考研数学解题思路巧用公式与解题技巧

小学数学解题思路技巧二年级用

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余数的妙用

本系列贡献者：

［知识要点］

1．被除数=除数×商＋余数；

2．余数要比除数小；

3．会解有余数除法的应用题。

［范例解析］

例1 如图1-1。把14个乒乓球平均分给三个班，每班分得几个？还余下几个？

解 14÷3 = 4余2

每班分得4个还余2个。

例2 下面三个竖式，哪个对？哪个不对？为什么不对？

解 第一个竖式不对，它的余数8比除数5还大，还可商1，即商应为8；

第二个竖式也不对，因商和除数的积不能大于被除数；

第三个竖式是对的，余数3小于除数5。

说明 计算有余数的除法，余数一定要比除数小。这时被除数、除数、商和余数的关系是：

被除数 = 除数×商＋余数

被除数－余数 = 除数×商

例3 把11、12、13、14、15、16、17分别除以3时，各得哪些余数？

解 11÷3 = 3余2； 12÷3 = 4余0； 13÷3 = 4余1； 14÷3

= 4余2；

15÷3 = 5余0； 16÷3 = 5余1； 17÷3 = 5余2。

说明 一串连续数除以同一个数，因为它们的余数小于除数，所以余数重复出现。

“余数”在我们生活中还有不少的用处呢！

例4 国庆节挂彩灯，用六种颜色的灯泡，按红、黄、蓝、白、绿、紫的次序装配，总共要装50只灯，每种颜色的灯泡各需要多少只？

解 可以这样想，六种颜色的灯泡作为一组，50只灯泡可以分成

50÷6 = 8（组）余2（只）

于是，其中有四种颜色的灯泡各配8只，另两种颜色的灯泡各配9只。

例5 今天是星期三，再过20天是星期几？

解 今天是星期三，因为一个星期有7天，以星期一为星期的第一天计算，因已经过了3天。所以有

调整法趣谈

本系列贡献者：与你的缘

［知识要点］

１．调整法的意义。

我们看下面的点子图：

●●●●● ●●

图3-16

它一共有二组，一组有5个点子，另一组有两个点子，图中一共有多少个点子？

算式：5＋2 = 7（个）。现在问：怎样改变点子图，来表示算式2＋5呢？我们可用交换点子位置或移动点子位置来改变。如图所示：

这种通过交换点子位置或移动点子位置的操作过程，我们较做调整法。

２．调整法的用途，我们通过举例来说明。

［范例解析］

例1 右面正方形方格中的数字，怎样移动才能使横行和竖行三个数相加的和相等？

分析 我们可从图中观察到：竖行三数的和都是6，它们相等，打上“√”号，而横行三数的和都不相等，因此，要调整位置的是横行的数字。我们只要按照下面图3-19箭头所示进行交换调整，问题就得到解决。

说明 凡是符合条件的横行或竖行打上“√”，可使问题一目了然，方便调整。

例2 图中有“＋”、“－”、“×”、“÷”四种运算符号。移动这些符号，使每行每列的四种符号不相同。

分析 通过观察，发现3-20中只有从左数第二列符号与题目要求不同，因此我们先考虑列的情况，第一列多“＋”号，缺“÷”号，而第三列多“÷”号缺“＋”，如下图交换后，把符合条件的行与列打上“√”。

经过第一次交换后，图3-21中只有第一行和第二行以及第三列和第四列不符合条件，而第三列多“×”号，缺“－”号，第四列多“－”号，缺“×”号，只要再按如图3-22交换就完全符合条件。

说明 较复杂的方阵游戏，多调整几次，是可解决问题的，调整中不想走弯路，这就要靠智慧了。

例3 把1~7这七个数填在图3-23中的小圆圈中，使每一个圆周上四个数字的和都等于17。

分析 此题有两种做法。

第一种做法：开始在小圆圈里任填1~7这七个数，并且两个大圆周上的四个数的和都不等于17。如图3-24的填法。

我们观察到，只要首先将2与7交换，就能使右边大圆周上四个数字的和等于17。这时，左边大圆周上四个数的和是：1＋3＋7＋4 = 15比17少2，要使右边圆周上的四个数字的和不变，只要4与6交换即可。

