2007年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理科)试卷参考答案

2007年一般高等学校招生全国一致考试(福建卷)数学(理科)试卷参照答案

2007 年一般高等学校招生全国一致考试（福建卷）

数学（理科）试卷

参照答案

一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，

只有一项为哪一项切合题目要求的。

1． D 2．B 3． C 4．B 5． A 6． A

7． C 8．D 9． D 10．B 11．B 12． D

二、填空题：此题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应地点。

2

13． [-5， 7] 14． 2 1 15．

3

16．答案不独一，如“图形的全等” 、“图形的相像” 、“非零向量的共线” 、“命题的充要条件”等等。

三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分 12 分）

解：

（Ⅰ）∵ C=π -（ A+B ） ,

1 3

∴ tanC=-tan（ A+B ）=- 4 5 1

1 1 3

4 5

又∵ 0

∴C= 3 。

4 3

（Ⅱ）∵ C= ,

4

∴ AB 边最大，即 AB= 17 .

又∵ tanA

∴角 A 最小， BC 边为最小边。 2007年一般高等学校招生全国一致考试(福建卷)数学(理科)试卷参照答案

tan A sin A 1

(0, ), cos A 4 , 且 A 由

sin2 A cos2 A 1, 2

得 sin A 17

17

由ABBC得：

sin C sin A

BC AB sin A 2 ,

sin C

因此，最小边 BC 2 .

18．（本小题满分 12 分）

本小题主要考察直线与平面的地点关系， 查空间想象能力、逻辑思想能力和运算能力。满分

二面角的大小， 点到平面的距离等知识，

12 分。

考

解法一：

（Ⅰ）取 BC 中点 O，连接 AO

∵△ ABC 为正三角形，∴ AO ⊥ BC ．

∵正三棱柱 ABC-A 1BC1 中，平面 ABC ⊥平面 BCC1B 1，

∴ AO ⊥平面 BCC1 B1

连接 B1O ，在正方形 BB 1C1C 中， O、 D 分别为 BC、 CC1 的中点，

∴ B1 O⊥ BD,

∴ AB 1⊥BD．

在正方形 ABB 1A 1 中， AB 1⊥A 1B ，

∴ AB 1⊥平面 A 1BD ．

（Ⅱ）设 AB 1 与 A 1B 交于点 G1 在平面 A 1BD 中，作 GF⊥ A 1D 于 F，连接 AF ，由（Ⅰ）

得 AB 1⊥平面 A 1BD ， 2007年一般高等学校招生全国一致考试(福建卷)数学(理科)试卷参照答案

∴ AF⊥A1D，

∴∠ AFG 为二面角 A-A 1D-B 的平面角 .

在△ AA 1D 中，由等面积法可求得 AF 4 5 ,

5

又∵ AG 1 AB1 2 ,

2

∴ sin AFG AG 2 10

AF 4 5 ,

4

5

（Ⅲ）△ A 1BD 中， BD A1D 5, A1B 2 2, SA1BD6.

S△ BCD =1

在正三棱柱中， A 1 到平面 BCC1B1 的距离为 3 .

设点 C 到平面 A 1BD 的距离为 D ．

由 VA BCD VC A1BD 得 1 S BCD3 1 S A1 BD d ,

1 3 3

3S BCD 2 ∴ d .

S A1BD 2

∴点 C 到平面 A 1BD 的距离为 2 ，

2

解法二：

（Ⅰ）取 BC 中点 O，连接 AO.

∵△ ABC 为正三角形，∴ AO ⊥ BC ．

∵在正三棱柱 ABC-A 1B 1C1 中，平面 ABC ⊥平面 BCC 1B 1， 2007年一般高等学校招生全国一致考试(福建卷)数学(理科)试卷参照答案

∴ AO ⊥平面 BCC1 B1.

取 B1C1 中点 O1，以 O 为原点， OB, OO1 ,OA 的方向为 x、y、z 轴的正方面成立空间

直角坐标系，则 B（ 1， 0）， D（-1， 1， 0），A 1（ 0，2， 3 ）， B1（ 1， 2，0），

∴ AB1 (1,2, 3) ， BD ( 2,1,0) ， BA1 ( 1,2, 3) .

