等比数列和等差数列的求和公式

题目三：等比数列na中, 13a,2nnskc,（1）.求na的通项公式；（2）.设nnbna,数列nb的前n项和为nT，求证3nT；

解：（1）1122nnnnskcskc

解得：

11111(2)(2)2222nnnnnnnnasskckckkk；

而13a，解得3k。

所以：132nna

（2）132nnnbnan

所以有：012313(122232422);nnTn ①

01112131(1)123(122232422);nnTn

即：123423(122232422)nnTn ②

由①式—②式得： 0123123{12(21)2(32)2(43)2[(1)]22}nnnnTTnnn

3[(21)2]nnnTn

所以3[(1)21]nnTn

故当1n时；3nT成立。

1 等差数列、等比数列的证明

例1．已知数列na满足11a，13232nnaann，

（Ⅰ）求证：数列nan是等比数列；

（Ⅱ）求数列na的通项公式。

例2．已知数列na满足12a，112nnnaaa，

（Ⅰ）求证：数列1na是等差数列；

（Ⅱ）求数列na的通项公式。

例3．已知数列na，nS是它的前n项和，且*142nnSanN，11a

（Ⅰ）设*12nnnbaanN，求证：数列nb是等比数列；

（Ⅱ）设2nnnac，求证：数列nc是等差数列；

（Ⅲ）求数列na的通项公式。

2

练习1．已知数列na满足15a，*123nnnaanN，

（Ⅰ）求证：数列3nna是等比数列；

（Ⅱ）求数列na的通项公式。

2．已知数列na满足11a，1222nnnaan，

（Ⅰ）求证：数列2nna是等差数列；

（Ⅱ）求数列na的通项公式。

3．数列na的前n项和nS，且131nnaS ,（1）证明数列na等比数列；（2）求通项公式.

4.已知数列na的前n项和为nS，11a ，数列nnSa是公差为2的等差数列.

（1）证明2na是等比数列；（2）求通项公式.

5. 已知数列na的前n项和为nS，11a ，正整数n对应的nnSan,,成等差数列.

（1）证明2nSn成等比数列；（2）求nS

求通项公式 3 （一） 给出递推公式求通项公式

类型一、，可利用累加法已知关系式)(1nfaann

例1中在数列na，已知,11a当2n时，有)2(121nnaann，求数列的通项公式.

变式：中在数列na，,11a)2(311naannn，求通项.

类型二、)(1nnfaan•已知关系式，可利用累乘法

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第 1 页 共 4 页 数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考中占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11

2、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn

二、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例1、已知数列{an}中，a1＝2，点(an－1，an)(n>1，且n∈N*)满足y＝2x－1，则a1＋a2＋„＋a10＝________.

练一练①在递增数列{an}中，nS表示数列{an}的前n项和，)(,111Nnccaaann为常数，，且321,,Saa成等比数列。

（1）求c的值。

（2）若nnnnbbbNnab242,,)31(2求。

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第 2 页 共 4 页 三、裂项相消法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）111)1(1nnnnan （2）)11(1)(1knnkknnan

（3）)121121(21)12)(12(1nnnnan

（4）nnnnan111

练一练①在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.

等比等差混合数列求和

等比数列和等差数列是数学中常见的两种数列，它们在实际问题中应用广泛。实际问题中常常出现的数列往往不是纯等差数列或等比数列，而是等差等比混合数列。混合数列求和需要分别求出等差和等比数列的和，然后将其相加。在本文中，我们将详细介绍等比等差混合数列求和的方法。

一、等差数列求和

首先我们来回顾一下等差数列求和的方法。等差数列的公式为：

an = a1 + (n - 1)d

其中，an表示等差数列的第n项，a1为首项，d为公差，n为项数。等差数列的前n项和Sn可以通过求和公式计算得出：

Sn = (n/2) * (a1 + an)

例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，首项为1，公差为2，项数为5，可以通过等差数列求和公式计算得到：

S5 = (5/2) * (1 + 9) = 25

那么，如果我们需要求解的数列是等差等比混合数列，我们应该如何求和呢？假设数列的第n项为Sn，前n项和为An，我们需要研究等差等比混合数列的递推公式，然后求出前n项和的通项公式。

二、等比数列求和

下面我们来回顾一下等比数列求和的方法。等比数列的公式为：

an = a1 * r^(n - 1)

其中，an表示等比数列的第n项，a1为首项，r为公比，n为项数。等比数列的前n项和Sn可以通过求和公式计算得出：

Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)

例如，对于等比数列1, 2, 4, 8，首项为1，公比为2，项数为4，可以通过等比数列求和公式计算得到：

S4 = (1 * (1 - 2^4)) / (1 - 2) = 15

三、等差等比混合数列求和

对于等差等比混合数列，我们需要将等差数列的和和等比数列的和分别计算出来，然后将它们相加。假设等差等比混合数列的前n项和为Sn，等差数列的和为An，等比数列的和为Bn，我们可以得到以下的递推公式：

An = (n/2) * (a1 + an)