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2019届高考数学一轮复习第7单元立体几何测评理

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2019届高考数学一轮复习第7单元立体几何测评理 1 / 21 丰富丰富 纷纷

第七单元 立体几何

小题必刷卷 ( 十 ) 立体几何

题组一 真题集训

1. [ 2014·全国卷 Ⅰ] 如图 X10- 1, 网格纸的各小格都是正方形 , 粗实线画出的是一个几何体

的三视图 , 则这个几何体是 ( )

A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱

图 X10- 1

2. [ 2017·全国卷 Ⅱ] 如图 X10- 2, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗实线画出的是某几何体的

三视图 , 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得 , 则该几何体的体积为 ( )

A. 90π B. 63π C. 42π D. 36π

图 X10- 2

3. [ 2017·北京卷 ] 某四棱锥的三视图如图 X10- 3 所示 , 则该四棱锥的最长棱的长度为 ( )

A.3 B.2 C.2 D.2

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图 X10- 3

4 [ 2017·全国卷 Ⅲ ] 已知圆柱的高为 1, 它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面 .

上, 则该圆柱的体积为 ( )

A π B C D

.

. . .

5. [ 2015·广东卷 ] 若直线 l 1 和 l 2 是异面直线 , l 1 在平面 α 内 , l 2 在平面 β 内 , l 是平面 α

与平面 β 的交线 , 则以下命题正确的选项是( )

A.l 与 l 1, l 2 都不订交 B.l 与 l 1, l 2 都订交

C.l 至多与 l 1, l 2 中的一条订交 D.l 最少与 l 1, l 2 中的一条订交

6. [ 2016·全国卷 Ⅰ] 平面 α 过正方体 ABCD- A B CD 的极点 A, α ∥平面 CBD , α ∩平面

1 1 1 1 1 1

, α∩平面 1 1,则, 所成角的正弦值为 ( )

ABCD=m ABBA =n m n

A. B. C. D.

7. [ 2017·全国卷 Ⅰ] 某多面体的三视图如图 X10- 4 所示 , 其中正视图和左视图都由正方形和

等腰直角三角形组成 , 正方形的边长为 2, 俯视图为等腰直角三角形 , 该多面体的各个面中有

若干个是梯形 , 这些梯形的面积之和为 ( )

A. 10 B. 12

C. 14 D. 16

图 X10- 4

8. [ 2017·全国卷 Ⅱ] 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中 , ∠ ABC=120°,AB=2, BC=CC11, 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 ( )

A. B.

C. D.

9. [ 2016·全国卷 Ⅱ] α, β 是两个平面 , m, n 是两条直线 , 有以下四个命题 :

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①若是 m⊥n, m⊥ α , n∥ β , 那么 α ⊥ β. ② 若是 m⊥ α , n∥α , 那么 m⊥ n.

③若是 α∥ β , m? α , 那么 m∥β . ④ 若是 m∥ n, α∥ β , 那么 m与 α 所成的角和 n 与 β

所成的角相等 .

其中正确的命题有 . ( 填写所有正确命题的编号 )

10. [ 2017·全国卷 Ⅰ] 如图 X10- 5, 圆形纸片的圆心为 O, 半径为 5 cm, 该纸片上的等边三角

形 ABC的中心为 O.D, E, F 为圆 O上的点 , △ DBC,△ECA,△ FAB分别是以 BC, CA, AB为底边的等腰三角形 . 沿虚线剪开后 , 分别以 BC, CA, AB为折痕折起△ DBC,△ ECA,△ FAB, 使得 D, E, F 重合 ,

获取三棱锥 . 当△ ABC的边长变化时 , 所得三棱锥体积 ( 单位 :cm 3) 的最大值为 .

图 X10- 5

题组二 模拟增强

11. [ 2018·武汉调研 ] 一个几何体的三视图如图 X10- 6 所示 , 则它的表面积为 ( )

A. 28 B. 20+2 C. 20+4 D. 24+2

图 X10- 6

12. [ 2018·温州一模 ] 某几何体的三视图如图 X10- 7 所示 , 则该几何体的体积是 ( )

A. +π B. +π C. D.

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图 X10- 7

13 [ 2017·怀化四模 ] 在三棱锥

A - 中 , , 分别是 , 的中点,若 2, 与

. BCD E F AB CD AD=BC= AD BC

所成的角为 θ , EF= , 则 sin θ = ()

A. B. C. D.

14. [ 2017·合肥二模 ] 若平面 α 截三棱锥所得截面为平行四边形 , 则该三棱锥与平面 α 平

行的棱有 ( )

A.0条 B.1条 C.2条 D.1条或 2条

15. [ 2017·厦门二模 ] 如图 X10- 8 是由正三棱锥与正三棱柱组合而成的几何体的三视图 , 若

该几何体的极点都在半径为 R的球面上 , 则 R=( )

A.1B. C. D.

