中考数学圆的综合(大题培优易错难题)含详细答案
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中考数学圆的综合(大题培优 易错难题)含详细答案
、圆的综合
1.在平面直角坐标中，边长为 2的正方形OABC的两顶点 A、C分别在y轴、x轴的正 半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕。点顺时针旋转，当 A点一次落在直线 y X上 时停止旋转，旋转过程中， AB边交直线y x于点M , BC边交x轴于点N (如图).
C
(1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
(2)旋转过程中，当 MN和AC平行时，求正方形 OABC旋转的度数；
(3)设 MBN的周长为p ,在旋转正方形 OABC的过程中，P值是否有变化？请证明 你的结论.
【答案】(1) K2 (2) 22.5。(3)周长不会变化，证明见解析
【解析】
试题分析：(1)根据扇形的面积公式来求得边 OA在旋转过程中所扫过的面积；
(2)解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出 /AOM的度数；
(3)利用全等把4MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.
试题解析：(1) ; A点第一次落在直线 y=x上时停止旋转，直线 y=x与y轴的夹角是 45°,
，OA 旋转了 45 °.
(2) 「MN //AC,
/ BMN=Z BAC=45 ,° / BNM=Z BCA=45 :
Z BMN=Z BNM,，BM=BN.
又,. BA=BC, .1. AM=CN.
又.. OA=OC, /OAM=/OCN, • . △ OAM^ △ OCN.
Z AOM=ZCON=- (/AOC-/ MON) =- (90 -45°) =22.5 . 2 2
，旋转过程中，当 MN和AC平行时，正方形 OABC旋转的度数为45 -22.5 =22.5 .
(3)在旋转正方形 OABC的过程中，p值无变化.
证明：延长BA交y轴于E点，
贝U / AOE=45 -/ AOM , / CON=90 -45 °-Z AOM=45 -/ AOM ,
/ AOE=Z CON.
又••• OA=OC, / OAE=180 -90 =90° = / OCN.
••.△OAE^AOCNI. ・•・ OA在旋转过程中所扫过的面积为 45 22
360 ，OE=ON, AE=CN
又 「 / MOE=Z MON=45 , OM=OM , ••.△OME^AOMN. .. MN=ME=AM+AE.
MN=AM+CN ,
.•尸MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.
，在旋转正方形 OABC的过程中，p值无变化.
考点：旋转的性质.
2.如图，A、B两点的坐标分别为(0, 6) , (0, 3),点P为x轴正半轴上一动点，过 点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点 Q,连接PQ, M为线段PQ的中 点.
(1)求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；
(2)当。M与x轴相切时，求点 Q的坐标；
(3)当点P从点(2, 0)运动到点(3, 0)时，请直接写出线段 QM扫过图形的面积.
【答案】 ⑴见解析；(2) Q的坐标为(3J2, 9) ；(3)日.
8
【解析】(1)解：连接AM、BM,
•. AQXAP, BQ，BP「4APQ和4BPQ都是直角三角形， M是斜边PQ的中点 .-.AM = BM = PM=QM=
1 PQ, ・•・A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
(2)解：作 MG，y轴于G, MC，x轴于C,
• •.G 是 AB 的中点，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5
，在点P运动的过程中，点 M到x轴的距离始终为4.5
则点Q到x轴的距离始终为 9,即点Q的纵坐标始终为 9,
当。M与x轴相切时则 PQ^x轴，作QH^y轴于H,
HB= 9-3=6,设 OP= HQ= x
由△BO'^QHB,彳导 x2=3XQ 8, x= 3 72
• ••点Q的坐标为(3 J2 , 9)
(3)解：由相似可得：当点 P在Pi (2, 0)时，Qi (4, 9)则Mi (3, 4.5) 当点 P在 P2 (3, 0)时，Q2 (6, 9),则 M2 (4.5, 4.5)
• •.MiM2= 9 -3= - , QiQ2=6-4= 2
2 2
线段QM扫过的图形为梯形 M1M2Q2Q1其面积为：1x3 + 2) X 4.5 63.
【解析】
【分析】
根据已知可得出三角形 APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根据这个条件结合题意直接 解答此题.
