2015届高考数学二轮专题训练：专题三 第2讲 三角变换与解三角形

出三角形模型．真题感悟1． (2021浙·江 )α∈R ， sin α＋2cos α＝ 10，那么 tan 2α等于 ()24 3 3 4 A. 3 B.4 C ．－4 D ．－3答案C10解析 ∵ sin α＋ 2cos α＝2 ，∴sin2α·cos α＋ 25α＋ 4sin 4cos α＝2. 用降幂公式化简得： 4sin 2α＝－ 3cos 2α，∴tan 2 α＝ sin 2α3＝－ .应选 C.cos 2α 42．(2021·苏江 ) 假设△ ABC 的内角满足 sin A ＋ 2sin B ＝ 2sin C ，那么 cos C 的最小值是________． 答案 6－ 24解析 由 sin A ＋ 2sin B ＝ 2sin C ，结合正弦定理得a ＋ 2b ＝2c.由余弦定理得 cos C ＝ a 2＋ b 2－ c 22aba 2＋b 2－a ＋2b23a 2＋ 1b2－ 2ab＝2ab 4＝4 2 22ab2 32 1 2 － 2ab4 a b≥22 ＝6－ 2，2ab4故6－2≤ cos C<1，且 3a 2＝ 2b 2时取“＝〞． 46－ 2故 cos C 的最小值为.4押题精练1．在△ ABC 中， tanA ＋B＝ sin C ，给出以下四个结论：2① tan A＝ 1；② 1<sin A ＋ sin B ≤ 2；③ sin 2A ＋ cos 2B ＝ 1；④ cos 2 A ＋ cos 2B ＝ sin 2C. tan B其中一定正确的选项是()A ．①③ B．②③ C．①④ D．②④答案Dsin A＋ B2sinA＋ B A＋ B22 cos2解析依题意， tan A＋B＝A＋ B ＝2A＋B2cos22cos2＝sin A＋ B＝sin C＝ sin C.1＋ cos A＋B1＋ cos A＋ B∵s in C≠ 0，∴1＋ cos(A＋B)＝ 1， cos(A＋ B)＝ 0.π∵0< A＋B<π，∴A＋ B＝，即△ABC 是以角 C 为直角的直角三角形．2对于①，由tan A＝ 1，得 tan A＝ tan B，即 A＝B，不一定成立，故① 不正确；tan Bππ对于②，∵A＋ B＝，∴ sin A＋ sin B＝ sin A＋ cos A＝2sin( A＋ )，24∴1<sin A＋ sin B≤2，故②正确；π2A＋sin2A＝2sin2A，对于③，∵A＋ B＝，∴ sin2A＋ cos2B＝sin2其值不确定，故③ 不正确；π22222对于④，∵A＋ B＝，∴ cos A＋ cos B＝ cos A＋ sin A＝1＝ sin C，故④正确． 22．在△ ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为a， b， c，q＝ (2a,1)，p＝ (2b－ c， cos C)，且q∥ p.(1)求 sin A 的值；(2) 求三角函数式－ 2cos 2C＋ 1 的取值X围．1＋ tan C解(1) ∵q＝ (2a,1)，p＝(2b－ c， cos C) 且q∥p，∴ 2b－ c＝ 2acos C，由正弦定理得 2sin Acos C＝ 2sin B－ sin C，又 sin B＝ sin(A＋ C)＝ sin Acos C＋ cos Asin C，∴1sin C＝ cos Asin C.21π∵sin C≠ 0，∴cos A＝，又∵ 0<A<π，∴ A＝，23∴sin A＝32.22(2) 原式＝－ 2cos 2C＋1＝1－ 2 cos C－sin C＝ 1－ 2cos2 C＋ 2sin Ccos C＝ sin 2C－ cos 2C＝1＋ tan C sin C1＋cos C π2sin(2C－4) ，2ππ 13∵ 0< C<3π， ∴ －4<2C －4<12π，2π∴－2 <sin(2 C －4)≤ 1，π∴－ 1< 2sin(2 C －4)≤2，－ 2cos 2C 即三角函数式＋ 1 的取值X 围为 (－ 1，2]．1＋ tan C(推荐时间： 60 分钟 )一、选择题1．(2021浙·江 )为了得到函数 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x 的图象，可以将函数 y ＝ 2cos 3x 的图象 ()ππA ．向右平移4个单位B ．向左平移4个单位C ．向右平移 π个单位D ．向左平移π个单位1212答案 C解析因为 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x ＝π2sin(3x ＋)4＝ 2sin[3( x ＋π2cos 3x ＝π12)] ，又 y ＝2sin(3x ＋2)π y ＝ 2cos 3x的图象向右平移π ＝ 2sin[3( x ＋ )]，所以应由个单位得到．612π π)2． α∈ ( ，π)， sin(α＋ )＝3，那么 cos α等于 (24527 2 A ．－10B. 102 7 27 2C ．－10或 10D ．－10答案A解析 ∵ α∈ π π3π，5 π)．( ，α)． ∴ α＋ ∈(24 4 4π 3 ∵ s in( α＋4)＝5，π4∴cos(α＋4)＝－5，π π π π 4× 2 32 ＝－ 2∴cos α＝ cos(α＋ )cos＋sin( α＋ )sin( )＝－5 ＋ ×210. 44442 5sin C2 25)3．在△ ABC 中，假设＝ 3， b － a＝ ac ，那么 cos B 的值为 (sin A211 A. 3 B.211 C.5D.4答案 D解析由正弦定理：c ＝sin C＝ 3，a sin A222 c 2－5acc 5 35 1由余弦定理： cos B ＝ a＋c － b212ac＝2ac ＝ × － ＝ －＝ .2 a 4 2444．