专题04 因式分解篇(解析版)
- 格式：pdf
- 大小：150.77 KB
- 文档页数：8
知识回顾专题04 因式分解
考点一：因式分解
1. 因式分解的概念：
把一个多项式写成几个整式的乘法的形式，这种变形叫做因式分解。
2. 因式分解的方法：
①提公因式法：
cbamcmbmam
公因式的确定：公因式＝各项系数的最小公倍数×相同字母（式子）的最低次幂。若多项式首
项是负的，则公因式为负。
用各项除以公因式得到另一个式子。
②公式法：
平方差公式：
bababa22
。
完全平方公式：222
2bababa
③十字相乘法：
利用十字交叉线将二次三项式进行因式分解的方法叫做十字相乘法。
对于一个二次三项式cbxax2
，若满足
21aaa，
21ccc，且bcaca
1221，那么二次
三项式cbxax2
可以分解为：
22112
cxacxacbxax。
当1a时，二次三项式是cbxx2
，此时只需
21ccc，且bcc
21，则cbxx2
可分
解为：
212
cxcxcbxx。
④分组分解法：
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处
理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解--分组分解法.
即先对题目进行分组，然后再分解因式。（分组分解法一般针对四项及以上的多项式）
3. 因式分解的具体步骤：
（1）先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。
微专题（2）观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十字相乘法。四项
及以上则考虑分组分解。
（3）检查因式分解是否分解完全。必须分解到不能分解位置。
再无特比说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。
1．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2
﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2
﹣1＝（x﹣1）2
C．x2
﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2
﹣x
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；
D选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：C．
2．（2022•永州）下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+ay＝a（x+y）+1B．3a+3b＝3（a+b）
C．a2+4a+4＝（a+4）2D．a2+b＝a（a+b）
【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．
【解答】解：A选项，ax+ay＝a（x+y），故该选项不符合题意；
B选项，3a+3b＝3（a+b），故该选项符合题意；
C选项，a2+4a+4＝（a+2）2
，故该选项不符合题意；
D选项，a2
与b没有公因式，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．（2022•湘西州）因式分解：m2+3m＝ ．
【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．
【解答】解：原式＝m（m+3）．
故答案为：m（m+3）．
4．（2022•广州）分解因式：3a2
﹣21ab＝ ．【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．
【解答】解：3a2
﹣21ab＝3a（a﹣7b）．
故答案为：3a（a﹣7b）．
5．（2022•常州）分解因式：x2y+xy2
＝ ．
【分析】直接提取公因式xy，进而分解因式得出答案．
【解答】解：x2y+xy2
＝xy（x+y）．
故答案为：xy（x+y）．
6．（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．
【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．
故选：A．
7．（2022•菏泽）分解因式：x2
﹣9y2
＝ ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．
故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．
8．（2022•烟台）把x2
﹣4因式分解为 ．
【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．
【解答】解：x2
﹣4＝（x+2）（x﹣2），
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
9．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2
﹣6（m+n）+9＝ ．
【分析】将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．
【解答】解：原式＝（m+n）2
﹣2•（m+n）•3+32
＝（m+n﹣3）2
．
故答案为：（m+n﹣3）2
．
10．（2022•苏州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2
﹣y2
＝ ．
【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．
【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6，
∴x2
﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）＝4×6
＝24．
故答案为：24．
11．（2022•衡阳）因式分解：x2+2x+1＝ ．
【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2
，
故答案为：（x+1）2
．
12．（2022•济南）因式分解：a2+4a+4＝ ．
【分析】利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：原式＝（a+2）2
，
故答案为：（a+2）2
．
13．（2022•宁波）分解因式：x2
﹣2x+1＝ ．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x2
﹣2x+1＝（x﹣1）2
．
14．（2022•河池）多项式x2
﹣4x+4因式分解的结果是（ ）
A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x﹣2）2
．
故选：D．
15．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3
＝（a+b）（a2
﹣ab+b2
）恒成立，则下列关系式正确的是（ ）
A．a3
﹣b3
＝（a﹣b）（a2+ab+b2
）
B．a3
﹣b3
＝（a+b）（a2+ab+b2
）
C．a3
﹣b3
＝（a﹣b）（a2
﹣ab+b2
）
D．a3
﹣b3
＝（a+b）（a2+ab﹣b2
）
【分析】把所给公式中的b换成﹣b，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a3+b3
＝（a+b）（a2
﹣ab+b2
），
∴a3
﹣b3
＝a3+（﹣b3
）
＝a3+（﹣b）3
＝[a+（﹣b）][（a2
﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]＝（a﹣b）（a2+ab+b2
）
故选：A．
16．（2022•绵阳）因式分解：3x3
﹣12xy2
＝ ．
【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．
【解答】解：原式＝3x（x2
﹣4y2
）
＝3x（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：3x（x+2y）（x﹣2y）．
17．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝ ．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）
＝2（a+1）2
．
故答案为：2（a+1）2
．
18．（2022•辽宁）分解因式：3x2y﹣3y＝ ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：3x2y﹣3y
＝3y（x2
﹣1）
＝3y（x+1）（x﹣1），
故答案为：3y（x+1）（x﹣1）．
19．（2022•恩施州）因式分解：a3
﹣6a2+9a＝ ．
【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2
﹣6a+9）＝a（a﹣3）2
，
故答案为：a（a﹣3）2
．
20．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2
﹣4044x+2022＝ ．
【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2022（x2
﹣2x+1）
＝2022（x﹣1）2
．
故答案为：2022（x﹣1）2
．
21．（2022•常德）分解因式：x3
﹣9xy2
＝ ．
【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．
【解答】解：x3
﹣9xy2＝x（x2
﹣9y2
）
＝x（x+3y）（x﹣3y），
故答案为：x（x+3y）（x﹣3y）．
22．（2022•怀化）因式分解：x2
﹣x4
＝ ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x2
（1﹣x2
）
＝x2
（1+x）（1﹣x）．
故答案为：x2
（1+x）（1﹣x）．
23．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之
值为何？（ ）
A．﹣12B．﹣3C．3D．12
【分析】根据十字相乘法可以将多项式39x2+5x﹣14分解因式，然后再根据多项式39x2+5x﹣14可因式
分解成（3x+a）（bx+c），即可得到a、b、c的值，然后计算出a+2c的值即可．
【解答】解：∵39x2+5x﹣14＝（3x+2）（13x﹣7），多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），
∴a＝2，b＝13，c＝﹣7，
∴a+2c
＝2+2×（﹣7）
＝2+（﹣14）
＝﹣12，
故选：A．
24．（2022•内江）分解因式：a4
﹣3a2
﹣4＝ ．
【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：a4
﹣3a2
﹣4
＝（a2+1）（a2
﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
25．（2022•广安）已知a+b＝1，则代数式a2
﹣b2+2b+9的值为 ．
【分析】方法一：直接将a2
﹣b2
进行因式分解为（a+b）（a﹣b），再根据a+b＝1，可得a2
﹣b2
＝a﹣b，
由此可得原式＝a+b+9＝10．
方法二：将原式分为三部分，即a2
﹣（b2
﹣2b+1）+10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得
