解答】解：A、∵∠B＝∠C+∠A，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，故△ABC是直角三角形；B、∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，故△ABC是直角三角形；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；D、由条件可设a＝3k，则b＝4k，c＝5k，那么a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．8．（2021秋•诸暨市期中）若9−√13的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b等于（）A．12−√13B．13−√13C．14−√13D．15−√13【答案】C【分析】先估算√13的大小，再估算9−√13的大小，进而确定a、b的值，最后代入计算即可．【解答】解：∵3＜√13＜4，∴﹣4＜−√13＜−3，∴5＜9−√13＜6，又∵9−√13的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝5，b＝9−√13−5＝4−√13，∴2a+b＝10+（4−√13）＝14−√13，故选：C．【点评】本题考查估算无理数，掌握无理数估算的方法是解决问题的前提，理解无理数的整数部分和小数部分的表示方法是得出正确答案的关键．9．（2023春•赵县期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）A．h≤17B．h≥8C．15≤h≤16D．7≤h≤16【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h＝24﹣8＝16cm；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD＝15，BD＝8，∴AB=√AD2+BD2=17，∴此时h＝24﹣17＝7，所以h的取值范围是7≤h≤16．故选：D．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．10．（2022秋•高州市期末）下面图形能够验证勾股定理的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题．【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×12ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×12ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．第三个图形：梯形的面积=12（a+b）（a+b）＝2×12×ab+12c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直角三角形的面积的和，即（b−b−a2）（a+b−a2）=12ab+12c⋅12c，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理，∴能够验证勾股定理的有4个．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2023春•南陵县期末）√8与最简二次根式√m+1是同类二次根式，则m＝1．【答案】见试题解答内容【分析】先把√8化为最简二次根式2√2，再根据同类二次根式得到m+1＝2，然后解方程即可．【解答】解：∵√8=2√2，∴m+1＝2，∴m＝1．故答案为1．【点评】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．12．（2023春•华蓥市校级期末）直角三角形的两条直角边长分别为√2cm、√10cm，则这个直角三角形的斜边长为2√3cm，面积为√5cm2．【答案】见试题解答内容【分析】此题直接利用勾股定理及三角形的面积解答即可．【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长=√(√2)2+(√10)2=2√3cm；直角三角形的面积=12×√2×√10=√5cm2．故填2√3cm，√5cm2．【点评】此题主要考查勾股定理及三角形的面积．13．（2023春•丰台区校级期中）已知√6.213≈2.493，√62.13≈7.882，则√62130≈249.3．【答案】249.3．【分析】根据“被开方数的小数点向右或向左移动2位，它们的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位”解答即可．【解答】解：∵被开方数62130可由6.213的小数点向右移动4位得到，∴√62130可由√6.123的算术平方根2.493的小数点向右移动2位得到，即√62130≈249.3．故答案为：249.3．【点评】本题考查算术平方根的规律，熟悉被开方数小数点移动与其算术平方根小数点移动的规律是解题的关键．14．（2023春•五莲县期末）已知a＝3+2√2，b＝3﹣2√2，则a2b﹣ab2＝4√2．【答案】见试题解答内容【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：∵a＝3+2√2，b＝3﹣2√2，∴ab＝9﹣8＝1，a﹣b＝4√2，∴原式＝ab（a﹣b）＝4√2，故答案为：4√2【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．15．（2022秋•兴隆县期末）如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝7．【答案】见试题解答内容【分析】连续运用勾股定理即可解答．【解答】解：由勾股定理可知OB=√5，OC=√6，OD=√7∴OD2＝7．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．16．（2023•宁津县校级开学）如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC＝30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为600√3米．【答案】见试题解答内容【分析】过点C作CO⊥AB，垂足为O，由图可看出，三角形OAC为一直角三角形，已知一直角边和一角，则可求斜边．【解答】解：过点C作CO⊥AB，垂足为O，∵BD＝900，∴OC＝900，∵∠EAC＝30°，∴∠ACO＝30°．在Rt△AOC中，∵AC＝2OA，设OA＝x，则AC＝2x，（2x）2﹣x2＝OC2＝9002，∴x2＝270000，∴x＝300√3∴AC＝600√3米．故答案为600√3．【点评】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理．三．解答题（共7小题）17．（2021秋•乐山期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意，可以分别求得BC 、AC 、AB 的长，然后利用勾股定理的逆定理，即可判断△ABC 的形状；（2）根据等积法，可以求得AB 边上的高．【解答】解：（1）△ABC 为直角三角形， 理由：由图可知，AC =√22+42=2√5，BC =√12+22=√5，AB =√32+42=5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形；（2）设AB 边上的高为h ， 由（1）知，AC =2√5，BC =√5，AB ＝5，△ABC 是直角三角形，∴12BC ⋅AC =12AB ⋅ℎ， 即12×√5×2√5=12×5h ，解得，h ＝2， 即AB 边上的高为2．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．计算： （1）2√3（√12−√75+13√108）（2）（√a 3b −√ab 3）√ab（3）（√2−√12）（√18+√48）（4）（5√12−6√32）（14√8+√23）（5）（2√7+5√2）（5√2−2√7）（6）(√3+√2)2013×(√3−√2)2012．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先把括号内的各二次根式化为最简二次根，然后合并后进行二次根式的乘法运算；（2）先把括号内的各二次根式化为最简二次根，然后合并后进行二次根式的乘法运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根，然后合并后进行二次根式的乘法运算；（4）先进行二次根式的乘法运算，然后合并即可；（5）利用平方差公式计算；（6）利用积的乘方进行计算．【解答】解：（1）原式＝2√3（2√3−5√3+2√3）＝2√3×（−√3）＝﹣6；（2）原式＝（a√ab−b√ab）•√ab=（a﹣b）√ab•√ab=ab（a﹣b）＝a2b﹣ab2；（3）原式＝（√2−2√3）（3√2+4√3）＝6+4√6−6√6−24＝﹣2√6−18；（4）原式=54√12×8+5√12×23−32√32×8−6√32×23=52+5√33−3√3−6=−72−4√33；（5）原式＝（5√2）2﹣（2√7）2＝50﹣28＝22；（6）原式＝[（√3+√2）（√3−√2）]2012•（√3+√2）=√3+√2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．19．（2023•江门校级三模）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC 沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．【答案】见试题解答内容【分析】先由勾股定理求AB＝10．再用勾股定理从△DEB中建立等量关系列出方程即可求CD的长．【解答】解：∵两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD＝DE，AE＝AC＝6，∴BE＝10﹣6＝4，设DE＝CD＝x，BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3．即CD的长为3cm．【点评】此题不但考查了勾股定理，还考查了学生折叠的知识，折叠中学生一定要弄清其中的等量关系．20．（2022秋•巴中期末）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是√43的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求2a﹣b+92c的平方根．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据立方根、算术平方根、无理数的估算即可求出a、b、c的值；（2）求出代数式2a﹣b+92c的值，再求这个数的平方根．【解答】解：（1）∵3a+1的立方根是﹣2，∴3a+1＝﹣8，解得，a＝﹣3，∵2b﹣1的算术平方根是3，∴2b﹣1＝9，解得，b＝5，∵√36＜√43＜√49，∴6＜√43＜7，∴√43的整数部分为6，即，c＝6，因此，a＝﹣3，b＝5，c＝6，（2）当a＝﹣3，b＝5，c＝6时，2a﹣b+92c=−6﹣5+92×6＝16，2a﹣b+92c的平方根为±√16=±4．【点评】本题考查算术平方根、立方根、无理数的估算，掌握算术平方根、立方根和无理数的估算是正确解答的前提．21．（2023春•金安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝14﹣x；（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；（3）利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接利用BC的长表示出DC的长；（2）直接利用勾股定理进而得出x的值；（3）利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：（1）∵BC＝14，BD＝x，∴DC＝14﹣x，故答案为：14﹣x；（2）∵AD⊥BC，∴AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝AB2﹣BD2，∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，解得：x＝9；（3）由（2）得：AD=√AB2−BD2=√152−92=12，∴S△ABC=12•BC•AD=12×14×12＝84．【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出AD的长是解题关键．22．（2023春•金乡县月考）在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝2c2，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如△ABC的三边长分别是√2，√6和2，因为（√2）2+（√6）2＝2×22，所以△ABC是“类勾股三角形”．小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！根据对话回答问题：（1）判断：小璐的说法 正确 ；（填“正确”或“错误”）（2）已知△ABC 的其中两边长分别为1，√7，若△ABC 为“类勾股三角形”，则另一边长为 2或√13 ； （3）如果Rt △ABC 是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x ，y ，z （x ，y 为直角边长且x ＜y ，z 为斜边长），用只含有x 的式子表示其周长和面积．【答案】（1）正确；（2）2或√13；（3）周长为（1+√2+√3）x ，面积为√22x 2． 【分析】（1）根据“类勾股三角形”的定义进行判断即可；（2）设出第三边，利用“类勾股三角形”的定义分三种情况讨论求解并进行验证即可；（3）根据勾股定理和类勾股三角形的性质将b 、c 用a 表示，即可求出结果．【解答】解：（1）设等边三角形三边长分别是a ，b ，c ，则a ＝b ＝c ，∴a 2+b 2＝2c 2，∴等边三角形是“类勾股三角形”，∴小璐的说法正确．故答案为：正确；（2）设另一边长为x ，①12+（√7）2＝2x 2，解得x ＝2，符合题意；②12+x 2＝2（√7）2，解得x =√13，符合题意；③x 2+（√7）2＝2×12，x 无解；故答案为：2或√13；（3）∵Rt △ABC 是“类勾股三角形”且x ＜y ，z 为斜边长，∴x 2+z 2＝2y 2，由勾股定理得x 2+y 2＝z 2，整理得x 2+x 2+y 2＝2y 2，即2x 2＝y 2，∴y =√2x ， ∴z 2＝3x 2，∴z =√3x ，∴Rt △ABC 的周长为x +y +z ＝（1+√2+√3）x ，Rt △ABC 的面积为12xy =12x •√2x =√22x 2． 【点评】本题考查勾股定理，理解题目中的新定义及掌握勾股定理是解题关键．23．（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．【答案】（1）7；（2）答案见解答．【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD=√AB2−BD2=√132−52=12，Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH在△CHB和△AEF中，∵{BH=EF∠CBH=∠AFE=45°BC=AF，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．【点评】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键．。

2024—2025学年八年级数学第一次学科素养训练调查试卷一、选择题（共16分）1. 如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【详解】解：A、不是轴对称图形;B、是轴对称图形;C、不是轴对称图形;D、不是轴对称图形;故选：B．∠等于（）2. 已知图中的两个三角形全等，则1A. 72°B. 60°C. 50°D. 58°【答案】D【解析】【分析】此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．【详解】∵图中的两个三角形全等，1∠是边a 和c 所夹的角∴1180507258∠=°−°−°=°． 故选：D ．3. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一个锐角对应相等C. 斜边和一条直角边对应相等D. 一条直角边和一个锐角分别相等 【答案】D【解析】【分析】直角三角形全等的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL ，根据定理逐个判断即可．【详解】解：A 、符合SAS 定理，根据SAS 可以推出两直角三角形全等，故本选项不符合题意； B 、符合AAS 定理，根据AAS 可以推出两直角三角形全等，故本选项不符合题意；C 、符合HL 定理，根据HL 可以推出两直角三角形全等，故本选项不符合题意；D 、当一边是两角的夹边，另一个三角形是一角的对边时，两直角三角形就不全等，故本选项符合题意； 故选D ．【点睛】此题主要考查直角三角形的判定方法，解题的关键是熟知全等三角形的判定及直角三角形的全等判定.4. 如图， AD 是 ABC 的角平分线， DE AB ⊥ ，垂足为E ， 9ABC S = ， 2DE = ， 5AB = ，则 AC 长为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点D 作DFAC ⊥于F ，然后利用ABC 的面积公式列式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．【详解】如图，过点D 作DF AC ⊥于F ，∵AD 是ABC 的角平分线，DFAC ⊥，DE AB ⊥， ∴2DE DE ==，∵9ABC ABD ADC S S S =+= ， ∴11922AB DE AC DF ×+×=， ∴11522922AC ××+×=， ∴4AC =，故选：B ．5. 如图，直线l ，m 相交于点O ．P 为这两直线外一点，且 2.8OP =．若点P 关于直线l ，m 的对称点分别是点1P ，2P ，则1P ，2P 之间的距离可能是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】 【分析】连接 112212,,,,OP PP OP PP PP ，根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【详解】解：如图，连接 112212,,,,OP PP OP PP PP ，∵ P 1是 P 关于直线 l 的对称点，∴ 直线 l 是 PP 1的垂直平分线，∴ 1= 2.8OP OP =，∵ P 2是 P 关于直线 m 的对称点，∴ 直线 m 是 PP 2的垂直平分线，∴ 2= 2.8OP OP =，当 P 1，O ，P 2不在同一条直线上时， 121212OP OP PP OP OP <<−+即 120 5.6PP <<，当 P 1，O ，P 2在同一条直线上时， 1212 5.6PP OP OP =+=，∴1P ，2P 之间的距离可能是5，故选：A ．【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键．6. 如图，在AOB 中，60AOB ∠=°，OA OB =，动点C 从点О出发，沿射线OB 方向移动，以AC 为边向右侧作等边ACD ，连接BD ，则下列结论不一定成立的是（ ）A. 120OBD ∠=°B. //OA BDC. CB BD AB +=D. AB 平分CAD ∠【答案】D【解析】 【分析】根据已知可得AOB 是等边三角形，再证明AOC ABD ≅ ，可得结论．【详解】解：∵60AOB ∠=°，OA OB =，∴AOB 是等边三角形，∴60OAB ABO ∠=∠=°，OA OB AB ==， ∵等边ACD ，∴60OAB CAD °∠=∠=，CA AD CD ==，∴OAC BAD ∠=∠，∴AOC ABD ≅ ，∴60ABD AOC ∠=∠=°，CO BD =，∴+=120ABD OBD ABO ∠∠∠=°，==CB BD CB OC OB AB +=+，∴+=180OBD AOB ∠∠°，∴//OA BD ；选项A 、B 、C 一定成立，D 不一定成立，故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形判定定理证明全等．7. 如图，AOB ADC △≌△（O ∠和D ∠是对应角），90O ∠= ，若OAD α∠=，ABO β∠=．当BC OA ∥时，α与β之间的数量关系为（ ）A. αβ=B. 2αβ=C. 90αβ+=D. 2180αβ+=【答案】B【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，平行线的性质，熟练掌握相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据AOB ADC △≌△，90O ∠= ，ABO β∠=，可知AB AC =，90CAD OAB β∠=∠=°−，结合BC OA ∥和等腰三角形性质可得90CAD OAB ABC ACB β∠=∠=∠=∠=°−，180OAC ACB ∠+∠=°，将OAC ACB ∠+∠展开为OAD ACB CAD ∠+∠+求解，即可解题．【详解】解：AOB ADC △≌△（O ∠和D ∠对应角），90O ∠= ，AB AC ∴=，90CAD OAB β∠=∠=°−，ABC ACB ∴∠=∠，BC OA ∥，90CAD OAB ABC ACB β∴∠=∠=∠=∠=°−，180OAC ACB ∠+∠=°，()290180OAC ACB OAD ACB CAD αβ∴∠+∠=∠+∠+∠=+°−=°，2αβ∴=，故选：B ．8. 如图，点P 为定角AOB ∠的平分线上的一个定点，且MPN ∠与AOB ∠互补，若MPN ∠在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA OB ，交于点M N ，，则一下结论：①PM PN =恒成立；②OM ON +的值不变；③四边形PMON 的面积不变；④MN 的长不变；其中正确的个数为（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】根据角平分线的性质，作PE OA PF OB ⊥⊥，，可得PE PF OE OF MPE NPF == ，，≌，由此可判定①②③，连接EF ，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解．【详解】解：∵点P 在AOB ∠的角平分线上，∴AOP BOP ∠=∠，如图所示，过点P 作PE OA ⊥于点E ，作PF OB ⊥于点B ，是∴90PEO PFO ∠=∠=°，PE PF =，OE OF =，∴在四边形PEOF 中，180EOF EPF ∠+∠=°，∵180AOB MPN ∠+∠=°，∴MPN EPF ∠=∠，即MPE EON EON NOF ∠+∠=∠+∠，∴MPE NPF ∠=∠，∴()MPE NPF SAS ≌，∴PM PN =，故①正确；由①正确可得，ME NF =，∴22OM ON OE EM OF NF OE OF +=++−==，故②正确；由MPE NPF ≌可得MPE NPF S S = ，∴MPE EPO OPN EPO OPN NPF PMON PEOF S S S S S S S S ++=++== 四边形四边形，∴四边形PMON 的面积是定值，故③正确；如图所示，连接EF ，由上述结论可得，PM PN PE PF ==，，MPN EPF ∠=∠，PM PE >，PN PF >，∴MN CD ≠，即MN 的长度发生变化，故④错误；综上所述，正确的有①②③，共3个，故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键．二、填空题（共20分）9. 等腰三角形的一个外角的度数是80°，则它底角的度数为___________°．【答案】40【解析】【分析】根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为80°，∴相邻角为18080100°−°=°，∵三角形的底角不能为钝角，∴100°角为顶角，∴底角为：(180100)240°−°÷=°． 故答案为：40．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．10. 如图，点E F 、在BC 上，BF CE A D =∠=∠，．请添加一个条件______，使ABF DCE ≌△△．【答案】B DEF ∠=∠（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据已知条件中的一边一角，再添加一组对角相等即可．【详解】解：∵BF CE A D =∠=∠，，再添加B DEF ∠=∠，根据“角角边”就能证明ABF DCE ≌△△．故答案为：B DEF ∠=∠（答案不唯一）． 11. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是∠BOA 的角平分线．”小明的做法，其理论依据是__【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上【解析】【分析】根据角平分线的性质即可证明.【详解】因为直尺的宽度一样，故点P 到AO 与BO 的距离相等，故可知PO 为角平行线.【点睛】此题主要考查角平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质.12. 如图，ABC 是等边三角形，D ，E 分别是AC BC ，上的点，若25AE AD CED =∠=°，，则BAE ∠=_____°．【答案】50【解析】【分析】利用等边三角形的性质可得60C BAC ∠=∠=°，从而利用三角形的外角性质可得85ADE ∠=°，然后利用等腰三角形的性质可得85AED ADE ∠=∠=°，从而利用三角形的内角和定理可得10DAE ∠=°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60C BAC ∠=∠=°，∵25CED ∠=°，∴85ADE CED C ∠=∠+∠=°，∵AE AD =，∴85AED ADE ∠=∠=°， ∴18010DAE AED ADE ∠=°−∠−∠=°，∴601050BAE BAC DAE ∠=∠−∠=°−°=°，故答案为：50．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．13. 如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，ED ∥BC ，AB ＝9，AD ＝6，则△AED 的周长为 ___．【答案】15【解析】【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可求得BE=DE，则可求得答案．【详解】解：∵ED∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∴∠EDB=∠ABD，∴DE=BE，∴AE+ED+AD=AE+BE+AD=AB+AD=9+6=15，即△AED的周长为15，故答案为：15．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，证得DE=BE是解题的关键，注意角平分线、平行线的性质有应用．∠+∠=______度．14. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则P O【答案】45【解析】∠=∠，结合正方形的对角线互相平分一组对角即可得到答案；【分析】根据图形得到P AQB【详解】解：由图像可得，在PCB 与QAB 中，CP AQ PCB QAB CB AB = ∠=∠ =∴(SAS)PCB QAB ≌ ，P AQB ∠=∠，∵AC 是正方形对角线，∴45AQC ∠=°， ∴45P BQC AQC ∠+∠=∠=°， 故答案为：45；【点睛】本题主要考查正方形的对角线平分一组对角，解题的关键是根据格点图形得到P AQB ∠=∠． 15. 在等腰ABC 中，8AB AC ==，点D ，E 分别是BC ，AC 边上的中点，那么DE =_____．【答案】4【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，根据三角形的中位线定理即可直接求解，理解定理是解题的关键．【详解】解：如图，∵点D，E分别是BC，AC边上的中点，∴DE是ABC的中位线，∴142DE AB==，故答案为：4．16.如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB=11，AC =5，则BE=______________．【答案】3【解析】【详解】如图，连接CD，BD，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质可得DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，即可得AE=AF，又因DG是BC的垂直平分线，所以CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD＝BD，DF＝DE，利用HL定理可判定Rt△CDF≌Rt△BDE，由全等三角形的性质可得BE=CF，所以AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，又因AB=11，AC=5，所以BE=3．点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，正确作出辅助线，利用数形结合思想是解决问题的关键．17. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为_____．【答案】12.5【解析】【分析】过A 作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于E ，判定△ACD ≌△AEB ，即可得到△ACE 是等腰直角三角形，四边形ABCD 的面积与△ACE 的面积相等，根据S △ACE =12×5×5=12.5，即可得出结论． 【详解】如图，过A 作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于E ，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC ，∴∠D=∠ABE ，又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB ，又∵AD=AB ，∴△ACD ≌△AEB （ASA ），∴AC=AE ，即△ACE 是等腰直角三角形，∴四边形ABCD 的面积与△ACE 的面积相等，∵S △ACE =12×5×5=12.5， ∴四边形ABCD 的面积为12.5，故答案为12.5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题18. 如图，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，8AD =，AD 是BAC ∠的角平分线，若E ，F 分别是AD 和AC 上的动点，则EC EF +的最小值是______．【答案】485【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称−最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短，作F 关于AD 的对称点F ′，由对称性可知，点F ′在AB 上，当CF AB ′⊥时，EC EF +的最小值为CF ′，再利用面积法求出CF ′的长即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：作F 关于AD 的对称点F ′，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴点F ′在AB 上，∴EF EF ′=，∴当CF AB ′⊥时，EC EF +的最小值为CF ′，∵AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，∴AD BC ⊥， ∴1122ABC S BC AD AB CF ′=×=× ， ∴12810CF ′×=×， ∴485CF ′=， ∴EC EF +的最小值为485， 故答案为：485． 三、解答题（共64分）19. 如图，在由长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在格点上，分别按下列要求在网格中作图：（1）画出与ABC 关于直线l 成轴对称的111A B C △；（2）在直线l 上找出一点P ，使得||PA PC −的值最大；（保留作图痕迹，并标上字母P ） （3）在直线l 上找出一点Q ，使得1QA QC +的值最小．（保留作图痕迹，并标上字母Q ） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质解答即可；（2）连接1AC 并延长，交直线l 于点P ，点P 即为所求;（3）直线AC 与直线l 的交点Q 即为所求.【详解】解：（1）如图，111A B C △即所求．（2）如图，连接1AC 并延长，交直线l 于点P ，点P 即为所求．∵点C 1点C 关于直线l 对称，∴||PA PC −=AC 1，∴连接1AC 并延长，交直线l 于点P ，点P 即为所求．（3）如图，直线AC 与直线l 的交点Q 即为所求，∵点C 1点C 关于直线l 对称，∴1QA QC +=QA+QC=AC ，∴直线AC 与直线l 交点Q.【点睛】此题考查轴对称图形的作图方法，轴对称图形的性质，线段和差的作图，正确理解轴对称图形的性质是解题的关键.20. 如图，已知DE ∥AB ，∠DAE ＝∠B ，DE ＝2，AE ＝4，C 为AE 中点．求证：△ABC ≌△EAD ．为的的【答案】见解析【解析】【分析】根据中点的定义，再根据AAS 证明△ABC ≌△EAD 解答即可．【详解】证明：∵C 为AE 的中点，AE ＝4，DE ＝2，∴AC ＝12AE ＝2＝DE ， 又∵DE ∥AB ，∴∠BAC ＝∠E ，△ABC 和△EAD 中，B DAE BAC E AC DE ∠=∠ ∠=∠ =， ∴△ABC ≌△EAD （AAS ）．【点睛】此题考查全等三角形的判定，关键是根据AAS 证明△ABC ≌△EAD 解答．21. 如图，E 在AB 上，A B ∠=∠，AD BE =，AE BC =，F 是CD 的中点．（1）求证：EF CD ⊥；（2）80CEA ∠=°，=60B ∠°，求ECD ∠的度数．【答案】（1）见解析 （2）40°【解析】【分析】（1）由AD BE =、A B ∠=∠，AE BC =，根据全等三角形的判定定理“SSS ”证明AED BCE ≅ ，得DE EC =，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明EF CD ⊥；（2）由80CEA ∠=°，=60B ∠°，得20BCE CEA B ∠=∠−∠=°，则20AED BCE ∠=∠=°，在100CED ∠=°，根据“等边对等角”及三角形的内角和定理得180100402ECD EDC °−°∠=∠==°． 【小问1详解】证明：在AED △和BCE 中，AD BE A B AE BC = ∠=∠ =， ∴AED BCE SAS ≅ （）， ∴DE EC =，∵F 是CD 的中点，∴EF CD ⊥．【小问2详解】解：∵80CEA ∠=°，=60B ∠°，∴806020BCE CEA B ∠=∠−∠=°−°=°，∵AED BCE ≅ ，∴20AED BCE ∠=∠=°， ∴8020100CED CEA AED ∠=∠+∠=°+°=°，∵DE EC =， ∴180100402ECD EDC °−°∠=∠==°， ∴ECD ∠的度数是40°．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及其推论等知识，证明AED BCE ≅ 是解题的关键．22. 已知：如图，A ，F ，E ，B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，=AF BE ，=AC BD ．请问BC 和AD 有怎样的关系？说明理由【答案】=BC AD ，//BC AD ，理由见解析【解析】【分析】先根据“HL ”证明A C E B D F ≅ ，可得CE DF =，=A E C B FD ∠∠，进而得出=B E C A FD ∠∠，然后根据“SAS ”证明B C E A D F ≅ ，根据全等三角形的性质得出答案．【详解】∵A C C E ⊥，B D D F ⊥，∴90A C E B D F ∠=∠=°．∵AF BE =，∴A F E F B E E F +=+，即AE BF =．在Rt ACE 和R t B D F 中，AE BF AC BD = =∴()A C E B D F H L ≅ ，∴CE DF =，=A E C B FD ∠∠，∴E B C A FD ∠=∠.在BEC 和AFD △中，BE AF BEC AFD CE DF = ∠=∠ =∴()B C E A D F S A S ≅ ，∴BC AD =，CBE DAF ∠=∠．∴//BC AD【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，灵活选择全等三角形的判定定理是解题的关键． 23. （1）如图1，在ABC 中，AB AC =，直线l 经过点A ，且与BC 平行，请在直线l 上作出所有的点Q ，使得12AQC ACB ∠=∠．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹．）（2）如图2，已知四边形ABCD ，请用直尺和圆规在边BC 上求作一点P ，使APB CPD ∠=∠（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹．）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质；（1）以A 为圆心，AC 的长度为半径作弧，交l 于点1Q ，以C 为圆心1CQ 的长度为半径作弧，交l 于点2Q ，则12,Q Q 即为所求；（2）作A 关于BC 的对称点A ′，连接A D ′交BC 于点P ，连接AP ，则点P 即为所求．【详解】（1）解：如图所示，以为圆心，AC 的长度为半径作弧，交l 于点1Q ，以C 为圆心1CQ 的长度为半径作弧，交l 于点2Q ，则12,Q Q 即为所求；∵1AC AQ =∴11ACQ AQ C ∠=∠ 又∵BC l ∥∴11AQ C Q CB ∠=∠∴11ACQ Q CB ∠=∠，即112AQ C ACB ∠=∠； ∵12CQ CQ =，∴12AQ C AQ C ∠=∠， 又∵11AQ C Q CB ∠=∠ ∴212AQ C ACB ∠=∠ （2）解：如图所示，作A 关于BC 的对称点A ′，连接A D ′交BC 于点P ，连接AP ，则点P 即为所求．∵A ，A ′关于BC 对称，∴APB A PB ′∠=∠又∵DPC A PB ′∠=∠，∴APB CPD ∠=∠．24. 如图，ABC 中，AD 是高，CE 是中线，点G 是CE 的中点，DG CE ⊥，点G 为垂足．（1）求证：DC BE =；（2）若78AEC ∠=°，求BCE ∠的度数．【答案】（1）见解析 （2）26°【解析】【分析】（1）由G 是CE 的中点，DG CE ⊥得到DG 是CE 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE DC =，由DE 是Rt ADB △的斜边AB 上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到12DE BE AB ==，即可得到DC BE =． （2）由DE DC =得到DEC BCE ∠=∠，由DE BE =得到B EDB ∠=∠，根据三角形外角性质得到2EDB DEC BCE BCE ∠=∠+∠=∠，则2B BCE ∠=∠， 由此根据外角的性质来求BCE ∠的度数． 【小问1详解】连接ED ．∵G 是CE 的中点，DG CE ，∴DG 是CE 的垂直平分线，∴DE DC =．∵AD 是高，CE 是中线，∴DE 是Rt ADB △的斜边AB 上的中线， ∴12DE BE AB ==． ∴DC BE =；【小问2详解】DE BE AE DC === ，BCE DEC ∴∠=∠，BAD ADE ∠=∠，2EDB BCE ∴∠=∠，18018078102222AEC DEC BCE BCE ADE °−∠−∠°−°−∠°−∠∠===． AD 是高， 90EDB ADE ∴∠+∠=°，即1022902BCE BCE °−∠∠+=°． 378BCE ∴∠=°，26BCE ∴∠=°．【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．正确的连接辅助线是解题关键．25. 已知命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，它的逆命题是个真命题（1）请写出逆命题和已知、求证逆命题：______．已知：______．求证：______．（2）用两种方法证明逆命题是真命题【答案】（1）如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；已知：如图，ABC 中，CD 是中线，且12CD AB =，求证：90ACB ∠=° （2）见解析【解析】【分析】（1）把命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件和结论互换即可得到命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题；（2）根据命题的条件和结论，写出已知，求证，证法1：利用等腰三角形的性质与判定结合三角形内角和定理证明；证法2：如图乙，延长CCCC 至E ，使DE CD =、连接AE BE 、，证明()SAS ADE BDC ≌，进而推出AE BC ∥，EAC ACB ∠=∠，进而根据平行线的性质，可得90EAC ACB ∠=∠=°． 【小问1详解】如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；已知：如图，ABC 中，CD 是中线，且12CD AB =， 求证：90ACB ∠=°； 【小问2详解】证法1：如图：∵ABC 中，CD 是中线，12AD BD AB ∴==， ∵12CD AB =， AD BD CD ∴==，DCA A ∴∠=∠，DCB B ∠=∠，180DCA A DCB B ∠+∠+∠+∠=° ，22180DCA DCB ∴∠+∠=° 即90DCA DCB∠+∠=°， ∴90ACB ∠=°；证法2：如图，延长CCCC 至E ，使DE CD =、连接AE BE 、，12AD BD AB == ，12CD AB =， AD BD CD ∴==，在ADE 与BDC 中，AD BD ADE BDC DE DC = ∠=∠ =()SAS ADE BDC ∴ ≌EAD CBD ∴∠=∠，AE BC ∴∥，180EAC ACB ∴∠+∠=°BD CD = ，DCB DBC ∴∠=∠，EAD DCB ∴∠=∠，AD CD = ，DAC DCA ∴∠=，EAD DAC DCB DCA ∴∠+∠=∠+，即EAC ACB ∠=∠又180EAC ACB ∴∠+∠=°，90EAC ACB ∴∠=∠=°．【点睛】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键．26. 已知在ABC 中，AB AC =，点D 是边AB 上一点，BCD A ∠=∠．（1）如图1，试说明CD CB =的理由；（2）如图2，过点B 作BE AC ⊥，垂足为点E ，BE 与CD 相交于点F ．①试说明2BCD CBE ∠=∠的理由；②如果BDF 是等腰三角形，求A ∠的度数．【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②45°或36°【解析】【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键．（1）根据等腰三角形的性质可得A ABC CB =∠∠，再利用三角形的外角性质可得∠BDC A ACD =∠+∠，从而可得BDC ACB ∠=∠，然后根据等量代换可得D ABC B C ∠=∠．再根据等角对等边可得CD CB =，即可解答；（2）①根据垂直定义可得90BEC ∠=°，从而可得90CBE ACB ∠+∠=°，然后设CBE α∠=，则90ACB α∠=°−，利用（190ACB ABC BDC α∠=∠=∠=°−，最后利用三角形内角和定理可得2BCD α∠=，即可解答；②根据三角形的外角性质可得3BFD α∠=，然后分三种情况：当BD BF =时；当DB DF =时；当FB FD =时；分别进行计算即可解答．【小问1详解】解：∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵BDC ∠是ADC △的一个外角，∴BDC A ACD ∠=∠+∠，∵ACB BCD ACD ∠=∠+∠，BCD A ∠=∠，∴BDC ACB ∠=∠，∴D ABC B C ∠=∠．∴CD CB =；【小问2详解】解：①∵BE AC ⊥，∴90BEC ∠=°，∴90CBE ACB ∠+∠=°，设CBE α∠=，则90ACB α∠=°−，∴90ACB ABC BDC α∠=∠=∠=°−，∴()()180********BCD BDC ABC ααα∠=°−∠−∠=°−°−−°−=， ∴2BCD CBE ∠=∠；②∵BFD ∠是CBF 的一个外角，∴23BFD CBE BCD ααα∠=∠+∠=+=，分三种情况：当BD BF =时，∴3BDC BFD α∠=∠=， ∵90ACB ABC BDC α∠=∠=∠=°−，∴903αα°−=，∴22.5α=°，∴245A BCD α∠=∠==°；当DB DF =时，∴3DBE BFD α∠=∠=， ∵90902DBE ABC CBE ααα∠=∠−∠=°−−=°−， ∴9023αα°−=，∴18α=°，∴236A BCD α∠=∠==°；当FB FD =时，∴DBE BDF ∠=∠，∵BDF ABC DBF ∠=∠>∠，∴不存在FB FD =，综上所述：如果BDF 是等腰三角形，A ∠的度数为45°或36°．。

四川省绵阳市东辰2022-2023学年八年级上册数学第一次月考试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员 管理；2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。