(2021陕·西 )设△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设 bcos C ＋ ccos B ＝asinA ，那么△ ABC 的形状为 ( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案B解析2，即 sin(B2由 bcos C ＋ ccos B ＝ asin A ，得 sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝ sin A ＋C)＝ sin A ，所以 sin A ＝ 1，由 0<A<π，得 πA ＝ ，所以△ ABC 为直角三角形．2 5． tan β＝4， sin(α＋ β)＝5，其中α， β∈ (0，π)，那么 sin α的值为 ()3 136333 A. 65B.651363 33C.65D.65或65答案 A解析依题意得 sin β＝ 4 ， cos β＝ 3 .注意到 sin( α＋ β)＝ 5π55 13<sin β，因此有 α＋ β>(否那么，假设α2 π π＋β≤ ，那么有 0<β<α＋ β≤，0<sin β<sin( α＋ β)，这与“ sin(α＋ β)<sin β〞矛盾 ) ，那么 cos(α＋ β)2 21263＝－ 13， sin α＝ sin[( α＋ β)－ β]＝ sin(α＋β)cos β－ cos(α＋β)sin β＝65.6．△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别是a 、b 、c ，且 tan B ＝2－ 3→ →2 22， BC ·BA ＝1，a －b ＋c 2那么 tan B 等于 ()3A. 2B. 3－ 1 C ． 2 D ．2－ 3答案D解析→→→→由题意得， BC ·BA ＝ |BC| |BA|cos · B＝ a ccos B ＝1，即 cos B ＝1，22ac由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 2＝ 1 ? a 2＋c 2－b 2＝1，2ac 2ac2－ 3所以 tan B ＝a 2－b 2＋c 2＝2－ 3，应选 D.二、填空题7． tanα＋ππ2sin 2α＋sin 2α4 ＝1，且－<α<0，那么π ＝ ________.22cos α－4答案 － 25 5解析由 tan α＋ π ＝ tan α＋ 1 11 4 ＝2， 得 tan α＝－ .1－ tan α 3又－π，可得 sin α＝－ 10<α<0 10 .2 2sin 2α＋ sin 2α 2sin αsin α＋ cos α故cos α－π ＝242 sin α＋ cos α＝22sin α＝－255.8．在△ ABC 中，内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、b 、 c ， a 2－ c 2＝ 2b ，且 sin Acos C＝ 3cos Asin C ，那么 b ＝ ________.答案 4解析由 sin Acos C ＝ 3cos Asin C 得：aa 2＋b 2－c 2b 2＋c 2－ a 2 c，2R ·＝ 3··2ab2bc2R222＝ 22222b 2∴a＋ b － c3(b＋ c－ a )， a － c ＝，2a 2－ c 2＝ 2b解方程组：2 ，∴b ＝ 4.a 2－ c 2＝b2πππ9． 0<α<<β<π， cos(β－ )＝1， sin(α＋ β)＝4，那么 cos(α＋)＝________.24354答案 8 2－ 315π解析因为 0< α<2<β<π，所以 π π 3π π 3π<β－ < 4 ， <α＋ β< .4 4 2 2π所以 sin( β－4)>0， cos(α＋ β)<0.π1，sin( α＋ β)＝ 4，因为 cos(β－)＝435π 2 2 3 .所以 sin( β－)＝， cos(α＋β)＝－54 3π π所以 cos(α＋ )＝ cos[(α＋ β)－ (β－ )]44π π＝cos(α＋ β)cos(β－ ) ＋sin( α＋ β)sin( β－ )443 14 22 82－3＝－5×3＋5×3＝15 .10．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚 B 处看索道 AC ，发现X 角∠ ABC ＝ 120 °；从 B 处攀登 400 米到达 D 处，回头看索道 AC ，发现X 角∠ ADC ＝ 150 °；从 D 处再攀登 800 米方到达 C 处，那么索道 AC 的长为 ________米．答案 400 13解析如题图，在△ABD 中， BD ＝ 400 米，∠ABD ＝ 120°.因为∠ ADC ＝ 150°，所以 ∠ ADB＝ 30°.所以∠ DAB ＝ 180°－ 120°－30°＝ 30°.由正弦定理，可得BD＝ADsin ∠ DAB sin ∠ABD.所以 400＝ AD ，得 AD ＝ 400 3(米)．sin 30 °sin 120 °在△ ADC 中， DC ＝ 800 米，∠ ADC ＝ 150°，由余弦定理，可得AC 2＝ AD 2＋ CD 2－ 2× AD × CD × cos ∠ADC＝ (400 3)2＋ 8002－2× 400 3× 800× cos 150 °＝ 4002×13，解得 AC ＝ 400 13(米 )．故索道 AC 的长为 400 13米．三、解答题11． (2021·徽安 )设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对边的长分别是a ， b ， c ，且 b ＝ 3， c ＝1， A＝ 2B.(1) 求 a 的值；π(2) 求 sin A ＋4的值．