第 32 卷 第 4 期2019 年 4 月江西电力职业技术学院学报Journal of Jiangxi Vocational and Technical College of ElectricityVol.32 No.4Apr.2019

巧用等价无穷小与泰勒公式求极限

黄 辉

（长春理工大学光电信息学院，吉林 长春 130000）

摘 要：泰勒公式是高等数学考试和研究生入学考试中必考考点，利用泰勒公式可以解决很多数学问题。就近几年考研真题中出现的极限问题，总结出将泰勒公式与洛必达法则和等价无穷小替换相结合使用求极限方可更简单省时。关键词：极限；泰勒公式；洛必达法则；等价无穷小中图分类号：O171 文献标识码：B 文章编号：1673-0097(2019)04-0050-02

极限理论是高等数学这门课程的基础，也是其开篇

第一个非常重要的概念，后续章节的导数、微分、积分、

级数等概念都是通过极限定义来刻画的［1］。求解极限是

日常教学中重点，也是高等数学考试及考研数学中必考

的知识点。常用的计算方法有：重要极限公式、等价无

穷小替换、极限存在准则、洛必达法则、泰勒公式等。洛

必达法则是解决未定式极限的有效工具，但也有很强的

局限性，有些情况下使用洛必达法则会增大极限的计算

量，甚至无法求解出答案。而等价无穷小替换和利用泰

勒公式求极限可以很大程度地简化极限的计算过程，起

到化繁为简的效果，若将这几种方法结合使用则会起到

事半功倍的作用。

例1：填空________.（2019年考研数二）

解析一：极限为1∞，应用洛必达法则有，其中，故原式解析二：应用第二重要极限公式，有

分析：本题两种解题方法难易程度相当；但是有时

用洛必达法则计算极限并不是最快捷的方法，甚至无法

计算出结果。

例2：当时，若与是同阶无穷小，则

（ ）.（2019年考研数一）

解析一：

应用洛必达法则有

，

因为C是不为1，不为

0的常数，所以k-1=2，即k=3。解析二：由等价无穷小知，当时，，

数学选择题的八大方法

数学选择题的八大方法

考研数学共有八个选择题，都是单选题，每道题四分，虽说都是小题，但有很多同学却对这些小题感到棘手，其中不乏重点大学中一些数学基础很好的同学，究其原因，是因为选择题的答题思路与填空题和解答题的答题思路有很大的差异。

如果用填空题和解答题的答题思路去做选择题，很可能会遇到不少麻烦，或者题目做不出来，或者题目能做出来但却花费了太多的时间，为了帮助大家克服这个问题，下面就和各位考生分享一下做选择题解题的八大方法。

▶方法1：直推法

直推法即直接分析推导法。直推法是由条件出发，运用相关知识，直接分析、推导或计算出结果，从而作出正确的判断和选择。计算类选择题一般都用这种方法，其它题也常用这种方法，这是最基本、最常用、最重要的方法。

▶方法2：反推法

反推法即反向推导或反向代入法。反推法是由选项(即选择题的各个选项)反推条件，与条件相矛盾的选项则排除，相吻合的则是正确选项，或者将某个或某几个选项依次代入题设条件进行验证分析，与题设条件相吻合的就是正确的选项。

▶方法3：反证法

在选择题的4个选项中，若假设某个选项不正确(或正确)可以推出矛盾，则说明该选项是正确选项(或不正确选项)。选择先从哪个选项着手证明，须根据题目条件具体分析和判断，有时可能需要一些直觉。

▶方法4：反例法

如果某个选项是一个命题，要排除该选项或说明该命题是错误的，有时只要举一个反例即可。举反例通常是用一些常用的、比较简单但又能说明问题的例子。如果大家在平时复习或做题时适当注意积累一下与各个知识点相关的不同反例，则在考试中可能会派上用场。

▶方法5：特例法(特值法)

如果题目是一个带有普遍性的命题，则可以尝试采取一种或几种特殊情况、特殊值去验证哪些选项是正确的、哪些是错误的，或者哪些极有可能是正确的或错误的.，从而做出正确的选择。 特例法用于以下几种情况时特别有效：(1)条件和结论带有一定的普遍性时，通过取特例来确定或排除某些选项;(2)对于不成立或极有可能不成立的结论需用举反例的方法证明其是错误时;(3)对于一些难以作出判断的题，假设在特殊情况下来考察其正确与否。