图 X10- 8

16. [ 2017·广州二模 ] 在棱长为 2 的正方体 ABCD- A1B1C1D1 中 , M是棱 A1D1 的中点 , 过 C1, B, M

作正方体的截面 , 则这个截面的面积为 ( )

A. B. C. D.

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17 [ 2017·郑州质检 ] 在周围体 中, 10, 2 , 2 , 则周围体

A . A- BCD AB=CD= AC=BD= AD=BC=

外接球的表面积为 ( )

- BCD

A. 50 π B. 100π C. 200π D. 300π

18. [ 2017·洛阳二模 ] 一个透明密闭的正方体容器中 , 恰好盛有该容器一半容积的水 , 任意转

动这个正方体容器 , 则水面在容器中的形状可以是 :(1) 三角形 ;(2) 四边形 ;(3) 五边形 ;(4) 六

边形 . 其中正确的结论是 ( )

A. (1)(3) B. (2)(4) C. (2)(3)(4) D . (1)(2)(3)(4)

19. [ 2017·河南六市二联 ] 如图 X10- 9, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗实线与粗虚线画出

的是某多面体的三视图 , 则该多面体外接球的表面积为 .

图 X10- 9

20. [ 2017·泉州质检 ] 如图 X10- 10, 一张纸的长、 宽分别为 2 a,2 a, A, B, C, D分别是其四条

边的中点 . 现将其沿图中虚线折起 , 使得 P, P, P, P 四点重合为一点 P, 进而获取一个多面体 .

1 2 3 4

以下关于该多面体的说法中正确的选项是 . ( 写出所有正确说法的序号 )

①该多面体是三棱锥 ;

②平面 BAD⊥平面 BCD;

③ 平面 ⊥平面 ;

BAC ACD

④该多面体外接球的表面积为 5π a2.

图 X10- 10

解答必刷卷 ( 四 ) 立体几何

题组一 真题集训

5 2019届高考数学一轮复习第7单元立体几何测评理 6 / 21 丰富丰富 纷纷

1. [ 2017·全国卷 Ⅲ] 如图 J4- 1, 周围体 ABCD中, △ ABC是正三角形 , △ ACD是直角三角形 , ∠ ABD=∠ CBD,AB=BD.

(1) 证明 : 平面 ACD⊥平面 ABC;

(2) 过 AC的平面交 BD于点 E, 若平面 AEC把周围体 ABCD分成体积相等的两部分 , 求二面角 D-AE-C的余弦值 .

图 J4-1

2. [ 2017·天津卷 ] 如图 J4- 2, 在三棱锥 P - ABC中, PA⊥底面 ABC,∠ BAC=90° . 点 D, E, N分别为棱 PA, PC, BC的中点 , M是线段 AD的中点 , PA=AC=4, AB=2.

(1) 求证 : MN∥平面 BDE;

(2) 求二面角 C - EM- N的正弦值 ;

(3) 已知点

H 在棱 上, 且直线 与直线

BE 所成角的余弦值为 , 求线段 的长

PA NH AH.

图 J4-2

3. [ 2016·全国卷 Ⅰ] 如图 J4- 3, 在以 A, B, C, D, E, F 为极点的五面体中 , 面 ABEF为正方形, AF=2FD, ∠ AFD=90°, 且二面角 D - AF - E 与二面角 C - BE - F 都是 60° .

(1) 证明 : 平面 ABEF⊥平面 EFDC;

(2) 求二面角 E - BC- A的余弦值 .

6

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2016高考数学二轮复习微专题强化练习题：13立体几何综合练习(文)

2016高考数学二轮复习微专题强化练习题：13立体几何综合练习(文)

第一部分 一 13(文)

一、选择题

1．(2015·东北三校二模)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( )

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

[答案] B

[解析] 当l、m是平面α内的两条互相垂直的直线时，满足A的条件，故A错误；对于C，过l作平面与平面α相交于直线l1，则l∥l1，在α内作直线m与l1相交，满足C的条件，但l与m不平行，故C错误；对于D，设平面α∥β，在β内取两条相交的直线l、m，满足D的条件，故D错误；对于B，由线面垂直的性质定理知B正确．

2．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

[答案] C

[解析] 若α、β换成直线a、b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题，故选C.