解 (1) 因为 A ＝2B ，所以 sin A ＝ sin 2B ＝2sin Bcos B.a 2＋ c 2－b 2由正、余弦定理得a ＝ 2b ·.2ac因为 b ＝ 3， c ＝ 1，所以 a 2＝ 12， a ＝ 23.b 2＋c 2－ a 29＋ 1－ 121(2) 由余弦定理得 cos A ＝2bc＝6＝－ .3由于 0<A<π，所以 sin A ＝2＝1 ＝2 21－ cos A 1－ 3 .9故 sin A ＋π ＝ sin Acosπ π2＋ － 1 × 2＝ 4－ 2 .4＋ cos Asin＝2 2×3644 3 22π12．函数 f(x)＝ 4cos ωx·sin(ωx－6)＋ 1(ω>0)的最小正周期是 π.(1) 求 f(x)的单调递增区间；π 3π(2) 求 f(x)在 [8，8 ]上的最大值和最小值．π解(1)f(x)＝ 4cos ωx·sin(ωx－6 )＋ 1 ＝23sin ωxcos ωx － 2cos 2ωx ＋ 1π＝3sin 2ωx － cos 2ωx ＝ 2sin(2ωx －6)．2π最小正周期是2ω＝π，所以， ω＝ 1，π从而 f( x)＝ 2sin(2x －6)．ππ π令－＋ 2k π≤2x － ≤ ＋ 2k π， k ∈ Z .262解得－ ππ6＋ k π≤x ≤ 3＋ k π，k ∈Z .ππ 所以函数f(x)的单调递增区间为[ －＋ k π，＋k π](k ∈Z )．63π 3ππ π 7π(2) 当 x ∈ [8，8 ]时， 2x －6∈ [12，12] ，π 6－ 2，2]，f(x)＝ 2sin(2 x －6)∈ [2π 3π6－ 2所以 f( x)在 [，2，2.88 ]上的最大值和最小值分别为13．角 A 、 B 、 C 是△ ABC 的三个内角，假设向量A － B5，m ＝(1－cos(A ＋B)，cos2)，n ＝ (8A － B9cos 2 )，且m ·n ＝ 8.(1) 求 tan Atan B 的值；absin C2的最大值．(2)求22a ＋b － c解552A－ B (1)m·n＝－ cos(A＋ B)＋ cos2 889199＝8－8cos Acos B＋8sin Asin B＝8，∴c os Acos B＝ 9sin Asin B 得 tan Atan B＝1 . 9tan A＋ tan B993 (2)tan(A＋ B)＝＝ (tan A＋tan B)≥ ·2tan Atan B＝ .1－ tan Atan B8841(∵ tan Atan B＝9>0 ，∴A， B 均是锐角，即其正切值均为正)absin C2＝sin C1222cos C ＝ tan Ca ＋b －c2＝－13，tan(A＋ B)≤ －283所求最大值为－.。

第2讲 三角恒等变换与解三角形(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2015·新课标全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )．A ．－32 B.32 C ．－12 D.12解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.答案 D2．(2015·烟台二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则b 等于( )．A ．5B ．25 C.41 D ．5 2 解析 ∵S ＝12ac sin B ＝2，∴12×1×c ×sin 45°＝2. ∴c ＝4 2.∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－2×1×42×cos 45°. ∴b 2＝25，b ＝5. 答案 A3．(2013·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于 ( )．A.43B.34 C ．－34 D ．－43 解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.答案 C4．(2015·北京东城区期末)在△ABC 中，A ，B ，C 为内角且sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( )．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析 由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ＝sin(π－2B )，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰或直角三角形．答案 D5．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )．A.π2 B.π6 C.π4 D.π3解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.答案 D6．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )．A.6365 B.3365 C.1365D.6365或3365 解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.答案 A7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )．A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425解析 先用正弦定理求出角B 的余弦值，再求解． 由b sin B ＝csin C，且8b ＝5c ，C ＝2B ， 所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45.所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.答案 A 二、填空题8．