考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。

4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。

一、选择题（每小题3分，共36分）1. 盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形如图所示，这样做的数学依据是（ ）A. 三角形的稳定性B. 两点之间线段最短C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短 2. 如图，ABD △和ACD 中，AB AC =，BD CD =，若20B ∠=︒，则C ∠等于（ ）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40° 3. 以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（ ）A. 2，3，6B. 3，4，8C. 5，6，10D. 7，8，18 4. 如图，为测量桃李湖两端AB 的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C ，测得∠ACB 的度数，在AC 的另一侧测得∠ACD =∠ACB ，CD =CB ，再测得AD 的长，就是AB 的长．那么判定△ABC ≌△ADC 的理由是（ ）A SAS B. SSS C. ASA D. AAS5. 一副三角尺如图摆放，则α的大小为（）A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°6. 如图，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=22°，则∠DEA等于（）A. 22°B. 158°C. 68°D. 112°7. 根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是（）A. AB=3，AC=4，∠B=30B. AB=3，BC=4，AC=8C. ∠A=50︒，∠B=60︒，AB=4D. ∠C=90︒，AB=58. 如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（）A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°9. 如图是正五边形ABCDE，DG平分正五边形的外角∠EDF，连接AD，则∠ADG= ( )A. 54°B. 60°C. 72°D. 88°10. 一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（）A. 9，10，11B. 12，11，10C. 8，9，10D. 9，1011. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（）A. 6＜AD＜8B. 6≤AD≤8C. 1＜AD＜7D. 1≤AD≤712. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（）A. 32°B. 64°C. 77°D. 87°二、填空（每小题3分，共18分）13. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．14. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE 的延长线于点F．若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．15. 一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x +y =_______．16. 在直角三角形中，锐角α是另一个内角的一半，则锐角α的度数为__________17. 如图，在ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE交于点F，BF=AC，∠ABE=20°，则∠CAD的度数是___________．18. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的角平分线CF交AB于点F，∠BAC的角平分线AE分别交CF和BC于点D、E，连接EF，过点D作AE的垂线分别交AB和CB的延长线于点P、H，连接EP，则下列结论①∠ADF＝45°；②AE＝DH+DP；③EP平分∠BEF；④S四边形ACEF＝2S△ACD，其中正确的序号是___．三、解答题（共46分）19. 如图，在ABC中，∠ABC=82°，∠C=58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD与AE 交于点F，求∠AFB．20. 如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E （1）求证：CD=BE；（2）若DE =3，BE =2，求AD 的长.21. 如图，ABC 中，=AB BC ，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ．（1）求证：Rt ABE Rt CBF ≅△△；（2）判断FE 和AC 的位置关系并证明．22. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点E 在AC 上，且DE =BD ．（1）求证：∠B =∠CED ；（2）若AB =16，AE =6，求CE 的长．23. 已知在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，AB ＝BC （1）如图1，连接BD ，若∠BAD ＝90°，AD ＝7，求DC 的长度．（2）如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ ＝AP ＋CQ ，求证：∠PBQ ＝∠ABP ＋∠QBC（3）若点Q 在DC 的延长线上，点P 在DA 的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ ＝AP ＋CQ ，请写出∠PBQ 与∠ADC 的数量关系，并给出证明过程．24. 等腰三角形的两边长为6cm 和3cm ，则它的周长为__________cm ．25. 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有___________种．26. ABC 为等腰直角三角形，若A （-4，0），C （0，2），则点B 的坐标为___________.27. 如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF 和三角板CFB 如图所示摆放，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，且∠CFE ＝13°，∠CFD ＝32°，则∠DEC 的度数为_______．28. 如图，四边形ABDC 中，对角线AD 平分BAC ∠，136ACD ∠=︒，44BCD ∠=︒，则ADB ∠的度数为_____八年级上册数学第一学月月考试卷答案解析一、选择题（每小题3分，共36分）1. 盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形如图所示，这样做的数学依据是（ ）A. 三角形的稳定性B. 两点之间线段最短C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短【答案】A【解析】【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：A ．【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．2 如图，ABD △和ACD 中，AB AC =，BD CD =，若20B ∠=︒，则C ∠等于（ ）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°【答案】B【解析】 【分析】根据“SSS ”证明ABD ACD ∆≌△，根据全等三角形的性质得出20︒∠=∠=C B 即可．【详解】解：∵在ABD △和ACD 中AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABD ACD ∆≌△（SSS ），∴20︒∠=∠=C B ，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明ABD ACD ∆≌△是解题的关键．3. 以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（ ）A. 2，3，6B. 3，4，8C. 5，6，10D. 7，8，18 【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可得．三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边．【详解】解：A 、236+<，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形；B 、348+<，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形；C 、5611+>，满足三角形的三边关系定理，能组成三角形；D 、7818+<，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题关键．4. 如图，为测量桃李湖两端AB 的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C ，测得∠ACB 的度数，在AC 的另一侧测得∠ACD =∠ACB ，CD =CB ，再测得AD 的长，就是AB 的长．那么判定△ABC ≌△ADC 的理由是（ ）A. SASB. SSSC. ASAD. AAS【答案】A【解析】 【分析】已知条件是∠ACD =∠ACB ，CD =CB ，AC =AC ，据此作出选择．【详解】解：在△ADC 与△ABC 中，CD CB ACD ACB AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∴△ADC ≌△ABC （SAS ）．故选：A ．【点睛】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，做题时注意选择．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 5. 一副三角尺如图摆放，则α的大小为（ ）A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°【答案】A【解析】 【分析】由题意可得∠ABC =45°，∠1=30°，∠C =90°，则可求得∠2=15°，利用三角形的外角性质即可求∠α的度数．【详解】解：如图，由题意得：∠ABC=45°，∠1=30°，∠C=90°，∴∠2=∠ABC-∠1=15°，∴∠α=∠2+∠C=105°．故选：A．【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．6. 如图，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=22°，则∠DEA等于（）A. 22°B. 158°C. 68°D. 112°【答案】D【解析】【分析】由ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数．【详解】解：ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，∴∠B=90°-∠A=68°，由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠DEA=180°-68°=112°，故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．7. 根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是（）A. AB=3，AC=4，∠B=30B. AB=3，BC=4，AC=8C. ∠A=50︒，∠B=60︒，AB=4D. ∠C=90︒，AB=5【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定及三角形三边之间的关系解决问题即可．【详解】解：A.边边角，不能唯一确定三角形．本选项不符合题意；B.因为3+4<8，所以这三条线段不能组成三角形．本选项不符合题意；C.角角边，能唯一确定三角形．本选项符合题意；D.边角，不能确定三角形．本选项不符合题意；故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定、三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．8. 如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（）A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°【答案】B【解析】【分析】根据任意多边形内角和都等于360°，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：∠1+2+∠3+∠4+∠5＝360°，∵∠1+2+∠3+∠4＝280°，∴∠5＝360°﹣280°＝80°，故选：B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握任意多边形内角和都等于360°是解题的关键．9. 如图是正五边形ABCDE，DG平分正五边形的外角∠EDF，连接AD，则∠ADG= ( )A. 54°B. 60°C. 72°D. 88°【答案】C【解析】【分析】根据正多边形外角和定理求出正五边形的外角为72°，根据角平分线求出∠EDG ，求出内角∠AED 的度数，利用AE =DE ，求出∠ADE ，进而可得到∠ADG 的度数． 【详解】解：正五边形每个外角的度数为360725︒=︒， ∵DG 平分正五边形的外角∠EDF ，∴∠EDG =172362⨯︒=︒， ∵∠AED =18072108︒-︒=︒，AE =DE ， ∴∠ADE =()1180108362⨯︒-︒=︒， ∴∠ADG =∠ADE +∠EDG =72°，故选：C ．【点睛】此题考查了正多边形的内角与外角的计算，熟记正多边形内角和公式及外角和度数是解此类题的关键．10. 一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（ ）A. 9，10，11B. 12，11，10C. 8，9，10D. 9，10【答案】A【解析】【分析】首先求得内角和为1440︒的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．【详解】解：设内角和为1440︒的多边形的边数是,n 则(2)1801440n -⨯=，解得：10n =．∵一个多边形截取一个角后，变成的多边形可能比原来少一边，也可能相同，也可能多一边；∴原来多边形的边数可能是9或10或11故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．11. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，AD 是边BC 上的中线，则AD 长的取值范围是（ ）A. 6＜AD ＜8B. 6≤AD ≤8C. 1＜AD ＜7D. 1≤AD ≤7【答案】C【解析】 【分析】先延长AD 到E ，且AD =DE ，并连接CE ，利用SAS 易证△ADB ≌△EDC ，从而可得AB =CE ，在△ABE 中，再利用三角形三边的关系，可得AC -CE ＜AE ＜AC +CE ，从而易求1＜AD ＜7．【详解】解：如图，延长AD 至点E ，使AD =DE ，连接CE ，∵AD 是边BC 上的中线，∴CD =BD ，在△ABD 和△CED 中，AD DE ADB EDC CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CED ，∴AB =CE =6，在△ACE 中，8-6<AE <6+8，即2<AE <14，∴1＜AD ＜7，故选：C ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键．12. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在BC 上，过D 作DF ⊥BC 交BA 的延长线于F ，连接AD ，CF ，若∠CFE ＝32°，∠ADB ＝45°，则∠B 的大小是（ ）A. 32°B. 64°C. 77°D. 87°【答案】C【解析】 【分析】取CF 的中点T ，连接DT ，AT ．证明∠TDA ＝∠TAD ，∠TDC ＝∠TCD ，进而证明CT ＝TF ，得到∠AFC ＝45°，∠BFD ＝13°，最后求出∠B ＝77°．【详解】解：如图，取CF 的中点T ，连接DT ，AT ．∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，∴∠CAF＝∠CDF＝90°，CF，∴AT＝DT＝12∴TD＝TC＝TA，∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，∵∠ADB＝45°，∴∠ADT+∠TDC＝135°，∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，∴AT⊥CF，∵CT＝TF，∴AC＝AF，∴∠AFC＝45°，∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，∵∠BDF＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°．故选：C【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的直线等于斜边一半、等腰三角形的性质、三角形的角的计算等知识，根据题意添加辅助线，构造等腰三角形是解题关键．二、填空（每小题3分，共18分）13. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．【答案】9【解析】【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．故答案为：9．14. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE 的延长线于点F．若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．【答案】2【解析】【分析】先根据平行线的性质可得,A ECF ADE F ∠=∠∠=∠，再根据AAS 定理证出ADE CFE ≅，然后根据全等三角形的性质可得3AD CF ==，最后根据线段和差即可得．【详解】解：CF AB ∥，,A ECF ADE F ∴∠=∠∠=∠，在ADE 和CFE 中，A ECF ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ADE CFE ∴≅，AD CF ∴=，5,3AB CF ==，532BD AB AD AB CF ∴=-=-=-=，故答案为：2．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．15. 一个三角形的三边为3、5、x ，另一个三角形的三边为y 、3、6，若这两个三角形全等，则x +y =_______．【答案】11【解析】【详解】三边为3,5,x 的三角形与三边为,3,6y 的三角形全等，6, 5.x y ∴==6511.x y +=+=故答案为11.16. 在直角三角形中，锐角α是另一个内角的一半，则锐角α的度数为__________【答案】45°或30°．【解析】【分析】需要分类讨论：锐角α是直角的一半和锐角α是另一锐角的一半．【详解】解：①当锐角α是直角的一半时，α=12×90°=45°；②当锐角α是另一锐角的一半时，α=12（90°-α），此时α=30°．综上所述，锐角α的度数为45°或30°．故答案是：45°或30°．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解答该题时，需要进行分类讨论，以防漏解．17. 如图，在ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE交于点F，BF=AC，∠ABE=20°，则∠CAD的度数是___________．【答案】25°##25度【解析】【分析】先证明DBF≅DAC，根据全等三角形的性质得出AD=BD，求出∠ABD=∠DAB=45°，即可得出答案．【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=90°，∠BEC=∠ADC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠DBF+∠C=90°，∴∠DBF=∠DAC，在DBF和DAC中，===BDF ADCDBF DACBF AC∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴DBF≅DAC（AAS），∴AD=BD，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=∠DAB=45°，∵∠ABE=20°，∴∠CAD=∠DBF=∠ABD-∠ABE=45°-20°=25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解此题的关键．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB 的角平分线CF 交AB 于点F ，∠BAC 的角平分线AE 分别交CF 和BC 于点D 、E ，连接EF ，过点D 作AE 的垂线分别交AB 和CB 的延长线于点P 、H ，连接EP ，则下列结论①∠ADF ＝45°；②AE ＝DH +DP ；③EP 平分∠BEF ；④S 四边形ACEF ＝2S △ACD ，其中正确的序号是 ___．【答案】①②④【解析】【分析】根据直角三角形的性质及角平分线定义可判断①；根据ASA 可得△ACD ≌△HCD ，得出AD =DH ，然后根据△ADP ≌△HDE ，得出DE =DP ，最后根据AE =DE +AD =DP +HD 可判断②；根据△DEP 为等腰三角形直角三角形，得出EP ∥CF ，再根据EF 不一定平行AC ，得出EP 不一定平分∠BEF ，只有当AB =BC 时才平分可判断③；根据同底等高三角形的面积相等得出DEF DFP S S =，最后利用2ACD CDH ACD ACEF S S S S =+=四边形全可判断④；【详解】解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，∴∠BAC +∠ABC =90°，∵CF 是∠ACB 的角平分线，AE 是∠BAC 的角平分线，∴∠CAE +∠ACF =12(∠BAC +∠ABC )=45°，∴∠ADF ＝∠CAE +∠ACF =45°，故①正确；∵∠ADF =∠CDE =45°，∴∠ADC =180º-45º=135º，∴DH ⊥AE ，∴∠EDH =90º，∴∠CDH =∠EDH +∠CDE =90°+45°=135°，∴∠CDH =∠ADC ，∵CD =CD ，∠ACD =∠BCD ，∴△ACD ≌△HCD （ASA ），∴AD =DH ，∵∠APD =∠HPB ，∠ADP =∠PBH ，∴∠DAP =∠DHE ，∵∠ADP =∠HDE ，AD =DH ，∴△ADP ≌△HDE ，∴DE =DP ，∴AE =DE +AD =DP +HD ，故②正确；由②得△DEP 为等腰三角形直角三角形，∴∠DEP =45º=∠ADP ， ∴EP ∥CF ，∴∠PEB =∠FCB =∠DCE ，∠DFE =∠FEP ，∵EF 不一定平行AC ，∴∠ACD ≠∠DFE +∠FCE ，∴∠FEP ≠∠PEB ，∴EP 不一定平分∠BEF ，只有当AB =BC 时才平分，故③错误；∵EP ∥CF ，∴DEF DFP SS =(同底等高)， ∴ADF DEF ADF DEP SS S S +=+ ∴AEF ADP DEH SS S ==， ∴ACE AEF ACE DEH S S SS +=+， ∴2ACD CDH ACD ACEF S S S S =+=四边形，故④正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．三、解答题（共46分）19. 如图，在ABC 中，∠ABC =82°，∠C =58°，BD ⊥AC 于D ，AE 平分∠CAB ，BD 与AE 交于点F ，求∠AFB ．【答案】∠AFB=110°．【解析】【分析】首先利用三角形的内角和求出∠CAB=40°，然后利用角平分线的性质求出∠DAF=20°，最后利用三角形的外角与内角的关系及垂直的定义即可求解．【详解】解：∵∠CAB=180°-∠ABC-∠C，而∠ABC=82°，∠C=58°，∴∠CAB=40°，∵AE平分∠CAB，∴∠DAF=20°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠AFB=∠ADB+∠DAF=90°+20°=110°．【点睛】本题考查了三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键．20. 如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E（1）求证：CD=BE；（2）若DE=3，BE=2，求AD的长.【答案】（1）见解析；（2）5【解析】【分析】（1）根据条件可以得出∠ACD=∠CBE，进而得出ADC CEB，就可以得出BE=DC；（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题；【小问1详解】证明：∵∠ACB =90°，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠CBE +∠BCE =90°，∠BEC =∠CDA =90°，∴∠ACD =∠CBE ， 在ADC 与CEB 中，===ACD CBE BEC CDA AC BC ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩， ∴ADC ≅CEB （AAS ），∴CD =BE ；【小问2详解】∵△ADC ≅△CEB ，∴AD =CE ，CD =BE ，∴AD =CD +DE =BE +DE =2+3=5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．21. 如图，ABC 中，=AB BC ，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ．（1）求证：Rt ABE Rt CBF ≅△△；（2）判断FE 和AC 的位置关系并证明．【答案】（1）证明过程见详解（2）FE 和AC 的位置关系是垂直，证明过程见详解【解析】【分析】（1）根据直角三角形的全等的条件：斜边直角边即可求证；（2）延长FE 与线段AC 相交，根据全等，可找出线段与角的关系，由此即可求解．【小问1详解】解：在Rt ABE △，Rt CBF △中，∵==AE CF AB CB⎧⎨⎩∴Rt ABE Rt CBF ≅△△(HL)【小问2详解】解：根据题意，画图如下，延长FE 交AC 于点D ，由（1）可知，=BE BF ，90EBF EBA ∠=∠=︒，∴在Rt BEF △中，45EFB FEB ∠=∠=︒，∵在Rt ABC △中，=AB BC ，∴45ACB BAC ∠=∠=︒，∵45BEF CED ∠=∠=︒，∴在CDE △中，454590CED DCE ∠+∠=︒+︒=︒，∴CDE △是直角三角形，即ED AC ⊥，∵点F 、E 、D 在同一条线段上，∴FE AC ⊥，故FE 和AC 的位置关系是垂直．【点睛】本题主要考查直角三角形的全等及线段的关系，理解三角形全等的条件，合理构造线段关系是解题的关键．22. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点E 在AC 上，且DE =BD ．（1）求证：∠B =∠CED ；（2）若AB =16，AE =6，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】【分析】（1）过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，由角平分线的性质得出DC =DF ，再由HL 证明Rt △DCE ≌Rt △DFB 即可得证；（2）由Rt △DCE ≌Rt △DFB ，可得BF =CE ，由HL 证明Rt △ADC ≌Rt △ADF ，得出AC =AF ，结合（1）中CE =BF 进而得出AB =AF +BF =AC +CE ，即可求解．【小问1详解】解：过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，∵∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DF ⊥AB ，∴DC =DF ，在Rt △DCE 与Rt △DFB 中，==DC DF DE DB⎧⎨⎩， ∴Rt △DCE ≌Rt △DFB （HL ），∴∠B =∠CED ；【小问2详解】∵Rt △DCE ≌Rt △DFB ，∴BF =CE ，设CE =BF =x ，在Rt △ADC 与Rt △ADF 中，==DC DF AD AD ⎧⎨⎩， ∴Rt △ADC ≌Rt △ADF （HL ），∴AC =AF ，∴AB =AF +BF =AC +CE ，∴AB -BF =AE +CE ，∴16-x =6+x解得：x =5，即CE =5．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，关键是根据HL 证明直角三角形的全等解答．23. 已知在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，AB ＝BC （1）如图1，连接BD ，若∠BAD ＝90°，AD ＝7，求DC 的长度．（2）如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ ＝AP ＋CQ ，求证：∠PBQ ＝∠ABP ＋∠QBC（3）若点Q 在DC 的延长线上，点P 在DA 的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ ＝AP ＋CQ ，请写出∠PBQ 与∠ADC 的数量关系，并给出证明过程．【答案】（1）7DC =；（2）见解析；（3）1902PBQ ADC ∠=︒+∠，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出BDC 为直角三角形，再根据HL 证出△≌△Rt BAD Rt BCD ，从而证出AD CD =即可得出结论；（2）如图2，延长DC 到 K ，使得CK=AP ，连接BK ，通过证△BPA ≌△BCK （SAS ）得到：∠1=∠2，BP=BK ．然后根据SSS 证明得≌PBQ BKQ ，从而得出21PBQ CBQ CBQ ∠=∠+∠=∠+∠，然后得出结论；（3）如图3，在CD 延长线上找一点K ，使得KC=AP ，连接BK ，构建全等三角形：△BPA ≌△BCK （SAS ），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS 证得：△PBQ ≌△BKQ ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ ，结合四边形的内角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+12∠ADC ． 【详解】（1）证明：如图1，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，90BAD ∠=︒，∴90BCD BAD ∠=∠=︒，在Rt BAD 和Rt BCD △中，BD BD AB BC =⎧⎨=⎩∴()△≌△Rt BAD Rt BCD HL ，∴AD DC =，∴7DC =；（2）如图2，延长DC 至点K ，使得CK AP =，连接BK∵180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180BAD BCD ∠+∠=︒，∵180BCD BCK ∠+∠=︒，∴BAD BCK ∠=∠，∵AP CK =，AB BC =，∴()△≌△BPA BCK SAS ，∴12∠=∠，BP BK =，∵PQ AP CQ =+，QK CK CQ =+，∴PQ QK =，∵BP BK =，BQ BQ =，∴()≌PBQ BKQ SSS ，∴21PBQ CBQ CBQ ∠=∠+∠=∠+∠，∴PBQ ABP QBC ∠=∠+∠；（3）1902PBQ ADC ∠=︒+∠； 如图3，在CD 延长线上找一点K ，使得KC AP =，连接BK ，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180BAD BCD ∠+∠=︒，∵180BAD PAB ∠+∠=︒，∴PAB BCK ∠=∠，在BPA △和BCK 中，AP CK BAP BCK AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()△≌△BPA BCK SAS ，∴ABP CBK ∠=∠，BP BK =，∴PBK ABC ∠=∠，∵PQ AP CQ =+，∴PQ QK =，在PBQ 和BKQ 中，BP BK BQ BQ PQ KQ =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()≌PBQ BKQ SSS ，∴PBQ KBQ ∠=∠，∴22360PBQ PBK PBQ ABC ∠+∠=∠+∠=︒，∴()2180360PBQ ADC ∠+︒-∠=︒， ∴1902PBQ ADC ∠=︒+∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．24. 等腰三角形的两边长为6cm和3cm，则它的周长为__________cm．【答案】15【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：解：根据三角形三边关系可得出：等腰三角形的腰长为6cm，底长为3cm，因此其周长=6+6+3=15cm．当底边为6cm，腰为3cm时，不符合三角形三边关系，此情况不成立．故答案为：15．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．25. 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有___________种．【答案】3【解析】【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．因为正三角形、正方形、正六边形、正八边形的内角分别为60°、90°、120°、135°，根据多边形镶嵌成平面图形的条件可知．【详解】解：①正三角形、正方形，由于60°×3+90°×2=360°，故能铺满；②正三角形、正六边形，由于60°×2+120°×2=360°，或60°×4+120°×1=360°，故能铺满；③正三角形、正八边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；④正方形、正六边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；⑤正方形、正八边形，由于90°+135°×2=360°，故能铺满；⑥正六边形、正八边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．故选择的方式有3种．故答案为：3．【点睛】本题考查了平面镶嵌，解决本题的关键是掌握平面镶嵌定义．用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．26. ABC为等腰直角三角形，若A（-4，0），C（0，2），则点B的坐标为___________.【答案】（2，-2）【解析】【分析】过点B作BT⊥y轴于点T ．证明AOC ≅CTB，可得结论．【详解】解：如图中，过点B作BT⊥y轴于点T．∵A（-4，0），C（0，2），∴OA=4，OC=2，∵∠AOC=∠ACB=∠CTB=90°，∴∠ACO+∠BCT=90°，∠BCT+∠CBT=90°，∴∠ACO=∠CBT，在△AOC和△CTB中，===AOC CTBACO CBTAC CB∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴AOC ≅CTB（AAS），∴AO=CT=4，BT=CO=2，∴OT =CT -CO =2，∴B （2，-2），故答案为：（2，-2）．【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．27. 如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF 和三角板CFB 如图所示摆放，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，且∠CFE ＝13°，∠CFD ＝32°，则∠DEC 的度数为_______．【答案】64︒【解析】【分析】作FH 垂直于FE ，交AC 于点H ，可证得()FAH FCE ASA ≅△△，由对应边、对应角相等可得出()HDF EDF SAS ≅△△，进而可求出58DEF ∠=︒，则64DEC CEF DEF ∠=∠-∠=︒．【详解】作FH 垂直于FE ，交AC 于点H ，∵90AFC EFH ∠=∠=︒又∵AFC AFH CFH ∠=∠+∠，HFE CFE CFH ∠=∠+∠∴13AFH CFE ∠=∠=︒∵45A FCE ∠=∠=︒，FA =CF∴()FAH FCE ASA ≅△△∴FH =FE∵321345DFE DFC EFC ∠=∠+∠=︒+︒=︒∵904545DFH HFE DFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴DFE DFH ∠=∠又∵DF =DF∴()HDF EDF SAS ≅△△∴DHF DEF ∠=∠∵451358DHF A HFA ∠=∠+∠=︒+︒=︒∴58DEF ∠=︒∵180CFE CEF FCE ∠+∠+∠=︒∴1801801345122CEF CFE FCE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∴1225864DEC CEF DEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：64︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线HF 垂直于FE 是解题的关键．28. 如图，四边形ABDC 中，对角线AD 平分BAC ∠，136ACD ∠=︒，44BCD ∠=︒，则ADB ∠的度数为_____【答案】46︒【解析】【分析】先添加辅助线“过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ”，根据角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等可求得()1462ADB CBE BAC ∠=∠-∠=︒． 【详解】解：过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DFAC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ，如图：∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DFAC ⊥ ∴12BAD BAC ∠=∠，DE DF = ∵136ACD ∠=︒∴18044DCF ACD ∠=︒-∠=︒∵44BCD ∠=︒，92ACB ACD BCD ∠=∠-∠=︒∴CD 平分BCF ∠∵DF AC ⊥，DG BC ⊥∴DF DG =∴DE DG =∵DE AB ⊥，DG BC ⊥∴BD 平分CBE ∠ ∴12DBE CBE ∠=∠ ∴ADB DBE BAD ∠=∠-∠1122CBE BAC =∠-∠ ()12CBE BAC =∠-∠ 12BCA =∠ 46=︒．故答案是：46︒【点睛】本题考查了角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。