3．(2015·重庆文，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

A.13＋2π B.13π6

C.7π3 D.5π2

[答案] B

[解析] 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2；半圆锥的底面半径为1，高也为1，故其体积为π×12×2＋16×π×12×1＝13π6；故选B.

4.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论不成立的是( )

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

高考数学一轮复习第7讲 立体几何中的向量方法

高考数学一轮复习第7讲 立体几何中的向量方法

第7讲 立体几何中的向量方法

1．直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量

直线l上的向量e或与e01共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有02无数个．

(2)平面的法向量

如果表示向量n的有向线段所在直线03垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．

显然一个平面的法向量也有04无数个，且它们是05共线向量．

(3)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则

l∥m⇔06a∥b⇔07a＝kb，k∈R；

l⊥m⇔08a⊥b⇔09a·b＝0；

l∥α⇔10a⊥u⇔11a·u＝0；

l⊥α⇔12a∥u⇔13a＝ku，k∈R；

α∥β⇔14u∥v⇔15u＝kv，k∈R；

α⊥β⇔16u⊥v⇔17u·v＝0.

2．空间向量与空间角的关系

(1)两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝18|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角，范围是(0°，90°])． (2)直线与平面所成角的求法

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝19|e·n||e||n|，φ的取值范围是[0°，90°]．

(3)求二面角的大小

如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝20〈AB→，CD→〉.

如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉，取值范围是[0°，180°]．

确定平面法向量的方法

(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量．

(2)待定系数法：取平面内的两个相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由 n·a＝0，n·b＝0，解方程组求得．

高考立体几何专题复习[1]

高考立体几何专题复习[1]

1 立体几何

一、考点分析

基本图形

1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

①底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱★

②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形

长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体

2. 棱锥

棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3．球

球的性质：

①球心与截面圆心的连线垂直于截面；

★②22rRd（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）

★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.

顶点侧面斜高高侧棱底面OCDABHSl侧棱侧面底面E'B'D'C'A'F'BDEAFCrdR球面轴球心半径AOO1BA'C'D'B'CDOABOC'A'Ac 2 注：球的有关问题转化为圆的问题解决.

球面积、体积公式：2344,3SRVR球球（其中R为球的半径）

平行垂直基础知识网络★★★

异面直线所成的角，线面角，二面角的求法★★★

1．求异面直线所成的角0,90：

解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移

另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；

三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；

2求直线与平面所成的角0,90：关键找“两足”：垂足与斜足

解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；

高考数学大一轮复习配套课时训练：第七篇 立体几何 第3节 空间点、直线、平面的位置关系(含答案)

高考数学大一轮复习配套课时训练：第七篇 立体几何 第3节 空间点、直线、平面的位置关系(含答案)

第3节 空间点、直线、平面的位置关系

课时训练 练题感 提知能

【选题明细表】

知识点、方法 题号

平面的基本性质 2、5、6、11

线、面位置关系 1、4、6、8

共点、共面问题 3、9、10、12、16

异面直线所成的角 7、13、14、15

A组

一、选择题

1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( A )

(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件

(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件

解析:两直线异面⇒两直线没有公共点,反之不然,所以“两直线异面”是“这两直线没有公共点”的充分不必要条件,故选A.

2.有以下命题:

①若平面α与平面β相交,则它们只有有限个公共点;②经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;③经过两条相交直线有且只有一个平面;④两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.

其中,真命题的个数是( B )

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

解析:将四个命题一一验证知,只有①不正确,故选B.

3.以下四个命题中,正确命题的个数是( B )

①不共面的四点中,其中任意三点不共线;

②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则A、B、C、D、E共面;

③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;

④依次首尾相接的四条线段必共面

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:①中,假设存在三点共线,则这四点必共面,与题设矛盾,故①正确;

②中,若A、B、C三点共线,则A、B、C、D、E有可能不共面,故②错误;

③中,如图所示正方体的棱中,a、b共面,a、c共面,而b、c异面,故③错误;

④中,空间四边形的四条线段不共面,故④错误,故选B.

4.若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是( D )

(A)平行 (B)异面

(C)相交 (D)平行、异面或相交