(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 △ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315， ∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8. 答案 89．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________.解析 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理得sin ∠BAC ＝BC ·sin∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010.答案3101010．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1. 答案 111．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，则cos (α＋β)＝________.解析 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝32和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos (α＋β)＝－12.答案 －1212．(2014·四川卷改编)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC ＝________m.解析 如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°－30°＝60°，AD ＝60 m ，所以CD ＝AD ·tan 60°＝603(m)．在△ABD 中，∠BAD ＝90°－75°＝15°，所以BD ＝AD · tan 15°＝60(2－3)(m)．所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m)．答案 120(3－1) 三、解答题13．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．解 (1)由题意知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期T ＝10π＝2πω，则ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6， 又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817， ∴sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385.14．(2015·江苏卷)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 15．(2015·陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行． (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝3， 由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ， 即c 2－2c －3＝0， 因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332.法二 由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217， 又由a ＞b ，知A ＞B ， 所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.。

高考数学专题：三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________． 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝ 3，b ＝ 2，B ＝45°，则A ＝________．4.若将函数f(x)＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．5．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a ，b ＝________．6．设0≤x＜2π，且 1－sin 2x ＝sin x －cos x ，则x 的取值范围是________．7．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC→，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－32，则λ＝________． 8．设D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝________．9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，则角C ＝________．10．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a·b =____．11．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x＜2π)取得最大值时，x ＝____．12．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．三、解答题 13.