八年级上学期第二次月考学情检测数学试题（含答案）一、选择题1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A ．对角线互相垂直 B ．对角线互相平分 C ．对角线相等D ．四个角都是直角2．下列图书馆的馆徽不是．．轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．3．如图，D 为ABC ∆边BC 上一点，AB AC =，56BAC ∠=︒，且BF DC =，EC BD =，则EDF ∠等于（ ）A ．62︒B ．56︒C ．34︒D ．124︒ 4．已知点(,21)P a a -在一、三象限的角平分线上，则a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25．如图，若BD 是等边△ABC 的一条中线，延长BC 至点E ，使CE=CD=x ，连接DE ，则DE的长为（ ）A ．32x B ．23x C ．33x D 3x6．下列各数中，无理数的是（ ） A ．0 B ．1.01001 C ．π D 4 7．下列一次函数中，y 随x 增大而增大的是（ ）A ．y=﹣3xB ．y=x ﹣2C ．y=﹣2x+3D ．y=3﹣x8．为了解我区八年级学生的身高情况，教育局抽查了1000名学生的身高进行了统计分析所抽查的1000名学生的身高是这个问题的（ ） A ．总体B ．个体C ．样本D ．样本容量9．函数111y k x b =+与222y k x b =+的部分自变量和对应函数值如下：x -4 -3 -2 -1 y-1-2-3-4x -4 -3 -2 -1 y-9-6-3当12y y >时，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x >- B ．2x <- C ．1x >- D ．1x <- 10．在平面直角坐标系中，点M （﹣3，2）关于y 轴对称的点的坐标为（ ）A ．（﹣3，﹣2）B ．（﹣2，﹣3）C ．（3，2）D ．（3，﹣2）二、填空题11．17.85精确到十分位是_____． 12．点P （﹣5，12）到原点的距离是_____．13．若x +2y ＝2xy ，则21+x y的值为_____．14．如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AD =4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB =∠C .若P 是BC边上一动点，则DP 长的最小值为 ．15．若3a 的整数部分为2，则满足条件的奇数a 有_______个．16．函数y 1=x+1与y 2=ax+b 的图象如图所示,那么,使y 1、y 2的值都大于0的x 的取值范围是______.17．如图，已知点M （-1，0），点N （5m ，3m +2）是直线AB ：4y x =-+右侧一点，且满足∠OBM=∠ABN ，则点N 的坐标是_____．18．如图，等边三角形的顶点A (1，1)、B (3，1)，规定把等边△ABC “先沿y 轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2020次变换后，等边△ABC 的顶点C 的坐标为____．19．在ABC 中，,AB AC BD =是高，若40ABD ∠=︒，则C ∠的度数为______． 20．已知函数y=x+m-2019 （m 是常数）是正比例函数，则m= ____________三、解答题21．某商场计划销售甲、乙两种产品共200件,每销售1件甲产品可获得利润0.4万元, 每销售1件乙产品可获得利润0.5万元,设该商场销售了甲产品x (件),销售甲、乙两种产品获得的总利润为y (万元).(1)求y 与x 之间的函数表达式;(2)若每件甲产品成本为0.6万元,每件乙产品成本为0.8万元,受商场资金影响,该商场能提供的进货资金至多为150万元,求出该商场销售甲、乙两种产品各为多少件时,能获得最大利润. 22．已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的平方根是4±，c 是52a b c +-的平方根.23．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y=﹣12x+5的图象l 1分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象l 2与l 1交于点C （m ，4）．（1）求m 的值及l 2的解析式； （2）求S △AOC ﹣S △BOC 的值；（3）一次函数y=kx+1的图象为l 3，且11，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值．24．计算或求值（1）计算：（2a+3b）（2a﹣b）；（2）计算：（2x+y﹣1）2；（3）当a＝2，b＝﹣8，c＝5时，求代数式24b b ac-+-的值；（4）先化简，再求值：（m+252m--）243mm-⨯-，其中m＝12-．25．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为 °．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG 的长．四、压轴题26．如图，已知A(3，0)，B(0，-1)，连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA=BC，连接AC（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA=CQ；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，直接写出此时∠APB的度数及P点坐标27．（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌． ②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________． （2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明） 28．如图，A ，B 是直线y =x +4与坐标轴的交点，直线y =-2x +b 过点B ，与x 轴交于点C ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标； （2）点D 是折线A —B —C 上一动点．①当点D 是AB 的中点时，在x 轴上找一点E ，使ED +EB 的和最小，用直尺和圆规画出点E 的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E 点的坐标．②是否存在点D ，使△ACD 为直角三角形，若存在，直接写出D 点的坐标；若不存在，请说明理由29．如图已知ABC 中，,8B C AB AC ∠=∠==厘米，6BC =厘来，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，设运动时间为t (秒)． （1）用含t 的代数式表示线段PC 的长度；（2）若点,P Q 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点,P Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP 全等？（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点v 以原来的运动速度从点B 同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？30．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：正方形四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等；矩形四个角都是直角，对角线互相平分且相等.考点：(1)、正方形的性质；(2)、矩形的性质2．D解析：D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：A 、是轴对称图形，不符合题意； B 、是轴对称图形，不符合题意； C 、是轴对称图形，不符合题意；D 、因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不是轴对称图形，符合题意；故选：D ． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．A解析：A 【解析】 【分析】由AB=AC ，利用等边对等角得到一对角相等，再由BF=CD ，BD=CE ，利用SAS 得到三角形FBD 与三角形DEC 全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再根据三角形内角和定理以及外角的性质，可以找出∠EDF 与∠A 之间的等量关系，进而求解． 【详解】解：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ， 在△BFD 和△EDC 中，,,,BF DC B C BD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BFD ≌△EDC （SAS ）， ∴∠BFD=∠EDC ，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°-∠B=180°-1802A ︒-∠=90°+12∠A ， 则∠EDF=180°-（∠FDB+∠EDC ）=90°-12∠A=62°． 故选：A ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可． 【详解】∵点P （a ，2a-1）在一、三象限的角平分线上， ∴a=2a-1， 解得a=1． 故选：C ． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，熟记第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键．5．D解析：D 【解析】 【分析】根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE ，求出BC ，在Rt △BDC 中，由勾股定理求出BD 即可． 【详解】解：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC ， ∵BD 为中线，1302DBC ABC ︒∴∠=∠= ∵CD=CE ，∴∠E=∠CDE ， ∵∠E+∠CDE=∠ACB ， ∴∠E=30°=∠DBC ， ∴BD=DE ，∵BD 是AC 中线，CD=x ， ∴AD=DC=x ，∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC=2x ，BD ⊥AC ，在Rt △BDC 中，由勾股定理得：BD ==DE BD ∴==故选：D ． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE=BD 和求出BD 的长．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数． 【详解】解：A.0是整数，属于有理数； B.1.01001是有限小数，属于有理数； C ．π是无理数；，是整数，属于有理数．2故选：C．【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有ππ的数．7．B解析：B【解析】【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵一次函数y=﹣3x中，k=﹣3＜0，∴此函数中y随x增大而减小，故本选项错误；B、∵正比例函数y=x﹣2中，k=1＞0，∴此函数中y随x增大而增大，故本选项正确；C、∵正比例函数y=﹣2x+3中，k=﹣2＜0，∴此函数中y随x增大而减小，故本选项错误；D、正比例函数y=3﹣x中，k=﹣1＜0，∴此函数中y随x增大而减小，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．8．C解析：C【解析】【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．根据概念进行判断即可．【详解】解：了解我区八年级学生的身高情况，抽查了1000名学生的身高进行统计分析．所抽查的1000名学生的身高是这个问题的样本，故选：C．【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不带单位．9．B解析：B【解析】【分析】根据表格可确定两个函数的增减性以及函数的交点，然后根据增减性判断．【详解】解：根据表格可得y1=k2x+b1中y随x的增大而减小，y2=k2x+b2中y随x的增大而增大．且两个函数的交点坐标是（-2，-3）．则当x＜-2时，y1＞y2．故选：B．【点睛】本题考查了函数的性质，正确确定增减性以及两函数交点坐标是关键．10．C解析：C【解析】【分析】直接利用关于y轴对称则纵坐标相等横坐标互为相反数进而得出答案．【详解】解：点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为：（3，2）．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是关于x轴、y轴对称的点的坐标，属于基础题目，易于掌握．二、填空题11．9．【解析】【分析】把百分位上的数字5进行四舍五入即可．【详解】17.85精确到十分位是17.9故答案为：17.9．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效解析：9．【解析】【分析】把百分位上的数字5进行四舍五入即可．【详解】17.85精确到十分位是17.9故答案为：17.9．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．12．13【解析】【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．【详解】∵点P（-5，12），∴点P到原点的距离==13．故答案为13．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，解析：13【解析】【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．【详解】∵点P（-5，12），∴点P到原点的距离=13．故答案为13．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．13．【解析】【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则变形，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：∵x+2y＝2xy，∴原式＝＝2，故答案为：2【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟解析：【解析】【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则变形，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：∵x+2y＝2xy，∴原式＝22x y xyxy xy+=＝2，故答案为：2【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．4【解析】如图，过点D作DE⊥BC于点E，当DP=DE时，DP最小，∵BD⊥DC，∠A=90°，∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A，∠BDC=90°，∴∠C+∠CDE=90°，∠CDE+解析：4【解析】如图，过点D作DE⊥BC于点E，当DP=DE时，DP最小，∵BD⊥DC，∠A=90°，∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A，∠BDC=90°，∴∠C+∠CDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°，∴∠BDE=∠C，又∵∠ADB=∠C，∴∠ADB=∠BDE，∴在△ABD和△EBD中A DEBADB BDEBD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DE=AD=4，即DP的最小值为4.15．9【解析】【分析】的整数部分为，则可求出a的取值范围，即可得到答案.【详解】解：的整数部分为，则a的取值范围 8＜a＜27所以得到奇数有：9、11、13、15、17、19、21、23、2解析：9【解析】【分析】的整数部分为2，则可求出a的取值范围，即可得到答案.【详解】2，则a的取值范围 8＜a＜27所以得到奇数a有：9、11、13、15、17、19、21、23、25 共9个故答案为：9【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，估算是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法.16．−1<x<2.【解析】【分析】根据x轴上方的图象的y值大于0进行解答．【详解】如图所示,x>−1时,y>0，当x<2时,y>0，∴使y、y的值都大于0的x的取值范围是：−1<x<2.解析：−1<x<2.【解析】【分析】根据x轴上方的图象的y值大于0进行解答．【详解】>0，如图所示,x>−1时,y1当x<2时,y2>0，、y2的值都大于0的x的取值范围是：−1<x<2.∴使y1故答案为：−1<x<2.【点睛】此题考查两条直线相交或平行问题，解题关键在于x轴上方的图象的y值大于0 17．【解析】【分析】在x轴上取一点P（1，0），连接BP，作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，构造全等三角形△OBP≌△RPQ（AAS）；然后根据全等三角形的性质、坐标与图形性质求得Q（解析：5,3 3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】在x轴上取一点P（1，0），连接BP，作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，构造全等三角形△OBP≌△RPQ（AAS）；然后根据全等三角形的性质、坐标与图形性质求得Q （5，1），易得直线BQ的解析式，所以将点N代入该解析式来求m的值即可．【详解】解：在x轴上取一点P（1，0），连接BP，作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，∴∠BOP=∠BPQ=∠PRQ=90°，∴∠BPO=∠PQR，∵OA=OB=4，∴∠OBA=∠OAB=45°，∵M（-1，0），∴OP=OM=1，∴BP=BM，∴∠OBP=∠OBM=∠ABN，∴∠PBQ=∠OBA=45°，∴PB=PQ，∴△OBP≌△RPQ（AAS），∴RQ=OP=1，PR=OB=4，∴OR=5，∴Q（5，1），∴直线BN的解析式为y＝−35x+4，将N（5m，3m+2）代入y＝−35x+4，得3m+2=﹣35×5m+4解得 m＝13，∴N5,33⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：5,3 3⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了一次函数综合题，需要熟练掌握待定系数法确定函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，两点间的距离公式等知识点，难度较大．18．(2，)．【解析】【分析】据轴对称判断出点C变换后在y轴的右侧，根据平移的距离求出点C变换后的纵坐标，最后写出即可．【详解】∵△ABC是等边三角形，AB=3﹣1=2，∴点C到y轴的距离为解析：(232019)．【解析】【分析】据轴对称判断出点C变换后在y轴的右侧，根据平移的距离求出点C变换后的纵坐标，最后写出即可．【详解】∵△ABC是等边三角形，AB=3﹣1=2，∴点C到y轴的距离为1+2×12=2，点C到AB2221-3，∴C(23，把等边△ABC先沿y轴翻折，得C’(-23，再向下平移1个单位得C’’（ -23故经过一次变换后，横坐标变为相反数，纵坐标减1，故第2020次变换后的三角形在y轴右侧，点C的横坐标为2，3+1﹣3﹣2019，所以，点C的对应点C'的坐标是(232019)．故答案为：(2，3﹣2019)．【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2020次这样的变换得到三角形在y轴右侧是解题的关键．19．65°或25°【解析】【分析】分两种情况：①当为锐角三角形；②当为钝角三角形．然后先在直角△ABD 中，利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用等边对等角以及三角形内角和定理求得∠C的度解析：65°或25°【解析】【分析】分两种情况：①当ABC为锐角三角形；②当ABC为钝角三角形．然后先在直角△ABD中，利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用等边对等角以及三角形内角和定理求得∠C的度数．【详解】解：①当ABC为锐角三角形时：∠BAC=90°-40°=50°，∴∠C=12（180°-50°）=65°；②当ABC为钝角三角形时：∠BAC=90°+40°=130°，∴∠C=12（180°-130°）=25°；故答案为：65°或25°．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形性质是解题的关键．20．2019【解析】【分析】根据正比例函数的定义，m-2019=0，从而求解．【详解】解：根据题意得：m-2019=0，解得：m=2019，故答案为2019．【点睛】本题主要考查了正比解析：2019【解析】【分析】根据正比例函数的定义，m-2019=0，从而求解．【详解】解：根据题意得：m-2019=0，解得：m=2019，故答案为2019．【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，其中k叫做比例系数．正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.三、解答题21．(1) y=-0.1x+100 (2) 该商场销售甲50件，乙150件时,能获得最大利润.【解析】【分析】(1) 根据题意即可列出一次函数，化简即可；(2) 设甲的件数为x，那么乙的件数为：200-x，根据题意列出不等式0.6x+0.8(200-x)≤150，解出，根据y=-0.1x+100的性质，即可求出.【详解】解：(1)由题意可得：y=0.4x+0.5×（200-x）得到：y=-0.1x+100所以y与x之间的函数表达式为y=-0.1x+100(2)设甲的件数为x，那么乙的件数为：200-x，依题意可得：0.6x+0.8(200-x)≤150解得：x≥50由y=-0.1x+100得到y随x的增大而减小所以当利润最大时，x值越小利润越大所以甲产品x=50 乙产品200-x=150答：该商场销售甲50件，乙150件时,能获得最大利润.【点睛】此题主要考查了一次函数及一元一次不等式，熟练掌握实际生活转化为数学模式是解题的关键.22．【解析】【分析】根据算术平方根的定义求出a 的值，根据平方根的定义求出b 的值，根据微粒数的估算求出c 的值，然后代入计算，即可得到答案.【详解】解：∵21a -的算术平方根是3，∴21=9a -，∴5a =；∵31a b +-的平方根是4±，∴31=16a b +-，∴351=16b ⨯+-，∴2b =；∵又45<<，∴4，∴4c =，∴252245a b c +-=+⨯-=，∴2a b c +-的平方根为：【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、估算无理数的大小等知识点，能根据已知得出a 、b 、c 的值是解此题的关键．23．（1）m=2，l 2的解析式为y=2x ；（2）S △AOC ﹣S △BOC =15；（3）k 的值为32或2或﹣12． 【解析】【分析】（1）先求得点C 的坐标，再运用待定系数法即可得到l 2的解析式；（2）过C 作CD ⊥AO 于D ，CE ⊥BO 于E ，则CD=4，CE=2，再根据A （10，0），B （0，5），可得AO=10，BO=5，进而得出S △AOC ﹣S △BOC 的值；（3）分三种情况：当l 3经过点C （2，4）时，k=32；当l 2，l 3平行时，k=2；当11，l 3平行时，k=﹣12；故k 的值为32或2或﹣12． 【详解】（1）把C （m ，4）代入一次函数y=﹣12x+5，可得4=﹣12m+5， 解得m=2， ∴C （2，4），设l 2的解析式为y=ax ，则4=2a ，解得a=2，∴l 2的解析式为y=2x ；（2）如图，过C 作CD ⊥AO 于D ，CE ⊥BO 于E ，则CD=4，CE=2，y=﹣12x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10， ∴A （10，0），B （0，5），∴AO=10，BO=5， ∴S △AOC ﹣S △BOC =12×10×4﹣12×5×2=20﹣5=15；（3）一次函数y=kx+1的图象为l 3，且11，l 2，l 3不能围成三角形，∴当l 3经过点C （2，4）时，k=32； 当l 2，l 3平行时，k=2；当11，l 3平行时，k=﹣12； 故k 的值为32或2或﹣12． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．24．（1）4a 2+4ab ﹣3b 2；（2）4x 2+4xy+y 2﹣4x ﹣2y ﹣1；（346+4）﹣2m ﹣6，-5【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式展开，然后合并即可；（2）利用完全平方公式计算；（3）先计算出24b ac -，然后计算代数式的值；（4）先把括号内通分，再把分子分母因式分解后约分得到原式26m =--，然后把m 的值代入计算即可．【详解】解：（1）原式224263a ab ab b =-+-22443a ab b =+-；（2）原式2(2)2(2)1x y x y =+-+-2244421x xy y x y =++---；（3）224(8)42524b ac -=--⨯⨯=，= （4）原式(2)(2)52(2)[]23m m m m m +---=--- (3)(3)2(2)23m m m m m +--=--- 2(3)m =-+26m =--，当12m =-时，原式12()652=-⨯--=-． 【点睛】本题考查了多项式乘法和、分式的化简求值以及代数式求值．掌握整式乘法和分式运算法则熟练运算是解题关键． 25．（1）18；（2）CE 的长为83；（3）CG 的长为910． 【解析】【分析】（1）由矩形的性质可知∠BAD ＝90°，易知∠DAC 的度数，由折叠的性质可知∠DAE ＝12∠DAC ，计算可得∠DAE 的度数. （2）由矩形四个角都是直角及对边相等的性质及折叠后图形对应边相等的性质，结合勾股定理可得BF 长，由CF ＝BC ﹣BF 可求出CF 长，设CE ＝x ，则EF ＝ED ＝6﹣x ，在Rt △CEF 中，根据勾股定理求出x 值即可；（3）连接EG ，由中点及折叠的性质利用HL 定理可证Rt △CEG ≌△FEG ，结合全等三角形对应边相等的性质可设CG ＝FG ＝y ，可用含y 的代数式表示出AG 、BG ，在Rt △ABG 中，根据勾股定理求解即可.【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，∵∠BAC ＝54°，∴∠DAC ＝90°﹣54°＝36°，由折叠的性质得：∠DAE ＝∠FAE ，∴∠DAE ＝12∠DAC ＝18°； 故答案为：18； （2）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，BC ＝AD ＝10，CD ＝AB ＝6，由折叠的性质得：AF ＝AD ＝10，EF ＝ED ，∴BF 8，∴CF ＝BC ﹣BF ＝10﹣8＝2，设CE ＝x ，则EF ＝ED ＝6﹣x ，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：22+x 2＝（6﹣x ）2，解得：x ＝83， 即CE 的长为83；（3）连接EG ，如图3所示：∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，由折叠的性质得：AF ＝AD ＝10，∠AFE ＝∠D ＝90°，FE ＝DE ，∴∠EFG ＝90°＝∠C ，在Rt △CEG 和△FEG 中， EG EG CE FE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CEG ≌△FEG （HL ），∴CG ＝FG ，设CG ＝FG ＝y ，则AG ＝AF +FG ＝10+y ，BG ＝BC ﹣CG ＝10﹣y ，在Rt △ABG 中，由勾股定理得：62+（10﹣y ）2＝（10+y ）2，解得：y ＝910， 即CG 的长为910．【点睛】本题考查了四边形的折叠问题，涉及了矩形的性质、折叠的性质、直角三角形的判定、勾股定理，灵活利用矩形与折叠的性质是解题的关键.四、压轴题26．（1）(1，-4)；（2）证明见解析；（3）()135,1,0APB P ︒∠= 【解析】【分析】（1）作CH ⊥y 轴于H ，证明△ABO ≌△BCH ，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH ，得到C 点坐标；（2）证明△PBA ≌△QBC ，根据全等三角形的性质得到PA=CQ ；（3）根据C 、P ，Q 三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP ，得到P 点坐标．【详解】解：(1)作CH ⊥y 轴于H ，则∠BCH+∠CBH=90°，因为AB BC ⊥，所以.∠ABO+∠CBH=90°，所以∠ABO=∠BCH ，在△ABO 和△BCH 中，ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABO BCH ∴∆≅∆:BH=OA=3，CH=OB=1，:OH=OB+BH=4，所以C 点的坐标为（1，-4）；(2)因为∠PBQ=∠ABC=90°，,PBQ ABQ ABC ABQ PBA QBC ∴∠-=∠-∠∴∠=∠在△PBA 和△QBC 中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PBA QBC ∴∆≅∆:.PA=CQ ；(3) ()135,1,0APB P ︒∠= BPQ ∆是等腰直角三角形，:所以∠BQP=45°，当C 、P ，Q 三点共线时，∠BQC=135°，由（2)可知，PBA QBC ∴∆≅∆；所以∠BPA=∠BQC=135°，所以∠OPB=45°，所以.OP=OB=1，所以P 点坐标为（1，0) ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．27．（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+【解析】【分析】（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．【详解】解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD ECB ∠=∠，∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．②∵CDE ∆为等边三角形，∴60CDE ∠=︒．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，又∵ADC BEC ∆∆≌，∴120ADC BEC ∠=∠=︒，∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．③AD BE =ADC BEC ∆∆≌，∴AD BE =．故填：AD BE =；（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，∴ACD ECB ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中，AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴E ACD BC ∆∆≌，∴ADC BEC ∠∠=．∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．②∵CDA CEB ∆∆≌，∴BE AD =．∵CD CE =，CM DE ⊥，∴DM ME =．又∵90DCE ∠=︒，∴2DE CM =，∴2AE AD DE BE CM =+=+．故填：①90°；②2AE BE CM =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．28．（1）A(-4，0) ；B(0，4)；C(2，0)；（2）①点E 的位置见解析，E （43-，0）；②D 点的坐标为（-1，3）或（45，125） 【解析】【分析】（1）先利用一次函数图象上点的坐标特点求得点A 、B 的坐标；然后把B 点坐标代入y=−2x ＋b 求出b 的值，确定此函数解析式，然后再求C 点坐标；（2）①根据轴对称—最短路径问题画出点E 的位置，由待定系数法确定直线DB 1的解析式为y=−3x−4，易得点E 的坐标；②分两种情况：当点D 在AB 上时，当点D 在BC 上时．当点D 在AB 上时，由等腰直角三角形的性质求得D 点的坐标为（−1，3）；当点D 在BC 上时，设AD 交y 轴于点F ，证△AOF 与△BOC 全等，得OF=2，点F 的坐标为（0，2），求得直线AD 的解析式为122y x =+，与y=−2x ＋4组成方程组，求得交点D 的坐标为（45，125）． 【详解】 （1）在y=x +4中，令x =0，得y=4，令y =0，得x=-4，∴A(-4，0) ，B(0，4) 把B(0，4)代入y=-2x+b ，得b =4，∴直线BC 为：y=-2x+4在y=-2x +4中，令y =0，得x=2，∴C 点的坐标为(2，0)；（2）①如图∵点D 是AB 的中点∴D （-2，2）点B 关于x 轴的对称点B 1的坐标为（0，-4），设直线DB 1的解析式为y kx b =+，把D （-2，2），B 1（0，-4）代入，得224k b b -+=⎧⎨=-⎩， 解得k=-3，b=-4，∴该直线为：y=-3x-4，令y=0，得x=43-， ∴E 点的坐标为（43-，0）． ②存在，D 点的坐标为（-1，3）或（45，125）．当点D在AB上时，∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，∴△ACD是以∠ADC为直角的等腰直角三角形，∴点D的横坐标为4212，当x=-1时，y=x+4=3，∴D点的坐标为（-1，3）；当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．∵∠FAO＋∠AFO＝∠CBO＋∠BFD，∠AFO＝∠BFD，∴∠FAO=∠CBO，又∵AO=BO，∠AOF=∠BOC，∴△AOF≌△BOC（ASA）∴OF=OC=2，∴点F的坐标为（0，2），设直线AD的解析式为y mx n=+，将A（-4，0）与F（0，2）代入得402m nn-+=⎧⎨=⎩，解得1,22m n==，∴122y x=+，联立12224y xy x⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得：45125xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴D的坐标为（45，125）．综上所述：D点的坐标为（-1，3）或（45，125）【点睛】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，解题的关键是灵活运用一次函数的图象与性质以及全等的知识．29．（1）6-2t ；（2）全等，理由见解析；（3）83；（4）经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇【解析】【分析】（1）根据题意求出BP ，由PC=BC-BP ，即可求得；（2）根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中，点运动轨迹的边长，由∠B=∠C ，利用SAS 判定BPD △和CQP 全等即可；（3）根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系，得出BP=PC ，再根据路程=速度×时间公式，求点P 的运动时间，然后求点Q 的运动速度即得；（4）求出点P 、Q 的路程，根据三角形ABC 的三边长度，即可得出答案．【详解】（1）由题意知，BP=2t ，则PC=BC-BP=6-2t ，故答案为：6-2t ；（2）全等，理由如下：∵p Q V V =，t=1，∴BP=2=CQ ，∵AB=8cm ，点D 为AB 的中点，∴BD=4（cm ），又∵PC=BC-BP=6-2=4（cm ），在BPD △和CQP 中BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BPD △≌CQP （SAS ）故答案为：全等．（3）∵p Q V V ≠，∴BP CQ ≠，又∵BPD △≌CPQ ，∠B=∠C ，∴BP=PC=3cm ，CQ=BD=4cm ，∴点,P Q 运动时间322BP t ==（s ）， ∴48332Q CQ V t===（cm/s ），故答案为：83；（4）设经过t 秒时，P 、Q 第一次相遇，∵2/p V cm s =，8/3Q V cm s =， ∴2t+8+8=83t ，解得：t=24此时点Q 走了824643⨯=（cm ），∵ABC 的周长为：8+8+6=22（cm ），∴6422220÷=，∴20-8-8=4（cm ），经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇，故答案为：24s ，在 BC 边上相遇．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间的关系，全等三角形中的动点问题，动点的追及问题，熟记三角形性质和判定，熟练掌握全等的判定依据和动点的运动规律是解题的关键，注意动点中追及问题的方向．30．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒ BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥CD ED ∴=。

八年级上学期第一次月考数学试卷分析八年级上学期第一次月考数学试卷分析八年级上学期第一次月考数学试卷分析随着学校各项工作全面展开，学校组织了开学以来的第一次月考，各班成绩也已统计完毕，经过查漏补缺，总结经验，寻找不足为进一步改进今后的教学，大幅度提高数学教学质量，特对本次考试做如下分析：一、试题的指导思想和原则本套试题以新的课程标准为纲，注重观察学生的基础知识掌握和基本技能，考察了学生的创新能力和实际数学应用能力，按8:1:1比例命题，无偏题，怪题。

二、试题分析本套试题主要考察11章全等三角形及12.1轴对称这几部分的内容，其中全等三角形的性质，判定，角平分线的性质和判定及线段垂直平分线的性质和判定等是考察的重点，所有的命题设计均围绕这几个方面进行，按照中考试题的模式，选择题8个24分，填空题8个32分，解答题64分，23个题。

这套试题符合素质教育思想，适应新的教材改革要求。

三、存在问题1、学生的成绩两极分化明显各班最高成绩达到120分、117，而最低成绩7、13、16、20分，得分低的学生主要考选择题和填空题得分，而大题最基本处于空白页。

2、学生对基础知识掌握不牢、不系统，综合能力应变差，不能举一反三。

3、做题步骤不严密，作图不规范。

四、教学建议1、夯实基础，注重双基培养。

在教学中继续注重学生对基础知识的掌握，加强对基本概念、基本性质定理的把握，培养解题、做题能力的发展。

2、注重学生均衡发展，减少两极分化。

对学习有困难的学生，教师要给予及时的关照与帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，尝试用自己的方式解决发表自己的看法。

3、加强例题教学，鼓励学生自主探索，合作交流。

4、重视学生良好的做题习惯的养成。

5、发挥家长协助作用，加强家校合作。

扩展阅读：八年级上册数学第一次月考试卷分析八年级上数学第一次月考试卷分析一、试题的结构、特点的分析１．试题结构的分析本套试题满分120分，七道大题包含24道小题，其中客观性题目占42分，主观性题目占78分。

东莞市东华初级中学2023－2024 学年八上数学月考模拟 （6）一．选择题（共10小题， 每小题3分， 共30分）1. 下列图形中，不是轴对称图形的的是（ ）A.B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解．【详解】解：A ．不是轴对称图形，故本选项符合题意；B ．是轴对称图形，故本选项不符合题意；C ．是轴对称图形，故本选项不符合题意；D ．是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．2. 以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（ ）A. 2，3，6B. 3，4，8C. 5，6，10D. 7，8，18【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可得．三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边．【详解】解：A 、236+<，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形；B 、348+<，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形；C 、5611+>，满足三角形的三边关系定理，能组成三角形；D 、7818+<，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题关键．3. 如图，AD 是ABC 的中线，CE 是ACD 的中线，23cm ACE S = 则ABC S = （ ）2cm ．A. 3B. 6C. 12D. 24【答案】C【解析】 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可．【详解】解：由三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分可知，CE 是ACD 的中线，12ACE ADC S S =△△， AD 是ABC 的中线， 12ADC ABC S S =， 14ACE ABC S S ∴= ， 23cm ACE S = ，2412cm ABC ACE S S ∴== ．故选：C ．【点睛】本题考查三角形的面积，知道三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是关键．4. 在∆ABC 中，∠ A ：∠ B ：∠ C=2：3：5，则∆ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】根据比例设∠A 、∠B 、∠C 分别为k 、2k 、3k ，然后根据三角形的内角和等于180°列式求出三角形各内角的度数作出判断即；依据是三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形．【详解】设∠A 、∠B 、∠C 分别为2k 、3k 、5k ，则2k+3k+5k=180°∴ ∠A=36° ∠B=54° ∠C=90°所以这个三角形是直角三角形．故答案为C.【点睛】此题考查三角形内角和定理，解题关键在于列出方程解答.5. 三角形中，到三边距离相等的点是（ ）A. 三条高线所在直线的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 三边的垂直平分线的交点【答案】C【解析】【分析】直接根据角平分线的性质即可得出结论．【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴在三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点，故选：C ．【点睛】本题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质是关键．6. 在平面直角坐标系中，将点()3,2P −向右平移3个单位得到点P ′，则点P ′关于x 轴的对称点的坐标为（ ）A. ()0,2−B. (0,2C. ()6,2−D. ()6,2−− 【答案】A【解析】【分析】先根据点向右平移3个单位点的坐标特征：横坐标加3，纵坐标不变，得到点P ′的坐标，再根据关于x 轴的对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数，得到对称点的坐标即可．【详解】解：∵将点()3,2P −向右平移3个单位，∴点P ′的坐标为：(0，2)，∴点P ′关于x 轴的对称点的坐标为：(0，-2)．故选：A ．【点睛】本题考查平移时点的坐标特征及关于x 轴的对称点的坐标特征，熟练掌握对应的坐标特征是解题的关键．7. 一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【分析】多边形的外角和是360度，多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，则多边形的内角和是2360180900×+=度；n 边形的内角和是(2)180n −°，则可以设这个多边形的边数是n ，这样就可以列出方程(2)180900n −°=°，解之即可． 【详解】解：多边形的内角和是2360180900×+=度，设这个多边形的边数是n ，根据题意得：(2)180900n −°=°，解得7n =，即这个多边形的边数是7．故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式和外角和定理，解题的关键是掌握多边形内角和公式(2)180n −°．8. 如图，已知O 是AB 的中点，添加下列一个条件后，仍无法判定AOC BOD △△≌的是( )A. OC OD =B. A B ∠=∠C. AC BD =D. C D ∠=∠【答案】C【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵O 是AB 的中点，∴AO BO =，又AOC BOD ∠=∠A. 添加OC OD =，根据SAS 可以证明AOC BOD △△≌，故该选项不符合题意；B. 添加A B ∠=∠，根据ASA 可以证明AOC BOD △△≌，故该选项不符合题意；C 添加AC BD =，不能证明AOC BOD △△≌，故该选项符合题意；D. 添加C D ∠=∠，根据AAS 可以证明AOC BOD △△≌，故该选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．9. 在△ABC 中，与∠A 相邻的外角是110°，要使△ABC 为等腰三角形，则∠B 的度数是( )A. 70°B. 55°C. 70°或55°D. 70°或55°或40°.【分析】已知给出了∠A的相邻外角是110°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．【详解】∵∠A的相邻外角是110°，∴∠A=70°，分两种情况：（1）当∠A为底角时，另一底角∠B=∠A=70°，或顶角∠B=40°（2）当∠A为顶角时，则底角∠B= 55°.故选:D.【点睛】考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．10. 如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②P A＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】A【解析】【分析】过点P作PK⊥AB，垂足为点K．证明Rt△BPK≌Rt△BPD，△P AK≌△PCD，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：过点P作PK⊥AB，垂足为点K．∵PK ⊥AB ，PD ⊥BC ，∠ABP ＝∠CBP ，∴PK ＝PD ，在Rt △BPK 和Rt △BPD 中，BP BP PK PD = =， ∴Rt △BPK ≌Rt △BPD （HL ），∴BK ＝BD ，∵∠APC +∠ABC ＝180°，且∠ABC +∠KPD ＝180°，∴∠KPD ＝∠APC ，∴∠APK ＝∠CPD ，故①正确，在△P AK 和△PCD 中，AKP PDC PK PDAPK CPD ∠=∠ = ∠∠＝， ∴△P AK ≌△PCD （ASA ），∴AK ＝CD ，P A ＝PC ，故②正确，∴BK ﹣AB ＝BC ﹣BD ，∴BD ﹣AB ＝BC ﹣BD ，∴AB +BC ＝2BD ，故③正确，∵Rt △BPK ≌Rt △BPD ，△P AK ≌△PCD （ASA ），∴S △BPK ＝S △BPD ，S △APK ＝S △PDC ，∴S 四边形ABCP ＝S 四边形KBDP ＝2S △PBD ．故④正确．故选A ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11. 如图，正方形网格中，∠1+∠2+∠3=_____________【答案】135°在【解析】【分析】先证明△ABC ≌△AEF ，然后证明∠1+∠3=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠2=45°，进而可得答案．【详解】解：如下图∵在△ABC 和△AEF 中，AB AE B E BC FE ∠∠＝＝＝∴△ABC ≌△AEF （SAS ），∴∠BAC ＝∠4，∵∠BAC ＝∠1，∴∠4=∠1，∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∵AG=DG ，∠AGD=90°，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135°，故答案为：135°【点睛】本题考查了三角形全等判定和性质，等腰直角三角形的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键．12. 已知一个正n 边形的每个内角为120°，则这个多边形的对角线有_________条．【答案】9【解析】【分析】多边形的每一个内角都等于120°，则每个外角是60°，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据多边形一个顶点出发的对角线有(3)n −条，即可求得对角线的条数．【详解】解： 多边形的每一个内角都等于120°，∴每个外角是60°，的则多边形的边数为360606°÷°=，则该多边形有6个顶点，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有633−=条．∴这个多边形的对角线有1(63)92×=条， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．同时考查了多边形的边数与对角线的条数的关系．13. 如图， 已知ABC 是等边三角形，4cm AB =，BD 是ABC 的高，点E 在BC 的延长线上，连接DE ．若30E ∠=°，则CE 的长为_________cm ．【答案】2【解析】【分析】根据等边三角形的性质解答即可．【详解】解： 等边ABC 的边长4cm AB =，60ACB ∠=°∴，4cm AC AB ==BD 是ABC 的高，12cm 2DC AC ∴==， 30E ∠=° ，E EDC ACB ∠+∠=∠，603030EDC ACB E ∴∠=∠−∠=°−°=°，EDC E ∴∠=∠，2cm CD CE ∴==．故答案为：2．【点睛】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一解答．14. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥BA 于E ，AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长是______cm ．【答案】6【解析】【分析】首先根据角平分线的性质可得CD =DE ，即可证得()Rt ACD Rt AED HL ≌，可得AC ＝AE ，再根据BC =AC ，可得△DEB 的周长＝BC +BE ＝AC +BE ＝AE +BE ＝AB ，据此即可解答．【详解】解：∵AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥BA 于E ，∠C ＝90°，∴CD ＝DE ，在Rt ACD 与Rt AED 中，==AD AD CD ED， ()Rt ACD Rt AED HL ∴ ≌，∴AC ＝AE ，∴△DEB 的周长＝BD +DE +BE ＝BD CD +BE ＝BC +BE ，又∵BC ＝AC ，∴△DEB 的周长＝BC +BE ＝AC +BE ＝AE +BE ＝AB ＝6 cm ．故答案是：6．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形周长的求法，熟练掌握和运用角平分线的性质定理及证明直角三角形全等的方法是解决本题的关键．15. 如图，已知30MON ∠=°，点123A A A 、、…在射线ON 上，点1B 、2B 、3B …在射线OM 上，112A B A △、223A B A △、334A B A △…均为等边三角形，若12OA =，则 202120212022A B A △的边长为_________．【答案】20212【解析】【分析】利用等边三角形的性质，以及外角的性质，推出每个等边三角形的边长分别为：123,,OA OA OA ，推出相应的数字规律，即可得解．【详解】解：∵112A B A △为等边三角形，∴11260∠=°B A A ， ∵11211B A A B O A O =∠+∠∠，30MON ∠=°，∴1130B A O O ∠=∠=°， ∴1112A B OA ==， 同理可得：223A B A △、334A B A △…的边长分别为：23,OA OA由12OA =，可求得，112A B A △的边长12OA =， 223A B A △的边长22222OA ==×=，334A B A △的边长233222OA ==×=，，从而得1n n n A B A + 的边长为2n ，∴202120212022A B A △的边长为20212，故答案为：20212．【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握等边三角形的三个角均为60°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．三．解答题（一）（共3小题，每小题8分， 共24分）16. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分∠BAC ，若30BAE ∠=°，20CAD ∠=°，求∠B 的度数．【答案】50°．【解析】【分析】先利用角平分线定义求得260BAC BAE ∠=∠=°，在Rt ACD 利用直角三角形的两锐角互余求得C ∠，最后在ABC 中利用三角形的内角和即可求解．【详解】解：∵AE 平分∠BAC ，30BAE ∠=°， ∴260BAC BAE ∠=∠=°，∵20CAD ∠=°，AD ⊥BC ，∴9070C CAD ∠=°−∠=°，∴在ABC 中，18050B BAC C ∠=°−∠−∠=°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握定义和定理是解题的关键．17. 如图，△ABC 中，90C ∠=°，AC =BC ．（1）用直尺和圆规作BAC ∠BC 于点D （保留作图痕迹）（2）过点D 画△ABD 的边AB 上的高DE ，交线段AB 于点E ，若△BDE 的周长是5cm ，求AB 的长．【答案】（1）见解析；（2）AB 的长为5cm【解析】分析】（1）利用基本作图作AD 平分∠BAC ；（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE ，然后利用“HL ”证明Rt △ACD 和Rt △AED 全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE ，然后求出AB 等于△BDE 的周长．【详解】（1）如图，AD 即为所作；的【（2）∵AD 平分∠BAC ，∠C=90°，DE ⊥AB ，∴CD=DE ，在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD AD CD DE = =， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AE=AC ，∵AC=BC ，∴BC=AE ，∵△BDE 的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AE=AB ，∴AB=5cm ．故AB 的长为5cm ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：作一个角的平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出AB 等于△BDE 的周长是解题的关键．18. 已知： 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=°，D 是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且DE DC =．（1）求证：BD 平分ABC ∠；（2）若36A ∠=°，求BDC ∠的度数．【答案】（1）见详解 （2）63°【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质解答即可；（2）根据三角形的内角和解答即可．【小问1详解】证明： DC BC ⊥ ，DE AB ⊥，DE DC =∴点D 在ABC ∠的平分线上，BD ∴平分ABC ∠；【小问2详解】解：90C ∠=° ，36A ∠=°，9054ABC A ∴∠=°−∠=°，BD 平分ABC ∠，1272DBC ABC ∴∠=∠=°， ∴在Rt BDC 中，9063BDC DBC ∠=°−∠=°．【点睛】本题重点考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质解答是关键．四．解答题（二） （共3 每小题9分， 共27分）19. 如图，在ABC 中，90C ∠=°，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =．求证：（1）CF EB =；（2）2AB AF BE =+．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得DE DC =．再根据()Rt Rt HL CDF EBD ≌，得CF EB =；（2）利用角平分线性质证明()Rt Rt HL ADC ADE ≌△△，得到AC AE =，再将线段AC 进行转化．【小问1详解】证明：∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，90C ∠=°，∴DE DC =，在Rt CDF △和Rt EBD △中，BD DF DC DE = =， ∴()Rt Rt HL CDF EBD ≌，∴CF EB =；【小问2详解】证明：在Rt ADC 与Rt ADE △中，CD DE AD AD= = ， ∴()Rt Rt HL ADC ADE ≌△△，∴AC AE =，∴2AB AE BE AC BE AF CF BE AF BE =+=+=++=+．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．20. 如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，四边形ABCD 的顶点均在格点上．（1）在图中画出四边形ABCD 关于y 轴对称的四边形1111D C B A ；（2）分别写出点A 、C 的对应点11A C 、的坐标．【答案】（1）见解析 （2）点11A C 、的坐标分别为()()117,83,2A C 、【解析】【分析】（1）分别确定A ，B ，C ，D 的对应点1A ，1B ，1C ，1D ，再顺次连接即可；（2）根据1A ， 1C 在坐标系内的位置可得其坐标．【小问1详解】解：如图，四边形1111D C B A 为所作．【小问2详解】点11A C 、的坐标分别为()()117,83,2A C 、．【点睛】本题考查的是坐标与图形，画关于y 轴对称的图形，熟练地利用轴对称的性质画图是解本题的关键．21. 如图，在ABC 中，AB AC =，D 是AB 上的一点，过点D 作DE BC ⊥于点E ，延长ED 和CA ，交于点F ．（1）求证：ADF △是等腰三角形；（2）若30F ∠=°，4BD =，2AD =，求EC 的长．【答案】（1）见解析 （2）4【解析】【分析】（1）根据AB AC =得到B C ∠=∠，结合垂直以及等角的余角相等即可证明；（2）结合（1）中的结论以及题目条件得到ABC 是等边三角形然后根据已知条件计算即可．【小问1详解】解：AB AC = ，B C ∴∠=∠，FE BC ⊥ ，9090F C BDE B °∴∠+∠=∠+∠=°，，F BDE ∴∠=∠，而BDE FDA ∠=∠F FDA ∴∠=∠，AF AD ∴=，ADF ∴ 是等腰三角形；【小问2详解】解：DE BC ⊥ ，90DEB ∴∠=°，30F ∠=° ，4BD =，30BDE F ∴∠=∠=°，60B ∴∠=°，122BE BD ∴==， AB AC = ，ABC ∴ 是等边三角形，6BC AB AD BD ∴==+=，4EC BC BE ∴=−=．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定以及余角的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰及等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质是解决本题的关键．五．解答题（三） （共2小题，每小题 12分，共24分）22. 如图 1,A （-2,0）,B （0,4）,以 B 点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC ．（1）求C 点的坐标；（2）在坐标平面内是否存在一点P,使△PAB 与△ABC 全等?若存在,直接写出P 点坐标,若不存在,请说明理由；（3）如图2,点E 为y 轴正半轴上一动点, 以E 为直角顶点作等腰直角△AEM,过M 作MN⊥x 轴于N,求OE-MN 的值．【答案】（1）C（-4，6）；（2）存在一点P，使△PAB与△ABC全等，符合条件的P的坐标是（-6，2）或（2，-2）或（4，2）或（-4，6）；（3）2．【解析】【分析】（1））作CE⊥y轴于E，证△CEB≌△BOA，推出CE=OB=4，BE=AO=2，即可得出答案；（2）分为四种情况，画出符合条件的图形，构造直角三角形，证三角形全等，即可得出答案；（3）作MF⊥y轴于F，证△EFM≌△AOE，求出EF，即可得出答案．【详解】解：（1）作CE⊥y轴于E，如图1，∵A（-2，0），B（0，4），∴OA=2，OB=4，∵∠CBA=90°，∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，∴∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°，∴∠ECB=∠ABO ，在△CBE 和△BAO 中ECB ABO CEB AOB BC AB ∠∠∠∠＝＝＝∴△CBE ≌△BAO ，∴CE=BO=4，BE=AO=2，即OE=2+4=6，∴C （-4，6）．（2）存在一点P ，使△PAB 与△ABC 全等，分为四种情况：①如图2，当P 和C 重合时，△PAB 和△ABC 全等，即此时P 的坐标是（-4，6）；②如图3，过P 作PE ⊥x 轴于E ，则∠PAB=∠AOB=∠PEA=90°，∴∠EPA+∠PAE=90°，∠PAE+∠BAO=90°，∴∠EPA=∠BAO ，在△PEA 和△AOB 中EPA BAO PEA AOB PA AB ∠∠∠∠＝＝＝∴△PEA ≌△AOB ，∴PE=AO=2，EA=BO=4，∴OE=2+4=6，即P 的坐标是（-6，2）；③如图4，过C 作CM ⊥x 轴于M ，过P 作PE ⊥x 轴于E ，则∠CMA=∠PEA=90°，∵△CBA ≌△PBA ，∴∠PAB=∠CAB=45°，AC=AP ，∴∠CAP=90°，∴∠MCA+∠CAM=90°，∠CAM+∠PAE=90°，∴∠MCA=∠PAE ，在△CMA 和△AEP 中MCA PAE CMA PEA AC AP ∠∠∠∠＝＝＝∴△CMA ≌△AEP ，∴PE=AM ，CM=AE ，∵C （-4，6），A （-2，0），∴PE=4-2=2，OE=AE-A0=6-2=4，即P 的坐标是（4，2）；④如图5，过P 作PE ⊥x 轴于E ，∵△CBA ≌△PAB ，∴AB=AP ，∠CBA=∠BAP=90°，则∠AEP=∠AOB=90°，∴∠BAO+∠PAE=90°，∠PAE+∠APE=90°，∴∠BAO=∠APE ，在△AOB 和△PEA 中BAO APE AOB PEA AB AP ∠∠∠∠＝＝＝∴△AOB ≌△PEA ，∴PE=AO=2，AE=OB=4，∴0E=AE-AO=4-2=2，即P 的坐标是（2，-2），综合上述：符合条件的P 的坐标是（-6，2）或（2，-2）或（4，2）或（-4，6）．（3）如图6，作MF ⊥y 轴于F ，则∠AEM=∠EFM=∠AOE=90°，∵∠AEO+∠MEF=90°，∠MEF+∠EMF=90°，∴∠AEO=∠EMF ，在△AOE 和△EMF 中∵AOE EFM AEO EMF AE EM ∠∠∠∠＝＝＝∴△AEO ≌△EMF （AAS ），∴EF=AO=2，MF=OE ，∵MN ⊥x 轴，MF ⊥y 轴，∴∠MFO=∠FON=∠MNO=90°，∴四边形FONM 是矩形，∴MN=OF ，∴OE-MN=OE-OF=EF=OA=2．故答案为（1）C （-4，6）；（2）存在一点P ，使△PAB 与△ABC 全等，符合条件的P 的坐标是（-6，2）或（2，-2）或（4，2）或（-4，6）；（3）2．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，用了分类讨论思想．23. 如图，在ABC 中，90B ∠=︒，16cm AB =，12cm BC =，20cm AC =，P 、Q 是ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）BP = ______ cm ．（用含t 的式子表示）（2）当点Q 在 BC 边上运动时，若PQB △是等腰三角形，则t 的值为多少？ （3）当点Q 在AC 边上运动时，若BCQ △是以BC 或BQ 为底边的等腰三角形，则t 的值为多少？【答案】（1）()16cm t −；（2）163； （3）当t 为11秒或12秒时，BCQ △是以BC 或BQ 为底边的等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据题意即可用t 可分别表示出BP ；（2）结合（1），根据题意再表示出BQ ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP BQ =，可得到关于t 的方程，可求得t ；（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分CQ BC =和BQ CQ =三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．【小问1详解】由题意可知AP t =，2BQ t =，16cm AB = ，()16cm BP AB AP t ∴=−=−，故答案为：()16cm t −；【小问2详解】当点Q 在边BC 上运动，PQB △为等腰三角形时，则有BP BQ =，即162t t −=， 解得163t =，∴当PQB △能形成等腰三角形，163t =； 【小问3详解】 ①当BCQ △是以BC 为底边的等腰三角形时：CQ BQ =，如图1所示，则C CBQ ∠=∠， 90ABC ∠=° ，90CBQ ABQ ∴∠+∠=°．90A C ∠+∠=°，A ABQ ∴∠=∠，BQ AQ ∴=，()10cm CQ AQ ∴==，()22cm BC CQ ∴+=，22211t ∴=÷=；②当BCQ △是以BQ 为底边的等腰三角形时：CQ BC =，如图2所示，则()24cm BC CQ +=， 24212t ∴=÷=，综上所述：当t 为11或12时，BCQ △是以BC 或BQ 为底边的等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．。

