58 第七章 实数基本定理 （ 1 8 时）
§1 关于实数集完备性的基本定理（ 4 时 ）
一． 确界存在定理：回顾确界概念．
Th 1 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界.
二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .
Th 2 单调有界数列必收敛.
三. Cantor闭区间套定理:
1. 区间套: 设} ] , [ {nnba是一闭区间序列. 若满足条件
ⅰ> 对n , 有 ] , [11nnba] , [nnba, 即 nnnnbbaa11, 亦即
后一个闭区间包含在前一个闭区间中;
ⅱ> ,0nnab )(n. 即当n时区间长度趋于零.
则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .
简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.
区间套还可表达为:
, 1221bbbaaann,0nnab )(n.
注:这里涉及两个数列} {na和 } {nb, 其中} {na递增,} {nb递减.
例如 } ] 1 , 1 [ {nn和} ] 1 , 0 [ {n都是区间套.但} ] 21 , ) 1 (1 [ {nnn、} ] 1 , 0 ( {n和
} ] 11 , 1 [ {nn都不是.
2. Cantor区间套定理:
Th 3设} ] , [ {nnba是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对n 有] , [nnba.简言之,
区间套必有唯一公共点.
四． Cauchy收敛准则 —— 数列收敛的充要条件:
1. 基本列:回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为Cauchy列. Cauchy列的否定: 59 2. Cauchy收敛原理:
华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性
第七章 实数的完备性
§1关于实数集完备性的基本定理
前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收
敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的
连续性公理。本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。
最后我们要证明这些命题都是等价的。
一、区间套定理
中国矿业大学数学学院 1
定义1 设闭区间列具有如下性质：
nnba,
（i）
nnba,
11,
nnba
， ,2,1n
；
（ii） 0)(lim
nn
nab
，
则称为闭区间套，或简称区间套。
nnba,
这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点
满足如下不等式：
.1221bbbaaa
nn
（1）
左端点
na
是单调递增的点列，右端点
nb
是单调递减的点列。
定理1 （区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点
nnba,
，
使得
nnba,
，，即 ,2,1n
na
nb
， .,2,1n
（2）
证 （由柯西收敛准则证明）
设是一区间套.下面证明
nnba,
na
是基本点列。
设，由区间套的条件（i）得 mn
()()()()
mnmnmmnnmmaababababa
华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性
再由区间套的条件（ii），易知
na
是基本点列。
按Cauchy收敛准则，
na
有极限，记为
。于是
limlim()lim
nnnnn
nnnbbaaa
由
na
单调递增，
nb
单调递减，易知
na
nb
，.,2,1n
下面再证明满足（2）的
是唯一的。设数
也满足
,,2,1,nba
《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明
在数学分析中，实数完备性是一个非常重要的概念。实数完备性是指实数轴上不存在任何空缺的性质，即任何实数序列都有收敛的子序列。实数完备性可由七大定理进行证明，并且这七个定理之间也可以相互证明。下面将对这七大定理进行证明，并且展示它们之间的相互证明。
第一个定理是确界定理（或称上确界定理）。它的表述是：有上界的非空实数集必有上确界。证明如下：先证明存在性，假设S是有上界的非空实数集，令M为S的一个上界，那么对于S中的任意元素x，都有x≤M。接下来我们来证明M是S的上确界。首先，我们要证明M是S的一个上界，即对于任意x∈S，x≤M。其次，我们要证明对于任意ε>0，存在一个元素s∈S，使得M-ε
第二个定理是区间套定理。它的表述是：若{[an,bn]}是一个递减的闭区间序列，并且满足an≤bn，则存在一个唯一的实数x同时含于所有闭区间[an,bn]中。证明如下：首先，我们证明了区间套的任意两个闭区间之间的交集不为空。其次，我们证明了{an}是一个递增有上界的实数序列，{bn}是一个递减有下界的实数序列。因此，根据实数完备性的定义，存在唯一的实数x满足an≤x≤bn，即x属于所有闭区间的交集。
第三个定理是柯西收敛准则。它的表述是：一个实数序列是收敛的充分必要条件是它满足柯西收敛准则，即对于任意ε>0，存在自然数N，使得当m,n≥N时，有，am-an，
第四个定理是实数域的离散性。它的表述是：任意两个实数之间必存在有理数和无理数。证明如下：假设a和b是两个实数，并且a
第五个定理是介值定理。它的表述是：若f是一个连续函数，并且在[a,b]上的取值区间是[f(a),f(b)]，则对于任意实数c介于f(a)和f(b)之间，存在x∈[a,b]使得f(x)=c。证明如下：首先，我们利用连续函数的定义证明了f([a,b])是一个闭区间。其次，我们证明了若c∉f([a,b])，则存在一个虚拟的数c0满足f(x)c0，从而得到了矛盾。因此，存在一个实数x满足f(x)=c。
第四章实数 (习题课学案)
乳山口初中 王勤敏
学习目标：
1、能熟练掌握本章的知识点，并能运用解决简单问题．
2、在解决问题的过程中，提高计算能力．
3、养成良好的学习习惯：审题习惯、圈划习惯、纠错习惯.
一、巩固练习：
1.有下列说法：
①无理数就是开方开不尽的数；②无理数是无限不循环小数；③无理数包括正无理数、零、负无理数；④无理数都可以用数轴上的点来表示．
其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．以下语句及写成的式子正确的是（ ）
A．7是49的算术平方根，即√49=±7
B．7是（−7）2的平方根，即±√（−7）2=7
C.±7是49的算术平方根，即±√49=7
D.±7是49的平方根，即±√49=±7 3.√81的平方根是（ ）
A．9 B.±9 C.3 D. ±3
4.有下列各数:3.1415, 0.2060060006……（每两个6之间依次多一个0）,0,0.223232323……，-π，√53，227，√−273.其中无理数的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.2-√5的相反数是 ,绝对值是
6.（2014•新疆）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3，[√3]=1，按此规定[√13−1]=
7.若y=√2−𝑥+√𝑥−2+1，则𝑦𝑥=
二、范例尝试：
例1：已知2a-1的平方根是±3, 4是3a+b-1的算术平方根，求a+2b的值。
变式练习：
1.已知2x-1的平方根是±6, 2x+y-1的算术平方根是5，求2x-3y-6的立方根。
2.求下列各式中x的值.