已知3tan 44x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（42x ππ<<）. （Ⅰ）求tan x 的值； （Ⅱ）求2sin 22sin cos 2x x x-的值.14.已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12π⎛⎫ ⎪⎝⎭，. （Ⅰ）求实数a 和b 的值； （Ⅱ）若[0]x π∈，，求()f x 的最大值及相应的x 值 .15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知)1tan (tan 3tan tan -⋅=+C A C A ，且7,22ABC b S ∆==． 求：（I ）角B ； （II ）a + c 的值．16、在ABC ∆中，角A ，B ，C 分别所对的边为c b a ,,，且C B A A B 2s i n c o s s i n c o s s i n =+，A B C ∆的面积为34.：(Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若2=a ，求边长c.17．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2bsin A.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求△ABC 的面积及b.18．已知函数f(x)＝（sin x －cos x ）sin 2x sin x. (1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间．19、设函数=)(x f ⋅p q ,其中向量()sin ,cos sin x x x =+p , ()2cos ,cos sin x x x =-q ,x ∈R . （I ）求)3(πf 的值及函数)(x f 的最大值； （II ）求函数)(x f 的单调递增区间.20．函数f(x)＝6cos 2ωx 2＋3cos ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示， A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x 0)＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f(x 0＋1)的值．21．在△A BC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.(1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．22．已知函数f(x)＝sin x ＋acos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0. (1)求实数a 的值； (2)求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间．23．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x 2，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2，1(x ∈R)，设函数f(x)＝m ·n －1. (1)求函数f(x)的值域； (2)已知锐角三角形ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f(A)＝513，f(B)＝35，求f(C)的值．24、在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的三条边分别是a 、b 、c ，且满足2b ac =. （Ⅰ）求证：03B π<≤； （Ⅱ）求函数1sin 2sin cos B y B B+=+的值域.。

π π 2π 由3<C<2知 3 <2C<π， 1 1 ∴－1<cos2C<－2，∴2<cosB<1， 1 2－a 2 4 ∴2< a2 <1，∴1<a <3， 2 ∴3<2－a2<1， 2 → → ∴BA· BC的取值范围是(3，1)．
2

[方法规律总结] 判断三角形形状时，一般先利用所给条件将 条件式变形，结合正余弦定理找出边之间的 关系或角之间的关系．由于特殊的三角形主 要从正三角形、等腰三角形、直角三角形、 锐角三角形、钝角三角形方面命题，故分析 条件时，应着重从上述三角形满足的条件与 已知条件的沟通上着手．
(2)由(1)知 a＝c， → → → →2 ∵|BA＋BC|＝2，∴|BA＋BC| ＝4，
2 2 2 4 － a － c 2 － a ∴a2＋c2＋2accosB＝4，∴cosB＝ 2ac ＝ a2 ，
→ → ∴BA· BC＝accosB＝2－a2， ∵cosB＝cos(π－2C)＝－cos2C，
[ 解析]
sin2C b (1)由 ＝ 得， a－b sinA－sin2C
a－b sinA－sin2C a sinA b ＝ sin2C ，∴b＝sin2C. 由正弦定理得 sinB＝sin2C. 所以 B＝2C 或 B＋2C＝π. π π 2π 若 B＝2C，由3<C<2知 3 <2C<π.
2π 即 3 <B<π， ∴B＋C>π，与三角形内角和为 π 矛盾， 故 B＝2C 舍去． ∴B＋2C＝π. ∴A＝π－(B＋C)＝π－(π－2C＋C)＝C. 故△ABC 为等腰三角形．
b2＋c2－a2 9＋1－12 1 (2)由余弦定理得 cosA＝ 2bc ＝ ＝－3， 6 由于 0<A<π，所以 sinA＝ 1－cos A＝ π π π 故 sin(A＋4)＝sinAcos4＋cosAsin4 2 2 2 1 2 4－ 2 ＝ 3 × 2 ＋(－3)× 2 ＝ 6 .