安徽省合肥市部分学校2022-2023学年八年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四组图形中，是全等形的一组是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，BE 是某个三角形的高，则这个三角形是（）A ．ABEB ．ABD △C ．CBE △D ．ABC3．如图，AB ，CD 相交于O ，OCA OBD ≌△△，6AO =，4BO =，则CD 的长为（）A ．9B ．10C ．11D ．124．如图三角形纸片被遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重合的三角形，他画图的依据是（）A ．SSSB ．AASC ．ASAD ．SAS5．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，则这个多边形的边数是（）A ．9B ．10C ．11D ．126．如图，已知AB DC ，Rt FEG △直角顶点在CD 上，已知35FEC ∠=︒，则GHB ∠=（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°7．如图，BF CE =，AE BC ⊥，DF BC ⊥，添加一个条件______，即可证明Rt ABE ≌Rt DCF △．下列添加的条件不正确的是（）A ．AB DC =B ．AE BF =C ．EA FD =D ．A D∠=∠8．某零件的形状如图所示，按照要求20B ∠=︒，110BCD ∠=︒，30D ∠=︒，那么A ∠的度数是（）9．根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC 的是（）A ．AB ＝3，BC ＝6，CA ＝8B ．AB ＝6，∠B ＝60°，BC ＝10C ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°D ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝410．如图，已知ABC DEF ≌△△，CD 平分BCA ∠，若22A ∠=︒，88CGF ∠=︒，则E ∠的度数是（）A ．26︒B ．28︒C ．30︒D ．34︒14．如图，ABC ≌△30DBC AD ∠=︒=，三、解答题17．如图，点D、E、F、G∥；(1)求证：GF BC(2)若BF平分∠ABC，∠2 18．如图，在五边形ABCDE∠的度数．90∠=︒，求EFCEDC19．如图，已知△ABC≌△∠C＝55°，∠D＝25°．22．如图，在ABC 中，BAC ABC ∠>∠，三个内角的平分线交于点(1)若80BCA ∠=︒，求BOA ∠的度数；(2)过点O 作OD OC ⊥，交AC 23．如图①，在Rt ABC △中，一动点P ，从点A 出发，沿着三角形的边3cm/s ，设运动时间为s t ．参考答案：1．C【分析】根据全等图形的定义逐项判断即可．【详解】因为A中的两个图形形状相同，但是大小不同，不能够重合，所以A选项不合题意；因为B中的两个图形形状相同，但是大小不同，不能够重合，所以B选项不合题意；因为C中的两个图形形状相同，大小不同，能够重合，所以C选项符合题意；因为D中的两个图形形状不同，不能够重合，所以D选项不合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形．能完全重合的两个图形叫做全等图形．2．A【分析】由三角形的高的定义即可进行判断．从三角形的一个顶点到它的对边作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．【详解】由图可知：BE过点E，且BE⊥AB，∴BE是ABE的高，故选∶A【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，熟练地掌握三角形高的定义是解题的关键．3．B【分析】直接利用全等三角形的性质得出AO=DO=6，CO=BO=4，进而得出答案．【详解】解：∵△OCA≌△OBD，AO=6，BO=4，∴AO=DO=6，CO=BO=4，∴DC=DO+CO=6+4=10．故选：B．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边关系是解题关键．4．C【分析】图中三角形没被遮住的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，所以，依据是ASA．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．5．C【分析】多边形的内角和比外角和的4倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1620°．n 边形的内角和可以表示成（n -2）•180°，这个多边形的边数是n ，得到方程，从而求出边数．【详解】解：根据题意，得（n -2）•180°=360°×4+180°，解得：n =11．则这个多边形的边数是11．故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．6．C【分析】先求出∠GED ，再利用平行线的性质求解即可．【详解】解：∵∠FEG ＝90°，∴∠GED ＋∠CEF ＝90°，∵∠CEF ＝35°，∴∠GED ＝55°，∵AB CD ，∴∠GHB ＝∠GED ＝55°，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的性质，属于中考常考题型．7．B【分析】根据全等三角形判断条件即可判断．【详解】解：∵BF CE =，∴BF EF CE EF -=-，即：BE CF =，∵AE BC ⊥，DF BC ⊥，∴=90AEB DFC ∠=∠ ，添加AB DC =，根据HL 即可判断Rt ABE ≌Rt DCF △，A 选项不符合题意；添加EA FD =，根据SAS 即可判断Rt ABE ≌Rt DCF △，C 选项不符合题意；添加A D ∠=∠，根据AAS 即可判断Rt ABE ≌Rt DCF △，D 选项不符合题意；B 选项中，EA 与DF 不是对应边，所以B 选项不能判断Rt ABE ≌Rt DCF △．故选：B【点睛】本题考查全等三角形的判断，熟练掌握全等三角形的判断定理是解题的关键．8．B【分析】连接BD ，根据三角形内角和定理得出∠CDB +∠CBD =70°，结合图形得出∠ADB +∠ABD =120°，再次利用三角形内角和定理即可得出结果．【详解】解：连接BD ，∵∠BCD =110°，∴∠CDB +∠CBD =180°-110°=70°，∵∠ABC =20°，∠ADC =30°，∴∠ADB +∠ABD =∠CDB +∠CBD +∠ABC +∠ADC =120°，∴∠A =180°-（∠ADB +∠ABD ）=60°，故选：B ．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理的运用，找准各角之间的关系是解题关键．9．C【分析】判断其是否为三角形，即两边之和大于第三边，之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形则并不是唯一存在，可能有多种情况存在．【详解】解：A 、符合全等三角形的判定定理SSS ，即能画出唯一的ABC ，故不符合题意；B 、根据三角形的判定定理SAS ，能画出唯一的ABC ，故不符合题意；C 、∠A 并不是AB ，BC 的夹角，所以可画出多个三角形，不能画出唯一的ABC ，故符合题意；D 、根据AAS 判定，可以画出唯一的ABC ，故不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，解题的关键是知道只有符合全等判定方法的条件画出的三角形才都是一样的，也就是说是唯一的．10．A【分析】由三角形的外角性质求出∠BCD =66°，然后得到132BCA ∠=︒，则132F ∠=︒，再结合三角形的内角和定理，即可求出E ∠的度数．【详解】解：∵ABC DEF ≌△△，∴22D A ∠=∠=︒，F BCA ∠=∠，∵88CGF D BCD ∠=∠+∠=︒，∴882266BCD ∠=︒-︒=︒，∵CD 平分BCA ∠，∴2266132BCA BCD ∠=∠=⨯︒=︒，∴1802213226E ∠=︒-︒-︒=︒；故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，以及角平分线的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出132BCA ∠=︒．11．三角形的稳定性．【分析】利用三角形的稳定性求解即可．【详解】世界最长跨海大桥——港珠澳大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是：三角形的稳定性．故答案为三角形的稳定性．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟记三角形的稳定性．12．6【分析】根据三角形中线的定义得出BD CD =，再根据“ABD △的周长比ACD 的周长大4”，推出4AB AC -=，即可求解．【详解】解：∵AD 为BC 边上的中线，∴BD CD =，∵ABD △的周长比ACD 的周长大4，∴()4AB BD AD AC CD AD AB AC ++-++=-=，∵10AB =，∴6AC =，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的顶点和对边中点的连线是三角形的中线．13．110【分析】通过证明()SSS ABD EBD △≌△得出70BED A ∠=∠=︒，即可求解．【详解】解：∵AD DE =，AB BE =，BD BD =，∴()SSS ABD EBD △≌△，∴70BED A ∠=∠=︒，∴18070110CED ∠=︒-︒=︒，故答案为：110．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等．14．66︒/66度15.5【分析】（1）根据16230ABE DBC ∠=︒∠=︒，求得132ABD CBE ∠+∠=︒，再结合全等三角形的性质求解即可；（2）根据ABC DBE ≌△△可得54DE AC BE BC ====，，进而即可求解；【详解】解：（1）∵16230ABE DBC ∠=︒∠=︒，，∴16030132ABD CBE ∠+∠=︒-︒=︒，∵ABC DBE ≌△△，∴ABC DBE ∠=∠，∴132266ABD CBE ∠=∠=︒÷=︒，故答案为：66︒；（2）∵ABC DBE ≌△△，∴54DE AC AD DC BE BC ==+===，，∴CDP △与BEP △的周长和DC DP PC BP PE BE=+++++DC DE BC BE=+++≌APQ。

八年级上学期第一次月考数学试卷分析八年级上学期第一次月考数学试卷分析近几年，数学考试一直是学生们的重要课程之一。

特别是在初中阶段，数学的内容逐渐增多，难度也逐渐加深。

八年级上学期第一次月考数学试卷也不例外，其中的题目设置和考察点都与学生们的数学学习进程相适应。

下面将对该试卷进行具体分析，帮助学生们更好地了解数学学习的重点和难点。

这套试卷共分为两部分，分别是选择题和解答题。

选择题占试卷总分的60%，解答题占总分的40%。

选择题主要考察学生对基础知识的掌握和运用能力，解答题则是考察学生的解题思路和能力。

在选择题部分，试卷设置了很多的选择题。

其中有一些是基础题，该部分主要考查了学生的基本运算能力，如四则运算、平方根、百分数等。

此外，还有一些题目是应用题，需要学生进行信息提取和问题转化，然后进行运算求解。

这样的题目旨在锻炼学生的综合运用能力。

除了基础题和应用题外，试卷还设置了一些思维题。

这些题目不仅考察了学生的数学思维能力，同时培养了学生的逻辑思维和创新思维。

例如，“如何设计一个园区，使得所有建筑都与中间的花坛等距离”，这就需要学生进行一系列的假设和推理，找到合适的解决方案。

对于解答题部分，试卷主要考察了学生的解题思路和解题方法。

通常，解答题的难度较大，需要学生具备一定的数学课程知识和解题技巧。

为了帮助学生更好地完成解答题，试卷给出了一些提示和指引，提示学生如何开始解题和如何进行推理。

这有助于学生理清思路，减少解题过程中的困惑。

此外，试卷还注重了对学生的数学思维培养。

在解答题部分，有一些要求学生给出解题思路或者证明过程的题目。

这些题目促使学生进行深入思考，从而提高他们的推理能力和论证能力。

综上所述，八年级上学期第一次月考数学试卷的设计合理，能够很好地检测学生对数学知识和解题能力的掌握程度。

通过参加这样的考试，学生不仅能够巩固已学的知识，还能够发现自己学习中的薄弱环节，及时调整学习方法和学习计划。

同时，试卷也注重培养学生的数学思维能力和解题思路，使得学生的数学学习更加全面和深入。

江西省2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1. 在ABC 中，已知3AC =，4BC =，则AB 的取值范围是（ ）A. 68AB <<B. 17AB <<C. 214AB <<D. 114AB <<【答案】B【解析】【分析】根据三角形三边关系求解．【详解】解： 在ABC 中，3AC =，4BC =， ∴BC AC AB BC AC −<<+，∴4343AB −<<+，即17AB <<．故选B ．【点睛】本题考查三角形三边关系的应用，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．2. 如图，△ABC ≌△ABD ，若∠ABC ＝30°，∠ADB ＝100°，则∠BAC 的度数是（ ）．A. 30°B. 100°C. 50°D. 80°【答案】C【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到∠C 的度数，然后利用三角形内角和定理计算即可.【详解】解：∵△ABC ≌△ABD ，∴∠C ＝∠ADB ＝100°，∴∠BAC ＝180°－100°－30°＝50°，故选C.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟知全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题关键.3. 如图，在ABC 中，AB AC =，AE AF =，AD BC ⊥，垂足为D ．则全等三角形有（ ）A. 2组B. 3组C. 4组D. 5组【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先根据HL 证明Rt ADE ≌Rt ADF ，可得DE DF =，进而得出Rt ABD △≌Rt ACD △，可得BD CD =，即可得出BE CF =，再根据SSS 证明ABE ≌ACF △，ACE △≌ABF △，可得答案．【详解】∵AE AF =，AD AD =，∴Rt ADE ≌Rt ADF ，∴DE DF =．∵AB AC =，AD AD =，∴Rt ADB △≌Rt ADC ，∴BD CD =，∴B D D E C D D F −=−，即BE CF =．∵AB AC =，AE AF =，∴ABE ≌ACF △．∵B D D F C D D E +=+，即BF CE =．∵AB AC =，AE AF =，∴ABF △≌ACE △．全等三角形有4组．故选：C ．4. 如图，在ABC 中，,ABC ACB ∠∠的平分线交于点O ，连接AO ，过点O 作,,OD BC OE AB ABC ⊥⊥△的面积是16，周长是8，则OD 的长是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先过点O 作OF AC ⊥于点F ，然后根据角平分线的性质，证明OE OF OD ==，然后根据ABC 的面积AOB =△的面积BOC +△的面积AOC +△的面积，求出答案即可．【详解】如图所示：过点O 作OF AC ⊥于点F ，OB ，OC 分别是ABC ∠和ACB ∠角平分线，OD BC ⊥，OE AB ⊥，OF AC ⊥，OE OD OF ∴==，16ABC AOB BOC AOC S S S S =++= ， ∴11116222AB OE BC OD AC OF ⋅+⋅+⋅=， 11116222AB OD BC OD AC OD ⋅+⋅+⋅=， 1()162OD AB BC AC ++=， 8++= AB BC AC ，4OD ∴=，故选：D ．5. 如图，ABC ∆中，AB BC =，点D 在AC 上，BD BC ⊥．设BDC α∠=，ABD β∠=，则（ ）的A. 3180αβ+°B. 2180αβ+°C. 390αβ−=°D. 290αβ−=°【答案】D【解析】 【分析】根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，直角三角形两锐互余解答【详解】解：AB BC = ，A C ∴∠=∠，A αβ−∠= ，90C α+∠=°，290αβ∴=°+，290αβ∴−=°，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角，直角三角形，熟练掌握三角形外角性质，直角三角形两锐角性质，是解决此类问题的关键6. 下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）A. 两个锐角对应相等B. 一个锐角和斜边对应相等C. 两条直角边对应相等D. 一条直角边和斜边对应相等【答案】A【解析】【分析】本题主要考查全等的判定方法，熟练掌握判定方法是解题的关键．根据判定方法依次进行判断即可．【详解】解：A 、两个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故A 符合题意；B 、一个锐角和斜边对应相等，利用AAS 可以判定两个直角三角形全等，故B 不符合题意；C 、两条直角边对应相等，利用SAS 可以判定两个直角三角形全等，故C 不符合题意；D 、一条直角边和斜边对应相等，利用HL 可以判定两个直角三角形全等，故D 不符合题意；故选：A ．7. 如图，在ACD 和BCE 中，,,,,AC BC AD BE CD CE ACE m BCD n ===∠=∠= ，AD 与BE 相交于点P ，则BPA ∠的度数为（ ）A. n m −B. 2n m −C. 12n m −D. 1()2n m − 【答案】D【解析】 【分析】由条件可证明△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形的性质得到∠ACB 的度数，利用三角形内角和可求得∠APB=∠ACB ，即可解答．【详解】在△ACD 和△BCE 中AC BC AD BE CD CE＝＝＝∴△ACD ≌△BCE （SSS ），∴∠ACD=∠BCE ，∠A=∠B ，∴∠BCA+∠ACE=∠ACE+∠ECD ，∴∠ACB=∠ECD=12（∠BCD-∠ACE ）=12×（n-m ） ∵∠B+∠ACB=∠A+∠BPA ，∴BPA ∠=∠ACB=1()2n m −. 故选D ．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．8. 如图，EB 交AC 于M ，交FC 于D ，AB 交FC 于N ，90E F ∠=∠=°，B C ∠=∠，AE AF =，给出下列结论：①12∠=∠；②BE CF =；③ACN ABM ≌；④CD DN =．其中正确的结论有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】 【分析】根据90E F ∠=∠=°，B C ∠=∠，AE AF =，可得ABE ACF ≌，三角形全等的性质BE CF =；BAE CAF ∠=∠可得①12∠=∠；由ASA 可得ACN ABM ≌，④CD DN =不成立．【详解】解：∵90E F ∠=∠=°，B C ∠=∠，AE AF =，∴ABE ACF ≌，∴BE CF =；BAE CAF ∠=∠，故②符合题意；∵BAE BAC CAF BAC ∠−∠=∠−∠，∴12∠=∠；故①符合题意；∵ABE ACF ≌∴B C ∠=∠，AB AC =，又∵BAC CAB ∠=∠∴ACN ABM ≌，故③符合题意；∴AM AN =，∴MC BN =，∵,B C MDC BDN ∠=∠∠=∠， ∴MDC NDB ≌，∴CD DB =，∴CD DN =不能证明成立，故④不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和三角形全等的性质，难度适中．9. 已知AOB ∠，下面是“作一个角等于已知角，即作A O B AOB ′′′=∠∠”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（ ）A. SASB. SSSC. AASD. ASA【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形判定等知识点，掌握尺规作图作一个角等于已知角的作法成为解题的关键．根据“作一个角等于已知角，即作A O B AOB ′′′=∠∠”的尺规作图痕迹，结合全等三角形的判定定理即可解答．【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作A O B AOB ′′′=∠∠”的尺规作图的依据是SSS ．故选：B ．10. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，AB AC >，下列结论正确的是（ ）A. AB AD CB CD −>−B. AB AD CB CD −=−C. AB AD CB CD −<−D. AB AD −与CB CD −的大小关系不确定【答案】A【解析】 【分析】先通过在AB 上截取AE =AD ，得到一对全等三角形，利用全等三角形的性质得到对应边相等，再利用三角形的三边关系和等量代换即可得到A 选项正确．【详解】解：如图，在AB 上取AE AD =，对角线AC 平分BAD ∠，BAC DAC ∴∠=∠，在ACD ∆和ACE ∆中，的AD AE BAC DAC AC AC = ∠=∠ =， ()ACD ACE SAS ∴∆≅∆，CD CE ∴=，BE CB CE >− ，AB AD CB CD ∴−>−．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的三边关系，要求学生能根据已知条件做出辅助线构造全等三角形，并能根据全等三角形的性质得到不同线段之间的关系，利用三角形三边关系判断大小，解决本题的关键是牢记概念和公式，正确作辅助线构造全等三角形等．二、填空题11. 若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的边数是______．【答案】六##6【解析】【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握任意多边形的外角和都是360度是解答本题的关键．根据任意多边形的外角和都是360度求解即可．【详解】解：360606°÷°=．故答案为：六．12. 四条长度分别为2cm ，5cm ，8cm ，9cm 的线段，任选三条组成一个三角形，可以组成的三角形的个数是___________个.【答案】2【解析】【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．【详解】解：四条木棒的所有组合：2，5，8和2，5，9和5，8，9和2，8，9；∵2+5=7<8，∴2，5，8不能组成三角形；∵2+5=7<9，∴2，5，9不能组成三角形；∵5+8=13>9，∴5，8，9能组成三角形；∵2+8=10>9，∴2，8，9能组成三角形．∴ 5，8，9和2，8，9能组成三角形．只有2个三角形．故答案是：2．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．13. 如图，在ABC 中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠，若140∠=°，230∠=°，则B ∠=______．【答案】40°##40度【解析】【分析】本题考查了三角形的角平分线，高线的定义；由AE 平分BAC ∠，可得角相等，由140∠=°，230∠=°，可求得EAD ∠的度数，在直角三角形ABD 在利用两锐角互余可求得答案．【详解】解：AE 平分BAC ∠12EAD ∴∠=∠+∠，12403010EAD ∴∠=∠−∠=°−°=°，Rt ABD 中，9090401040BBAD ∠=°−∠=°−°−°=°． 故答案为：40°．14. 如图，BE 平分∠ABC ，CE 平分外角∠ACD ，若∠A ＝52°，则∠E 的度数为_____．【答案】26°【解析】【分析】根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可得答案．【详解】∵BE 平分∠ABC ，CE 平分外角∠ACD ，∴∠EBC ＝12∠ABC ，∠ECD ＝12∠ACD ， ∴∠E ＝∠ECD ﹣∠EBC ＝12（∠ACD ﹣∠ABC ） ∵∠ACD-∠ABC=∠A ，∴∠E ＝12∠A ＝12×52°＝26° 故答案为26°【点睛】本题考查三角形外角性质，三角形的一个外角，等于和它不相邻的两个内角的和；熟练掌握外角性质是解题关键.15. 如图1，123456∠+∠+∠+∠+∠+∠为m 度，如图2，123456∠+∠+∠+∠+∠+∠为n 度，则m n −=__________．【答案】0【解析】【分析】将图1原六边形分成两个三角形和一个四边形可得到m 的值，将图2原六边形分成四个三角形可得到n 的值，从而得到答案．【详解】解：如图1，将原六边形分成两个三角形和一个四边形，，1234562180360720m ∴°=∠+∠+∠+∠+∠+∠=×°+°=°，如图2，将原六边形分成四个三角形，，∴°=∠+∠+∠+∠+∠+∠=×°=°，1234564180720n∴==，m n720∴−=，m n故答案为：0．【点睛】本题考查了多边形的内角和，此类问题通常连接多边形的顶点，将多边形分割成四边形和三角形，通过计算四边形和三角形的内角和，求得多边形的内角和．16. 如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ ACN≌ ABM；④CD＝DN．其中符合题意结论的序号是_____．【答案】①②③【解析】【分析】此题考查的是全等三角形的判定和性质的应用，只要先找出图中的全等三角形就可判断题中结论是否正确．【详解】∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AC=AB，BE=CF，即结论②正确；∵AC=AB，∠B=∠C，∠CAN=∠BAM，∴△ACN≌△ABM（ASA），即结论③正确；∵∠BAE=∠CAF，∵∠1=∠BAE-∠BAC，∠2=∠CAF-∠BAC，∴∠1=∠2，即结论①正确；∴△AEM ≌△AFN （ASA ），∴AM =AN ，∴CM =BN ，∵∠CDM =∠BDN ，∠C =∠B ，∴△CDM ≌△BDN ，∴CD =BD ，无法判断CD =DN ，故④错误，∴题中正确的结论应该是①②③．故答案为：①②③．【点睛】此题考查了三角形全等的判定和性质；对图中的全等三角形作出正确判断是正确解答本题的关键．三、解答题17. 如图，已知点D ，E 分别AB ，AC 上，B C ∠=∠，DC BE =，求证：ABE ACD △△≌．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件选择恰当的判定方法是解题的关键．【详解】解：在ABE 和ACD 中，B C A A BE DC ∠=∠ ∠=∠ =， ∴()AAS ABE ACD ≌．18. 如图，请你仅用无刻度直尺作图．在（1）在图①中，画出三角形AB 边上的中线CD ；（2）在图②中，找一格点D ，使得ABC CDA △△≌．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）如图，连接CD 即可；（2）按如图所示，找到点D ，连接AD CD ，即可．【小问1详解】【小问2详解】如图，CDA 即为所求；【点睛】本题考查了作图，三角形中线的性质、全等三角形的判定方法，掌握中线的性质及全等三角形判定的方法是关键．19. （1）在ABC 中，ABC ∠的角平分线和ACB ∠的角平分线交于点P ，如图1，试猜想P ∠与A ∠的关系，直接写出结论___________：（不必写过程）（2）在ABC 中，一个外角ACE ∠的角平分线和一个内角ABC ∠的角平分线交于点P ，如图2，试猜想P ∠与A ∠的关系，直接写出结论____________；（不必写过程） （3）在ABC 中，两个外角EBC ∠的角平分线和FCB ∠的角平分线交于点P ，如图3，试猜想P ∠与A ∠的关系，直接写出结论_________，并予以证明．【答案】（1）1902P A∠=°+∠；（2）12P A∠=∠；（3）1902P A∠=°−∠【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理表示出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACE=∠A+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，再根据角平分线的定义可得∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，然后整理即可得证；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）1902P A ∠=°+∠；理由：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∵点P为角平分线的交点，∴1=2PBC ABC∠∠，1=2PCB ACB∠∠，∴∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=90°-12∠A，在△PBC中，∠P=180°-（90°-12∠A）=90°+12∠A；故答案为：1902P A ∠=°+∠；（2）12P A ∠=∠．理由：由三角形的外角性质得，∠ACE=∠A+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，∵外角∠ACE的角平分线和内角∠ABC的角平分线交于点P，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，∴12（∠A+∠ABC）=∠P+12∠ABC，∴∠P=12∠A；（3）1902P A ∠=°−∠； 证明： 外角EBC ∠的角平分线和FCB ∠的角平分线交于点P ，11()()22PBC PCB A ACB A ABC ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠ 111()90222A A ABC ACB A =∠+∠+∠+∠=∠+° 在PBC ∆中，11180909022P A A ∠=°−∠+°=°−∠． 故答案为：1902P A ∠=°−∠； 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义和三角形外角的性质，熟记性质与概念是解题的关键，要注意整体思想的利用．20. 如图，在ABC 中，AE 为边BC 上的高，点D 为边BC 上的一点，连接AD ．（1）当AD 为边BC 上的中线时，若6AE =，ABC 的面积为30，求CD 的长；（2）当AD 为BAC ∠的角平分线时，若6636C B ∠=°∠=°，，求DAE ∠的度数．【答案】（1）5 （2）15°【解析】【分析】本题考查了用三角形中线求三角形面积、三角形外角性质、直角三角形性质．（1）利用三角形中线定义及三角形面积求出CD 长；（2）利用三角形内角和先求BAC ∠，再用外角性质和直角三角形性质求出DAE ∠．【小问1详解】∵AD 为边BC 上的中线， ∴1152ADC ABC S S == ， ∵AE 为边BC 上的高， ∴1152DC AE ××=， ∴5CD =．【小问2详解】∵6636C B ∠=°∠=°，∴18078BAC B C =°−−=°∠∠∠，∵AD 为BAC ∠的角平分线，∴39BAD DAC ∠=∠=°，∴393675ADC BAD B ∠=∠+∠=°+°=°，∵AE BC ⊥，∴90AED ∠=°，∴9015DAE ADC ∠=°−∠=°21. 如图，点A ，D ，B ，E 在同一直线上，AC ＝DF ，AD ＝BE ，BC ＝EF ．求证：AC ∥DF ．【答案】详见解析【解析】【分析】根据等式的性质得出AB ＝DE ，利用SSS 证明△ABC 与△DEF 全等，进而解答即可．【详解】证明：∵AD ＝BE ，∴AD +DB ＝BE +DB ，∴AB ＝DE ，在△ABC 与△DEF 中，AB DE AC DF BC EF = = =，∴△ABC ≌△DEF （SSS ），∴∠A ＝∠FDE ，∴AC ∥DF ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，做题的关键是找出证三角形全等的条件．22. 如图，在ACB △中，90ACB ∠=°，CD AB ⊥于D ．（1）求证：ACD B ∠=∠；（2）若AF 平分CAB ∠分别交CD 、BC 于E 、F ，求证：CEF CFE ∠=∠．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中． （1）由于ACD ∠与B ∠都是BCD ∠的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出9090CFA CAF AED DAE ∠=°−∠∠=°−∠，，再根据角平分线的定义得出CAF DAE ∠=∠，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明CEF CFE ∠=∠．【小问1详解】证明：90ACB ∠=° ，CD AB ⊥于D ，90ACD BCD ∴∠+∠=°，90B BCD ∠+∠=°，ACD B ∴∠=∠；【小问2详解】证明：在Rt AFC △中，90CFA CAF ∠=°−∠，同理Rt AED △中，90AED DAE ∠=°−∠．又AF 平分CAB ∠，CAF DAE ∴∠=∠，AED CFE ∴∠=∠，又CEF AED ∠=∠ ，CEF CFE ∴∠=∠．23. 如图，AC ，BD 相交于点O ，OB OD =，A C ∠=∠，求证：△≌△AOB COD ．在【答案】见解答【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法证明即可．【详解】证明：AOB 和COD △中，A C AOB COD OB OD∠=∠ ∠=∠ = ， (AAS)AOB COD ∴≌△△．24. 材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—— 圆规．我们不妨把这样图形叫做 “规形图 ”．解决问题：（1）观察“规形图 ”，试探究BDC 与A B C ∠∠∠，，之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：Ⅰ．如图② ，把一块三角尺 DEF 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边DE DF ，恰好经过点B C ，，若40A ∠=°，则ABD ACD +=∠∠ ° ． Ⅱ．如图③ ，BD 平分ABP CD ∠，平分ACP ∠，若40130A BPC ∠=°∠=°，，求BDC ∠的度数．【答案】（1） BDC A B C ∠=∠+∠+∠，理由见解析（2）Ⅰ．50；Ⅱ． 85°【解析】【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义得运用．根据题意连接AD 并延长至点 F ，利用三角形外角性质即可得出答案．Ⅰ．由（1）可知BDC A B C ∠=∠+∠+∠，因为40A ∠=°，90D ∠=︒，所以904050ABD ACD ∠+∠=°−°=°；Ⅱ．由（1）的已知条件，由于BD 平分ABP CD ∠，平分ACP ∠，即可得出在1452ABD ACD ABP ACP ∠+∠=∠+∠=°（），因此4540=85BDC ∠=°+°°． 【小问1详解】 解：如图连接AD 并延长至点 F ， 根据外角的性质，可得 BDF BAD B ∠=∠+∠， CDF C CAD ∠=∠+∠， 又∵BDC BDF CDF BAC BAD CAD ∠=∠+∠∠=∠+∠，， ∴BDC BAC B C ∠=∠+∠+∠；【小问2详解】解：Ⅰ． 由（1）可得，BDC ABD ACD A ∠=∠+∠+∠； 又∵4090A D ∠=°∠=°，， ∴9040=50ABD ACD ∠+∠=°−°°， 故答案为：50； Ⅱ．由（1），可得BPC ABP ACP BDC BAC ABD ACD ∠=∠+∠+∠∠=∠+∠+∠，， ∴1304090ABP ACP BPC BAC ∠+∠=∠−∠=°−°=°， 又∵BD 平分ABP CD ∠，平分ACP ∠， ∴1452ABD ACD ABP ACP ∠+∠=∠+∠=°（）， ∴4540=85BDC ∠=°+°°．。