【详解】
(1)解：连接 AM、BM,
•. AQXAP, BQ，BP「4APQ和4BPQ都是直角三角形， M是斜边PQ的中点
AM = BM = PM=QM= 5 PQ, ・•・A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
(2)解：作 MG^y轴于G, MC^x轴于C,
. AM = BM
・•.G 是 AB 的中点，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5
，在点P运动的过程中，点 M到x轴的距离始终为4.5
则点Q到x轴的距离始终为 9,即点Q的纵坐标始终为 9,
当。M与x轴相切时则 PQ^x轴，作QH^y轴于H,
HB= 9-3=6,设 OP= HQ= x
由△BO'^QHB,彳# x2= 3X^ 8, x= 3
.••点Q的坐标为(3区9)
(3)解：由相似可得：当点 P在Pi (2, 0)时，Qi (4, 9)则Mi (3, 4.5) 当点 P在 P2 (3, 0)时，Q2 (6, 9),则 M2 (4.5, 4.5)
9 c 3 - -,-
• . M iM 2= 7 —3=), QiQ2= 6—4=2
线段QM扫过的图形为梯形 MiM2Q2Qi 其面积为：4 +2)X4当萼. 上 二 O
【点睛】
本题主要考查学生根据题意能找到三角形 APQ和三角形BPQ都是直角三角形，而且考验学
生对相似三角形性质的运用，掌握探索题目隐含条件是解决此题的关键 ^
3.如图，AB为。。的直径，点E在。。上，过点E的切线与AB的延长线交于点 D,连接
BE,过点。作BE的平行线，交。。于点F,交切线于点 C,连接AC
(1)求证：AC是。。的切线；
【答案】(1)见解析；(2) 30.
【解析】
【分析】
(1)由等角的转换证明出 OCA二OCE ,根据圆的位置关系证得 AC是。。的切线.
(2)根据四边形 FOBE是菱形，得到 OF=OB=BF=EF得证 OBE为等边三角形，而得出
BOE 60 ,根据三角形内角和即可求出答案 .
【详解】
(1)证明：.「CD与。。相切于点E,
OE CD ,
CEO 90 ,
又.OC PBE ,
COE OEB, /OBE=/ COA (2)连接EF,当/D= 。时，四边形FOBE是菱形. • .OE=OB,
OEB OBE ,
COE COA,
又. OCMOC OA=OE
• •• OCA0 OCE（SAS ,
• •• CAO CEO 90 ,
又「 AB为。O的直径，
・•.AC为。O的切线；
（2）解：二•四边形FOBE是菱形，
，OF=OB=BF=EF
.•.OE=OB=BE
OBE为等边三角形，
BOE 60 ,
而OE CD,
D 30 .
故答案为30.
【点睛】
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关
Ir
4.如图，AB为eO的直径，弦CD//AB, E是AB延长线上一点， CDB
1 DE是e O的切线吗？请说明理由；
【答案】（1）结论：DE是e O的切线，理由见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OD ,只要证明OD DE即可；
（2）只要证明：AC BD, VCDBsVDBE即可解决问题.
【详解】
1解：结论：DE是e O的切线. 理由：连接OD.
Q CDB ADE ,
ADC EDB,
QCD//AB,
CDA DAB , QOA OD ,
OAD ODA,
ADO EDB, Q AB是直径，
ADB 900,
ADB ODE 900,
DE OD , DE是e O的切线.
2 QCD//AB,
ADC DAB , CDB DBE, n n AC BD，
AC BD ,
Q DCB DAB , EDB DAB , EDB DCB ,
VCDBs VDBE , CD DB ， BD BE BD2 CD BE ,
AC2 CD BE . 【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会 添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型 ^
5.如图，4ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点， /PAC4 B, AD为。。的直径, 过C作CG，AD于E,交AB于F,交。O于G.
(1)判断直线PA与。O的位置关系，并说明理由； (2)求证：AG2=AFAB；
（3）若。。的直径为10, AC=2j5, AB=4j5,求4AFG的面积.
【答案】（1） PA与。O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3） 3.
【解析】
试题分析：（1）连接CD,由AD为。。的直径，可得/ACD=90,由圆周角定理，证得
/B=/D,由已知/PAC玄B,可证得 DA，PA,继而可证得 PA与。O相切.
（2）连接BG,易证得△AF8 4AGB,由相似三角形的对应边成比例，证得结论 ^
（3）连接BD,由AG2=AF?AB,可求得AF的长，易证得 △AEF^^ABD,即可求得 AE的 长，继而可求
