数理统计基本知识

第八章 假设检验习题

1．某种零件的尺寸方差为σ2=1.21，对一批这类零件检验6件得尺寸数据（毫米）为：

32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03

取α=0.05时，问这批零件的平均尺寸能认为是30.50毫米？（设零件尺寸服从正态分布）

2．五名学生彼此独立地测量同一块土地，分别测量得面积为：（公里2）：

1.27 1.24 1.21 1.28 1.23

设测定值服从正态分布，试根据这些数据检验这块土地的面积是否为1.23

（公里2），取α=0.05

3．一种元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现在从一批这种元件中随机抽取25件测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差σ=100小时的正态分布，试在显著性水平α=0.05下确定这批元件是否合格。

4．某工厂欲引入一台新机器，由于价格较高，故工程师认为只有在引入该机器能使产品的生产时间平均缩短 8.05％方可采用，现随机进行6次试验，测得平均节约时间4.4％，样本标准差为0.32％，设新机器能使生产时间缩短的时数服从正态分布，问该厂是否引进这台新机器？（α=0.05）

5．某商店人员到工厂去验收一批产品，双方协议产品中至少只要有60％的一级品，今抽查了600件产品，其中有一级品346件，问可否接收这批产品？（α=0.05）

6．某香烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取容量大小相同的烟叶标本测其尼古丁含量的毫克数，实验实分别做了六次试验测定，数据记录如下：

甲 27 28 23 26 30 22

乙 28 23 30 25 21 27

试问这两种尼古丁含量有无显著差异？已知α=0.05，假定香烟尼古丁含量服从正态分布，且方差齐性。

7．为了降低成本，想变更机件的材质，试研究：材质变化后，零件外径的方差是否改变了？原来材质的零件外径标准差为0.33毫米，材质变更后，零件外径尺寸的数据如下，（α=0.05）

习题一

1.1 任意抛掷一颗骰子,观察出现的点数.设事件A表示“出现偶数点”,事件B表示“出现的点数能被3整除”.

(1) 写出试验的基本事件空间,把事件A及B表示为基本事件的集合;

(2) 事件

BAABBABA,,,,

分别表示什么事件? 并把它们表示为基本事件(即样本点)的集合.

1.2 袋中有10个球,分别标有号码1～10, 其中1, 2, 3, 4, 5号球为红球, 6, 7, 8号球为白球, 9, 10号球为黑球.设试验为

(1) 从袋中任取一球,观察其颜色;

(2) 从袋中任取一球,观察其号码.

分别写出两个试验的基本事件空间,并指出其中的基本事件是否是等可能的.

1.3 设A,B,C为三个事件,试将下列事件用A,B,C表示出来:

(1) 三个事件都不发生;

(2) 三个事件不都发生;

(3) 三个事件恰有一个发生;

(4) 三个事件恰有两个发生;

(5) A发生,B与C都不发生;

(6) A与B都发生,C不发生;

(7) 三个事件至少有一个发生;

(8) 三个事件至少有两个发生;

(9) 三个事件至多有两个发生;

(10) 三个事件至多有一个发生.

1.4 设A,B为随机事件,试证明下列等式:

(1) BBABA;

(2) BCACCBA)(;

(3) ABABABBA)(;

(4) )()()(ABBAABBA.

1.5 从分别标有1至n2的n2张卡片中无放回地任取3张,求卡片号大于、小于和等于n的各有一张的概率.

1.6 某班有12名学生是在1987年出生的,求:

(1) 这12名学生中至少有两人是在同一天出生的概率;

(2) 这12名学生中至少有一人是五月一日出生的概率. 1.7 把10本书任意地放在书架上,求其中指定的5本书放在一起的概率.

1.8 某人的5把钥匙中有2把可以打开房门.现在他无放回地试开房门,求:

(1)第三次打开房门的概率;

概率论与数理统计基本知识点

一、概率的基本概念

1．概率的定义:

在事件上的一个集合函数P，如果它满足如下三个条件：

（1）非负性 AAP,0)(

（2）正规性 1)(P

（3）可列可加性 若事件,...,2,1,nAn两两互斥

则称P为概率。

2．几何概型的定义:

若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S，每一基本事件与S内的点一一对应，则任一随机事件A对应S中的某一子区域D。（若事件A的概率只与A对应的区域D的度量成正比，而与D的形状及D在S中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。

的度量对应区域的度量对应区域SD)()()(AmAmAP

3．条件概率与乘法公式：

设A,B是试验E的两个随机事件，且0)(BP,则称)()()|(BPABPBAP为事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。（其中)(ABP是AB同时发生的概率）

乘法公式：)|()()|()()(BAPBPABPAPABP

4．全概率公式与贝叶斯公式：

（全概率公式）定理：设nAAA...,21是样本空间Ω的一个划分，niAPi,...,2,1,0)(，B是任一事件，则有niiiABPAPBP1)|()()(。

（贝叶斯公式）定理：设nAAA...,21是样本空间Ω的一个划分，niAPi,...,2,1,0)(，B是任一事件，则nkkkiiABPAPABPAPBAPni1)|()()|()()|(,,...,2,1。

5．事件的独立性：

两事件的独立性：（定义）设A、B是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。（直观解释）A、B为试验E的二事件，若A、 B的发生互不影响。

二、随机变量和分布函数: 1．基本概念:

（1）随机变量的定义:随机变量X是定义于样本空间上的单值实函数。

随机变量 = 变量(函数) + 随机(概率)

（2）分布函数的定义:设X是一随机变量，x是任意实数，称函数)()(xXPxF为随机变量X的分布函数。

第五章 样本及抽样分布

从本章开始, 我们将讲述数理统计的基本内容. 数理统计作为一门学科诞生于19世纪末20世纪初, 是具有广泛应用的一个数学分支, 它以概率论为基础, 根据试验或观察得到的数据, 来研究随机现象, 以便对研究对象的客观规律性作出合理的估计和判断.

由于大量随机现象必然呈现出它的规律性, 故理论上只要对随机现象进行足够多次观察, 则研究对象的规律性就一定能清楚地呈现出来, 但实际上人们常常无法对所研究的对象的全体(或总体) 进行观察, 而只能抽取其中的部分(或样本) 进行观察或试验以获得有限的数据.

数理统计的任务包括: 怎样有效地收集、整理有限的数据资料; 怎样对所得的数据资料进行分析、研究, 从而对研究对象的性质、特点, 作出合理的推断, 此即所谓的统计推断问题, 本课程主要讲述统计推断的基本内容.

第一节 数理统计的基本概念

内容分布图示

★ 引言 ★ 总体与总体分布

★ 样本与样本分布 ★ 例1

★ 例2 ★ 例3 ★ 例4

★ 统计推断问题简述

★ 分组数据统计表和频率直方图 ★ 例5

★ 经验分布函数 ★ 例6

★ 统计量 ★ 样本的数字特征

★ 例7 ★ 例8 ★ 例9

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题5-1 ★ 返回

内容要点：

一、总体与总体分布

总体是具有一定共性的研究对象的全体, 其大小与范围随具体研究与考察的目的而确定. 例如, 考察某大学一年级新生的体重情况, 则该校一年级全体新生就构成了待研究的总体. 总体确定后, 我们称总体的每一个可观察值为个体. 如前述总体(一年级新生) 中的每一个个体即为每个新生的体重. 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量. 容量为有限的称为有限总体, 容量为无限的称为无限总体.