2024-2025学年关店理想学校八上数学第一次月考测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图，在△ABC 中，线段BE 表示ABC V 的边AC 上的高的图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．AD 是ABC V 的高，若6040BAD CAD Ð=°Ð=°，，则BAC Ð的度数是（ ）A ．100°B ．20°C ．50°或110°D ．20°或100°3．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是180°”的有（ ）①如图1，过点C 作EF AB ∥；②如图2，过AB 上一点D 分别作DE BC ∥，DF AC ∥；③如图3，延长AC 到点F ，过点C 作CE AB ∥；④如图4，过点C 作CD AB ^于点D ．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④4．已知a ，b ，c 是ABC V 的三边长，a ，b 满足()2710a b -+-=，c 为奇数，则c 的值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．15．如图，AD ，CE 是ABC V 的两条中线，连接ED ．若12ABC S =△，则S =阴影（ ）A ．1B ．2C ．3D ．66．若一个正多边形的每一个外角为30°，则这个多边形的内角和为（ ）A ．1440°B ．1620°C ．1800°D ．1980°7．已知直线AB CD ∥，将一个含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放，若46MEF а＝，则CFM Ð的大小为（ ）A ．104°B ．107°C ．114°D ．134°8．如图，A B C D E F Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð等于（ ）A ．240°B ．300°C ．360°D ．540°9．在一个凸边形内角和为1080°的纸板上切下一个三角形后，剩下一个边长为n 的多边形，则n 的值不可能是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．910．如图，在ABC V 中，BAC а90＝，6AB ＝，AC 8＝，BC 10＝，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面结论：ABE V ① 的面积＝BCE △ 的面积；AFG AGF ÐÐ＝②；FAG ACF ÐÐ2＝③；.AD 24＝④．其中结论正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．①②③④二、填空题（每小题3分，共15分）11．如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的 ．12．一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形为 边形．13．如图，AD ，CE 是ABC V 的两条高，4cm AB =，8cm BC =，6CE cm =，则AD 的长为 ．14．如图，小明从A 点出发，向前走30m 后向右转36°，继续向前走30m ，再向右转36°，他回到A 点时共走了 米．15．如图，AC BD ^，AF 平分 BAC Ð，DF 平分EDB Ð，100BED Ð=°，则F Ð的度数为 ．三、解答题（共75分）16．已知a ，b ，c 是ABC V 的三边长．(1)若 8a =，2b =，c 为偶数，求c 的长；(2)化简∶a b c a b c --++-．17．（1）若多边形的内角和为1620°，求此多边形的边数；（2）已知一个正多边形的一个内角等于一个外角的32倍，求这个正多边形是几边形？18．如图，ABC V 中，已知CD 为ACB Ð的平分线，AM CD ^于M ，45B Ð=°，8BAM Ð=°，求ACB Ð的度数．19．如图，在ABC V 中，AD BC ^，AE 平分BAC Ð．(1)若72B Ð=°，30C Ð=°，求BAE Ð和DAE Ð的度数；(2)若42B C Ð=Ð+°，求DAE Ð的度数．20．如图，在ABC V 中，AD 平分BAC Ð交BC 于点D ，BE 平分ABC Ð交AD 于点E ．(1)若50C Ð=°，60BAC Ð=°，求ADB Ð的度数；(2)若45BED Ð=°，求C Ð的度数．21．如图，在ABC V 中，ABC Ð与外角ACD Ð的角平分线相交于点O .(1)当60ABC Ð=°，130ACD Ð=°时，求BOC Ð的度数；(2)求证：12O A Ð=∠.22．在△ABC 中，AD 是角平分线，∠B ＜∠C ，（1）如图（1），AE 是高，∠B ＝50°，∠C ＝70°，求∠DAE 的度数；（2）如图（2），点E 在AD 上．EF ⊥BC 于F ，试探究∠DEF 与∠B 、∠C 的大小关系，并证明你的结论；（3）如图（3），点E 在AD 的延长线上．EF ⊥BC 于F ，试探究∠DEF 与∠B 、∠C 的大小关系是 （直接写出结论，不需证明）．23．操作：如图1，将ABC V 沿射线BF 平移到DCE △，使原B 点与C 点重合，这时CD AB ∥，所以1A Ð=Ð，2B Ð=Ð，请回答：(1)A B ACB Ð+Ð+Ð的值为 °；(2)若56A Ð=°，40B Ð=°，则ACF Ð= °；若A x Ð=°，B y Ð=°，则ACF Ð= ；(3)我们把A Ð、B Ð、ACB Ð称为ABC V 的内角；把ACF Ð称为ABC V 的外角，DEF Ð为DCE △的外角，每个三角形都有六个外角．运用（1）（2）结论，解决问题：如图2，已知ABC V 中，56A Ð=°，BP 、CP 分别平分ABC Ð、BCA Ð，CQ 平分外角ACF Ð交BP 与点Q ，求BPC Ð，BQC Ð．1．D【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．根据三角形高线的定义，即可求解．【详解】解：过点B 作AC 的垂线，且垂足在直线AC 上，所以正确画出AC 边上的高的是D 选项，故选：D ．2．D【分析】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．分高AD 在ABC V 内部和外部两种情况讨论求解即可．【详解】①如图1，当高AD 在ABC V 的内部时，6040100BAC BAD CAD Ð=Ð+Ð=°+°=°；②如图2，当高AD 在ABC V 的外部时，604020BAC BAD CAD Ð=Ð-Ð=°-°=°，综上所述，BAC Ð的度数为20°或100°．故选：D ．3．A【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案．【详解】①∵EF AB ∥，∴,ECA A FCB B Ð=ÐÐ=Ð，∵180ECA ACB FCB Ð+Ð+Ð=°，∴180A B ACB Ð+Ð+Ð=°，故①符合题意，②∵DE BC ∥，DF AC ∥，∴,ADE B BDF A Ð=ÐÐ=Ð，,C AED AED EDF Ð=ÐÐ=Ð，∴C EDF Ð=Ð，∵180ADE EDF BDF Ð+Ð+Ð=°，∴180A B C Ð+Ð+Ð=°，故②符合题意，③∵CE AB ∥，∴,FCE A ECB B Ð=ÐÐ=Ð，∵180FCE ECB ACB Ð+Ð+Ð=°，∴180A B ACB Ð+Ð+Ð=°，故③符合题意，④Q CD AB ^，90CDB CDA \Ð=Ð=°，不能证明“三角形的内角和等于180°”故④不符合题意，故选：A ．4．A【分析】本题考查三角形三边关系，非负数的应用，先根据绝对值和平方的非负性求出a ，b ，再利用三角形三边关系求出c 的取值范围，结合c 为奇数确定c 的值．【详解】解：Q ()2710a b -+-=，\70-=a ，10b -=，\7a =，1b =，Q a ，b ，c 是ABC V 的三边长，\a b c a b -<<+，即68c <<，∵c 为奇数，∴7c =．故选A ．5．C 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积先求出162BCE ABC S S ==V V ，进而可得132BCE S S ==△阴影．【详解】解：∵CE 是ABC V 的中线，12ABC S =△，∴162BCE ABC S S ==V V ，∵AD 是ABC V 的中线，即D 为BC 的中点，∴DE 是BCE V 的中线，∴132BCE S S ==△阴影，故选C ．6．C【分析】本题考查了多边形的内角与外角，求正多边形的边数通常用外角和360°除以每一个外角的度数．根据正多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数先求出边数，然后再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．【详解】解：Q 多边形的每一个外角等于30°，3603012°¸°=，\这个多边形是12边形；其内角和()1221801800=-´°=°．故选：C ．7．A【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出180AMF CFM Ð+Ð=°，由三角形外角的性质求出76AMF MFE MEF Ð=Ð+Ð=°，即可得到104CFM Ð=°．【详解】解：∵AB CD ∥，∴180AMF CFM Ð+Ð=°，∵304676AMF MFE MEF Ð=Ð+Ð=°+°=°，∴104CFM Ð=°．故选：A ．8．C【分析】连接BD ，根据四边形内角和可得360A ABO OBD BDO CDO C Ð+Ð++Ð+Ð+Ð=°，再由“8”字三角形可得OBD ODB E F Ð+Ð=Ð+Ð，进而可得答案．【详解】解：连接BD ，如图，∵360A ABO OBD BDO CDO C Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°，OBD ODB E F Ð+Ð=Ð+Ð，∴360A ABO E F CDO C Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°，故选C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键．9．A【分析】本题主要考查了多边形的内角和．在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形，则所得新的多边形的边可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解．【详解】解：设一个内角和为1080°的多边形的边数为x，则x-´°=°，解得8(2)1801080x=．在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形，分三种情况：①若新多边形的边增加一条，则n的值为9；②若新多边形的边不变，则n的值为8；③若新多边形的边减少一条，则n的值为7．故选：A．10．C【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面△的面积关系以及求出AD的长度．积公式可确定ABE△和BCEV的中线【详解】解：BEQ是ABC\=AE EC△的面积\V的面积等于BCEABE故①正确；V的高BAC90Q，AD是ABCÐ=°9090，DCG DGCÐ+Ð=°\Ð+Ð=°AFG ACGQ是ABCCFV的角平分线ACG DCGÐ=Ð\Ð=ÐAFG DGC又DGC AGF Ð=ÐQAFG AGF \Ð=Ð故②正确；FAG DAC DAC ACD Ð+Ð=Ð+Ð=°90QFAG ACD \Ð=ÐACD ACF DCF ACF Ð=Ð+Ð=Ð2QFAG ACF \Ð=Ð2故③正确；ABC S AB AC BC AD ==2V Q g g.AB AC AD BC ´\===684810g 故④错误；故选：C【点睛】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键．11．稳定性【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．【详解】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性，故答案为：稳定性．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．12．八##8【分析】本题主要考查了多边形内角和公式、多边形外角和，根据多边形内角和公式()2180n -´°和多边形的外角和是360°，由一个多边形的内角和等于外角和的3倍，列出方程求解即可．【详解】解：设这个多边形有n 条边．由题意得：()21803603n -´°=°´，解得8n =．则这个多边形是八边形．故答案为：八．13．3cm【分析】此题解题的关键是掌握三角形的面积公式,利用等面积法求解即可，即1122ABC S BC AD AB CE =×=×V ．【详解】解：AD BC Q ^,CE BA ^1122ABC S BC AD AB CE D =×=×BC AD AB CE\×=×846AD \=´3AD \=故答案为：3cm ．14．300【分析】根据多边形的外角和等于360°求出所走过的边数，然后根据多边形的周长列式计算即可得解．本题考查了多边形的内角与外角，读懂题目信息，求出所走过的边数是解题的关键．【详解】解：3603610°¸°=，所以他走回到A 点时共走了：3010300´=（米）．故答案为：300．15．85°##85度【分析】本题主要考查了三角形外角．熟练掌握三角形外角性质，角平分线性质，是解决问题的关键．设AF 与DE 相交于点G ，DF 与AC 相交于点H ，根据AC BD ^，100BED Ð=°，得到=90ACD а，80AED Ð=°，根据角平分线定义得到1122BAC Ð=Ð=Ð，1342BDE Ð=Ð=∠，则根据三角形外角性质得到31AGD F AED Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，24AHD F ACD Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，得到32801904F F Ð+Ð+Ð+Ð=°+Ð+°+Ð，即得85F Ð=°．【详解】如图，设AF 与DE 相交于点G ，DF 与AC 相交于点H ，∵AC BD ^，∴=90ACD а，∵100BED Ð=°，∴18080AED BED Ð=°-Ð=°，∵AF 平分 BAC Ð，DF 平分EDB Ð，∴1122BAC Ð=Ð=Ð，1342BDE Ð=Ð=，∵31801AGD F AED Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°+Ð①，24904AHD F ACD Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°+Ð②，+①②，得，32801904F F Ð+Ð+Ð+Ð=°+Ð+°+Ð，∴2170F Ð=°，∴85F Ð=°．故答案为：85°．16．(1)8c =(2)2b【分析】本题考查了三角形三边关系，（1）根据三角形的三边关系可得610c <<，进而根据c 为偶数，即可求解；（2）根据三角形的三边关系得出0a b c --<，0a b c +->，进而化简绝对值，即可求解．【详解】（1）解：8a =Q ，2b =a bc a b\-<<+610c \<<c Q 为偶数8c \=（2）a b c <+Q ，a b c+>0a b c \--<，0a b c +->a b c a b c\--++-a b c a b c=-++++-2b=17．（1）11（2）5【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和．关键是记住内角和的公式与外角和的公式．（1）根据多边形的内角和计算公式作答；（2）设多边形的边数为n ，则多边形的内角和可以表示成(2)180n -×°，外角和是固定的360°，从而可根据一个正多边形的一个内角等于一个外角的32列方程求解可得．【详解】解：（1）设此多边形的边数为n ，则(2)1801620n -×°=，解得11n =．∴此多边形的边数为11；（2）设此正多边形为正n 边形．Q 正多边形的一个内角等于一个外角的32，\此正多边形的内角和等于其外角和的32，\3360(2)1802n ´°=-×°，解得：5n =．答：正多边形的边数为5．18．74ACB Ð=°【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识．求出ADC Ð，再利用三角形的外角的性质求出DCB Ð即可解决问题．【详解】解：AM CD ^Q ，90AMD \Ð=°，8DAM Ð=°Q ，82ADM \Ð=°，ADM B DCB Ð=Ð+ÐQ ，45B Ð=°，37DCB \Ð=°，DC Q 平分ACB Ð，23774ACB \Ð=´°=°．19．(1)39BAE Ð=°，21DAE =°∠(2)21°【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，（1）先利用三角形内角和定理求出BAC Ð的度数，进而利用角平分线的定义求出BAE CAE Ð∠、的度数，再根据三角形内角和定理求出CAD Ð的度数即可得到答案；（2）同（1）求解即可．【详解】（1）解：∵72B Ð=°，30C Ð=°，∴18078BAC B C =°--=°∠∠∠，∵AE 平分BAC Ð，∴1392BAE CAE BAC ===°∠∠∠，∵AD BC ^，即90ADC Ð=°，∴18060CAD C ADC =°--=°∠∠∠，∴21DAE CAD CAE =-=°∠∠∠；（2）解：∵42B C Ð=Ð+°，∴1801382BAC B C C =°--=°-∠∠∠∠，∵AE 平分BAC Ð，∴1692BAE CAE BAC C ===°-∠∠∠∠，∵AD BC ^，即90ADC Ð=°，∴18090CAD C ADC C =°--=°-∠∠∠∠，∴21DAE CAD CAE =-=°∠∠∠．20．(1)80°(2)90°【分析】（1）由角平分线的定义求出DAC Ð．再根据三角形外角的性质即可得到ADB Ð的度数；（2）由角平分线的定义得到22BAC BAD ABC ABE Ð=ÐÐ=Ð，．再根据三角形外角的性质得到45BAD ABE BED Ð+Ð=Ð=°．即可得到90BAC ABC Ð+Ð=°，再根据三角形内角和定理求出答案即可；本题考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的相关计算等知识，熟练掌握三角形外角的性质、三角形内角和定理是解题的关键．【详解】（1）解：∵AD 平分BAC Ð交BC 于点D ，60BAC Ð=°，∴1302DAC BAC Ð=Ð=°．∵ADB Ð是ADC △的外角，50C Ð=°，∴80ADB C DAC Ð=Ð+Ð=°；（2）∵AD 平分BAC Ð交BC 于点D ，BE 平分ABC Ð交AD 于点E ，∴22BAC BAD ABC ABE Ð=ÐÐ=Ð，．∵BED Ð是ABE V 的外角，45BED Ð=°，∴45BAD ABE BED Ð+Ð=Ð=°．∴()290BAC ABC BAD ABE Ð+Ð=Ð+Ð=°∵180BAC ABC C Ð+Ð+Ð=°，∴()18090C BAC ABC Ð=°-Ð+Ð=°．21．(1)35°(2)见解析【分析】（1）根据角平分线的定义分别求出OBC Ð和OCD Ð的度数，再利用三角形外角性质求出BOC Ð的度数；（2）由三角形外角的性质可得A ACD ABC Ð=Ð-Ð，再由角平分线的定义可得12DCO ACD Ð=Ð，12CBO ABC Ð=Ð，则可求得O DCO CBO Ð=Ð-Ð，从而可得到12O A Ð=的关系．【详解】（1）解：BO Q 平分ABC Ð，CO 平分ACD Ð，1230OBC ABC \Ð=Ð=°，1652OCD ACD Ð=Ð=°，OCD OBC BOC Ð=Ð+ÐQ ，653035BOC OCD OBC \Ð=Ð-Ð=°-°=°；（2）证明：ACD ÐQ 为ABC V 的外角，A ACD ABC \Ð=Ð-Ð，BO Q 平分ABC Ð，CO 平分ACD Ð，12DCO ACD \Ð=Ð，12CBO ABC Ð=Ð，DCO ÐQ 是BCO V 的外角，()1122O DCO CBO ACD ABC A \Ð=Ð-Ð=Ð-Ð=Ð．【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．22．（1）∠DAE =10°；（2）∠DEF 12=（∠C ﹣∠B ）．证明见解析；（3）∠DEF 12=（∠C ﹣∠B ）．【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到1,902CAD BAC CAE C °Ð=ÐÐ=-Ð，进而得出1()2DAE C B Ð=Ð-Ð,由此即可解决问题．（2）过A 作AG ⊥BC 于G ，依据平行线的性质可得∠DAG=∠DEF ，依据（1）中结论即可得到1()2DEF C B Ð=Ð-Ð（3）过A 作AG ⊥BC 于G ，依据平行线的性质可得∠DAG=∠DEF ，依据（1）中结论即可得到1()2DEF C B Ð=Ð-Ð【详解】（1）如图1，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD 12=∠BAC ，∵AE ⊥BC ，∴∠CAE ＝90°﹣∠C ，∴∠DAE ＝∠CAD ﹣∠CAE 12=∠BAC ﹣（90°﹣∠C ）12=（180°﹣∠B ﹣∠C ）﹣（90°﹣∠C ）12=∠C 12-∠B 12=（∠C ﹣∠B ），∵∠B ＝50°，∠C ＝70°，∴∠DAE 12=（70°﹣50°）＝10°．（2）结论：∠DEF 12=（∠C ﹣∠B ）．理由：如图2，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵EF ⊥BC ，∴AG ∥EF ，∴∠DAG ＝∠DEF ，由（1）可得，∠DAG 12=（∠C ﹣∠B ），∴∠DEF 12=（∠C ﹣∠B ）．（3）仍成立．如图3，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵EF ⊥BC ，∴AG ∥EF ，∴∠DAG ＝∠DEF ，由（1）可得，∠DAG 12=（∠C ﹣∠B ），∴∠DEF 12=（∠C ﹣∠B ），故答案为∠DEF 12=（∠C ﹣∠B ）．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是180°．23．(1)180(2)96，()x y +°；(3)118BPC Ð=°；28BQC Ð=°【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等等：（1）根据平角的定义，可得12180ACB Ð+Ð+Ð=°，求解即可；（2）先求出12ÐÐ，的度数，再根据12ACF Ð=Ð+Ð代入求解即可；（3）根据（1）的结论可知124ACB ABC Ð+Ð=°，根据角平分线的定义以及（1）的结论即可求出BPC Ð，根据角平分线的定义以及（2）的结论即可求出BQC Ð．【详解】（1）解：∵12180ACB Ð+Ð+Ð=°，1A Ð=Ð，2B Ð=Ð，∴180A B ACB Ð+Ð+Ð=°，故答案为：180；（2）∵56A Ð=°，40B Ð=°，∴156A Ð==°∠，240B Ð=Ð=°，∴1296ACF Ð=Ð+Ð=°，当A x Ð=°，B y Ð=°，则1A x Ð==°∠，2B y Ð==°∠，∴()12ACF x y Ð=+=+°∠∠，故答案为：96，()x y +°；（3）解：∵56A Ð=°，180A ACB ABC Ð+Ð+Ð=°，∴18056124ABC ACB Ð+Ð=°-°=°，∵BP 、CP 分别平分ABC Ð、BCA Ð，∴12PBC ABC Ð=Ð，12PCB ACB Ð=Ð，∴116222PBC PCB ABC ACB Ð+Ð=Ð+Ð=°∵180PBC PCB BPC Ð+Ð+Ð=°，∴18062118BPC Ð=°-°=°；∵BP 平分ABC Ð，∴12QBC ABC Ð=Ð，∵CQ 平分外角ACF Ð，∴12QCF ACF Ð=Ð，∵ACF BAC ABC Ð=Ð+Ð，∴1()2QCF ABC BAC Ð=Ð+Ð，∴1282BQC QCF QBC BAC Ð=Ð-Ð=Ð=°，∴BPC Ð的度数为118°，BQC Ð的度数为28°．。

广东省广州市越秀区广州大学附属中学2023-2024学年八年级上学期10月月考（数学）一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．1. 下列六个实数：022π73,,，3.14159265，0.101001000100001⋅⋅⋅，其中无理数的个数是（）A 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个【答案】B【解析】【分析】根据无理数的定义和常见无理数的特点去判断即可．2 ==2=，π3，0.101001000100001⋅⋅⋅是无理数，故选B．【点睛】本题考查了无理数即无限不循环小数，化为最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．2. 若单项式2x2y a+b与﹣13x a﹣2b y5的和仍然是一个单项式，则a﹣5b的立方根为（）A. ﹣1B. 1C. 0D. 2【答案】A【解析】【分析】根据题意得到两单项式为同类项，利用同类项定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出原式的立方根．【详解】∵单项式2x2y a+b与13−x a﹣2b y5的和仍然是一个单项式，∴225a ba b−=+=，解得：41ab==，则a﹣5b＝4﹣5＝﹣1，﹣1的立方根为﹣1．故选A．【点睛】本题考查了立方根，合并同类项，熟练掌握立方根定义是解答本题的关键．3. 下列数组中，能构成勾股数的是（）.A. 1，1B. 6，8，10C. 2，4，6D. 13，14，15【答案】B【解析】 【分析】根据勾股数的定义逐项判断即可得到答案．【详解】解：A 不是正整数，故1，1不能构成勾股数，故此选项不符合题意；B 、6，8，10是正整数，且22268366410010 ，故6，8，10能构成勾股数，故此选项符合题意；C 、2，4，6是正整数，但22224416206+=+=≠，故2，4，6不能构成勾股数，故此选项不符合题意；D 、13，14，15不是正整数，故13，14，15不能构成勾股数，故此选项不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了勾股数的定义，满足222+=a b c 的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握此定义是解题的关键．4. 在平面直角坐标系中，若将一次函数26y x =−+的图象向下平移(0)n n >个单位长度后恰好经过点(1,2)−−，则n 的值为( )A. 10B. 8C. 5D. 3【答案】A【解析】 【分析】先得出向下平移后一次函数的解析式，再将点(1,2)−−代入求解即可得．【详解】将一次函数26y x =−+的图象向下平移(0)n n >个单位长度后的函数解析式为26y x n =−+− 将点(1,2)−−代入26y x n =−+−得：262n +−=−解得10n =故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象的平移规律，掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．5. 若k k+1（k 是整数），则k=（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】找到90.【详解】本题考查二次根式的估值．∵8190100<<，∴910<<，∴9k =．一题多解：可将各个选项依次代入进行验证．如下表： 选项 逐项分析正误 A若6,369049k =<> × B若7,499064k =<> × C若8,649081k =<> × D 若9,8190100k =<< √【点睛】本题考查二次根式的估算，找到被开方数左右两边相邻的两个平方数是关键.6. 一架2.5m 长的梯子斜立在一竖直的墙边，梯脚距墙底0.7m ，这时梯子达到的高度是（ ）A. 2.5mB. 2.4mC. 2mD. 1.8m 【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理求出梯子达到的高度，进而可得出结论．【详解】解：∵一架2.5m 长的梯子斜立在一竖直的墙边，梯脚距墙底0.7m ，（m ）． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．7. ）A. 是无理数B. =±C. 23<<D. 2÷=【答案】B【解析】8的算术平方根，而算术平方根是求一个非负数的正的平方根，据此可以得到结果．【详解】A 是无理数，故A 正确．B 、表示求8的算术平方根，而算术平方根是求一个非负数的正的平方根，．故B 错误．C 、23<<∴<<．故C 正确．D 2÷．故D 正确．故选B ．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、二次根式的除法及无理数的有关概念，正确的理解算术平方根是解决此题的关键．8. 已知关于x 的一次函数y ＝（2﹣m ）x +2+m 的图象上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1＜x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A. m ＞2B. m ＞﹣2C. m ＜2D. m ＜﹣2 【答案】A【解析】【分析】当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，则y 随x 的增大而减小，根据一次函数的性质得: 2﹣m ＜0，即可得出答案．【详解】解：∵当x 1＜x 2时，y 1＞y 2∴y 随x 的增大而减小，∴2﹣m ＜0，∴m ＞2．故选：A ．【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，根据函数的增减性得到系数的范围，属于一般题型． 9. 如图所示，将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度cm h ，则h 的取值范围是（ ）A. 17cm h ≤B. 8cm h ≥C. 15cm 16cm h ≤≤D. 7cm 16cm h ≤≤【答案】D【解析】【分析】当筷子的底端在A 点时，筷子露在杯子外面的长度最短，当筷子的底端在D 点时，筷子露在外面的长度最长，然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h 的取值范围．【详解】解：如图，当筷子的底端在D 点时，筷子露在外面的长度最长，∴24816cm h −，当筷子的底端在A 点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt ABD 中，15AD =，8BD =，∴17AB =，此时24177cm h =−=，所以h 取值范围是7cm 16cm h ≤≤，故选：D ．【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．10. 如图，已知圆柱的底面直径BC =6π，高AB =3，小虫在圆柱表面爬行，从C 点爬到A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程为（ ）A.B. C. D. 【答案】D【解析】 【详解】试题解析：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A 、C 的最短距离为线段AC 的长．在RT △ADC 中，∠ADC =90°，CD =AB =3，AD 为底面半圆弧长，AD =3，所以AC=C 点爬到A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程为2AC=D ．二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡的位置上．11. 1的相反数是_____，绝对值是_______，倒数是_______1−11−【解析】【详解】1的相反数=-（1）－11的绝对值=︱1︱=-︱1︱1−1的倒数=1÷（1）=（1）÷（）=1−1−112. _______．【答案】3【解析】9=，在计算9的算术平方根即可得出答案．【详解】9=，9算术平方根为3∴3．故答案为：3．【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．13. 如图所示，在△ABC 中，∠B =90°，AB =3，AC =5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为_____．的【答案】7【解析】【分析】根据勾股定理求得BC ，再根据折叠性质得到AE =CE ，进而由三角形周长=AB +BC 求解即可．【详解】∵在△ABC 中，∠B =90°，AB =3，AC =5，∴BC4=.∵△ADE 是△CDE 翻折而成，∴AE =CE ，∴AE +BE =BC =4，∴△ABE 的周长=AB +BC =3+4=7．故答案是：7．【点睛】本题考查勾股定理、折叠性质，熟练掌握勾股定理是解答的关键．14. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为100cm ，15cm 和10cm ，A 和B 是这个台阶的两个端点，A 点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为_________cm .【答案】125【解析】【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB ，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．【详解】解：展开图为：的则AC=100cm ，BC=15×3+10×3=75cm ，在Rt △ABC 中，=125cm ．所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm ．故答案为：125．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．三、计算题（本大题2小题，每小题6分，共12分）15. 计算：（1计算：（2． 【答案】（1）0.1；（2【解析】【分析】（1）先计算算术平方根，再合并即可；（2）把分子、分母都乘以【详解】解：（11.2 1.10.1=−=； （2； 【点睛】本题考查的是求解算术平方根，分母有理化，掌握相应的运算法则是解本题的关键．四、解答题（本大题4小题，共38分）16. 三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB CF ，90F ACB ∠=∠=°，45E∠=°，60A ∠=°，2AC =，则CD 的长度是___________．【答案】3【解析】【分析】过点B 作BM FD ⊥于点M ，根据题意可求出BC 的长度，然后在EFD △中可求出45EDF ∠=°，进而可得出答案．【详解】解：过点B 作BM FD ⊥于点M ，在ACB △中，90ACB ∠=°，60A ∠=°，2AC =， 30ABC ∴∠=°，24AB AC ∴==．BC ∴∵AB CF ，BM ∴，3CM =，在EFD △中，90F ∠=°，45E ∠=°，45EDF =∴∠°，MD BM ∴==，3CD CM MD ∴=−=−．故答案为：3−【点睛】本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形，根据题意构造直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答是解题的关键．17. △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）画出△ABC 关于y 轴的对称图形△DEF （点A ，B ，C 分别与点D ，E ，F 对应），并直接写出D ，E ，F 三点的坐标；（2）连接CF、CD，则△DFC的面积为．【答案】（1）画图见解析；D（﹣4，6）、E（﹣5，2）、F（﹣2，1）（2）10【解析】【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点D、E、F，再首尾顺次连接即可；（2）利用三角形的面积公式求解可得答案．【详解】解：（1）如图所示，△DEF即为所求，D（﹣4，6）、E（﹣5，2）、F（﹣2，1）．×4×5＝10，（2）△DFC的面积为：12故答案为：10．【点睛】本题主要考查作图——轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．18. A 城有化肥200 吨，B 城有化肥300 吨，现要把化肥运往牛家、红旗两农村，如果从A 城运往牛家村、红旗村运费分别是20 元/吨与30 元/吨，从B 城运往牛家村、红旗村运费分别是15 元/吨与22 元/吨，现已知牛家村需要220 吨化肥，红旗村需要280 吨化肥．(1)如果设从A 城运往牛家村x 吨化肥，求此时所需的总运费y(元)与x(吨)之间的函数关系式(直接写出自变量x 的取值范围)．(2)如果你承包了这项运输任务，算一算怎样调运花钱最少，并求出最少运费．【答案】（1）y=-3x+11060（0≤x≤200）；（2）从A城运往牛家村200吨，从B城运往牛家村肥料20吨，则从B 城运往红旗村280吨时总运费最少，最少运费是10460元．【解析】【分析】（1）设从 A 城运往牛家村 x 吨化肥，用含x 的代数式分别表示出从A 运往运往红旗村的肥料吨数，从B 城运往牛家村化肥吨数，及从B 城运往红旗村化肥吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式；（2）利用一次函数的性质即得结论．【详解】（1）∵从 A 城运往牛家村 x 吨化肥，∴从A 城运往红旗村（200-x ）吨化肥，从B 城运往牛家村化肥（220-x ）吨，则从B 城运往红旗村（80+x ）吨．∴根据题意，得：y=20x+30（200-x ）+15（220-x ）+22（80+x ）=-3x+11060（0≤x ≤200）（2）由于y=-3x+11060是一次函数，k=-3＜0，∴y 随x 增大而减小．因为x ≤200，所以当x=200时，运费最少，最少运费是10460元．∴当从A 城运往牛家村200吨，从B 城运往牛家村肥料20吨，则从B 城运往红旗村280吨时总运费最少，最少运费是10460元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数解析式是关键．19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝43−x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点D （0，﹣6）在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，直线CD 交AB 于点E ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）求△ADE 的面积；（3）y 轴上是否存在一点P ，使得PAD S ∆＝12ADE S ∆，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．的【答案】（1）点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），点C 的坐标为（8，0）（2）9 （3）y 轴上存在一点P （0，﹣3）或（0，﹣9），使得PAD S ∆＝12ADE S ∆ 【解析】【分析】(1) 直线y ＝43−x +4中，分别令x =0、y =0，确定B 、A 坐标，运用勾股定理计算AB ，根据折叠性质，AC =AB ，确定OC 的长即可确定点C 的坐标．（2）证明Rt △AOD ≌Rt △AED ，根据ADE AOD S S ∆∆=计算即可．（3）设点P 的坐标为（0，m ），则DP ＝|m +6|．根据9|6|221m AO += ，计算m 的值即可． 【小问1详解】当x ＝0时，y ＝43−x +4＝4， ∴点B 的坐标为（0，4）；当y ＝0时，43−x +4＝0， 解得：x ＝3，∴点A 的坐标为（3，0）．在Rt △AOB 中，OA ＝3，OB ＝4，∴AB5．由折叠的性质，可知：∠BDA CDA ，∠D ＝∠C ，AC ＝AB ＝5，∴OC ＝OA +AC ＝8，∴点C 的坐标为（8，0）．小问2详解】∵∠B ＝∠C ，∠OAB ＝∠EAC ，∠B +∠AOB +∠OAB ＝180°，∠C +∠AEC +∠EAC ＝180°，∴∠AEC ＝∠AOB ＝90°=∠AED ＝∠AOD ．又∵∠BDA ＝∠CDA ，在Rt △AOD 和Rt △AED 中，【90AOD AED ODA EDA DA DA ∠=∠= ∠=∠ =∴Rt △AOD ≌Rt △AED ， ∴1136922ADE AOD O S A S OD ∆∆===××= ． 【小问3详解】存在点P ，且坐标为（0，-3）或（0，-9），理由如下：设点P 的坐标为（0，m ），则DP ＝|m +6|． ∵PAD S ∆＝12ADE S ∆， ∴1113|6|9222OA PD m =××+=× ， ∴|m +6|＝3，解得：m ＝﹣3或m ＝﹣9，∴y 轴上存在点P （0，﹣3）或（0，﹣9），使得PAD S ∆＝12ADE S ∆． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，解析式的确定，折叠的性质，一次函数与几何图形的综合，熟练掌握待定系数法，折叠性质，一次函数与几何图形的综合是解题的关键．。