∵ AB1 BD2 2 0 0，AB1BA1 1430，

∴ AB1 BD, AB1 BA1,

∴ AB 1⊥平面 A 1BD ．

（Ⅱ）设平面 A 1BD 的法向量为 n=（x,y,z） .

AD ( 1,1, 3) ， AA1 (0,2,0) .

∵ n AD, n AA1

n AD 0,

∴

n AA1 0,

∴ x y 3z 0, y 0,

2y 0, ∴

3x.

x

令 z=1 得 n ( 3,0,1) 为平面 A 1AD 的一个法向量 .

由（Ⅰ）知 AB 1⊥平面 A 1BD,

∴ AB1 为平面 A 1BD 的法向量 .

cos n, AB1 n AB1 3 3 6 .

n AB1 2 2 2 4

∴二面角 A-A 1D-B 的大小为 arccos 6 .

4

（Ⅲ）由（Ⅱ） ， AB 为平面 A 1BD 法向量 .

1

∵ BC ( 2,0,0), AB (1,2, 3) ,

1

∴点 C 到平面 A 1BD 的距离 d BC AB1 2 2

.

AB1 2 2 2

19．（本小题满分 12 分）

本小题考察函数、 导数及其应用等知识， 考察运用数学知识剖析和解决实质问题的能 2007年一般高等学校招生全国一致考试(福建卷)数学(理科)试卷参照答案

力。

解：

（Ⅰ）分企业一年的收益 L （万元）与售价 x 的函数关系式为：

L= （ x-3-a）（ 12-x ） 2,x∈ [9,11]

（Ⅱ） L x

12 2

2 x 3 a 12 x

x

=（ 12-x）（ 18+2a-3x ）

令 L 0 得 x 6 2

a 或 x=12（不合题意，舍去） .

3

∵ 3≤ a≤ 5，∴ 8 6 2 a 28

3 3

在 x 6 2 a 双侧 L 的值由正变负 .

3

因此（ 1）当 8 6 2 a 9 即 3 a 9 时 ,

3 2

Lmax L(9) (9 3 a)(12 9)2 9(6 a)

（2）9 6 2 a 28即9 a 5 时

3 3 2

Lmax L(6 2 a) (6 2 a 3 a)[12 (6 2 a)] 2 4(3 1 a)3

3 3 3 3

9(6 a), 3 a 9

2

因此 Q( a) 1 a)3 ,

4(3 9

a 5

3 2

9

答：若 3 a ，则当每件售价为 9 元时，分企业一年的收益 L 最大，最大值 Q（a）

2

9 a 5 ，则当每件售价为 (6 2 =9 （ 6-a）（万元）；若 a) 元时，分企业一年的收益L

2 1 a)3 （万元） 3

最大，最大值 Q (a) 4(3

3

20．（本小题满分 12 分）

本小题主要考察直线、 抛物线、 向量等基础知识， 考察轨迹方程的求法以及研究曲线几何

特点的基本方法，考察运算能力和综合解题能力 .满分 14 分.

解法一： 2007年一般高等学校招生全国一致考试(福建卷)数学(理科)试卷参照答案

（Ⅰ）设点 P( x， y) ，则 Q( 1，y) ，由 QP QF FP FQ 得：

(x 1，0) (2， y) ( x 1， y) ( 2， y) ，化简得 C : y2 4x .

（Ⅱ）设直线 AB 的方程为：

x my 1(m 0) .

设 A(x1，y1) ， B( x2，y2 ) ，又 M 1， 2 ，

m

y 2 ，

4x ，消去 x 得： 联立方程组

x

my ，

1

y 2 4my 4 0 ， ( 4m)2 12 0，故

y1 y2 ， 4m

y1 y2 ．

4

由 MA 1AF ， MB 2BF 得：

y1 2

1 y1 ， y2 2

m 2 y2 ，整理得：

m

1 2 2

1 ， 2 1 ，

my1 my2

1 2 2

2 1 1

m y1 y2

2 2 y1 y2

m y1 y2

2

2 4m

m 4

0