备战中考数学圆的综合(大题培优易错试卷)及答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若tanA=12，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；

（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．

【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3．

【解析】

试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；

（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；

（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论．

试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；

（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下：

∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴DEBEBDAEDEAD．∵Rt△ABD中，tanA=BDAD=12，∴DEBEAEDE=12，

∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE；

（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x．∵OF=1，∴OE=1+2x．

在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（32x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣29（舍）或x=2，∴圆O的半径为3．

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA是解答本题的关键．

2．在⊙O 中，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，∠ACB=120°，点I是∠ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连结AD,BD．

（1）求证：AD=BD．

（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．

（3）若⊙O的半径为2，点E，F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长．

【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3）239

【解析】

分析：（1）根据内心的定义可得CI平分∠ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；

（2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD，可求出∠BAD的度数，再根据AD=BD，可证得△ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；

（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是 弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，可证得∠DAI1=∠AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.

详解：（1）证明：∵点I是∠ABC的内心

∴CI平分∠ACB

∴∠ACD=∠BCD

∴弧AD=弧BD

∴AD=BD （2）AB=DI

理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD

∴∠BCD=×120°=60°

∵弧BD=弧BD

∴∠DAB=∠BCD=60°

∵AD=BD

∴△ABD是等边三角形，

∴AB=BD，∠ABD=∠C

∵I是△ABC的内心

∴BI平分∠ABC

∴∠CBI=∠ABI

∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD

∴∠BID=∠IBD

∴ID=BD

∵AB=BD

∴AB=DI

（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧

∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD

∴∠AED=∠ACB=×120°=60°

∵圆的半径为2，DE是直径 ∴DE=4，∠EAD=90°

∴AD=sin∠AED×DE=×4=2

∵点E，F是 弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，

∴∠ADB=60°

∴弧AB的度数为120°，

∴弧AM、弧BF的度数都为为40°

∴∠ADM=20°=∠FAB

∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°

∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°

∴∠DAI1=∠AI1D

∴AD=I1D=2

∴弧I1I2的长为：

点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.

3．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，AEOC∠∠，OE交BC于点F.

（1）求证：OE∥BD；

（2）当⊙O的半径为5，2sin5DBA时，求EF的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）EF的长为212

【解析】

试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明；

（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.

试题解析：（1）连接OB， ∵CD为⊙O的直径 ，  90CBDCBOOBD.

∵AE是⊙O的切线， 90ABOABDOBD.  ABDCBO.

∵OB、OC是⊙O的半径，OB=OC. ∴CCBO. ∴CABD.

∵EC，∴EABD. ∴ OE∥BD. （2）由（1）可得sin∠C= ∠DBA=

25，在Rt△OBE中, sin∠C =25BDCD,OC=5，

4BD∴90CBDEBO

∵EC，△CBD∽△EBO.

∴BDCDBOEO

∴252EO.

∵OE∥BD，CO=OD，

∴CF=FB.

∴122OFBD.

∴212EFOEOF

4．如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．

（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；

（2）若半圆O的半径为6，求AC的长．

【答案】（1）直线CE与半圆O相切（2）4

【解析】

试题分析：（1）结论：DE是⊙O的切线．首先证明△ABO，△BCO都是等边三角形，再证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；

（2）只要证明△OCF是等边三角形即可解决问题，求AC即可解决问题．

试题解析：（1）直线CE与半圆O相切，理由如下：

∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC.

∵∠D=90°，∴∠OCE=∠D=90°，即OC⊥DE，

∴直线CE与半圆O相切．

（2）由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF，

∴△OCF是等边三角形，

∴∠AOC=120°

∴AC的长为1206180=4π.

5．（1）问题背景

如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证：2PA=PB+PC．

小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：

第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；

第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．

请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．

（2）类比迁移

如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．

（3）拓展延伸

如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=43AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为 ．

【答案】（1）证明见解析；（2）OC最小值是32﹣3；（3）32．

【解析】

试题分析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①），只要证明△APQ是等腰直角三角形即可解决问题；

（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；

（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ=43OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ=43OC，当BQ最小时，OC最小；

试题解析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；

∵BC是直径，∴∠BAC=90°，

∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，

由旋转可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，

∵∠PCA+∠PBA=180°，∴∠QBA+∠PBA=180°，∴Q，B，P三点共线，

∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，∴QP2=AP2+AQ2=2AP2，

∴QP=2AP=QB+BP=PC+PB，∴2AP=PC+PB．

（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，

∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,

由旋转可得 QB=OC，AQ=OA，∠QAB=∠OAC，∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，

∴在Rt△OAQ中，OQ=32，AO=3 ，∴在△OQB中，BQ≥OQ﹣OB=32﹣3 ，

即OC最小值是32﹣3；

（3）如图③中，作AQ⊥OA，使得AQ=43OA，连接OQ，BQ，OB．

∵∠QAO=∠BAC=90°，∠QAB=∠OAC，∵QAABOAAC=43，

∴△QAB∽OAC，∴BQ=43OC，

当BQ最小时，OC最小，易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ﹣OB，∴OQ≥2，]

∴BQ的最小值为2，