初二数学练习一、选择题1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对选项进行分析即可．【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解本题的关键在寻找图形的对称轴，看图形两部分折叠后是否能够互相重合．2. 在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在的他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC（）A. 三边中线的交点B. 三条角平分线交点C. 三边中垂线的交点D. 三边上高交点【答案】C【解析】【分析】本题考查了与三角形相关的线段以及线段的垂直平分线．当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质，即可求解．【详解】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等，的三边中垂线的交点，∴凳子应放的最适当的位置是在ABC故选：C．3. 已知等腰三角形的一个角为80°，则该三角形的底角度数为（）A. 80°B. 50°或80°C. 50°或30°D. 30°【答案】B【解析】【分析】分80°的角为顶角，80°的角为底角，利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：当80°的角为顶角时，则底角度数为18080502°−°=°，当80°的角为底角时，则底角度数为80°；综上所述，该三角形的底角度数为50°或80°，故选B．【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．4. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=20°，DE是边AC的垂直平分线，连结AE，则∠BAE等于（）A. 20°B. 40°C. 50°D. 70°【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质求出CE=AE，求出∠EAC=∠C=20°，即可得出答案．【详解】∵在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=20°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=70°，∵DE是边AC的垂直平分线,∠C=20°，∴CE=AE，∴∠EAC=∠C=20°，∴∠BAE=∠BAC−∠EAC=70°−20°=50°，故选C.【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于掌握其性质.5. 如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF 的长是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】 【分析】连接AF ,得到∠AFC =90°，再证AE=EF ,可得EF=AE=EC ，即可求出EF 的长.【详解】解：如图：连接AF ,∵AB=AD, F 是BD 的中点,∴AF ⊥BD,∵EF=EC ,∴∠EFC =∠C ,∵在Rt △AFC 中，∠AFC =90°，∴∠AFE +∠EFC =90°,∠F AC +∠C ∴∠AFE =∠F AC ,∴AE=EF ,∵AC ＝8,∴EF=AE=EC=12AC=4. 故选B .【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质.解题的关键是正确的添加辅助线. 6. 已知：如图ABC 中，=60B ∠°，80C ∠=°，在直线BA 上找一点D ，使ACD 或BCD △为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（ ）A. 7个B. 6个C. 5个D. 4个【答案】B【解析】【分析】分ACD 或BCD △为等腰三角形两种情况画出图形即可判断．【详解】解：如图：当BC BD =时，BCD △是等腰三角形；∵=60CBA ∠°，∴BCD △是等边三角形，∴BC BD CD ==；当1BC BD =时，BCD △是等腰三角形；当23AC AD AD ==，4CA CD =，当55CD D A =时，ACD 都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D 的个数有6个．故选：B ．【点睛】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再一一分析符合条件的图形．7. 如图，在ABC 中，30BAD ∠=°，将ABD △沿AD 折叠至ADB ′ ，2ACB α∠=，连接B C ′，B C ′平分ACB ∠，则AB D ′∠的度数是（ ）A. 602α°+ B. 60α°+ C. 902α°− D. 90α°−【答案】D【解析】【分析】此题考查了全等三角形判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的的判定与性质,叠的性质．连接BB ′，过B ′作B E BC ′⊥于点E ，B F AC ′⊥于点F ，由折叠性质可得AB AB ′=，的30BAD B AD ′∠=∠=°，BD B D ′=，从而证明BAB ′ 是等边三角形，证明()HL AFB BEB ′′ ≌，可证()AAS ACB BCB ′′ ≌，最后根据全等三角形的性质即可求解．【详解】如图，连接BB ′，过B ′作B E BC ′⊥于点E ，B F AC ′⊥于点F ，∵B C ′平分ACB ∠，∴B E B F ′′=，由折叠性质可知AB AB ′=，30BAD B AD ′∠=∠=°，BD B D ′=，∴60BAB ′∠=°，∴BAB ′ 是等边三角形，∴BB AB ，60BB A ′∠=°，∴()HL AFB BEB ′′ ≌，∴B AC B BC ′′∠=∠，∵B C ′平分ACB ∠， ∴122BCB ACB αα′′∠=∠=×=， 又∵BB AB ，∴()AAS ACB BCB ′′ ≌， ∴3603606015022AB B AB C BB C ′°−∠°−°′′∠=∠===°， ∴18030B AC B BC AB C ACB α′′′′∠=∠=°−∠−∠=°−，∴30DBB DB B B AC α′∠′=∠==′∠°−，∴603090AB D AB B BB D αα′′′∠=∠+∠=°+°−=°−，故选：D ．二、填空题8. 如图，在锐角△ABC 中，BC =4，∠ABC =30°，∠ABD =15°，直线BD 交边AC 于点D ，点P 、Q 分别在线段BD 、BC 上运动，则PQ +PC 的最小值是__________．【答案】2【解析】【分析】作点Q 关于BD 的对称点M ，连接CM ，当C M A B ⊥时．此时PQ +PC 取得最小值．【详解】解：∵∠ABC =30°，∠ABD =15°，∴BD 是∠ABC 的平分线，作点Q 关于BD 的对称点M ，连接PM 、CM ，由对称的性质可知，PQ PM =,15QBP MBP ∠=∠=° ∴PQ PC PM PC CM +=+≥，∵15QBP MBP ∠=∠=°, ∴30QBP MBP∠+∠=°, ∵30ABC ∠=°,∴M 在AB 上,由垂线段最短可知：当C M A B ⊥时．CM 取得最小值，∴此时PQ +PC 也取得最小值．∵C M A B ⊥，∴90BMC ∠=°，∵30ABC ∠=°, ∴122CM BC ==,∴PQ +PC 的最小值为：2．故答案为：2．【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题、30°直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题．9. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长为___________．【答案】15【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论并利用三角形三边关系判断是否能组成三角形．分3是腰长与底边长两种情况讨论求解．【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，336+= ，∴不能组成三角形，②3是底边时，三角形的三边分别为6、6、3，能组成三角形，周长66315=++=．综上所述，这个等腰三角形的周长为15．故答案为：15．10. 如图,正三角形网格中,已有两个小正三角形被涂黑,再将图中其余小正三角形涂黑一个,使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有______种.【答案】3【解析】【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：选择小正三角形涂黑，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，的选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，选择的位置共有3处．故答案为3．考点：概率公式；轴对称图形．11. 如图，点D 在BC 上，AB AC CD ==，AD BD =，则BAC ∠=_____．【答案】108°##108度【解析】【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角定义及性质、三角形内角和定理，由等边对等角得出ABC ACB BAD ∠=∠=∠，结合三角形外角的定义及性质得出2CAD CDA ABD ∠=∠=∠，再由三角形内角和定理计算得出36ABC ACB BAD ∠=∠=∠=°，从而推出272DAC BAD ∠=∠=°，即可得解．【详解】解：∵AD BD =，∴ABD BAD ∠=∠，∵AB AC CD ==，∴A ABC CB =∠∠，CAD CDA ∠=∠，∴ABC ACB BAD ∠=∠=∠，∵2CDA BAD ABD ABD ∠=∠+∠=∠，∴2CAD CDA ABD ∠=∠=∠，∵225180CAD CDA ACD ABD ABD ACD ABD ∠+∠+∠∠+∠+∠∠°，∴36ABC ACB BAD ∠=∠=∠=°，∴272DAC BAD ∠=∠=°，∴108BAC DAC BAD ∠=∠+∠=°，故答案为：108°．12. 如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 和BC 于点D 和点E ，若ABC 的周长30cm，的AEC △的周长21cm ，则AB 的长为_______cm ．【答案】9【解析】【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到EA EB =，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EA EB =，∵ABC 的周长30cm ，∴30cm AB AC BC ++=，∵AEC △的周长21cm ，∴21cm AC CE EA AC CE EB AC BC ++=++=+=，∴()30219cm AB =−=，故答案为：9．13. 如图，在ABC 中，BO 平分ABC ∠，OD BC ⊥于点D ，连接OA ，若3OD =，12AB =，则AOB 的面积是 _____．【答案】18【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点O 作OE AB ⊥于点E ，根据BO 平分ABC ∠，OD BC ⊥，得到3OEOD ==，根据面积公式求出三角形的面积，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．【详解】解：如图，过点O 作OE AB ⊥于点E ，∵BO 平分ABC ∠，OD BC ⊥，∴3OE OD ==，∴AOB 的面积111231822AB OE =×=××=， 故答案为：18．14. 如图，在ABC 中，AB AC =，DE 垂直平分AB ．若BE AC ⊥，AFBC ⊥，垂足分别为点E ，F ，连接EF ，则∠=EFC ________．【答案】45°##45度【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质与判定，根据三线合一证明，直角三角形斜边中线性质，运用等腰三角形三线合一证明是解题关键．根据题意可证ABE 是等腰直角三角形，45BAC ∠=°，根据等腰三角形三线合一可得22.5CAF ∠=°，根据同角的余角相等可得22.5CBE ∠=°，根据直角三角形斜边中线性质可证BFE △是等腰三角形，进而求出其外角EFC ∠的度数．【详解】解：∵DE 垂直平分AB ，BE AC ⊥，∴BE AE =，ABE 是等腰直角三角形，∴45BAE ABE ∠=∠=°．∵AB AC =，AF BC ⊥，∴22.5CAF ∠=°，BF CF =，∵在直角AFC 和直角BEC 中，CAF ∠和CBE ∠都和C ∠互余，∴22.5CBE CAF ∠=∠=°，∵12BF CF BC ==， ∴点F 是BC 中点，EF 是直角BEC 的中线， ∴12EF BC =， ∴BF EF =，∴22.5BEF CBE ∠=∠=°，∴22.522.545EFC CBE BEF ∠=∠+∠=°+°=°．故答案为：45°．15. 如图，ABC 中40ABC ∠=°，动点D 在直线BC 上，当ABD △为等腰三角形，ADB =∠__________．【答案】20°或40°或70°或100°【解析】【分析】画出图形，分四种情况分别求解．【详解】解：若AB AD =，则40ADB ABC ∠=∠=°；若AD BD =，则40DAB DBA ∠=∠=°，∴180240100ADB ∠=°−×°=°；若AB BD =，且三角形是锐角三角形，则()1180702ADB BAD ABC ∠=∠=°−∠=°；若AB BD =，且三角形是钝角三角形， 则1202BAD BDA ABC ∠=∠=∠=°．综上：ADB ∠的度数为20°或40°或70°或100°，故答案为：20°或40°或70°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是找齐所有情况，分类讨论． 16. 如图，在ABC 中，60ABC ∠=°，AAAA 平分BAC ∠交BC 于点D ，CCCC 平分ACB ∠交AAAA 于点E ，AD CE 、交于点F ．则下列说法正确的有______．①120AFC ∠=°；②ABD S = ；③若2AB AE =，则CE AB ⊥；④CD AE AC +=．【答案】①③④【解析】【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定，角平分线的定义，三角形的中线，等角对等边，①根据三角形内角和定理可得可得120ACB CAB ∠+∠=°，然后根据AAAA 平分BAC ∠，CCCC 平分ACB ∠，可得12FCA ACB ∠=∠，12FAC CAB ∠=∠，再根据三角形内角和定理即可进行判断；②当AAAA 是ABC 的中线时, ABD ADC S S = ，进而可以进行判断；③延长CCCC 至G ，使GE CE =，连接BG ，根据2AB AE =，证明()SAS ACE BGE ≌得ACE G ∠=∠，然后根据等角对等边进而可以进行判断；④作AFC ∠的平分线交AC 于点H ，可得60AFH CFH AFE ∠=∠=∠=°，证明()ASA AEF AHF ≌，()ASA CDF CHF ≌，可得AE AH =，CD CH =进而可以判断；熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】①在ABC 中， 60ABC ∠=°，∴120ACB CAB ∠+∠=°，∵AAAA 平分BAC ∠，CCCC 平分ACB ∠， ∴12FCA ACB ∠=∠，12FAC CAB ∠=∠， ∴()()11801801202AFC FCA FAC ACB CAB ∠=−∠+∠=−∠+∠=° ，故①正确； ②当AAAA 是ABC 的中线时，ABD ADC S S = ，而AAAA 平分BAC ∠， 故②错误；③如图，延长CCCC 至G ，使GE CE =，连接BG ，∵2AB AE =，∴AE BE =，∵AEC BEG ∠=∠，∴()SAS ACE BGE ≌，∴ACE G ∠=∠，CE GE =，∵CCCC 为角平分线，∴ACE BCE ∠=∠，∴BCE G ∠=∠，∴BC BG =，∵CE GE =，∴BE CE ⊥，故③正确；④如图，作ABC ∠的平分线交AC 于点H ，由①得120AFC ∠=°，∴60AFH CFH ∠=∠=°，∵18060AFE AFC ∠=°−∠=°，∴60AFH CFH AFE ∠=∠=∠=°，∴EAF HAF ∠=∠，DCF HCF ∠=∠， ∴()ASA AEF AHF ≌，()ASA CDF CHF ≌，∴AE AH =，CD CH =，∴CD AE CH AH AC +=+=，故④正确；综上：①③④正确，故答案为：①③④．三、解答题17. 下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形(另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同)【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形的作法，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质，沿一条直线对折直线两旁部分完全重合．先找到合适的对称轴，然后再涂黑两个小正方形即可．【详解】解∶如图，18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，直线EF 经过网格格点．请完成下列各题：（1）画出ABC 关于直线EF 的对称的A B C ′′′ ；（2）ABC 的面积等于 ．（3）利用网格，在直线EF 上画出点P ，使PA PB =．同时，在直线EF 上画出点Q ，使QA QB +的值最小．【答案】（1）画图见解析（2）14（3）画图见解析【解析】【分析】本题考查了两点之间线段最短，运用网格求三角形面积，垂直平分线的性质，轴对称作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）分别作出点A B C ′′′，，，再依次连接，即可作答． （2）运用割补法求三角形面积，即可作答．（3）结合网格特征，作出线段AB 的垂直平分线，与直线EF 的交点，即为点P ，结合（1），连接A B ′，与直线EF 的交点，即为点Q ，即可作答．【小问1详解】解：A B C ′′′ 如图所示：【小问2详解】 解：1114824262814222ABC S =×−××−××−××= ； 【小问3详解】解：画AB 的垂直平分线交直线EF 于点P ，则PA PB =，如图所示：连接AB ′交直线EF 上于点Q ，则AQ BQ AQ B Q AB ′′+=+=，则QA QB +的值最小，如图所示：19. 已知：如图，ABC 中，D 是AB 中点，DE AC ⊥垂足为E ，DF BC ⊥垂足为F ，且ED FD =，求证：ABC 是等腰三角形．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．由点D 是AB 中点，可得AD BD =，再证明Rt Rt ADE BDF ≌ 可得A B ∠=∠，然后根据等角对等边可得即可证明结论．【详解】证明：∵D 是AB 中点，∴AD BD =，,DE AC DF BC ⊥⊥ ，在Rt ADE 和Rt BDF △中，ED FD AD BD= = ， ∴()Rt Rt ADE BDF HL ≌，∴A B ∠=∠，∴AC BC =，即ABC 是等腰三角形．20. 已知：如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB AC AD AE ==，．求证：BD CE =．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，如图所示，过点A 作AFBC ⊥于F ，由三线合一定理得到BF CF =，DF EF =，再由线段的和差关系即可证明BD CE =．【详解】证明：如图所示，过点A 作AFBC ⊥于F ，∵AB AC =（已知）， ∴BF CF =，又∵AD AE =（已知）， ∴DF EF =，∴BF DF CF EF −=−，即BD CE =（等式的性质）．21. 如图，90B C ∠=∠=°，AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠，且AE 与DE 交BC 于E ．求证：（1）BE CE =；（2）AE DE ⊥．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质：（1）过点E 作EF AD ⊥，根据角平分线的性质，即可得出结论；（2）分别证明DCE DFE ≌， ≌ABE AFE ，得到,CED FED AEB AEF ∠=∠∠=∠，根据平角的定义，得到90AED ∠=°，即可．【小问1详解】解：过点E 作EF AD ⊥，∵AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠，90B C ∠=∠=°， ∴CE EF =，BE EF =，∴BE CE =；【小问2详解】证明：在Rt ECD △和Rt EFD 中，DE DE EF CE = =， ∴Rt Rt ECD EFD ≌，∴CED FED ∠=∠， 同理：Rt Rt EBA EFA ≌，∴AEB AEF ∠=∠，∵180CED FED AEB AEF ∠+∠+∠+∠=°，∴()2180FED AEF ∠+∠=°，∴180FED AEF ∠+∠=°，即：90AED ∠=°，∴AE DE ⊥22. 如图，在ABC 中，90BAC ∠>°，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点E ，F ，AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点M ，N ，直线EF ，MN 交于点P ．（1）求证：点P 在线段BC 的垂直平分线上；（2）已知56FAN ∠=°，求FPN ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）62FPN ∠=°．【解析】【分析】（1）连接BP ，AP ，PB PA PC ==，从而证明结论即可；（2）先根据相等垂直平分线的性质证明FA FB =，NA NC =，90AEP AMP BEF CMN ∠=∠=∠=∠=°，再设B x ∠=，C y ∠=，然后根据三角形内角和定理，求出x y +，再根据直角三角形的性质求出BFE ∠和CNM ∠，再根据对顶角的性质求出PFN ∠，PNF ∠，最后利用三角形内角和定理求出答案即可.本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，对顶角相等，解题关键是熟练掌握知识点的应用.【小问1详解】证明：如图所示， 连接BP ，AP ，PC ，∵PE 垂直平分AB ，PM 垂直平分AC ， ∴PA PB =，PA PC =，∴PB PC =，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上；【小问2详解】解：∵PE 垂直平分AB ，PM 垂直平分AC ， ∴FA FB =，NA NC =，90AEP AMP BEF CMN ∠=∠=∠=∠=°， ∴90B BFE C MNC ∠+∠=∠+∠=°，设B x ∠=，C y ∠=， ∴B BAF x ∠=∠=，C CAN y ∠=∠=，90BFE x ∠=°−， 90MNCy ∠=°−， ∴90PFN BFE x ∠=∠=°−，90PNF MNC y ∠=∠=°−， ∵180B C CAB ∠+∠+∠=°，56FAN =°，∴2256180x y ++°=°，即62x y +=°， ∵180PFN PNF FPN ∠+∠+∠=°，∴9090180x y FPN°−+°−+∠=°， ∴()18018062FPNx y ∠=°−°++=°． 23. 如图，在ABC 中，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，F 为BC 的中点，连接EF ，DF ．（1）求证：EF DF =；（2）若60A ∠=°，6BC =．求DEF 的周长．【答案】（1）证明见解析．（2）9．【解析】【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出是解题关键．（1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．（2）由（1）可得EF DF BF CF ===，再可推导出60EFD ∠=°，再证明DEF 为等边三角形即可求解．【小问1详解】证明：∵BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，∴BEC 与BDC 都为直角三角形，又∵F 为BC 的中点， ∴12EF BC =，12DF BC =， ∴EF DF =．【小问2详解】由（1）可知12EFDF BC ==， ∵F 为BC 的中点， ∴12BF FC BC ==， ∴3EF DF BF CF ====，∴FBE BEF ∠=∠，FCD CDF ∠=∠， ∵60A ∠=°，∴120ABF ACB ∠+∠=°，∴1801802BFE ABF BEF ABF ∠=°−∠−∠=°−∠，1801802CFD ACB CDF ACB ∠=°−∠−∠=°−∠，∴()36023602120120BFE CFD ABF ACB ∠+∠=°−∠+∠=°−×°=°， ∴18060EFD BFE CFD ∠=°−∠−∠=°，又∵EF FD =，∴EFD 为等边三角形，∴3EF FD ED ===，∴DEF 的周长为9EF FD ED ++=．24. 如图，ABC 中，点D 在边BC 延长线上，108ACB ∠=°，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，且54CEH ∠=°．（1）求ACE ∠的度数；（2）请判断AE 是否平分CAF ∠，并说明理由；（3）若10AC CD +=，6AB =，且15ACD S = ，求ABE 的面积．【答案】（1）36ACE ∠=°（2）AE 平分CAF ∠，理由见解析（3）ABE 的面积为9【解析】【分析】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积．（1）由平角的定义可求解ACD ∠的度数，再利用三角形的内角和定理可求解36ECH ∠=°，进而可求解； （2）过E 点分别作EM BF ⊥于M ，EN AC ⊥与N ，根据角平分线的性质可证得EM EN =，进而可证明结论；（3）利用三角形的面积公式可求得EM 的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．【小问1详解】解：108ACB ∠=° ，18010872ACD ∴∠=°−°=°，EH BD ⊥ ，90CHE ∴∠=°，54CEH ∠=°， 905436ECH ∴∠=°−°=°，723636ACE ∴∠=°−°=°；【小问2详解】解：AE 平分CAF ∠，理由如下：过E 点分别作EM BF ⊥于M ，EN AC ⊥与N ，BE 平分ABC ∠，EM EH ∴=，36ACE ECH ∠=∠=° ，CE ∴平分ACD ∠，EN EH ∴=，EM EN ∴=，AE ∴平分CAF ∠；【小问3详解】解：10AC CD += ，15ACD S = ，EMEN EH ==， 111()15222ACD ACE CED S S S AC EN CD EH AC CD EM ∴=+=⋅+⋅=+⋅= ， 即110152EM ×⋅=， 解得3EM =，6AB = ，1163922ABE S AB EM ∴=⋅=××= ． 25. 如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点（与A ，C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），连接PQ 交AB 于D ．（1）设AP 的长为x ，则PC ＝ ，QC ＝ ；（2）当∠BQD ＝30°时，求AP 的长；（3）过点Q 作QF ⊥AB 交AB 延长线于点F ，过点P 作PE ⊥AB 交AB 延长线于点E ，则EP ，QF 有怎样的关系？说明理由；（4）在运动过程中，线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长【答案】（1）6x −，6x + ；（2）2；（3）EP FQ =，//QF PE ；（4）不变，3ED =．【解析】【分析】（1）由线段和差关系即可得出答案；（2）由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可列方程()626x x +=−解方程即可得出答案；（3）作QF AB ⊥的延长线于点F ，利用AAS 证明AEP BFQ ≌，即可得出答案；（4）作QF AB ⊥的延长线于点F ，连接,EQ PF ，由全等三角形的性质可证AB EF =，由题意可证四边形PEQF 是平行四边形，可得12DEDF EF ==，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵6AP x AC BC ===，又P 和Q 速度相同∴AP QB = ∴66PC x AQ x =−=+， 故答案为：6x −，6x + ．（２）∵60ACB ∠=°,30BQD ∠=°∴90QPC ∠=° ∴2QC PC =∴()626x x +=−解得：xx =2∴2AP = ．（3）EP FQ =，//QF PE理由如下：作QF AB ⊥的延长线于点F如图，∵PE AB QF AB ⊥⊥，∴//QF PE∴AEP QFB ∠=∠ ∵P 和Q 速度相同∴AP BQ =∵ABC 是等边三角形∴60A ABC FBQ ∠=∠=∠=° 又ABC QBF ∠=∠ ∴A QBF ∠=∠ 在AEP 和BFQ 中AP BQ AEP QFB A QBF = ∠=∠ ∠=∠()AEP BFQ AAS ≌∴QF EP =．（4）AACC 的长度不变作QF AB ⊥的延长线于点F ，连接,EQ PF∵AEP BFQ ≌∴AE BF =∴BE AE BF BE +=+∴6AB EF ==∵PE EP QF AB ⊥⊥，∴//QF PE 且QF PE =∴四边形PEQF 是平行四边形 ∴132DE DF EF ===． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定定理及平行四边形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．26. 小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空．【阅读定义】如图1，ABC 内有一点P ，满足PAB PBC PCA ∠=∠=∠，那么点P 称为ABC 的“布洛卡点”，其中∠PAB 、PBC ∠、PCA ∠被称为“布洛卡角”．如图2，当QAC QCB QBA ∠=∠=∠时，点Q 也是ABC 的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”．【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由）问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度；问题2：在等腰三角形ABC 中，已知AB AC =，点M 是ABC 的一个“布洛卡点”，MAC ∠是“布洛卡角”．（1）AMB ∠与ABC 的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理．（2）当90BAC ∠=°（如图4所示），5BM =时，求点C 到直线AM 的距离． 【答案】问题1：1，30；问题2：（1）2AMB ABC ∠=∠，（2）52， 【解析】【分析】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度； 问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得ABC ACB ∠=∠，结合题意可知MAC ABM ∠=∠，则有BAC ABM BAM ∠=∠+∠，利用三角形内角和定理可得ABC ACB AMB ∠+∠=∠，即可得到2AMB ABC ∠=∠； （2）过C 点作CD AM ⊥与D ，根据可得90ADC ∠=°，且45ABC ACB ∠=∠=°，由题意得MAC MCB ABM ∠=∠=∠，求得180AMB ABM BAM ∠=°−∠−∠90=°，180BMC MBC MCB ∠=°−∠−∠135=°，则有ADC BMA ∠=∠和45CMD MCD ∠=∠=°，MD CD =，继而证明ADC BMA ≌，则有AD BM =和CD AM =，即可得到2BM CD =，可得点C 到直线AM 的距离．【详解】解：问题1：由题意知三角形中有两个“布洛卡点”，∵等边三角形每个角为60°，∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为30°，故答案为：1，30．问题2：（1）2AMB ABC ∠=∠，理由如下：∵AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠，∵M 是ABC 的“布洛卡点”，MAC ∠是“布洛卡角”，∴MAC ABM ∠=∠，∴MAC BAM ABM BAM ∠+∠=∠+∠，即BAC ABM BAM ∠=∠+∠，∵180ABC ACB BAC ∠°−∠−∠=∠，180ABM BAM AMB ∠+∠=°−∠，∴ABC ACB AMB ∠+∠=∠，∵ABC ACB ∠=∠，∴2AMB ABC ∠=∠，（2）过C 点作CD AM ⊥与D ，如图，则90ADC ∠=°，∵90BAC AB AC ∠=°=，，∴45ABC ACB ∠=∠=°，∵MAC MCB ABM ∠=∠=∠，∴180AMB ABM BAM ∠=°−∠−∠180MAC BAM =°−∠−∠180BAC =°−∠90=°，180BMC MBC MCB ∠=°−∠−∠180MBC ABM =°−∠−180ABC =°−∠135=°，∴45ADC BMA ∠=∠=°，45CMD MCD ∠=∠=°，∴MD CD =，在ADC △和BMA △中，ADC BMA CAD ABM AC BA∠=∠ ∠=∠ = ， ∴()AAS ADC BMA ≌，∴AD BM =，CD AM =，∴2AD CD =，∴2BM CD =，∵5BM =，∴52CD =． 【点睛】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化．27. 在四边形ABDE 中，C 是BD 边中点．（1）如图1，若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=°，则线段AE AB DE ，，满足数量关系是 ； （2）如图2，AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=°，则线段AB ，BD ，DE ，AE 之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图3，8BC =，3AB =，7DE =，若120ACE ∠=°，则线段AE 长度的最大值是 ．【答案】（1）AE AB DE =+（2）12AE AB DE BD =++，证明见解析 （3）18【解析】【分析】（1）在AE 上取一点F AF AB =，即可以得出ACB ACF ≌，就可以得出BC FC =，ACB ACF ∠=∠，就可以得出CEF CED △≌△．就可以得出结论；（2）在AE 上取点F ，使AF AB =，连接CF ，在AE 上取点G ，使EG ED =，连接CG ．可以求得CF CG =，CFG △是等边三角形，就有12FG CG BD ==，进而得出结论； （3）作B 关于AC 的对称点F ，D 关于EC 的对称点G ，连接AF ，FC ，CG ，EG ，FG ．同（2）可得CFG △是等边三角形，则8FG FC CG BC ====．当A ，F ，G ，E 共线时，AE 有最大值AF FG GE =++，即可求解．【小问1详解】解：在AE 上取一点F ，使AF AB =，连接CF ．如图（1），∵AC 平分BAE ∠，的∴BAC FAC ∠=∠． 在ACB △和ACF △中， AB AF BAC FAC AC AC = ∠=∠ =， ∴()SAS ACB ACF ≌， ∴BC FC =，ACB ACF ∠=∠． ∵C 是BD 边的中点． ∴BC CD =， ∴CF CD =． ∵90ACE ∠=°， ∴90ACB DCE ∠+∠=°，90ACF ECF ∠+∠=°， ∴ECF ECD ∠=∠． 在CEF △和CED △中， CF CD ECF ECD CE CE = ∠=∠ =， ∴()SAS CEF CED ≌， ∴EF ED =． ∵AE AF EF =+， ∴AE AB DE =+； 故答案为：AE AB DE =+．【小问2详解】 解：结论：12AE AB DE BD =++． 证明：在AE 上取一点F ，使AF AB =，连接CF ，在AE 上取点G ，使EG ED =，连接CG ．如图（2），∵C 是BD 边的中点， ∴12CB CD BD ==． ∵AC 平分BAE ∠，∴BAC FAC ∠=∠．在ACB △和ACF △中，AB AF BAC FAC AC AC = ∠=∠ =， ∴()SAS ACB ACF ≌，∴CF CB =，ACB ACF ∠=∠．同理可证：CD CG =，DCE GCE ∠=∠．∵CB CD =，∴CG CF =，∵120ACE ∠=°，∴18012060BCA DCE ∠+∠=°−°=°．∴60FCA GCE ∠+∠=°．∴60FCG ∠=°，∴FGC △是等边三角形． ∴12FG FC CG BD ===， ∵AE AF EG FG =++， ∴12AE AB DE BD =++． 【小问3详解】解：将ABC 沿AC 翻折得AFC ，将ECD 沿EC 翻折得ECG ，连接FG ，如图3，由翻折可得3AF AB ==，7GEED ==，8FC BC ==，CG CD =，BAC FAC ∠=∠，DEC GEC =∠∠，∵C 是BD 边的中点，∴8CD CB ==，∴8CG CD ==∵120ACE ∠=°，由（2）可得FGC △等边三角形，∴8FG FC BC ===．∵AE AF FG GE ≤++当A ，F ，G ，E 共线时，AE 有最大值38718AF FG GE =++=++=．故答案为：18．【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，是。

广西壮族自治区南宁市西乡塘区广西民族大学附属中学2022-2023学年八年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列式子中，是分式的是（ ）A ．3x -B ．a πC ．212x +D ．15y -+ 2．如图是2022年北京冬奥运会吉祥物冰墩墩的图形，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．()2231231a a a a -+=-+B ．111xy xy xy ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C ．()()2111a a a +-=-D ．()222442x y xy xy --+=-- 4．如图，将两根钢条AA '，BB '的中点O 连在一起，使AA '，BB '可绕点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则A B ''的长等于内槽宽AB ，那么判定OAB OA B ''△≌△的理由是（ ）A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．角角边5．下列运算正确的是（ ）A ．23523a a a +=B ．326·a a a =C ．()32628a a =D ．()2224a a =++ 6．若二次三项式24x kx ++是一个完全平方式，则k 的值是（ ）A ．4B ．4-C ．2±D ．4±7．如图，在Rt ACB 中，90ACB ∠=︒，36A ∠=︒，点D 是AB 上一点，将Rt ABC △沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上'B 处，则'ADB ∠的度数为（ ）A ．18︒B ．20︒C ．26︒D ．30︒8．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，用尺规作图法作出射线AE ，AE 交BC 于点D ，CD ＝2，P 为AB 上一动点，则PD 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．无法确定9．如图，在∠ABC 中，AB ＝AC ，点E 在BC 边上，在线段AC 的延长线上取点D ，使得CD ＝CE ，连接DE ，CF 是∠CDE 的中线，若∠FCE ＝52°，则∠A 的度数为( )A ．38°B ．34°C ．32°D ．28°10．我国明代《算法统宗》书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x 尺，绳索长y 尺，根据题意可列方程组为（ ）A ．552x y y x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩B ．525x y x y +=⎧⎨-=⎩C ．552x y y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩D ．552x y x y +=⎧⎨-=⎩ 11．设a ，b 是实数，定义一种新运算：()2*a b a b =-．下面有四个推断：∠**a b b a =，∠()222**a b a b =，∠()()**a b c b c a -=-，∠()***a b c a b a c +=+， 其中所有正确推断的序号是（ ）A ．∠∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠D ．∠∠12．如图，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，交AD 于点G ，过点A 作AF BE ⊥于点H ，交BC 于点F ，下列结论：∠AGE AEG ∠=∠；∠AE DF =；∠GD DC AB +=；其中正确的有（ ）A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠二、填空题13．若分式13x+在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围为______． 14．因式分解：2m 3﹣2m ＝______________.15．计算 202320222332⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果是___________．16．如图，点P 是AOB ∠内任意一点，3cm OP =，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，30AOB ∠=︒，则PMN 周长的最小值是______．17．如图，已知30MON ∠=︒，点1A 、2A 、3A …在射线ON 上，点1B 、2B 、3B …在射线OM 上；112A B A △、223A B A △、334A B A △…均为等边三角形．若11OA =，则202220222023A BA的边长为______．三、解答题18．如图，作CE AF ⊥于点E ，CE 与BF 相交于点D ，若45F ∠=︒，30C ∠=︒，则DBC ∠=______°．19．计算：()()()202121110.5533⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦ 20．先化简，再求值：2313(1)121x x x x x x +++-÷+++，其中x ＝﹣12． 21．如图，ABC 中，D 是AB 边上的一点，连接CD ，AD CD =．(1)利用尺规作图，作BDC 的角平分线DF ．（不写作法，保留作图痕迹）(2)判断DF 与AC 的位置关系，并说明理由．22．如图：某市有一块长为()3a b +米，宽为()2a b +米的长方形地块，规划部门计划将部分进行绿化，中间将修建一座雕像．(1)则绿化的面积是多少平方米？（用a ，b 的代数式表示）(2)若a ，b 满足2(1)(3)x x x ax b ++=++时，且绿化成本为50元/2m ，则完成绿化工程共需要多少元？23．某公司计划购买A ，B 两种型号的机器人搬运材料．已知A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30kg 材料，A 型机器人搬运900kg 所用时间与B 型机器人搬运600kg 所用时间相等．(1)求A ，B 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；(2)该公司计划采购A ，B 两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于1700kg ，则至少购进A 型号机器人多少台？24．阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：2()aab b a b ++=+，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明： 222a ab b ++22a ab ab b =+++……裂项（即把一项分裂成两项）()()22a ab ab b =+++……分组()()a a b b a b =+++……组内分解因式()()a b a b =++……整体思想提公因式2()a b =+由此得到：2()a ab b a b ++=+公式的证明．(1)仿照上面的方法，证明：2222()a ab b a b -+=-(2)分解因式：3232x x -+(3)已知ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足222222a b c ac bc ++=+，试判断ABC 的形状，并说明理由．25．（1）如图1，在四边形ABCD 中，90AB AD B D ∠∠︒=，== ，E 、F 分别是，BC CD 上的点，且2BAD EAF ∠∠= ，请真接写出线段EF BE FD ，， 之间的数量关系：_____________________．（2）如图2，在四边形ABCD 中，+180AB AD ABC D ∠∠︒=，= ，E 、F 分别是边，BC CD 上的点，且2BAD EAF ∠∠=，则（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形ABCD 中，+180AB AD ABC D ∠∠︒=，= ，E 、F 分别是边，BC CD 所在直线上的点，且2BAD EAF ∠∠=，请直接写出线段EF BE FD ，， 之间的数量关系．26．在平面直角坐标系中有一等腰三角形ABC ，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上．(1)如图1，点C 在第一象限，若90BAC ∠=︒，A 、B 两点的坐标分别是(0,4)A ，(2,0)B -，求C 点的坐标；(2)如图2，点C 在x 正半轴上，点E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，若2AEF ACB OAE ∠=∠=∠．求证：BF CE =；(3)如图3，点C 与点O 重合时点E 在第三象限，BE AE ⊥，连接OE ，求BEO ∠的度数．参考答案：1．D【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．【详解】解：A、3x-是单项式，故不符合题意；B、aπ是单项式，故不符合题意；C、212x+是多项式，故不符合题意D、15y-+是分式，故符合题意；故选：D．【点睛】本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型．2．C【分析】根据一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴去进行分析即可．【详解】解：A,B,C三个选项中的图形都找不到一条直线能够使直线两旁的部分重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能够找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形；故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键在于寻找出对称轴，使直线两旁的部分重合是解题的关键．3．D【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式逐项判断即可．【详解】解：A．选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；B．选项的右边不是整式，不是因式分解，故不符合题意；C．选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；D．选项的右边是整式积的形式，是因式分解，故符合题意，故选：D．【点睛】本题考查因式分解，熟知因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解答的关键．4．A【分析】由已知有OA OA ,OB OB ''==，且对顶角相等，则由SAS 可判断OAB OA B ''△≌△，从而问题解决．【详解】由已知OA OA ,OB OB ''==∠AOB A OB ''∠=∠∠OAB OA B ''△≌△(SAS )故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的几个判定方法是关键．5．C【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式分别计算即可．【详解】解：A ．22a 和3a 不能合并，故本选项不符合题意；B ．325a a a =，故本选项不符合题意；C ．()32628a a =，故本选项符合题意； D ．()22244a a a +=++，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查合并同类项法则，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式等知识点，理解运算法则，能准确求出运算是解题的关键．6．D【分析】根据完全平方公式的结构特征进一步求解即可．【详解】∠24x kx ++是一个完全平方式， ∠242k ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∠216k =，∠4k =±，故选：D ．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握相关公式是解题关键．7．A【分析】先根据直角三角形两个锐角互余，求出B ∠的度数，再根据折叠的性质可得'B CB D ∠=∠，最后根据三角形外角定理即可求解．【详解】解：∠90ACB ∠=︒，36A ∠=︒，∠903654∠=︒-︒=︒，B∠'△折叠所得，CB D由CBD∠'54∠=∠=︒，B CB D∠'543618∠=︒-︒=︒，ADB故选：A．【点睛】本题主要考查了直角三角形两个锐角互余，折叠的性质，三角形的外角定理，解题的关键是熟练掌握相关内容并灵活运用．8．A【分析】当DP∠AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小，再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD，问题得解.【详解】当DP∠AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC，∠DC∠AC，DP∠AB，∠DP＝CD＝2，∠PD的最小值为2，故选A．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．9．D【分析】利用等腰三角形的三线合一求出∠ECD，再求出∠ACB即可解决问题．【详解】解：∠CE＝CD，FE＝FD，∠∠ECF＝∠DCF＝52°，∠∠ACB＝180°﹣104°＝76°，∠AB＝AC，∠∠B＝∠ACB＝76°，∠∠A＝180°﹣152°＝28°，故选D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．A【分析】设竿长x 尺，绳索长y 尺，根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，则可得方程组． 【详解】解：由题意可得：552x y y x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．本题要注意前后两次绳和杆的数量关系．11．C【分析】各式利用题中的新定义判断即可．【详解】解：根据题中的新定义得：∠∠()2*a b a b =-，()2*b a b a =-，∠**a b b a =，故正确；∠∠()()()2224*a a b a b b ⎡⎤=-=-⎣⎦，()()()2222222*a b a b a b a b ==--+， ∠()222**a b a b ≠，故错误；∠∠()()()22*a b c a b c a b c -=--=-+⎡⎤⎣⎦，()()()()222*b c a b c a b a c a b c -=--=--=-+⎡⎤⎣⎦， ∠()()**a b c b c a -=-，故正确；∠∠()()()22*a b c b b c c a a =-+=--⎡⎤⎣⎦+，()()22**a b a c a b a c +=-+-， ∠()***a b c a b a c +≠+，故错误．综上，正确的是∠∠．故选：C ．【点睛】本题考查了实数的运算，以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．D【分析】根据BE 平分ABC ∠，ABE GBD ∠=∠,根据等角的余角相等，对顶角相等即可判断∠，证明ADF BDG ≌，得出AG AE =，由AG GD ≠，则AE DF ≠，即可判断∠，证明Rt Rt AGH AEH ≌，得出67.5BAF BAD DAF ∠=∠+∠=︒，根据三角形外角的性质得出67.5BFA ∠=︒，BFA BAF ∠=∠，进而判断∠．【详解】解：∠BE 平分ABC ∠，∠ABE GBD ∠=∠,∠90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，∠90,90ABE AEB GBD BGD ∠+∠=︒∠+∠=︒，∠AEB BGD ∠=∠，又AGE BGD ∠=∠，∠AEG AGE ∠=∠，故∠正确，∠在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，∠ABD △是等腰直角三角形，∠AD BD =，∠AF BE ⊥，AD BC ⊥，∠FAD AFD BFH HBF ∠+∠=∠+∠，∠FAD GBD ∠=∠，又∠90,ADF BDG AD BD ∠=∠=︒=，∠ADF BDG ≌，∠DF DG =，由∠可知AEG AGE ∠=∠，∠AG AE =，∠AG GD ≠，∠AE DF ≠，故∠不正确；∠AH GE ⊥，在Rt AGH 与Rt AEH △中，AH AH AG AE =⎧⎨=⎩， ∠Rt Rt AGH AEH ≌， ∠122.52GAH EAH CAD ∠=∠=∠=︒， ∠67.5BAF BAD DAF ∠=∠+∠=︒，∠45C ∠=︒，∠22.54567.5BFA FAC C ∠=∠+∠=+=︒,∠BFA BAF ∠=∠，∠BA BF =，∠DF DG =，∠DG DC DF DC DF BD BF +=+=+=，∠GD DC AB +=，故∠正确，故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角内角和定理与三角形外角的性质，综合运用以上知识是解题的关键．13．3x ≠-【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：由题意得30x +≠，解得：3x ≠-，故答案为：3x ≠-．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．14．2(1)(1)m m m +-【分析】先提公因式2m ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：原式＝()221m m -=2(1)(1)m m m +-．故答案为：2(1)(1)m m m +-．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．15．23【分析】先逆运用同底数幂的乘法运算法则将202323⎛⎫ ⎪⎝⎭化为20222233⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再逆运用积的乘方运算计算． 【详解】解：原式20222022223332⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2022223332⎡⎤⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]2022213=⨯- 123=⨯ 23= 故答案为：23． 【点睛】本题考查积的乘方运算和同底数幂的乘法的逆运用．熟练掌握运算公式是解题关键． 16．3cm【分析】分别作点P 关于OA OB 、的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA OB 、于点M 、N ，连接OP OC OD PM PN 、、、、，当点M 、N 在CD 上时，PMN 的周长最小．【详解】解：分别作点P 关于OA OB 、的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA OB 、于点M 、N ，连接OP OC OD PM PN 、、、、．∠点P 关于OA 的对称点为C ，关于OB 的对称点为D ，∠PM CM OP OC COA POA ==∠=∠，，；∠点P 关于OB 的对称点为D ，∠PN DN OP OD DOB POB ==∠=∠，，，∠3cm OC OD OP ===，22260COD COA POA POB DOB POA POB AOB ∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒，∠COD △是等边三角形，∠()3cm CD OC OD ===．∠PMN 的周长的最小值3cm PM MN PN CM MN DN CD =++=++≥=．故答案为：3cm ．【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D 是解题的关键所在．17．20212【分析】利用等边三角形的性质得到11260∠=︒B A A ，1112A B A A =，则可计算出1130A B O ∠=︒，所以11121==A B A A OA ，利用同样的方法得到22232==A B A A OA ，2333412A B A A OA ==⋅，3444512A B A A OA ==⋅，利用此规律得到1112n n n n n A B A A OA -+==⋅，即可求解．【详解】解：∠112A B A △为等边三角形，∠11260∠=︒B A A ，1112A B A A =，∠30MON ∠=︒，∠1130A B O ∠=︒，∠111=A B OA ，∠11102112A B A A OA OA ==⋅=，同理可得22213212A B A A OA OA ==⋅=，∠2333412A B A A OA ==⋅，3444512A B A A OA ==⋅，…∠1112n n n n n A B A A OA -+==⋅．∠11OA =，∠当2022n =时，20221202120222022122A B OA -=⋅=，故答案为：20212．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．也考查了等边三角形的性质．18．105【分析】根据CE AF ⊥，可得90FED ∠=︒，根据三角形内角和为180度可求出FDE ∠，即有45BDC FDE ∠=∠=︒，即可得180105DBC C BDC ∠=︒-∠-∠=︒.【详解】解：∠CE AF ⊥，∠90FED ∠=︒，∠45F ∠=︒，∠18045FDE F FED ∠=︒-∠-∠=︒，∠45BDC FDE ∠=∠=︒，∠30C ∠=︒，∠180105DBC C BDC ∠=︒-∠-∠=︒，故答案为：105．【点睛】此题主要考查三角形的角度计算，解题的关键是熟知三角形的内角和定理．19．13- 【详解】解：()()()202121110.5533⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦ 111423 21133 【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握“含乘方的有理数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键，运算顺序为：先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先计算括号内的运算.20．x 2+x ，﹣14． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算即可．【详解】解：23131121x x x x x x ++⎛⎫+-÷ ⎪+++⎝⎭ ()223113111x x x x x x ⎛⎫+-+=+÷ ⎪+++⎝⎭， ()()231·13x x x x x ++=++， ()1x x =+，2x x =+；当12x =-时， 原式21122⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14=-． 【点睛】题目主要考查分式的化简求值，熟练运用分式的运算法则及因式分解是解题关键．21．(1)见解析；(2)DF AC ∥，理由见解析．【分析】（1）以A 为圆心，任意长为半径作弧，与角的两边交于两点，分别以这两点为圆心，大于两点间距离的一半在角内作弧，连接和弧的交点即为所求；（2）DF 平分BDC ∠，得2BDF BDC ∠=∠，由AD CD =得DAC DCA ∠=∠，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和进行换算得到DAC BDF ∠=∠，再利用同位角相等两直线平行即可证明．【详解】（1）作图如下，；（2）DF AC ∥，理由如下，由（1）可知，DF 平分BDC ∠，12BDF CDF BDC ∠=∠=∠， AD CD =，DAC DCA ∴∠=∠，22BDF BDC DAC DCA DAC ∴∠=∠=∠+∠=∠，DAC BDF ∴∠=∠，DF AC ∥．【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线、角平分线的性质、等边对等角、三角形的外角、以及平行线的证明；利用相关性质找对等量关系是解题的关键．22．(1)绿化的面积是()253a ab +平方米(2)完成绿化工程共需要5800元【分析】（1）用长方形的面积减去正方形的面积即可；（2）把等式的左边化简，求出a 和b 的值，代入（1）中结果计算．【详解】（1）解：长方形面积：(3)(2)a b a b ++，正方形面积：()()a b a b ++，∠绿化面积：(3)(2)()()a b a b a b a b ++-++()22226322a ab ab b a ab b =+++-++22226322a ab ab b a ab b =+++---()2253m a ab =+，答：绿化的面积是()253a ab +平方米．（2）解：∠2(1)(3)x x x ax b ++=++∠2243x x x ax b ++=++，∠4a =，3b =时，∠225354343a ab +=⨯+⨯⨯8036=+()2116m =，∠绿化成本为50元/2m ，∠绿化成本为：116505800⨯=（元），答：完成绿化工程共需要5800元．【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确列出算式是解答（1）的关键，根据多项式乘以多项式求出a 和b 的值是解（2）的关键．23．(1)A 型机器人每小时搬运90kg ，B 型机器人每小时搬运60kg(2)至少购进17台A 型机器人【分析】（1）设B 型机器人每小时搬运kg x 材料，则A 型机器人每小时搬运()30kg x +，根据题意列分式方程，即可求解；（2）设购进A 型a 台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可．【详解】（1）解：设B 型机器人每小时搬运kg x 材料，则A 型机器人每小时搬运()30kg x +， 依题意得：90060030x x=+， 解得()60kg x =，经检验，60x =是原方程的解，即A 型机器人每小时搬运()603090kg +=．答：A 型机器人每小时搬运90kg ，B 型机器人每小时搬运60kg ．（2）解：设购进A 型a 台，B 型()20a -台，由题意得，()9060201700a a +⨯-≥，901200601700a a +-≥， 解得，503a ≥， 故满足要求的最小整数解为：17a =．答：至少购进17台A 型机器人．【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程和不等式是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验．24．(1)见解析(2)32232()(2)21x x x x x -+=---(3)ABC 为等边三角形，理由见解析【分析】（1）模仿题干中的步骤证明即可；（2）先裂项323222322x x x x x -+=-+-，再提取公因式(1)x -即可；（3）利用完全平方公式的非负性求解即可．【详解】（1）解：222a ab b -+22a ab ab b =-+-……裂项（即把一项分裂成两项）()()22a ab ab b =---……分组()()a a b b a b =---……组内分解因式()()a b a b =--……整体思想提公因式2()a b =-由此得到：2222()a ab b a b -+=-公式的证明．（2）解：3232x x -+32222x x x -=-+22(1)(1(1))x x x x -=-+-2(1)(22)x x x =---（3）解：ABC 为等边三角形，理由如下：222222a b c ac bc ++=+222222a b c c ac bc +=+++2222220a ac c b bc c -+-++=22()()0a c b c --+=0,0a c b c ∴--==,a c b c ∴==，a b c ==∴，ABC ∴为等边三角形．【点睛】本题考查了完全平方公式的证明，因式分解、完全平方公式的非负性，解题的关键是读懂题干信息，模仿题干步骤进行解答．25．（1）EF BE FD =+；（2）仍成立，证明见解析；（3）=+EF BE DF 或=EF BE DF -或EF DF BE -=【分析】（1）延长EB 到G ，使=BG DF ，连接AG ，证ABG ADF SAS ≌（） ，得=AF AG ，再证AEF AEGSAS ≌（） ，得=EF EG ，即可得出结论； （2）解法同（1），可得=+EF BE DF ；（3）分两种情况，作辅助线构建全等三角形解决问题．【详解】解：（1）如图1，延长EB 到G ，使=BG DF ，连接AG ，在ABG 与ADF △ 中，===90=AB AD ABG ADF BG DF ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩，∠SAS ABG ADF ≌（）． ∠AG AF BAG DAF ∠∠=，= ， ∠1++2BAG BAE DAF BAE BAD ∠∠∠∠∠== ， ∠2BAD EAF ∠∠= ，∠GAE EAF ∠∠= ．在AEG △ 和AEF △ 中，===AG AF GAE FAE AE AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∠SAS AEG AEF ≌（）， ∠EG EF = ，∠+EG BE BG = ，∠EF BE FD =+ ，故答案为：EF BE FD =+；（2）（1）中的结论EF BE FD =+仍然成立，理由如下： 如图2，延长EB 到G ，使=BG DF ，连接AG ．∠+180+180ABC D ABG ABC ∠∠︒∠∠︒=，= ， ∠ABG D ∠∠= ，在ABG 与ADF △ 中，===AB AD ABG D BG DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∠ABG ADF SAS ≌（）． ∠AG AF BAG DAF ∠∠=，= ， ∠1++2BAG BAE DAF BAE BAD ∠∠∠∠∠== ，∠2BAD EAF ∠∠= ，∠GAE EAF ∠∠= ，在AEG △ 和AEF △ 中，===AG AF GAE FAE AE AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∠AEG AEF SAS ≌（）， ∠EG EF = ．∠+EG BE BG = ，∠=+EF BE DF ；（3）图2中，=+EF BE DF 成立，图3中，=EF BE DF - ，理由如下：在BE 上截取BG ，使=BG DF ，连接AG ．∠+180+180B ADC ADF ADC ∠∠︒∠∠︒=，= ，∠B ADF ∠∠= ．在ABG 与ADF △ 中，===AB AD ABG ADF BG DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∠ABG ADF SAS ≌（）． ∠BAG DAF AG AF ∠∠=，= ． ∠1++2BAG EAD DAF EAD EAF BAD ∠∠∠∠∠∠=== ． ∠GAE FAE ∠∠= ．在AEG △ 和AEF △ 中，===AG AF GAE FAE AE AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∠AEG AEF SAS ≌（）． ∠EG EF =∠EG BE BG -=∠=EF BE DF - ．图4中，EF DF BE -= ，理由如下：在DF 上截取DH ，使=DH BE ，连接AH ，∠+180+180ABC ADC ABC ABE ∠∠︒∠∠︒=，= ，∠ABE ADH ∠∠= ，在ABE 和ADH 中，===AB AD ABE ADH BE DH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∠ABE ADH SAS ≌（）， ∠BAE DAH AH AE ∠∠=，= ，∠2BAD EAF ∠∠= ， ∠1+2DAH BAF BAD ∠∠∠= ， ∠12HAF BAD EAF ∠∠∠== ， 在FAH 和FAE 中，===AH AE HAF EAF AF AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∠FAH FAE SAS ≌（）， ∠HF EF = ，∠EF HF DF DH DF BE --=== ；综上所述，线段EF BE FD ，， 之间的数量关系为：=+EF BE DF 或=EF BE DF - 或EF DF BE -= ，故答案为：=+EF BE DF 或=EF BE DF -或EF DF BE -=．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平角的定义等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．26．(1)()42C ，； (2)见解析；(3)135︒．【分析】（1）过点C 作CM OA ⊥，垂足为M ，则90AMC ∠=︒，求出ABO CAM ∠=∠，证明()AAS ABO CAM ≌，得出4MC AO ==，2AM BO ==，则可得出答案；（2）证明BEF EAC ∠=∠，FAE AFE ∠=∠，可得AE EF =，利用AAS 证明AEC EFB ≌，则可得出BF CE =；（3）过点O 作OG AE ⊥于点G ，OH BE ⊥交BE 的延长线于点H ，AE 与OB 交于点M ，证明()AAS AOG BOH ≌，由全等三角形的性质得出OG OH =，证明EO 平分AEH ∠，求出45OEH AEO ∠=∠=︒，则可得出答案．【详解】（1）解：如图1中，过点C 作CM OA ⊥，垂足为M ，则90AMC ∠=︒，∠90BAC AOB ∠=∠=︒，∠90BAO CAM ∠+∠=︒，90BAO ABO ∠+∠=︒，∠ABO CAM ∠=∠，∠ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，∠AB CA =，在ABO 和CAM 中，ABO CAM AOB CMA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()AAS ABO CAM ≌，∠MC AO =，AM BO =，∠(0,4)A ，(2,0)B -，∠4AO =，2BO =，∠4MC =，2AM =，∠2MO AO AM =-=，∠()42C ，； （2）证明：设OAE α∠=，则2AEF ACB α∠=∠=，∠180AEF BEF AEC ∠+∠+∠=︒，180ACB EAC AEC ∠+∠+∠=︒，∠BEF EAC ∠=∠，由图2可知，等腰三角形ABC 中，AB AC =，∠A ABC CB =∠∠，∠OA BC ⊥，∠BAO CAO ∠=∠，∠FAE FAO OAE ∠=∠+∠OAC α=∠+EAC αα=+∠+2EAC α=+∠，2AFE FBE BEF BEF α∠=∠+∠=+∠，∠FAE AFE ∠=∠，∠AE EF =，∠()AAS AEC EFB ≌，∠BF CE =；（3）解：∠点C 与点O 重合，90AOB ∠=︒，∠OA OB =，如图3，过点O 作OG AE ⊥于点G ，OH BE ⊥交BE 的延长线于点H ，AE 与OB 交于点M ，∠BE AE ⊥，∠90AEB ∠=︒，∠90AOB ∠=︒，AMO BME ∠=∠，∠MAO OBH ∠=∠，又∠90AGO BHO ∠=∠=︒，OA OB =，∠()AAS AOG BOH ≌，∠OG OH =，又∠OG AE ⊥，OH BE ⊥，∠EO 平分AEH ∠，∠45OEH AEO ∠=∠=︒，∠9045135BEO AEB AEO ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，坐标与图形的性质等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．。

试卷分析（沪科版八数上月考一）霍邱县乌龙镇中心学校龚家林一、试卷结构本次考试卷基本模仿着升学考试卷的结构，其中选择题10题，每题4分，填空题4题，每题5分，第三大题两题，第四大题两题，第五大题两题，六、七、八三大题，共２３个小题，满分１５０分，考试时间两个小时。

包括页面设置上也是象升学考试卷一样，分成每一页，共６页，这样的考试可让孩子们提前感知正规考试的题型和试卷结构，是一次很重要的锻炼。

二、试卷覆盖此次考试是我们学校的第一次月考，试卷是从外引入的现成试卷即2016——2017学年度八年级第一次大联考数学试卷，考试时间早已确定，十月八号至十月九号，考试内容为：第十一章：平面直角坐标系、第十二章的前两节（12.1函数，21.2一次函数），其中平面直角坐标系占小部分内容，约50分，大部分内容是一次函数，约占100分。

内容和结构安排比较合理，符合这一学期月考一的进度和内容要求。

三、难易程度这次考试全校八年级共参加224人，最高分150分，共两人，八（4）班的赵阳和本班的刘培煜，其次，140至150分共十四人，130分至140分二十四人。

我代的八(5)班除刘培煜最高分150分，其次陈寿瑞140分、黄维维141分，可见试卷还是有一定难度的，同时有些题学生关键不细心，丢分也十分严重。

选择题中也只有第9题，第10题难些。

填空题很多孩子第14题没有得到分，不是难，关键是不细心，都是习惯了算好就填数，而没有注意到是要求求a+b的值，丢失了5分。

第15题、第16题丢分也比较严重，主要是计算能力差。

第22题稍难些，是一个开放题，很多孩子脑海中还没有形成函数的模型，不能够进行分类讨论，然后归纳，再画出函数图象。

第23题是一个一次函数的模型题，其实这一题我们在上课过程中不止一次做过，甚至有的比这还难些，关键不能结合文字与实际生活做具体的分析，导致列不出式子，或者分析错误。

总体而言，试卷难易程度中等，这样的月考试卷也让孩子们知难而进，今后更加努力学习。

八年级（上）月考数学试卷（10月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形具有稳定性的是（）A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A. 1，2，3B. 4，5，10C. 8，15，20D. 5，8，153.如图，把一副含30°角和45°角的直角三角板拼在一起，那么图中∠ADE是（）A. 100∘B. 120∘C. 135∘D. 150∘4.已知等腰三角形的两边长分别是5和11，则这个等腰三角形的周长为（）A. 21B. 16C. 27D. 21或275.下列说法正确的是（）A. 形状相同的两个三角形全等B. 面积相等的两个三角形全等C. 完全重合的两个三角形全等D. 所有的等边三角形全等6.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A. 第1块B. 第2块C. 第3块D. 第4块7.如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（）A. B. C. D.8.如图，∠AOB是一钢架，∠AOB=15°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH…添的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管（）根．A. 2B. 4C. 5D. 无数9.如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在射线DB、DC、BC上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=（）A. 30∘B. 35∘C. 15∘D. 25∘10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D．若AC=9，AB=15，且S△ABC=54，则△ABD的面积是（）A. 1053B. 1354C. 45D. 35二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.一个n边形的内角和是其外角和的2倍，则n=______．12.已知AD是△ABC的一条中线，AB=9，AC=7，则AD的取值范围是______．13.如图：作∠AOB的角平分线OP的依据是______．（填全等三角形的一种判定方法）14.如图，AD是△ABC的高，∠BAD=40°，∠CAD=65°．若AB=5，BD=3，则BC的长为______．15.如图，已知点A（-4，4），一个以A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别交x轴正半轴，y轴负半轴于E、F，连接EF．当△AEF是直角三角形时，点E的坐标是______三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）16.一个正多边形每个内角比外角多90°，求这个正多边形所有对角线的条数．17.如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．18.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：DE=DF．19.如图所示，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在一条直线上，∠A=∠C．求证：AE=CF．20.如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，证明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．21.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF；（3）连接AM，求证：AM平分∠EMF．22.C点的坐标为（4，4），A为y轴负半轴上一动点，连CA，CB⊥CA交x轴于B．（1）求OB-OA的值；（2）E在x轴正半轴上，D在y轴负半轴上，∠DCE=45°，转动∠DCE，求线段BE、DE和AD之间的数量关系．23.在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、B（b，0），且a、b满足：a2+b2-4a+4b+8=0，点D为x正半轴上一动点（1）求A、B两点的坐标；（2）如图，∠ADO的平分线交y轴于点C，点F为线段OD上一动点，过点F作CD的平行线交y轴于点H，且∠AFH=45°，判断线段AH、FD、AD三者的数量关系，并予以证明；（3）以AO为腰，A为顶角顶点作等腰△ADO，若∠DBA=30°，直接写出∠DAO的度数______答案和解析1.【答案】A【解析】解：具有稳定性的图形是三角形．故选：A．根据三角形具有稳定性解答．本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记．2.【答案】C【解析】解：由1、2、3，可得1+2=3，故不能组成三角形；由4、5、10，可得4+5＜10，故不能组成三角形；由8、15、20，可得8+15＜20，故能组成三角形；由5、8、13，可得5+8=13，故不能组成三角形；故选：C．三角形两边之和大于第三边，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．本题主要考查了三角形三边关系，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3.【答案】C【解析】解：∠ADE=45°+90°=135°，故选：C．根据三角形的外角的性质和三角形是内角和即可得到结论．本题考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，5，11，5+5=10＜11，三边关系不成立，当等腰三角形的腰为11时，三边为5，11，11，三边关系成立，周长为5+11+11=27．故选：C．根据腰为5或11，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据已知边那个为腰，分类讨论．5.【答案】C【解析】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念．6.【答案】B【解析】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B．本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．7.【答案】B【解析】解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等；C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等；D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等．故选：B．根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角．本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．8.【答案】C【解析】解：如图所示，∠AOB=15°，∵OE=FE，∴∠GEF=∠EGF=15°×2=30°，∵EF=GF，所以∠EGF=30°∴∠GFH=15°+30°=45°∵GH=GF∴∠GHF=45°，∠HGQ=45°+15°=60°∵GH=HQ，∠GQH=60°，∠QHB=60°+15°=75°，∵QH=QM，∴∠QMH=75°，∠HQM=180-75°-75°=30°，故∠OQM=60°+30°=90°，不能再添加了．故选：C．因为每根钢管的长度相等，可推出图中的5个三角形都为等腰三角形，再根据外角性质，推出最大的∠0BQ 的度数（必须≤90°），就可得出钢管的根数．根据等腰三角形的性质求出各相等的角，然后根据三角形内角和外角的关系解答．9.【答案】C【解析】解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，∴2∠F=∠E，∴∠F=∠E=×30°=15°．先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E．本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．10.【答案】B【解析】解：在Rt△ACB中，BC===12，作DH⊥AB于H，如图，设DH=x，则BD=9-x，由作法得AD为∠BAC的平分线，∴CD=DH=x，在Rt△ADC与Rt△ADH 中，，∴△ADC≌△ADH，（HL），∴AH=AC=9，∴BH=15-9=6，在Rt△BDH中，62+x2=（12-x）2，解得x=，∴△ABD的面积=AB•DH=×15=．故选：B．先利用勾股定理计算出BC=12，作DH⊥AB于H，如图，设DH=x，则BD=12-x，利用作法得AD为∠BAC 的平分线，则根据角平分线的性质得CD=DH=x，接着证明△ADC≌△ADH得到AH=AC=9，所以BH=6，然后在Rt△BDH中利用勾股定理得到62+x2=（12-x）2，最后解方程求出x，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了勾股定理．11.【答案】6【解析】解：由题意得：180（n-2）=360×2，解得：n=6，故答案为：6；根据多边形内角和公式：（n-2）•180 （n≥3且n为整数）结合题意可列出方程180（n-2）=360×2，再解即可．此题主要考查了多边形内角和和外角和，关键是掌握多边形内角和公式：（n-2）•180 （n≥3且n为整数），多边形的外角和等于360度．12.【答案】1＜AD＜8【解析】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD，（SAS），∴CE=AB．在△ACE中，CE-AC＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜16，∴1＜AD＜8．故答案为：1＜AD＜8．根据题意画出图形，延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．本题考查的是全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．13.【答案】SSS【解析】解：在△OPC与△OPD中，∵，∴△OPC≌△OPD（SSS），∴OP是∠AOB的平分线．故答案为：SSS．根据作法可知OC=OD，PC=PD，OP=OP，故可得出△OPC≌△OPD，进而可得出结论．本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．14.【答案】11【解析】解：在DC上截取DE=BD=3，连接AE，∴AE=AB=5，∴∠EAD=∠BAD=40°，∵∠CAD=65°，∴∠CAE=25°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠C=25°，∴∠CAE=∠C，∴CE=AE=5，∴BC=BD+DE+CE=5+6=11，故答案为：11．在DC上截取DE=BD=3，连接AE，得到AE=AB=5，求得CE=AE=5，于是得到结论．本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.【答案】（8，0）或（4，0）【解析】解：①如图所示：当∠AFE=90°，∴∠AFD+∠OFE=90°，∵∠OEF+∠OFE=90°，∴∠AFD=∠OEF∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，∴∠AEF=45°=∠EAF，∴AF=EF，在△ADF和△FOE中，，∴△ADF≌△FOE（AAS），∴FO=AD=4，OE=DF=OD+FO=8，∴E（8，0）②当∠AEF=90°时，同①的方法得，OF=8，OE=4，∴E（4，0），综上所述，满足条件的点E坐标为（8，0）或（4，0）当∠AFE=90°，可证明△ADF≌△FOE，则FO=AD=4，OE=DF=OD+FC=8，从而可求得点E坐标，同理当∠AEF=90°时，也可求得点E坐标．本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．16.【答案】解：设此正多边形为正n边形．n=8，∴此正多边形所有的对角线条数为：n(n−3)2=8×(8−3)2=20．答：这个正多边形的所有对角线有20条．【解析】多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，外角和是固定的360°，从而可得一个正多边形的一个外角和一个内角的度数，列方程求出正多边形的边数．然后根据n 边形共有条对角线，得出此正多边形的所有对角线的条数．本题考查正多边形的内角和与外角和及多边形的对角线公式．关键是记住内角和与外角和的公式．17.【答案】证明：∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC与△DEF中，AB=DEAC=DFBC=EF，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ABC=∠DEF，∴AB∥DE．【解析】证明它们所在的三角形全等即可．根据等式的性质可得BC=EF．运用SSS证明△ABC与△DEF全等．本题考查了全等三角形的性质和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等．18.【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∵点D为BC中点，∴DB=DC，∴在△DBE和△DCF中∠B=∠C∠BED=∠CFDDB=DC，∴△DBE≌DCF（AAS），∴DE=DF．【解析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据全等三角形的判定和性质得出DE=DF即可；此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C．19.【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）；∴在△ABE和△CDF中，∠A=∠C(已知)AB=CD(已知)∠B=∠D，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE=CF（全等三角形的对应边相等）．【解析】通过全等三角形的判定定理ASA判定△ABE≌△CDF，然后由全等三角形的对应边相等推知AE=CF．本题考查了全等三角形的判定与性质．SSS、SAS、ASA、AAS、HL均为判定三角形全等的定理．20.【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，在Rt△CDF和Rt△EDB中，BD=DFDC=DE，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在Rt△ADC与Rt△ADE中，CD=DEAD=AD，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．【解析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF=EB；（2）利用角平分线性质证明Rt△ADC≌Rt△ADE，AC=AE，再将线段AB进行转化．本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到AB的距离=点D到AC的距离，即CD=DE，是解答本题的关键．21.【答案】证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，∵AE=AB∠EAC=∠BAFAF=AC，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC=BF；（2）根据（1），△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，所以EC⊥BF．（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图：∵△EAC≌△BAF，∴AP=AQ（全等三角形对应边上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．【解析】（1）先求出∠EAC=∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD=90°，从而得证．（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP=AQ（全等三角形对应边上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；本题考查了全等三角形的判定与性质，根据条件找出两组对应边的夹角∠EAC=∠BAF是证明的关键，也是解答本题的难点．22.【答案】解：（1）如图1，过C作CQ⊥y轴于Q，过C作CP⊥OB于P，∵C（4，4），∴CQ=CP=OQ=OP=4，∵AC⊥BC，∴∠ACB=∠ACP+∠BCP=∠BCP+∠PBC=90°，∴∠ACP=∠PBC，∵OA∥PC，∴∠CAQ=∠ACP=∠PBC，∵∠CPB=∠CQA=90°，∴△CQA≌△CPB（AAS），∴PB=AQ，∴OB-OA=OP+PB-OA=OP+AQ-OA=OP+OQ=8；（2）DE=AD+BE，理由是：如图2，过C作CM⊥CD，交x轴于M，∵AC⊥BC，∴∠ACD=∠BCM，由（1）知：△CQA≌△CPB，∴AC=BC，∠CAQ=∠PBC，∴∠DAC=∠MBC，∴△CAD≌△CBM（ASA），∴BM=AD，CD=CM，∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，∴∠ACD+∠BCE=45°=∠BCM+∠BCE=∠ECM，∵CE=CE，∴△DCE≌△MCE（SAS），∴DE=EM，即DE=AD+BE．【解析】（1）如图1，作辅助线，证明△CQA≌△CPB（AAS），可得PB=AQ，根据线段的和与差可得结论；（2）如图2，作辅助线，证明△CAD≌△CBM（ASA）和△DCE≌△MCE（SAS），得DE=EM，AD=BM，相加可得结论．本题是几何变换的综合题，涉及到三角形全等、线段的和与差等知识，关键是通过正确画图，恰当地作辅助线，构建全等的三角形，确定线段间的关系．23.【答案】30°或60°或150°．【解析】解：（1）∵a2+b2-4a+4b+8=0，∴（a-2）2+（b+2）2=0，∵（a-2）2≥0，（b+2）2≥0，∴a-2=0，b+2=0，∴a=2，b=-2，∴A（0，2），B（-2，0）．（2）结论：AH+FD=AD理由：在AD上取K使AH=AK．设∠HFO=α，∴∠OAF=45-α，∵HF∥CD，∴∠CDO=∠ADC=α，∴∠FAD=45-α，∴△AHF≌△AKF，∴∠AFK=45°，∴∠KFD=90-α，∠FKD=90-α，∴FD=DK，∴AH+FD=AD．（3）如图2中：①当D1在△ABO内部时，可以证明当BD1=OD1时，AO=AD1，此时∠D1BO=∠D1OB=15°，∠AOD1=∠AD1O=75°，∴∠D1AO=30°．②当D3在BD1的延长线上时，可得∠OAD3=60°，③当D2在AB上方时，同法可得∠OAD3=60°，∠OAD4=150°∴∠DAO=60°或30°或150°．故答案为60°或30°或150°．（2）结论：AH+FD=AD；在AD上取K使AH=AK．只要证明△AHF≌△AKF，FD=DK即可解决问题；（3）分四种情形讨论即可解决问题；本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

2024－2025上期八年级数学学科素养测评卷一一、单选题（共10题，共30分）1．下面分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（ ）A ．5cm ，8cm ，2cm B ．5cm ，8cm ，13cm C ．5cm ，8cm ，5cmD ．2cm ，7cm ，5cm2．下列说法正确的是（ ）A ．三角形的三条中线交于一点B ．三角形的三条高都在三角形内部C ．三角形不一定具有稳定性D ．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部3．如图，AD BC ^，且AB AC =，则判定ABD ACD ≌△△的最好理由是（ ）A ．ASAB ．SASC ．SSSD ．HL4．如图所示，AB ＝AC ，要说明△ADC ≌△AEB ，需添加的条件不能是（ ）A ．∠B ＝∠C B ．AD ＝AE C ．DC ＝BED ．∠ADC ＝∠AEB5．如图，在ABC V 中，10020ACB A Ð=°Ð=°，，D 是AB 上一点，将ABC V 沿CD 折叠，使B 落在AC 上的B ¢，则ADB ¢Ð等于（ ）A．40°B．20°C．55°D．30°6．如图2，、、分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是A．B．C．D．7．如图用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，由ADF ADE≌V V可得CAD BADÐ=Ð，由作图的过程可知，说明ADF ADE≌V V的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS8．如图，AD ，CE 为△ABC 的角平分线且交于O 点，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO 等于（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°9．如图，已知MB ND =，MBA NDC Ð=Ð，不能判定ABM CDN V V ≌的是（ ）．A ．AM CN =B ．AC BD =C ．AB CD =D ．AM CN∥10．如图，1BA 和1CA 分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD Ð的角平分线，2CA 是1A CD Ð的角平分线，3BA 是2A BD Ð的角平分线，3CA 是2A CD Ð的角平分线．若A a Ð=，则2024A Ð为（ ）A ．2024aB ．202412a æöç÷èøC ．2025aD ．202512aæöç÷èø二、填空题（共5题；共15分）11．一个正多边形的每个内角等于144°，则它的边数是．12．如图所示120350AB AC AD AE BAC DAE ÐÐÐÐ====°=°，，，，．则2___________Ð=°．13．如图，PA＝PB，请你添加一个适当的条件：，使得△PAD≌△PBC．Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=．14．如图，A B C D E F15．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，若∠A=60°，则∠BMN 的度数是．三、解答题（共5题；共55分）16．（1）已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，求这个三角形三个外角的度数．（2）一个正多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数．17．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．18．如图，经测量，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东82°方向，求C Ð的度数．19．如图，AD 是ABC V 的中线，F 为AD 上一点，E 为AD 延长线上一点，且DF DE =．求证：BE CF ∥．20．如图1，等腰直角三角形ABC 中，90,ACB CB CA Ð=°=，直线ED 经过点C ，过点A 作AD ED ^于点D ，过点B 作BE ED ^于点E ，可以证明BEC CDA V V ≌，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：(1)如图2，将一块等腰直角三角板ABC 放置在平面直角坐标系中，90,ACB AC BC Ð=°=，点A 在y 轴的正半轴上，点C 在x 轴的负半轴上，点B 在第二象限，点A 坐标为(0,2)，C 的坐标为()1,0-，则点B 的坐标为_______；(2)如图3，在平面直角坐标系中，等腰Rt 90,ABC ACB Ð=°△，,AC BC AB =与y 轴交点D ，点C 的坐标为()0,1-，A 点的坐标为(2,0)，求点B 的坐标．(3)如图4，等腰Rt 90,ABC ACB Ð=°△，AC BC =，当点C 在x 轴正半轴上运动，点()0,A a 在y 轴正半轴上运动，点(),B m n 在第四象限时，作BD y ^轴于点D ，请直接写出a ，m ，n 之间的关系．1．C【分析】此题是有关三角形的题目，借助三角形的三边关系解答；在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；根据三角形的三边关系，看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可.【详解】A 、5+2＜8，不能组成三角形；B 、5+8=13，不能组成三角形；C 、5+5＞8，8-5＜5，能够组成三角形；D 、2+5=7，不能组成三角形.故答案选C.【点睛】本题考查的知识点是三角形的三边关系，解题的关键是熟练的掌握三角形的三边关系.2．A【分析】根据三角形的性质、角平分线、高和中线的定义判断即可．【详解】解：A 、三角形三条中线相交于一点正确，故本选项正确； B 、只有锐角三角形三条高都在三角形内部，故本选项错误；C 、三角形具有稳定性，故本选项错误；D 、三角形的三条角平分线一定都在三角形内部，故本选项错误．故选A.【点睛】本题考查了三角形的稳定性、高线、中线、角平分线，是基础题，熟记概念是解题的关键．3．D【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟悉三角形全等的判定方法是解题的关键；根据已知条件，四个选项中的判定方法都可以判定ABD ACD ≌△△，从简易的角度来看，用HL 最简．【详解】解：用HL 判定ABD ACD ≌△△最好；故选：D ．4．C【分析】△ADC 和△AEB 中，已知的条件有AB =AC ，∠A =∠A ；要判定两三角形全等只需条件一组对应角相等，或AD =AE 即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的．【详解】A 、当∠B =∠C 时，符合ASA 的判定条件，故A 正确；B 、当AD =AE 时，符合SAS 的判定条件，故B 正确；C 、当DC =BE 时，给出的条件是SSA ，不能判定两个三角形全等，故C 错误；D 、当∠ADC =∠AEB 时，符合AAS 的判定条件，故D 正确； 故选C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的证明，掌握三角形全等证明相关定理是解题的关键．5．A【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，三角形外角的性质等知识；由三角形内角和得=60B а；由折叠性质得60DB C B ¢Ð=Ð=°；由三角形外角的性质即可求解．【详解】解：∵180AC A B B Ð+°Ð+Ð=，10020ACB A Ð=°Ð=°，，∴18060B A ACB ÐÐÐ--=°=°；由折叠性质得：60DB C B ¢Ð=Ð=°；∵DB C A ADB ¢¢Ð=Ð+Ð，∴602040ADB BD C A ¢¢Ð=Ð-Ð=°-°=°；故选：A ．6．B【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角．【详解】解：A 、与三角形ABC 有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等，不符合题意；B 、选项B 与三角形ABC 有两边及其夹边相等，二者全等，符合题意；C 、与三角形ABC 有两边相等，但角不是夹角，二者不全等，不符合题意；D 、与三角形ABC 有两角相等，但边不对应相等，二者不全等，不符合题意．故答案选B ．7．A【分析】根据作图过程可得，AF AE =，DF DE =，结合AD AD =，根据SSS 可以证明ADF ADE ≌V V ．【详解】解：根据作图过程可知：AF AE =，DF DE =，在FAD △和EAD V 中，AF AE AD AD DF DE =ìï=íï=î，∴()SSS ADF ADE ≌V V ，即说明ADF ADE ≌V V 的依据是SSS ，故选：A ．【点睛】本题考查了作图—基本作图、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．8．A【分析】：由角分线的性质有：∠BAO=∠CAO ，∠ABO=∠CBO ，∠ACO=∠BCO ；根据∠DAC=30°，∠BAC=60°，∠ECA=35°，∠ACB=70°可以求出∠ABC 的度数，那么∠ABO 即为∠ABC 的一半，据此求解.【详解】∵AD 、CE 为∠BAC 和∠ACB 的角分线，∴∠BAO=∠CAO ，∠ABO=∠CBO ，∠ACO=∠BCO.∵∠DAC=30°，∠BAC=60°，∠ECA=35°，∠ACB=70°，∴∠ABC=50°.∵BO 为∠ABC 的平分线，∴∠ABO=25°.故答案选A.【点睛】本题考查的知识点是三角形内角和定理以及角分线的性质的知识，掌握角平分线的性质是解题的关键.9．A【分析】根据全等三角形的判定定理逐项排查即可解答．【详解】解：A 、根据条件AM CN =，MB ND =，MBA NDC Ð=Ð，不能判定ABM CDN V V ≌，故A 选项符合题意；B 、AC BD =，符合SAS ，能判定ABM CDN V V ≌，故B 选项不符合题意；C 、AB CD =，符合SAS ，能判定ABM CDN V V ≌，故C 选项不符合题意；D 、AM CN ∥，得出MAB NCD Ð=Ð，符合AAS ，能判定ABM CDN V V ≌，故D 选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解答本题的关键．10．B【分析】本题是规律探索问题，考查了三角形外角的性质，与角平分线有关的内角和问题；利用三角形内角和、三角形外角的性质及角平分线的定义可得11122A A a Ð=Ð=，同理得2211122A A a æöÐ=Ð=ç÷èø，3321122A A a æöÐ=Ð=ç÷èø，……，由此规律可得2024A Ð的结果．【详解】解：∵1BA 和1CA 分别是ABC V 的内角平分线和外角平分线，∴111122A BC ABC A CD ACD Ð=ÐÐ=Ð，；∵111A CD A A BC Ð=Ð+Ð，ACD A ABC Ð=Ð+Ð，∴111(2)2A A BC A ABC Ð+Ð=Ð+Ð，∴11122A A a Ð=Ð=；同理：2211122A A a æöÐ=Ð=ç÷èø，3321122A A a æöÐ=Ð=ç÷èø，……，2024202412A a æöÐ=ç÷èø；故选：B ．11．10【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式并准确列出方程是解题的关键．设正多边形的边数为n ，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可．【详解】解：设正多边形的边数为n ，由题意得：()2180144n n-×°=°，解得：10n =，故答案为：10．12．30【分析】根据BAC DAE Ð=Ð得出1CAE Ð=Ð，从而可证()BAD CAE SAS ≌△△，再根据三角形全等的性质得2ABD Ð=Ð，最后根据外角的性质得502030ABD Ð=°-°=°，求解即可得.【详解】解：∵BAC DAE Ð=Ð，且1BAC DAC Ð=Ð+Ð，DAE CAE DAC Ð=Ð+Ð，∴1CAE Ð=Ð，在BAD V 和CAE V 中，1AD AE CAEAB AC =ìïÐ=Ðíï=î∴()BAD CAE SAS ≌△△，∴2ABD Ð=Ð，∵120Ð=°，350Ð=°，∴502030ABD Ð=°-°=°，∴230Ð=°，故答案为：30【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理和性质、以及外角的性质，证出两个三角形全等是解题关键．13．∠D=∠C 或∠PAD =∠PBC 或∠DBC =∠CAD 或PD =PC 或AC =BD ．【分析】已有∠P 是公共角和边PA =PB ，根据全等三角全等的条件，利用AAS 需要添加∠D=∠C ，根据ASA 需要添加∠PAD =∠PBC 或∠DBC =∠CAD ，根据边角边需要添加 PD =PC 或PC =PD ．填入一个即可．【详解】解：∵PA =PB ，∠P 是公共角，∴根据AAS 可以添加∠D=∠C ，，在△PAD 和△PBC 中，∵PA =PB ，∠P 是公共角，∠D=∠C ，∴△PAD ≌△PBC （AAS ）．根据ASA 可以添加∠PAD =∠PBC ，在△PAD 和△PBC 中，∵PA =PB ，∠P 是公共角，∠PAD =∠PBC ，∴△PAD ≌△PBC （ASA ）．根据ASA 可以添加∠DBC =∠CAD ，∴180°-∠DBC =180°-∠CAD ，即∠PAD =∠PBC ，在△PAD 和△PBC 中，∵PA =PB ，∠P 是公共角，∠PAD =∠PBC ，∴△PAD ≌△PBC （ASA ）．根据SAS 可添加PD =PC在△PAD 和△PBC 中，∵PA =PB ，∠P 是公共角，PD =PC ，∴△PAD ≌△PBC （SAS ）．根据SAS 可添加BD =AC ，∵PA =PB ，BD =AC ，∴PA +AC =PB +BD 即PC =PD ，在△PAD 和△PBC 中，∵PA =PB ，∠P 是公共角，PD =PC ，∴△PAD ≌△PBC （SAS ）．故答案为：∠D=∠C 或∠PAD =∠PBC 或∠DBC =∠CAD 或PD =PC 或AC =BD ．【点睛】本题考查三角形全等添加条件，掌握三角形全等判定方法与定理是解题关键．14．180°##180度【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，三角形的内角和为180°，将所求角的度数转化为某些三角形的内角和是解题的关键；将所求的角的度数转化为HNG △的内角和，即可得到答案．【详解】解：,,A B GHN C D GNH E F HGN Ð+Ð=ÐÐ+Ð=ÐÐ+Ð=ÐQ ，\180A B C D E F GNH GHN HGN Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=°，故答案为：180°．15．50°．【分析】过点N 作NG ⊥BC 于G ，NE ⊥BM 于E ，NF ⊥CM 于F ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF ，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN 平分∠BMC ，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB 的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC 的度数，从而得解．【详解】如图，过点N 作NG ⊥BC 于G ，NE ⊥BM 于E ，NF ⊥CM 于F ，∵∠ABC 的三等分线与∠ACB 的三等分线分别交于点M 、N ，∴BN 平分∠MBC ，CN 平分∠MCB ，∴NE=NG ，NF=NG ，∴NE=NF ，∴MN 平分∠BMC ，∴∠BMN=12∠BMC ，∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°，根据三等分,∠MBC+∠MCB=23 (∠ABC+∠ACB)=23×120°=80°在△BMC 中,∠BMC=180°−(∠MBC+∠MCB)=180°−80°=100°∴∠BMN=12×100°=50°.【点睛】本题考查的知识点是三角形内角和定理，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理.16．（1）150°、120°、90°．（2）12．【分析】（1）解答本题需要熟练掌握三角形内角和定理的知识，熟知三角形的内角和等于180°.通过解题，求出三个内角，再根据内角加对应的外交和等于180°算出外角；（2）根据多边形内角和即可求出.【详解】（1）设此三角形三个内角的比为x ，2x ，3x ，则x+2x+3x=180，6x=180，x=30，则三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°．（2）设这个多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°=1800°，解得n=12．故这个多边形的边数为12．【点睛】本题考查的知识点是多边形内角和，解题的关键是熟练的掌握多边形内角和.17．证明见解析．【分析】由∠1=∠2可得∠CAB =∠DAE ，再根据ASA 证明△ABC ≌△AED ，即可得出答案．【详解】∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD =∠2+∠BAD ，∴∠CAB =∠DAE ，在△ABC 与△AED 中，∠B =∠E ，AB =AE ，∠CAB =∠DAE ，∴△ABC ≌△AED ，∴BC =ED ．18．83C Ð=°【分析】本题考查了方位角，三角形内角和，平行线性质；根据方位角及平行线性质，可分别求得ABC BAC ∠，∠，由三角形内角和即可求解．【详解】解：∵AE BD ∥，∴57ABD BAE ==°∠∠，∴825725ABC CBD ABD Ð=Ð-Ð=°-°=°；∵571572BAC BAE CAE Ð=Ð+Ð=°+°=°，∴180180257283C ABC BAC Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．19．证明见解析．【分析】根据题意证明BDE CDF V V ≌，进而可得E DFC Ð=Ð，即可证明BE CF ∥【详解】证明：AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=．在BDE D 和CDF D 中，BD CD BDE CDF DE DF =ìïÐ=Ðíï=î，BDE CDF \V V ≌．E DFC \Ð=Ð．BE CF \∥．【点睛】本题考查了三角形的中线的定义，三角形全等的性质与判定，平行线的判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．20．(1)()3,1-；(2)()1,1-；(3)m a n +=-．【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角坐标系中点与线段之间的关系，()1过点B 作BD OC ^交直线OC 于点D ，利用“一线三直角”可证明BDC COA ≌△△，有,BD CO DC OA ==，结合点的坐标得1,2BD CO DC OA ====，根据OD OC CD =+即可求得点坐标；()2过点B 作BE y ⊥交于点E ，由题意得1,2OC OA ==，进一步利用AAS 证明CEB AOC ≌△△，则1,2,BE OC CE OA ====结合OE CE OC =-即可求得点坐标；()3过点B 作BE x ⊥交于点E ，则,OD BE BD OE ==，根据点坐标得OA a =，,OE BD m OD BE n ====-，同理可证，AOC CEB V V ≌，则,OA EC a OC EB n ====-，结合OE OC EC =-即可求得关系式．【详解】（1）解：过点B 作BD OC ^交直线OC 于点D，如图，∵90ACB Ð=°，=90AOC а，=90BDC а，∴BDC COA ≌△△，∴,BD CO DC OA ==，∵点A 坐标为(0,2)，C 的坐标为()1,0-，∴1,2BD CO DC OA ====，∴3OD OC CD =+=，则点B 的坐标为()3,1-，故答案为：()3,1-；（2）解：过点B 作BE y ⊥交于点E ，如图，∵点C 的坐标为()0,1-，A 点的坐标为(2,0)，∴1,2OC OA ==，∵90BEC AOC ACB Ð=Ð=Ð=°，∴90BCE ACO Ð+Ð=°，90BCE CBE Ð+Ð=°，∴ACO CBE Ð=Ð，∵CB CA =，∴()AAS CEB AOC V V ≌，∴1,2,BE OC CE OA ====则1OE CE OC =-=，那么，点B 的坐标(−1,1)；（3）解：过点B 作BE x ⊥交于点E ，如图，则,OD BE BD OE ==，∵点()0,A a 在y 轴正半轴上运动，点(),B m n 在第四象限，∴OA a =，,OE BD m OD BE n ====-，同理可证，AOC CEB V V ≌，∴,OA EC a OC EB n ====-，∵OE OC EC =-，∴m n a =--，则m a n +=-．。

2023—2024学年度上学期八年级数学九月归纳小结一、选择题：（共10小题．每题3分，共30分）1.一个三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边长可能是（）A.3cmB.5cmC.7cmD.11cm【答案】C【解析】【详解】设第三边长为x cm，∴8﹣3＜x＜3+8，即5＜x＜11，故选：C．2.如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（）A.120°B.90°C.100°D.30°【答案】C【解析】【详解】∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣20°=100°，故选C．3.三角形的重心是（）A.三角形三条边上中线的交点B.三角形三条边上高线的交点C.三角形三条边垂直平分线的交点D.三角形三条内角平分线的交点【答案】A【解析】【详解】三角形的重心是三条中线的交点，故选A．4.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS【答案】A【解析】【详解】试题分析：已知两三角形三边分别相等，可考虑SSS 证明三角形全等，从而证明角相等．解﹕做法中用到的三角形全等的判定方法是SSS证明如下∵OM=ONPM=PNOP=OP∴△ONP ≌△OMP （SSS ）所以∠NOP=∠MOP故OP 为∠AOB 的平分线．故选A ．考点：全等三角形的判定．5.六边形共有多少条对角线（）A.8B.9C.10D.12【答案】B【解析】【分析】根据对角线公式求解即可．【详解】解：六边形共有多少条对角线有：()166392⨯⨯-=条．故选B ．【点睛】本题考查了多边形的对角线，牢记n 边形从一个顶点出发可引出(3)n -条对角线，把n 边形分成(2)n -个三角形，n 边形对角线的总条数为：()132n n -是解题的关键．6.已知等腰三角形的周长为18，一边长为4，则它的底边长是（）A.4B.10C.4或7D.4或10【答案】A【解析】【分析】分4是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．【详解】解：①4是腰长时，底边为184210-⨯=，∵44810+=<，∴4、4、10不能组成三角形；②4是底边时，腰长为1(184)72-=，4、7、7能组成三角形，综上所述，此三角形的底边长是4．故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系作出判断．7.如图，AB CD ⊥，且AB CD =．E ，F 是AD 上两点，CE AD ⊥，BF AD ⊥，若6CE =，3BF =，2EF =，则AD 的长为（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】由“AAS ”可证ABF CDE ≅△△，可得6AF CE ==，3BF DE ==，即可求AD 的长．【详解】解：∵AB CD CE AD BF AD ⊥⊥⊥，，，∴909090A D C D CED AFB ∠+∠=︒∠+∠=︒∠=∠=︒，，∴A C ∠=∠，且90CED AFB AB CD ∠=∠=︒=，，∴ABF CDE≅△△∴6AF CE ==，3BF DE ==，∴7AD AF EF DE =-+=故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明ABF CDE ≅△△是本题的关键．8.如图，小明从A 点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A 点时，一共走的路程是（）A.100米B.110米C.120米D.200米【答案】A【解析】【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【详解】解：∵360÷36=10，∴他需要走10次才会回到原来的起点，即一共走了10×10=100米．故选A.【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360º．9.如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别是点D ，E ，3AD =，1BE =，则DE 的长是（）A.32 B.2 C.3 D.52【答案】B【解析】【分析】先利用AAS 定理证出ACD CBE ≌，根据全等三角形的性质可得3CE AD ==，1CD BE ==，再根据DE CE CD =-求解即可得．【详解】解：90ACB ∠=︒，90ACD BCE ∴∠+∠=︒，AD CE ⊥Q ，BE CE ⊥，90ADC E ∠=∠=∴︒，90ACD CAD ∠+∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ACD 和CBE △中，90ADC E CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ACD CBE ∴△≌△，3CE AD ∴==，1CD BE ==，312DE CE CD ∴=-=-=，故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．10.将n 个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点12,,n A A A 分别是正方形对角线的交点，则2022个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为（）A.20214 B.20213 C.1 D.2020【答案】A【解析】【分析】如图（见解析），连接11,AC A D ，先证出11CAE DAF ≌，根据全等三角形的性质可得11CA E DA F S S =，从而可得111114CA E CA F DA F CA F S S S S +=+=，即2个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为14，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】解：如图，连接11,AC A D，则1145A CE A DF ∠=∠=︒，190CA D ∠=︒，11A C A D =，1190CA F DA F ∴∠+∠=︒，由正方形的性质得：190EA F ∠=︒，1190CA F CA E ∴∠+∠=︒，11CA E DA F ∴∠=∠，在1CA E 和1DA F 中，11111145ACE A DF AC A D CA E DA F ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()11ASA CA E DA F ∴≌，11CA E DA F SS ∴=，11111111144CA E CA F DA F CA F CA D S S S S S∴+=+==⨯⨯=，则2个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为()112144=⨯-，同理可得：3个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为()1123144⨯=⨯-，4个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为()1134144⨯=⨯-，归纳类推得：n 个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为()114n -，其中2n ≥且为正整数，则2022个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为()120212022144⨯-=，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．二、填空题：（共6小题，每小题3分，共18分）11.正五边形的内角和度数是______．【答案】540︒【解析】【分析】多边形的内角和度数为：()2180n -⨯︒，据此即可求解．【详解】解：正五边形的内角和度数为：()52180540-⨯︒=︒故答案为：540︒【点睛】本题考查多边形的内角和度数．熟记相关结论即可．12.如图所示的两个三角形全等，则α∠的度数是______．【答案】50︒##50度【解析】【分析】直接根据全等三角形的性质求解即可得．【详解】解：∵如图所示的两个三角形全等，50α∴∠=︒，故答案为：50︒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．13.如图，已知AD 是ABC 的中线，CE 是ACD 的中线，若ABC 的面积为12，则CDE 的面积为______．【答案】3【解析】【分析】根据中线与面积的关系可得12ABD ACD ABC S S S ==△△△、12ACE CED ACD S S S ==V V V 即可求解．【详解】解：∵AD 是ABC 的中线∴BD CD=∵,ABD ACD △△的高相等∴162ABD ACD ABC S S S ===∵CE 是ACD 的中线∴AE DE=∵,ACE CDE V V 的高相等∴132ACE CED ACD S S S ===V V V 故答案为：3【点睛】本题考查三角形的中线与面积的关系．熟记相关结论即可．14.如图，将四边形ABCD 去掉一个70︒的角得到一个五边形BCDEF ，则12∠+∠=______︒．【答案】250【解析】【分析】如图（见解析），根据三角形的外角性质可得1703∠=︒+∠，由此即可得．【详解】解：如图，由题意得：70A ∠=︒，1703∴∠=︒+∠，12703270180250∴∠+∠=︒+∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：250．．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．15.如图，在四边形ABCD 中：AB AD =，140BAD ∠=︒，AB CB ⊥于点B ，AD CD ⊥于点D ，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且70EAF ∠=︒，下列说法：①DF BE =．②ADF ABE △≌△．③FA 平分DFE ∠；④AE 平分FAB ∠；⑤BE DF EF +=；⑥CF CE FD EB +>+．其中正确的是：___________（填写正确的序号）【答案】③⑤⑥【解析】【分析】由E 、F 分别是CB CD 、上的任意点，可知DF 与BE 不一定相等，ADF △与ABE 也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长CB 到点G ，使BG DF =，连接AG ，先证明ABG ADF ≌△△，得AG AF BAG DAF G AFD =∠=∠∠=∠，，，由14070BAD EAF ∠=︒∠=︒，，可以推导出70EAG ∠=︒，则∠=∠EAG EAF ，即可证明EAG EAF ≌△△，得G AFE ∠=∠，因为AEB AEF ∠=∠，所以AFD AFE ∠=∠，可判断③正确,④错误；因为EG EF =，所以BE DF BE BG EG EF +=+==，可判断⑤正确；由CF CE EF +＞，且EF FD EB =+，得CF CE FD EB +>+，可判断⑥正确，于是得到问题的答案．【详解】解：∵E 、F 分别是CB CD 、上的任意点，∴DF 与BE 不一定相等，故①错误；∵AB CB ⊥于点B AD CD ⊥，于点D ，∴90D ABE ∠=∠=︒，∵AB AD =，∴ADF ABE ≌的另一个条件是DF BE =，∵DF 与BE 不一定相等，∴ADF △与ABE 不一定全等，故②错误；延长CB 到点G ，使BG DF =，连接AG ，则18090ABG ABE ∠=︒-∠=︒，∴ABG D ∠=∠，在ABG 和ADF △中，AB AD ABG D BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABG ADF SAS ≌（），∴AG AF BAG DAF G AFD =∠=∠∠=∠，，，∵14070BAD EAF ∠=︒∠=︒，，∴70EAG BAE BAG BAE DAF BAD EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒，∴∠=∠EAG EAF ，在EAG △和EAF △中，AG AF EAG EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EAG EAF SAS ≌（），∴G AFE AEB AEF EG EF∠=∠∠=∠=，，∴AFD AFE BE DF BE BG EG EF∠=∠+=+==，故③正确，⑤正确，④错误；∵CF CE EF EF FD EB +>=+，，∴CF CE FD EB +>+，故⑥正确，故答案为：③⑤⑥．EAG EAF ≌△△是解题的关键．16.已知：ABC 中，90ACB ∠=︒，AC CB =，D 为射线CB 上一动点，连接AD ，在直线AC 右侧作AE AD ⊥，且AE AD =．连接BE 交直线AC 于M ，若27AC CM =，则ADB AEMS S △△的值为_____．【答案】45或49【解析】【分析】添加辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质求出线段间的数量关系，最后进行分类讨论即可求解．【详解】①如图，过E 作EG AC ⊥于点G，∴90ACB AGE CGE ∠=∠=∠=︒，∴90DAC ADC ∠+∠=°，∵AE AD ⊥，∴90DAE ∠=︒，即：90DAC GAE ∠+∠=︒，∴ADC GAE ∠=∠，在ADC △和EAG △中，ACD AGE ADC GAE AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADC EAG AAS ≌，∴AC GE =，=CD AG ，∴()BMC EMG AAS ≌，∴GM MC =，设2CM a =，则7AC a =，∴2GM CM a ==，7BC AC a ==，∴7223AG CD AC GM CM a a a a ==--=--=，∴734BD BC CD a a a =-=-=，325AM AG GM a a a =+=+=，则11·47422115·5722ADBAEM BD AC a a S S AM GE a a ⨯⨯===⨯⨯，②如图，过E 作EH AC ⊥交AC 延长线于点H ，∴90ACB AHE ∠=∠=︒，∴90DAC ADC ∠+∠=°，∵AD AE ⊥，∴90DAE ∠=︒，即：90DAC HAE ∠+∠=︒，∴ADC HAE ∠=∠，在ADC △和EAH 中，ACD AHE ADC HAE AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADC EAH AAS ≌，∴AC HE =，CD AH =，∴AC CB HE ==，在BMC 和EMH 中，BMC EMH BCM EHM BC HE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BMC EMH AAS ≌，∴HM MC =，设2=CM m ，则7AC m =，∴2HM CM m ==，7BC AC m ==，∴72211AH CD AC GM CM m m m m ==++=++=，∴1174BD CD BC m m m =-=-=，729AM AC CM m m m =+=+=，则11·47422119·9722ADB AEM BD AC m m S S AM HE m m ⨯⨯===⨯⨯，故答案为：45或49．【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，有关三角形的面积的求解，解题的关键是正确作出所需要的辅助线．三、解答题：（共8小题，共72分）17.如果一个三角形的一边长为9cm ，另一边长为2cm ，若第三边长为x cm ．（1）求第三边x 的范围；（2）当第三边长为奇数时，求三角形的周长．【答案】（1）7<x <11（2）20cm【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系得到有关第三边的取值范围即可；（2）根据（1）得到的取值范围确定第三边的值，从而确定三角形的周长．【小问1详解】由三角形的三边关系得：9292x -<<+，即711x <<；【小问2详解】∵第三边长的范围为711x <<，且第三边长为奇数，∴第三边长为9，则三角形的周长为：99220cm++=【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够根据三角形的三边关系列出有关x 的取值范围，难度不大．18.如图，AC 平分BAD ∠，AB AD =．求证：BC DC =．【答案】证明见解析【解析】【分析】先根据角平分线的定义可得BAC DAC ∠=∠，再利用SAS 定理可证ABC ADC △≌△，然后根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：AC 平分BAD ∠，BAC DAC ∴∠=∠，在ABC 和ADC △中，AB AD BAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABC ADC ∴△≌△，BC DC ∴=．【点睛】本题考查了角平分线、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．19.如图，△ABC 中，∠B=45°，∠C=38°，E 是BC 边上一点，ED 交CA 的延长线D ，交AB 于点F ，∠D=32°．求∠AFE 的大小．【答案】115°．【解析】【分析】利用外角性质得到∠DAB 的度数,在利用内角和即可求解.【详解】解：∵∠B=45°，∠C=38°，∴∠DAB=45°+38°=83°，∵∠D=32°，∴∠AFE=83°+32°=115°．【点睛】本题考查了三角形外角的性质,三角形的内角和,属于简单题,熟悉概念是解题关键.20.如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A （﹣3，3），B （﹣4，﹣2），C （0，﹣1）．（1）直接写出△ABC 的面积为；（2）画出△ABC 关于y 轴的对称的△DEC （点D 与点A 对应，点E 与点B 对应），点E 的坐标为；（3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作图（保留作图痕迹）．①作出△ABC 的高线AF②在边BC 上确定一点P ，使得∠CAP ＝45°．【答案】（1）192；（2）（4，-2）；（3）①AF 为△ABC 的高作法见详解；②∠CAP =45°，作法见详解．【解析】【分析】（1）利用割补法求三角形ABC 面积S △ABC =S △ABH +S 梯形AHGC -S △BCG 代入计算即可；（2）先求出点A 、B 关于y 轴对称的点坐标D 、E ，然后描出点D 、E ，顺次连结线段DE ，EC ，CD 即可；（3）①根据勾股定理AB =过C 向左5格向上1格作CH=，则CH ⊥AB ，根据勾股定理AC 5=，过B 向右4格，向上3格作5=，CH 与BI 交于G ，则BI ⊥AC ，则点G 为垂心，过A 作射线AG 交BC 于F ，则AF 为所求，；②根据AC 45==，过C 先下3格，向左4格，作CR =5==，连结AR 交BC 于P ，则RC ⊥AC ，RC =AC ，可得△ACR 是等腰直角三角形，可求∠RAC =∠ARC =45°，则∠CAP =45°，【详解】解：（1）S △ABC =S △ABH +S 梯形AHGC -S △BCG =()111222BH AH HG AH CG BG CG ⋅+⋅+-⋅()1111535141222=⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯5922=+-192=，故答案为192；（2）∵A （﹣3，3），B （﹣4，﹣2），C （0，﹣1）．△ABC 关于y 轴的对称的△DEC ，∴点D （3，3），点E （4，-2），描点D 、E ，连结CD ，DE ，EC ，则△DEC 为△ABC 关于y 轴对称的三角形，故答案为（4，-2）；（3）①根据勾股定理AB =过C 向左5格向上1格作CH=，则CH ⊥AB ，根据勾股定理AC 5=，过B 向右4格，向上3格作5=，CH 与BI 交于G ，则BI ⊥AC ，则点G 为垂心，过A 作射线AG 交BC 于F ，则AF 为所求，AF 为△ABC 的高；②根据AC 5==，过C 先下3格，向左4格，作CR =5==，连结AR 交BC 于P ，则RC ⊥AC ，RC =AC ，∴△ACR 是等腰直角三角形，∴∠RAC =∠ARC =45°，则∠CAP =45°，【点睛】本题考查割补法求三角形面积，轴对称，图形旋转，作一角等于已知角，等腰直角三角形性质，掌握割补法求三角形面积，轴对称，图形旋转，过一点作已知直线的垂线，作一线段等于已知线段，等腰直角三角形性质是解题关键．21.如图，点B 在线段AC 上，点E 在线段BD 上，ABD DBC ∠=∠，AB DB =，EB CB =，M ，N 分别是AE CD 、的中点，求证：（1）BM BN =；（2）BM BN ⊥．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）证ABE DBC ≌，根据斜中半定理即可求证；（2）MBN MBE NBD ∠=∠+∠，根据等边对等角和全等三角形的性质进行等量代换即可求证．【小问1详解】证明：∵180,ABD DBC ABD DBC ∠+∠=︒∠=∠，∴90ABD DBC ∠=∠=︒，∵AB DB =，EB CB =，∴ABE DBC ≌，∴AE CD =，∵M ，N 分别是AE CD 、的中点，∴11,22BM AE BN ==．∴BM BN=【小问2详解】证明：∵ABE DBC ≌，CDB EAB ∠=∠，∵11,22BM AE ME BN DN ====，∴,MBE MEB NBD NDB ∠=∠∠=∠，∵MBN MBE NBD ∠=∠+∠，∴90MBN MEB NDB MEB EAB ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴BM BN ⊥．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、斜中半定理等知识点．熟记相关结论进行几何推理是解题关键．22.如图1，已知正方形ABCD 的边长为16，点P 为正方形ABCD 边上的动点，动点P 从点A 出发，沿着A B C D →→→运动到D 点时停止，设点P 经过的路程为x ，APD △的面积为y ．（1）如图2，当4x =时，y =______；（2）如图3，当点P 在边BC 上运动时，y =_____；（3）当24y =时，x =______；（4）若点E 是边BC 上一点且6CE =，连接DE ，在正方形的边上是否存在一点P ，使得DCE △与BCP 全等？若存在，求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）32（2）128（3）3或45（4）存在，10x =或38时，使得DCE △与BCP 全等【解析】【分析】（1）由4x =，可得4AP =，然后由12APD y SAP AD ==⋅，求得答案；（2）直接由12APD y S AD AB ==⋅，求得答案；（3）由已知得只有当点P 在边AB 或边CD 上运动时，24y =，然后分别求解即可求得答案；（4）分两种情况，当点P 在边AB 或边CD 上运动时，分别画出图形，由全等三角形的性质列出关于x 的方程求解即可【小问1详解】∵41690AP x AD A ===∠=︒，，，∴114163222APD y S AP AD ==⋅=⨯=；故答案为：32；【小问2详解】∵点P 在边BC 上运动，∴11161612822APD y S AD AB ==⋅=⨯⨯=△；故答案为：128；【小问3详解】由已知得只有当点P 在边AB CD 上运动时，24y =，当点P 在边AB 上运动时，∵12PAD S AD PA =⋅△，∴116242PA ⨯⨯=，解得，3PA =，即3x =；当点P 在边CD 上运动时，∵12PAD SAD PD =⨯，∴116242PD ⨯⨯=，解得：3PD =，∴161616345x AB BC CD =++=++-=；综上所述，当24y =时，3x =或45；【小问4详解】当点P 在边AB 或边CD 上运动时，存在一点P ，使得DCE △与BCP 全等．如图4，当点P 在AB 上时，假设DCE CBP ≌，则有6CE PB ==，∴16610AP AB BP =-=-=，即10x =．如图5，当点P 在CD 上时，DCE BCP ≌，∴6CD CE ==，∴1616638x AB BC CD =++=++=，综上所述，10x =或38时，使得DCE △与BCP 全等．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积公式．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．23.问题引入：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在ABC 中，5AB =，3AC =，求BC 边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使得DE AD =，再连接BE ，把,,2AB AC AD 集中在ABE 中，利用三角形的三边关系可得28AE <<，则14AD <<．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中．（1）请你用小华的方法证明2AB AC AD +>；（2）由第（1）问方法的启发，请你证明下面命题：如图2，在ABC 中，D 是BC 边上的一点，AE 是ABD △的中线，CD AB =，BDA BAD ∠=∠，求证：2AC AE =；（3）如图3，在Rt ABO 和Rt CDO 中，90AOB COD ∠=∠=，OA OB =，OC OD =，连接AD ，点M 为AD 中点，连接OM ，请你直接写出BC OM的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2．【解析】【分析】（1）延长，延长AD 至点E ，使DE AD =，连接BD ，证明ACD EBD △≌△，再利用三角形三边关系即可；（2）添加辅助线，先证明()SAS EDF EBA ≌，根据性质得出ADC ADF ∠=∠，从而可证明()SAS AFD ACD ≌，最后根据性质即可求证；（3）延长OM 至H ，使OM MH =，连接DH ，可证：()SAS AMO DMH ≌，根据全等三角形性质可以得出HDO BOC ∠=∠，再证明()SAS HDO BOC ≌，则可以得出结论．【小问1详解】如图，延长AD 至点E ，使DE AD =，连接BD ，则：2AE AD DE AD =+=，∵D 是BC 中点，∴BD DC =，在ACD 和EBD △中，BD CD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ACD EBD ≌，∴AC EB =，在ABE 中，∴2AB EB AE AD +>=；即：2AB AC AD +>，【小问2详解】如图，延长AE 至点F ，使得EF AE =，连接DF ，则2AF EF AE AE =+=，∵E 是BD 中点，∴DE BE =，在EDF 和EBA △中，EF EA =⎩∴()SAS EDF EBA ≌，∴DF AB CD ==，B EDF ∠=∠，F EAB ∠=∠，∵CDA B BAD ∠=∠+∠，ADF BDA EDF ∠=∠+∠，BDA BAD ∠=∠,∴ADC ADF ∠=∠，在AFD △和ACD 中，CD DF ADC ADF AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AFD ACD ≌，∴AC AF =，∴2AC AE =．【小问3详解】如图，延长OM 至H ，使OM MH =，连接DH ，则2OH OM =同（2）理可证：()SAS AMO DMH ≌，∴OA DH OB ==，H AOM ∠=∠，MAO MDH ∠=∠，∵90AOB COD ∠=∠=︒，∴180BOC AOB COD AOD AOD ∠=∠+∠-∠=︒-∠，∵180HDO H HDO ∠=︒-∠-∠，∴180180HDO AOM HDO AOD ∠=︒-∠-∠=︒-∠，∴HDO BOC ∠=∠，在HDO ∠和BOC 中，HD BO =⎩∴()SAS HDO BOC ≌，∴2OH BC OM ==，∴2BC OM=．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．24.已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(02),，点P 是第一象限内一动点．（1）①如图1．若动点(),P a b 满足()23930a b -+-=，求点P 的坐标．②如图2，在第（1）问的条件下，且PA PB ⊥，将APB ∠逆时针旋转至如图CPD ∠所示位置，求OD OC -的值．（2）如图3，若点A 与点A '关于x 轴对称，且BM PA '⊥，若动点P 满足2APA OBA ''∠=∠，问：PA PA PM'-的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化．请求出其值．【答案】（1）①()3,3P ；②6（2）不变化，2PA PA PM'-=【解析】【分析】（1）①利用非负数的性质可得3a b ==，即可求出点P 的坐标；②如图①中，作PE OA ⊥于E ，PF OB ⊥于F ，证明四边形PEOF 是正方形，可得90EPF APB ∠=∠=︒，3PE OF ==，再证明PEA PFB ≌得AE FB =，PA PB =，从而可求4OB =．证明(ASA)APC BPD ≌，可得AC BD =，进而可求OD OC -的值．（2）如图3中，作BE AP ⊥交AP 的延长线于E ，AB 交PA '于N ．证明A MB AEB '≌，可得BE BM =，AE A M '=，证明Rt Rt PBM PBE ≌，推出PM PE =，由此即可解决问题．【小问1详解】①∵()23930a b -+-=，又∵|39|0a -≥，()230b -≥，∴390a -=，30b -=，∴3,3a b ==，∴()3,3P ．②如图①中，作PE OA ⊥于E ，PF OB ⊥于F ．∵3a b ==，∴3PE PF ==，∵90PEO PFO EOF ∠=∠=∠=︒，∴四边形PEOF 是矩形，∵PE PF =，∴四边形PEOF 是正方形，∴90EPF APB ∠=∠=︒，3PE OF ==，∴APE BPF ∠=∠，∵90PEA PFB ∠=∠=︒，∴(ASA)PEA PFB ≌，∴AE FB =，PA PB =，PAE PBF ∠=∠,∵(0),2A ，∴3OA =，∴1AE BF ==，∴4OB =．如图②中，∵PAE PBF ∠=∠,∴PAO PBD ∠=∠.∵90APB CPD ∠=∠=︒，∴APC BPD ∠=∠，∵PA PB =，∴(ASA)APC BPD ≌，∴AC BD =，∴()426OD OC OB BD AC OA BO OA -=+--=+=+=．【小问2详解】如图3中，作BE AP ⊥交AP 的延长线于E ，AB 交PA '于N ．∵OA OA '=，OB AA '⊥，∴BA BA '=，∴OBA OBA ∠'=∠，∵2APA OBA ''∠=∠，∴APN A BN ∠'=∠，∴EAB BA M ∠'=∠，∵BM PA '⊥，BE AE ⊥，∴90A MB E '∠︒=∠=，∴(AAS)A MB AEB '≌，∴BE BM =，AE A M '=，∵PB PB =，90BMP E ︒∠=∠=，∴Rt Rt (HL)PBM PBE ≌，∴PM PE =，∴()2PA PA PM A M AE PE PM ''-=+--=，∴2PA PA PM'-=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线。

2023-2024学年广西南宁八年级（上）月考数学试卷（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图所示的4个图案中是轴对称图形的是( )A. 阿基米德螺旋线B. 笛卡尔心形线C. 赵爽弦图D. 太极图2.2023的相反数是( )A. 12023B. ―12023C. 2023D. ―20233.下列长度的各组线段中，能组成三角形的是( )A. 1，2，3B. 2，3，5C. 3，4，8D. 3，4，54.如图，CM是△ABC的中线，AB=10cm，则BM的长为( )A. 7cmB. 6cmC. 5cmD. 4cm5.若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是( )A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°6.下列各图中，正确画出AC边上的高的是( )A. B.C. D.7.一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为( )A. 4B. 5C. 6D. 88.如图，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为( )A. 2B. 3C. 4D. 59.如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O.则下列说法中不一定正确的是( )A. ∠ABC=∠A′B′C′B. AA′⊥MNC. AB//A′B′D. BO=B′O10.某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在△ABC( )A. 三条高线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三个角的平分线的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处11.若关于x的不等式组{2x―1>3x≤2a―1的整数解共有三个，则a的取值范围是( )A. 3≤a<3.5B. 3<a≤3.5C. 3<a<3.5D. 3≤a≤3.512.已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是( )A. 2∠BOC+∠BPC=360°B. ∠BOC+2∠BPC=360°C. 3∠BOC―∠BPC=360°D. 4∠BPC―∠BOC=360°第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）13.计算：4=______ ．14.在平面直角坐标系中，点(2,―1)关于x轴对称的点的坐标为______ ．15.如图，CD是△ABC的高，∠ACB=90°.若∠A=35°，则∠BCD的度数是______ ．16.如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠，若∠AED′=40°，则∠DEF的度数为______．17.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=6，BC的长是______ ．18.如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2 A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推.若OA1=1，则a2023=______ ．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。

八年级上学期月考数学试卷分析八年级上学期月考数学试卷命题遵循了新课程标准。

难易度适中，没有偏、难、怪题，有利于各层次学生的发挥。

考查了学生的基础知识、基本技能和综合运用能力，体现数学课程改革的基本理念。

试题面向每一个学生，体现出数学课程的基础性、普及性，特别是注重数学思想方法的考查，在具体情境中运用所学知识分析和解决问题的能力，加强教学内容与社会实际和学生生活实际的联系，充分体现数学新课程的基本理念。

有效促进学生积极主动地学习与运用数学。

一、试题命题特点1、难易适中试题分三个部分，第一部分是选择题，第二部分是填空题，第三部分是解答题，每个部分的试题排列都是易到难，开始部分都着重于基本知识和基本技能的考查，每一部分最后一题明显有一定的难度，如第10题、11题、解答第6题，综合性强，要求学生有一定的分析问题和解决问题的能力，并有一定的解题技巧。

这份试卷考查的结果，八（1）班优良率56.76%八（2）班85分优良率41.95%，2、重基础，关注四基考查数学的四基是发展数学能力、提高数学素养的重要载体。

试卷关注学生发展的需要，结合数学学科的基本特点，着眼于考查学生的数学素养。

试题基础性较强，知识层面考查较低，主要想让学生通过解答这些试题感受成功，增进自信。

如：选择题1－9，填空题1—6，解答题1—5，主要考查了学生对基础知识的掌握，以及能力的培养。

3、立足于教材教材为学生学好数学提供丰富的素材，命题立足于教材，体现了对考生公平公正的的基本原则。

全卷一部分试题源于教材，有的就是教材中的例题，一部分是教材的习题、思考题的类比、改造、延伸和拓展，试题能从初中数学的教与学的实际出发，引导教师教好教材，学生学好教材，充分发挥教材的扩张效应。

4、发展学生综合的数学素质试卷给学生提供自主探索的空间，有利于学生活跃思维，让经历观察、操作、确认等过程，发展合情推理能力，如考卷选择第11,填空第8题。

考查学生学习知识的能动性，考虑问题的全面性，运用知识的灵活性以及对数学知识的开放性和多维性的理解。

．．．．．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示图形，其AB⊥BE，EF⊥BE交BE于D，C在.有四位同学分别测量出以下四组数据，根据所测数据不能求出B间距离的是（ ）A ．7．如果关于x 的一元二次方程倍，则称这样的方程为①方程13AB DF =228x x --． ． ． ． 如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且相似，则下列结论：①若，相交于，则不一定是的重心；②若，则的最大值为③若A ．①④10．如图是由四个全等的三角形和一个正方形组成的大正方形，连结线交于点，交A ．B ．二、填空题（本大题共411．已知抛物线12．在中，已知点、，，ABC 90,4,AB AC x BAC α︒∠====O ABD BC BCD △ABC 45α=︒BC ODE E ABD △60α=︒AD 27BH EC N MEF △25()y x m =-+ABC D 3AE cm =1EC cm =DE13．已知抛物线三、解答题（本大题共9分，21、22每小题12分，22．菱形ABCD中，②当，如图时最大，，，，，，，②错误；60α=︒4AD 4AB =∴2AC BE ==23BC AE ==36BD BC ==∴8DE =∴21927AD =≠∴③如图5，若，，∴，，，，，，，∴，，，∴，，∴，∴③错误；60α=︒C ABC BD ∽△△60BCD ∠=︒90CDB ∠=︒4AB =2AC =23BC =3OE =1CE =3CD =32GE DF ==32CF =52EF DG ==32OG =723OD =≠由得 ， ，Rt DHC △22()c a a b =++HCQ CDHCQ HQ HC DH CH CD ∴==CQ a a =()a a b CQ c +∴=(a HQ c+=()a a b BQ CB CQ c c +∴=-=-由图象可得x ＜－1或0＜x ＜数值大于反比例函数值，所以x 【点睛】本题考查了反比例函数，将反比例函数的解析式与图像相结合是解题的关键13由（1）得，∵D 是边的中点，∴，2AC =AC 112AD AC ==∵∠DAE＝22.5°，∴∠BAP＝90°-22.5°＝67.5°，∠APB＝∠E+∠DBC＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠BAP＝∠APB，∴BP＝AB＝1．【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线的性质、等腰三角形的等边对等角的性质、等角对等边的性质、三角形外角的性质，第（2）问求出∠BAP和∠APB的度数是解题的关键. 19．(1)y=-50x2+400x+9000(2)当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元(3)43~45元之间（含43元和45元）【分析】（1）根据利润=销售量×（单价-成本）列出函数关系式即可；（2）根据（1）求得的函数关系式利用配方法求出答案即可；（3）令-50x2+400x+9000=9750，求出x值，从而得到范围．【详解】（1）解：由题意得：y=（48-30-x）（500+50x）=-50x2+400x+9000，∴函数关系为y=-50x2+400x+9000；（2）由（1）得：y=-50x2+400x+9000=-50（x-4）2+9800，∵-50＜0，∴x=4时，y最大为9800，∴当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；（3）-50x2+400x+9000=9750，解得：x1=3，x2=5，48-3=45，48-5=43，∴定价应为43~45元之间（含43元和45元）．【点睛】此题考查二次函数的实际运用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题．20．（1）见解析；（2）12【分析】（1）利用同角的余角相等可得出∠A＝∠BCF，由角平分线的定义可得出∠ABE＝∠CBF，进而可证出△AEB～△CFB；（2）过点E作EM⊥AB于点M，由AE＝2EC可得出S△ABE＝2S△CBE，结合三角形的面积公式及角平分线的性质可得出AB＝2BC，再代入BC＝6即可得出结论．。